习题1—2
1.确定下列函数的定义域:
(1)91
2
-=x y ;
(2)x y a arcsin log =;
(3)x
y πsin 2
=
; (4))32(log 213-+-=x x y a ;(5))4(log 2
1
arccos 2x x y a -+-= 2.求函数
?????=≠=)
0(0
)0(1sin x x x
y
的定义域和值域。
3.下列各题中,函数)(x f 和)(x g 是否相同?
(1)2)(,)(x x g x x f ==;
(2)2
sin 21)(,cos )(2π
-==x g x x f ;
(3)1)(,1
1
)(2-=+-=x x g x x x f ;
(4)0)(,)(x x g x
x
x f ==
。 4.设x x f sin )(=证明:
??
? ??
+=-+2cos 2sin
2)()(x x x
x f x x f ??? 5.设5)(2++=bx ax x f 且38)()1(+=-+x x f x f ,试确定b a ,的值。
6.下列函数中哪些是偶函数?哪些是奇函数?哪些是既非奇函数又非偶函数?
(1))1(22x x y -= (2)3
23x x y -=; (3)2
211x x y +-=; (4))1)(1(+-=x x x y ; (5)1cos sin +-=x x y (6)2
x
x a a y -+=。
7.设)(x f 为定义在),(∞+-∞上的任意函数,证明:
(1))()()(1x f x f x F -+= 偶函数; (2))()()(2x f x f x F --=为奇函数。
8.证明:定义在),(∞+-∞上的任意函数可表示为一个奇函数与一个偶函数的和。 9.设)(x f 定义在),(L L -上的奇函数,若)(x f 在),0(L 上单增,证明:)(x f 在)0,(L -上也单增。
10.下列各函数中哪些是周期函数?对于周期函数,指出其周期: (1))2cos(-=x y (2)x y 4cos =; (3)x y πsin 1+=; (4)x x y cos =; (5)x y 2sin = (6)x x y tan 3sin +=。
11.下列各组函数中哪些不能构成复合函数?把能构成复合函数的写成复合函数,并指出其定义域。
(1)t x x y sin ,3==
(2)2,x u a y u ==; (3)23,log 2+==x u u y a ;
(4)2sin ,-==x u u y (5)3,x u u y == (6)2,log 2-==x u u y a 。
12.下列函数是由哪些简单函数复合而成的? (1)321)1(++=x y
(2)2
)1(3+=x y ;
(3))13(sin 2+=x y
(4)32cos log x y a =。
13.求下列函数的反函数: (1)x y sin 2=;
(2))2(log 1++=x y a ;
(3)1
22+=x x
y 。
习题1—3
1.利用数列极限定义证明:如果A u n n =∞
→lim ,则||||lim A u n n =∞
→,并举例说明反之不然。
习题1—4
1.设?
??≥+<=)1(1)1()(2x x x x x f
(1)作函数)(x f y =的图形; (2)根据图形求极限)(lim 1
x f x -→与)(lim 1
x f x +→;
(3)当1→x 时,)(x f 有极限吗? 2.求下列函数极限:
(1)|
|lim 0x x x +→; (2)||lim 20x x x
x ++→;
(3)||lim 2
x x x
x +-
→。 3.下列极限是否存在?为什么? (1)x x sin lim +∞
→;
(2)x x arctan lim ∞
→;
(3)x
x 1cos
lim 0
→; (4))e 1(lim x x -∞
→+;
(5)1
|
1|lim
1--→x x x ;
(6)x x -+∞
→e lim 。
习题1—5
求下列极限
1.???? ??+++?+?∞→)1(1321211lim n n x Λ; 2. ??? ??+++∞→22221
lim n n n n x Λ; 3. 3
5
lim 22-+→x x x ; 4.11
2lim 221++-→x x x x ;
5. h
x h x h 2
20)(lim -+→; 6. 1
1
lim
3
1
--→x x x 。
习题1—6
1.求下列极限:
(1))0(sin sin lim 0≠→b bx ax
x ;
(2)30sin tan lim
x
x
x x -→; (3)x
x x
x sin cos 1lim
0-→;
(4)x x
x x sin tan 2lim 0-→;
(5)x x
x arcsin lim 0→;
(6)x
x x ??
? ?
?
+
∞→21lim ; (7)t
t t ??
? ??-∞→11lim ;
(8)3
11lim +∞→?
?
? ??+x x x ;
(9)x x x cot 0
)tan 1(lim +→;
(10)x
x a x a x ??
?
??-+∞→lim ;
(11)1
22
212lim +∞→???
?
??++x x x x ; (12)n
x n ??
? ??
-∞→211lim 。
2.利用极限存在准则证明:
(1)11211
lim 2
22=??
?
??++++++∞→π
ππn n n n n x Λ; (2)数列222,22,2+++,…的极限存在; (3)11
1
lim 2=+++∞
→x x x 。
习题1—7
1.当n 无限增加时,下列整标函数哪些是无穷小?
(1)21n
; (2)1)1(+-n n ; (3)n n 12+; (4)n n π
cos 1-。
2.已知函数
x x x x
x x x -+e ,e ),1ln(,1
,1,sin 2
(1)当0→x 时,上述各函数中哪些是无穷小?哪些是无穷大? (2)当+∞→x 时,上述各函数中哪些是无穷小?哪些是无穷大?
(3)“x
1
是无穷小”,这种说法确切吗?
3.函数x x y cos =在),(∞+-∞是是否有界?又当+∞→x 地,这个函数是否为无穷大?为什么?
4.求下列极限 (1)1
000!lim 2+∞→n n
x ;
(2)2
lim
2-+∞
→n n n x ; (3)n n
x b b b a a a ++++++++∞→ΛΛ2211lim
;
)1||,1|(|<
(4)113)2(2)2(lim ++∞→+-+-n n n n x ; (5)1lim 3
1+-→x x x ; (6)15614lim 222
1+--→
x x x x ;
5.求下列极限:
(1)??
? ??
++∞→x x x x sin e lim ;
(2)x
x x 1
cos
lim 0
?→; (3)ππ
n n
n sin lim
∞
→;
(4)x
x
x arctan lim ∞→; (5)x x x arctan e lim -∞→; (6)x x x arctan e lim -+∞→。
6.下列各题的做法是否正确?为什么? (1)∞=--=--→→→)
9(lim )9(lim 99lim
9
2929x x x x x x x (2)01
1
lim 11lim )1111(
lim 21121
=∞-∞=---=---→→→x x x x x x x
(3)01
lim cos lim cos lim
=?=∞→∞→∞→x
x x x x x x 。
7.证明:当0→x 时,x x ~arcsin ,x x ~arctan 。 8.利用等价无穷小的性质,求下极限:
(1)x x x 3sin 2sin lim 0→; (2)x
x
x arctan 2sin lim 0→;
(3)m n x x x )(sin sin lim 0→(n m ,为正整数);(4)x
x
x cos 1lim 0-+→。 9.当1→x 时,233+-x x 是1-x 是多少阶无穷小?
10.当+∞→x 时,114++x x 是x 1
是多少阶无穷小?
11.当∞→x 时,x x 1sin 1是x
1
是多少阶无穷小?
习题1—8
1.研究下列函数的连续性,并画出函数的图形: (1)x
x
x f =)(;
(2)?
??≤<-≤≤=)21(2)
10()(2x x x x x f ;
(3)???>≤=)
1|(|)1|(|)(2x x x x x f ; (4)???=≠=)0(1)
0(||)(x x x x ?。
2.指出下列函数的间断点,说明这些间断点属于哪一类?如果是可去间断点,则补充或改变函数的定义使它连续。
(1)23122+--=x x x y ; (2)x n y tan =; (3)x
y 1
cos 2=。
3.a 为何值时函数???≤<+≤≤=)21()
10(e )(x x a x x f x 在[0,2]上连续?
4.讨论函数x x x x f n
n
n 2211lim
)(+-=∞→的连续性,若有间断点,判断共类型。
习题1—9
1.设)(x f 连续,证明|)(|x f 也是连续的。
2.若)(x f 在],[b a 上连续,且在],[b a 上)(x f 恒为正,证明:)
(1
x f 在],[b a 上迹连续。
3.求下列极限:
(1)52lim
20
+-→x x x ; (2)34
)2(sin lim x x π
→
; (3)x
x
x x sin 3sin 5sin lim
0-→;
(4)a
x a
x a x --→sin sin lim ; (5))0(lim
>--→a b x a a b x b x ; (6)x
x x )
31ln(lim
0+→;
(7)x x x
x +→20sin lim ; (8)x x th lim +∞
→;
(9))12(lim 3
-+-∞
→x x x ;
(10)4
2
2lim 2
2
--+-+
→x x x x ;
(11)1
lim
++++∞
→x x
x x x
(12)x
a
x a x ln )ln(lim 0-+→。
习题1—10
1.证明:方程135=-x x 在区间(1,2)上至少有一个根。
2.设)(x f 在闭区间[a ,b ]上连续,n x x x ,,,21Λ是[a ,b ]内的n 个点,证明:],[b a ∈?ξ,使得
n
x f x f x f f n )
()()()(21+++=
Λξ
习题2—1
1.用导数定义求下列函数的导数: (1)b ax y += (b a ,是常数);
(2)x x f cos )(=;
(3)x
y 1
=
。 2.下列各题中假定)(0x f '存在,按照导数定义观察下列极限,指出A 表示什么? (1)A x
x f x x f x =--→???)()(lim 000
; (2)A x x f x =→)
(lim 0,其中,0)0(=f ;
(3)A h
h x f h x f h =--+→)
()(lim
000。
3.利用幂函数求导数公式,求下列函数的导数:
(1)x x y ?=2; (2)326.1x x y ?=; (3)2
x x y =
;
(4)5
32x
x x y ?=
。
4.已知函数x
x f 1
)(=
,求)2(),1(-''f f 。 5.已知函数x x f =)(,求)4(),2(f f ''。
6.自由落体运动22
1
gt s =(g =9.8米/秒2)。
(1)求在从5=t 秒到(t t ?+)秒时间区间内运动的平均速度,设1=?t 秒,1.0-秒,
0.001秒;
(2)求落体在5秒末的瞬时速度; (3)求落体在任意时刻t 的瞬时速度。
7.函数在某点没有导数,函数所表示的曲线在该点是不是就没有切线?举例说明。
8.设函数?
??>+≤=)1()
1()(2x b ax x x x f 为了使函数)(x f 在1=x 处连续可导,a ,b 应取什
么值?
9.求曲线x y sin =在π=x 及3
2
=x π处的切线斜率。
10.求曲线3x y =上取横坐标为11=x 及32=x 的两点,作过这两点的割线。问该抛物线上哪一点的切线平行于这条割线?
12.证明函数数?????=≠=)0(0
)
0(1sin )(x x x
x x f 在0=x 处连续,但不可导。 13.函数|sin |x y =在0=x 处的导数是否存在,为什么? 14.讨论下列函数在指定点处的连续性与可导性:
(1)?????=≠=)0(0)
0(1sin )(2
x x x
x x f 在点0=x 处; (2)1
1
--=x x y 在点1=x 处;
(3)|2|+=x y 在点2-=x 处。
习题2—2
1.求下列函数的导数: (1)c bx ax y ++=2; (2))2(2x x y +=; (3))1()1()(2-+=v v v f ;
(4)x x y cos 2=;
(5)???ρsin )(=; (6)x a y x 2
3-=;
(7)2
11
x
x y ++=
; (8)t
t
s sin 1sin 1+-=
;
(9)t t y sin )sec 2(+=。
2.求下列函数在指定点处的导数:
(1)0111)(a x a x a x a x f n n n n ++++=--Λ,求)0(f ',)1(f ';
(2))2sin(2-=x x y ,求)2(y '。
3.求下列函数的导数(其中x ,t 是自变量,b a ,是大于零的常数): (1)2
21x a y -=
; (2)2
22a x x y +=
; (3)x y 2ln 1+=; (4)2
tan
x
y =;
(5)x y e 1+=;
(6)2cos x y =;
(7)2
1121x x y ++
+=;(8)2
cot 3sin 2
x
x y =; (9))12(sin 2-=x y ;
(10)21sin x y +=; (11)321cot x y +=;
(12)2
2
sine -+=x x
y ; (13))(cos cos 22x y =; (14)x
x y 1
sin 2=; (15)??
? ?
?
+
+=x x y 1tan 1; (16)x x y ln /2=;
(17)t t y 33-= (18))21ln(2x x x y +++=;
(19)x y 3
sin e =;
(20))(ln 23x y =;
(21))]ln[ln(ln t y =;
(22)x
y 1
arccos =;
(23)x y 31arccos -=; (24)x x y arctan =;
(25)2
1arccos x x x y --= (26)2
1arcsin x x
y -=; (27)x x y -??? ??
=e 1arccos 2
;
(28)x x y +-=11arcsin
; (29))1ln(arctan 2x y +=;(30)x
x
y arccos arcsin =; (31)???
? ??=x y 1arccos cos ;(32)x
x y e arctan e arcsin +=;(33)b
x
x
a x x
b b a y ??? ????? ????? ??=; (34)x
y 1
sin 2
e
-=; (35))ch(sh x y =; (36))th(ln x y =; (37)x x y ch e sh =;
(38))arctan(th x y =
(39)x
x y 2
ch 21)ln(ch +
=。
4.求与曲线52+=x y 相切且通过点(1,2)的直线方程。
5.求曲线x x y ln =的平行于直线0322=+-y x 的法线方程。 6.抛物线2x y =上哪一点的切线与直线013=+-y x 交成45°角。
7.求过曲线22e x y x +=上横坐标0=x 的点处的法线方程,并求从原点到该法线的距离。
8.设)(x f 对x 可导,求x
y
d d :
(1))(2x f y =; (2))(e )(e x f x f y =;
(3))]([x f f y =
(4))(cos )(sin 22x f x f y +=。
习题2—3
1.求下列函数的二阶导数: (1)x x y cos =; (2)2
2
x a y -=;
(3)x
x x y 4
23++=;
(4)x y tan =; (5)x x y arctan )1(2+=; (6)x
y e
=;
(7)x y sin ln =;
(8)x x x y 3sin 2sin sin ??=;(9))ln(22a x x y -+=。
2.验证函数2121,,(e e C C C C y x x λλλ-+=是常数)满足关系式02=-''y y λ。 3.验证函数x y x sin e =满足关系式022=+'-''y y y 。
4.求下列函数的高阶导数: (1)x x y 22e =,求)20(y ; (2)x x y 2sin 2=,求)50(y 。
5.若)(x f ''存在,求下列函数y 的二阶导数2
2d d x y :
(1))(2x f y =
(2))(sin 2x f y =;
(3))](ln[x f y =。
6.试从y y x '=1
d d 导出3
22)
(d d y y y x '''-=。
习题2—4
1.求下列方程所确定的隐函数y 的导数
x
y
d d : (1)222R y x =+; (2)222a y xy x =++;
(3)y x xy +=e ;
(4)x y y x =
(5))sin(cos y x y x +=;
(6)22ln arctan y x x y
+=。
2.利用对数求导法求下列函数的导数: (1)x
x
y 2=;
(2)x
x y )(ln =; (3)x
x y 1=
; (4)x
x y cos )
(sin =; (5))
1)(25(2
3---=
x x x y ;
(6)3
2
2)
1()
1(-+=x x x y 。
3.求圆17)3()1(22=++-y x 过点(2,1)的切线方程。 4.设)sin(y x y +=,求y ''。 5.设s t s e 1+=,求t s ''。
6.已知???==t
y t x 42, 求 2
2d d ,d d x y
x y 。 7.已知星形线?????==t
a y t
a x 33sin cos , 求 22d d ,d d x y x y 。 8.已知摆线?
??-=-=)cos 1()sin (???a y a x ,求 22d d ,d d x y
x y 。 9.求下列曲线在给定点处的切线和法线方程:
(1)???==θθsin cos b y a x ,在4πθ=处; (2)???
?
???+=
+=22
21313t at y t at x ,在2=t 处。 10.已知质点运动方程为?????=-+=2
2421t
y t
t x
(1)求质点出发时所在的位置;
(2)2=t 秒时的水平与铅直方向的速度; (3)求水平方向加速度与铅直方向加速度。
11.验证参量方程??
???==t y t
x t
t cos e sin e ,
所确定的函数y 满足关系式
??
? ??-=+y x y x y x x y
d d 2)(d d 2
22。 12.一架直升机离开地面时,距离一观察者120米,它以40米/秒的速度垂直上飞,求起飞后15秒时,飞机飞离观察者的速度?
13.将水注入深8米、上顶直径8米的正圆锥形容器中,其速率每分钟4立方米,当水深为5米时,其表面上升的速度为多少?
14.有一长为5米的梯子,靠在墙上,若它的下端沿地板以3米/秒的速度离开墙脚滑动,问:
(1)当其下端离开墙脚多少米,梯子的上、下端滑动的速率相同? (2)它的下端离开墙脚1.4米时,梯子上端下滑的速率是多少? (3)何时它的上端下滑的速率为4米/秒?
习题2—5
1.求下列函数的微分 (1)1352++=x x y ; (2))4)(2(2-+=x x x y ;
(3)
)12arcsin(2-=x y ;
(4)x x y +=2ln 2; (5))tan ln(sec t t y +=; 2.求下列函数在指定点的微分:
(1)x y arcsin =,在2
1
=x 和22α=x 时)2|(|<α;
(2)2
1x
x
y +=,在0=x 和1=x 处。 3.求下列函数在指定条件下的微分:
(1)1.0,10,2==-=x x x x y ?; (2)2
)1(tan 1+=x y ,当x 从6π变到36061π
时。 4.若函数12+=x y ,
(1)在1=x 处,01.0=x ?,试计算y y ?,d 及y y d -?;
(2)将点x 处的微分y d ,增量y ?和y y d -?在函数图形上标出。 5.填空:
(1)x x d 2)d(=; (2)x x d 1
)d(=
(3)x x
d 1)d(2=; (4)x x d
e )d(-=; (5)x x d 2sin )d(=;
(6)x x
2d )d(= (7)x x x d )(
d e )d(22
==;(8)x x x x d )()d(cos )d()cos d(sin =+=+。
1.验证x x F sin ln )(=在?
?????65,6ππ上满足Rolle 定理的条件,并在??
?
??65,6ππ上,找出使0)(='ξf 的ξ。
2.以定义在[1,3]上的函数)3)(2)(1()(---=x x x x f 为例,说明Rolle 定理是正确的。
3.已知函数)1()1(,1)(32f f x x f =--=,但在[-1,1]没有导数为零的点,这与Rolle 定理是否矛盾?为什么?
4.验证函数x x f arctan )(=在[0,1]上满足Lagrange 中值定理的条件,并在区间(0,1)内找出使))(()()(a b f a f b f -'=-ξ成立的ξ。
5.当0 x f 1 )(=在(a ,b )上能否找到满足有限增量公式的ξ点? 这与Lagrange 中值定理是否矛盾? 6.不用求出函数)4)(3)(2)(1()(----=x x x x x f 的导数,说明方程0)(='x f 有几个实根?并指出它们所在的区间。 7.证明恒等式:)11(2 arccos arcsin ≤≤-=+x x x π 。 8.若方程011 1=+++--x a x a x a n n n n Λ有一个正根0x x =,证明:方程 0)1(1211=++-+---a x n a nx a n n n n Λ必有一个小于0x 的正根。 9.若函数)(x f 在),(b a 上具有二阶导数,且)()()(321x f x f x f ==其中,b x x x a <<<<321,证明:在(31,x x )上至少有一点ξ,使得0)(=''ξf 。 12.证明下列不等式: (1)|||sin sin |1212x x x x -≤-; (2)|||arctan arctan |1212x x x x -≤-; (3)当1>x 时,x x e e >。 习题3—2 1.求下列各题的极限: (1)x x x ) 1ln(lim 0+→; (2))0(lim 33 >--→a a x a x a x ; (3)x x x sin ln 3sin ln lim 0 + →; (4)x x x x sin e e lim 0-→-; (5)2/120e lim x x x →; (6)x x x cot arc 11ln lim ? ? ? ?? ++∞→; (7))1ln(ln lim 1-?+→x x x ;(8)?? ? ??--→x x x x ln 11lim 1; (9)x x x sin 0 lim +→; (10)x x x tan 01lim ?? ? ??+→; (11))0,1(lim >>+∞→n a a x x n x ; (12)3 sin lim 0x x x x ??? ??→。 2.验证x x x x x cos sin lim +-+∞→存在,但不能用L 'Hospital 法则计算。 1.将x 的多项式435234+-+-x x x x 表为(4-x )的多项式。 2.应用Maclaurin 公式,将函数33)13()(+-=x x x f 表示为x 的多项式。 3.当40=x 时,求函数x y =的三阶Taylor 公式。 4.当10-=x 时,求函数x x f 1 )(=的n 阶Taylor 公式,并写出拉格朗日型余项。 习题3—4 1.判定函数)20(cos )(π≤≤+=x x x x f 的单调性。 2.证明:x x y +=3单调增加。 3.判定函数x x x f -=arctan )(的单调性。 4.证明:x x y 1 2-=在不含点0=x 的任何区间都是单调增加的。 5.求下列函数的单调区间: (1)7186223---=x x x y ; (2)45)12()2(+-=x x y ; (3)x x x y 69410 2 3+-=; (4))0())(2(32>--=a x a a x y ; (5)x x y ln 22-=; (6))1ln(2x x y ++=。 6.证明下列不等式: (1)x x +>+12 1 1 )0(>x ; (2))0(1)1ln(12 2>+>+++x x x x x ; (3)??? ?? <<>+202tan sin πx x x x ; (4))0(arctan ≤≥x x x 。 7.试证方程x x =sin 只有一个实根。 8.试确定方程029323=+--x x x 的实根个数,并指出这些根所在范围。 9.单调函数的导函数是否必为单调函数?(研究:x x x f sin )(+=) 习题3—5 1.求下列函数的极值: (1)2332x x y -=; (2)2 5431x x y ++= ; (3))1ln(2x x y +-=; (4)x x y 1 =; (5)x x y -+=e e 2; (6)x x y tan +=。 2.求下列函数在指定区间上的最大值和最小值: (1)155345++-=x x x y , ]2,1[-; (2),112 2x x x x y -++-= ]1,0[; (3)x b x a y -+ =12 2, )0(),1,0(>>b a ; (4)x x y -+=1, ]1,5[-; (5)x x y -=2sin , ?? ????-2,2ππ; (6)x x y +-=11arctan , ]1,0[; (7)|23|)(2+-=x x x f , ]10,10[-。 3.将8分为两部分,怎样分才使它们的立方之和为最小? 4.设一球的半径为R ,内接于此球的圆柱体的最高为h ,问h 为多大时圆柱的体积最大? 5.过平面上一已知点)4,1(P 引一条直线,要使它在二坐标轴上的截距都为正,且它们之和为最小,求此直线的方程。 6.对某个量x 进行n 次测量,得到n 个测量值n x x x ,,,21Λ,试证:当x 取这n 上数的算术平均值 n x x x n +++Λ21时,所产生的误差的平方和: 22221)()()(n x x x x x x -++-+-Λ为最小。 7.有一杠杆,支点在它的一端,在距支点0.1m 处挂一重量为49kg 的物体,加力于杠杆的另一端,使杠杆保持水平(图3.5.3),如果杠杆本身每米的重量为5kg ,求最省力的杆长? 8.从一块半径为R 的圆铁片上挖去一个扇形做成一个漏斗(图 3.5.4)。问留下的扇形的中心角?为多大时,做成的漏斗的容积最大? 习题3—6 1.求下列各函数的凹凸区间及拐点: (1)5352 3 -+-=x x x y ; (2)2 2 3 3a x x y += (a 为任意正数); (3)5x y =; (4)x x y e )1(4++=; (5)x y arctan e =; (6))1ln(2+=x y ; (7))7ln 12(4-=x x y ; (8)x x y -=e 。 2.问a 和b 为何值时,点(1,3)为曲线23bx ax y +=的拐点? 3.求曲线?? ???+==3 23t t y t x 的拐点。 4.试确定22)3(-=x k y 中的k 的值,使曲线的拐点处的法线通过原点。 习题3—7 求下列曲线的渐近线: 1.5 41 2+-=x x y ; 2.2)1)(1(x x x y -+=; 3.3 4)1(x x y +=; 4.1 2 2-= x x y ; 5.2 arctan 2x x y +=。 习题3—8 描绘下列函数的图形: 1.)786(51 24++-=x x x y 。 2.241 x x y +=。 3.2 )1(e --=x y 。 4.)1ln(2+=x y 。 5.)0(92 2 3 >+= a a x a y 。 6.)0(sin e ≥=-x x y x 。 习题3—9 1.求抛物线342+-=x x y 在顶点处的曲率及曲率半径。 2.计算曲线x y ch =上点(0,1)处的曲率。 3.求曲线?? ???==t a y t a x 3 3sin cos 在0t t =处的曲率。 4.求曲线???-=+=) cos (sin )sin (cos t t t a y t t t a x 在2π =t 处的曲率。 5.证明曲线a x a y ch =在任何一点处的曲率半径为a y 2。 习题3—10 1.试证明方程0155=++x x 在区间(0,1-)内有惟一的实根,并用切线法求这个根的近似值,使误差不超过0.01。 2.求方程1lg =x x 的近似根,使误差不超过0.01。 习题4—1 1.定积分 ? b a x x f d )(的几何意义可否解释为: 介于曲线)(x f y =,x 轴与b x a x ==,之间的曲边梯形的面积? 2.设物体沿x 轴,在变力)(x F F =的作用上,由点a 移到点)(b a b <,试用定积分概念(积分和式的极限)来表示变力F 所作的功W 3.利用定积分的几何意义,说明下列等式: (1)1d 210 =? x x ; (2)? = -10 24 d 1π x x ; (3) ?- =π π0d sin x x ; (4) ?? -=22 20 d cos 2d cos π ππ x x x x 。 4.把下列定积分写成积分和式的极限: (1)?+102d 11 x x ; (2)? π0 d sin x x 。 5.根据定积分的性质,说明下列积分哪一个的值较大? (1)?102 d x x 与 ? 10 3 d x x ; (2)? 2 1 2 d x x 与 ? 2 1 2d x x ; (3) ? 2 1 d ln x x 与 ? 2 1 2 d )(ln x x ; (4) ? --?? ? ??12d 31x x 与? --12 d 3x x 。 6.求由 ? ? =+ -y x t t t t 0 20d )cos(d e 2 确定的隐函数y 对x 的导数 x y d d 。 7.计算下列各导数: (1)? x t t t x 1d sin d d ; (2) ?x t t x ln 1d e d d 2 ; (3)x x y y d 1d d 40 +? ; (4) ? -22 d e d d x x t t x 。 8.计算下列各定积分: (1)? 3 1 3d x x ; (2)? +94 d )1(x x x ; (3) ? --212 12 1d x x ; (4) ? + 3 3/12 1d x x ; (5)?-10 d e x x (6) ? 40 2d tan π θθ; (7) ? π20 d |sin |x x ; (8)设???>≤=) 1(3) 1(2)(2 x x x x x f ,求? 20 d )(x x f 。 9.求下列极限 (1)? →0sin 20d )cos(1lim x x t t x ; (2)1 d )(arctan lim 2 20 2+? +∞ →x t t x x 10.设?? ?≤<≤≤=) 21() 10()(2 x x x x x f , 求? = x t t f x 0 d )()(Φ在[0,2]上的表达式,并讨论)(x Φ在(0,2)内的连续性。 11.求极限 2 3)321(lim - ∞ →++++n n n Λ。 习题4—2 1.求下列不定积分(其中,a ,m ,n ,g 为常数): (1)?x x x d ; (2)? x x x 2 d ; (3) ? x x m n d ; (4)? ??? ? ??+--u u u u d 1136.0; (5)? gh h 2d ; (6) ? -x x d )2(2; (7) ?+x x d )1(2 2 ; (8) ?-+x x x d )1)(1( 3 ; (9)? +x x x d 3104 3; (10)? -x x x d )1(2 ; (11) ? +++x x x x d 1 1 33224; (12)x x x d 12 1322 ? ??? ? ? ?--+; (13)? ??? ? ??--x x x x d e 1e 2; (14)??t a t t d e ; (15) ? ?-?x x x x d 3 2532; (16)?-x x x x d )tan (sec sec ;(17)? x x d tan 2; (18) ? +x x 2cos 1d ; (19) ? x x d 2 cos 2 ; (20) ? -x x x x d sin cos 2cos ; (21) ? ?x x x x d sin cos 2cos 22。 2.x x x sh e ,e 2 1 2和x x ch e 是否都是x 2e 的原函数? 3.已知曲线上任意一点的切线的斜率为切点横坐标的二倍,求满足上述条件的所有曲线方程,并求出过点(0,1)的曲线方程。 4.一物体由静止开始运动,经t 和后的速度是23t (米/秒),问: (1)在3秒后物体离开出发点的距离是多少? (2)物体走完360米需要多少时间? 习题4—3 1.计算下列不定积分: (1)?t t d e 5; (2)? -x x d )21(5; (3) ? -x x 23d ; (4)?-x x d 28; (5)? t t t d sin ; (6)? +x x x d e e ; (7) ? -+x x a x a d ; (8) ?x x x x ln ln ln d ; (9)? x x x d sec tan 210; (10)? ?x x x cos sin d ; (11)?-+x x x e e d ; (12)? x x x d )cos(2; (13)? +x x x d 46 2 ; (14)? +x x x d 13 2 ; (15) ? -x x x d 4 12; (16)? +-x x x x d e 1)e 1(e 2; (17)? ?x x x d sin cos 34; (18)?+?x x x x d cos 1sin cos 2 ; (19)? --x x x d 11 22 ; (20)?+x x x d 92 3 ; (21)?++x x x x d 5 224 ; (22) ?-2 4d x x ; (23) ?-1 2d 2x x ; (24) ? -+) 2)(1(d x x x ; (25)?x x d cos 2 ; (26)?+t wt d )(cos 2 ?; (27)??x x x d sec tan 3 ; (28)?-x x x d 1102 arccos 2; (29)??x x x d 5cos 3cos ; (30)?-2 2 1) (arcsin d x x x ; (31) ? -2 2 2d x a x x ; (32) ?-1d 2 x x x ; (33) ? +3 2 ) 1(d x x ; (34) ? -x x x d 9 2; (35)?+ x x 21d ; (36) ?-+ 2 11d x x 。 2.计算下列定积分 (1)? -+122sin 1d x x ; (2)? -++02 2 2 2d x x x ; (3)? +411d x x ; (4)? +40 2sin 1d π x x ; (5) ?2 /6 /2d cos ππ u u ; (6)? -10d 1x x x ; (7) ? --2 2 2 d 28y y ; (8) x x a x a d 0 2 22 ? - (9) ? -22 /12 2d 1x x x ; (10) ?+312 21d x x x ; (11) ? +3 0)1(d x x x ; (12) ? -a x a x x 20 2 2 3d ; (13) t t t t d e 10 2? - ; (14)? +2e 1 ln 1d x x ; (15) ?-22 d 2cos cos π πx x x ; (16) ?- -22 3 d cos cos π π x x x ; (17)? +π d 2cos 1x x ; (18)? +10 1 e d x x 。 3.利用函数的奇偶性计算下列积分 (1)?- π πx x x d sin 4 ; (2)?-22 4 d cos 4π πθθ; (3) ? --212 12 2 d 1)(arcsin x x x ; (4) ? -++55 2 4 23d 1 2sin x x x x x 。 4.设)(x f 为连续函数,证明: ? ? >=a a a x x xf x x f x 00 2 32)0(d )(2 1 d )(。 5.设)(x f 在],[b b -上连续,证明: ?? ---= b b b b x x f x x f d )(d )(。 6.对于任意常数a ,证明: ? ? -= a a x x a f x x f 0 d )(d )(。 7.证明:? ? >+= + 1 11 2 2 )0(1d 1d x x x x x x x 。 8.证明:? ? -= -10 1 d )1(d )1(x x x x x x m n n m 。 9.证明: ? ? =π π 20 d sin 2 d sin x x z x n n 。 10.设)(x f 是以l 2为周期的连续函数,证明:? +-l a l a x x f d )(的值与a 无关。 11.若)(x f 是连续函数且为奇函数,证明:? x t t f 0 d )(是偶函数; 若)(x f 连续函数且为偶函数,证明:? x t t f 0 d )(是奇函数。 习题4—4 1.计算下列不定积分: (1)? x mx x d cos ; (2)?-t t t d e 2; (3)? t t d arcsin ; (4)?-x x x d )1ln(; (5)?x x x d ln 2; (6)?x x x d arctan 2 ; (7)?x x x d tan 2 ; (8)?x x x d cos 2 ; (9)?x x d )(ln 2 ; (10)?-x x x d ) 1(ln 2 ; (11)?-x x x d 2sin )1(2;(12)? ?x x x x d cos sin ; (13)?dx ) (ln 2 2x x ; (14)? -x x x d 2 sin e 2; (15)?x nx ax d sin e ; (16)x x d e 1 2-? ; (17)?x x x d cos 2; (18)x x ? d )(arcsin 2; (19) ? ++x x x d 1 )1ln(; (20)x a x x d 222 ?+; (21)?x x d arctan 。 2.计算下列定积分: (1) ? e 1d ln x x x ; (2)?3 42d sin π πx x x ; (3) ? π 2d )sin (x x x ; (4)?-+1 02 d )2() 1ln(x x x ; (5)? -2 1 2 d 1arctan x x ; (6)?20 2d cos e π x x x ; (7)? e 1 d )sin(ln x x ; (8) ? 40 d e x x ; (9) ? -e e 1 d |ln |x x 。 习题4—5 1.求下列不定积分: (1)?-++x x x x d 10 3322 ; (2)? --+x x x x x d 8 345; (3) ?+x x d 1 3 3 (4)? +++)3)(2)(1(d x x x x x ;(5) ? -++x x x x d ) 1()1(122; (6)? +)1(d 2x x x ; (7)? ++))(1(d 22x x x x ; (8)? +1 d 4x x (9)? -x x d 1 1 4; (10)?+x x tan 1d ; (11)? ++x x x cos sin 1d ; (12)? ++3 1 1d x x ; (13)? ++x x x d 1 1)(3; (14)?++-+x x x d 1111; (15) ? +x x x d 14; (16) ? -+x x x d 11; (17) ? +x x x d ) 1(1; (18) ?++x x x x d 2 212 。 2.用学过的方法求下列不定积分 (1)?-x x x d ) 1(3 ; (2)? +x x x d )6(3611; (3) ? ++x x x x d sin cos 1; (4)?x x x d ln ln ; (5)? -2 /522) (d x a x ; (6) ? +x x x d 11 24; (7) ? x x x d sin ; (8)? +x x d )1ln(2; (9)? x x x x d sin cos 3 ; (10) ? +x x x d sin cos 1; (11) ?+x x x d ) 1(2 83 ; (12)x x x x d 2 34 811 ? ++; (13) ?-x x x d 14 2 ; (14) ? x x x d sin 2cos 34 π ; (15) ?+x x x x x d ( 3 3 ; (16)? x x d 2sin e 2 sin ; (17)? ++x x x d )]1[ln(22;(18) ?+x x x d ) 1(ln 2 /32; (19) x x x d arcsin 12 ? -;(20) ? -x x x x d 1arccos 2 2; (21) ?+x x x d 2sin tan 1; (22)?x x x d cos sin 14 4; (23)? +-x x x d cos 2sin 2; (24) ? +x x x x x d cos sin cos sin 。 习题5—2 1.求由下列各曲线所围图形的面积: (1)x y x y -+==1e ,ln 及直线0=y ; (2)x x y y -==e ,e 及直线1=x ; (3)y x y ,ln =轴与直线)0(ln ,ln b a b y a y <<==;(4)2x y =与直线x y =及x y 2=。 2.求由下列曲线所围图形的面积: (1)θcos 2a r =; (2)t a y t a x 33sin ,cos ==; (3))cos 2(2θ+=a r 。 3.求下列各曲线所围图形的公共部分的面积: (1)1=r 及θsin 1+=r ; (2)θsin 2=r 及θ2cos 2=r 。 习题5—3 1.设D 曲线x y sin 1+=与三角直线0,,0===y x x π围成的曲边梯形,求D 绕x 轴旋转一周所成的旋转体积。 2.求2x y =与3x y =围成的图形绕x 轴旋转所成的旋转体体积。 3.有一铸件,系由抛物线110 ,1012 2+==x y x y 与直线10=y 围成的图形绕y 轴旋转而 成的旋转体。试算出其质量(长度单位是10-2m ,铸件密度7.8×103kg/m 3)。 4.求下列曲线围成的图形沿给定轴旋转产生的旋转体之体积: (1)2x y =,2y x =,绕y 轴; (2)16)5(22=-+y x ,绕x 轴。 5.设有截锥体,高为h 上、下底为椭圆,椭圆的轴长分别为a 2,b 2和A 2,B 2,求截锥体的体积。 6.计算底面是半径为R 的圆,而垂直于底而上一条固定直径的所有截面都是等边三角形的体积(图5.3.5)。 习题5—4 1.计算曲线x y ln =上相应于83≤≤x 的一段弧的长度。 2.计算曲线)3(3 x x y -=上相应于31≤≤x 的一段弧的长度。 3.求曲线?- = x x x y 2 d cos π 的弧长。 4.计算星形线t a y t a x 33sin ,cos ==的全长。 5.计算渐伸线)cos (sin ),sin (cos t t t a y t t t a x -=+=上相应于t 从0到π的一段弧的长度。 6.求对数螺线θa r e =自0=θ到?θ=的一段弧长。 7.求曲线1=θr 自43=θ到3 4 =θ的一段弧长。 8.求心形线)cos 1(θ+=a r 的全长。 9.计算曲线)1ln(2 1 ,arctan 2t y t x +==从0=t 到1=t 的弧长。 习题5—6 1.直径为20厘米,高为80厘米的圆柱体内充满压强为10Newton/厘米2的蒸气,设温度保持不变,要使蒸气体积缩小一半,问需要做多少功? 2.一物体按规律3ct x =作直线运动,媒质的阻力与速度的平方成正比,计算物体在由0=x 移至a x =时,克服媒质阻力所做的功。 3.洒水车上的水箱是一个横向的椭圆柱体,尺寸如图5.6.5所示,当水箱装满水时,计算水箱的一个端面所受的压力。 4.有一等腰梯形闸门,它的两条底边各长10米和6米,高为20米,较长的底边与水面相齐,计算闸门的一侧所受的水压力。 5.一高为5米的圆柱形贮水桶,其底半径为3米,桶内装满了水,问把桶内的水全部吸收需要做多少功? 6.一底为8厘米,高为6厘米的等腰三角形片,铅直地沉没在水中,顶在上,底在下且与水面平行,而顶离水面3厘米,试求它每面所受的压力。 7.边长为a 和b (b a >)的矩形薄板,与液面成α角斜沉于液体内,长边平行于液面而位于深h处,试求薄板每面所受的压力(假设液体比重为ρ重力加速度为g)。 8.设有长为l ,线密度为ρ的均匀细棒,在与棒的一端垂直距离为a 单位处有一质量为m 的质点M ,试求细棒对质点M 的吸引力。 9.设有一半径为R ,中心角为?的圆弧形细棒,其线密度为常数ρ,在圆心处有一质量为m 的质点M ,试求这细棒对质点M 的引力F 。 一 单项选择题(每小题3分,共15分) 1.设lim ()x a f x k →=,那么点x =a 是f (x )的( ). ①连续点 ②可去间断点 ③跳跃间断点 ④以上结论都不对 2.设f (x )在点x =a 处可导,那么0()(2)lim h f a h f a h h →+--=( ). ①3()f a ' ②2()f a ' ③()f a ' ④ 1()3f a ' 3.设函数f (x )的定义域为[-1,1],则复合函数f (sinx )的定义域为( ). ①(-1,1) ②,22ππ??-??? ? ③(0,+∞) ④(-∞,+∞) 4.设2()()lim 1() x a f x f a x a →-=-,那么f (x )在a 处( ). ①导数存在,但()0f a '≠ ②取得极大值 ③取得极小值 ④导数不存在 5.已知0lim ()0x x f x →=及( ),则0 lim ()()0x x f x g x →=. ①g (x )为任意函数时 ②当g (x )为有界函数时 ③仅当0lim ()0x x g x →=时 ④仅当0 lim ()x x g x →存在时 二 填空题(每小题5分,共15分) 1.sin lim sin x x x x x →∞-=+____________. 2.31lim(1)x x x +→∞+=____________. 3.()f x =那么左导数(0)f -'=____________,右导数(0)f +'=____________. 三 计算题(1-4题各5分,5-6题各10分,共40分) 1.111lim()ln 1 x x x →-- 2.t t x e y te ?=?=?,求22d y dx 3.ln(y x =,求dy 和22d y dx . 4.由方程0x y e xy +-=确定隐函数y =f (x ) ,求dy dx . 5.设111 1,11n n n x x x x --==++,求lim n x x →∞. 《高数》试卷1(上) 一.选择题(将答案代号填入括号内,每题3分,共30分). 1.下列各组函数中,是相同的函数的是( ). (A )()()2ln 2ln f x x g x x == 和 (B )()||f x x = 和 ()2g x x = (C )()f x x = 和 ()() 2 g x x = (D )()|| x f x x = 和 ()g x =1 2.函数()()sin 42 0ln 10x x f x x a x ?+-≠? =+?? =? 在0x =处连续,则a =( ). (A )0 (B )1 4 (C )1 (D )2 3.曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为( ). (A )1y x =- (B )(1)y x =-+ (C )()()ln 11y x x =-- (D )y x = 4.设函数()||f x x =,则函数在点0x =处( ). (A )连续且可导 (B )连续且可微 (C )连续不可导 (D )不连续不可微 5.点0x =是函数4 y x =的( ). (A )驻点但非极值点 (B )拐点 (C )驻点且是拐点 (D )驻点且是极值点 6.曲线1 || y x = 的渐近线情况是( ). (A )只有水平渐近线 (B )只有垂直渐近线 (C )既有水平渐近线又有垂直渐近线 (D )既无水平渐近线又无垂直渐近线 7. 211 f dx x x ??' ???? 的结果是( ). (A )1f C x ?? -+ ??? (B )1f C x ?? --+ ??? (C )1f C x ?? + ??? (D )1f C x ?? -+ ??? 8. x x dx e e -+?的结果是( ). (A )arctan x e C + (B )arctan x e C -+ (C )x x e e C --+ ( D )ln()x x e e C -++ 9.下列定积分为零的是( ). 习题 1—2 1.确定下列函数的定义域: (1)91 2 -=x y ; (2)x y a arcsin log =; (3)x y πsin 2 = ; (4))32(log 213-+-=x x y a ;(5))4(log 2 1 arccos 2x x y a -+-= 2.求函数 ?????=≠=) 0(0 )0(1sin x x x y 的定义域和值域。 3.下列各题中,函数)(x f 和)(x g 是否相同? (1)2)(,)(x x g x x f ==; (2)2 sin 21)(,cos )(2π -==x g x x f ; (3)1)(,1 1 )(2-=+-= x x g x x x f ; (4)0)(,)(x x g x x x f == 。 4.设x x f sin )(=证明: ?? ? ?? +=-+2cos 2sin 2)()(x x x x f x x f ??? 5.设5)(2++=bx ax x f 且38)()1(+=-+x x f x f ,试确定b a ,的值。 6.下列函数中哪些是偶函数?哪些是奇函数?哪些是既非奇函数又非偶函数? (1))1(22x x y -= (2)3 23x x y -=; (3)2211x x y +-=; (4))1)(1(+-=x x x y ; (5)1cos sin +-=x x y (6)2 x x a a y -+=。 7.设)(x f 为定义在),(∞+-∞上的任意函数,证明: (1))()()(1x f x f x F -+= 偶函数; (2))()()(2x f x f x F --=为奇函数。 8.证明:定义在),(∞+-∞上的任意函数可表示为一个奇函数与一个偶函数的和。 9.设)(x f 定义在),(L L -上的奇函数,若)(x f 在),0(L 上单增,证明:)(x f 在)0,(L -上也单增。 10.下列各函数中哪些是周期函数?对于周期函数,指出其周期: (1))2cos(-=x y (2)x y 4cos =; (3)x y πsin 1+=; (4)x x y cos =; (5)x y 2sin = (6)x x y tan 3sin +=。 11.下列各组函数中哪些不能构成复合函数?把能构成复合函数的写成复合函数,并指出其定义域。 (1)t x x y sin ,3== (2)2,x u a y u ==; (3)23,log 2+==x u u y a ; (4)2sin ,-==x u u y (5)3,x u u y == (6)2,log 2-==x u u y a 。 12.下列函数是由哪些简单函数复合而成的? (1)321)1(++=x y (2)2 )1(3+=x y ; 高等数学下册试题库 一、选择题(每题4分,共20分) 1. 已知A (1,0,2), B (1,2,1)是空间两点,向量 的模是:( A ) A )5 B ) 3 C ) 6 D )9 解 ={1-1,2-0,1-2}={0,2,-1}, |AB |= 5)1(20222=-++. 2. 设a ={1,-1,3}, b ={2,-1,2},求c =3a -2b 是:( B ) A ){-1,1,5}. B ) {-1,-1,5}. C ) {1,-1,5}. D ){-1,-1,6}. 解 (1) c =3a -2b =3{1,-1,3}-2{2,-1,2}={3-4,-3+2,9-4}={-1,-1,5}. 3. 设a ={1,-1,3}, b ={2, 1, -2},求用标准基i , j , k 表示向量c=a-b ; ( A ) A )-i -2j +5k B )-i -j +3k C )-i -j +5k D )-2i -j +5k 解c ={-1,-2,5}=-i -2j +5k . 4. 求两平面032=--+z y x 和052=+++z y x 的夹角是:(C ) A )2π B )4π C )3 π D )π 解 由公式(6-21)有 2 1112)1(211)1(1221cos 2222222 121= ++?-++?-+?+?= ??= n n n n α, 因此,所求夹角 32 1 arccos π α= =. 5. 求平行于z 轴,且过点)1,0,1(1M 和)1,1,2(2-M 的平面方程.是:(D ) A )2x+3y=5=0 B )x-y+1=0 C )x+y+1=0 D )01=-+y x . 解 由于平面平行于z 轴,因此可设这平面的方程为 0=++D By Ax 因为平面过1M 、2M 两点,所以有 ?? ?=+-=+020D B A D A 解得D B D A -=-=,,以此代入所设方程并约去)0(≠D D ,便得到所求的 平面方程 01=-+y x 6.微分方程()043 ='-'+''y y y x y xy 的阶数是( D )。 A .3 B .4 C .5 D . 2 0201《微积分(上)》2015年06月期末考试指导 一、考试说明 考试题型包括: 选择题(10道题,每题2分或者3分)。 填空题(5-10道题,每题2分或者3分)。 计算题(一般5-7道题,共40分或者50分)。 证明题(2道题,平均每题10分)。 考试时间:90分钟。 二、课程章节要点 第一章、函数、极限、连续、实数的连续性 (一)函数 1.考试内容 集合的定义,集合的性质以及运算,函数的定义,函数的表示法,分段函数,反函数,复合函数,隐函数,函数的性质(有界性、奇偶性、周期性、单调性),基本初等函数,初等函数。 2.考试要求 (1)理解集合的概念。掌握集合运算的规则。 (2)理解函数的概念。掌握函数的表示法,会求函数的定义域。 (3)了解函数的有界性、奇偶性、周期性、单调性。 (4)了解分段函数、反函数、复合函数、隐函数的概念。 (5)掌握基本初等函数的性质和图像,了解初等函数的概念。 (二)极限 1.考试内容 数列极限的定义与性质,函数极限的定义及性质,函数的左极限与右极限,无穷小与无穷大的概念及其关系,无穷小的性质及无穷小的比较,极限的四则运算,极限存在的两个准则(单调有界准则和夹逼准则),两个重要极限。 2.考试要求 (1)理解数列及函数极限的概念 (2)会求数列极限。会求函数的极限(含左极限、右极限)。了解函数在一点处极限存在的充分必要条件。 (3)了解极限的有关性质(惟一性,有界性)。掌握极限的四则运算法则。 (4)理解无穷小和无穷大的概念。掌握无穷小的性质、无穷小和无穷大的关系。了解高阶、同阶、等价无穷小的概念。 (5)掌握用两个重要极限求极限的方法。 (三)连续 1.考试内容 函数连续的概念,左连续与右连续,函数的间断点,连续函数的四则运算法则,复合函数的连续性,反函数的连续性,初等函数的连续性,闭区间上连续函数的性质(最大值、最小值定理,零点定理)。 2.考试要求 (1)理解函数连续性的概念(含左连续、右连续)。会求函数的间断点。 练习题 第六章 定积分 1. 1 1()(2)(0)x F x dt x t = - >? 的单调增加区间为_____. 1 (,)4+∞ 2. 函数0 ()x t F x te dt -=? 在点x =____处有极值. 0 3.设sin 2 01()sin ,()sin 2 x f x t dt g x x x = =-?,则当0x →时有( A ). (A) ()~()f x g x (B) ()f x 与()g x 同阶,但()f x 不等价于()g x (C) ()(())f x o g x = (D) ()(())g x o f x = 4.计算35 2322 0sin sin 2sin cos . []3515x x x xdx π π?-=? 5.计算 2 1 1ln e dx x x +? . 2(31)- 6.求函数dt t t x x I )ln 1(1 )(-= ? 在],1[e 上的最大值与最小值. 最大值() 341 2-e ,最小值0 7.设函数??? ??≥=<<-+01 2cos 110 )(2x x x xe x f x ,计算 ? -4 1 )2(dx x f . () 11tan 2 1 4-+e 8. 2 sin ( )x t dt t π'=?( C ) (其中2x π >). (A) sin x x (B) sin x C x + (C) sin 2x x π- (D) sin 2x C x π -+ 9. 设()f x 是连续函数,且 3 ()x f t dt x =? ,则(8)f =_____. 1 12 10. x dt t x x cos 1)sin 1ln(lim -+?→=___1__ ; ) 1ln(cos lim 20 2x tdt x x +?→=__1__ . 微积分试题及答案 5、ln 2111x y y x +-=求曲线 ,在点(, )的法线方程是__________ 三、判断题(每题2分) 1、2 21x y x =+函数是有界函数 ( ) 2、 有界函数是收敛数列的充分不必要条件 ( ) 3、lim ββαα=∞若,就说是比低阶的无穷小( )4可导函数的极值点未必是它的驻点 ( ) 5、曲线上凹弧与凸弧的分界点称为拐点 ( ) 四、计算题(每题6分)1、1sin x y x =求函数 的导数 2、 21()arctan ln(12f x x x x dy =-+已知),求 3、2326x xy y y x y -+="已知,确定是的函数,求 4、20tan sin lim sin x x x x x →-求 5、31)x x +计算( 6、21 0lim(cos )x x x + →计算 五、应用题 1、设某企业在生产一种商品x 件时的总收益为2 )100R x x x =-(,总成本函数为2 ()20050C x x x =++,问政府对每件商品征收货物税为多少时,在企业获得利润最大的情况下,总税额最大?(8分) 2、描绘函数21 y x x =+的图形(12分) 六、证明题(每题6分) 1、用极限的定义证明:设01lim (),lim ()x x f x A f A x + →+∞→==则 2、证明方程10,1x xe =在区间()内有且仅有一个实数 一、 选择题 1、C 2、C 3、A 4、B 5、D 6、B 二、填空题 1、0x = 2、6,7a b ==- 3、18 4、3 5、20x y +-= 三、判断题 1、√ 2、× 3、√ 4、× 5、× 四、计算题 1、 1sin 1sin 1sin ln 1sin ln 22))1111cos ()ln sin 1111(cos ln sin )x x x x x x y x e e x x x x x x x x x x x '='='??=-+??? ?=-+(( 2、 22()112(arctan )121arctan dy f x dx x x x dx x x xdx ='=+-++= 3、 解: 2222)2)22230 2323(23)(23(22)(26) (23x y xy y y x y y x y y x y x y yy y x y --'+'=-∴'=--'----'∴''=- 第十二周习题课 一.关于积分的不等式 1. 离散变量的不等式 (1) Jensen 不等式:设 )(x f 为],[b a 上的下凸函数,则 1),,,2,1),1,0(],,[1 ==∈?∈?∑=n k k k k n k b a x λλΛ,有 2),(1 1≥≤??? ??∑∑==n x f x f k n k k k n k k λλ (2) 广义AG 不等式:记x x f ln )(=为),0(+∞上的上凸函数,由Jesen 不等式可得 1),,,2,1),1,0(,01 ==∈?>∑=n k k k k n k x λλΛ,有 ∑==≤∏n k k k k n k x x k 1 1 λλ 当),2,1(1 n k n k Λ==λ时,就是AG 不等式。 (3) Young 不等式:由(2)可得 设111,1,,0,=+>>q p q p y x ,q y p x y x q p +≤1 1 。 (4) Holder 不等式:设11 1, 1,),,,2,1(0,=+>=≥q p q p n k y x k k Λ,则有 q n k q k p n k p k n k k k y x y x 111 11?? ? ????? ??≤∑∑∑=== 在(3)中,令∑∑======n k q k n k p k p k p k y Y x X Y y y X x x 1 1,,,即可。 (5) Schwarz 不等式: 2 1122 1 121?? ? ????? ??≤∑∑∑===n k k n k k n k k k y x y x 。 (6) Minkowski 不等式:设1),,,2,1(0,>=≥p n k y x k k Λ,则有 ()p n k p k p n k p k p n k p k k y x y x 11111 1?? ? ??+??? ??≤??????+∑∑∑=== 证明: ()()() () () ∑∑∑∑=-=-=-=+++=+?+=+n k p k k k n k p k k k n k p k k k k n k p k k y x y y x x y x y x y x 1 1 1 1 1 1 1 微积分习题集带参考答案 综合练习题1(函数、极限与连续部分) 1.填空题 (1)函数) 2ln(1 )(-= x x f 的定义域是 . 答案:2>x 且3≠x . (2)函数24) 2ln(1 )(x x x f -++= 的定义域是 .答案:]2,1()1,2(-?-- (3)函数74)2(2 ++=+x x x f ,则=)(x f . 答案:3)(2 +=x x f (4)若函数?? ??? ≥<+=0,0 ,13sin )(x k x x x x f 在0=x 处连续,则=k .答案:1=k (5)函数x x x f 2)1(2 -=-,则=)(x f .答案:1)(2 -=x x f (6)函数1 3 22+--=x x x y 的间断点是 .答案:1-=x (7)=∞→x x x 1 sin lim .答案:1 (8)若2sin 4sin lim 0=→kx x x ,则=k .答案:2=k 2.单项选择题 (1)设函数2 e e x x y +=-,则该函数是( ). A .奇函数 B .偶函数 C .非奇非偶函数 D .既奇又偶函数 答案:B (2)下列函数中为奇函数是( ). A .x x sin B .2 e e x x +- C .)1ln(2x x ++ D .2 x x + 答案:C (3)函数)5ln(4 +++=x x x y 的定义域为( ). A .5->x B .4-≠x C .5->x 且0≠x D .5->x 且4-≠x 答案:D (4)设1)1(2 -=+x x f ,则=)(x f ( ) A .)1(+x x B .2 x 《微积分Ⅱ》课外练习题 一、选择: 1. 函数在闭区间上连续是在上可积的. ( ) A.必要而不充分条件 B.充分而不必要条件 C.充要条件 D.无关条件 2. 二元函数定义域是. ( ) B. D. 比较大小:. ( ) B. C. D.不确定 4.微分方程的阶数是. ( ) A.5 B.3 C.2 D.1 5.下列广义积分发散的是. ( ) A. B. C. D. 6.是级数收敛的条件. ( ) A.必要非充分 B.充分非必要 C.充分必要 D.无关7.如果点为的极值点,且在点处的两个一阶偏导数存在,则点必为的. ( ) 最大值点 B.驻点 C.最小值点 D.以上都不对 微分方程是微分方程. ( ) A.一阶线性非齐次 B. 一阶齐次 C. 可分离变量的 D. 一阶线性齐次 9 .设是第一象限内的一个有界闭区域,而且。记,,,则的大小顺序是 . ( ) C. D. 10. 函数的连续区域是. ( ) B. D. 1. . ( ) B. C. D. 12.下列广义收敛的是. ( ) A. B. C. D. .下列方程中,不是微分方程的是. ( ) A. B. C. D. .微分方程的阶数是. ( ) A.5 B.3 C.2 D.1 .二元函数的定义域是. ( ) A. B. C. D. .设,则 ( ) A. B. C. D. .= 其中积分区域D为区域:. ( ) A. B. C. D. 18.下列等式正确的是. ( ) A.B. C.D. 19.二元函数的定义域是. ( ) A. B. C. D. 20.曲线在上连续,则曲线与以及轴围成的图形的面积是.( ) A.B.C.D.|| .. ( ) A. B. C. D. 22.= 其中积分区域D为区域:. ( ) A. B. C. D. (3343).微分方程0cos tan =-+'x x y y 的通解为 x C x y cos )(+=。 (4455).过点)0,2 1(且满足关系式11arcsin 2 =-+ 'x y x y 的曲线方程为 21arcsin - =x x y 。 (4507).微分方程03='+''y y x 的通解为 2 2 1x C C y + =。 (4508).设)(),(),(321x y x y x y 是线性微分方程)()()(x f y x b y x a y =+'+''的三个特解,且 C x y x y x y x y ≠--) ()() ()(1312,则该微分方程的通解为 )())()((())()((1132121x y x y x y C x y x y C y +-+-=。 (3081).设x e x y x y -++=+=22213,3是某二阶线性非齐次微分方程的两个特解,且相 应齐次方程的一个解为x y =3,则该微分方程的通解为x e C x C x y -+++=212 3。 (4725).设出微分方程x e xe x y y y x x 2cos 32++=-'-''-的一个特解形式 )2sin 2cos ()(*x F x E e e D Cx x B Ax y x x +++++=-。 (4476).微分方程x e y y y =+'-''22的通解为 )sin cos 1(21x C x C e y x ++=。 (4474).微分方程x e y y 24=-''的通解为 x x e x C e C y 222141??? ? ? ++=-。 (4477).函数x C x C y 2s i n 2c o s 21+=满足的二阶线性常系数齐次微分方程为04=+''y y 。 (4532).若连续函数)(x f 满足关系式 2ln )2 ()(20 +=? x dt t f x f ,则=)(x f 2ln 2x e 。 (6808).设曲线积分 ?--L x ydy x f ydx e x f cos )(sin ])([与路径无关,其中)(x f 具有一阶 连续导数,且0)0(=f ,则)(x f 等于[ ] (A) )(2 1x x e e --。 (B) )(21 x x e e --。 数学试题 热工二班 温馨提示:各位同学请认真答题,如果您看到有的题目有种 似曾相识的感觉,请不要激动也不要紧张,沉着冷静的面对,诚实作答,相信自己,你可以的。祝你成功! 一、填空题(共5小题,每题4分,共20分) 1、 求极限2 2lim (1)(1)......(1)n n x x x →∞ +++= (1x <) 2、 曲线y=(2x-1)e x 1 的斜渐近线方程是( ) 3、 计算I=dx e x e x x ? -+2 2 41sin π π =( ) 4、 设y=x e x 1si n 1t an ,则'y =( ) 5、 已知()()() 100 2 1000 ln 1212x y x t t t ??=++-+? ?? ? ?dt ,求( ) ()x y 1001 二、选择题(共5小题,每题4分,共20分) 6、设()0 ()ln 1sin 0,1,1lim x x f x x A a a a →? ?+ ? ? ?=>≠-求20 ()lim x f x x →=( ) A.ln a B.Aln a C2Aln a D.A 7、函数 1.01 ().12 x x x f x e e x -≤=?-<≤?的连续区间为( ) A.[)0,1 B.[]0,2 C.[)(]0,11,2? D(]1,2 8、()f x 是连续函数,()F x 是的()f x 原函数下列叙述正确的是 ( ) A.当()f x 是偶函数时,()F x 必是偶函数 B.当()f x 是奇函数时,()F x 必是偶函数 C.当()f x 是周期函数时,()F x 必是周期函数 D.当()f x 是单调增函数时,()F x 必是单调增函数 9、设函数()f x 连续,则下列函数中必为偶函数的是( ) A.2 0()x f t dt ? B.2 0()x f t dt ? C[]0 ()()x t f t f t - -?dt D.[]0 ()()x t f t f t + -?dt 10、设函数y=()f x 二阶导数,且 () f x 的一阶导数大于0, ()f x 二阶导数也大于0,x 为自变量x在0x 处得增量,y 与dy 分 别为()f x 在点0 x 处的增量与微分,若x >0,则( ) A.0<dy < y B.0<y <dy C.y <dy <0 D.dy < y <0 三、计算,证明题(共60分) 11、求下列极限和积分 (1)222 22 sin cos (1)ln(1tan ) lim x x x x x x e x →--+(5分) (2)3 5 sin sin x xdx π -? (5分) (3)lim (cos 1cos x x x →∞ +-)(5分) 12.设函数()f x 具有一阶连续导数,且 " (0)f (二阶)存在,(0) f 微积分习题库 习题1—2 1.确定下列函数的定义域: (1)?Skip Record If...?;(2)?Skip Record If...?; (3)?Skip Record If...?; (4)?Skip Record If...?;(5)?Skip Record If...? 2.求函数 ?Skip Record If...? 的定义域和值域。 3.下列各题中,函数?Skip Record If...?和?Skip Record If...?是否相同? (1)?Skip Record If...?;(2)?Skip Record If...?; (3)?Skip Record If...?;(4)?Skip Record If...?。 4.设?Skip Record If...?证明: ?Skip Record If...? 5.设?Skip Record If...?且?Skip Record If...?,试确定?Skip Record If...?的值。 6.下列函数中哪些是偶函数?哪些是奇函数?哪些是既非奇函数又非偶函数? (1)?Skip Record If...?(2)?Skip Record If...?;(3) ?Skip Record If...?; (4)?Skip Record If...?;(5)?Skip Record If...?(6)?Skip Record If...?。 7.设?Skip Record If...?为定义在?Skip Record If...?上的任意函数,证明:(1)?Skip Record If...?偶函数;(2)?Skip Record If...?为奇函数。 8.证明:定义在?Skip Record If...?上的任意函数可表示为一个奇函数与一个偶函数的和。 9.设?Skip Record If...?定义在?Skip Record If...?上的奇函数,若?Skip Record If...?在?Skip Record If...?上单增,证明:?Skip Record If...?在?Skip Record If...?上也单增。 10.下列各函数中哪些是周期函数?对于周期函数,指出其周期: (1)?Skip Record If...?(2)?Skip Record If...?;(3) ?Skip Record If...?; (4)?Skip Record If...?;(5)?Skip Record If...?(6)?Skip Record If...?。 11.下列各组函数中哪些不能构成复合函数?把能构成复合函数的写成复合函数,并指出其定义域。 (1)?Skip Record If...?(2)?Skip Record If...?;(3)?Skip Record If...?; 仅供学习与交流,如有侵权请联系网站删除谢谢39 《高等数学》试卷1(下) 一.选择题(3分?10) 1.点1M ()1,3,2到点()4,7,22M 的距离=21M M ( ). A.3 B.4 C.5 D.6 2.向量j i b k j i a +=++-=2,2,则有( ). A.a ∥b B.a ⊥b C.3,π=b a D.4 ,π=b a 3.函数11 22222-++--=y x y x y 的定义域是( ). A.(){ }21,22≤+≤y x y x B.(){}21,22<+ A.x -11 B.x -22 C.x -12 D.x -21 10.微分方程0ln =-'y y y x 的通解为( ). A.x ce y = B.x e y = C.x cxe y = D.cx e y = 二.填空题(4分?5) 1.一平面过点()3,0,0A 且垂直于直线AB ,其中点()1,1,2-B ,则此平面方程为______________________. 2.函数()xy z sin =的全微分是______________________________. 3.设133 23+--=xy xy y x z ,则=???y x z 2_____________________________. 4. x +21的麦克劳林级数是___________________________. 三.计算题(5分?6) 1.设v e z u sin =,而y x v xy u +==,,求.,y z x z ???? 2.已知隐函数()y x z z ,=由方程05242222=-+-+-z x z y x 确定,求.,y z x z ???? 3.计算σd y x D ??+22sin ,其中22224:ππ≤+≤y x D . 4.求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积(R 为半径). 四.应用题(10分?2) 1.要用铁板做一个体积为23 m 的有盖长方体水箱,问长、宽、高各取怎样的尺寸时,才能使用料最省? . 试卷1参考答案 一.选择题 CBCAD ACCBD 二.填空题 1.0622=+--z y x . 2.()()xdy ydx xy +cos . 3.1962 2--y y x . 4. ()n n n n x ∑∞=+-01 21. 0201《微积分(上)》2015年06月期末考试指导 一、考试说明 考试题型包括: 选择题(10道题,每题2分或者3分)。 填空题(5-10道题,每题2分或者3分)。 计算题(一般5-7道题,共40分或者50分)。 证明题(2道题,平均每题10分)。 考试时间:90分钟。 二、课程章节要点 第一章、函数、极限、连续、实数的连续性 (一)函数 1.考试内容 集合的定义,集合的性质以及运算,函数的定义,函数的表示法,分段函数,反函数,复合函数,隐函数,函数的性质(有界性、奇偶性、周期性、单调性),基本初等函数,初等函数。 2.考试要求 (1)理解集合的概念。掌握集合运算的规则。 (2)理解函数的概念。掌握函数的表示法,会求函数的定义域。 (3)了解函数的有界性、奇偶性、周期性、单调性。 (4)了解分段函数、反函数、复合函数、隐函数的概念。 (5)掌握基本初等函数的性质和图像,了解初等函数的概念。 (二)极限 1.考试内容 数列极限的定义与性质,函数极限的定义及性质,函数的左极限与右极限,无穷小与无穷大的概念及其关系,无穷小的性质及无穷小的比较,极限的四则运算,极限存在的两个准则(单调有界准则和夹逼准则),两个重要极限。 2.考试要求 (1)理解数列及函数极限的概念 (2)会求数列极限。会求函数的极限(含左极限、右极限)。了解函数在一点处极限存在的充分必要条件。 (3)了解极限的有关性质(惟一性,有界性)。掌握极限的四则运算法则。 (4)理解无穷小和无穷大的概念。掌握无穷小的性质、无穷小和无穷大的关系。了解高阶、同阶、等价无穷小的概念。 (5)掌握用两个重要极限求极限的方法。 (三)连续 1.考试内容 函数连续的概念,左连续与右连续,函数的间断点,连续函数的四则运算法则,复合函数的连续性,反函数的连续性,初等函数的连续性,闭区间上连续函数的性质(最大值、最小值定理,零点定理)。 2.考试要求 (1)理解函数连续性的概念(含左连续、右连续)。会求函数的间断点。 85 考试试卷(一) 一、填空 1.设c b a ,,为单位向量,且满足0=++c b a ,则a c c b b a ?+?+?= 2.x x e 10 lim +→= ,x x e 10 lim -→= ,x x e 1 lim →= 3.设2 11)(x x F -= ',且当1=x 时,π2 3)1(=F ,则=)(x F 4.设= )(x f ? dt t x 2sin 0 ,则)(x f '= 5.???>+≤+=0 ,0 ,1)(x b ax x e x f x 在x =0处可导,则=a ,=b 二、选择 1.曲线???==-0 1 22z y x 绕x 轴旋转一周所得曲面方程为( )。 (A )12222=+-z y x ; (B )122222=--z y x ; (C )12222=--z y x ; (D )122222=+-z y x 2.2 )1 1(lim x x x x -∞→-+=( ) 。 (A )1 (B )2 1 e (C )0 (D )1-e 3.设函数)(x f 具有连续的导数,则=+'? dx x f x f x )]()([( ) (A )c x xf +)(; (B )c x f x +')(; (C )c x f x +'+)(; (D )c x f x ++)( 4.设)(x f 在],[b a 上连续,则在],[b a 上至少有一点ξ,使得( ) (A )0)(='ξf (B )a b a f b f f --= ') ()()(ξ 86 (C )0)(=ξf (D )a b dx x f a b f -=?)()(ξ 5.设函数x x a y 3sin 3 1sin +=在x = 3 π 处取得极值,则=a ( ) (A )0 (B )1 (C )2 (D )3 三、计算题 1. 求与两条直线?? ? ??+=+==2 11 t z t y x 及112211-= +=+z y x 都平行且过点(3,-2,1)的平面方程。 2.求下列极限 (1)12cos 1lim 21 +-+→x x x x π; (2)1 arctan lim 30--→x x e x x 3.计算下列积分 (1)?dx x sin ; (2) ? +dx x sin 21 (3)?+dx x x e ln 11 2; (4)?--+2/12/111dx x x 4.求下列导数或微分 (1) 设3 2 ) 1)(21()2(x x x y +--=,求dy 。 (2)? ??+=+-=2 3)1ln(t t y t t x ,求22dx y d 。 (3)x x x y sin )1( +=,求dy 。 (4)设a y x =+,求隐函数)(x y y =的二阶导数22dx y d 。 四、设)1,0()(],1,0[)(D x f C x f ∈∈,且1)2 1(,0)1()0(===f f f ,证明: (1)存在)1,2 1(∈η,使ηη=)(f (2) 对任意实数λ,必存在),0(ηξ∈,使1])([)(=--'ξξλξf f 高等数学试题库 第二章 导数和微分 一.判断题 2-1-1 设物体的运动方程为S=S(t),则该物体在时刻t 0的瞬时速度 v=lim lim ()()??????t t s t s t t s t t →→=+-0000与 ?t 有关. ( ) 2-1-2 连续函数在连续点都有切线. ( ) 2-1-3 函数y=|x|在x=0处的导数为0. ( ) 2-1-4 可导的偶函数的导数为非奇非偶函数. ( ) 2-1-5 函数f(x)在点x 0处的导数f '(x 0)=∞ ,说明函数f(x)的曲线在x 0点处的切 线与x 轴垂直. ( ) 2-1-6 周期函数的导数仍是周期函数. ( ) 2-1-7 函数f(x)在点x 0处可导,则该函数在x 0点的微分一定存在. ( ) 2-1-8 若对任意x ∈(a,b),都有f '(x)=0,则在(a,b)内f(x)恒为常数. ( ) 2-1-9 设f(x)=lnx.因为f(e)=1,所以f '(e)=0. ( ) 2-1-10(ln )ln (ln )'ln x x x x x x x x x 2224 3 21 '=-=- ( ) 2-1-11 已知y= 3x 3 +3x 2 +x+1,求x=2时的二阶导数: y '=9x 2 +6x+1 , y '|x=2=49 所以 y"=(y ')'=(49)'=0. ( ) 二.填空题 2-2-1 若函数y=lnx 的x 从1变到100,则自变量x 的增量 ?x=_______,函数增量 ?y=________. 2-2-2 设物体运动方程为s(t)=at 2 +bt+c,(a,b,c 为常数且a 不为0),当t=-b/2a 时, 物体的速度为____________,加速度为________________. 2-2-3 反函数的导数,等于原来函数___________. 2-2-4 若曲线方程为y=f(x),并且该曲线在p(x 0,y 0)有切线,则该曲线在 p(x 0,y 0) 点的切线方程为____________. 2-2-5 若 lim ()() x a f x f a x a →-- 存在,则lim ()x a f x →=______________. 2-2-6 若y=f(x)在点x 0处的导数f '(x)=0,则曲线y=f(x)在[x 0,f(x 0)]处有 __________的切线.若f '(x)= ∞ ,则曲线y=f(x)在[x 0,f(x 0)]处有 _____________的切线. 2-2-7 曲线y=f(x)由方程y=x+lny 所确定,则在任意点(x,y)的切线斜率为 ___________在点(e-1,e)处的切线方程为_____________. 2-2-8 函数 北京邮电大学高等函授、远程教育 04—05学年春季学期《高等数学(微积分)》综合练习题与答 案 经济管理、电子邮政专业 第一部分练习题 、判断题 设f (x )的定义域为(,1),则f (1的定义域为(0,1). x 设f (X )的值域为(,1),则arctgf (x )的值域为(一,一). 2 4 11. 12 .如果0 1 13.如果级数 n 1. 2. 3. e (x 1^是偶函数. 4. 1 x y ln —是奇函数. 5. 1 lim (1 x), e 6. d 2 2 设 f (u)是可导函数,则 一 f (sinx 2 ) 2xcosx 2 f (u) dx u sin x 2 7. 设函数y f (e x )可微,则dy e x f(e x )dx . 9. 10. 设 df (x)」^dx ,则 f (x) 1 x dx f(x)df(x) f(x)df(x) . f (x)dx f (x) c . arctgx . 1u n发散,则n imu n 0. 14.级数 X n (x 0)收敛的充分必要条件是 X 1. 1 15.级数 1 nz 收敛的充分必要条件是p 16.如果 a(|)n 1 4 1,则常数a 1 4 17. —f(x,y) X X X 0 y y 0 f (x, y 。) x Xo - 18.设 z xy r 「 Z X ,则—— X xy 1 xyx 19. d-f[x,y(x)] dx X f y y (X). 20.设 f 、u 、 v 都是可微函数,则 一 f [u(x, y), v(x, y)] f^U X X f£. X 二、单项选择题 1.设 f(x) X, 0 X, 2 2, X 0则f(X)的定义域为 A.( B.[ 2,2 ) C. ( ,2 ] D.[ 2,2 ] 2.设 f(X)的定义域为( ,0),则函 数 f (In X) 的定义域是 A. (0, B.(0,1 ] C.(1 , D.(0,1) 3.设 f(X 1) X (X 1),则 f(X)= A. x(x 1) B. x(x 1) C.(x 1)(x 2) D.X 2 4.下列函数中,奇函数为 A. sin(cosx) B.l n(x J x 2 1) 1 X C. tgxln C f si nx D. e sin n 5. lim ----- n n 1 A.0 B.1 C. 1 D.微积分期末测试题及复习资料
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