函数的奇偶性与周期性
1.函数的奇偶性
奇函数偶函数
定义
一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x
都有f(-x)=-f(x),那么函数
f(x)就叫做奇函数
都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫做
偶函数
图象特征关于原点对称关于y轴对称
2.
(1)周期函数
对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时,都有f(x+T)=f(x),那么就称函数y=f(x)为周期函数,称T为这个函数的周期.
(2)最小正周期
如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.
3.判断下列结论的正误(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)若f(x)是定义在R上的奇函数,则f(-x)+f(x)=0.(√)
(2)偶函数的图象不一定过原点,奇函数的图象一定过原点.(×)
(3)如果函数f(x),g(x)为定义域相同的偶函数,则F(x)=f(x)+g(x)是偶函数.(√)
(4)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件.(√)
(5)若T是函数的一个周期,则nT(n∈Z,n≠0)也是函数的周期.(√)
(6)函数f(x)在定义域上满足f(x+a)=-f(x),则f(x)是周期为2a(a>0)的周期函数.(√)
(7)函数f(x)=0,x∈(0,+∞)既是奇函数又是偶函数.(×)
(8)若函数y=f(x+a)是偶函数,则函数y=f(x)关于直线x=a对称.(√)
(9)若函数y=f(x+b)是奇函数,则函数y=f(x)关于点(b,0)中心对称.(√)
(10)若某函数的图象关于y轴对称,则该函数为偶函数;若某函数的图象关于(0,0)对称,则该函数为奇函数.(√)
考点一判断函数的奇偶性
命题点 用函数奇偶性定义判断
[例1] (1)A .y =x B .y =e x C .y =cos x D .x x e e y --=
解析:对于A ,定义域不关于原点对称,故不符合要求;对于B ,
f (-x )≠-f (x ),故不符合要求;对于C ,满足f (-x )=f (x ),故不符合要求;对于D , ∵f (-x )=e -x -e x =-(e x -e -x )=-f (x ),∴y =e x -e -x 为奇函数,故选D.
答案:D
(2)下列函数中为偶函数的是( )
A .y =1x
B .y =lg|x |
C .y =(x -1)2
D .y =2x
解析:根据奇、偶函数的定义,可得A 是奇函数,B 是偶函数,C ,D 为非奇非偶函数. 答案:B
(3)函数f (x )=3-x 2+x 2-3,则( )
A .不具有奇偶性
B .只是奇函数
C .只是偶函数
D .既是奇函数又是偶函数
解析:由???
3-x 2≥0,x 2-3≥0,
得x =-3或x = 3. ∴函数f (x )的定义域为{-3,3}.
∵对任意的x ∈{-3,3},-x ∈{-3,3},且f (-x )=-f (x )=f (x )=0,∴f (x )既是奇函数,又是偶函数.
答案:D
[方法引航] 判断函数的奇偶性的三种重要方法
(1)定义法:
(2)图象法:函数是奇(偶)函数的充要条件是它的图象关于原点(y 轴)对称.
(3)性质法:
①“奇+奇”是奇,“奇-奇”是奇,“奇·奇”是偶,“奇÷奇”是偶;
②“偶+偶”是偶,“偶-偶”是偶,“偶·偶”是偶,“偶÷偶”是偶;
③“奇·偶”是奇,“奇÷偶”是奇.
判断下列函数的奇偶性
(1)f(x)=(x+1) 1-x
1+x
;(2)f(x)=lg
1-x
1+x
.
解:(1)要使函数有意义,则1-x
1+x
≥0,
解得-1<x≤1,显然f(x)的定义域不关于原点对称,∴f(x)既不是奇函数,也不是偶函数.
(2)由1-x
1+x
>0?-1<x<1,定义域关于原点对称.
又f(-x)=lg 1+x
1-x
=lg1)
1
1
(-
+
-
x
x
=-lg
1-x
1+x
=-f(x),f(-x)≠f(x).故原函数是奇函数.
考点二函数的周期性及应用
命题点
1.周期性的简单判断
2.利用周期性求函数值
[例2](1)下列函数不是周期函数的是()
A.y=sin x B.y=|sin x| C.y=sin|x| D.y=sin(x+1)
解析:y=sin x与y=sin(x+1)的周期T=2π,B的周期T=π,C项y=sin|x|是偶函数,x∈(0,+∞)与x∈(-∞,0)图象不重复,无周期.
答案:C
(2)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,若对于x≥0,都有f(x+2)=-
1
f(x)
,且当x∈[0,2)
时,f(x)=log2(x+1),则求f(-2 017)+f(2 019)的值为________.
解析:当x≥0时,f(x+2)=-
1
f(x)
,
∴f(x+4)=f(x),即4是f(x)(x≥0)的一个周期.
∴f(-2 017)=f(2 017)=f(1)=log22=1,f(2 019)=f(3)=-
1
f(1)
=-1,
∴f(-2 017)+f(2 019)=0.
答案:0
[方法引航](1)利用周期f(x+T)=f(x)将不在解析式范围之内的x通过周期变换转化到解析式范围之内,以方便代入解析式求值.
(2)判断函数周期性的几个常用结论.
①f(x+a)=-f(x),则f(x)为周期函数,周期T=2|a|.
②f(x+a)=
1
f(x)
(a≠0),则函数f(x)必为周期函数,2|a|是它的一个周期;
③f(x+a)=-
1
f(x)
,则函数f(x)必为周期函数,2|a|是它的一个周期.
1.若将本例(2)中“f(x+2)=-
1
f(x)
”变为“f(x+2)=-f(x)”,则f(-2 017)+f(2 019)=________.
解析:由f(x+2)=-f(x)可知T=4∴f(-2 017)=1,f(2 019)=-1,∴f(-2 017)+f(2 019)=0. 答案:0
2.若本例(2)条件变为f(x)对于x∈R,都有f(x+2)=f(x)且当x∈[0,2)时,f(x)=log2(x+1),求f(-2 017)+f(2 019)的值.
解:由f(x+2)=f(x),∴T=2∴f(2 019)=f(1)=log22=1,f(-2 017)=f(2 017)=f(1)=1,
∴f(-2 017)+f(2 019)=2.
考点三函数奇偶性的综合应用
命题点
1.已知奇偶性求参数
2.利用奇偶性、单调性求解不等式
3.利用奇偶性求解析式或函数值
[例3](1)若函数f(x)=
2
2x-a
是奇函数,则使f(x)>3成立的x的取值范围为()
A.(-∞,-1)B.(-1,0) C.(0,1) D.(1,+∞)
解析:因为函数y=f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x),即
2-x+1
2-x-a
=-
2x+1
2x-a
.化简可得a=1,
则2x +12x -1>3,即2x +12x -1-3>0,即2x +1-3(2x -1)2x -1>0,故不等式可化为2x -22x -1
<0,即1<2x <2,解得0<x <1,故选C.
答案:C
(2)函数f (x )=ax +b 1+x 2是定义在(-1,1)上的奇函数,且)2
1(f =25. ①确定函数f (x )的解析式;
②用定义证明f (x )在(-1,1)上是增函数;
③解不等式f (t -1)+f (t )<0.
解:①∵在x ∈(-1,1)上f (x )为奇函数,∴f (0)=0,即b =0,∴f (x )=
ax 1+x 2. 又∵)21(f =25,∴a
21+14
=25.解得,a =1.∴f (x )=x 1+x 2,经检验适合题意. ②证明:由f ′(x )=1+x 2-2x 2(1+x 2)2=1-x 2
(1+x 2)
2.x ∈(-1,1)时,1-x 2>0,∴f ′(x )>0 ∴f (x )在(-1,1)上为增函数.
③由f (t -1)+f (t )<0,得f (t -1)<-f (t ),即f (t -1)<f (-t ).∴??? -1<t -1<1
-1<-t <1
t -1<-t 得0<t <12.
(3)已知f (x )是R 上的奇函数,当x ≥0时,f (x )=x 3+ln(1+x ),则当x <0时,f (x )=( )
A .-x 3-ln(1-x )
B .x 3+ln(1-x )
C .x 3-ln(1-x )
D .-x 3+ln(1-x )
解析:当x <0时,-x >0,
f (-x )=(-x )3+ln(1-x ),∵f (x )是R 上的奇函数,∴当x <0时,
f (x )=-f (-x )=-[(-x )3+ln(1-x )]=x 3-ln(1-x ).
答案:C
[方法引航] (1)根据奇偶性求解析式中的参数,是利用f (-x )=-f (x )或f (-x )=f (x )在定义域内恒成立,建立参数关系.
(2)根据奇偶性求解析式或解不等式,是利用奇偶性定义进行转化.
1.已知f (x )=ax 2+bx 是定义在[a -1,2a ]上的偶函数,那么a +b 的值是________.
解析:a -1+2a =0,∴a =13.
f (x )=ax 2+bx 为偶函数,则b =0,∴a +b =13.
答案:13
2.定义在R 上的偶函数y =f (x )在[0,+∞)上递减,且)21(f =0,则满足f (x )<0的x 的
集合为( )
A.),2()2
1,(+∞?-∞∪(2,+∞) B.)1,21(∪(1,2) C.)21,0(∪(2,+∞) D.)1,2
1(∪(2,+∞) 解析:选C.由题意可得f
=f <0=)21(f ,又f (x )在[0,+∞)上递减,所以>12,即x >12或x <-12,解得0<x <12或x >2,所以满足不等式f
<0的x 的集合为)2
1,0(∪(2,+∞). 3.已知函数f (x )=-x +log 21-x 1+x +1,则)2
1()21(-+f f 的值为( ) A .2 B .-2 C .0 D .2log 213
解析:选A.由题意知,f (x )-1=-x +log 21-x 1+x ,f (-x )-1=x +log 21+x 1-x =x -log 21-x 1+x
=-(f (x )-1),所以f (x )-1为奇函数,则)21(f -1+)21(-f -1=0,所以)2
1()21(-+f f =2.
[方法探究]
“多法并举”解决抽象函数性质问题
[典例] (2017·山东泰安模拟)定义在R 上的函数f (x )满足f (x +y )=f (x )+f (y ),f (x +2)=-f (x )且f (x )在[-1,0]上是增函数,给出下列四个命题:①f (x )是周期函数;②f (x )的图象关于x =1对称;③f (x )在[1,2]上是减函数;④f (2)=f (0),其中正确命题的序号是________(请把正确命题的序号全部写出来).
[分析关系] ①f (x +y )=f (x )+f (y )隐含了用什么结论?什么方法探究?
②f(x+2)=-f(x),隐含了什么结论?用什么方法探究.
③若f(x)的图象关于x=1对称,其解析式具备什么等式关系?从何处理探究?
④f(x)在[-1,0]上的图象与[1,2]上的图象有什么关系?依据什么指导?
⑤f(2),f(0)从何处计算.
[解析]第一步:f(x+y)=f(x)+f(y)对任意x,y∈R恒成立.
(赋值法):令x=y=0,∴f(0)=0.
令x+y=0,∴y=-x,∴f(0)=f(x)+f(-x).
∴f(-x)=-f(x),∴f(x)为奇函数.
第二步:∵f(x)在x∈[-1,0]上为增函数,又f(x)为奇函数,∴f(x)在[0,1]上为增函数.
第三步:由f(x+2)=-f(x)?f(x+4)=-f(x+2)
?f(x+4)=f(x),
(代换法)∴周期T=4,即f(x)为周期函数.
第四步:f(x+2)=-f(x)?f(-x+2)=-f(-x).(代换法)
又∵f(x)为奇函数,∴f(2-x)=f(x),∴关于x=1对称.
第五步:由f(x)在[0,1]上为增函数,又关于x=1对称,
∴[1,2]上为减函数.(对称法)
第六步:由f(x+2)=-f(x),令x=0得f(2)=-f(0)=f(0).(赋值法)
[答案]①②③④
[回顾反思]此题用图象法更直观.
[高考真题体验]
1.(2014·高考课标全国卷Ⅰ)设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论中正确的是()
A.f(x)g(x)是偶函数B.|f(x)|g(x)是奇函数
C.f(x)|g(x)|是奇函数D.|f(x)g(x)|是奇函数
解析:选C.由题意可知f (-x )=-f (x ),g (-x )=g (x ),对于选项A ,f (-x )·g (-x )=-f (x )·g (x ),所以f (x )g (x )是奇函数,故A 项错误;对于选项B ,|f (-x )|g (-x )=|-f (x )|g (x )=|f (x )|g (x ),所以|f (x )|g (x )是偶函数,故B 项错误;对于选项C ,f (-x )|g (-x )|=-f (x )|g (x )|,所以f (x )|g (x )|是奇函数,故C 项正确;对于选项D ,|f (-x )g (-x )|=|-f (x )g (x )|=|f (x )g (x )|,所以|f (x )g (x )|是偶函数,故D 项错误,选C.
2.(2016·高考山东卷)已知函数f (x )的定义域为R .当x <0时,f (x )=x 3-1;当-1≤x ≤1时,
f (-x )=-f (x );当x >12时,)2
1()21(-=+x f x f .则f (6)=( ) A .-2 B .-1C .0 D .2
解析:选D.由题意可知,当-1≤x ≤1时,f (x )为奇函数,且当x >12时,f (x +1)=f (x ),所以
f (6)=f (5×1+1)=f (1).而f (1)=-f (-1)=-[(-1)3-1]=2,所以f (6)=2.故选D.
3.(2016·高考四川卷)已知函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数,当0<x <1时,f (x )
=4x ,则)2
5(-f +f (1)=________. 解析:综合运用函数的奇偶性和周期性进行变换求值.
∵f (x )为奇函数,周期为2,
∴f (1)=f (1-2)=f (-1)=-f (1),∴f (1)=0.
∵f (x )=4x ,x ∈(0,1),∴)25(-f =)2
1()21()225(f f f -=-=+- =-4?12=-2.∴)2
5(-f +f (1)=-2. 答案:-2
4.(2015·高考课标全国卷Ⅰ)若函数f (x )=x ln(x +a +x 2)为偶函数,则a =________.
解析:由题意得f (x )=x ln(x +a +x 2)=f (-x )=
-x ln(a +x 2-x ),所以a +x 2+x =
1a +x 2-x ,解得a =1. 答案:1
5.(2014·高考四川卷)设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数,当x ∈[-1,1)时,f (x )=??? -4x 2+2,-1≤x <0,x , 0≤x <1,则)23(f =________. 解析:由已知易得)21(-f =12)21(42=+-?-,又由函数的周期为2,可得)23(f =)2
1(-f =
教学过程 一、课堂导入 我们生活在美的世界中,有过许多对美的感受,请想一下有哪些美? 对于对称美,请想一下哪些事物给过你对称美的感觉呢? 生活中的美引入我们的数学领域中,它又是怎样的情况呢?若给它适当地建立直角坐标系,那么会发现什么特点? 数学中对称的形式也很多,这节课我们就来复习在坐标系中对称的函数
二、复习预习 1、复习单调性的概念 2、复习初中的轴对称和中心对称 3、预习奇偶性的概念 4、预习奇偶性的应用
三、知识讲解 考点1 函数的奇偶性 [探究] 1. 提示:定义域关于原点对称,必要不充分条件. 2.若f(x)是奇函数且在x=0处有定义,是否有f(0)=0?如果是偶函数呢? 提示:如果f(x)是奇函数时,f(0)=-f(0),则f(0)=0;如果f(x)是偶函数时,f(0)不一定为0,如f(x)=x2+1. 3.是否存在既是奇函数又是偶函数的函数?若有,有多少个? 提示:存在,如f(x)=0,定义域是关于原点对称的任意一个数集,这样的函数有无穷多个.
考点2 周期性 (1)周期函数: 对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时,都有f(x+T)=f(x),那么就称函数y =f(x)为周期函数,称T为这个函数的周期. (2)最小正周期: 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.
四、例题精析 【例题1】 【题干】判断下列函数的奇偶性 (1)f(x)=lg 1-x 1+x ;(2)f(x)= ? ? ?x2+x(x>0), x2-x(x<0); (3)f(x)= lg(1-x2) |x2-2|-2 .
函数的奇偶性与周期性 1.奇函数f (x )的定义域为R ,若f (x +2)为偶函数,则f (1)=1,则f (8)+f (9)= ( ) A. -2 B.-1 C. 0 D. 1 2.在函数①|2|cos x y =,②|cos |x y = ,③)62cos(π +=x y ,④)42tan(π -=x y 中,最小正周期为π的所有函数为 A.①②③ B. ①③④ C. ②④ D. ①③ 3.设函数)(),(x g x f 的定义域为R ,且)(x f 是奇函数,)(x g 是偶函数,则下列结论中正确的是 A. )()(x g x f 是偶函数 B. )(|)(|x g x f 是奇函数 C. |)(|)(x g x f 是奇函数 D. |)()(|x g x f 是奇函数 4.已知()f x 是定义在R 上的奇函数,且是以2为周期的周期函数,若当(]0,1x ∈时 2()1f x x =-,则7()2 f 的值为 A 34- B 34 C 12- D 12 5.下列函数为偶函数的是 A. sin y x = B. 3y x = C. x y e = D. y = 6.设()f x 是周期为2的奇函数,当0≤x ≤1时,()f x =2(1)x x -,则5 ()2f -= (A) -12 (B)1 4- (C)14 (D)12 7.下列函数中,既是偶函数又在()0,+∞单调递增的函数是 (A )3y x = (B) 1y x =+ (C )21y x =-+ (D) 2x y -= 8.下列函数为偶函数的是() A.()1f x x =- B.()2f x x x =+ C.()22x x f x -=- D.()22x x f x -=+ 9.偶函数y=f(x)的图像关于直线x=2对称,f(3)=3,则f(-1)=_______. 10.函数)4)(()(-+=x a x x f 为偶函数,则实数a = . 11.已知()f x 为奇函数,()()9,(2)3,(2)g x f x g f =+-==则 .
函数的奇偶性及周期性 1. 已知定义在 R 上的奇函数 f(x) 满足 f(x+2)= -f(x) f(6) 的值为 ( ) A.-1 B.0 C.1 D.2 【答案】 B 【解析】 ∵ f(x+2)=-f(x), ∴ f(6)=f(4+2)=-f(4)=f(2)= -f(0) 又 f(x) 为R 上的奇函数 , ∴ f(0)=0. ∴ f(6)=0. 2. 函数 f ( x) x 3 sin x 1( x R), 若 f(a)=2, 则 f(-a) 的值为 ( ) A.3 B.0 C.-1 D.-2 【答案】 B 【解析】 设 g ( x) 3 sinx, 很明显 g(x) 是一个奇函数 . x ∴ f(x)=g(x)+1. ∵ f(a)=g(a)+1=2, ∴ g(a)=1. ∴ g(-a)=-1. ∴ f(-a)=g(-a)+1=-1+1=0. 3. 已知 f(x) 是定义在 R 上的偶函数 , 并满足 f(x+2)= 1 1 x 2 时 ,f(x)=x-2, 则 f ( x) f(6.5) 等于?? ( ) A.4.5 B.-4.5 C.0.5 D.-0.5 【答案】 D 【 解 析 】 由 f(x 2) 1 得 f(x 4) 1 f ( x ) f ( x 2) f(6.5)=f(2.5). 因为 f(x) 是偶函数 , 得 f(2.5)=f(-2.5)=f(1.5), 而 1 x 2 时 ,f(x)=x-2, 所以 f(1.5)=-0.5. 综上 , 知f(6.5)=-0.5. 4. 已知函数 f(x) 是定义在 R 上的奇函数 , 当 x>0时 ,f(x)= - 是 ( ) A. ( 1) B. ( 1] C. (1 ) D. [1 ) 【答案】 A 【解析】 当 x>0时 f ( x ) 1 2 x 1 1 x 2 当 x<0时,-x>0, ∴ f( x ) 1 2 x . 又∵ f(x) 为 R 上的奇函数 , ∴ f(-x)=-f(x). ∴ f ( x ) 1 2 x . ∴ f ( x ) 2 x 1 . ∴ f ( x) 2 1 1 即 2 x 1 . x ∴ x<-1. 2 2 ∴不等式 f ( x ) 1 的解集是 ( 1) . 2 5. 设 g(x) 是定义在 R 上、以 1为周期的函数 . 若函数 f(x)=x+g(x) 则f(x) 在区间 [0,3] . f ( x) 那 么 f(x) 的 周 期 是 4, 得 2 x 则不等式 f ( x) 1 的解集 2 1 2 在区间 [0,1] 上的值域为 [-2,5],
1.3.2《函数的奇偶性》教学设计 一、教材分析 “奇偶性”是人教A版必修1第一章“集合与函数概念”的第3节“函数的基本性质”的第2小节。奇偶性是函数的一条重要性质,教材从学生熟悉的函数入手,从特殊到一般,从具体到抽象,注重信息技术的应用,比较系统地介绍了函数的奇偶性.从知识结构看,它既是函数概念的拓展和深化,又为后续研究指数函数、对数函数、幂函数、三角函数的基础。因此,本节课起着承上启下的重要作用。学习奇偶性,能使学生再次体会到数形结合思想,初步学会用数学的眼光看待事物,感受数学的对称美。 二、学情分析 从学生的认知基础看,学生在初中已经学习了轴对称图形和中心对称图形,并且有了一定数量的简单函数的储备。同时,刚刚学习了函数单调性,积累了研究函数的基本方法与初步经验。从学生的思维发展看,高一学生思维能力正在由形象经验型向抽象理论型转变,能够用假设、推理来思考和解决问题。但是,学生看待问题还是静止的、片面的,抽象概括能力比较薄弱,这对建构奇偶性的概念造成了一定的困难。 三、教学目标 【知识与技能】1.能判断一些简单函数的奇偶性。2.能运用函数奇偶性的代数特征和几何意义解决一些简单的问题。 【过程与方法】经历奇偶性概念的形成过程,提高观察抽象能力以及从特殊到一般的归纳概括能力。 【情感、态度与价值观】通过自主探索,体会数形结合的思想,感受数学的对称美。
四、教学重点和难点 重点:函数奇偶性的概念和几何意义。难点:判断函数奇偶性的方法和格式。 五、教学方法 引导发现法为主,直观演示法、类比法为辅。 六、教学手段 PPT课件 七、教学过程 (一)设疑导入、观图激趣:出示一组轴对称和中心对称的图片。 设计意图:通过图片引起学生的兴趣,培养学生的审美观,激发学习兴趣。
1.结合具体函数,了解函数奇偶性的含义. 2.会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性. 3.了解函数周期性、最小正周期的含义,会判断、应用简单函数的周期性. ★备考知考情 1.对函数奇偶性的考查,主要涉及函数奇偶性的判断,利用奇偶函数图象的特点解决相关问题,利用函数奇偶性求函数值,根据函数奇偶性求参数值等. 2.常与函数的求值及其图象、单调性、对称性、零点等知识交汇命题. 3.多以选择题、填空题的形式出现. 一、知识梳理《名师一号》P18 注意: 研究函数奇偶性必须先求函数的定义域 知识点一函数的奇偶性的概念与图象特征 1.一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x, 都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数. 2.一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x, 都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数. 1
2 3.奇函数的图象关于原点对称; 偶函数的图象关于y 轴对称. 知识点二 奇函数、偶函数的性质 1.奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同, 偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反. 2. 若f (x )是奇函数,且在x =0处有定义,则(0)0=f . 3. 若f (x )为偶函数,则()()(||)f x f x f x =-=. 《名师一号》P19 问题探究 问题1 奇函数与偶函数的定义域有什么特点? (1)判断函数的奇偶性,易忽视判断函数定义域是否关于原点对称.定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件. (2)判断函数f (x )的奇偶性时,必须对定义域内的 每一个x , 均有f (-x )=-f (x )、f (-x )=f (x ), 而不能说存在x 0使f (-x 0)=-f (x 0)、f (-x 0)=f (x 0). (补充) 1、若奇函数()f x 的定义域包含0,则(0)0=f . (0)0=f 是()f x 为奇函数的 既不充分也不必要条件 2.判断函数的奇偶性的方法 (1)定义法: 1)首先要研究函数的定义域,
1.3《函数的单调性与奇偶性》教学设计 【教学目标】 1. 理解增函数、减函数、单调区间、单调性等概念;掌握增(减)函数的证明和判别;学会运用函数图象理解和研究函数的性质; 2. 理解函数单调性的概念及证明方法、判别方法,理解函数的最大(小)值及其几何意义; 3. 理解奇函数、偶函数的概念及图象的特征,能熟练判别函数的奇偶性. 【导入新课】 1.通过对函数x y 2=、x y 3-=、x y 1=及2x y =的观察提出有关函数单调性的问题. 2.阅读教材明确单调递增、单调递减和单调区间的概念. 3.实践活动:取一张纸,在其上画出平面直角坐标系,并在第一象限任画一可作为函数图象的图形,然后按如下操作并回答相应问题: ① 以y 轴为折痕将纸对折,并在纸的背面(即第二象限)画出第一象限内图形的痕迹,然后将纸展开,观察坐标系中的图形; 问题:将第一象限和第二象限的图形看成一个整体,则这个图形可否作为某个函数y=f(x)的图象,若能请说出该图象具有什么特殊的性质?函数图象上相应的点的坐标有什么特殊的关系? 答案:(1)可以作为某个函数y=f(x)的图象,并且它的图象关于y 轴对称; (2)若点(x ,f(x))在函数图象上,则相应的点(-x ,f(x))也在函数图象上,即函数图象上横坐标互为相反数的点,它们的纵坐标一定相等. ② 以y 轴为折痕将纸对折,然后以x 轴为折痕将纸对折,在纸的背面(即第三象限)画出第一象限内图形的痕迹,然后将纸展开,观察坐标系中的图形: 问题:将第一象限和第三象限的图形看成一个整体,则这个图形可否作为某个函数y=f(x)的图象,若能请说出该图象具有什么特殊的性质?函数图象上相应的点的坐标有什么特殊的关系? 答案:(1)可以作为某个函数y=f(x)的图象,并且它的图象关于原点对称; (2)若点(x ,f(x))在函数图象上,则相应的点(-x ,-f(x))也在函数图象上,即
1.10基本初等函数奇偶性和周期性 姓名___________ 本节重点:①能够正确判断函数的奇偶性和周期性;②运用基本初等函数的性质解题。 一.基础练习 1. 写出下列函数中,奇函数是________;偶函数是________;非奇非偶函数是________ ①sin 2y x = ②2cos y x = ③4221y x x =++ ④2(1)y x =- ⑤()x x f x e e -=- ⑥1()1 x f x x -=+ ⑦1()lg 1 x f x x -=+ ⑧23 ()f x x -= 2. 已知多项式函数32()f x ax bx cx d =+++,系数,,,a b c d 满足__________时,()f x 是奇函数; 满足___________时,它是偶函数. 3. 定义在R 上的奇函数()f x 满足(2)()f x f x +=-,则(2)f =________. 4. 函数sin 2y x =的周期是________;tan y x π=的周期是________. 5. 已知函数()f x 是定义在(-3,3)上的奇函数,当03x << ()f x 图象如右,则不等式 ()0f x x >的解集是____________. 二、例题讲解 例1:判断下列函数的奇偶性 (1)2 ()2||3f x x x =-- (2)22 2,0 ()2,0 x x x f x x x x ?-≥?=?--? (3)()|3|f x x x =+- 例2:含有字母的函数性质问题. (1)设函数()(),()x x f x x e ae x R -=+∈是偶函数,则实数a=____________. (2)函数2 ()(2)3f x ax b x =+-+是定义在[,34]a a --上的偶函数,则log a b =__________. (3)定义在(1,1)-上的奇函数()f x ,满足在(1,1)-上单调递减,若2 (1)(1)0f a f a -+-<,则实数a 的范围是____________. (4)若函数2 ()cos ,[, ]22f x x x x ππ =-∈- ,且(2)()63 f a f ππ ->,实数a 的范围是____________.
精锐教育学科教师辅导讲义 讲义编号11sh11sx00 学员编号: 年级:高二课时数:3 学员姓名:辅导科目:数学学科教师: 课题函数的奇偶性和周期性 授课日期及时段 教学目标 1、理解函数的周期性与奇偶性的概念 2、能根据函数的周期性求函数值或在相关区间上的函数解析式 3、会判断函数的奇偶性,并会结合周期性与奇偶性解决相关问题 教学内容 一、知识点梳理及运用 知识点一、函数的奇偶性 1、定义:设() y f x =,x A ∈,如果对于任意x A ∈,都有,则称函数() y f x =为奇函数;如果对于任意x A ∈,都有,则称函数() y f x =为偶函数 2、函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于对称 3、() f x是偶函数?() f x的图象关于y轴对称 () f x是奇函数?() f x的图象关于原点对称 4、若奇函数() f x的定义域包含0,则(0)0 f= 5、判断函数奇偶性的方法: ①定义法:首先判断其定义域是否关于原点对称 若不对称,则为非奇非偶函数 若对称,则再判断()() f x f x =-或()() f x f x =-是否成立 ②性质法:设() f x,() g x的定义域分别是 12 , D D,那么在它们的公共定义域 12 D D D =?上: 奇±奇=奇,偶±偶=偶,奇?奇=偶,偶?偶=偶,奇?偶=奇 典型例题 例1、(判断奇偶性)判断下列函数的奇偶性 (1)35 ()35 f x x x =+(2)2 ()3||1 f x x x =-+(3) 2 2 (0) () (0) x x x f x x x x ?+< ? =? -+> ?? (4)()|1||1| f x x x =+--