导数及其应用》单元测试题(详细答案)
《导数及其应用》单元测试题（文科）
（满分：150分 时间：120分钟）
一、选择题（本大题共10小题，共50分，只有一个答案正确） 1．函数()2
2)(x x f π=的导数是（ ）
(A) x x f π4)(=' (B) x x f 24)(π=' (C) x x f 2
8)(π=' (D) x x f π16)(=' 2．函数x
e
x x f -?=)(的一个单调递增区间是（ ）
(A)[]0,1- (B) []8,2 (C) []2,1 (D) []2,0
3．已知对任意实数x ，有()()()()f x f x g x g x -=--=，，且0x >时，
()0()0f x g x ''>>，，则0x <时（ ）
A ．()0()0f x g x ''>>，
B ．()0()0f x g x ''><，
C ．()0()0f x g x ''<>，
D ．()0()0f x g x ''<<，
4．若函数b bx x x f 33)(3
+-=在()1,0内有极小值，则（ ） （A ） 10<b （D ） 2
1<
b 5．若曲线4
y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为（ ）
A ．430x y --=
B ．450x y +-=
C ．430x y -+=
D ．430x y ++= 6．曲线x
y e =在点2
(2)e ，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）
Ａ．2
94
e
Ｂ．2
2e
Ｃ．2
e
Ｄ．2
2
e
7．设()f x '是函数()f x 的导函数，将()y f x =和()y f x '=的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ）
8．已知二次函数2
()f x ax bx c =++的导数为'()f x ，'(0)0f >，对于任意实数x 都有
()0f x ≥，则
(1)
'(0)
f f 的最小值为（ ） A ．3 B ．
52 C ．2 D ．32
9．设2
:()e ln 21x
p f x x x mx =++++在(0)+∞，内单调递增，:5q m -≥，则p 是q 的（ ）
Ａ．充分不必要条件 Ｂ．必要不充分条件 Ｃ．充分必要条件
Ｄ．既不充分也不必要条件
10． 函数)(x f 的图像如图所示，下列数值排序正确的是（ ）
（A ）)2()3()3()2(0/
/f f f f -<<< （B ） )2()2()3()3(0/
/f f f f <-<< （C ）)2()3()2()3(0/
/f f f f -<<< （D ）)3()2()2()3(0/
/f f f f <<-< O 1 2 3 4 x 二．填空题（本大题共4小题，共20分）
11．函数()ln (0)f x x x x =>的单调递增区间是＿＿＿＿．
12．已知函数3
()128f x x x =-+在区间[3,3]-上的最大值与最小值分别为,M m ，则
M m -=＿＿．
13．点P 在曲线3
2
3
+
-=x x y 上移动，设在点P 处的切线的倾斜角为为α，则α的取值范围是 14．已知函数53
123
-++=
ax x x y (1)若函数在()+∞∞-,总是单调函数，则a 的取值范围是 . (2)若函数在),1[+∞上总是单调函数，则a 的取值范围 . （3）若函数在区间（-3，1）上单调递减，则实数a 的取值范围是 .
三．解答题（本大题共4小题，共12+12+14+14+14+14=80分）
15．用长为18 cm 的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大最大体积是多少
16．设函数32
()2338f x x ax bx c =+++在1x =及2x =时取得极值．
（1）求a 、b 的值；
（2）若对于任意的[03]x ∈，，都有2
()f x c <成立，求c 的取值范围．
17．设函数3()32f x x x =-++分别在12x x 、处取得极小值、极大值.xoy 平面上点A B 、的
坐标分别为11()x f x （,）、22()x f x （,）
，该平面上动点P 满足?4PA PB =u u u r u u u r
,点Q 是点P 关于直线2(4)y x =-的对称点，.求 (Ⅰ)求点A B 、的坐标； (Ⅱ)求动点Q 的轨迹方程.
18. 已知函数32
()23 3.f x x x =-+ （1）求曲线()y f x =在点2x =处的切线方程；
（2）若关于x 的方程()0f x m +=有三个不同的实根，求实数m 的取值范围.
19．已知()R a x x a ax x f ∈+++-=14)1(3
)(23
（1）当1-=a 时，求函数的单调区间。 （2）当R a ∈时，讨论函数的单调增区间。
（3）是否存在负实数a ，使[]0,1-∈x ，函数有最小值－3
20．已知函数()2
a f x x x
=+，()ln g x x x =+，其中0a >．
（1）若1x =是函数()()()h x f x g x =+的极值点，求实数a 的值；
（2）若对任意的[]12,1x x e ∈，（e 为自然对数的底数）都有()1f x ≥()2g x 成立，求
实数a 的取值范围．
【文科测试解答】 一、选择题
1．()∴==,42)(222
x x x f ππ=?='x x f 242)(πx x f 28)(π=';
2．∴=?=-.)(x x
e x e x x
f []
=?-?='21)(x x x e e x e x f ， ()[]
1,012<∴>?-x e e x x x
选(A) 3.(B)数形结合
由()
b x b x x f -=-='2
2333)(,依题意，首先要求b>0, 所以()()
b x b x x f -+='3)(
由单调性分析，b x =
有极小值，由()1,0∈=b x 得.
5．解：与直线480x y +-=垂直的直线l 为40x y m -+=，即4
y x =在某一点的导数为4，而3
4y x '=，所以4
y x =在(1，1)处导数为4，此点的切线为430x y --=，故选A 6．（D ） 7．（D ） 8．（C ） 9．（B ）
10．B 设x=2,x=3时曲线上的点为AB,点A 处的切线为AT 点B 处的切线为BQ ，
T
=
-)2()3(f f ΘAB k f f =--2
3)
2()3( ,)3(BQ k f ='Θ,)2(AT k f =' 如图所示，切线BQ 的倾斜角小于
直线AB 的倾斜角小于 切线AT 的倾斜角 <∴BQ k 所以选B 11．1,e ??+∞???? 12．32 13．?? ??????? ?? ??πππ,4 32,0 14. (1).3)3(;3)2(;1-≤-≥≥a a a 三、解答题 15. 解：设长方体的宽为x （m ），则长为2x (m)，高为 ??? ? ? -=-= 230(m)35.44 1218＜＜x x x h . 故长方体的体积为 ).2 30() (m 69)35.4(2)(3322＜＜x x x x x x V -=-= 从而).1(18)35.4(1818)(2x x x x x x V -=--=' 令V ′（x ）＝0，解得x =0（舍去）或x =1，因此x =1. 当0＜x ＜1时，V ′（x ）＞0；当1＜x ＜ 3 2 时，V ′（x ）＜0， 故在x =1处V （x ）取得极大值，并且这个极大值就是V （x ）的最大值。 从而最大体积V ＝V ′（x ）＝9×12-6×13（m 3），此时长方体的长为2 m ，高为1.5 m. 答：当长方体的长为2 m 时，宽为1 m ，高为1.5 m 时，体积最大，最大体积为3 m 3。 16．解：（1）2 ()663f x x ax b '=++， 因为函数()f x 在1x =及2x =取得极值，则有(1)0f '=，(2)0f '=． 即6630241230a b a b ++=?? ++=?， ． 解得3a =-，4b =． （2）由（Ⅰ）可知，3 2 ()29128f x x x x c =-++， 2()618126(1)(2)f x x x x x '=-+=--． 当(01)x ∈，时，()0f x '>； 当(12)x ∈，时，()0f x '<； 当(23)x ∈，时，()0f x '>． 所以，当1x =时，()f x 取得极大值(1)58f c =+，又(0)8f c =，(3)98f c =+． 则当[]03x ∈，时，()f x 的最大值为(3)98f c =+． 因为对于任意的[]03x ∈，，有2 ()f x c <恒成立， 所以 2 98c c +<， 解得 1c <-或9c >， 因此c 的取值范围为(1)(9)-∞-+∞U ，，． 17．解: (1)令033)23()(2 3=+-='++-='x x x x f 解得11-==x x 或 当1- 所以,函数在1-=x 处取得极小值,在1=x 取得极大值,故 1,121=-=x x ,4)1(,0)1(==-f f 所以, 点A 、B 的坐标为)4,1(),0,1(B A -. (2) 设),(n m p ，),(y x Q ，()()4414,1,122=-+-=--?---=?n n m n m n m PB PA 21-=PQ k ，所以21-=--m x n y ， 又PQ 的中点在)4(2-=x y 上，所以?? ? ??-+=+4222m x n y 消去n m ,得()()9282 2 =++-y x . 另法：点P 的轨迹方程为(),922 2 =-+n m 其轨迹为以（0，2）为圆心，半径为3的圆； 设点（0，2）关于y=2(x-4)的对称点为(a,b),则点Q 的轨迹为以(a,b),为圆心，半径为3的圆，由 2102-=--a b ，?? ? ??-+=+420222a b 得a=8,b=-2 18．解（1）2 ()66,(2)12,(2)7,f x x x f f ''=-== ………………………2分 ∴曲线()y f x =在2x =处的切线方程为712(2)y x -=-，即12170x y --=；……4分 （2）记3 2 2 ()233,()666(1)g x x x m g x x x x x '=-++=-=- 令()0,0g x x '==或1. …………………………………………………………6分 则,(),()x g x g x '的变化情况如下表 ………………………10分 由()g x 的简图知，当且仅当(0)0 ,(1)0g g >?? 即30,3220 m m m +>?-<<-?+ 所以若过点A 可作曲线()y f x =的三条不同切线，m 的范围是(3,2)--.…………14分 19．（1）(),2,-∞-∈x 或(),,2+∞∈x )(x f 递减; (),2,2-∈x )(x f 递增; （2）1、当,0=a (), 2,-∞-∈x )(x f 递增;2、当,0 ? ??∈a x )(x f 递增;3、当,10< ,,2?? ? ??+∞∈a x )(x f 递增; 当,1=a (),,+∞∞-∈x )(x f 递增;当,1>a ,2,?? ? ? ?∞-∈a x 或(),,2+∞∈x ) (x f 递增;（3）因,0 1、当,2,12-≥?-≤a a [],2,20,1??? ???-∈a x )(x f 递增，3)1()(min -=-=f x f ，解得,243->-=a 2、当,2,12-≤?->a a 由单调性知：3)2 ()(min -==a f x f ，化简得：01332=-+a a ，解得 ,2621 3->±-= a 不合要求；综上，4 3-=a 为所求。 20．（1）解法1：∵()2 2ln a h x x x x =++，其定义域为()0 +∞，， ∴()221 2a h x x x '=-+． ∵1x =是函数()h x 的极值点，∴()10h '=，即2 30a -=． ∵0a >，∴a = 经检验当a =1x =是函数()h x 的极值点， ∴a = 解法2：∵()2 2ln a h x x x x =++，其定义域为()0+∞，， ∴()221 2a h x x x '=-+． 令()0h x '=，即22120a x x -+=，整理，得22 20x x a +-=． ∵2 180a ?=+>， ∴()0h x '=的两个实根1x =（舍去），2x =， 当x 变化时，()h x ，()h x '的变化情况如下表： 1=，即23a =， ∵0a >，∴a = （2）解：对任意的[]12,1x x e ∈，都有()1f x ≥()2g x 成立等价于对任意的 []12,1x x e ∈，都有()min f x ????≥()max g x ????． 当x ∈［1，e ］时，()1 10g x x '=+>． ∴函数()ln g x x x =+在[]1e ，上是增函数． ∴()()max 1g x g e e ==+???? ． ∵()()()222 1x a x a a f x x x +-'=-=，且[]1,x e ∈，0a >． ①当01a <<且x ∈［1，e ］时，()()()2 0x a x a f x x +-'= >， ∴函数()2 a f x x x =+在［1，e ］上是增函数， ∴()()2 min 11f x f a ==+????. 由2 1a +≥1e +，得a 又01a <<，∴a 不合题意． ②当1≤a ≤e 时， 若1≤x ＜a ，则()()()2 0x a x a f x x +-'= <， 若a ＜x ≤e ，则()()()2 0x a x a f x x +-'= >． ∴函数()2 a f x x x =+在[)1,a 上是减函数，在(]a e ，上是增函数． ∴()()min 2f x f a a ==????. 由2a ≥1e +，得a ≥1 2 e +， 又1≤a ≤e ，∴ 1 2 e +≤a ≤e ． ③当a e >且x ∈［1，e ］时，()()()2 x a x a f x x +-'= <， ∴函数()2 a f x x x =+在[]1e ，上是减函数． ∴()()2 min a f x f e e e ==+????. 由2 a e e +≥1e +，得a ， 又a e >，∴a e >． 综上所述，a 的取值范围为1,2e +?? +∞???? ． 导数练习题 班 级 姓名 一、选择题 1．当自变量从x 0变到x 1时函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数( ) A ．在区间[x 0，x 1]上的平均变化率 B ．在x 0处的变化率 C ．在x 1处的变化量 D ．在区间[x 0，x 1]上的导数 2．已知函数y ＝f (x )＝x 2 ＋1，则在x ＝2，Δx ＝0.1时，Δy 的值为( ) A ．0.40 B ．0.41 C ．0.43 D ．0.44 3．函数f (x )＝2x 2－1在区间(1,1＋Δx )上的平均变化率Δy Δx 等于( ) A ．4 B ．4＋2Δx C ．4＋2(Δx )2 D ．4x 4．如果质点M 按照规律s ＝3t 2 运动，则在t ＝3时的瞬时速度为( ) A ． 6 B ．18 C ．54 D ．81 5．已知f (x )＝－x 2＋10，则f (x )在x ＝32处的瞬时变化率是( ) A ．3 B ．－3 C ． 2 D ．－2 6．设f ′(x 0)＝0，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线( ) A ．不存在 B ．与x 轴平行或重合 C ．与x 轴垂直 D ．与x 轴相交但不垂直 7．曲线y ＝－1 x 在点(1，－1)处的切线方程 为( ) A ．y ＝x －2 B ．y ＝x C ．y ＝x ＋ 2 D ．y ＝－x －2 8．已知曲线y ＝2x 2上一点A (2,8)，则A 处的切线斜率为( ) A ．4 B ．16 C ．8 D ．2 9．下列点中，在曲线y ＝x 2上，且在该点 处的切线倾斜角为π 4的是( ) A ．(0,0) B ．(2,4) C ．(14，1 16) D ．(12，1 4) 10．若曲线y ＝x 2＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线方程是x －y ＋1＝0，则( ) A ．a ＝1，b ＝ 1 B ．a ＝－1，b ＝1 C ．a ＝1，b ＝－ 1 D ．a ＝－1，b ＝－1 11．已知f (x )＝x 2，则f ′(3)＝( ) A ．0 B ．2x C ． 6 D ．9 12．已知函数f (x )＝1 x ，则f ′(－3)＝( ) A ． 4 B.1 9 C ．－14 D ．－1 9 13．函数y ＝x 2 x ＋3 的导数是( ) 3 B 10 3 C 16 3 D 13 = 2 导数概念及其几何意义、导数的运算 一、选择题： 1 已知 f ( x ) = ax 3 + 3x 2 + 2 ，若 f '(-1) = 4 ，则 a 的值等于 A 19 3 2 已知直线 y = kx + 1 与曲线 y = x 3 + ax + b 切于点（1，3），则 b 的值为 A 3 B -3 C 5 D -5 3 函数 y （x + 2a ）(x-a ) 的导数为 A 2( x 2 - a 2 ) B 3(x 2 + a 2 ) C 3(x 2 - a 2 ) D 2( x 2 + a 2 ) 1 4 4 曲线 y = x 3 + x 在点 (1, ) 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为 3 3 A 1 2 1 2 B C D 9 9 3 3 5 已知二次函数 y = ax 2 + bx + c 的导数为 f '( x ), f '(0) > 0 ，对于任意实数 x ，有 f ( x ) ≥ 0 ，则 最小值为 f (1) f '(0) 的 A 3 B 5 2 C 2 D 3 2 6 已知函数 f ( x ) 在 x = 1 处的导数为 3，则 f ( x ) 的解析式可能为 A C f ( x ) = ( x -1)2 + 3(x - 1) f ( x ) = 2( x - 1)2 B f ( x ) = 2( x - 1) D f ( x ) = x - 1 7 下列求导数运算正确的是 A 1 1 ( x + )' = 1 + x x 2 B (log x )' = 2 1 x ln 2 C (3x )' = 3x ? log e D ( x 2 cos x )' = -2 x sin x 3 8 曲线 y = A π 6 1 3 x 3 - x 2 + 5 在 x = 1 处的切线的倾斜角为 3π π π B C D 4 4 3 9 曲线 y = x 3 - 3x 2 + 1 在点 (1,-1) 处的切线方程为 A y = 3x - 4 B y = -3x + 2 C y = -4 x + 3 D y = 4 x - 5 10 设函数 y = x sin x + cos x 的图像上的点 ( x , y ) 处的切线斜率为 k ，若 k = g ( x ) ，则函数 k = g ( x ) 的图导数练习题 含答案
导数练习题(含答案).
(完整word版)导数单元测试(含答案)
- 高中数学导数单元测试试题(附答案)
- (完整版)高二数学选修2-2导数单元测试题(有答案)
- (完整版)高二数学导数单元测试题(有答案)
- 《导数及其应用》文科单元测试题(详细答案)
- (完整版)导数测试题(含答案)
- 导数单元测试题及答案理科
- 导数单元测试题(含答案)
- 《导数及其应用》单元测试题(理科)
- 导数单元测试题.docx
- 导数单元测试(含答案)
- (完整版)导数单元测试(含答案)
- 导数单元测试题(含答案)
- (完整版)导数单元测试题理及答案
- 高二数学导数单元测试题(有答案)
- 导数单元测试(含答案)
- 《导数及其应用》单元测试题(文科)
- (完整版)导数测试题(含答案)
- (完整版)人教版导数测试题含答案
- 导数单元测试题(含答案)
- 《导数及其应用》单元测试题(详细答案)