实变函数习题
第一章习题
2、(ii) ()1
1
1n n n n n n n A B A B ∞∞∞
===-?-
证明：对于1
1
,n n n n x A B ∞∞
==?∈- 11
n n n n x A x B ∞∞
==?∈? 且
001,1,n n n x A n x B ??≥∈?≥?且对于 0001,n n n x A B ??≥∈-
()1n n n x A B ∞
=?∈-
22、具体构造[]0,1与()0,1之间的一个完全的一一映射.
解：记()0,1中的有理数点集为Q ；()0,1中的无理数点集为M
()0,1Q M = ；[]{}0,10,1Q M = ,作映射
12132,,0,1,..........n n x M x x r r r r r r +?∈→→→→→
所以[]()0,10,1与等价
29、求证：n R 中任一集合的导集是闭集.
证明：若()E ''=Φ,则E '为闭集,否则
要证明E '为闭集()E E '''??
()x E x ''?∈?为E '的聚点(){}{}0,,V x x E εε'??>-≠Φ
(){}{}1,x V x x E ε'??∈-
()(){}11,x V x x ε?∈-
()()
()110,,,2V x V x x E δδε??>?'
?∈使得
(){}{}11110,,V x x E δδ??>-≠Φ 10,δ??>()11,V x δ中含有E 的无穷多个点
()1,V x δ?也中含有E 的无穷多个点 ()()1,,E V x E V x δε?
()x E E E '?∈'''
??
从而E '为闭集
30、(i)设,A B 是任意的两个集合,若A B ?,则A B ''?.
证明：x A x '?∈?为A 的聚点
(){}{}0,,V x x A εε??>-≠Φ
A B ?
(){}{}0,,V x x B εε??>-≠Φ
?x 为B 的聚点
?x B '∈ (ii)若A B A '??,求证：B 是闭集.
根据(i)式可知B A B ''??,则B 是闭集
32、n R 中任一集合的孤立点是至多可数的
证明：先来证明1
R 中的孤立点是至多可数的
记B 为1
R 中以有理数为端点的开区间全体所成的集合,(){},,m
n
n
m
B r r r r
Q =∈
则B 为可数集.
设A 为1R 中的孤立点全体,则对于任意的x A ∈,则存在x 的一个以有理数为端点的邻域
(),x x αβ,使得 (){},x x A x αβ= `
对于每一个x A ∈,都做出这样的一个邻域,由于每个邻域中只含有一个A 中的点,故对于A 中不同的两个点对应的邻域(),x x αβ，()
,y y αβ也不同. 令(){},x
x D x A α
β=
∈
则A 与D 等价,而D B ?,则D 是至多可数集,从而A 是至多可数集,因此有限个至多可数集的直积是至多可数集.
33、若A 不可数,则A '也不可数.
证明：假设A '是至多可数集,则设B 为A 的孤立点全体,则B 为至多可数集
因为()A B A A '= ,A A A ''? ,则A A ' 为至多可数集 则A 为至多可数集与已知矛盾.
第二章习题
2、求证：()(){}*inf :,m E m Q E Q Q =?是开集
证明：因为E Q ?,所以()(){}
*inf :,m E m Q E Q Q ≤?是开集 又因为Q 是开集,而()1,n n n Q a b ∞
== ,其中(),n n a b 为两两不交的开区间
()()}{*
11inf :,n n n n n m E l I E I I ∞∞
==??
=?????∑ 是开区间列
因为开区间是开集,但是开集不一定是开区间,所以
()}{11:,n n n n n l I E I I ∞∞
==??
?????
∑ 是开区间列(){}:,m Q E Q Q ??是开集
因此()}{(){}11inf :,inf :,n n n n n l I E I I m Q E Q Q ∞∞
==??
?≥?????
∑ 是开区间列是开集
3、设12,G G 是两个不相交的开集,1122,E G E G ??,
求证：()()()*
*
*
1212m E E m E m E =+
证明：1G ∈Ω , 所以()()()()()*
**12121121C m
E E m E E G m E E G =+
()()()()()()
**11211121C C m E G E G m E G E G =+
()()*
*
12m E m E =+
6、设()()**,,m A m B <∞<∞求证：()()()***m A m B m A B -≤?
证明：要想证明()()()***
m A m B m A B -≤?,只需要证明
()()()()****m A B m A m B m A B -?≤-≤?
下面来证明()()()*
**m A m B m A B -≤?,即证明：()()()***m A m A B m B ≤?+
而()())(()()()*
****m
A B m B m A B B m A B m A ?+≥?=≥
同理可证明：()()()*
**m
A B m A m B -?≤-
10、设{}1n n E ≥是可测集列,(i)求证：()lim
lim n n n n m E m E →∞→∞
??≤ ??? . 证明：1lim n k n k n n E E ∞
∞
==→∞
= ,左右取测度
1lim lim lim n k k n n k n k n n k n k n m E m E m E m E ∞∞∞→∞===→∞∞
→∞=????????== ? ? ?????????????
= ???
()
lim lim k k n n n n m E m E ∞=→∞→∞
??= ???≤ (ii)若有0k ,使得0k k k m E ∞
=??<∞ ??? ,求证：()
()lim lim n n n n m E m E →∞→∞≥ 证明：1lim n k n n k n
E E ∞∞→∞
===
,左右取测度
()
1lim lim lim n k k n n n k n k n k n k n m E m E m E m E ∞∞∞→∞→∞===∞
→∞=??
????== ? ???????????= ???
()
lim lim k n k n n n m E m E ∞
→∞=→∞
??
= ???≥
11、设A 可测并且()0m A B ?=,则B ∈Ω.
证明：()B A B A m ??=?0 可测 由A 可测可知C
A 可测
而()()C C
A B A B A ?=,所以()C
B A 可测
从而B A 可测;()C
A B A A B ?=-可测,而()()A B A B B -= ,所以可测.
13、设21,E E 都可测,求证：()()()()212121E E m E E m E m E m +=+.
证明：已知1E 可测,则取集合21E E T =,有
()()()()(
)C
E E E m E E E m E E m 1
2112121 +=()()C
E E m E m 1
2
1
+= 再取2E T =,有()()(
)C
E E m E E m E m 1
2122 +=
结合上边两式便知()()()()212121E E m E E m E m E m +=+
20、设{}1k k E ≥是[]0,1中测度皆为一的可测集列,求证11k k m E +∞=??= ???
. 证明
[][]()1
1
0,10,11
k k k k k E E m E ≥≥????≤
[]()()()()()()()
()
[]()
()()
()
1
1
1
1
1
1
1
11
1
1
10,10,111c
k
k
k k c
k
k k k c
k
k
k k k k k k k k k k
k m m E E m E m E m E m E m E m E m E m E ≥≥≥≥≥≥∞
≥=∞
≥=≥??
==??
??
=+=+≤+-=+-=∑∑
11n n m E +∞=??= ???
22、设{}1k n k E ≥≥是[]0,1中的可测集,满足()1
1n
k k m E n =>-∑,求证：10n k k m E =??
> ??? .
证明：[]1
0,1n
k k E =? ,[]()110,11C n n k k k k m E E m ==??????
∴== ? ? ? ???????
要证明10n k k m E =??> ??? ,只需证明11n C k k m E =??
< ???
而()[]()1110,1n
n
n C C
k k k k k k m E m E m E ===??≤=- ???∑∑ []()()1
0,1n
k k m m E =??=-??∑ ()()1
11n
k
k n m E n n ==-
<--=∑
第三章习题
4、若对于任何[](),,a b αβ?,f 在[],αβ可测,求证:f 在(),a b 上可测.
证明：a b < ，0011,2
b a
n n -∴?≥<
使得
()011,,n n
a b a b n n ∞
=?
?=+-????
R α?∈
()(){}()0
11,,n n x a b f x x a b f x n n αα∞=???
?∈>=∈+->????????
∈Ω
因此f 在(),a b 上可测
6、求证：为使()f x 在R 上可测,充要条件是对于任意的有理数{},r f r >∈Ω.
证明：必要性
因为()f x 在R 上可测,则对于{},R f αα?∈>∈Ω,
因此,对于任意的有理数{},r f r >∈Ω 充分性
对于R α?∈，存在单调递增的有理数列{}1n n r ≥,n r α<且()n r n α→→∞ 则{}{}1n n f f r α∞
=≥=>∈Ω
因此()f x 在R 上可测
8、设()f x 是可测集合D 上的可测函数，则对于任何开集G 和闭集F ,()f G -和
()f F -是可测集合.
证明：()(){}:f G x f x G -
=∈，()1
,n n n G a b ∞
== ， 所以()()(){
}
1
:,n n n f
G x f x a b ∞
-
==
∈ ()(){}1
:,n n n x f x a b ∞
==∈
由并集定义可知,()()
000,,n n n N f x a b ?∈∈ 而
(){}
()0
0:n n x a
f x b f
G -<<∈Ω
∴∈Ω
()()(
)
C
f
F f
G -
-
=∈Ω
10、设(){}
1
n n f x ≥是可测集合D 上的可测函数列,求证：D 中使得()n f x 收敛
的点的全体是可测集.
证明：设D 中使得()n f x 收敛的点的全体为集合A , 而()()11lim lim n n n k n A f x f x k ∞→∞
=→∞
??
=-<
∈Ω???
?
11、设()f x 在R 上可微,求证：()f x '可测.
证明：因为()f x 在R 上可微,所以()f x 在R 上连续,R ∈Ω, 因此()f x 在R 上为可测函数.
所以 ()()
1lim n f x f x n f x n
→∞?
?+- ???
'=可测
14、设{}1≥k k D 是一列两两不相交的可测集,k k D D ∞
==1 ,求证为使f 在D 上可测
的充要条件是对于每一个()x f k ,1≥在k D 上可测.
必要性:
{}{}ααα>∈=>∈∈?f D x D f D x R k k ::,
由题设知k D 为可测集,而f 在D 上可测,
所以k D 与{}α>∈f D x :均为可测集,故{}α>∈f D x k :为可测集,所以f 在
k D 上可测
充分性：
{}{}αα>∈=>∈∞
=f D x f
D x k k ::1
已知对于任意的{}α>∈≥f D x k k :,1为可测集,由可测集满足可数并的性质f 在集合D 上测
23、设在可测集D 上f f n ?,n g g ?,求证： (i)n n f g f g ±?±.
证明：已知,,n n f f g g ??可知对于0σ?>
lim 02n n m f f σ→∞????-≥=?? ?????，lim 02n n m g g σ→∞??
??-≥=?? ??
???
()(){}
22n n n n
f
g f g g g f f σσσ?
???±-±≥?-≥-≥?????
???
()(){}()
()
220n
n n n m
f
g f g m g g m f f n σ
σσ±-±≥????
????≤-≥+-≥???? ? ????
?????→→∞
(ii) n f f ?
证明：因为n n f f f f δ≤-≤-
所以
{
}
{}n n f f f f δδ-≥?-≥
因此{}(){}()
()0n
n
m
f
f m f
f n δ
δ-≥≤-≥→→∞
(iv)当()m D <∞时,n g n f f g ???
证明：对于{}n g n f ?的任意子列{}
k n g k n f ?,因为n f f ? 所以k n f f ?, 因此存在子列{}{},k
k
i
n n f f ?使得.k i
a e
n f
f →
又因为n g g ?，所以k
i
n g g ?
因此存在子列{}{}k
k i j
i n n g g ?，使得.k i j
a e
n g
g →
...k i j
k k i i j j k i j a e
n a e n n a e
n g g f g f g f f ?
→??→???→?,()m D <∞,所以n g n f f g ??? 27、设(){}
1
n n f x ≥是[]0,1上的一列实值可测函数,若
()()
0,.1n n f x a e f x →+,求证：
()0n f x ?
证明：因为
()()0,.1n n f x a e f x →+,[]()0,11m =<+∞,则
()()
01n n f x f x ?+
()()
()
1
110111n n n f x f x f x -
=
?-=++
()()00n n f x f x ∴???
反之不成立.
定理3.2.2、设f ,g 为可测集合D 上的可测函数,λ是实数,当,
f
f g g
±几乎处处有定义的时候,有,,,,
f
f f f
g f g g
λ?±都是可测集合D 上的可测函数. 证明：对于R α?∈
{},0
0,,0D f αλλαα=?
Φ≥?
；
{}0,f f αλλαλ??>>=>
∈Ω???
?；{}0,f f αλλαλ?
?<>=<∈Ω???
? {
}{}{},0
,0D f f f ααααα=?><-∈Ω≥??
{}{}{}1
n n n f
g f r g r αα∞
=+>=>>-∈Ω???? 因为g 可测,则g -可测,因此f g -可测.
{
}{
{2
,0
D f f f αα=?><∈Ω??
()()22
14f g f g f g ???=+--?
?
{}{}{}{}10,010,010,0
g g g g g g g αααααα???><>?????????
>=>-=+∞=??????
???><
因此
f
g
也可测. 第四章习题
1、设f 非负且()()?=∞<∈D
fdx D m D L f 0,,，求证()x f 在D 上几乎处处为零.
证明：{}11n f o f n ∞
=?
?>=
≥???
?
1111100E
f f n n fdx fdx dx m f n n n ?
??
?≥≥??????
??
????=
≥≥=≥≥?? ??????
?? 10m f n ??
??∴≥=?? ??
???
{}(){}()111100
n n m f o m f m f n n m f o ∞∞==????
????≤>=≥≤≥=???? ? ??
???????∴>=∑ 所以()x f 在D 上几乎处处为零
2、设()f L E ∈,求证：{}()
0k m
f
k ?>→.
证明：()()E
f L E f L E f dx ∈?∈?
<+∞?
()()E
f L E f L E f dx ∈?∈?<+∞?
{}
{}
{}()
E
f k f k C f dx f dx kdx k m
f
k >>=≥≥=?>??
?
{}()
()00C
m
f
k k k
≤>≤
→→∞ 因为()f L E ∈,则由积分的绝对连续性可知,对于0,0,εδ?>?>对于,A E ?? 当()m A δ<,有A
f dx ε
因为{}()
()0m
f
k k >→→∞,则由极限定义可知对于上述的0δ>,存在正整数,N
当,k N >时,有{}()
m
f
k δ><
因此对于0,ε?>存在正整数,N 当k N >时,有{}()
{}
f k k m
f
k f dx ε>?>≤
3、设(),m D <∞(){}
1
n n f x ≥是可测集合D 上的几乎处处有限的可测函数列,求证：
为了使得()0n f x ?充要条件是()()
()01n D
n f x dx n f x →→∞+?
.
证明：必要性 因为()0n f x ?,所以
()()
01n n f x f x ?+
又因为()()
()01,111n D
n f x dx m D f x ≤
<=?<+∞+?,所以
()()
()1n n f x L D f x ∈+
根据控制收敛定理可知：()()
lim
001n D
D
n n f x dx dx f x →∞==+?
?
充分性：因为
()()
()01n D
n f x dx n f x →→∞+?
,所以
()()
01n n f x f x ?+
如果
()()
01n n f x f x +不依测度收敛于,则{}{}000,0,,j n n εδ?>?>??对于任意的1j ≥,
有()()001j j n n f x m f x δε?????? ?≥≥?? ?+ ????
???
而
()()()
()000011j n j n j j n f x D
f x n f x dx dx f x δδδε??
?
?≥?
?+????≥=?+?
?与()()
()01n D
n f x dx n f x →→∞+?
矛盾
因此
()()
01n n f x f x ?+,()()
()
1
110111n n n f x f x f x -
=
?-=++
()()00n n f x f x ∴???
7、设()()()'
,00,0f L R f f ∈=存在且有限,求证:()
()f x L R x
∈. 证明：设()'
0f
A =,即
()()()
00lim
lim 0x x f x f f x A x x
→→-==-, 由局部有界定理知,存在0,δ>当x δ<时,
()
1f x A x
≤+, 令(),E δδδ=-,则常数函数()1,A L E δ+∈ 从而
()()()
()f x f x L E L E x x
δδ∈?∈ 在R E δ-上,
()()f x f x x δ
≤，
()()
()f x f L R L R E δδ
∈?
∈-,从而
()
()f x L R E x
δ∈- 因此
()
()f x L R x
∈ .
实变函数(复习资料,带答案).doc
《实变函数》试卷一 一、单项选择题（3分×5=15分） 1、下列各式正确的是（ ） （A ）1lim n k n n k n A A ∞ ∞ →∞ ===??; （B ）1lim n k n k n n A A ∞ ∞ ==→∞ =??; （C ）1lim n k n n k n A A ∞ ∞ →∞ ===??; （D ）1lim n k n k n n A A ∞ ∞ ==→∞ =??; 2、设P 为Cantor 集，则下列各式不成立的是（ ） （A ）=P c (B) 0mP = (C) P P =' (D) P P =ο 3、下列说法不正确的是（ ） (A) 凡外侧度为零的集合都可测（B ）可测集的任何子集都可测(C) 开集和闭集都是波雷耳集 （D ）波雷耳集都可测 4、设{}()n f x 是E 上的..a e 有限的可测函数列,则下面不成立的是( )（A ）若()()n f x f x ?, 则()()n f x f x → (B) {}sup ()n n f x 是可测函数（C ）{}inf ()n n f x 是可测函数;（D ）若 ()()n f x f x ?,则()f x 可测 5、设f(x)是],[b a 上有界变差函数，则下面不成立的是（ ）(A) )(x f 在],[b a 上有界 (B) )(x f 在],[b a 上几乎处处存在导数 （C ）)('x f 在],[b a 上L 可积 (D) ? -=b a a f b f dx x f )()()(' 二. 填空题(3分×5=15分) 1、()(())s s C A C B A A B ??--=_________ 2、设E 是[]0,1上有理点全体，则 ' E =______,o E =______,E =______. 3、设E 是n R 中点集，如果对任一点集T 都 _________________________________，则称E 是L 可测的 4、)(x f 可测的________条件是它可以表成一列简单函数的极限函数.（填“充分”，“必要”，“充要”） 5、设()f x 为[],a b 上的有限函数，如果对于[],a b 的一切分划，使_____________________________________,则称()f x 为 [],a b 上的有界变差函数。 三、下列命题是否成立?若成立,则证明之;若不成立,则举反例说明.(5分×4=20分)1、设1E R ?，若E 是稠密集，则CE 是无处稠密集。 2、若0=mE ，则E 一定是可数集. 3、若|()|f x 是可测函数，则()f x 必是可测函数 4．设()f x 在可测集E 上可积分，若,()0x E f x ?∈>，则 ()0E f x >?
实变函数试题库(5)及参考答案
实变函数试题库及参考答案（5） 本科 一、填空题 1．设,A B 为集合，则___(\)A B B A A 2．设n E R ?，如果E 满足0 E E =（其中0 E 表示E 的内部），则E 是 3．设G 为直线上的开集，若开区间(,)a b 满足(,)a b G ?且,a G b G ??，则(,)a b 必为G 的 4．设{|2,}A x x n n ==为自然数，则A 的基数a (其中a 表示自然数集N 的基数) 5．设,A B 为可测集，B A ?且mB <+∞，则__(\)mA mB m A B - 6．设()f x 是可测集E 上的可测函数，则对任意实数,()a b a b <，都有[()]E x a f x b <<是 7．若()E R ?是可数集，则__0mE 8．设 {}()n f x 为可测集E 上的可测函数列，()f x 为E 上的可测函数，如果 .()() ()a e n f x f x x E →∈，则()()n f x f x ?x E ∈（是否成立） 二、选择题 1、设E 是1 R 中的可测集，()x ?是E 上的简单函数，则 （ ） （A ）()x ?是E 上的连续函数 （B ）()x ?是E 上的单调函数 （C ）()x ?在E 上一定不L 可积 （D ）()x ?是E 上的可测函数 2．下列集合关系成立的是（ ） （A ）()()()A B C A B A C = （B ）(\)A B A =? （C ）(\)B A A =? （D ）A B A B ? 3. 若() n E R ?是闭集，则 （ ） （A ）0 E E = （B ）E E = （C ）E E '? （D ）E E '= 三、多项选择题（每题至少有两个以上的正确答案） 1．设{[0,1]}E =中的有理点 ，则（ ） （A ）E 是可数集 （B ）E 是闭集 （C ）0mE = （D ）E 中的每一点均为E 的内点
实变函数试题库(4)及参考答案
实变函数试题库及参考答案（4） 本科 一、填空题 1.设,A B 为两个集合,则__c A B A B - . 2.设n E R ?,如果E 满足E E '?(其中E '表示E 的导集),则E 是 3.若开区间(,)αβ为直线上开集G 的一个构成区间,则(,)αβ满(i) ）（b a ,G (ii),a G b G ?? 4.设A 为无限集.则A 的基数__A a (其中a 表示自然数集N 的基数) 5.设12,E E 为可测集,2mE <+∞,则1212(\)__m E E mE mE -. 6.设{}()n f x 为可测集E 上的可测函数列,且()(),n f x f x x E ?∈,则由______定理可知得,存在{}()n f x 的子列{}()k n f x ,使得.()() ()k a e n f x f x x E →∈. 7.设()f x 为可测集E (n R ?)上的可测函数,则()f x 在E 上的L 积分值存在且|()|f x 在E 上L 可积.（填“一定”“不一定”） 8.若()f x 是[,]a b 上的绝对连续函数,则()f x 是[,]a b 上的有 二、选择题 1．设(){},001E x x =≤≤，则（ ） A 1mE = B 0mE = C E 是2R 中闭集 D E 是2R 中完备集 2．设()f x ，()g x 是E 上的可测函数，则（ ） A 、()()E x f x g x ??≥??不一定是可测集 B 、()()E x f x g x ??≠??是可测集 C 、()()E x f x g x ??≤??是不可测集 D 、()() E x f x g x ??=??不一定是可测集 3．下列集合关系成立的是（） A 、(\)A B B A B = B 、(\)A B B A = C 、(\)B A A A ? D 、\B A A ? 4. 若() n E R ?是开集，则 （ ） A 、E 的导集E ? B 、E 的开核E =C 、E E =D 、E 的导集E =
实变函数积分理论部分复习试题[附的答案解析版]
2011级实变函数积分理论复习题 一、判断题（判断正误，正确的请简要说明理由，错误的请举出反例） 1、设{}()n f x 是[0,1]上的一列非负可测函数，则1 ()()n n f x f x ∞ ==∑是[0,1]上的Lebesgue 可积函数。（×） 2、设{}()n f x 是[0,1]上的一列非负可测函数，则1 ()()n n f x f x ∞ ==∑是[0,1]上的Lebesgue 可测函数。（√） 3、设{}()n f x 是[0,1]上的一列非负可测函数，则 [0,1][0,1] lim ()d lim ()d n n n n f x x f x x →∞ →∞ =? ? 。 （×） 4、设{}()n f x 是[0,1]上的一列非负可测函数，则存在{}()n f x 的一个子列{} ()k n f x ，使得， [0,1][0,1] lim ()d lim ()d k k n n k k f x x f x x →∞ →∞ ，()f x 在[0,]n 上 黎曼可积，从而()f x 是[0,]n 上的可测函数，进而()f x 是1 [0,)[0,]n n ∞ =+∞= 上的可测函数） 10、设{}()n f x 是[0,1]上的一列单调递增非负可测函数，()[0,1],n G f 表示()n f x 在
实变函数习题解答
第一章习题解答 1、证明 A Y(B I C)＝(A Y B)I(A Y C) 证明：设x∈A Y(B I C)，则x∈A或x∈(B I C)，若x∈A，则x∈A Y B，且 x∈A Y C，从而x∈(A Y B)I(A I C)。若x∈B I C，则x∈B且x∈C，于是x∈A Y B 且x∈A Y C，从而x∈(A Y B)I(A Y C)，因此 A Y(B I C) ? (A Y B)I(A Y C) (1) 设x∈(A Y B) I(A Y C)，若x∈A，则x∈A Y(B I C)，若x∈A，由x∈A Y B 且x∈A Y C知x∈B且x∈C，所以x∈B I C，所以x∈A Y(B I C)，因此 (A Y B)I(A Y C) ? A Y(B I C) (2) 由(1)、(2)得，A Y(B I C)＝(A Y B)I(A Y C) 。 2、证明 ①A－B＝A－(A I B)＝(A Y B)－B ②A I(B－C)＝(A I B)－(A I C) ③(A－B)－C＝A－(B Y C) ④A－(B－C)＝(A－B)Y(A I C) ⑤(A－B)I(C－D)＝(A I C)－(B Y D) (A－B)＝A I B A－(A I B)＝A I C(A I B)＝A I(CA Y CB) ＝(A I CA)Y(A I CB)＝φY(A I CB)＝A－B (A Y B)－B＝(A Y B)I CB＝(A I CB)Y(B I CB) ＝(A I CB)Yφ＝A－B ②(A I B)－(A I C)＝(A I B)I C(A I C) ＝(A I B)I(CA Y CC)＝(A I B I CA)Y(A I B I CC)＝φY[A I(B I CC)]＝ A I(B－C) ③(A－B)－C＝(A I CB)I CC＝A I C(B Y C) ＝A－(B Y C) ④A－(B－C)＝A I C(B I CC)＝A I(CB Y C) ＝(A I CB) Y(A I C)＝(A－B)Y(A I C) ⑤(A－B)I(C－D)＝(A I CB)I(C I CD) ＝(A I C)I(CB I CD)＝(A I C)I C(B Y D)
实变函数测试题1-参考答案
本试题参考答案由08统计班15号 李维提供 有问题联系 1、设 212(0,1/),(0,),0,1,2...,n n A n A n n -===n 求出集列{A }的上限集和下限集合。 2、证明：()f x 为[,]a b 上连续函数的充分必要条件是对任意实数c ，集{} ()E x f x c =≥和 {}1()E x f x c =≤都是闭集。 3、设n R E ?是任意可测集，则一定存在可测集 δ G 型集 G ，使得 E G ?,且 ()0=-E G m 4、设,n A B R ?，A B ?可测，且()m A B ?<+∞，若()**m A B m A m B ?=+， 则,A B 皆可测。 5、写出鲁津定理及其逆定理。并证明鲁津定理的逆定理。 6、设)(x f 是E 上的可测函数，G 为开集，F 为闭集，试问])(|[G x f x E ∈与 ])(|[F x f x E ∈是否是可测集，为什么？ 7、设在Cantor 集0P 上定义函数()f x =0，而在0P 的余集中长为1 3n 的构成区间上定义为n （1,2,3,=L n ）,试证()f x 可积分，并求出积分值。 8、设{}n f 为E 上非负可积函数列，若lim ()0,n E n f x dx →∞=? 则()0n f x ?。 9、设)(x f 是E 上. 有限的可测函数，+∞
实变函数综合练习题
实变函数综合练习题 《实变函数》综合训练题（一） （含解答） 一、选择题（单选题） 1、下列集合关系成立的是（ A ） （A ）(\)A B B A B ?=? （B ）(\)A B B A ?= （C ）(\)B A A A ?? （D ）(\)B A A ? 2、若n E R ?是开集，则（ B ） （A ）E E '? （B ）E 的内部E = （C ）E E = （D ）E E '= 3、设P 是康托集，则（ C ） （A ）P 是可数集 （B ）P 是开集 （C ）0mP = （D ）1mP = 4、设E 是1R 中的可测集，()x ?是E 上的简单函数，则（ D ） （A ）()x ?是E 上的连续函数 （B ）()x ?是E 上的单调函数 （C ）()x ?在E 上一定不L 可积 （D ）()x ?是E 上的可测函数 5、设E 是n R 中的可测集，()f x 为E 上的可测函数，若()d 0E f x x =?，则（ A ） （A ）在E 上，()f z 不一定恒为零 （B ）在E 上，()0f z ≥ （C ）在E 上，()0f z ≡ （D ）在E 上，()0f z ≠ 二、多项选择题（每题至少有两个或两个以上的正确答案） 1、设E 是[0,1]中的无理点全体，则（C 、D ） （A ）E 是可数集 （B ）E 是闭集 （C ）E 中的每一点都是聚点 （D ）0mE > 2、若1E R ?至少有一个内点，则（ B 、D ）
（A ）*m E 可以等于零 （B ）* 0m E > （C ）E 可能是可数集 （D ）E 是不可数集 3、设[,]E a b ?是可测集，则E 的特征函数()E X x 是 （A 、B 、C ） （A ）[,]a b 上的简单函数 （B ）[,]a b 上的可测函数 （C ）E 上的连续函数 （D ）[,]a b 上的连续函数 4、设()f x 在可测集E 上L 可积，则（ B 、D ） （A ）()f z +和()f z - 有且仅有一个在E 上L 可积 （B ）()f z + 和()f z - 都在E 上L 可积 （C ）()f z 在E 上不一定L 可积 （D ）()f z 在E 上一定L 可积 5、设()f z 是[,]a b 的单调函数，则（ A 、C 、D ） （A ）()f z 是[,]a b 的有界变差函数 （B ）()f z 是[,]a b 的绝对连续函数 （C ）()f z 在[,]a b 上几乎处处连续 （D ）()f z 在[,]a b 上几乎处处可导 三、填空题（将正确的答案填在横线上） 1、设X 为全集，A ，B 为X 的两个子集，则\A B =C A B ? 。 2、设n E R ?，如果E 满足E E '?，则E 是 闭 集。 3、若开区间(,)αβ是直线上开集G 的一个构成区间，则(,)αβ满足(,)G αβ?、 ,G G αβ??。 4、设A 是无限集，则A 的基数A ≥ a （其中a 表示可数基数） 。 5、设1E ，2E 为可测集，2mE <+∞，则12(\) m E E ≥ 12mE mE -。 6、设()f x 是定义在可测集E 上的实函数，若对任意实数a ，都有[()]E x f x a > 是 可测集 ，则称()f x 是可测集E 上的可测函数。
实变函数习题解答(1)
第一章习题解答 1、证明 A (B C)＝(A B) (A C) 证明：设x∈A (B C)，则x∈A或x∈(B C)，若x∈A，则x∈A B，且x∈A C，从而x∈(A B) (A C)。若x∈B C，则x∈B且x∈C，于是x∈A B且x∈A C，从而x∈(A B) (A C)，因此 A (B C) ? (A B) (A C) (1) 设x∈(A B) (A C)，若x∈A，则x∈A (B C)，若x∈A，由x∈A B 且x∈A C知x∈B且x∈C，所以x∈B C，所以x∈A (B C)，因此 (A B) (A C) ? A (B C) (2) 由(1)、(2)得，A (B C)＝(A B) (A C) 。 2、证明 ①A－B＝A－(A B)＝(A B)－B ②A (B－C)＝(A B)－(A C) ③(A－B)－C＝A－(B C) ④A－(B－C)＝(A－B) (A C) ⑤(A－B) (C－D)＝(A C)－(B D) (A－B)＝A B A－(A B)＝A C(A B)＝A (CA CB) ＝(A CA) (A CB)＝φ (A CB)＝A－B (A B)－B＝(A B) CB＝(A CB) (B CB) ＝(A CB) φ＝A－B ②(A B)－(A C)＝(A B) C(A C) ＝(A B) (CA CC)＝(A B CA) (A B CC)＝φ [A (B CC)]＝ A (B－C) ③(A－B)－C＝(A CB) CC＝A C(B C) ＝A－(B C) ④A－(B－C)＝A C(B CC)＝A (CB C) ＝(A CB) (A C)＝(A－B) (A C) ⑤(A－B) (C－D)＝(A CB) (C CD) ＝(A C) (CB CD)＝(A C) C(B D) ＝(A C)－(B D)
实变函数论考试试题及答案
实变函数论考试试题及答案 证明题：60分 1、证明 1lim =n m n n m n A A ∞ ∞ →∞ ==UI 。 证明：设lim n n x A →∞ ∈，则N ?，使一切n N >，n x A ∈，所以I ∞ +=∈ 1 n m m A x Y I ∞=∞ =?1n n m m A , 则可知n n A ∞ →lim YI ∞ =∞ =?1n n m m A 。设YI ∞ =∞ =∈1n n m m A x ，则有n ,使I ∞ =∈n m m A x ，所以 n n A x lim ∞ →∈。 因此，n n A lim ∞ →=YI ∞=∞ =1n n m m A 。 2、若n R E ?，对0>?ε，存在开集G , 使得G E ?且满足 *()m G E ε-<， 证明E 是可测集。 证明：对任何正整数n ， 由条件存在开集E G n ?，使得()1*m G E n -<。 令I ∞ ==1n n G G ,则G 是可测集，又因()()1**n m G E m G E n -≤-< ， 对一切正整数n 成立，因而)(E G m -*=0，即E G M -=是一零测度集，故可测。由)(E G G E --=知E 可测。证毕。 3、设在E 上()()n f x f x ?，且1()()n n f x f x +≤几乎处处成立，Λ,3,2,1=n , 则有{()}n f x .收敛于)(x f 。 证明 因为()()n f x f x ?，则存在{}{}i n n f f ?，使()i n f x 在E 上.收敛到()f x 。设 0E 是()i n f x 不收敛到()f x 的点集。1[]n n n E E f f +=>，则00,0n mE mE ==。因此 ()0n n n n m E mE ∞∞==≤=∑U 。在1 n n E E ∞ =-U 上，()i n f x 收敛到()f x ， 且()n f x 是单调的。 因此()n f x 收敛到()f x （单调序列的子列收敛，则序列本身收敛到同一极限）。 即除去一个零集1n n E ∞ =U 外，()n f x 收敛于()f x ，就是()n f x . 收敛到()f x 。
实变函数试题库及参考答案
实变函数试题库及参考答案（1） 本科 一、填空题 1．设,A B 为集合，则()\A B B U A B U （用描述集合间关系的符号填写） 2．设A 是B 的子集，则A B （用描述集合间关系的符号填写） 3．如果E 中聚点都属于E ，则称E 是 4．有限个开集的交是 5．设1E 、2E 是可测集，则()12m E E U 12mE mE +（用描述集合间关系的符号填写） 6．设n E ??是可数集，则*m E 0 7．设()f x 是定义在可测集E 上的实函数，如果1a ?∈?，()E x f x a ??≥??是 ，则称()f x 在E 上可测 8．可测函数列的上极限也是 函数 9．设()()n f x f x ?，()()n g x g x ?，则()()n n f x g x +? 10．设()f x 在E 上L 可积，则()f x 在E 上 二、选择题 1．下列集合关系成立的是（ ） 2．若n R E ?是开集，则（ ） 3．设(){}n f x 是E 上一列非负可测函数，则（ ） 三、多项选择题（每题至少有两个以上的正确答案） 1．设[]{}0,1E =中无理数，则（ ） A E 是不可数集 B E 是闭集 C E 中没有内点 D 1m E = 2．设n E ??是无限集，则（ ） A E 可以和自身的某个真子集对等 B E a ≥（a 为自然数集的基数） 3．设()f x 是E 上的可测函数，则（ ） A 函数()f x 在E 上可测 B ()f x 在E 的可测子集上可测 C ()f x 是有界的 D ()f x 是简单函数的极限
4．设()f x 是[],a b 上的有界函数，且黎曼可积，则（ ） A ()f x 在[],a b 上可测 B ()f x 在[],a b 上L 可积 C ()f x 在[],a b 上几乎处处连续 D ()f x 在[],a b 上几乎处处等于某个连续函数 四、判断题 1. 可数个闭集的并是闭集. （ ） 2. 可数个可测集的并是可测集. （ ） 3. 相等的集合是对等的. （ ） 4. 称()(),f x g x 在E 上几乎处处相等是指使()()f x g x ≠的x 全体是可测集. （ ） 五、定义题 1. 简述无限集中有基数最小的集合，但没有最大的集合. 2. 简述点集的边界点，聚点和内点的关系. 3. 简单函数、可测函数与连续函数有什么关系？ 4. [],a b 上单调函数与有界变差函数有什么关系？ 六、计算题 1. 设()[]23 0,1\x x E f x x x E ?∈?=?∈??，其中E 为[]0,1中有理数集，求 ()[] 0,1f x dx ?. 2. 设{}n r 为[]0,1中全体有理数，(){}[]{}12121 ,,00,1\,,n n n x r r r f x x r r r ∈??=?∈??L L ，求()[] 0,1lim n n f x dx →∞?. 七、证明题 1．证明集合等式：(\)A B B A B =U U 2．设E 是[0,1]中的无理数集，则E 是可测集，且1mE = 3．设(),()f x g x 是E 上的可测函数，则[|()()]E x f x g x >是可测集 4．设()f x 是E 上的可测函数，则对任何常数0a >，有1 [|()|]|()|E mE x f x a f x dx a ≥≤ ? 5．设()f x 是E 上的L -可积函数，{}n E 是E 的一列可测子集，且lim 0n n mE →∞ =，则 实变函数试题库及参考答案（1） 本科 一、填空题
实变函数练习题A
实变函数与泛函分析试卷A 一、判断题 1.定义在区间),(+∞-∞上的单调函数的间断点所成之集至多可数。 2.赋范空间中的压缩映射一定存在不动点。 3.平面上所有点的集合的势不能与含在其中的直线上的点集的势相等。 4.直线上互不相交的开区间所成之集为不可数集。 5.赋范空间中上压缩映射一定存在不动点。 二、填空题 1.直线上任何____可表示成至多可数的个互不相交的构成区间的并集。 2.实数集中一集合的闭包是包含此集合的所有闭集的____。 3.有限维空间上的任何两个范数都是____。 4.一闭集中所有点都是此集合的聚点，则称此集合为____。 5.在半序集中，如果所有全序集都有上界，则此半序集中有____。 三、选择题 1.直线上的单调函数的不连续点集____。 A.可数 B.至多可数 C.不可数 D.有限 2.有限维赋范空间中____中点列有收敛子列。 A.开集 B.闭集 C.有界集 D.无界集 3.Banach 空间间的____线性算子必是连续的。 A.无界 B.开 C.闭 D.有界 4.可分赋范空间的共轭空间必是____。 A.可分的 B.完备的 C.不可分的 D.不完备的 5.闭区间上____函数是Riemann 可积的。 A.有界的几乎处处连续 B.有界 C.几乎处处连续 D.Lebesgue 可积函数 四、论述题 1.证明：设F 是n 维欧几里得空间),(ρn R 中的有界闭集，映射F F T →:满足： ),,)(,(),(y x F y x y x Tx Tx ≠∈?<ρρ.求证T 在F 中存在唯一的不动点。 2.证明：设集1R E ?有界，0*>E m ，则对于任意小于E m *的正数，恒有E 的子集1 E 使得c E m =1*。 3.设,...,21αα是一列数，∞ 《实变函数》期末考试试题汇编 目录 《实变函数》期末考试模拟试题（一） (2) 《实变函数》期末考试模拟试题（二） (7) 《实变函数》期末考试模拟试题（三） (13) 《实变函数》期末考试模拟试题（四） (18) 《实变函数》期末考试模拟试题（五） (27) 《实变函数》期末考试模拟试题（六） (30) 《实变函数》期末考试模拟试题（七） (32) 《实变函数》期末考试模拟试题（八） (36) 《实变函数》期末考试模拟试题（九） (41) 《实变函数》期末考试模拟试题（十） (47) 《实变函数》期末考试题（一） (57) 《实变函数》期末考试题（二） (63) 《实变函数》期末考试模拟试题（一） （含解答） 一、选择题（单选题） 1、下列集合关系成立的是（ A ） （A ）(\)A B B A B ?=? （B ）(\)A B B A ?= （C ）(\)B A A A ?? （D ）(\)B A A ? 2、若n E R ?是开集，则（ B ） （A ）E E '? （B ）E 的内部E = （C ）E E = （D ）E E '= 3、设P 是康托集，则（ C ） （A ）P 是可数集 （B ）P 是开集 （C ）0mP = （D ）1mP = 4、设E 是1R 中的可测集，()x ?是E 上的简单函数，则（ D ） （A ）()x ?是E 上的连续函数 （B ）()x ?是E 上的单调函数 （C ）()x ?在E 上一定不L 可积 （D ）()x ?是E 上的可测函数 5、设E 是n R 中的可测集，()f x 为E 上的可测函数，若()d 0E f x x =?，则（ A ） （A ）在E 上，()f z 不一定恒为零 （B ）在E 上，()0f z ≥ （C ）在E 上，()0f z ≡ （D ）在E 上，()0f z ≠ 二、多项选择题（每题至少有两个或两个以上的正确答案） 1、设E 是[0,1]中的无理点全体，则（C 、D ） （A ）E 是可数集 （B ）E 是闭集 （C ）E 中的每一点都是聚点 （D ）0mE > 2、若1E R ?至少有一个内点，则（ B 、D ） （A ）* m E 可以等于零 （B ）*0m E > （C ）E 可能是可数集 （D ）E 是不可数集 3、设[,]E a b ?是可测集，则E 的特征函数()E X x 是 （A 、B 、C ） （A ）[,]a b 上的简单函数 （B ）[,]a b 上的可测函数 （C ）E 上的连续函数 （D ）[,]a b 上的连续函数 4、设()f x 在可测集E 上L 可积，则（ B 、D ） 第 1 页 共 6 页 陇东学院2011—2012学年第一学期实变函数(A) 一．填空.（每空2分，共20分） 1给出自然数集+N 与整数集Z 之间的一一对应关系 . 2设B A ,是两集合，B A <是指 . 3?? ?????????????=≠==0,00,1sin ),(x x x y y x E ,在2 R 内求= E ,='E ， 4.设, ,(),[0,1]\. x x x P f x e x P ∈?=? ∈?其中P 是Cantor 集,则[] =?1,0)(dx x f ________. 5.设n E R ?,则称E 是L 可测的是指: . 6.设()sin f x x =,[0,2]x π∈,则()f x + = ; ()f x -= . 7.称)(x f 为可测集E 上的简单函数是指 8.设⑴mE <∞;⑵ {}()n f x 是 E 上一列几乎处处有限的可测函数;⑶ lim ()()n n f x f x →∞ =..a e 于E ,且()f x <∞..a e 于E .则0δ?>,E E δ??,使得 mE δδ<,而{}()n f x 在 上一致收敛于()f x . 二.选择（每题2分，共10分） 1.若A 是有限集或可数集,B 是不可数集,则以下不对的是（ ）. A .A B 是可数； B .A B 是不可数； C .A B c =； D .A B B = 2.设E 是任一可测集,则( )． A .E 是开集; B .0ε?>,存在开集G E ?,使得(\)m G E ε<; C .E 是闭集; D . E 是 F σ型集或 G δ型集. 3.下列关系式中成立的是（ ） ①()A B B A =\ ，②()A B B A = \，③()B A B A ''=' ， ④() B A B A =，⑤()B A B A =，其中B A ,是二集合. A .①② B .③④⑤ C .③⑤ D .①②③④⑤ 4. 设n E R ?,mE <+∞,{}()n f x 在E 上几乎处处收敛于()f x .则( ). A ．{}()n f x 在E 上处处收敛于()f x ; B ．存在{}()n f x 的子列{}()i n f x ,使得{} ()i n f x 在E 上一致收敛于()f x . C . {}()n f x 在E 上一致收敛于()f x ; D . {}()n f x 在 E 上依测度收敛于()f x ; 5.设q R E ?为可测集，{}()n f x 是E 上的一列非负可测函数，则（ ） A ??∞→∞ →≤E n n n E n dx x f dx x f )(lim )(lim B ??∞→∞ →≥E n n n E n dx x f dx x f )(lim )(lim C ??∞→∞ →=E n n n E n dx x f dx x f )(lim )(lim D ??∞→∞ →=E n n n E n dx x f dx x f )(lim )(lim 三．判断题(每题2分，共10分) 1. 0mE =E ?是有限集或可数集. （ ） 2. 若开集1G 是开集2G 的真子集,则12mG mG < （ ） 3. 直线上的开集至多是可数多个互不相交的开区间的并 （ ） 4. 设()f x ,()g x 是可测集E 上的可测函数,则()()f x g x 也是E 上的可测函数 （ ） 5.可测函数)(x f 在E 上L 可积?)(x f 在E 上L 可积 （ ） 四．证明题(每题8分，共40分) 1.证明： 设()f x 是(,)-∞+∞上的实值连续函数,则a R ?∈,{} ()E x f x a =>是 试 卷 密 封 装 订 线 院 系 班 级 姓 名 学 号 1.若E有界,则m*E<正无穷 2.可数点集的外测度为零 3.设E是直线上一有界集合,m*E>0,则对任意小于m*E的正数c,恒有E的子集E1,使m*E=c 4.设S1,S2,…，Sn是一些互不相交的可测集合，Ei包含于Si，i=1，2，3...n，求证m*（E1并E2并E3...并En）=m*E1+m*E2+…+m*En 5.若m*E=0，则E可测。 6.证明康托尔（Cantor）集合的测度为0 7.设A，B包含于Rp，且m*B<正无穷，若A是可测集，证明m*（A并B）=mA+m*B-m*（A 交B） 8.证明：若E可测，则对于任意e〉0，恒有开集G及闭集F，使F包含于E包含于G，而m （G-E）〈e，m（E-F）〈e 9.设E包含于Rq，存在两列可测集{An}，{Bn}，使得An包含于E包含于Bn且m（Bn-An）--> 0(n-->无穷)，则E可测。 10.设是一列可测集，证明和都是可测集且 11.设{En}是一列可测集，若求和m（En）<正无穷，证明m（En上极限）=0 12.设E是[0，1]中可测集，若m（E）=1，证明对任意可测集A包含于[0，1]，m（E交A）=m（A） 13.设{En}是[0，1]中可测集列，若m（En）=1，n=1，2，...，则 定理5.6设E是任一可测集，则一定存在型集G，使G包含E，且m（G-E）=0。 设E是任一可测集，则一定存在型集F，使F包含于E，且m（E-F）=0。 次可数可加性证明 卡拉泰奥多里条件：m*T=m*（T交E）+m*（T交Ec）极限的测度等于测度的极限 1.证明：f（x）在E上为可测函数的充要条件是对任一有理数r，E[f〉r]可测，如果集E[f=r]可测，问f（x）是否可测？ 实变函数测试题 一,填空题 1. 设1,2n A n ??=????, 1,2n =L , 则lim n n A →∞ = 、 2. ()(),,a b -∞+∞:,因为存在两个集合之间的一一映射为 、 3. 设E 就是2R 中函数1cos ,00,0 x y x x ?≠?=?? =?的图形上的点所组成的 集合,则E '= , E ?= 、 4. 若集合n E R ?满足E E '?, 则E 为 集、 5. 若(),αβ就是直线上开集G 的一个构成区间, 则(),αβ满足: , 、 6. 设E 使闭区间[],a b 中的全体无理数集, 则mE = 、 7. 若()n mE f x →()0f x ??=?? , 则说{}()n f x 在E 上 、 8. 设n E R ?, 0n x R ∈,若 ,则称0x 就 是E 的聚点、 9. 设{}()n f x 就是E 上几乎处处有限的可测函数列, ()f x 就是E 上 几乎处处有限的可测函数, 若0σ?>, 有 , 则称{}()n f x 在E 上依测度收敛于()f x 、 10. 设()()n f x f x ?,x E ∈, 则?{}()n f x 的子列{} ()j n f x , 使得 、 二, 判断题、 正确的证明, 错误的举反例、 1. 若,A B 可测, A B ?且A B ≠,则mA mB <、 2. 设E 为点集, P E ?, 则P 就是E 的外点、 3. 点集11,2,,E n ??=???? L L 的闭集、 4. 任意多个闭集的并集就是闭集、 5. 若n E R ?,满足*m E =+∞, 则E 为无限集合、 三, 计算证明题 1、 证明:()()()A B C A B A C --=-U I 2、 设M 就是3R 空间中以有理点(即坐标都就是有理数)为中心, 有理数为半径的球的全体, 证明M 为可数集、 3、 设n E R ?,i E B ?且i B 为可测集, 1,2i =L 、根据题意, 若有 ()()*0,i m B E i -→ →∞, 证明E 就是可测集、 4. 设P 就是Cantor 集, ()[]32ln 1,(),0,1x x P f x x x P ?+ ∈? =? ∈-?? 、 求1 0(L)()f x dx ?、 5. 设函数()f x 在Cantor 集0P 中点x 上取值为3x , 而在0P 的余 第一章习题 2、(ii) ()1 1 1n n n n n n n A B A B ∞∞∞ ===-?- 证明：对于1 1 ,n n n n x A B ∞∞ ==?∈- 11 n n n n x A x B ∞∞ ==?∈? 且 001,1,n n n x A n x B ??≥∈?≥?且对于 0001,n n n x A B ??≥∈- ()1n n n x A B ∞ =?∈- 22、具体构造[]0,1与()0,1之间的一个完全的一一映射. 解：记()0,1中的有理数点集为Q ；()0,1中的无理数点集为M ()0,1Q M = ；[]{}0,10,1Q M = ,作映射 12132,,0,1,..........n n x M x x r r r r r r +?∈→→→→→ 所以[]()0,10,1与等价 29、求证：n R 中任一集合的导集是闭集. 证明：若()E ''=Φ,则E '为闭集,否则 要证明E '为闭集()E E '''?? ()x E x ''?∈?为E '的聚点(){}{}0,,V x x E εε'??>-≠Φ (){}{}1,x V x x E ε'??∈- ()(){}11,x V x x ε?∈- ()() ()110,,,2V x V x x E δδε??>?' ?∈使得 (){}{}11110,,V x x E δδ??>-≠Φ 10,δ??>()11,V x δ中含有E 的无穷多个点 ()1,V x δ?也中含有E 的无穷多个点 ()()1,,E V x E V x δε? ()x E E E '?∈''' ?? 从而E '为闭集 30、(i)设,A B 是任意的两个集合,若A B ?,则A B ''?. 证明：x A x '?∈?为A 的聚点 (){}{}0,,V x x A εε??>-≠Φ A B ? (){}{}0,,V x x B εε??>-≠Φ ?x 为B 的聚点 ?x B '∈ (ii)若A B A '??,求证：B 是闭集. 根据(i)式可知B A B ''??,则B 是闭集 32、n R 中任一集合的孤立点是至多可数的 证明：先来证明1 R 中的孤立点是至多可数的 记B 为1 R 中以有理数为端点的开区间全体所成的集合,(){},,m n n m B r r r r Q =∈ 则B 为可数集. 设A 为1R 中的孤立点全体,则对于任意的x A ∈,则存在x 的一个以有理数为端点的邻域 (),x x αβ,使得 (){},x x A x αβ= ` 对于每一个x A ∈,都做出这样的一个邻域,由于每个邻域中只含有一个A 中的点,故对于A 中不同的两个点对应的邻域(),x x αβ，() ,y y αβ也不同. 令(){},x x D x A α β= ∈ 则A 与D 等价,而D B ?,则D 是至多可数集,从而A 是至多可数集,因此有限个至多可数集的直积是至多可数集. 33、若A 不可数,则A '也不可数. 证明：假设A '是至多可数集,则设B 为A 的孤立点全体,则B 为至多可数集 因为()A B A A '= ,A A A ''? ,则A A ' 为至多可数集 则A 为至多可数集与已知矛盾. 第二章习题 2、求证：()(){}*inf :,m E m Q E Q Q =?是开集 《实变函数》 一、单项或多项选择题 1、下列正确的是（ 2 3 4 ） （1）\(\)(\)\A B C A B C = （2）()()()A B C A B A C = （3）()()c c \A B C A B C = （4）()(\)\\A B C A B C = 2、下列正确的是（ 2 4 ） （1）无理数集是可数集； （2）超越数构成的集合是不可数集； （3）若R 中两个Lebesgue 可测集A 和B 的基数相等，则它们的测度也相等； （4）Q 表示全体有理数集，则2014 Q 是可数集. 3、在R 中令111 {1,,, ,},23A n =则（ 3 4 ） （1）A 为闭集 （2）A 为开集 （3）{}'0A = （4）A 为疏集 4、设A R ?满足0mA =，则（ 1 3 ） （1）A 为Lebesgue 可测集 （2）A 为可数集 （3）任意可测函数f 在A 上可积 （4）A 为疏集 5、在R 上定义()f x ，当x 为有理数时，()1f x =，当x 为无理数时，()0f x =，则（ 3 4 ） （1） f 几乎处处连续 （2） f 不是可测函数 （3） f 在R 上处处不连续 （4）f 在R 上为可测函数 6、设,(X),n f f M ∈则（1 2 3 4 ） （1）()f M X + ∈ （2）()f M X ∈ （3）()2 f M X ∈ （4）()lim n n f M X ∈ 7、若f 在[]0,1上L 可积，则下列成立的是（ 1 2 ） （1）f <+∞在[]0,1上几乎处处成立 （2）f 在[]0,1上L 可积 （3）f 在[]0,1上几乎处处连续 （4）2 f 在[]0,1上非L 可积 8、设(),1,2,3,n f f n =是X 上几乎处处有限的可测函数，则下列结论正确的是（ 1 3 ） （1）若,..,n f f a u →则,.e.;n f f a →实变函数期末考试题库
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