函数的奇偶性与周期性

§2.3 函数的奇偶性与周期性

考点梳理

1．一般地，如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有 ，那么函数f (x )就叫做偶函数．

一般地，如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有 ，那么函数f (x )就叫做奇函数．

2．偶函数的图象关于 对称；奇函数的图象关于 对称．

3．具有奇偶性函数的定义域的特点

具有奇偶性函数的定义域关于 对称，即“定义域关于 对称”是“一个函数具有奇偶性”的 条件。特别地，奇函数若在x=0时有意义，则f(0)=0.偶函数则不一定。

4．周期函数的概念 (1)周期、周期函数

对于函数f (x )，如果存在一个 T ，使得当x 取定义域内的 值时，都有 ，那么函数f (x )就叫做周期函数．T 叫做这个函数的周期．

(2)最小正周期

如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个 的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期．

5．函数奇偶性与单调性之间的关系

(1)若函数f (x )为奇函数，且在[a ，b ]上为增(减)函数，则f (x )在[－b ，－a ]上为 ；

(2)若函数f (x )为偶函数，且在[a ，b ]上为增(减)函数，则f (x )在[－b ，－a ]上为 ．

6．奇、偶函数的“运算”(共同定义域上) 奇±奇＝ ，偶±偶＝ ，奇×奇＝ ，偶×偶＝ ，奇×偶＝ .

7．函数的对称性

如果函数f (x )，x ∈D ，满足?x ∈D ，恒有f (a

＋x )＝f (b －x )，那么函数的图象有对称轴x ＝a ＋b

2

；

如果函数f (x )，x ∈D ，满足?x ∈D ，恒有f (a －x )＝

－f (b ＋x )，那么函数的图象有对称中心????

a ＋

b 2，0.

8.函数的周期性

如果函数f (x )，x ∈D ，满足?x ∈D ，恒有f (a ＋x )＝f (b ＋x )，那么函数f (x )周期为｜a ﹣b ｜.

自查自纠：

1．(1)f (－x )＝f (x ) (2)f (－x )＝－f (x ) 2．y 轴 原点

3．原点对称 原点对称 必要不充分

4．(1)非零常数 每一个 f (x ＋T )＝f (x ) (2)最小

5．(1)增(减)函数 (2)减(增)函数 6．奇 偶 偶 偶 奇

典型例题讲练

类型一 函数奇偶性的判断

例题1： 判断下列函数的奇偶性：

(1)f (x )＝(x ＋1)1－x

1＋x

；

(2)f (x )＝????

?－x 2＋2x ＋1，x ＞0，x 2＋2x －1，x ＜0；

(3)f(x)=

(4)f (x )＝log a (x ＋x 2＋1)(a >0且a ≠1)． 解：(1)定义域要求1－x

1＋x ≥0，∴－1＜x ≤1，

∴f (x )的定义域不关于原点对称， ∴f (x )不具有奇偶性．

(2)解法一(定义法)：当x ＞0时，f (x )＝－x 2＋2x ＋1，－x ＜0，f (－x )＝(－x )2＋2(－x )－1＝x 2－2x －1＝－f (x )；

当x ＜0时，f (x )＝x 2＋2x －1，－x ＞0，

f (－x )＝－(－x )2

＋2(－x )＋1＝－x 2－2x ＋1＝

－f (x )．

∴f (x )为奇函数．

解法二(图象法)：作出函数f (x )的图象，由图象关于原点对称的特征知函数f (x )为奇函数．

(3)奇函数

(4)∵函数的定义域为R ， 又∵f (－x )＋f (x ) ＝log a [－x ＋（－x ）2＋1]＋log a (x ＋

x 2＋1) ＝log a (x 2＋1－x )＋log a (x 2＋1＋x )

＝log a [(

x 2＋1－x )(

x 2＋1＋x )]

＝log a (x 2＋1－x 2)＝log a 1＝0.

即f (－x )＝－f (x )，∴f (x )为奇函数．

变式1： (1)(2015·安徽模拟)若函数f (x )＝k －2x

1＋k ·2x

在定义域上为奇函数，则实数k ＝________.

解：∵f (－x )＝k －2－x

1＋k ·2－x ＝k ·2x －1

2x ＋k ，

∴f (－x )＋f (x ) ＝（k －2x

）（2x

＋k ）＋（k ·2x

－1）（1＋k ·2x

）

（1＋k ·2x

）（2x

＋k ）

＝

（k 2－1）（22x

＋1）

（1＋k ·2x

）（2x

＋k ）

.

由f (－x )＋f (x )＝0对定义域中的x 均成立可得k 2＝1，∴k ＝±1.故填±1.

类型二 利用函数性质求解析式

例题2： 已知函数f (x )满足f (x )·f (x ＋2)＝13.

(1)求证：f (x )是周期函数； (2)若f (1)＝2，求f (99)的值；

(3)若当x ∈[0，2]时，f (x )＝x ，试求x ∈[4，8]时函数f (x )的解析式．

解：(1)证明：由题意知f (x )≠0，则f (x ＋2)＝13f （x ）.用x ＋2代替x 得f (x ＋4)＝13

f （x ＋2）＝f (x )，故f (x )为周期函数，且4为f (x )的周期．

(2)若f (1)＝2，则f (99)＝f (24×4＋3)＝f (3)＝13f （1）＝13

2

. (3)当x ∈[4，6]时，x －4∈[0，2]，则f (x －4)＝x －4，又周期为4，所以f (x )＝f (x －4)＝x －4.

当x ∈(6，8]时，x －6∈(0，2]，则f (x －6)＝x －6，根据周期为4，则f (x ＋2)＝f (x －6)＝x －6.

又f (x )·f (x ＋2)＝13，

所以f (x )＝13f （x ＋2）＝13

x －6

.

所以解析式为f (x )＝???x －4，4≤x ≤6，

13x －6

，6＜x ≤8.

（规律性：若f (x ＋a )·f (x )＝b (常数)，则2a 为f (x )的周期(a ＞0)；同理，f (x ＋a )＝－f (x )或f (x

＋a )＝1f （x ）或f (x ＋a )＝－1

f （x ）

，均可推得

2a 为f (x )的周期(a ＞0)）．

变式2： (2015·山东模拟)设f (x )是定义域为R 的周期函数，最小正周期为2，且f (1＋x )＝f (1－x )．当－1≤x ≤0时，f (x )＝－x .

(1)判定f (x )的奇偶性；

(2)试求出函数f (x )在区间[－1，2]上的表达式．

解：(1)∵f (1＋x )＝f (1－x )，∴f (－x )＝f (2＋x )． 又f (x ＋2)＝f (x )，∴f (－x )＝f (x )， ∴f (x )是偶函数．

(2)当x ∈[0，1]时，－x ∈[－1，0]，

则f (x )＝f (－x )＝x ；

进而当x ∈[1，2]时，x －2∈[－1，0]， f (x )＝f (x －2)＝－(x －2)＝－x ＋2.

故所求为f (x )＝????

?－x ， x ∈[－1，0），

x ， x ∈[0，1），－x ＋2，x ∈[1，2].

类型三 奇偶性与单调性的综合

例题3： 设定义在[－2，2]上的偶函数f (x )在区间[0，2]上单调递减，若f (1－m )＜f (m )，则实数m 的取值范围是________________．

解：∵f (x )是偶函数，∴f (－x )＝f (x )＝f (|x |)． ∴f (1－m )＜f (m )?f (|1－m |)＜f (|m |)． 又当x ∈[0，2]时，f (x )是减函数，

∴?????|1－m |＞|m |，－2≤1－m ≤2，－2≤m ≤2.

解得－1≤m ＜1

2

.故填

?

???－1，12. 变式3: 设函数f (x )＝x 3＋x ，若0≤θ≤π2

时，

f (m cos θ)＋f (1－m )>0恒成立，求实数m 的取值范围．

解：f (x )＝x 3＋x 是R 上的奇函数与增函数，故由f (m cos θ)＋f (1－m )>0得f (m cos θ)>－f (1－m )＝f (m －1)，m cos θ>m －1，即m (1－cos θ)<1对任意

θ∈???

?0，π

2成立．当θ＝0时，不等式m (1－cos θ)<1成立；当θ∈????0，π

2时，cos θ∈[0，1)，1－cos θ∈(0，1]，1

1－cos θ

∈[1，＋∞)．由m (1－cos θ)<1，得

m <

1

1－cos θ

，即m <1.因此，m 的取值范围是(－∞，

1)．

类型四 函数周期性和奇偶性的应用

例题4： (2014·安徽)若函数f (x )(x ∈R )是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为f (x )＝?????x （1－x ），0≤x ≤1，sinπx ，1＜x ≤2， 则f ????294＋f ????416＝________.

解：由于函数f (x )是周期为4的奇函数，所以f ????294＋f ????416＝f ?

???2×4－34＋f ????2×4－76＝f ????－3

4＋f ????－76＝－f ????34－f ????76＝－316＋12＝516.故填516.

变式4： 已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0，2]上是增函数，则( )

A ．f (－25)＜f (11)＜f (80)

B ．f (80)＜f (11)＜f (－25)

C ．f (11)＜f (80)＜f (－25)

D ．f (－25)＜f (80)＜f (11)

解：f (x －8)＝－f (x －4)＝f (x )，∴T ＝8，又f (x )是R 上的奇函数，∴f (0)＝0.

∵f (x )在[0，2]上是增函数，且f (x )≥0， ∴f (x )在[－2，0]上也是增函数，且f (x )≤0，

又x ∈[2，4]时，f (x )＝－f (x －4)≥0，且f (x )为减函数．

同理f (x )在[4，6]上为减函数且f (x )≤0， 从而可得y ＝f (x )的大致图象如图所示． ∵f (－25)＝f (－1)＜0，f (11)＝f (3)＞0，f (80)＝f (0)＝0.

∴f (－25)＜f (80)＜f (11)，故选D .

方法规律总结

1．检查定义域是否对称。

2．判断函数奇偶性的方法通常有 (1)定义法：根据定义判断． (2)图象法：f (x )为奇函数图象关于原点对称；f (x )

为偶函数图象关于y 轴对称．

(3)运用奇、偶函数的运算结论．（定义域应为两个函数定义域的交集）．

3．判断周期函数的一般方法 (1)定义法： f (x ＋T )＝f (x )

(2)公式法：若函数f (x )是周期函数，且周期为T ，则函数f (ax ＋b )(a ≠0)也为周期函数，且周期T ′＝T |a |.

6．解题中要注意以下性质的灵活运用 (1)f (x )为偶函数?f (x )＝f (|x |)；

(2)若奇函数f (x )在x ＝0处有定义，则f (0)＝0； (3)若f (x )既是奇函数，又是偶函数，则它的图象一定在x 轴上．

课后练习A 组

1.下列函数中,在其定义域内既是增函数又是奇函数的是 （ 【答案】D ） A ．y= -1x

B ．y=lnx

C ．y=x e

D ．y=x 3

+x x

e e --

2.若函数f (x ) (x ∈R)是奇函数,函数g (x ) (x ∈R)是偶函数,则 【答案】B A ．函数f (x )?g (x )是偶函数 B ．函数f (x )?g (x )是奇函数 C ．函数f (x )+g (x )是偶函数 D ．函数f (x )+g (x )是奇函数

3.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数,其最小正周期为3, 且

2()log (31),f x x =-+则(2011)f =

【答案】C

A ．4

B.2

C ．-2

D ．2log 7

4.下列函数既是奇函数,又在区间]1,1[-上单调递减的是【答案】D A ．x x f sin )(= B ．|1|)(+-=x x f C ．1()()(01)2

x x f x a a a a -=

->≠且 D ．x x

x f +-=22ln )(

5.已知奇函数)0,()(-∞在x f 上是单调减函数,且0)2(=f ,则不等式

0)1()1(>--x f x 的解集为【答案】B

A ．}13|{-<<-x x

B ．}3111|{<<<<-x x x 或

C ．}3103|{<<<<-x x x 或

D ．}213|{><<-x x x 或

6.已知一个奇函数的定义域为{}1,2,,,a b -则a b +=___________【答案】1-

7.设()f x 是周期为2的奇函数,当01x ≤≤时,()2(1)f x x x =-,则5

()2f -=_1

2

-

.

8.定义在()+∞∞-,上的偶函数()x f 满足()()x f x f -=+1,且在[]0,1-上是增函数,下面

是关于f(x)的判断: ①()x f 关于点P(

02

1

,)对称 ②()x f 的图像关于直线1=x 对称; ③()x f 在[0,1]上是增函数; ④()()02f f =. 其中正确的判断是__(1)(2)(4) __________________

9.已知)(x f 是定义域为R 的偶函数,当0≥x 时,x x x f 4)(2

-=,那么不等式5

)2(<+x f 的解集为_____(7,3)- ______.

10.若函数2()f x x x a =-+为偶函数,则实数a =____0 ____

B 组

11.已知函数b ax x x f +-=2)(2 )(R x ∈,给出下列命题:

(1))(x f 必是偶函数; (2)当)2()0(f f =时,)(x f 的图象关于直线1=x 对称;

(3)若02≤-b a ,则)(x f 在区间[),+∞a 上是增函数; (4))(x f 有最大值

b a -2.

其中正确．．的命题序号是【答案】A

A ．(3)

B ．(2)(3)

C ．(3)(4)

D ．(1)(2)(3) 12.已知函数f (x )=4x +3sin x ,x ∈(-1,1),如果f (1-a )+f (1-a 2)<0成立,则实数a 的取值范围为

（ B ）

A ．(0,1)

B ．(1,2)

C ．(-2,-2)

D ．(-∞,-2)∪(1,+∞)

13.设()x f 是定义在R 上的偶函数,且当0≥x 时,()x

x f 2=.若对任意的[]2,+∈a a x ,不

等式()()2

f x a f

x +≥恒成立,则实数a 的取值范围是___3

2

a ≤-

____

15. 已知函数31

()ln(1

x x

e f x x e +=+++,若()f x 在区间[](),0k k k ->上的最大值、最 小值分别为,M m ,则M m +=_____4__________.

16.已知函数),0()(2

R a x x

a

x x f ∈≠+

= (1)讨论)(x f 的奇偶性并说明理由;

(2)若函数)(x f 在[2,+∞)上为增函数,求实数a 的取值范围.

【答案】解:(1)当a=0时,

)()(,)(2x f x f x x f =-=,所以为偶函数----------------3

当0≠a 时,由)()(x f x f =-得a=0不合;由)()(x f x f -=-得2

2x x -=也不合,故此

时为非奇非偶函数--------------------------6 (2)由02)(2

≥-

='x a

x x f ----------------8 对[2,+∞)上的一切x 都成立等价于3

2x a ≤恒成立,---------------------10

而U=3

2x 在R 上是增函数,所以当x=2时U 取得最小值16,所以16≤a -------14

函数的奇偶性试讲教案

1.3.2 函数的奇偶性 教材分析： 函数的奇偶性选自人教版高中新课程教材必修1第一章第三节《函数的基本性质》的内容，本节安排为二课时，《函数的奇偶性》为本节中的第二课时。 从在教材中的地位与作用来看，函数是高中数学学习中的重点和难点，函数的思想贯穿整个高中数学。而函数的奇偶性是函数的重要性质之一，它与现实生活中的对称性密切联系，为接下来学习指数函数、对数函数和幂函数的性质奠定了坚实的基础。因此，本节课的内容是十分重要的。 学情分析： 授课对象为xxxx中学高一（x）班的学生，从学生现有的学习能力来看，学生已具有一定的分析问题和解决问题的能力，能根据以前学习过的二次函数和反比例函数这两个特殊函数的图象观察出图象对称的思想，使本节通过观察图象学习函数奇偶性的定义成为可能。教学目标： 1、知识与技能目标： 通过本节课，学生能理解函数奇偶性的概念及其几何意义，掌握判别函数奇偶性的方法。 2、过程与方法目标： 通过实例观察、具体函数分析、图形结合、定性与定量的转换，让学生经历函数奇偶性概念建立的全过程，体验数学概念学习的方法，积累数学学习的经验。 3、情感态度与价值观目标： 在经历概念形成的过程中，培养学生归纳、概括的能力，使学生养成善于观察、勇于探索的良好习惯和严谨的科学态度。

教学重难点： 重点：函数奇偶性概念的形成和函数奇偶性的判断。 难点：理解函数奇偶性的概念，掌握判断函数奇偶性的方法。 教法分析： 为了实现本节课的教学目标，在教法上，我通过大自然中对称的例子和学生已掌握的对称函数的图象来创设问题情境，启发学生自主思考，归纳共同点，从而调动学生主体参与的积极性。 在形成概念的过程中，紧扣概念中的关键语句，通过学生的主体参与，正确地形成概念，在给出偶函数的定义之后，让学生类比得出奇函数的定义。 教学过程： 一、知识回顾 平面直角坐标系中的任意一点Ｐ（a,b)关于Ｘ轴、Ｙ轴及原点对称的点的坐标各是什么？ （1）点Ｐ（a, b)关于x轴的对称点的坐标为Ｐ（a,-b) .其坐标特征为：横坐标不变，纵坐标变为相反数； （2）点Ｐ（a, b)关于y轴的对称点的坐标为Ｐ（- a, b) ,其坐标特征为：纵坐标不变，横坐标变为相反数； （3）点Ｐ（a, b) 关于原点对称点的坐标为Ｐ（-a,-b) ,其坐标特征为：横坐标变为相反数，纵坐标也变为相反数． 二、新课教学 （一）偶函数

《函数的奇偶性与周期性》教案

教学过程 一、课堂导入 我们生活在美的世界中，有过许多对美的感受，请想一下有哪些美？ 对于对称美，请想一下哪些事物给过你对称美的感觉呢？ 生活中的美引入我们的数学领域中，它又是怎样的情况呢？若给它适当地建立直角坐标系，那么会发现什么特点？ 数学中对称的形式也很多，这节课我们就来复习在坐标系中对称的函数

二、复习预习 1、复习单调性的概念 2、复习初中的轴对称和中心对称 3、预习奇偶性的概念 4、预习奇偶性的应用

三、知识讲解 考点1 函数的奇偶性 [探究] 1. 提示：定义域关于原点对称，必要不充分条件． 2．若f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，是否有f(0)＝0？如果是偶函数呢？ 提示：如果f(x)是奇函数时，f(0)＝－f(0)，则f(0)＝0；如果f(x)是偶函数时，f(0)不一定为0，如f(x)＝x2＋1. 3．是否存在既是奇函数又是偶函数的函数？若有，有多少个？ 提示：存在，如f(x)＝0，定义域是关于原点对称的任意一个数集，这样的函数有无穷多个．

考点2 周期性 (1)周期函数： 对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y ＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期． (2)最小正周期： 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．

四、例题精析 【例题1】 【题干】判断下列函数的奇偶性 (1)f(x)＝lg 1－x 1＋x ；(2)f(x)＝ ? ? ?x2＋x(x>0)， x2－x(x<0)； (3)f(x)＝ lg(1－x2) |x2－2|－2 .

函数的奇偶性与周期性练习题

函数的奇偶性与周期性 1.奇函数f （x ）的定义域为R ，若f (x +2)为偶函数，则f (1)=1,则f (8)+f (9)= ( ) A. －2 B.－1 C. 0 D. 1 2.在函数①|2|cos x y =，②|cos |x y = ，③)62cos(π +=x y ,④)42tan(π -=x y 中，最小正周期为π的所有函数为 A.①②③ B. ①③④ C. ②④ D. ①③ 3.设函数)(),(x g x f 的定义域为R ，且)(x f 是奇函数，)(x g 是偶函数，则下列结论中正确的是 A. )()(x g x f 是偶函数 B. )(|)(|x g x f 是奇函数 C. |)(|)(x g x f 是奇函数 D. |)()(|x g x f 是奇函数 4.已知()f x 是定义在R 上的奇函数,且是以2为周期的周期函数,若当(]0,1x ∈时 2()1f x x =-，则7()2 f 的值为 A 34- B 34 C 12- D 12 5.下列函数为偶函数的是 A. sin y x = B. 3y x = C. x y e = D. y = 6.设()f x 是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，()f x =2(1)x x -，则5 ()2f -= (A) -12 (B)1 4- (C)14 (D)12 7.下列函数中，既是偶函数又在()0,+∞单调递增的函数是 （A ）3y x = (B) 1y x =+ （C ）21y x =-+ (D) 2x y -= 8.下列函数为偶函数的是（） A.()1f x x =- B.()2f x x x =+ C.()22x x f x -=- D.()22x x f x -=+ 9.偶函数y=f(x)的图像关于直线x=2对称，f(3)=3，则f(-1)=_______. 10.函数)4)(()(-+=x a x x f 为偶函数，则实数a = . 11.已知()f x 为奇函数，()()9,(2)3,(2)g x f x g f =+-==则 ．

高中数学常见题型解法第07招 函数的奇偶性的判断和证明

【知识要点】 一、函数的奇偶性的定义 对于函数()f x ，其定义域D 关于原点对称，如果,x D ?∈恒有()()f x f x -=-，那么函数()f x 为奇函数；如果,x D ?∈恒有()()f x f x -=，那么函数()f x 为偶函数. 二、奇偶函数的性质 1、奇偶函数的定义域关于原点对称； 2、 偶函数的图像关于y 轴对称，奇函数的图像关于原点对称； 3、偶函数在对称区间的增减性相同，奇函数在对称区间的增减性相反； 4、 奇函数在原点有定义时，必有 (0)0f =. 三、判断函数的奇偶性的方法 判断函数的奇偶性的方法，一般有三种：定义法、和差判别法、作商判别法. 1、定义法 首先必须考虑函数的定义域，如果函数的定义域不关于原点对称，则函数一定是非奇非偶函数；如果函数的定义域关于原点对称，则继续求()f x -；最后比较()f x -和()f x 的关系，如果有()f x -=()f x ，则函数是偶函数，如果有()f x -=-()f x ，则函数是奇函数，否则是非奇非偶函数. 2、和差判别法 对于函数定义域内的任意一个x ，若()()0f x f x -+=，则()f x 是奇函数；若()()0f x f x --=，则()f x 是偶函数. 3、 作商判别法 对于函数定义域内任意一个x ，设()0f x -≠，若()1()f x f x =--，则()f x 是奇函数，() 1() f x f x =-，则()f x 是偶函数. 【方法讲评】

方法一 定义法 使用情景 具体函数和抽象函数都适用. 解题步骤 首先必须考虑函数的定义域，如果函数的定义域不关于原点对称，则函数一定是非奇非偶函数；如果函数的定义域关于原点对称，则继续求()f x -；最后比较()f x -和()f x 的关 系，如果有()f x -=()f x ，则函数是偶函数，如果有()f x -=-()f x ，则函数是奇函数，否 则是非奇非偶函数. 【例1】判断下列函数的奇偶性. （1）x x x x f -+-=11)1()( （2）2lg(1) ()22 x f x x -=-- 【点评】（1）判断函数的奇偶性首先必须考虑函数的定义域，如果函数的定义域不关于原点对称，则函数是非奇非偶函数. (2)函数的定义域关于原点对称，是函数为奇偶函数的必要非充分条件.（3）函数的定义域求出来之后，还要注意在解题中应用，不是走一个过场和形式.第2小题就是利用求出的定义域对函数进行了化简. 【例2】 定义在实数集上的函数()f x ，对任意x y R ∈、，有()()f x y f x y ++-2()()f x f y =? 且(0)0f ≠ ①求证：(0)1f = ②求证：()y f x =是偶函数

函数的奇偶性及周期性综合运用

函数的奇偶性及周期性 1. 已知定义在 R 上的奇函数 f(x) 满足 f(x+2)= -f(x) f(6) 的值为 ( ) A.-1 B.0 C.1 D.2 【答案】 B 【解析】 ∵ f(x+2)=-f(x), ∴ f(6)=f(4+2)=-f(4)=f(2)= -f(0) 又 f(x) 为R 上的奇函数 , ∴ f(0)=0. ∴ f(6)=0. 2. 函数 f ( x) x 3 sin x 1( x R), 若 f(a)=2, 则 f(-a) 的值为 ( ) A.3 B.0 C.-1 D.-2 【答案】 B 【解析】 设 g ( x) 3 sinx, 很明显 g(x) 是一个奇函数 . x ∴ f(x)=g(x)+1. ∵ f(a)=g(a)+1=2, ∴ g(a)=1. ∴ g(-a)=-1. ∴ f(-a)=g(-a)+1=-1+1=0. 3. 已知 f(x) 是定义在 R 上的偶函数 , 并满足 f(x+2)= 1 1 x 2 时 ,f(x)=x-2, 则 f ( x) f(6.5) 等于?? ( ) A.4.5 B.-4.5 C.0.5 D.-0.5 【答案】 D 【 解 析 】 由 f(x 2) 1 得 f(x 4) 1 f ( x ) f ( x 2) f(6.5)=f(2.5). 因为 f(x) 是偶函数 , 得 f(2.5)=f(-2.5)=f(1.5), 而 1 x 2 时 ,f(x)=x-2, 所以 f(1.5)=-0.5. 综上 , 知f(6.5)=-0.5. 4. 已知函数 f(x) 是定义在 R 上的奇函数 , 当 x>0时 ,f(x)= - 是 ( ) A. ( 1) B. ( 1] C. (1 ) D. [1 ) 【答案】 A 【解析】 当 x>0时 f ( x ) 1 2 x 1 1 x 2 当 x<0时,-x>0, ∴ f( x ) 1 2 x . 又∵ f(x) 为 R 上的奇函数 , ∴ f(-x)=-f(x). ∴ f ( x ) 1 2 x . ∴ f ( x ) 2 x 1 . ∴ f ( x) 2 1 1 即 2 x 1 . x ∴ x<-1. 2 2 ∴不等式 f ( x ) 1 的解集是 ( 1) . 2 5. 设 g(x) 是定义在 R 上、以 1为周期的函数 . 若函数 f(x)=x+g(x) 则f(x) 在区间 [0,3] . f ( x) 那 么 f(x) 的 周 期 是 4, 得 2 x 则不等式 f ( x) 1 的解集 2 1 2 在区间 [0,1] 上的值域为 [-2,5],

函数的奇偶性(讲义).docx

函数的奇偶性 【知识要点】 1．函数奇偶性的定义：一般地，对于函数 f (x) 定义域内的任意一个x，都有 f (x) f (x)， 那么函数f ( x)f (x) f ( x) 叫偶函数（， 那么函数 even function）.如果对于函数定义域内的任意一个 f ( x) 叫奇函数（ odd function）. x，都有 2．奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称，反之亦真.由此，可由函数图象的对称性判断函数的奇偶性，也可由函数的奇偶性作函数的图象. 3．判别方法：先考察定义域是否关于原点对称，再用比较法、计算和差、比商法等判别 f (x)与 f ( x) 的关系； （1）奇函数 f (x) 1( f (x) 0) ； f ( x)f (x)f ( x) f (x) 0 f (x) （2）偶函数 f x f x f xf x f x 0 1 f x 0 . f x 4．函数奇偶性的几个性质： （1）奇偶函数的定义域关于原点对称，在判断函数奇偶性时，应先考察函数的定义域；（2）奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个x 都必须成立； （3）若奇函数 f x在原点有意义，则 f 00 ； （4）根据奇偶性可将函数分为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、既不是奇函数，又不是偶函数； （5）在公共的定义域内：两个奇（偶）函数的和与差仍是奇（偶）函数；两个奇（偶）函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数； （6）函数 f x与函数 1 有相同的奇偶性 . f x

5．奇偶性与单调性： （1）奇函数在两个关于原点对称的区间 b, a , a, b 上有相同的单调性； （2）偶函数在两个关于原点对称的区间 b, a , a, b 上有相反的单调性 . 【典例精讲】 类型一 函数奇偶性的判断 例 1 判断下列函数的奇偶性： （1） f x x 2 2 x ； （2） f x 1 x 2 x 2 1 ； （3） f x ax b ax b a b 0 ； 1 1 （4） f x x ； 2 x 1 2 x 2 x 1, x x 2 2x 3, x 0， （5） f ( x) 0， x 0， 2 x 1, x （ 6） f ( x)0, x 0； 2x 3, x 0. x 2 变式 判断下列函数的奇偶性： 4 5 1 1 (1) f ( x )= x ； (2) f ( x )= x ； (3)f ( x )= x + x 2 ；(4) f ( x )= x 2 . （ 5） f ( x ) x 3 2 x （ 6） f ( x) 2 x 4 4 x 2 （ ） y ax b ( a 0, b 0) （ 8） y x ( k 0) 7 x k x 2

函数的奇偶性与周期性 知识点与题型归纳

1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义． 2.会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性． 3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性. ★备考知考情 1.对函数奇偶性的考查，主要涉及函数奇偶性的判断，利用奇偶函数图象的特点解决相关问题，利用函数奇偶性求函数值，根据函数奇偶性求参数值等． 2.常与函数的求值及其图象、单调性、对称性、零点等知识交汇命题． 3.多以选择题、填空题的形式出现. 一、知识梳理《名师一号》P18 注意： 研究函数奇偶性必须先求函数的定义域 知识点一函数的奇偶性的概念与图象特征 1.一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x， 都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数． 2.一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x， 都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数． 1

2 3.奇函数的图象关于原点对称； 偶函数的图象关于y 轴对称. 知识点二 奇函数、偶函数的性质 1.奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同， 偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反． 2. 若f (x )是奇函数，且在x ＝0处有定义，则(0)0=f . 3. 若f (x )为偶函数，则()()(||)f x f x f x =-=. 《名师一号》P19 问题探究 问题1 奇函数与偶函数的定义域有什么特点？ (1)判断函数的奇偶性，易忽视判断函数定义域是否关于原点对称．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件． (2)判断函数f (x )的奇偶性时，必须对定义域内的 每一个x ， 均有f (－x )＝－f (x )、f (－x )＝f (x )， 而不能说存在x 0使f (－x 0)＝－f (x 0)、f (－x 0)＝f (x 0)． (补充) 1、若奇函数()f x 的定义域包含0，则(0)0=f ． (0)0=f 是()f x 为奇函数的 既不充分也不必要条件 2．判断函数的奇偶性的方法 （1）定义法： 1)首先要研究函数的定义域，

第7讲 函数的奇偶性学生

第7讲 函数的奇偶性 [玩前必备] 1.函数奇偶性的定义 (1)奇函数：设函数y ＝f (x )的定义域为D ，如果对D 内的任意一个x ，都有－x ∈D ，且f (－x )＝－f (x )，则这个函数叫做奇函数. (2)设函数y ＝g (x )的定义域为D ，如果对D 内的任意一个x ，都有－x ∈D ，且g (－x )＝g (x )，则这个函数叫做偶函数. 2.奇、偶函数图象的对称性 (1)奇函数的图象关于原点成中心对称图形，反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数. (2)偶函数的图象是以y 轴为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图象关于y 轴对称，则这个函数是偶函数. 3.判断奇偶性的步骤 . 4.奇偶性的有关结论 (1)若奇函数在0x =处有意义，则有(0)0f =. (2)奇函数在定义域内的对称区间上单调性相同; 偶函数在定义域内的对称区间上单调性相反。 [玩转典例] 题型一 判断函数的奇偶性 例1 判断下列函数的奇偶性．

(1)f (x )＝x 2(x 2＋2)； (2)f (x )＝x x －1 ； (3)f (x )＝x 2－1＋1－x 2. [玩转跟踪] 1.判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝x ； (2)f (x )＝1－x 2 x ； 2.判断函数的奇偶性：24()|3|3 x f x x ； 例2 判断函数22,0(),0x x x f x x x x 的奇偶性. [玩转跟踪] 1.判断函数122+-=x x y 的奇偶性，并指出它的单调区间. 题型二 已知函数奇偶性求参数值 例3 (1)若函数f (x )＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是偶函数，定义域为[a －1,2a ]，则a ＝________， b ＝________. (2)设函数(1)()() x x a f x x 为奇函数，则a ＝________. [玩转跟踪] 1.若函数f (x )＝x 2－|x ＋a |为偶函数，则实数a ＝________. 2.定义在)1,1(-上的奇函数1 )(2+++=nx x m x x f ，则常数=m ____,=n _____

1.10基本初等函数奇偶性和周期性

1．10基本初等函数奇偶性和周期性 姓名___________ 本节重点：①能够正确判断函数的奇偶性和周期性；②运用基本初等函数的性质解题。 一．基础练习 1． 写出下列函数中，奇函数是________；偶函数是________；非奇非偶函数是________ ①sin 2y x = ②2cos y x = ③4221y x x =++ ④2(1)y x =- ⑤()x x f x e e -=- ⑥1()1 x f x x -=+ ⑦1()lg 1 x f x x -=+ ⑧23 ()f x x -= 2． 已知多项式函数32()f x ax bx cx d =+++，系数,,,a b c d 满足__________时，()f x 是奇函数； 满足___________时，它是偶函数． 3． 定义在R 上的奇函数()f x 满足(2)()f x f x +=-，则(2)f =________． 4． 函数sin 2y x =的周期是________；tan y x π=的周期是________． 5． 已知函数()f x 是定义在（-3，3）上的奇函数，当03x << ()f x 图象如右，则不等式 ()0f x x >的解集是____________． 二、例题讲解 例1：判断下列函数的奇偶性 （1）2 ()2||3f x x x =-- （2）22 2,0 ()2,0 x x x f x x x x ?-≥?=?--，实数a 的范围是____________．

函数的奇偶性和周期性

精锐教育学科教师辅导讲义 讲义编号11sh11sx00 学员编号: 年级：高二课时数：3 学员姓名：辅导科目：数学学科教师： 课题函数的奇偶性和周期性 授课日期及时段 教学目标 1、理解函数的周期性与奇偶性的概念 2、能根据函数的周期性求函数值或在相关区间上的函数解析式 3、会判断函数的奇偶性，并会结合周期性与奇偶性解决相关问题 教学内容 一、知识点梳理及运用 知识点一、函数的奇偶性 1、定义：设() y f x =，x A ∈，如果对于任意x A ∈，都有，则称函数() y f x =为奇函数；如果对于任意x A ∈，都有，则称函数() y f x =为偶函数 2、函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于对称 3、() f x是偶函数?() f x的图象关于y轴对称 () f x是奇函数?() f x的图象关于原点对称 4、若奇函数() f x的定义域包含0，则(0)0 f= 5、判断函数奇偶性的方法： ①定义法：首先判断其定义域是否关于原点对称 若不对称，则为非奇非偶函数 若对称，则再判断()() f x f x =-或()() f x f x =-是否成立 ②性质法：设() f x，() g x的定义域分别是 12 , D D，那么在它们的公共定义域 12 D D D =?上： 奇±奇=奇，偶±偶=偶，奇?奇=偶，偶?偶=偶，奇?偶=奇 典型例题 例1、（判断奇偶性）判断下列函数的奇偶性 （1）35 ()35 f x x x =+（2）2 ()3||1 f x x x =-+（3） 2 2 (0) () (0) x x x f x x x x ?+< ? =? -+> ?? （4）()|1||1| f x x x =+--

2021年新高考数学总复习第7讲：函数的奇偶性与周期性

第 1 页 共 5 页 2021年新高考数学总复习第7讲：函数的奇偶性与周期性 1．(2020·重庆一中月考)下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上是减函数的是( ) A ．y ＝x －1 B ．y ＝lnx 2 C ．y ＝cosx x D ．y ＝－x 2 答案 D 解析 由函数的奇偶性排除A 、C ，由函数的单调性排除B ，由y ＝－x 2的图象可知当x>0时，此函数为减函数，又该函数为偶函数．故选D. 2．(2020·唐山市高三测试)设函数f(x)＝x(e x ＋e －x )，则f(x)( ) A ．是奇函数，且在(0，＋∞)上单调递增 B ．是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增 C ．是奇函数，且在(0，＋∞)上单调递减 D ．是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减 答案 A 解析 方法一：由条件可知，f(－x)＝(－x)(e －x ＋e x )＝－x(e x ＋e －x )＝－f(x)，故f(x)为奇函数．f ′(x)＝e x ＋e －x ＋x(e x －e －x )，当x>0时，e x >e －x ，所以x(e x －e －x )>0，又e x ＋e －x >0，所以f ′(x)>0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增．故选A. 方法二：根据题意知f(－1)＝－f(1)，所以排除B 、D.易知f(1)

函数的奇偶性与周期性试题(答案)

函数的奇偶性与周期性 一、选择题 1．(2015·四川绵阳诊断性考试)下列函数中定义域为R ，且是奇函数的是( ) A ．f(x)＝x2＋x B ．f(x)＝tan x C ．f(x)＝x ＋sin x D ．f(x)＝lg 1－x 1＋x 2．(2014·新课标全国卷Ⅰ)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R ，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是( ) A ．f(x)g(x)是偶函数 B ．|f(x)|g(x)是奇函数 C ．f(x)|g(x)|是奇函数 D ．|f(x)g(x)|是奇函数 3．(2015·长春调研)已知函数f(x)＝x2＋x ＋1x2＋1，若f(a)＝23 ，则f(－a)＝( ) A.23 B ．－23 C.43 D ．－43 4．已知f(x)在R 上是奇函数，且满足f(x ＋4)＝f(x)，当x ∈(0,2)时，f(x)＝2x2，则f(7)等于( ) A ．－2 B ．2 C ．－98 D ．98 5．函数f(x)是周期为4的偶函数，当x ∈[0,2]时，f(x)＝x －1，则不等式xf(x)>0在[－1,3]上的解集为( ) A ．(1,3) B ．(－1,1) C ．(－1,0)∪(1,3) D ．(－1,0)∪(0,1) 6．设奇函数f(x)的定义域为R ，最小正周期T ＝3，若f(1)≥1，f(2)＝2a －3a ＋1 ，则a 的取值范围是( ) A ．a<－1或a≥23 B ．a<－1 C ．－1

第七讲函数的奇偶性与周期性

班级第七讲函数的奇偶性与周期性 姓名考号日 期得分 、选择题：(本大题共6小题，每小题6分，共36分，将正确答案的代号填在题后的括号内. 1 .定义在R上的函数 f(x)满足:f(x) f(x+ 2) = 13, f(1) = 2，则f(99)=( ) 州)定义在R上的函数f(x)满足：对于任意 a 共R，总有f( a+ 3)— [f( a + f( 3)]=精选考题，则下列说法正确的是( ) A . f(x) — 1是奇函数 B. f(x) + 1是奇函数 C. f(x) —精选考题是奇函数 D . f(x) +精选考题是奇函数①若 A n B= {a}，则 f(a) = a; ②若B不是单元集，则满足f[ f(x)] = f(x)的x值可能不存在； ③若f(x)具有奇偶性，则f(x)可能为偶函数； ④若f(x)不是常数函数，则f(x)不可能为周期函数. 其中，正确命题的序号为__________ . 10.对于定义在R上的函数f(x)，有下述四个命题，其中正确命题的序号为 _____________ . ①若f(x)是奇函数，则f(x— 1)的图象关于点A(1,0)对称； ②若对x€ R，有f(x+ 1) = f(x— 1)，则y= f(x)的图象关于直线x= 1对称; ③若函数f(x— 1)的图象关于直线x = 1对称，则f(x)为偶函数； ④函数y = f(1十x)与函数y = f(1— x)的图象关于直线x= 1对称. 三、解答题：(本大题共3小题，11、12题13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤. ) —2x 十 b 11.已知定义域为R的函数f(x)= 是奇函数. 2x十1十a (1)求a、b的值； ⑵若对任意的t€ R，不等式f(t2— 2t) + f(2t2— k)<0恒成立，求k的取值范围. 3 .设f(x)是定义在R上以2为周期的偶函数，已知x€ (0,1)时，f(x)= log (1 — x)，则函数 f(x)在 (1,2)上( A .是增函数，且f(x)<0 C .是减函数，且f(x)<0 ) B .是增函数，且f(x)>0 D .是减函数，且f(x)>0 4 ?设f(x)是连续的偶函数，且当x>0时是单调函数，则满足f(x) = f 的所有x之和为( ) x十4 C.— 8 D. 8 5 .已知奇函数f(x)在区间[3,7]上是增函数，且最小值为 5, A .是增函数且最小值为— 5 B .是增函数且最大值为— C .是减函数且最小值为- 5 D .是减函数且最大值为- 那么函数f(x)在区间[—7，— 3]上( 6.(精选考题新课标全国)设偶函数f(x)满足f(x)= x3— 8(x> 0),则{x|f(x— 2)>0}=( ) A . {x|x<— 2或x>4} B . {x|x<0或x>4} C. {x|x<0或x>6} D. {x|x< — 2或x>2} 二、填空题：(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上. 7.(精选考题江苏)设函数f(x) = x(e x + ae—x)(x€ R)是偶函数，则实数a的值为 8.已知函数f(x+ 1)是奇函数,f(x — 1)是偶函数，且f(0) = 2,则f(4)=

函数的奇偶性与周期性

函数的奇偶性与周期性 考点梳理 一、函数的奇偶性 （探究：奇、偶函数的定义域有何特点？若函数f(x)具有奇偶性，则f(x)的定义域关于原点对称，反之，若函数的定义域不关于原点对称，则函数无奇偶性。） 二、奇、偶函数的性质 1、奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反。 2、在公共定义域内， （1）两个奇函数的和函数是奇函数，两个奇函数的积函数是偶函数。（2）两个偶函数的和函数、积函数是偶函数。 （3）一个奇函数，一个偶函数的积函数是奇函数。 3、若f(x)是奇函数且在x=0处有定义，则f(0)=0。 （探究：若f(x)是偶函数且在x=0处有定义，是否有f(x)=0?不一定，

如f(x)= 21x +，而f(0)=1。） 三、函数的周期性 一般的，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域的每一个值时，都有f(x+T)=f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期。 对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期。 （探究：若偶函数f(x)满足对任意的x R ∈,都有f(2+x)=f(-x)，那么函数f(x)是周期函数吗？ 是周期函数，()()(),(2)() (2)(),()=2f x f x f x f x f x f x f x f x T ∴-=+=-∴ += 是偶函数， 又所以是以为周期的函数） 例题解析 要点1：函数奇偶性的判定 判断函数奇偶性的一般方法 （1）首先确定函数的定义域，看其是否关于原点对称，否则，既不是奇函数也不是偶函数。 （2）若定义域关于原点对称，则可用下述方法进行判断： ①定义判断： ()()()()-()()f x f x f x f x f x f x -=?-=?为偶函数， 为奇函数。 ②等价形式判断：

函数的单调性奇偶性和周期性和对称性之间的关系

函 数 的 对 称 性 一个函数的自对称 定义1、定义域为R 的函数()f x ，若满足()()f a x f a x +=-或是(2)()f a x f x -=，图像特征函数自身关于x a =对称。就是该函数的对称轴是x a =。 定义2、定义域为R 的函数()f x ，若满足()()f a x f a x +=--或是(2)()f a x f x -=-，图像特征函数自身关于点(,0)a 对称。就是该函数的对称点是(,0)a 。 定义3、定义域为R 的函数()f x ，若满足()()f a x f b x +=-，图像特征函数自身关于2a b x += 对称。就是该函数的对称轴是2 a b x +=。 定义2、定义域为R 的函数()f x ，若满足()()f a x f b x +=--，图像特征函数自身关于点( ,0)2a b +对称。就是该函数的对称点是(,0)2 a b +。 还可以推广为()()f a x m f b x +=-- 含义：函数()f x 关于( ,)22a b m +这个点对称。 周期性:若()f x 对于定义域中的任意x 均有()()f x T f x +=,则()f x 是周期函数. 它的变形有: (1)f(x-1)=f(x+1) (2)f(x+2)=－f(x)；(3)f(x+2)=1() f x - (4)f(x+3) ＋f(x)=1 (5)f(x+1)=) (11)(x f x f -+ 特征是x 的符号相同。 习 题 1、已知()f x 是R 上的偶函数，且f(-x-1)=f(-x+1) 当[0,1]x ∈时，()1f x x =-+，求当[5,7]x ∈时,()f x 的解析式。 2、定义域为R 的()f x 既是奇函数又是周期函数,T 是它的一个周期.问:区间[,]T T -上它有几个根?（财富：奇函数的半周期也是0点） 3、定义在R 上的偶函数()f x 以3为周期,且(2)0f =,则方程()0f x =在区间(0,6) 上有几个根? 4、()f x 是R 上的偶函数,若将()f x 的图象向右平移一个单位又得到一个奇函数,且(2)1f =-,求(1)(2)(3)(2008)f f f f ++++L 的值. 5、定义在R 上的函数()f x 满足5()()02 f x f x ++=且5 ()4 f x +为奇函数,下列结论谁正确? ①函数()f x 的最小正周期是52;②函数()f x 的图象关于点（5,04）对称;③函数()f x 的图象关于52 x =对称;④函数()f x 的最大值为5()2f . 6、函数()f x 的定义域为R ，若(1)f x +与(1)f x -都是奇函数，则（ ）(A) ()f x 是偶函数； (B) ()f x 是奇函数 (C) ()(2)f x f x =+ ； (D) (3)f x +是奇函数 例4举例子，构造新函数，用定义，平移，伸缩处理四道抽象函数题。 （1）f(x)是奇函数，则有f(-x+a)= f(x+a)是奇函数，则f(-x+a)= （2）函数f(x-1)是偶函数，求y=f(x)的对称轴。

人教版高数必修一第6讲：函数的奇偶性(学生版)

函数的奇偶性 __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ 1、 理解函数的奇偶性及其图像特征； 2、 能够简单应用函数的奇偶性及其图像特征； 一、函数奇偶性定义 1、图形描述： 函数()f x 的图像关于y 轴对称?()f x 为偶函数； 函数()f x 的图像关于原点轴对称?()f x 为奇函数 定量描述 一般地，如果对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有()()f x f x -=，则称()f x 为偶函数；如果都有()()--f x f x =，则称()f x 为奇函数；如果()()f x f x -=与()()--f x f x =同时成立，那么函数()f x 既是奇函数又是偶函数；如果()()f x f x -=与()()--f x f x =都不能成立，那么函数()f x 既不是奇函数又不是偶函数，称为非奇非偶函数。 如果函数()f x 是奇函数或偶函数，则称函数()y f x =具有奇偶性。 特别提醒： 1、函数具有奇偶性的必要条件是：函数的定义域在数轴上所表示的区间关于原点对称。换言之，若所给函数的定义域不关于原点对称，则这个函数一定不具备奇偶性。2、用函数奇偶性的定义判断函数是否具有奇偶性的一般步骤：（1）考察函数的定义域是否关于原点对称。若不对称，可直接判定该函数不具有奇偶性；若对称，则进入第二步；（2）判断()()f x f x -=与()()f x f x -=-这两个等式的成立情况，根据定义来判定该函数的奇偶性。 二、函数具有奇偶性的几个结论 1、()y f x =是偶函数?()y f x =的图像关于y 轴对称；()y f x =是奇函数?()y f x =的图像关于原点对称。 2、奇函数()f x 在0x =有定义，必有()00f =。

函数的奇偶性与周期性

函数的奇偶性与周期性 1．函数的奇偶性 2.(1)周期函数 对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期． (2)最小正周期 如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期． 3．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若f (x )是定义在R 上的奇函数，则f (－x )＋f (x )＝0.(√) (2)偶函数的图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．(×) (3)如果函数f (x )，g (x )为定义域相同的偶函数，则F (x )＝f (x )＋g (x )是偶函数．(√) (4)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．(√) (5)若T 是函数的一个周期，则nT (n ∈Z ，n ≠0)也是函数的周期．(√) (6)函数f (x )在定义域上满足f (x ＋a )＝－f (x )，则f (x )是周期为2a (a ＞0)的周期函数．(√) (7)函数f (x )＝0，x ∈(0，＋∞)既是奇函数又是偶函数．(×) (8)若函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，则函数y ＝f (x )关于直线x ＝a 对称．(√) (9)若函数y ＝f (x ＋b )是奇函数，则函数y ＝f (x )关于点(b,0)中心对称．(√) (10)若某函数的图象关于y 轴对称，则该函数为偶函数；若某函数的图象关于(0,0)对称，则该函数为奇函数．(√) 考点一 判断函数的奇偶性

函数的奇偶性及周期性

函数的奇偶性及周期性 1．函数的奇偶性 (1)周期函数 对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x ＋T)＝f(x)，那么就称函数f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期． (2)最小正周期 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期． [小题体验] 1．下列函数中为偶函数的是() A．y＝x2sin x B．y＝x2cos x C．y＝|ln x|D．y＝2－x 答案：B 2．若函数f(x)是周期为5的奇函数，且满足f(1)＝1，f(2)＝2，则f(8)－f(14)＝________. 答案：－1 3．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x(1＋x)，则x<0时，f(x)＝________. 答案：x(1－x) 1．判断函数的奇偶性，易忽视判断函数定义域是否关于原点对称．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件． 2．判断函数f(x)的奇偶性时，必须对定义域内的每一个x，均有f(－x)＝－f(x)或f(－

x )＝f (x )，而不能说存在x 0使f (－x 0)＝－f (x 0)或f (－x 0)＝f (x 0)． 3．分段函数奇偶性判定时，误用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数去否定函数在整个定义域上的奇偶性． [小题纠偏] 1．已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是( ) A ．－13 B.13 C.12 D ．－1 2 解析：选B ∵f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数， ∴a －1＋2a ＝0，∴a ＝1 3.又f (－x )＝f (x )， ∴b ＝0，∴a ＋b ＝1 3 . 2．设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[－1,1)时， f (x )＝ ? ???? －4x 2＋2，－1≤x <0，x ， 0≤x <1，则f ????32＝________. 解析：由题意得，f ????32＝f ????－12＝－4×????－122＋2＝1. 答案：1 考点一 函数奇偶性的判断(基础送分型考点——自主练透) [题组练透] 判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝1－x 2＋x 2－1； (2)f (x )＝3－2x ＋2x －3； (3)f (x )＝3x －3－ x ； (4)(易错题)f (x )＝4－x 2 |x ＋3|－3 ； (5)(易错题)f (x )＝????? x 2＋x ，x >0， x 2－x ，x <0. 解：(1)∵由? ???? x 2－1≥0， 1－x 2≥0，得x ＝±1， ∴f (x )的定义域为{－1,1}． 又f (1)＋f (－1)＝0，f (1)－f (－1)＝0，