导数单元测试题及答案理科
《导数及其应用》单元测试题（理科）
1．函数()2
2)(x x f π=的导数是（ ）
(A) x x f π4)(=' (B) x x f 2
4)(π=' (C) x x f 2
8)(π=' (D) x x f π16)(=' 2．函数x
e x x
f -?=)(的一个单调递增区间是（ ）
(A)[]0,1- (B) []8,2 (C) []2,1 (D) []2,0
3．已知对任意实数x ，有()()()()f x f x g x g x -=--=，，且0x >时，()0()0f x g x ''>>，，则0x <时（ ） A ．()0()0f x g x ''>>， B ．()0()0f x g x ''><， C ．()0()0f x g x ''<>，
D ．()0()0f x g x ''<<，
4．
=-+?
dx x
x x )1
11(322
1
（ ） (A)8
7
2ln +
(B)872ln - (C)452ln + (D)812ln +
5．曲线1
2
e x y =在点2
(4e )，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）
Ａ．
2
9e 2
Ｂ．24e
Ｃ．2
2e
Ｄ．2
e
6．设()f x '是函数()f x 的导函数，将()y f x =和()y f x '=的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ）
7．已知二次函数2
()f x ax bx c =++的导数为'()f x ，'(0)0f >，对于任意实数x 都有()0f x ≥，则(1)
'(0)
f f 的最小值为（ ）
A ．3
B ．
52 C ．2 D ．32
8．设2:()e ln 21x
p f x x x mx =++++在(0)+∞，
内单调递增，:5q m -≥，则p 是q 的（ ） Ａ．充分不必要条件 Ｂ．必要不充分条件 Ｃ．充分必要条件
Ｄ．既不充分也不必要条件
二．填空题（本大题共6小题，共30分）
9．用长为18 cm 的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，则该长方体的长、宽、高各为 时，其体积最大.
10．将抛物线2
2
x y =和直线1=y 围成的图形绕y 轴旋转一周得到的几何体
的体积等于
11．已知函数3
()128f x x x =-+在区间[3,3]-上的最大值与最小值分别为,M m ，则M m -=＿＿． 12．对正整数n ，设曲线)1(x x y n -=在x ＝2处的切线与y 轴交点的纵坐标为n a ，则数列1n a n ??
??+??
的前n 项和的公式是 13．点P 在曲线3
2
3+-=x x y 上移动，设在点P 处的切线的倾斜角为为α，则α的取值范围是 14．已知函数53
123
-++=
ax x x y (1)若函数在()+∞∞-,总是单调函数，则a 的取值范围是 . (2)若函数在),1[+∞上总是单调函数，则a 的取值范围 .
（3）若函数在区间（-3，1）上单调递减，则实数a 的取值范围是 .
三．解答题（本大题共6小题，共12+12+14+14+14+14=80分） 15．设函数()e e x
x
f x -=-． （1）证明：()f x 的导数()2f x '≥；
（2）若对所有0x ≥都有()f x ax ≥，求a 的取值范围．
16．设函数3()32f x x x =-++分别在12x x 、处取得极小值、极大值.xoy 平面上点A B 、的坐标分别为11()x f x （,）
、22()x f x （,），该平面上动点P 满足?4PA PB =u u u r u u u r ,点Q 是点P 关于直线2(4)y x =-的对称点，.求
(1)求点A B 、的坐标； (2)求动点Q 的轨迹方程.
17．已知函数c bx x ax x f -+=4
4
ln )((x>0)在x = 1处取得极值-3-c ，其中a,b,c 为常数。 （1）试确定a,b 的值；
（2）讨论函数f(x)的单调区间；
（3）若对任意x>0，不等式2
2)(c x f -≥恒成立，求c 的取值范围。
18．已知()R a x x a ax x f ∈+++-=14)1(3
)(23
（1）当1-=a 时，求函数的单调区间。
（2）当R a ∈时，讨论函数的单调增区间。
（3）是否存在负实数a ，使[]0,1-∈x ，函数有最小值－3？
19．已知函数3
()3.f x x x =- （1）求曲线()y f x =在点2x =处的切线方程；
（2）若过点(1,)(2)A m m ≠-可作曲线()y f x =的三条切线，求实数m 的取值范围.
20．已知函数()2
a f x x x
=+，()ln g x x x =+，其中0a >．
（1）若1x =是函数()()()h x f x g x =+的极值点，求实数a 的值；
（2）若对任意的[]12,1x x e ∈，（e 为自然对数的底数）都有()1f x ≥()2g x 成立，求实数a 的取值范围．
【理科测试解答】
一、选择题
1．()∴==,42)(222
x x x f ππ=?='x x f 242)(πx x f 28)(π=';
或()()=?='??='ππππ24222)(x x x x f x 28π（理科要求：复合函数求导） 2．∴=?=-.)(x x
e x e
x x f []
=?-?='21)(x x x e e x e x f ， ()[]
1,012<∴>?-x e e x x x
选(A) 或().1,0.0)1(11)(<∴>>?-=-??+?='----x e e x e x e x f x x x x Θ 3.(B)数形结合
4．（D ） 5．（D ） 6．（D ） 7．（C ） 8．（B ） 二、填空题
9．2cm,1cm,1.5cm ; 设长方体的宽为x （m ），则长为2x (m)，高为
??? ?
?
-=-=
230(m)35.44
1218＜＜x x x
h .
故长方体的体积为
).2
30()
(m 69)35.4(2)(3322＜＜x x x x x x V -=-=
从而).1(18)35.4(1818)(2x x x x x x V -=--='
令V ′（x ）＝0，解得x =0（舍去）或x =1，因此x =1. 当0＜x ＜1时，V ′（x ）＞0；当1＜x ＜
3
2
时，V ′（x ）＜0， 故在x =1处V （x ）取得极大值，并且这个极大值就是V （x ）的最大值。
从而最大体积V ＝V ′（x ）＝9×12-6×13（m 3），此时长方体的长为2 m ，高为1.5 m. 10．π.==?dy x S 1
02π ().012210πππ==?y dy y （图略） 11．32 12．()()/
112
22,:222(2)n n n x y n y n x --==-++=-+-切线方程为，令x=0，求出切线与y 轴交点的纵坐标为
()012n y n =+，所以21n n a n =+，则数列1n a n ??
??+??
的前n 项和()12122212n
n n S +-=
=-- 13.??
???????????πππ,432,0 14. (1).3)3(;3)2(;1-≤-≥≥a a a 三、解答题
15．解：（1）()f x 的导数()e e x
x
f x -'=+．
由于e e 2x -x +=≥，故()2f x '≥． （当且仅当0x =时，等号成立）． （2）令()()g x f x ax =-，则
()()e e x x g x f x a a -''=-=+-，
（ⅰ）若2a ≤，当0x >时，()e e 20x
x
g x a a -'=+->-≥，
故()g x 在(0)+，∞上为增函数，
所以，0x ≥时，()(0)g x g ≥，即()f x ax ≥．
（ⅱ）若2a >，方程()0g x '=
的正根为1ln x =
此时，若1(0)x x ∈，，则()0g x '<，故()g x 在该区间为减函数．
所以，1(0)x x ∈，时，()(0)0g x g <=，即()f x ax <，与题设()f x ax ≥相矛盾． 综上，满足条件的a 的取值范围是(]2-∞，．
16．解：（1）由题意知(1)3f c =--，因此3b c c -=--，从而3b =-． 又对()f x 求导得
3431
()4ln 4f x ax x ax bx x '=++g
3(4ln 4)x a x a b =++．
由题意(1)0f '=，因此40a b +=，解得12a =．
（2）由（I ）知3
()48ln f x x x '=（0x >），令()0f x '=，解得1x =． 当01x <<时，()0f x '<，此时()f x 为减函数； 当1x >时，()0f x '>，此时()f x 为增函数．
因此()f x 的单调递减区间为(01)，，而()f x 的单调递增区间为(1)+，∞．
（3）由（II ）知，()f x 在1x =处取得极小值(1)3f c =--，此极小值也是最小值，要使2
()2f x c -≥（0x >）恒成立，只需2
32c c ---≥．
即2
230c c --≥，从而(23)(1)0c c -+≥， 解得3
2
c ≥
或1c -≤． 所以c 的取值范围为3(1]2
??-∞-+∞????
U ，
， 17．解: (1)令033)23()(2
3=+-='++-='x x x x f 解得11-==x x 或
当1-
所以,函数在1-=x 处取得极小值,在1=x 取得极大值,故1,121=-=x x ,4)1(,0)1(==-f f 所以, 点A 、B 的坐标为)4,1(),0,1(B A -.
(2) 设),(n m p ，),(y x Q ，()()4414,1,122=-+-=--?---=?n n m n m n m
21-=PQ k ，所以21-=--m x n y ，又PQ 的中点在)4(2-=x y 上，所以??
?
??-+=+4222m x n y 消去n m ,得()()9282
2
=++-y x .
另法：点P 的轨迹方程为(),922
2
=-+n m 其轨迹为以（0，2）为圆心，半径为3的圆；设点（0，2）关于y=2(x-4)
的对称点为(a,b),则点Q 的轨迹为以(a,b),为圆心，半径为3的圆，由2102-=--a b ，??
?
??-+=+420222a b 得a=8,b=-2
18（1）(),2,-∞-∈x 或(),,2+∞∈x )(x f 递减; (),2,2-∈x )(x f 递增; （2）1、当,0=a
(),
2,-∞-∈x )(x f 递增;2、当,0 ? ??∈a x )(x f 递增;3、当,10< ? ??+∞∈a x )(x f 递增; 当 ,1=a (), ,+∞∞-∈x )(x f 递增;当,1>a ,2,?? ? ? ?∞-∈a x 或(),,2+∞∈x )(x f 递增;（3）因,0 小值点是否在区间[-1,0]上是分类“契机”： 1、当,2,12-≥?-≤a a [],2,20,1??? ???-∈a x )(x f 递增，3)1()(min -=-=f x f ，解得,243->-=a 2、当,2,12-≤?->a a 由单调性知：3)2 ()(min -==a f x f ，化简得：01332=-+a a ，解得 ,2621 3->±-= a 不合要求；综上，4 3-=a 为所求。 19．解（1）23 ()33,(2)9,(2)2322f x x f f ''=-==-?= ………………………2分 ∴曲线()y f x =在2x =处的切线方程为29(2)y x -=-，即9160x y --=；………4分 （2）过点(1,)A m 向曲线()y f x =作切线，设切点为00(,)x y 则32 000003,()3 3.y x x k f x x '=-==- 则切线方程为32 0000(3)(33)()y x x x x x --=--………………………………………6分 整理得32 002330(*)x x m -++= ∵ 过点(1,)(2)A m m ≠-可作曲线()y f x =的三条切线 ∴方程（*）有三个不同实数根. 记322 ()233,()666(1)g x x x m g x x x x x '=-++=-=- 令()0,0g x x '==或1. …………………………………………………………10分 则,(),()x g x g x '的变化情况如下表 ………………………12分 由()g x 的简图知，当且仅当(0)0 ,(1)0g g >?? 即30,3220 m m m +>?-<<-?+ 所以若过点A 可作曲线()y f x =的三条不同切线，m 的范围是(3,2)--.…………14分 20．（1）解法1：∵()2 2ln a h x x x x =++，其定义域为()0 +∞，， ∴()221 2a h x x x '=-+． ∵1x =是函数()h x 的极值点，∴()10h '=，即2 30a -=． ∵0a >，∴a = 经检验当a =1x =是函数()h x 的极值点， ∴a = 解法2：∵()2 2ln a h x x x x =++，其定义域为()0+∞，， ∴()221 2a h x x x '=-+． 令()0h x '=，即22120a x x -+=，整理，得22 20x x a +-=． ∵2 180a ?=+>， ∴()0h x '=的两个实根114x -=（舍去），214 x -+=， 当x 变化时，()h x ，()h x '的变化情况如下表： 1=，即23a =， ∵0a >，∴a = （2）解：对任意的[]12,1x x e ∈，都有()1f x ≥()2g x 成立等价于对任意的[]12,1x x e ∈，都有()min f x ????≥ ()max g x ????． 当x ∈［1，e ］时，()1 10g x x '=+>． ∴函数()ln g x x x =+在[]1e ，上是增函数． ∴()()max 1g x g e e ==+???? ． ∵()()()222 1x a x a a f x x x +-'=-=，且[]1,x e ∈，0a >． ①当01a <<且x ∈［1，e ］时，()()()2 x a x a f x x +-'=>， ∴函数()2 a f x x x =+在［1，e ］上是增函数， ∴()()2 min 11f x f a ==+????. 由2 1a +≥1e +，得a 又01a <<，∴a 不合题意． ②当1≤a ≤e 时， 若1≤x ＜a ，则()()()2 x a x a f x x +-'= <， 若a ＜x ≤e ，则()()()2 x a x a f x x +-'=>． ∴函数()2 a f x x x =+在[)1,a 上是减函数，在(]a e ，上是增函数． ∴()()min 2f x f a a ==????. 由2a ≥1e +，得a ≥1 2 e +， 又1≤a ≤e ，∴ 1 2 e +≤a ≤e ． ③当a e >且x ∈［1，e ］时，()()()2 0x a x a f x x +-'= <， ∴函数()2 a f x x x =+在[]1e ，上是减函数． ∴()()2 min a f x f e e e ==+????. 由2 a e e +≥1e +，得a 又a e >，∴a e >． 综上所述，a 的取值范围为1,2e +?? +∞???? ． 导数练习题 班 级 姓名 一、选择题 1．当自变量从x 0变到x 1时函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数( ) A ．在区间[x 0，x 1]上的平均变化率 B ．在x 0处的变化率 C ．在x 1处的变化量 D ．在区间[x 0，x 1]上的导数 2．已知函数y ＝f (x )＝x 2 ＋1，则在x ＝2，Δx ＝0.1时，Δy 的值为( ) A ．0.40 B ．0.41 C ．0.43 D ．0.44 3．函数f (x )＝2x 2－1在区间(1,1＋Δx )上的平均变化率Δy Δx 等于( ) A ．4 B ．4＋2Δx C ．4＋2(Δx )2 D ．4x 4．如果质点M 按照规律s ＝3t 2 运动，则在t ＝3时的瞬时速度为( ) A ． 6 B ．18 C ．54 D ．81 5．已知f (x )＝－x 2＋10，则f (x )在x ＝32处的瞬时变化率是( ) A ．3 B ．－3 C ． 2 D ．－2 6．设f ′(x 0)＝0，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线( ) A ．不存在 B ．与x 轴平行或重合 C ．与x 轴垂直 D ．与x 轴相交但不垂直 7．曲线y ＝－1 x 在点(1，－1)处的切线方程 为( ) A ．y ＝x －2 B ．y ＝x C ．y ＝x ＋ 2 D ．y ＝－x －2 8．已知曲线y ＝2x 2上一点A (2,8)，则A 处的切线斜率为( ) A ．4 B ．16 C ．8 D ．2 9．下列点中，在曲线y ＝x 2上，且在该点 处的切线倾斜角为π 4的是( ) A ．(0,0) B ．(2,4) C ．(14，1 16) D ．(12，1 4) 10．若曲线y ＝x 2＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线方程是x －y ＋1＝0，则( ) A ．a ＝1，b ＝ 1 B ．a ＝－1，b ＝1 C ．a ＝1，b ＝－ 1 D ．a ＝－1，b ＝－1 11．已知f (x )＝x 2，则f ′(3)＝( ) A ．0 B ．2x C ． 6 D ．9 12．已知函数f (x )＝1 x ，则f ′(－3)＝( ) A ． 4 B.1 9 C ．－14 D ．－1 9 13．函数y ＝x 2 x ＋3 的导数是( ) 3 B 10 3 C 16 3 D 13 = 2 导数概念及其几何意义、导数的运算 一、选择题： 1 已知 f ( x ) = ax 3 + 3x 2 + 2 ，若 f '(-1) = 4 ，则 a 的值等于 A 19 3 2 已知直线 y = kx + 1 与曲线 y = x 3 + ax + b 切于点（1，3），则 b 的值为 A 3 B -3 C 5 D -5 3 函数 y （x + 2a ）(x-a ) 的导数为 A 2( x 2 - a 2 ) B 3(x 2 + a 2 ) C 3(x 2 - a 2 ) D 2( x 2 + a 2 ) 1 4 4 曲线 y = x 3 + x 在点 (1, ) 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为 3 3 A 1 2 1 2 B C D 9 9 3 3 5 已知二次函数 y = ax 2 + bx + c 的导数为 f '( x ), f '(0) > 0 ，对于任意实数 x ，有 f ( x ) ≥ 0 ，则 最小值为 f (1) f '(0) 的 A 3 B 5 2 C 2 D 3 2 6 已知函数 f ( x ) 在 x = 1 处的导数为 3，则 f ( x ) 的解析式可能为 A C f ( x ) = ( x -1)2 + 3(x - 1) f ( x ) = 2( x - 1)2 B f ( x ) = 2( x - 1) D f ( x ) = x - 1 7 下列求导数运算正确的是 A 1 1 ( x + )' = 1 + x x 2 B (log x )' = 2 1 x ln 2 C (3x )' = 3x ? log e D ( x 2 cos x )' = -2 x sin x 3 8 曲线 y = A π 6 1 3 x 3 - x 2 + 5 在 x = 1 处的切线的倾斜角为 3π π π B C D 4 4 3 9 曲线 y = x 3 - 3x 2 + 1 在点 (1,-1) 处的切线方程为 A y = 3x - 4 B y = -3x + 2 C y = -4 x + 3 D y = 4 x - 5 10 设函数 y = x sin x + cos x 的图像上的点 ( x , y ) 处的切线斜率为 k ，若 k = g ( x ) ，则函数 k = g ( x ) 的图 高二数学导数单元测试题（有答案） （一）．选择题 （1）曲线32 31y x x =-+在点（1，-1）处的切线方程为（ ） A ．34y x =- B 。32y x =-+ C 。43y x =-+ D 。45y x =- a (2) 函数y ＝a x 2 ＋1的图象与直线y ＝x 相切，则a ＝ ( ) A ． 18 B ．41 C ．2 1 D ．1 (3) 函数13)(2 3 +-=x x x f 是减函数的区间为 ( ) A ．),2(+∞ B ．)2,(-∞ C ．)0,(-∞ D ．（0，2） (4) 函数,93)(2 3 -++=x ax x x f 已知3)(-=x x f 在时取得极值，则a = ( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 (5) 在函数x x y 83 -=的图象上，其切线的倾斜角小于 4 π 的点中，坐标为整数的点的个数是 ( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 （6）函数3 ()1f x ax x =++有极值的充要条件是 （ ） A ．0a > B ．0a ≥ C ．0a < D ．0a ≤ （7）函数3 ()34f x x x =- （[]0,1x ∈的最大值是（ ） A ． 1 2 B ． -1 C ．0 D ．1 （8）函数)(x f =x （x －1）（x －2）…（x －100）在x ＝0处的导数值为（ ） A 、0 B 、1002 C 、200 D 、100！ （9）曲线313y x x = +在点413?? ???，处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（ ） Ａ．19 Ｂ．29 Ｃ．13 Ｄ．23 （二）．填空题 （1）．垂直于直线2x+6y ＋1=0且与曲线y = x 3 ＋3x －5相切的直线方程是 。 （2）．设 f ( x ) = x 3 － 2 1x 2 －2x ＋5，当]2,1[-∈x 时，f ( x ) < m 恒成立，则实数m 的取值范围为 . （3）．函数y = f ( x ) = x 3＋ax 2＋bx ＋a 2 ，在x = 1时，有极值10，则a = ,b = 。 （4）．已知函数32 ()45f x x bx ax =+++在3 ,12x x ==-处有极值，那么a = ；b = （5）．已知函数3 ()f x x ax =+在R 上有两个极值点，则实数a 的取值范围是 （6）．已知函数32 ()33(2)1f x x ax a x =++++ 既有极大值又有极小值，则实数a 的取值导数练习题 含答案
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