双曲线、抛物线的参数方程
双曲线 、抛物线的参数方程
1．双曲线的参数方程
(1)中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的参数方程是???
??x ＝a sec φy ＝b tan φ
(φ为参数)，规定参数φ的取值范围为φ∈[0，2π)且φ≠
π2，φ≠3π
2
． (2)中心在原点，焦点在y 轴上的双曲线y 2a 2－x 2
b 2＝1(a >0，b >0)的参数方程是?
??
??x ＝b tan φy ＝a sec φ(φ为参数)．
2．抛物线的参数方程 (1)抛物线y
2
＝2px 的参数方程为?
???
?x ＝2pt 2
y ＝2pt (t 为参数)．
(2)参数t 的几何意义是抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数．
1．参数方程?
????x ＝2t 2
，
y ＝4t (t 为参数)表示的曲线不在( )
A ．x 轴上方
B ．x 轴下方
C ．y 轴右方
D ．y 轴左方
解析：选D.原参数方程可化为y 2
＝8x ，故图象不在y 轴左方．选D. 2．下列不是抛物线y 2
＝4x 的参数方程的是( )
A.?????x ＝4t
2
y ＝4t ，(t 为参数) B ．?????x ＝
t 2
4y ＝t
，(t 为参数) C.?
????x ＝t 2y ＝2t ，(t 为参数) D ．?
????x ＝2t 2
y ＝2t ，(t 为参数)
解析：选D.逐一验证知D 不满足y 2
＝4x . 3．双曲线??
?x ＝23tan α
y ＝6sec α
，(α为参数)的两焦点坐标是( )
A ．(0，－43)，(0，43)
B ．(－43，0)，(43，0)
C ．(0，－3)，(0，3)
D ．(－3，0)，(3，0) 解析：选A.tan α＝
x 23
，sec α＝y
6，
由sec 2α－tan 2
α＝1， 得y 262－x 2
(23)2＝1， 即y 236－x 2
12
＝1. 焦点在y 轴上，且c 2
＝a 2
＋b 2
＝48，易得双曲线的焦点坐标是(0，－43)，(0，43)． 4．双曲线x 2
－y 2
＝1的参数方程是____________． 解析：由x 2
－y 2＝1， 又sec 2
θ－tan 2
θ＝1， 所以令x ＝sec θ，y ＝tan θ.
故参数方程为?????x ＝sec θy ＝tan θ，(θ为参数)．
答案：?
????x ＝sec θ
y ＝tan θ，(θ为参数)
由参数方程求解双曲线、抛物线的几何性质
(1)双曲线?????x ＝tan αy ＝2cos α，(α为参数)的焦点坐标是____________．
(2)将方程????
?x ＝tan t y ＝1－cos 2t 1＋cos 2t ，化为普通方程是____________．
[解析] (1)将?
????x ＝tan αy ＝2cos α，化为y 24－x 2
＝1，
可知双曲线焦点在y 轴，且c ＝4＋1＝5， 故焦点坐标是(0，±5)．
(2)由y ＝1－cos 2t 1＋cos 2t ＝2sin 2
t 2cos 2t
＝tan 2
t ，
将tan t ＝x 代入上式，得y ＝x 2
，即为所求方程． [答案] (1)(0，±5) (2)y ＝x
2
(1)给出双曲线、抛物线的参数方程就可以化为普通方程，进而化成标准方程，然后获得相应的几何性质．
(2)注意双曲线的两种标准方程、抛物线的四种标准方程对应的参数方程的区别，重视参数的取值范围对曲线形状的影响．
1.如果双曲线?
????x ＝sec θ
y ＝6tan θ，(θ为参数)上一点P 到它的右焦点的距离是
8，那么P 到它的左焦点的距离是________．
解析：由双曲线参数方程可知a ＝1，
故P 到它左焦点F 的距离|PF |＝10或|PF |＝6. 答案：10或6
2．过抛物线?
????y ＝2t
x ＝t 2，(t 为参数)的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，如果x 1＋x 2＝6，则|AB |＝________．
解析：化为普通方程是：x ＝y 2
4，即y 2
＝4x ，所以p ＝2.
所以|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝8. 答案：8
双曲线参数方程的应用
已知圆C ：x 2
＋(y －2)2
＝1上一点P ，与双曲线x 2
－y 2
＝1上一点Q ，求P ，Q 两点
距离的最小值．
[解] 双曲线x
2
－y 2
＝1的参数方程为?
????x ＝sec θ
y ＝tan θ(θ为参数)，则Q (sec θ，tan θ)，
又圆心C (0，2)，则
|CQ |2
＝sec 2
θ＋(tan θ－2)2
＝(tan 2
θ＋1)＋(tan θ－2)2
＝2(tan θ－1)2
＋3. 当tan θ＝1，即θ＝π
4时，
|CQ |2取最小值3，此时有|CQ |min ＝ 3. 又因为|PC |＝1，所以|PQ |min ＝3－1.
(1)用?
????x ＝a sec θy ＝b tan θ(θ为参数)研究双曲线问题时，双曲线上的点的坐标可记作(a sec
θ，b tan θ)．这样可以将两个变量x ，y 的关系简化为一个变量θ的解析式．此外，我
们可以利用θ的三角函数进行变形，使解决问题的途径更加广泛．
(2)本类型题可用圆心到双曲线的距离最小值减去圆半径的方法．
1.求证：双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)上任意一点到两渐近线的距离的乘积
是一个定值．
证明：由双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1，得两条渐近线的方程是：bx ＋ay ＝0，bx －ay ＝0，设双曲
线上任一点的坐标为(a sec φ，b tan φ)，
它到两渐近线的距离分别是d 1和d 2，
则d 1·d 2
＝|ab sec φ＋ab tan φ|b 2＋a 2·|ab sec φ－ab tan φ|
b 2＋(－a )2
＝|a 2b 2
(sec 2
φ－tan 2
φ)|a 2＋b 2
＝a 2b
2
a 2＋b
2(定值)． 2．如图，设P 为等轴双曲线x 2
－y 2
＝1上的一点，F 1、F 2是两个焦点，证明：|PF 1|·|PF 2|＝|OP |2
.
证明：设P (sec φ，tan φ)，因为F 1(－2，0)，F 2(2，0)． 所以|PF 1|＝(sec φ＋2)2
＋tan 2
φ＝2sec 2
φ＋22sec φ＋1， |PF 2|＝(sec φ－2)2
＋tan 2
φ＝2sec 2
φ－22sec φ＋1， |PF 1|·|PF 2|＝(2sec 2
φ＋1)2
－8sec 2
φ＝2sec 2
φ－1. 因为|OP |2
＝sec 2
φ＋tan 2
φ＝2sec 2
φ－1， 所以|PF 1|·|PF 2|＝|OP |2
.
抛物线参数方程的应用
设抛物线y 2
＝2px 的准线为l ，焦点为F ，顶点为O ，P 为抛物线上任一点，PQ ⊥
l 于Q ，求QF 与OP 的交点M 的轨迹方程．
[解] 设P 点的坐标为(2pt 2
，2pt )(t 为参数)， 当t ≠0时，直线OP 的方程为y ＝1
t
x ，
QF 的方程为y ＝－2t ?
??
??x －p 2
，
它们的交点M (x ，y )由方程组?????y ＝1t
x y ＝－2t ? ????x －p 2确定，
两式相乘，消去t ，得y 2
＝－2x ? ?
???
x －p 2，
所以点M 的轨迹方程为2x 2
－px ＋y 2
＝0(x ≠0)．
当t ＝0时，M (0，0)满足题意，且适合方程2x 2
－px ＋y 2
＝0. 故所求的轨迹方程为2x 2
－px ＋y 2
＝0.
(1)抛物线y 2
＝2px (p >0)的参数方程为?
????x ＝2pt 2
，y ＝2pt (t 为参数)，参数
t 为任意实数，它
表示抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数．
(2)用参数法求动点的轨迹方程，其基本思想是选取适当的参数作为中间变量，使动点的坐标分别与参数有关，从而得到动点的参数方程，然后再消去参数，化为普通方程．
1.已知抛物线的参数方程为?
????x ＝2pt
2
y ＝2pt ，(t 为参数)，其中p >0，焦点为F ，
准线为l ，过抛物线上一点M 作l 的垂线，垂足为E .若|EF |＝|MF |，点M 的横坐标是3，则
p ＝________．
解析：?
????x ＝2pt 2
y ＝2pt ?y 2
＝2px ，焦点
F ? ??
??p 2
，0，过点M 作x 轴的垂线，垂足为N (图略)，由题意可知，△MEF 是正三角形，
所以∠MFN ＝60°，在Rt △MFN 中，|FN |＝|MF |cos 60°＝12? ??
??3＋p 2.
所以3－p 2＝12? ??
??
3＋p 2?p ＝2.
答案：2
2．连接原点O 和抛物线2y ＝x 2
上的动点M ，延长OM 到P 点，使|OM |＝|MP |，求P 点的轨迹方程，并说明它是何曲线．
解：设M (x 1，y 1)为抛物线上的动点，P (x ，y )在OM 的延长线上，且M 为线段OP 的中点，
抛物线的参数方程为?
????x ＝2t ，
y ＝2t 2
， 因为M (x 1，y 1)在抛物线上，
所以?
????x 1＝2t
y 1＝2t 2， 由中点坐标公式得?????x 1＝
x
2y 1
＝y 2
，即?????x ＝4t y ＝4t
2
(t 为参数)，
消去参数t 得x 2
＝4y . 它表示的是抛物线．
1．双曲线的参数方程中参数φ的几何意义
参数φ是双曲线上的点M 所对应的圆的半径OA 的旋转角称为点M 的离心角，而不是
OM 的旋转角，可类比椭圆的离心角进行理解记忆，双曲线的参数φ的最大取值范围是
φ∈R，且φ≠k π＋π
2(k ∈Z)，最小范围是φ∈[0，2π)且φ≠π2，φ≠
3π
2
.通常规定，离心角φ的取值范围是φ∈[0，2π)且φ≠π2，φ≠3π
2
.
2．双曲线的普通方程与参数方程的互化
双曲线的普通方程与参数方程依据公式sec 2φ－tan 2
φ＝1进行互化．
由x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)?? ????x a 2－? ??
??y b 2＝1?令x a ＝sec φ，y b ＝tan φ可得参数方程为
?
????x ＝a sec φy ＝b tan φ(φ为参数)． 由?
????x ＝a sec φy ＝b tan φ??????x
a
＝sec φy b ＝tan φ?代入sec 2
φ－tan 2
φ＝1得普通方程x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，
b >0)．
3．抛物线参数方程中参数t 的几何意义
t ＝
1
tan α
(α是以射线OM 为终边的角)，即参数t 表示抛物线上除顶点之外的任意一
点与原点连线的斜率的倒数．
4．抛物线的普通方程与参数方程的互化
将抛物线的参数方程化为普通方程时只需一式平方与另一式相除即可，将抛物线y 2
＝2px (p >0)化为参数方程时，必须令x ＝2pt 2
代入y 2
＝2px 中求出y ＝±2pt 后取y ＝2pt 得到
的参数方程为?
????x ＝2pt
2
y ＝2pt (t 为参数)．
5．抛物线另外三种标准方程的参数方程
y 2
＝－2px (p >0)的参数方程是?????x ＝－2pt
2
y ＝2pt (t 为参数)，
x 2
＝2py (p >0)的参数方程是?????x ＝2pt
y ＝2pt 2(t 为参数)， x
2
＝－2py (p >0)的参数方程是?
????x ＝2pt y ＝－2pt 2(t 为参数)． 6．圆锥曲线的参数方程不是唯一的
圆锥曲线的参数方程与所选定的参数有关，不同的参数求出的参数方程也不一样．
1．点P (1，0)到曲线?
????x ＝t 2
y ＝2t ，(参数t ∈R)上的点的最短距离为( )
A ．0
B ．1
C. 2 D ．2
解析：选B.设Q (x ，y )为曲线上任一点，则d 2
＝|PQ |2
＝(x －1)2
＋y 2
＝(t 2
－1)2
＋4t 2
＝(t 2
＋1)2
，由t 2
≥0得d 2
≥1，所以d min ＝1.
2．P 为双曲线?
????x ＝4sec θ
y ＝3tan θ，(θ为参数)上任意一点，F 1，F 2为其两个焦点，则△F 1PF 2
重心的轨迹方程是( )
A ．9x 2
－16y 2
＝16(y ≠0) B ．9x 2
＋16y 2
＝16(y ≠0) C ．9x 2
－16y 2
＝1(y ≠0) D ．9x 2
＋16y 2
＝1(y ≠0) 解析：选A.由题意知a ＝4，b ＝3，可得c ＝5， 故F 1(－5，0)，F 2(5，0)，
设P (4sec θ，3tan θ)，重心M (x ，y )，则
x ＝
－5＋5＋4sec θ3＝43sec θ，y ＝0＋0＋3tan θ
3
＝tan θ.
从而有9x 2
－16y 2
＝16(y ≠0)． 3．在平面直角坐标系中，直线l
的参数方程为?
????x ＝t ＋1
y ＝2t ，(t 为参数)，曲线
C 的参数
方程为?
????x ＝2tan 2
θ
y ＝2tan θ，(θ为参数)，则直线l 与曲线C 的交点坐标为____________．
解析：直线l 的参数方程化为普通方程为2x －y －2＝0，同理曲线C 的普通方程为y
2
＝2x ，由?????2x －y －2＝0，y 2＝2x ，解得?????x 1＝2，y 1＝2或??
???x 2＝1
2，y 2＝－1，
故直线l 与曲线C 的交点坐标为(2，2)，? ????12，－1. 答案：(2，2)，? ??
??12，－1
4．已知两曲线参数方程分别为???x ＝5cos θ，
y ＝sin θ(0≤θ<π)和?????x ＝54t 2，y ＝t (t ∈R)，它们
的交点坐标为________．
解析：根据题意，两曲线分别是椭圆x 2
5＋y 2＝1的上半部分和开口向右的抛物线y 2
＝45x ，
联立易得它们的交点坐标为? ?
?
??
1，
255. 答案：?
????1，255
[A 基础达标]
1．曲线?
????x ＝t 2
－1
y ＝2t ＋1(t 为参数)的焦点坐标是( )
A ．(1，0)
B ．(0，1)
C ．(－1，0)
D ．(0，－1)
解析：选B.将参数方程化为普通方程(y －1)2
＝4(x ＋1)，该曲线为抛物线y 2
＝4x 向左、向上各平移一个单位得到，所以焦点为(0，1)．
2．已知某条曲线的参数方程为?????x ＝12(a ＋1
a
)，y ＝12(a －1a )(其中a 是参数)，则该曲线是( )
A ．线段
B ．圆
C ．双曲线
D ．圆的一部分
解析：选C.将所给参数方程的两式平方后相减，得x 2－y 2
＝1.并且由|x |＝12|a ＋1a |≥1，
得x ≥1或x ≤－1，从而易知结果．
3．方程?
????x ＝e t
＋e
－t
y ＝e t －e －t ，(t 为参数)的图形是( ) A ．双曲线左支 B ．双曲线右支 C ．双曲线上支
D ．双曲线下支 解析：选B.因为x 2
－y 2
＝e 2t
＋2＋e －2t
－(e 2t
－2＋e
－2t
)＝4.且x ＝e t ＋e －t ≥2e t ·e －t
＝
2.
所以表示双曲线的右支．
4．过点M (2，4)且与抛物线?
????x ＝2t 2
y ＝4t 只有一个公共点的直线有( )
A ．0条
B ．1条
C ．2条
D ．3条
解析：选C.由?
????x ＝2t 2
y ＝4t 得y 2
＝8x .
所以点M (2，4)在抛物线上．
所以过点M (2，4)与抛物线只有一个公共点的直线有2条． 5．若曲线???
??x ＝2pt y ＝2pt
2
(t 为参数)上异于原点的不同两点M 1，M 2所对应的参数分别是t 1，t 2，
则弦M 1M 2所在直线的斜率是( )
A ．t 1＋t 2
B ．t 1－t 2
C.
1
t 1＋t 2
D ．
1
t 1－t 2
解析：选A.依题意M 1(2pt 1，2pt 2
1)，M 2(2pt 2，2pt 2
2) 所以k ＝2pt 2
1－2pt 2
22pt 1－2pt 2＝(t 1＋t 2)(t 1－t 2)
t 1－t 2
＝t 1＋t 2.
6．圆锥曲线?
????x ＝t
2
y ＝2t (t 为参数)的焦点坐标是________．
解析：将参数方程化为普通方程为y 2
＝4x ，表示开口向右，焦点在x 轴正半轴上的抛物线，由2p ＝4?p ＝2，则焦点坐标为(1，0)．
答案：(1，0)
7．双曲线???x ＝3tan θ
y ＝sec θ
(θ为参数)的两条渐近线所成的角为________．
解析：双曲线???x ＝3tan θy ＝sec θ
(θ为参数)化为普通方程为y 2
－x 23＝1，故a ＝1，b ＝3，
渐近线方程为y ＝±
3
3
x ，则两条渐近线所夹的锐角是60°. 答案：60°
8．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1和C 2的参数方程分别为???x ＝t
y ＝t ，(t 为参数)和
??
?x ＝2cos θ
y ＝2sin θ
，(θ为参数)，则曲线C 1与C 2的交点坐标为________． 解析：C 1的普通方程为y 2
＝x (x ≥0，y ≥0)，
C 2的普通方程为x 2＋y 2＝2.
由?????y 2
＝x ，x ≥0，y ≥0，x 2＋y 2＝2得?
????x ＝1，y ＝1. 所以C 1与C 2的交点坐标为(1，1)． 答案：(1，1)
9．已知抛物线C ：?
????x ＝2t 2
，y ＝2t (t 为参数)，设
O 为坐标原点，点M 在抛物线C 上，且点
M 的纵坐标为2，求点M 到抛物线焦点的距离．
解：由?????x ＝2t 2
y ＝2t
，得y 2
＝2x ，
即抛物线的标准方程为y 2
＝2x .
又因为M 点的纵坐标为2，不妨令M 点的横坐标也为2. 即M (2，2)．
又因为抛物线的准线方程为x ＝－1
2
.
所以由抛物线的定义知|MF |＝2－? ????－12＝2＋12＝52. 即点M 到抛物线焦点的距离为5
2
.
10．在双曲线x 2
－y 2
＝1上求一点P ，使P 到直线y ＝x 的距离为 2.
解：设P 的坐标为(sec φ，tan φ)，由P 到直线x －y ＝0的距离为2得|sec φ－tan φ|
2
＝2，
得????
??1cos φ－sin φcos φ＝2，|1－sin φ|＝2|cos φ|， 平方得1－2sin φ＋sin 2
φ＝4(1－sin 2
φ)， 即5sin 2
φ－2sin φ－3＝0. 解得sin φ＝1或sin φ＝－3
5.
sin φ＝1时，cos φ＝0(舍去)． sin φ＝－35时，cos φ＝±4
5.
所以P 的坐标为? ????5
4
，－34或? ????－54，34.
[B 能力提升]
11．已知抛物线C 1：?????x ＝8t
2
y ＝8t
，(t 为参数)，圆
C 2的极坐标方程为ρ＝r (r >0)，若斜率
为1的直线过抛物线C 1的焦点，且与圆C 2相切，则r ＝( )
A ．1
B ．
2
2
C ． 2
D ．2
解析：选C.抛物线C 1的普通方程为y 2
＝8x ，焦点为(2，0)，故直线方程为y ＝x －2，即x －y －2＝0，圆的直角坐标方程为x 2
＋y 2
＝r 2
，由题意
|－2|12
＋(－1)
2
＝r ，得r ＝ 2.
12．已知抛物线?
????x ＝2pt
2
y ＝2pt ，(t 为参数，p >0)上的点M ，N 对应的参数值为
t 1，t 2，且t 1
＋t 2＝0，t 1t 2＝－p 2
，则M ，N 两点间的距离为________．
解析：由题知M ，N 两点的坐标分别为(2pt 2
1，2pt 1)，(2pt 2
2，2pt 2)， 所以|MN |＝(2pt 2
1－2pt 22)2
＋(2pt 1－2pt 2)2
＝(2pt1－2pt2)2＝2p|t1－t2|
＝2p(t1＋t2)2－4t1t2＝4p2.
故M，N两点间的距离为4p2.
答案：4p2
13．求证：以等轴双曲线平行于实轴的弦为直径的圆过双曲线的顶点．证明：设双曲线为x2－y2＝a2，取顶点A(a，0)，
弦B′B∥Ox，B(a sec α，a tan α)，则B′(－a sec α，a tan α)．
因为k B′A＝
a tan α
－a sec α－a
，k BA＝
a tan α
a sec α－a
，
所以k B′A·k BA＝－1.
所以以BB′为直径的圆过双曲线的顶点．
14．(选做题)已知A为抛物线y2＝2px(p>0)上的一个定点，BC是垂直于x轴的一条弦，直线AB交抛物线的对称轴于D点，直线AC交抛物线的对称轴于E点，求证：抛物线的顶点平分线段DE.
证明：设抛物线上的点A的坐标是(a2
2p ，a)，点B的坐标是(
t2
2p
，t)，则点C的坐标是
(t2
2p
，－t)，
于是AB的方程是y－a＝
t－a
t2－a2
2p
(x－
a2
2p
)，即y－a＝
2p
t＋a
(x－
a2
2p
)，
AB与x轴的交点为D(－
at
2p
，0)，
同理直线AC的方程是y－a＝
2p
a－t
(x－
a2
2p
)，所以点E的坐标为(
at
2p
，0)，
所以抛物线的顶点平分线段DE.
高中数学有关圆-椭圆-双曲线-抛物线的详细知识点
<一>圆的方程 (x-a)^2+(y-b)^2=r^2，圆心O（a，b），半径r。 （1）圆的一般式方程：x^2+y^2+Dx+Ey+F=0 此方程可用于解决两圆的位置关系： 配方化为标准方程：（x+D/2）^2.+(y+E/2)^2=(D^2+E^2-4F)/4 其圆心坐标：（-D/2,-E/2） 半径为r=√[（D^2+E^2-4F）]/2 此方程满足为圆的方程的条件是: D^2+E^2-4F>0 若不满足,则不可表示为圆的方程 （2）点与圆的位置关系点P（X1,Y1) 与圆(x－a)^2+(y－b) ^2=r^2的位置关系： ⑴当(x1－a)^2+(y1－b) ^2>r^2时，则点P在圆外。 ⑵当(x1－a)^2+(y1－b) ^2=r^2时，则点P在圆上。 ⑶当(x1－a)^2+(y1－b) ^2
2.如果B=0即直线为Ax+C=0，即x=-C/A，它平行于y轴（或垂直于x 轴），将x^2+y^2+Dx+Ey+F=0化为 (x－a)^2+(y－b) ^2=r^2。令y=b，求出此时的两个x值x1、x2，并且规定x1
高二数学椭圆双曲线抛物线测试题
高二《椭圆 双曲线 抛物线》测试题 班级 姓名： 一、选择题 （每小题5分 共40分） 1、抛物线28y x =的准线方程是 （ ） (A) 2x =- (B) 4x =- (C) 2y =- (D) 4y =- ２、双曲线224x y -=的两条渐近线与直线3x =围成一个三角形区域,表示该区域的不等式组是（ ） (A)0003x y x y x -≥??+≥??≤≤? (B)0003x y x y x -≥??+≤??≤≤? (C) 0003x y x y x -≤??+≤??≤≤? (D) 0003x y x y x -≤?? +≥??≤≤? 3、若抛物线2 2y px =的焦点与椭圆22 162 x y +=的右焦点重合，则p 的值为（ ） A ．2- B ．2 C ．4- D ．4 4、双曲线与椭圆15 22 =+y x 共焦点，且一条渐近线方程是03=-y x ，则此双曲线方程为 （ ） A ．13 2 2=-x y B ．1322 =-x y C ．13 2 2=-y x D ．13 22 =-y x 5、已知椭圆19162 2=+y x 的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在椭圆上，若PF 1⊥PF 2，则点P 到x 轴的距离为（ ）A ．59 B ．3 C ．7 79 D ．49 6、过抛物线焦点任意作一条弦，以这条弦为直径作圆，这个圆与抛物线的准线的位置关系是（ ） A 、相交 B 、相切 C 、相离 D 、不确定 7、一动圆的圆心在抛物线y x 82 -=上，且动圆恒与直线02=-y 相切，则动圆必过定点（ ） A 、（4，0） B 、（0，–4） C 、（2，0） D 、（0，–2） 8、以椭圆 116 252 2=+y x 的中心为顶点，以这个椭圆的左准线为准线的抛物线与椭圆的右准线交于A 、B 两点，则|AB|=（ ） A 、 5 18 B 、 5 36 C 、 3 80 D 、 3 100 二、填空题（每小题5分 共25分） 9、抛物线的焦点为双曲线17 92 2=-y x 的左焦点，顶点在双曲线的中心，则抛物线方程为 10、抛物线y px p 2 20=>()上，横坐标为4的点到焦点的距离为5，则此抛物线焦点与准线的距离为 11、P 1P 2是抛物线的通径，Q 是准线与对称轴的交点，则∠=P QP 12 。 12、设抛物线y x 24=被直线y x b =+2截得的弦长为35，则b 的值是 13、抛物线y x =2上的点到直线l x y ：--=20的最短距离是
双曲线与抛物线的参数方程(教学设计)
2.2.2双曲线与抛物线的参数方程（教学设计） 教学目标： 知识与技能目标：掌握双曲线与抛物线的参数方程，理解参数的几何意义。会用曲线的参数方程解决一些实际问题。 过程与方法：通过双曲线与抛物线参数方程的推导，进一步掌握求曲线方程的方法。 情感态度价值观：数学问题解法的多样性，思维多样性。 教学重点：双曲线与抛物线参数方程的应用。 教学难点：双曲线与抛物线参数方程的推导。 教学过程： 一、复习回顾： 1、椭圆的参数方程： 椭圆122 22=+b y a x （a>b>0）参数方程 ???==θ θsin cos b y a x （θ为参数）； 椭圆2 2221(0)y x a b b a +=>>的参数方程是cos sin x b y a θθ=??=?（θ为参数） 二、师生互动，新课讲解： 1、双曲线的参数方程的推导： 1）双曲线122 22=-b y a x 参数方程 ? ??==θθtan sec b y a x （θ为参数） 双曲线 ???==θ θtan sec b y a x （θ为参数） 2、判断双曲线两种参数方程的焦点的位置的方法． 如果x 对应的参数形式是sec φ，则焦点在x 轴上． 如果y 对应的参数形式是sec φ，则焦点在y 轴上． 例1：如图，设M 为双曲线122 22=-b y a x （a>0,b>0）任意一点，O 为原点，过点M 作双曲线两渐近线的平行线，分别与两渐近线交于A ，B 两点，探求平行四边形MAOB 的面积，由此可以发现什么结论？ 2a 222y x -=1(a>0,b>0)的参数方程为：b
变式训练1：化下列参数方程为普通方程，并说明它们表示什么曲线?由此你有什么想法？ 小结：参数方程的表示不唯一，如何判断是哪种曲线，必须化为普通方程。 4、抛物线的参数方程的推导： 1）抛物线方程y 2＝2px(p>0)的参数方程为????? x ＝2pt 2y ＝2pt (t 为参数). 2）抛物线方程x 2 =2py(p>0)的参数方程为222x pt y pt =??=? （t 为参数） 3）抛物线方程y 2 =-2px (p>0)的参数方程为2 22x pt y pt ?=-?=-?（t 为参数） 4）抛物线方程x 2 = -2py (p>0)的参数方程为222x pt y pt =-??=-? 例2：如图O 是直角坐标原点，A ，B 是抛物线y 2=2px (p>0)上异于顶点的两动点，且OA ⊥OB ，OM ⊥AB 并 于AB 相交于点M ，求点M 的轨迹方程。 变式训练2（探究）在本例中，点A 、B 在什么位置时，?AOB 的面积最小？最小值是多少？ 课堂练习： a 1(2()1()2x t t t b y t t ?=+????=-?? ）为参数,a>0,b>0()2(b )()2t t t t a x e e t b y e e --?=-????=+??为参数,a>0,>02 1212121212121221(),,211x pt t M M t t M M y pt A t t B t t C D t t t t ?=?=?+-+-、若曲线为参数上异于原点的不同两点，所对应的参数分别是则弦所在直线的斜率是（ ）、，、，、，、20022(1,0)M y x M P M M P =-、设为抛物线上的动点，给定点，点为线段的中点，求点的轨迹方程。
椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与几何性质
一、知识要点: 椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与几何性质
第一种定义:平面内与两个定点F 1、F 2的距离之和等于常数(大于｜F 1F 2｜)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距. 第二种定义:平面内一个动点到一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是小于1的正常数,这个动点的轨迹叫椭圆,定点是椭圆的焦点,定直线叫做椭圆的准线. 2.椭圆的标准方程: (1))0(122 22>>=+b a b y a x ,焦点:F 1(-c,0),F 2(c,0),其中 c=2 2b a -. (2))0(122 22>>=+b a a y b x ,焦 点 :F 1(0,-c),F 2(0,c), 其 中 c= 2 2b a -. 3.椭圆的参数方程:? ??==θθ sin cos b y a x ,(参数θ是椭圆上任意一点的离心率). 4.椭圆的几何性质:以标准方程)0(12222>>=+b a b y a x 为例: ①范围:|x|≤a,|y|≤b; ②对称性:对称轴x=0,y=0,对称中心为O(0,0); ③顶点A(a,0),A ′(-a,0),B(0,b),B ′(0,-b);长轴|AA ′|=2a,短轴|BB ′|=2b; ④离心率:e=a c ,0 ⑤准线x=±c a 2 ;⑥焦半径:|PF 1|=a+ex,|PF 2|=a-ex,其中P(x,y)是椭圆上任 意一点. 二、基本训练 1．设一动点 P 到直线3x =的距离与它到点A （1，0）的距离之比为 3， 则动点P 的轨迹方程是 （ ） () A 22 132 x y += ()B 22 132 x y -= ()C 2 2 (1)132 x y ++= ()D 22 123 x y += 2．曲线 192522=+y x 与曲线)9(19252 2<=-+-k k y k x 之间具有的等量关系 （ ） ()A ()C 3且过点(3,0)A 4．底面直径为12cm 30的平面所截， ， 短轴长 ，离心率5．已知椭圆22 221(x y a b +=的离心率为5，若将这个椭圆绕着它的右 《双曲线的参数方程》教学案2 一、教学目标 (1). 双曲线、抛物线的参数方程. (2). 双曲线、抛物线的参数方程与普通方程的关系。 (3)．通过学习双曲线、抛物线的参数方程，进一步完善对双曲线、抛物线的认识，理解参数方程与普通方程的相互联系．并能相互转化．提高综合运用能力 二、教学重难点 学习重点：双曲线、抛物线参数方程的推导 学习难点：(1) 双曲线、抛物线参数方程的建立及应用.(2) 双曲线、抛物线的参数方程与普通方程的互化 三、教学指导： 认真阅读教材，按照导学案的导引进行自主合作探究式学习 四、知识链接: 焦点在x 上的椭圆的参数方程________________________________________ 焦点在y 上的椭圆的参数方程________________________________________ 五、教学过程 （阅读教材29-34完成） (一)双曲线的参数方程 1双曲线)0,0(122 22>>=-b a b y a x 的参数方程___________________________ 注：（1）?的范围__________________________ （2）?的几何意义___________________________ 2双曲线)0,0(122 22>>=-b a b x a y 的参数方程___________________________ (二)抛物线的参数方程 抛物线)0(22>=p px y 的参数方程___________________________ (三)典型例题 、 的轨迹方程。 ，求点相交于点并于点，且上异于顶点的两动是抛物线是直角坐标原点，、如图例M M AB AB OM OB OA p px y B A O ⊥⊥>=,)0(2,12 B x y o A M 焦点在y 轴上的椭圆的参数方程： 22 22y 1,b a x += 练习：已知椭圆4 92 2y x +＝1，点M 是椭圆上位于第一象限的弧上一点，且∠xOM ＝60°。(1)求点M 的坐标；(2)如何表示椭圆在第一象限的弧？ 错解：由已知可得a ＝3，b ＝2，θ＝600, ∴x ＝acos θ＝3cos60°＝2 3，y ＝bsin θ＝2sin60°＝3。 从而，点M 的坐标为)3,2 3(。 正解：设点M 的坐标为(x,y)，则由已知可得y ＝3x,与4 92 2y x +＝1联立， 解得x ＝31316， y ＝9331 6。 所以点M 的坐标为(31316,9331 6)。 另解：∵∠xOM=60°，∴可设点M 的坐标为(|OM|cos60°，|OM|sin60°)。 代入椭圆方程解出|OM|，进而得到点M 的坐标(略)。 例1 求椭圆)0b a (1b y a x 22 22>>=+的内接矩形的面积及周长的最大值。 解：如图，设椭圆1b y a x 22 22=+的内接矩形在第一象限的顶点是 A )sin cos (ααb a ，)2 0(π α< <，矩形的面积和周长分别是S 、L 。 ab 22sin ab 2sin b cos a 4|EA ||FA |4S ≤α=α?α=?=， 当且仅当4 a π = 时，22max b a 4sin b 4cos a 4|)EA ||FA (|4L ab 2S +≤α+α=+==，，cos y a sin x b ? ? =?? =? 5 3 arcsin 23-π= α时，距离d 有最大值2。 例4 θ取一切实数时，连接A(4sin θ,6cos θ)和B(-4cos θ, 6sin θ)两点的线段的中点轨迹是 . A. 圆 B. 椭圆 C. 直线 D. 线段 例5 已知点A 在椭圆136y 144x 22=+上运动，点B （0，9）、点M 在线段AB 上，且2 1MB AM =， 试求动点M 的轨迹方程。 解：由题意知B （0，9），设A （ααsin 6cos 12，），并且设M （x ，y ）。 则，α=+?+α=++ = cos 8211021cos 12211x 21x x B A 3sin 42 11921 sin 6211y 21y y B A +α=+ ?+α=++=， 动点M 的轨迹的参数方程是? ? ?+α=α =3sin 4y cos 8x （α是参数）， 消去参数得116 )3y (64x 2 2=-+。 例6 椭圆)0b a (1b y a x 22 22>>=+与x 轴的正向相交于点A ，O 为坐标原 点，若这个椭圆上存在点P ，使得OP ⊥AP 。求该椭圆的离心率e 的取值范围。 解：设椭圆)0b a (1b y a x 22 22>>=+上的点P 的坐标是（ααsin b cos a ，）（α≠0且α≠π），A 椭圆、双曲线、抛物线综合测试题 一选择题（本大题共 是符合要求的） 2 y m J 12小题，每题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 1设双曲线 x 2 1的一个焦点为（ 0, 2），则双曲线的离心率为（）. 2 x 2椭圆 16 7 1的左、右焦点分别为 F 1, F 2，一直线经过 F i 交椭圆于A 、B 两点，则 ABF ?的周长为 A 32 B 16 C 3两个正数a 、 b 的等差中项是 ，等比中项是,6，则椭圆 1的离心率为（） 13 3 4设F 1、F 2是双曲线x 2 24 1的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且 3|PR |=4|PF 2 |， 则PF 1F 2的面积为 A 4,2 8.3 C 24 D 48 2 x 5 P 是双曲线— 9 16 =1的右支上一点， M 、N 分别是圆（ x 5）2 1 和(x 5)2 y 2 =4 上的点，贝U | PM | |PN |的最大值为（ 6已知抛物线 x 2 4y 上的动点P 在x 轴上的射影为点 M ,点 A(3, 2)，则 | PA| | PM | 的 最小值为（ A .10 10 C .10 D 10 2 7 一动圆与两圆 x 2 1 和 x 2 2 y 8x 12 0都外切，则动圆圆心的轨迹为（ 椭圆 双曲线 D 抛物线 2 x 8若双曲线— a 2 y_ b 2 1(a 0,b 0）的焦点到渐近线的距离等于实轴长，则双曲线的离心 率为（ ） S p FiF2=1^ 3，离心率为2,则双曲线方程的标准方程为 _______________ 2 2 2 2 xy xy 14已知椭圆 1与双曲线 1 (m, n, p,q m n p q 16 已知双曲线a 2 "2= 1 a 2 的两条渐近线的夹角为 三 解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 9抛物线y x 2上到直线2x y 0距离最近的点的坐标（ ) 3 5 (1,1) 3 9 D (2,4) A - J B C ,- 2 4 2 4 10已知c 是椭圆 2 2 x y 1 (a K b 0）的半焦距，则一 C 的取值范围（ ） a b a A (1, ) B (2 ) C (1,、 ② D (1,辽］ 11方程mx ny 2 0 与 mx 2 2 ny 1 (m 0, n 0,m n ）表示的曲线在同一坐标系中图 A D 2 12若AB 是抛物线y 2 2px(p 0）的动弦， 且 | AB | a(a 2 p ），则AB 的中点M 到y 轴的最近距离是（ ) 1 1 1 1 1 1 A a B -p C a -p D a — p 2 2 2 2 2 2 二填空题（本大题共 4个小题， 每小题 5分 ,共20分.把答案填写在题中横线上） 13设F i 、F 2分别是双曲线的左、右焦点, P 是双曲线上一点，且 o C .5 F 1PF 2 =60 R ,m n ），有共同的焦点F 1、 F 2，点P 是双曲线与椭圆的一个交点，则 |PF 1|?|PF 2|= ----------------- 15已知抛物线x 2py(p 0）上一点A （0, 4）到其焦点的距离为 17 ，贝V p = 4 —,则双曲线的离心率为 3 象可能是（ ） 圆锥曲线必背口诀(红字为口诀)-椭圆 一、椭圆定义 定点为焦点，定值为长轴.（定值=2a ） 椭圆.定点为焦点，定直线为准线，定值为离心率.（定值=e ） 定点为短轴顶点，定值为负值. （定值2k e 1=-） 二、椭圆的性质定理 长轴短轴与焦距，形似勾股弦定理① 准线方程准焦距，a 方、b 方除以c ② 通径等于 2 e p ，切线方程用代替③ 焦三角形计面积，半角正切连乘b ④ 注解： 1长轴2a =，短轴2b =，焦距2c =，则：222a b c =+ 2准线方程：2 a x c = （ a 方除以c ） 3椭圆的通径 d ：过焦点垂直于长轴的直线与椭圆的两交点之间的距 离称为椭圆的通径.（通径22 c b 2b 2a c a d 2ep =??==） 过椭圆上00x y (,)点的切线方程，用00x y (,)等效代替椭圆方程得到. 等效代替后的是切线方程是：0022x x y y 1a b += 4、焦三角形计面积，半角正切连乘b 焦三角形：以椭圆的两个焦点12F F ,为顶点，另一个顶点P 在椭圆上的三角形称为焦三角形.半角是指12F PF θ=∠的一半. 则焦三角形的面积为：2 S b 2 tan θ = 证明：设1PF m =，2PF n =，则m n 2a +=由余弦定理： 222m n 2mn 4c cos θ+-?= 22224a 4b m n 4b ()=-=+- 即：2 2mn 2mn 4b cos θ-?=-，即：22b 1mn (cos )θ=+. 即：2 122b mn PF PF 1||||cos θ==+ 故：12 F PF 1S m n 2sin θ=??△2 2 12b b 211sin sin cos cos θθθθ=? ?=?++ 又：22221222 sin cos sin tan cos cos θθ θ θ θθ = =+ 所以：椭圆的焦点三角形的面积为122 F PF S b 2tan θ ?=. 三、椭圆的相关公式 切线平分焦周角，称为弦切角定理① 1F 2F O x y P m n 双曲线的参数方程抛物线的参数方程 跟踪练习 一、选择题 1．曲线Error!(t为参数)的焦点坐标是( ) A．(1,0) B．(0,1) C．(－1,0) D．(0，－1) 2．圆锥曲线Error!(θ是参数)的焦点坐标是( ) A．(－5,0) B．(5,0) C．(±5,0) D．(0，±5) 3．方程Error!(t为参数)的图形是( ) A．双曲线左支B．双曲线右支 C．双曲线上支D．双曲线下支 4．点Μ0(0,2)到双曲线x2－y2＝1的最小距离(即双曲线上任一点Μ与点Μ0的距离的最小值)是( ) A．1 B．2 C.D．3 3 二、填空题 5．已知动圆方程x2＋y2－x sin 2θ＋2y·sin＝0(θ为参数)．则圆心的轨迹方程 2(θ＋π4) 是________． 6．双曲线Error!(θ为参数)的两条渐近线的倾斜角为________． 7．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1和C2的参数方程分别为Error!(t为参数)和Error!(θ为参数)，则曲线C1与C2的交点坐标为________． 三、解答题 8．已知圆O1：x2＋(y－2)2＝1上一点P与双曲线x2－y2＝1上一点Q，求P，Q两点距离的最小值． 9．已知双曲线方程为x2－y2＝1，Μ为双曲线上任意一点，点Μ到两条渐近线的距离分别为d1和d2，求证：d1与d2的乘积是常数． 10．过点A(1,0)的直线l与抛物线y2＝8x交于M，N两点，求线段MN的中点的轨迹方程． 双曲线的参数方程抛物线的参数方程 跟踪练习答案 一、选择题 1．曲线Error!(t 为参数)的焦点坐标是( ) A ．(1,0) B ．(0,1) C ．(－1,0) D ．(0，－1) 解析：选B 将参数方程化为普通方程(y －1)2＝4(x ＋1)， 该曲线为抛物线y 2＝4x 向左、向上各平移一个单位得到， 所以焦点为(0,1)． 2．圆锥曲线Error!(θ是参数)的焦点坐标是( ) A ．(－5,0) B ．(5,0) C ．(±5,0) D ．(0，±5) 解析：选C 由Error!(θ为参数)得 －＝1，x 216y 29 ∴它的焦点坐标为(±5,0)． 3．方程Error!(t 为参数)的图形是( ) A ．双曲线左支 B ．双曲线右支 C ．双曲线上支 D ．双曲线下支 解析：选B ∵x 2－y 2＝e 2t ＋2＋e －2t －(e 2t －2＋e －2t )＝4. 且x ＝e t ＋e －t ≥2＝2. e t ·e －t ∴表示双曲线的右支． 4．点Μ0(0,2)到双曲线x 2－y 2＝1的最小距离(即双曲线上任一点Μ与点Μ0的距离的最小值)是( ) A ．1 B ．2 C. D ．3 3解析：选C ∵双曲线方程为x 2－y 2＝1，∴a ＝b ＝1. ∴双曲线的参数方程为Error!(θ为参数)． 设双曲线上一动点为Μ(sec θ，tan θ)， 则2＝sec 2θ＋(tan θ－2)2 |Μ0Μ|＝(tan 2θ＋1)＋(tan 2θ－4tan θ＋4) ＝2tan 2θ－4tan θ＋5＝2(tan θ－1)2＋3. 当tan θ＝1时，2取最小值3， |Μ0Μ|此时有＝ . |Μ0Μ|3二、填空题 解决圆锥曲线常用的方法 1、定义法 （1）椭圆有两种定义。第一定义中，r 1+r 2=2a 。第二定义中，r 1=ed 1 r 2=ed 2。 （2）双曲线有两种定义。第一定义中，a r r 221=-，当r 1>r 2时，注意r 2的最小值为c-a ：第二定义中，r 1=ed 1，r 2=ed 2，尤其应注意第二定义的应用，常常将 半径与“点到准线距离”互相转化。 （3）抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用定义解决更直接简明。 2、韦达定理法 因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用。 3、解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法”。设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法”，即设弦的两个端点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),弦AB 中点为M(x 0,y 0)，将点A 、B 坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求”法，具体有： （1）)0(122 22>>=+b a b y a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)，则有 020 20=+k b y a x 。 （2）)0,0(122 22>>=-b a b y a x 与直线l 相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)则有 020 20=-k b y a x （3）y 2=2px （p>0）与直线l 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(x 0,y 0),则有2y 0k=2p,即y 0k=p. 4、数形结合法 解析几何是代数与几何的一种统一，常要将代数的运算推理与几何的论证说明结合起来考虑问题，在解题时要充分利用代数运算的严密性与几何论证的直观性，尤其是将某些代数 高中数学循环记忆学案 基本题目过关； 22 12 211,F F 1F AB 169 FAB _____,|AB|=5|x y +=?１１ 已知，是椭圆的两个焦点，过点 的直线交椭圆于两点 则的周长为若，则ＡＦ｜＋｜ＢＦ｜＝＿＿＿＿＿＿． ２２ ２，ｘ＋ｙ＝４，如图ＯＡ中点为Ｎ，Ｍ在圆上，ＭＮ的垂直平分线交 ＯＭ于Ｐ点，当Ｍ点在椭圆上运动时Ｐ点的轨迹方程是什么图形＿＿ ３，已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，椭圆与坐标轴交点坐标为 Ａ （－３,０），Ｂ（０,５），则椭圆的标准方程为＿＿＿＿＿＿ 且常州常时段周长的两倍，则该椭圆的标准方程为＿＿＿＿＿＿＿＿ ５，已知椭圆的中心在原点，焦点ｘ轴上，椭圆Ｃ上的点到焦点的最大值为 ３，最小值为１，则椭圆的标准方程为＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ２２ ｘｙ ６，若方程＋＝１，表示焦点在 ｙ轴上的椭圆，则ｍ的 ｜ｍ｜－１２－ｍ 取值范围是＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ７，椭圆的短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点 9,设椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴，一个焦点与短轴的两端点的连线互相垂直 且此焦点与长轴上较近的端点距离为4，则此椭圆的方程为________________ 2210,椭圆5x +ky =5的一个焦点为（0,2）则k=_________ 22 11,M 123 M x y w 是椭圆+=1的焦点为焦点，过直线L;x-y+9=0上一点作椭圆， 要使所作椭圆长轴最短，点应在何处____并求出椭圆的方程_____ PQ OP OQ ⊥12,已知椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴直线y=x+1与椭圆相交于两点，且， 11122 121222213,F A B P PF FA PO//AB e=( ) 11 A B C.D 232 AB F BAF =90x y a b ⊥∠o 如图已知是椭圆的左焦点，，分别是椭圆的右顶点和上顶点为椭圆上一点，当，时， 14,F F 是椭圆+=1(a>b>0)的两焦点，过F 的弦与构成等 腰直角三角形，若角，则e=_________ F C B C BF C D BF FD u u u r u u u r 15,已知是椭圆的一个焦点，是椭圆短轴的一个端点，线段 的延长线交于点，且=2,则e=______ 22 122212P x y a b F PF ∠o 16,F F 是椭圆+=1(a>b>0)的两焦点，为椭圆上一点， =90,离心率的最小值为__________ 22 12221217,P =x y x a b F F PF ∠o 过椭圆+=1(a>b>0)的左焦点F ，作轴的垂线交椭圆于， 为右焦点，若60，则e=______ 22 12122212P PF 1 2 x y PF a b ∠u u u r u u u u r 18，为F F 为焦点的椭圆+=1(a>b>0)上一点，若=0 tan PF F =,则e=______ 一、选择题（每小题只有一个正确答案，每题6分共36分） 1. 椭圆22 1259 x y +=的焦距为。 （ ） A ． 5 B. 3 C. 4 D 8 2．已知双曲线的离心率为2，焦点是（-4,0），（4,0），则双曲线的方程为 （ ） A ． 221412x y -= B. 221124x y -= C. 221106x y -= D 22 1610x y -= 3．双曲线22 134 x y -=的两条准线间的距离等于 （ ） A C. 185 D 16 5 4.椭圆22 143 x y +=上一点P 到左焦点的距离为3，则P 到y 轴的距离为 （ ） A ． 1 B. 2 C. 3 D 4 5．双曲线的渐进线方程为230x y ±=，(0,5)F -为双曲线的一个焦点，则双曲线的方程为。 （ ） A ． 22149y x -= B. 22194x y -= C. 2213131100225y x -= D 2213131225100y x -= 6．设12,F F 是双曲线22221x y a b -=的左、右焦点，若双曲线上存在点A ，使1290F AF ? ∠=且 123AF AF =,则双曲线的离心率为 （ ） A ． 2 B. 2 C. 2 7.设斜率为2的直线l 过抛物线y 2 ＝ax (a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为( ) A ．y 2 ＝±4 B ．y 2 ＝±8x C ．y 2 ＝4x D ．y 2 ＝8x 8．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2 ＝4x 上一动点P 到直线 l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( ) A ．2 B ．3 9．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2 ＝4x 上一动点P 到直线 14. 抛物线的参数方程 主备： 审核： 学习目标：1. 了解椭圆的参数方程的推导过程及参数的意义； 2. 掌握椭圆的参数方程，并能解决一些简单的问题. 学习重点：椭圆参数方程的应用， 学习难点：椭圆参数方程中参数的意义. 学习过程： 一、课前准备： 阅读教材3334P P -的内容，理解抛物线的参数方程的推导过程，并复习以下问题： 1.将下列参数方程化为普通方程： （1）2 23 x t y t t =-?? =+-?（t 为参数），答：2 53x x y --=； （2）224x m y m ?=?=?（m 为参数），答：2 8x y =. 2.将下列普通方程化为参数方程： （1）2 2x y =，其中1x t t =-（t 为参数），答：221224 x t t y t t ?=-???=+-? ； （2）2 34y x =，其中x t =（0t ≥为参数） ，答：x t y =???=?? . 二、新课导学： （一）新知： 抛物线的参数方程的推导过程： 如图：设(,)M x y 为抛物线上除顶点外的任意一点，以射线OM 为终边的角记为α，当α在(,)22 ππ - 内变化时， 点M 在抛物线上运动，并且对于α的每一个值，在抛物线上都有唯一的M 点与对应.因此，可以取α为参数探求抛物线的参数方程. 根据三角函数的定义得，tan y x α=，即tan y x α=，联立2 2y px =，得 22tan 2tan p x p y α α?=??? ?=?? （α为参数），这为抛物线的不含顶点的参数方程，但方程的形式不够简洁， 设1 tan t α=，(,0)(0,)t ∈-∞+∞U ，则222x pt y pt ?=?=?（t 为参数 ）， 当0t =时，由参数方程得，正好为顶点(0,0)O ，因此当(,)t ∈-∞+∞时，上式为 22y px =的参数方程. 注意：参数t 的几何意义为：表示抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数. 动动手：（1）选择适当的参数t ，建立抛物线2 2x py =的参数方程 . 历年高考抛物线真题详解理科 1.【2017课标1，理10】已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1， l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为 A ．16 B ．14 C ．12 D ．10 2.【2016年高考四川理数】设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线上 任意一点，M 是线段PF 上的点，且 =2 ,则直线OM 的斜率的最大值为( ) （A ）（B ）（C ）（D ）1 3.【2016年高考四川理数】设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线2 2(p 0)y px =>上 任意一点，M 是线段PF 上的点，且 PM =2MF ,则直线OM 的斜率的最大值为( ) （A （B ）2 3 （C （D ）1 4.【2016高考新课标1卷】以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A 、B 两点,交C 的准线于D 、 E 两点.已知|AB |=DE|=则C 的焦点到准线的距离为 (A)2 (B)4 (C)6 (D)8 5.【2015高考四川，理10】设直线l 与抛物线 24y x =相交于 A ， B 两点，与圆 () ()2 2250x y r r -+=>相切于点M ，且M 为线段AB 的中点.若这样的直线l 恰有4条， 则r 的取值范围是（） （A ） ()13， （B ）()14，（C ）()23，（D ）()24， 6.【2015高考浙江，理5】如图，设抛物线24y x =的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点 A ， B ， C ，其中点A ，B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则BCF ?与ACF ?的面积之比是（） 双曲线 、抛物线的参数方程 1．双曲线的参数方程 (1)中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a >0，b >0)的参数方程是??? ??x ＝a sec φy ＝b tan φ (φ为参数)，规定参数φ的取值范围为φ∈[0，2π)且φ≠ π2，φ≠3π 2 ． (2)中心在原点，焦点在y 轴上的双曲线y 2a 2－x 2 b 2＝1(a >0，b >0)的参数方程是? ?? ??x ＝b tan φy ＝a sec φ(φ为参数)． 2．抛物线的参数方程 (1)抛物线y 2 ＝2px 的参数方程为? ??? ?x ＝2pt 2 y ＝2pt (t 为参数)． (2)参数t 的几何意义是抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数． 1．参数方程? ????x ＝2t 2 ， y ＝4t (t 为参数)表示的曲线不在( ) A ．x 轴上方 B ．x 轴下方 C ．y 轴右方 D ．y 轴左方 解析：选D.原参数方程可化为y 2 ＝8x ，故图象不在y 轴左方．选D. 2．下列不是抛物线y 2 ＝4x 的参数方程的是( ) A.?????x ＝4t 2 y ＝4t ，(t 为参数) B ．?????x ＝ t 2 4y ＝t ，(t 为参数) C.? ????x ＝t 2y ＝2t ，(t 为参数) D ．? ????x ＝2t 2 y ＝2t ，(t 为参数) 解析：选D.逐一验证知D 不满足y 2 ＝4x . 3．双曲线?? ?x ＝23tan α y ＝6sec α ，(α为参数)的两焦点坐标是( ) A ．(0，－43)，(0，43) B ．(－43，0)，(43，0) C ．(0，－3)，(0，3) D ．(－3，0)，(3，0) 解析：选A.tan α＝ x 23 ，sec α＝y 6， 1、已知椭圆方程为 22 12332 x y +=，则这个椭圆的焦距为（ ） A ．6 B ．3 C ． D ．2、椭圆2 2421x y +=的焦点坐标是（ ） A ．( B ．(0, C ．11(0,),(0,)22- D ．( 3、12F F ，是定点，且12FF =6，动点M 满足12MF +MF 6=，则M 点的轨迹方程是（ ） A ．椭圆 B ．直线 C ．圆 D ．线段 4、已知方程2 21x my +=表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是（ ） A ．m ＜1 B ．-1＜m ＜1 C ．m ＞1 D ．0＜m ＜1 5、过点（3，-2）且与椭圆2 24936x y +=有相同焦点的椭圆方程是（ ） A ． 2211510x y += B ．22 2211510x y += C ． 2211015 x y += D ．22 2211015x y += 6、若直线 1y mx =+与椭圆2241x y +=只有一个公共点，那么2m 的值是（ ） A ． 1 2 B ． 34 C ． 23 D ． 45 7、已知椭圆C ：22 192 x y +=，直线l ：110x y +=，点P （2，-1），则（ ） A ．点P 在C 内部，l 与C 相交 B ．点P 在 C 外部，l 与C 相交 C ．点P 在C 内部，l 与C 相离 D ．点P 在C 外部，l 与C 相离 8、过椭圆C ：22 221x y a b +=的焦点引垂直于x 轴的弦，则弦长为（ ） A ． 2 2b a B ． 2 b a C ． b a D ． 2b a 9、抛物线220x y +=的准线方程是（ ） 抛物线的几个常见结论及其应用 抛物线中有一些常见、常用的结论，了解这些结论后在做选择题、填空题时可迅速解答相关问题，在做解答题时也可迅速打开思路。 结论一：若AB 是抛物线22(0)y px p =>的焦点弦（过焦点的弦），且11(,)A x y ，22(,)B x y ，则： 2 124 p x x =，212y y p =-。 例：已知直线AB 是过抛物线22(0)y px p =>焦点F ，求证： 11AF BF +为定值。 结论二：（1）若AB 是抛物线22(0)y px p =>的焦点弦，且直线AB 的倾斜角为α，则 22sin P AB α = （α≠0）。（2）焦点弦中通径（过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦） 最短。 例：已知过抛物线 29y x =的焦点的弦AB 长为12，则直线AB 倾斜角为 。AB 倾斜角为 3 π或23π。 结论三：两个相切：（1）以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切。 （2）过抛物线焦点弦的两端点向准线作垂线，以两垂足为直径端点的圆与焦点弦相切。 例：已知AB 是抛物线22(0)y px p =>的过焦点F 的弦，求证： （1）以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切。 (2)分别过A 、B 做准线的垂线，垂足为M 、N ，求证：以MN 为直径的圆与直线AB 结论四：若抛物线方程为22(0)y px p =>，过（2p ，0）的直线与之交于A 、B 两点，则OA ⊥OB 。反之也成立。 结论五：对于抛物线22(0)x py p =>，其参数方程为2 22x pt y pt =?? =?， ， 设抛物线22x py =上动点P 坐标为2 (22)pt pt ， ，O 为抛物线的顶点，显然222OP pt k t pt ==，即t 的几何意义为过抛物线顶点O 的动弦OP 的斜率． 例 直线2y x =与抛物线2 2(0)y px p =>相交于原点和A 点，B 为抛物线上一点，OB 和OA 垂直， 且线段AB 长为P 的值． 解析：设点A B ，分别为2 2(22)(22)A A B B pt pt pt pt ， ，，，则112A OA t k ==，12B OA OB t k k ==-=-． A B ，的坐 标 分 别 为 (84)2p p p p ??- ???，，，．AB =∴==2p =∴． 双曲线的标准公式为:X^2/a^2 - Y^2/b^2 = 1(a>0,b>0 而反比例函数的标准型是xy = c (c ≠ 0 但是反比例函数确实是双曲线函数经过旋转得到的 因为xy = c的对称轴是 y=x, y=-x 而X^2/a^2 - Y^2/b^2 = 1的对称轴是x轴,y轴 所以应该旋转45度设旋转的角度为a (a≠0,顺时针(a为双曲线渐进线的倾斜角则有X = xcosa ysina Y = - xsina ycosa 取a = π/4 则 X^2 - Y^2 = (xcos(π/4 ysin(π/4^2 -(xsin(π/4 - ycos(π/4^2 = (√2/2 x √2/2 y^2 -(√2/2 x - √2/2 y^2 = 4 (√2/2 x (√2/2 y = 2xy. 而xy=c 所以X^2/(2c - Y^2/(2c = 1 (c>0 Y^2/(-2c - X^2/(-2c = 1 (c<0 由此证得,反比例函数其实就是双曲线函数椭圆的面积公式S=π(圆周率×a×b(其中a,b分别是椭圆的长半轴,短半轴的长. 或S=π(圆周率×A×B/4(其中A,B分别是椭圆的长轴,短轴的长. 椭圆的周长公式椭圆周长没有公式,有积分式或无限项展开式。椭圆周长(L的精确计算要用到积分或无穷级数的求和。如L = ∫[0,π/2]4a * sqrt(1- (e*cost^2dt≈2π√((a^2 b^2/2 [椭圆近似周长], 其中a为椭圆长半轴,e为离心率椭圆离心率的定义为椭圆上的点到某焦点的距离和该点到该焦点对应的准线的距离之比,设椭圆上点P到某焦点距离为PF,到对应准线距离为PL,则e=PF/PL 椭圆的准线方程x=±a^2/C 椭圆的离心率公式e=c/a(e<1,因为2a>2c 椭圆的焦准距 :椭圆的焦点与其相应准线(如焦点(c,0与准线x= a^2/C的距离,数值=b^2/c 椭圆焦半径公式 |PF1|=a ex0 |PF2|=a-ex0 椭圆过右焦点的半径r=a-ex 过左焦点的半径r=a ex 椭圆的通径:过焦点的垂直于x轴(或y轴的直线与椭圆的两焦点A,B之间的距离,数值=2b^2/a 点与椭圆位置关系点M(x0,y0 椭圆 x^2/a^2 y^2/b^2=1 点在圆内: x0^2/a^2 y0^2/b^2<1 点在圆上: x0^2/a^2 y0^2/b^2=1 点在圆外: x0^2/a^2 y0^2/b^2>1 直线与椭圆位置关系y=kx m ①x^2/a^2 y^2/b^2=1 ②由①②可推出x^2/a^2 (kx m^2/b^2=1 相切△=0 相离△<0无交点相交△>0 可利用弦长公式:A(x1,y1 B(x2,y2 |AB|=d = √(1 k^2|x1-x2| = √(1 k^2(x1-x2^2 = √(1 1/k^2|y1-y2| = √(1 1/k^2(y1-y2^2 椭圆通径(定义:圆锥曲线(除圆外中,过焦点并垂直于轴的弦公式:2b^2/a 椭圆的斜率公式过椭圆上x^2/a^2 y^2/b^2上一点(x,y的切线斜率为b^2*X/a^2y 抛物线《双曲线的参数方程》教学案2
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