二分法、简单迭代法的matlab代码实现教学文案

实验一非线性方程的数值解法（一）信息与计算科学金融崔振威201002034031

一、实验目的：

熟悉二分法和简单迭代法的算法实现。

二、实验内容：

教材P40 2.1.5

三、实验要求

1 根据实验内容编写二分法和简单迭代法的算法实现

2 简单比较分析两种算法的误差

3 试构造不同的迭代格式，分析比较其收敛性

(一)、二分法程序：

function ef=bisect(fx,xa,xb,n,delta)

% fx是由方程转化的关于x的函数，有fx=0。

% xa 解区间上限

% xb 解区间下限

% n 最多循环步数，防止死循环。

%delta 为允许误差

x=xa;fa=eval(fx);

x=xb;fb=eval(fx);

disp(' [ n xa xb xc fc ]');

for i=1:n

xc=(xa+xb)/2;x=xc;fc=eval(fx);

X=[i,xa,xb,xc,fc];

disp(X),

if fc*fa<0

xb=xc;

else xa=xc;

end

if (xb-xa)

end

（二）、简单迭代法程序：

function [x0,k]=iterate (f,x0,eps,N)

if nargin<4

N=500;

end

if nargin<3

ep=1e-12;

end

x=x0;

x0=x+2*eps;

k=0;

while abs(x-x0)>eps & k

x0=x;

x=feval(f,x0);

k=k+1;

end

x0=x;

if k==N

end

解：a、g(x)=x5-3x3-2x2+2

二分法求方程：

（1）、在matlab的命令窗口中输入命令：

>> fplot('[x^5-3*x^3-2*x^2+2]',[-3,3]);grid 得下图：

由上图可得知：方程在[-3,3]区间有根。

（2）、二分法输出结果

>> f='x^5-3*x^3-2*x^2+2'

f =

x^5-3*x^3-2*x^2+2

>> bisect(f,-3,3,20,10^(-12))

2.0000 -

3.0000 0 -1.5000 0.0313

3.0000 -3.0000 -1.5000 -2.2500 -31.6182

4.0000 -2.2500 -1.5000 -1.8750 -8.4301

5.0000 -1.8750 -1.5000 -1.6875 -2.9632

6.0000 -1.6875 -1.5000 -1.5938 -1.2181

7.0000 -1.5938 -1.5000 -1.5469 -0.5382

8.0000 -1.5469 -1.5000 -1.5234 -0.2405

9.0000 -1.5234 -1.5000 -1.5117 -0.1015

10.0000 -1.5117 -1.5000 -1.5059 -0.0343

11.0000 -1.5059 -1.5000 -1.5029 -0.0014

12.0000 -1.5029 -1.5000 -1.5015 0.0150

13.0000 -1.5029 -1.5015 -1.5022 0.0068

14.0000 -1.5029 -1.5022 -1.5026 0.0027

15.0000 -1.5029 -1.5026 -1.5027 0.0007

16.0000 -1.5029 -1.5027 -1.5028 -0.0003

17.0000 -1.5028 -1.5027 -1.5028 0.0002

18.0000 -1.5028 -1.5028 -1.5028 -0.0001

19.0000 -1.5028 -1.5028 -1.5028 0.0001

20.0000 -1.5028 -1.5028 -1.5028 -0.0000

2、迭代法求方程：

迭代法输出结果：

>> f=inline('x^5-3*x^3-2*x^2+2');

>> [x0,k]=iterate(fun1,2)

x0 =

2

k =

1

>> [x0,k]=iterate(fun1,1.5)

x0 =

NaN

k =

6

>> [x0,k]=iterate(fun1,2.5)

x0 =

NaN

k =

5

（3）、误差分析：由二分法和迭代法输出结果可知，通过定点迭代法得出方程的解误差比二分法大，而利用二分法求出的结果中，可以清楚看出方程等于零时的解，其误差比迭代法小。

b、g(x)=cos(sin(x))

二分法求方程：

（1）、在matlab的命令窗口中输入命令：

>> fplot('[cos(sin(x))]',[-4,4]);grid

得下图：

由上图可得知：方程在[-4,4]区间无根。

（2）、二分法输出结果

>>f='cos(sin(x))'

f =

cos(sin(x))

>> bisect(f,-4,4,20,10^(-12))

2.0000 0 4.0000 2.0000 0.6143

3.0000 2.0000

4.0000 3.0000 0.9901

4.0000 3.0000 4.0000 3.5000 0.9391

5.0000 3.5000 4.0000 3.7500 0.8411

6.0000 3.7500 4.0000 3.8750 0.7842

7.0000 3.8750 4.0000 3.9375 0.7554

8.0000 3.9375 4.0000 3.9688 0.7412

9.0000 3.9688 4.0000 3.9844 0.7341

10.0000 3.9844 4.0000 3.9922 0.7305

11.0000 3.9922 4.0000 3.9961 0.7288

12.0000 3.9961 4.0000 3.9980 0.7279

13.0000 3.9980 4.0000 3.9990 0.7275

14.0000 3.9990 4.0000 3.9995 0.7273

15.0000 3.9995 4.0000 3.9998 0.7271

16.0000 3.9998 4.0000 3.9999 0.7271

17.0000 3.9999 4.0000 3.9999 0.7271

18.0000 3.9999 4.0000 4.0000 0.7270

19.0000 4.0000 4.0000 4.0000 0.7270

20.0000 4.0000 4.0000 4.0000 0.7270 2、迭代法求方程：

迭代法输出结果：

>> f=inline('cos(sin(x))');

>> [x0,k]=iterate(f,0.5)

x0 =

0.7682

k =

15

>> [x0,k]=iterate(f,1)

x0 =

0.7682

k =

15

>> [x0,k]=iterate(f,1.5)

x0 =

0.7682

k =

16

>> [x0,k]=iterate(f,2)

x0 =

0.7682

k =

15

>> [x0,k]=iterate(f,2.5)

x0 =

0.7682

k =

14

（3）、由于该方程无解，所以无法比较误差。

c、g(x)=x2-sin(x+0.15)

二分法求方程：

（1）、在matlab的命令窗口中输入命令：

>> fplot('[x^2-sin(x+0.15)]',[-10,10]);grid 得下图：

由上图可得知：方程在[-3,3]区间有根。

（2）、二分法输出结果

>> f='x^2-sin(x+0.15)'

f =

x^2-sin(x+0.15)

>> bisect(f,-3,3,30,10^(-12))

1.0000 -3.0000 3.0000 0 -0.1494

2.0000 -

3.0000 0 -1.5000 3.2257

3.0000 -1.5000 0 -0.7500 1.1271

4.0000 -0.7500 0 -0.3750 0.3637

5.0000 -0.3750 0 -0.1875 0.0726

6.0000 -0.1875 0 -0.0938 -0.0474

7.0000 -0.1875 -0.0938 -0.1406 0.0104

8.0000 -0.1406 -0.0938 -0.1172 -0.0191

9.0000 -0.1406 -0.1172 -0.1289 -0.0045

10.0000 -0.1406 -0.1289 -0.1348 0.0029

11.0000 -0.1348 -0.1289 -0.1318 -0.0008

12.0000 -0.1348 -0.1318 -0.1333 0.0011

13.0000 -0.1333 -0.1318 -0.1326 0.0001

14.0000 -0.1326 -0.1318 -0.1322 -0.0003

15.0000 -0.1326 -0.1322 -0.1324 -0.0001

16.0000 -0.1326 -0.1324 -0.1325 0.0000

17.0000 -0.1325 -0.1324 -0.1324 -0.0000

18.0000 -0.1325 -0.1324 -0.1325 -0.0000

19.0000 -0.1325 -0.1325 -0.1325 0.0000

20.0000 -0.1325 -0.1325 -0.1325 0.0000

21.0000 -0.1325 -0.1325 -0.1325 0.0000

22.0000 -0.1325 -0.1325 -0.1325 0.0000

23.0000 -0.1325 -0.1325 -0.1325 -0.0000

24.0000 -0.1325 -0.1325 -0.1325 0.0000

25.0000 -0.1325 -0.1325 -0.1325 -0.0000

26.0000 -0.1325 -0.1325 -0.1325 0.0000

27.0000 -0.1325 -0.1325 -0.1325 0.0000

28.0000 -0.1325 -0.1325 -0.1325 0.0000

29.0000 -0.1325 -0.1325 -0.1325 0.0000

30.0000 -0.1325 -0.1325 -0.1325 -0.0000

2、迭代法求方程：

迭代法输出结果：

>> f=inline('x^2-sin(x+0.15)');

>> [x0,k]=iterate(f,1.96)

x0 =

NaN

k =

12

>> [x0,k]=iterate(f,0,2)

x0 =

-0.1494

k =

1

>> [x0,k]=iterate(f,0.2)

x0 =

0.3234

k =

500

>> [x0,k]=iterate(f,0.3)

x0 =

0.3234

k =

500

>> [x0,k]=iterate(f,0.001)

x0 =

0.3234

k =

500

（3）、误差分析：由二分法和迭代法输出结果可知，利用二分法求出的结果中，可以清楚看出方程等于零时的解，其误差比迭代法小。

d、g(x)=x x-cos(x)

二分法求方程：

（1）、在matlab的命令窗口中输入命令：

>> fplot('[x^(x-cos(x))]',[-1,1]);grid

得下图：

由上图可得知：方程在[-1,1]区间有根。

（2）、二分法输出结果

>> f='x^(x-cos(x))'

f =

x^(x-cos(x))

>> bisect(f,-0.1,0.1,20,10^(-12))

1.0000 -0.1000 0.1000 0 Inf

2.0000 -0.1000 0 -0.0500 -22.8740 +

3.5309i

3.0000 -0.0500 0 -0.0250 -43.6821 + 3.3947i

4.0000 -0.0250 0 -0.0125 -84.4110 + 3.2958i

1.0e+002 *

0.0500 -0.0001 0 -0.0001 -1.6511 + 0.0323i

1.0e+002 *

0.0600 -0.0001 0 -0.0000 -3.2580 + 0.0319i

1.0e+002 *

0.0700 -0.0000 0 -0.0000 -6.4648 + 0.0317i

1.0e+003 *

0.0080 -0.0000 0 -0.0000 -1.2872 + 0.0032i

1.0e+003 *

0.0090 -0.0000 0 -0.0000 -2.5679 + 0.0032i

1.0e+003 *

0.0100 -0.0000 0 -0.0000 -5.1285 + 0.0031i

1.0e+004 *

0.0011 -0.0000 0 -0.0000 -1.0249 + 0.0003i

1.0e+004 *

0.0012 -0.0000 0 -0.0000 -2.0490 + 0.0003i

1.0e+004 *

0.0013 -0.0000 0 -0.0000 -4.0971 + 0.0003i

1.0e+004 *

0.0014 -0.0000 0 -0.0000 -8.1931 + 0.0003i

1.0e+005 *

0.0001 -0.0000 0 -0.0000 -1.6385 + 0.0000i

1.0e+005 *

0.0002 -0.0000 0 -0.0000 -3.2769 + 0.0000i

1.0e+005 *

0.0002 -0.0000 0 -0.0000 -6.5537 + 0.0000i

1.0e+006 *

0.0000 -0.0000 0 -0.0000 -1.3107 + 0.0000i

1.0e+006 *

0.0000 -0.0000 0 -0.0000 -2.6215 + 0.0000i

1.0e+006 *

0.0000 -0.0000 0 -0.0000 -5.2429 + 0.0000i

2、迭代法求方程：

迭代法输出结果：

>> f=inline('x^2-sin(x+0.15)');

x0 =

0.3234

k =

500

>> [x0,k]=iterate(f,0.01)

x0 =

0.3234

k =

500

>> [x0,k]=iterate(f,0.81)

x0 =

0.3234

k =

500

>> [x0,k]=iterate(f,0.61)

x0 =

0.3234

k =

500

（3）、误差分析：由二分法和迭代法输出结果可知，利用二分法求出的结果中，可以清楚看出方程等于零时的解，其误差比迭代法小。

matlab实验十七__牛顿迭代法(可打印修改)

实验十七牛顿迭代法 【实验目的】 1.了解牛顿迭代法的基本概念。 2.了解牛顿迭代法的收敛性和收敛速度。 3.学习、掌握MATLAB软件的有关命令。 【实验内容】 用牛顿迭代法求方程的近似根，误差不超过。 3210 ++-=3 10- x x x 【实验准备】 1.牛顿迭代法原理 2.牛顿迭代法的几何解析 3.牛顿迭代法的收敛性 4.牛顿迭代法的收敛速度 5.迭代过程的加速 6.迭代的MATLAB命令 MATLAB中主要用for,while等控制流命令实现迭代。 【实验重点】 1.牛顿迭代法的算法实现 2.牛顿迭代法收敛性和收敛速度 【实验难点】 1.牛顿迭代法收敛性和收敛速度 【实验方法与步骤】 练习1用牛顿迭代法求方程在x=0.5附近的近似 3210 ++-= x x x

根，误差不超过。 310-牛顿迭代法的迭代函数为 322()1()()321 f x x x x g x x x f x x x ++-=-=-'++相应的MATLAB 代码为 >>clear; >>x=0.5; >>for i=1:3 >>x=x-(x^3+x^2+x-1)/(3*x^2+2*x+1) >>end 可算的迭代数列的前3项0.5455，0.5437，0.5437。经三次迭代，就大大超过了精度要求。 练习2 用牛顿迭代法求方程的近似正实根，由此建2(0)x a a =>立一种求平方根的计算方法。 由计算可知，迭代格式为，在实验12的练习4中1()()2a g x x x =+已经进行了讨论。 【练习与思考】 1.用牛顿迭代法求方程的近似根。 ln 1x x =2.为求出方程的根，在区间[1,2]内使用迭代函数进行310x x --=迭代，纪录迭代数据，问迭代是否收敛？对迭代进行加速，对比加速前的数据，比较加速效果。 3.使用在不动点的泰勒公式，证明牛顿迭代法收敛原理。*x

matlab实现牛顿迭代法求解非线性方程组教学文稿

matlab实现牛顿迭代法求解非线性方程组 已知非线性方程组如下 3*x1-cos(x2*x3)-1/2=0 x1^2-81*(x2+0.1)^2+sin(x3)+1.06=0 exp(-x1*x2)+20*x3+(10*pi-3)/3=0 求解要求精度达到0.00001 ———————————————————————————————— 首先建立函数fun 储存方程组编程如下将fun.m保存到工作路径中: function f=fun(x); %定义非线性方程组如下 %变量x1 x2 x3 %函数f1 f2 f3 syms x1 x2 x3 f1=3*x1-cos(x2*x3)-1/2; f2=x1^2-81*(x2+0.1)^2+sin(x3)+1.06; f3=exp(-x1*x2)+20*x3+(10*pi-3)/3; f=[f1 f2 f3]; ———————————————————————————————— 建立函数dfun 用来求方程组的雅克比矩阵将dfun.m保存到工作路径中: function df=dfun(x); %用来求解方程组的雅克比矩阵储存在dfun中 f=fun(x); df=[diff(f,'x1');diff(f,'x2');diff(f,'x3')]; df=conj(df'); ———————————————————————————————— 编程牛顿法求解非线性方程组将newton.m保存到工作路径中: function x=newton(x0,eps,N); con=0; %其中x0为迭代初值eps为精度要求N为最大迭代步数con用来记录结果是否收敛for i=1:N; f=subs(fun(x0),{'x1' 'x2' 'x3'},{x0(1) x0(2) x0(3)}); df=subs(dfun(x0),{'x1' 'x2' 'x3'},{x0(1) x0(2) x0(3)}); x=x0-f/df; for j=1: length(x0); il(i,j)=x(j); end if norm(x-x0)

MATLAB代码 解线性方程组的迭代法

解线性方程组的迭代法 1.rs里查森迭代法求线性方程组Ax=b的解 function[x,n]=rs(A,b,x0,eps,M) if(nargin==3) eps=1.0e-6;%eps表示迭代精度 M=10000;%M表示迭代步数的限制值elseif(nargin==4) M=10000; end I=eye(size(A)); n=0; x=x0; tol=1; %迭代过程 while(tol>eps) x=(I-A)*x0+b; n=n+1;%n为最终求出解时的迭代步数tol=norm(x-x0); x0=x; if(n>=M) disp('Warning:迭代次数太多，可能不收敛！'); return; end end 2.crs里查森参数迭代法求线性方程组Ax=b的解 function[x,n]=crs(A,b,x0,w,eps,M) if(nargin==4) eps=1.0e-6;%eps表示迭代精度 M=10000;%M表示迭代步数的限制值 elseif(nargin==5) M=10000; end I=eye(size(A)); n=0; x=x0; tol=1; %迭代过程 while(tol>eps) x=(I-w*A)*x0+w*b; n=n+1;%n为最终求出解时的迭代步数tol=norm(x-x0); x0=x;

if(n>=M) disp('Warning:迭代次数太多，可能不收敛！'); return; end end 3.grs里查森迭代法求线性方程组Ax=b的解 function[x,n]=grs(A,b,x0,W,eps,M) if(nargin==4) eps=1.0e-6;%eps表示迭代精度 M=10000;%M表示迭代步数的限制值 elseif(nargin==5) M=10000; end I=eye(size(A)); n=0; x=x0; tol=1;%前后两次迭代结果误差 %迭代过程 while(tol>eps) x=(I-W*A)*x0+W*b;%迭代公式 n=n+1;%n为最终求出解时的迭代步数tol=norm(x-x0); x0=x; if(n>=M) disp('Warning:迭代次数太多，可能不收敛！'); return; end end 4.jacobi雅可比迭代法求线性方程组Ax=b的解 function[x,n]=jacobi(A,b,x0,eps,varargin) if nargin==3 eps=1.0e-6; M=200; elseif nargin<3 error return elseif nargin==5 M=varargin{1}; end D=diag(diag(A));%求A的对角矩阵 L=-tril(A,-1);%求A的下三角阵

jacobi G-S,超松弛迭代法MATLAB程序

function iteration A=[10,1,2,3,4; 1,9,-1,2,-3; 2,-1,7,3,-5; 3,2,3,12,-1; 4,-3,-5,-1,15]; b=[12,-27,14,-17,12]'; x0=[0,0,0,0,0]'; tol=1e-12; disp('jacobi迭代法的结果和次数如下:') [x,k]=Fjacobi(A,b,x0,tol) disp('G-S迭代法的结果和次数如下:':') [x,k]=Fgseid(A,b,x0,tol) disp('超松弛的结果和次数如下:':') [x,k]=Fsor(A,b,x0,1.2,tol) disp('共轭梯度法的结果和次数如下:':') [x,k]=Fcg(A,b,x0,tol) %jacobi迭代法 function [x,k]=Fjacobi(A,b,x0,tol) max=300; D=diag(diag(A)); L=-tril(A,-1); U=-triu(A,1); B=D\(L+U); f=D\b; x=B*x0+f; k=1; while norm(x-x0)>=tol x0=x; x=B*x0+f; k=k+1; if(k>=max) disp('μü′ú3?1y300′?￡?·?3ì×é?é?ü2?ê?á2'); return; end end %G-S迭代法 function [x,k]=Fgseid(A,b,x0,tol) max=300; D=diag(diag(A)); L=-tril(A,-1); U=-triu(A,1); G=(D-L)\U; f=(D-L)\b; x=G*x0+f; k=1; while norm(x-x0)>=tol x0=x; x=G*x0+f; k=k+1; if(k>=max) disp('μü′ú3?1y300′?￡?·?3ì×é?é?ü2?ê?á2'); return; end

牛顿迭代法解元方程组以及误差分析matlab实现

.0],;,[0 ),()(),()(),(0),()(),()(),(,.**,0],;,[),()()(),()()(,0),(),(),(])()[(),(),(),(),(),(])()[(),(),(2,),(])()[(21),(])()[(),(),()(2 )(''))((')()(: 1n 1n 110101010100000000000000000000000000200000000000 00 000fg g f y y g f g f g f fg x x g g f f y x g y y y x g x x y x g y x f y y y x f x x y x f y x y x y x g f g f fg g f y y g f g f g f fg x x g f g f fg g f y y g f g f g f fg x x g g f f y x g y x g y y y x g x x y x f y x f y y y x f x x y x g y x f y x g y y y x x x y x g y x g y x f y x g y x f y y y x x x y x f y x f y x y x f y y y x x x y x f y y y x x x y x f y x f x x f x x x f x f x f x x n n x y y x y y y x y x n n y n n n x n n n n n y n n n x n n n n n x y y x x x x y y x y y x y y x x x x y y x y y y x y x y x y x y y x x y y x x y x y y x x ，则其解可记为： 的行列式不为若系数矩阵： 附近的线性化方程组为在一元方程牛顿迭代法，类似 ，的新近似值于是就得到了根，则可得解： 的行列式不为若系数矩阵），（），（ ），（），（ 则两式构成方程组： 令可得： 构成二元方程组，同样与若另有一方程： 阶小项，得到线性方程忽略在方程根附近取值时，当二元函数的展开为： 开类似一元函数的泰勒展?????+-+=-+-+=?????=-+-+=-+-+??? ????-+-+=-+-+=????????-+-=--+-=-?????-=-+--=-+-==??-+??-+=??-+??-+=??-+??-+??-+??-+=-+ -+=++========η ξξ

MATLAB样例之雅克比迭代法

要求： 下面分别使用雅克比迭代法和高斯-赛德尔迭代法求一个方程组的近似解用的线性方程组是按实验要求给的： 7*x1+x2+2*x3=10 x1+8*x2+2*x3=8 2*x1+2*x2+9*x3=6 雅克比迭代法的matlab代码：（老师写的） A=[7,1,2;1,8,2;2,2,9]; b=[10;8;6]; if(any(diag(A))==0) error('error,pause') end eps=input('误差限eps='); N=input('迭代次数N='); D=diag(diag(A)); B=inv(D)*(D-A); f=inv(D)*b; K=0; x0=zeros(size(b)); while 1 x1=B*x0+f K=K+1; fprintf('第-次迭代的近似解为',K) disp(x1'); if norm(x1-x0,inf)N fprintf('迭代超限') end x0=x1; end 高斯-赛德尔迭代法matlab代码:（自己改的）

A=[7,1,2;1,8,2;2,2,9]; b=[10;8;6]; if(all(diag(A))==0) error('error,pause') end eps=input('误差限eps='); N=input('迭代次数N='); D=diag(diag(A)); B=inv(D)*(D-A); f=inv(D)*b; K=0; x0=zeros(size(b)); x00=x0; while 1 x11=B*x0+f; x00(1,1)=x11(1,1); x12=B*x00+f; x00(2,1)=x12(2,1); x13=B*x00+f; x00(3,1)=x13(3,1); x1=x00 K=K+1; fprintf('第-次迭代的近似解为',K) disp(x1'); if norm(x1-x0,inf)N fprintf('迭代超限') end x0=x1; end

MATLAB程序(牛顿法及线形方程组)

MATLAB 程序 1、图示牛顿迭代法（M 文件）文件名：newt_g function x = new_g(f_name,x0,xmin,xmax,n_points) clf,hold off % newton_method with graphic illustration del_x = 0.001; wid_x = xmax - xmin; dx = (xmax - xmin)/n_points; xp = xmin:dx:xmax; yp = feval(f_name,xp); plot(xp,yp);xlabel('x');ylabel('f(x)'); title('newton iteration'),hold on ymin = min(yp); ymax = max(yp); wid_y = ymax-ymin; yp = 0. * xp; plot(xp,yp) x = x0; xb = x+999; n=0; while abs(x-xb) > 0.000001 if n > 300 break; end y=feval(f_name,x); plot([x,x],[y,0]);plot(x,0,'o') fprintf(' n = % 3.0f, x = % 12.5e, y = % 12.5e \ n', n, x, y); xsc = (x-xmin)/wid_x; if n < 4, text(x,wid_y/20,[num2str(n)]), end y_driv = (feval(f_name,x + del_x) - y)/del_x; xb = x; x = xb - y/y_driv; n = n+1; plot([xb,x],[y,0]) end plot([x x],[0.05 * wid_y 0.2 * wid_y]) text( x, 0.2 * wid_y, 'final solution') plot([ x ( x - wid_x * 0.004)], [0.01 * wid_y 0.09 * wid_y]) plot([ x ( x + wid_x * 0.004)], [0.01 * wid_y 0.09 * wid_y]) 传热问题 假设一个火炉是用厚度为0.05m 的砖单层砌成的。炉内壁温度为T 0=625K, 外壁温度为T 1（未知）。由于对流和辐射造成了外壁的热量损失，温度T 1由下式决定： 44111()()()()0f k f T T T T T h T T x εσ∞=-+-+-=? 其中： k ：炉壁的热传导系数，1.2W/mK ε: 发射率，0.8 T 0：内壁温度，625K T 1：外壁温度（未知），K T ∞：环境温度，298K T f ：空气温度，298K H ：热交换系数，20W/m 2K

lu分解法、列主元高斯法、jacobi迭代法、gaussseidel法的原理及matlab程序

一、实验目的及题目 1.1 实验目的： （1）学会用高斯列主元消去法，LU 分解法，Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法解线性方程组。 （2）学会用Matlab 编写各种方法求解线性方程组的程序。 1.2 实验题目： 1. 用列主元消去法解方程组： 1241234 123412343421233234x x x x x x x x x x x x x x x ++=??+-+=??--+=-??-++-=? 2. 用LU 分解法解方程组,Ax b =其中 4824012242412120620266216A --?? ?- ?= ? ?-??，4422b ?? ? ?= ?- ?-?? 3. 分别用Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法求解方程组： 123234 1231234102118311210631125x x x x x x x x x x x x x -+=-??-+=-??-+=??-+-+ =? 二、实验原理、程序框图、程序代码等 2.1实验原理 2.1.1高斯列主元消去法的原理 Gauss 消去法的基本思想是一次用前面的方程消去后面的未知数，从而将方程组化为等价形式： 1111221122222n n n n nn n n b x b x b x g b x b x g b x g +++=??++=????= ? 这个过程就是消元，然后再回代就好了。具体过程如下： 对于1,2, ,1k n =-，若() 0,k kk a ≠依次计算

()() (1)()()(1)()()/,,1, ,k k ik ik kk k k k ij ij ik kj k k k i i ik k m a a a a m a b b m b i j k n ++==-=-=+ 然后将其回代得到： ()() ()()()1/()/,1,2,,1 n n n n nn n k k k k k kj j kk j k x b a x b a x a k n n =+?=??=-=--? ? ∑ 以上是高斯消去。 但是高斯消去法在消元的过程中有可能会出现() 0k kk a =的情况，这时消元就无法进行了，即使主元数() 0,k kk a ≠但是很小时，其做除数，也会导致其他元素数量级的严重增长和舍入误差的扩散。因此，为了减少误差，每次消元选取系数矩阵的某列中绝对值最大的元素作为主元素。然后换行使之变到主元位置上，再进行销元计算。即高斯列主元消去法。 2.1.2直接三角分解法（LU 分解）的原理 先将矩阵A 直接分解为A LU =则求解方程组的问题就等价于求解两个三角形方程组。 直接利用矩阵乘法，得到矩阵的三角分解计算公式为： 1111111 11 1,1,2,,/,2,,,,,1,,,2,3, ()/,1,2, ,i i i i k kj kj km mj m k ik ik im mk kk m u a i n l a u i n u a l u j k k n k n l a l u u i k k n k n -=-===?? ==?? =-=+??=??=-=++≠?? ∑∑且 由上面的式子得到矩阵A 的LU 分解后，求解Ux=y 的计算公式为 11 111,2,3,/()/,1,2, ,1 i i i ij j j n n nn n i i ij j ii j i y b y b l y i n x y u x y u x u i n n -==+=??? =-=?? =??? =-=--?? ∑∑ 以上为LU 分解法。

非线性方程组求解的牛顿迭代法用MATLAB实现

1. 二元函数的newton 迭代法理论分析 设),(y x f z =在点),(00y x 的某一邻域内连续且有直到2阶的连续偏导数，),(00h y h x ++为该邻域内任意一点，则有 ?? ? ????? +??+≈++==00) ,(),(),(),(0000y y x x y x f y k y x f x h y x f k y h x f 其中 0x x h -=，0y -=y k 于是方程0),(=y x f 可近似表示为 0) ,(),(),(k =?? ? ????? +??+==k k y y x x k y x f y k y x f x h y x f 即 0),()(),()(),(y k =-+-+k k k k k x k k y x f y y y x f x x y x f 同理，设y)g(x,z =在点),(00y x 的某一邻域内连续且有直到2阶的连续偏导数，),(00h y h x ++为该邻域内任意一点，亦有 ?? ?????? +??+≈++==00),(),(),(),(0000y y x x y x g y k y x g x h y x g k y h x g 其中0x x h -=，0y -=y k 于是方程0),(g =y x 可近似表示为 0) ,(),(),(k =?? ? ????? +??+==k k y y x x k y x g y k y x g x h y x g 即 0),(g )(),()(),(y k =-+-+k k k k k x k k y x y y y x g x x y x g 于是得到方程组 ? ??=-+-+=-+-+0),(g )(),()(),(0),()(),()(),(y k y k k k k k k x k k k k k k k x k k y x y y y x g x x y x g y x f y y y x f x x y x f

2-8牛顿迭代法matlab

实验七 牛顿迭代法 【实验目的】 1．了解牛顿迭代法的基本概念。 2．了解牛顿迭代法的收敛性和收敛速度。 3．学习掌握MATLAB 软件有关的命令。 【实验内容】 用牛顿迭代法求方程0123=-++x x x 的近似根，误差不超过310-。 【实验准备】 1．牛顿迭代法原理 设已知方程0)(=x f 的近似根0x ,则在0x 附近)(x f 可用一阶泰勒多项式))((')()(000x x x f x f x p -+=近似代替.因此, 方程0)(=x f 可近似地表示为0)(=x p .用1x 表示0)(=x p 的根,它与0)(=x f 的根差异不大. 设0)('0≠x f ,由于1x 满足,0))((')(0100=-+x x x f x f 解得 ) (')(0001x f x f x x -= 重复这一过程,得到迭代格式 ) (')(1n n n n x f x f x x -=+ 这就是著名的牛顿迭代公式,它相应的不动点方程为 ) (')()(x f x f x x g -=. 2. 牛顿迭代法的几何解析 在0x 处作曲线的切线，切线方程为))((')(000x x x f x f y -+=。令 0=y ，可得切线与x 轴的交点坐标) (')(0001x f x f x x -=，这就是牛顿法的迭代公式。因此，牛顿法又称“切线法”。

3．牛顿迭代法的收敛性 计算可得2)] ('[)(")()('x f x f x f x g -=,设*x 是0)(=x f 的单根,有0)(',0)(**≠=x f x f ,则 0)]('[)(")()('2**** =-=x f x f x f x g , 故在*x 附近,有1)('>clear; >>x=0.5; >>for i=1:3 >>x=x-(x^3+x^2+x-1)/(3*x^2+2*x+1) >>end 可算得迭代数列的前3项0.5455, 0.5437, 0.5437.近三次迭代,就大大超过了精度要求. 练习２用牛顿迭代法求方程)0(2>=a a x .的近似正实根,由此建立一种求平方根的计算方法. 由计算可知,迭代格式为)(21)(x a x x g += .,在实验12的练习4种已经进行了讨论. 练习3用牛顿迭代法求方程1=x xe 的正根. 牛顿迭代法的迭代函数为

MATLAB实现迭代法最佳松弛因子的选取

迭代法最佳松弛因子的选取 一、问题提出: 针对矩阵430341014A ?? ??=-?? ??-?? ，b=[24;30;-24],用SOR 迭代求解。并选出最佳松弛 因子。理论分析 1.24ω==≈。做出()L ωρ关于ω函数 的图像。 二、理论基础 选取分裂矩阵M 为带参数的下三角矩阵)(1 wL D w M -=, 其中w>0为可选择的松弛因子. 于是,由 ?????+=+f Bx x x k k ) ()1()0() (初始向量 (k=0,1,…,)可构造一个迭代法,其迭代矩阵为A wL D w I L w 1)(---≡ =).)1(()(1wU D w wL D +--- 从而得到解Ax=b 的主次逐次超松弛迭代法. 解Ax=b 的SOR 方法为 ?????+=+f Bx x x k k ) ()1()0() (初始向量 (k=0,1,…,) (1) 其中 w L =).)1(()(1wU D w wL D +---（2） b wL D w f 1)(--= 下面给出解Ax=b 的SOR 迭代法的分量计算公式.记 ,),...,,...,() () () (1)(T k n k i k k x x x x = 由(1)式可得 ,))1(()()()1(wb x wU D w x wL D k k ++-==-+ ).()()()1()()1(k k k k k Dx Ux Lx b w Dx Dx -+++=++ （3） 由此,得到解Ax=b 的SOR 方法的计算公式

?????????==--+==∑∑-==++.),1,0;,...,2,1(/)(,),...,(11) (1)()1()0()0(1)0(为松弛因子 w k n i a x a x a b w x x x x x ii i j n i j k j ij k j ij i k i k i T n (4) 或 ?? ?? ? ??????==--=??+==∑∑-==++.,...),1,0;,...,2,1()/(,,),...,(.11)()1() () 1()0()0(1)0(为松弛因子w k n i a x a x a b w x x x x x x x i j n i j ii k j ij k j ij i i i k i k i T n (5) ※ 若要求选取出最佳松弛因子，则有两种方法： ⑴、 给出w 的最佳范围，当取不同的w 值时，会求出不同的谱半径R 的值， 然后判断出值最小的谱半径。那么这个最小的谱半径所对应的w ，即为所求最佳松弛因子。 ⑵、 给出w 的最佳范围，当取不同的w 值时，由（2）式进行迭代，看它们在 相同精度范围内的迭代次数，找出迭代次数最低的那一个，其所应用的w 即为最佳松弛因子。 三、实验内容： 从表格中可以看出，迭代次数随着松弛因子的增长而呈现先减后增的趋势，当谱半径最小时，其迭代次数最小。则表示出谱半径最小时，其松弛因子为最佳松弛因子。

二分法、简单迭代法的matlab代码实现

实验一非线性方程的数值解法(一) 信息与计算科学金融崔振威201002034031一、实验目的： 熟悉二分法和简单迭代法的算法实现。 二、实验内容： 教材P40 2.1.5 三、实验要求 1根据实验内容编写二分法和简单迭代法的算法实现 2简单比较分析两种算法的误差 3试构造不同的迭代格式，分析比较其收敛性 (一)、二分法程序： function ef=bisect(fx,xa,xb ,n, delta) % fx是由方程转化的关于x的函数，有fx=0。 % xa解区间上限 % xb解区间下限 % n最多循环步数，防止死循环。 %delta为允许误差 x=xa;fa=eval(fx); x=xb;fb=eval(fx); disp(' [ n xa xb xc fc ]'); for i=1: n xc=(xa+xb)/2;x=xc;fc=eval(fx); X=[i,xa,xb,xc,fc]; disp(X), if fc*fa<0 xb=xc; else xa=xc; end if (xb-xa)

k=0; while abs(x-xO)>eps & k> fplot('[x A5-3*x A3-2*x A2+2]',[-3,3]);grid 得下图： 由上图可得知：方程在［-3,3］区间有根。 （2 ）、二分法输出结果 >> f='xA5-3*xA3-2*xA2+2' f = X A5-3*X A3-2*X A2+2 >> bisect(f,-3,3,20,10A(-12)) 2.0000 - 3.0000 0 -1.5000 0.0313

matlab 迭代法[精品]

matlab 迭代法[精品] 1. 矩阵 122,211,，，，，,,,,A,111A,222, 11,,,,,,,,221,,112，，，， 证明:求解以为系数矩阵线性方程组的Jacobi迭代式收敛的，而A1 Gauss-Seidel方法是发散的;求解以为系数矩阵线性方程组的A2实验名称Gauss-Seidel是收敛的，而Jacobi方法是发散的. 2. 矩阵 1aa，，,,Aaa,1 ,,,,aa1，， (a) 参数取什么值时，矩阵是正定的. a (b) 取什么值时，求以为系数矩阵线性方程组的Jacobi迭代式收aa 敛的. 1、根据迭代收敛性的充分必要条件来判断Jacobi迭代式与Gauss-Seide 迭代式的收敛性，迭代收敛性仅与方程组系数矩阵有关，与右端无关;而且不依赖于初值的选取。实验目的 2、根据矩阵的判断定理求得矩阵元素a的取值，同时根据矩阵线性方程组的Jacobi迭代式收敛的充分条件(严格对角占优)来求a得取值。 1、(1)检验线性方程组的Jacobi迭代式的收敛性: function jacobi(A) D=zeros(3); for i=1:3 D(i,i)=A(i,i); 实验内容end (算法、程B=D^(-1)*(D-A); 序、步骤和k=max(abs(eig(B))) 方法) if k<1

'该线性方程组的Jacobi迭代式是收敛的' else k>=1 '该线性方程组的Jacobi迭代式是发散的' end (2)检验线性方程组的Gauss-Seide迭代式的收敛性: function Gauss(A) D=zeros(3); L=zeros(3); U=zeros(3); for i=1:3 D(i,i)=A(i,i); end L(2:3,1)=A(2:3,1); L(3,2)=A(3,2); U(1,2:3)=A(1,2:3); U(2,3)=A(2,3); B=-(D+L)^(-1)*U; k=max(abs(eig(B))) if k<1 '该线性方程组的Gauss-Seidel迭代式是收敛的' else k>=1 '该线性方程组的Gauss-Seidel迭代式是发散的' end 2、(1)参数取什么值时，矩阵是正定的.(矩阵的特征值全为正) a >> syms a >> A=[1 a a;a 1 a;a a 1]; >> eig(A) ans = 2*a+1 1-a

【良心出品】不动点迭代法matlab程序

实验四 姓名：木拉丁。尼则木丁班级：信计08-2 学号：20080803405 实验地点：新大机房 实验目的：通过本实验学习利用MATLAB不动点迭代法，抛物线法，斯特芬森迭代法解非线性方程组，及其编程实现，培养编程与上机调试能力。 实验要求：①上机前充分准备，复习有关内容，写出计算步骤，查对程序； ②完成实验后写出完整的实验报告，内容应该包括：所用的算法语言， 算法步骤陈述，变量说明，程序清单，输出计算结果，结果分析等等； ③用编好的程序在Ｍatlab环境中执行。 迭代法 MATLAB程序： function pwxff(f,x0,x1,x2,d,n) f=inline(f); x(1)=x0; x(2)=x1; x(3)=x2; w1=(f(x(2))-f(x(3)))/(x(2)-x(3)); t1=(f(x(1))-f(x(3)))/(x(1)-x(3)); t2=(f(x(1))-f(x(2)))/(x(1)-x(2)); w2=1/(x(1)-x(2))*(t1-t2); w=w1+w2*(x(3)-x(2));

for k=3:n x(k+1)=x(k)-2*f(x(k))/(w+sqrt(w^2-4*f(x(k))*w2)); if abs(x(k+1)-x(k))

基于Matlab的牛顿迭代法解非线性方程组

基于Matlab 实现牛顿迭代法解非线性方程组 已知非线性方程组如下 2211221212 10801080x x x x x x x ?-++=??+-+=?? 给定初值0(0,0)T x =，要求求解精度达到0.00001 首先建立函数F(x)，方程组编程如下，将F.m 保存到工作路径中： function f=F(x) f(1)=x(1)^2-10*x(1)+x(2)^2+8; f(2)=x(1)*x(2)^2+x(1)-10*x(2)+8; f=[f(1) f(2)]; 建立函数DF(x),用于求方程组的Jacobi 矩阵，将DF.m 保存到工作路径中： function df=DF(x) df=[2*x(1)-10,2*x(2);x(2)^2+1,2*x(1)*x(2)-10]; 编程牛顿迭代法解非线性方程组，将newton.m 保存到工作路径中： clear; clc x=[0,0]'; f=F(x); df=DF(x); fprintf('%d %.7f %.7f\n',0,x(1),x(2)); N=4; for i=1:N y=df\f'; x=x-y; f=F(x); df=DF(x); fprintf('%d %.7f %.7f\n',i,x(1),x(2)); if norm(y)<0.0000001 break ; else end end

运行结果如下： 0 0.0000000 0.0000000 1 0.8000000 0.8800000 2 0.9917872 0.9917117 3 0.9999752 0.9999685 4 1.0000000 1.0000000

线性方程组的迭代解法(Matlab)

第六章线性方程组的迭代解法 2015年12月27日17:12 迭代法是目前求解大规模稀疏线性方程组的主要方法之一。包括定常迭代法和不定常迭代法，定常迭代法的迭代矩阵通常保持不变，包括有雅可比迭代法（Jacobi）、高斯-塞德尔迭代法（Gauss-Seidel）、超松弛迭代法（SOR） 1.雅可比迭代法（Jacobi） A表示线性方程组的系数矩阵，D表示A的主对角部分，L表示下三角部分，U表示上三角部分。 A=D+L+U 要解的方程变为Dx+Lx+Ux=b x=D^(-1)（b-（L+U）x） 所以Jocabi方法如下： Matlab程序 function [x,iter] =jacobi(A,b,tol) D=diag(diag(A)); L=D-tril(A); U=D-triu(A); x=zeros(size(b)); for iter=1:500 x=D\(b+L*x+U*x); error=norm(b-A*x)/norm(b); if(error

matlab迭代法代码

matlab 迭代法代码 1、％用不动点迭代法求方程x-e A x+4=0的正根与负根，误差限是 10A-6% disp(' 不动点迭代法 '); n0=100; p0=-5; for i=1:n0 p=exp(p0)-4; if abs(p-p0)<=10(6) if p<0 disp('|p-p0|=') disp(abs(p-p0)) disp(' 不动点迭代法求得方程的负根为 :') disp(p); break; else disp(' 不动点迭代法无法求出方程的负根 .') end else p0=p; end end

if i==n0 disp(n0) disp(' 次不动点迭代后无法求出方程的负根') end p1=1.7; for i=1:n0 pp=exp(p1)-4; if abs(pp-p1)<=10(6) if pp>0 disp('|p-p1|=') disp(abs(pp-p1)) disp(' 用不动点迭代法求得方程的正根为 ') disp(pp); else disp(' 用不动点迭代法无法求出方程的正根 '); end break; else p1=pp; end end if i==n0

disp(n0) disp(' 次不动点迭代后无法求出方程的正根 ') end 2、％用牛顿法求方程x-e A x+4=0的正根与负根，误差限是disp(' 牛顿法') n0=80; p0=1; for i=1:n0 p=p0-(p0-exp(p0)+4)/(1-exp(p0)); if abs(p-p0)<=10(6) disp('|p-p0|=') disp(abs(p-p0)) disp(' 用牛顿法求得方程的正根为 ') disp(p); break; else p0=p; end end if i==n0 disp(n0) disp(' 次牛顿迭代后无法求出方程的解 p1=-3; for i=1:n0 p=p1-(p1-exp(p1)+4)/(1-exp(p1)); 10A-6 ') end

二分法、简单迭代法的matlab代码实现教学文案

实验一非线性方程的数值解法（一）信息与计算科学金融崔振威201002034031 一、实验目的： 熟悉二分法和简单迭代法的算法实现。 二、实验内容： 教材P40 2.1.5 三、实验要求 1 根据实验内容编写二分法和简单迭代法的算法实现 2 简单比较分析两种算法的误差 3 试构造不同的迭代格式，分析比较其收敛性 (一)、二分法程序： function ef=bisect(fx,xa,xb,n,delta) % fx是由方程转化的关于x的函数，有fx=0。 % xa 解区间上限 % xb 解区间下限 % n 最多循环步数，防止死循环。 %delta 为允许误差 x=xa;fa=eval(fx); x=xb;fb=eval(fx); disp(' [ n xa xb xc fc ]'); for i=1:n xc=(xa+xb)/2;x=xc;fc=eval(fx); X=[i,xa,xb,xc,fc]; disp(X), if fc*fa<0 xb=xc; else xa=xc; end if (xb-xa)

k=0; while abs(x-x0)>eps & k> fplot('[x^5-3*x^3-2*x^2+2]',[-3,3]);grid 得下图： 由上图可得知：方程在[-3,3]区间有根。 （2）、二分法输出结果 >> f='x^5-3*x^3-2*x^2+2' f = x^5-3*x^3-2*x^2+2 >> bisect(f,-3,3,20,10^(-12)) 2.0000 - 3.0000 0 -1.5000 0.0313