双曲线的参数方程(教师版)
13. 双曲线的参数方程
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学习目标：1. 了解双曲线的参数方程的推导过程及参数的意义； 2. 掌握双曲线的参数方程，并能解决一些简单的问题. 学习重点：双曲线参数方程的应用，
学习难点：双曲线参数方程中参数的意义. 学习过程：
一、课前准备：
阅读教材2931P P -的内容，理解双曲线的参数方程的推导过程，并注意以下问题：
1. 写出椭圆22
221y x a b +=的参数方程. 答：cos sin x a y b θ
θ=??=?
（θ为参数）.
2.将下列参数方程化为普通方程：
（1）1
1x a a
y a a ?=-???=+?
（a 为参数）； （2
）x y t ??=±?=??t 为参数）.
答：（1）22
4y x -=； （2）2214
x y -=.
二、新课导学： （一）新知：
1.如图，以原点O 为圆心，分别以a ，b
（0,0a b >>）为半径作两个同心圆1C 、2C . 设A 为圆1C 上的任意一点，作直线OA ，过点
A 作1C 的切线AA '与x 轴交于A '，过圆2C 与x 轴
的交点B 作圆2C 的切线BB '与直线OA 交于点B '，过点A '、B '分别作x 轴、y 轴的垂线A M '、B M '交于点M .设Ox 轴为始边，OA 为终边的角为θ点，点M 的坐标为（,x y ），求点M 的轨迹方
程.
【分析】点M 的横坐标与点A '的横坐标相同，点M 的纵坐标与点B '的纵坐标相同. 而A '、B '的坐标可以通过引进参数建立联系.
【解析】由已知xOA θ∠=，(,)M x y ，则(,0)A x '，(,)B b y '， 因为(cos , sin )A a a θθ
所以(cos ,sin )OA a a θθ=u u u r ,(cos ,sin )AA x a a θθ'=--u u u r
因为OA AA '⊥u u u r u u u r ，所以0OA AA '?=u u u r u u u r
，
即2
2
cos (cos )sin 0a x a a θθθ--=，sec cos a
x a θθ
==， 由三角函数的定义得， tan y
b
θ=
，tan y b θ=，所以点M 的轨迹方程为
sec tan x a y b θθ
=??
=?（θ为参数）（[0,2)θπ∈，且3,22ππ
θθ≠≠）.化为普通方程是22221x y a b -=. 2. 双曲线22
221x y b a -+=的参数方程为：tan sec x b y a θθ
=??=?（θ为参数）（[0,2)θπ∈，且
3,2
2
π
π
θθ≠
≠
）. 3.双曲线22
221x y a b -=的参数方程：sec tan x a y b θθ
=??=?（θ为参数）（[0,2)θπ∈，且
3,2
2
π
π
θθ≠
≠
）中，θ称为双曲线的离心角，注意离心角的几何意义. 4. 双曲线22
221x y a b
-=上任意点M 的坐标可设为(sec ,tan )a θθ.
（二）典型例题
【例1】求点(0,1)P 到双曲线12
2
=-y x 最小距离. 【解析】设双曲线上的点M 的坐标为(sec ,tan )θθ，则
||PM =
=
=
令
2sin 21cos 2k
θθ
-=+，整理得sin 2cos22k k θθ+=-，
所以
sin(2)θ?+=
1≤，
解得34k ≥
，所以||PM ≥.
所以点(0,1)P 到双曲线12
2
=-y x 动动手：已知(,)M x y 在双曲线2sec tan x y θ
θ
=??
=?上，求M 到点(3,0)N -的距离的最小值.
【解析】设M 的坐标为(2sec ,tan )θθ，则
||MN ==
当126sec 255θ=-
=-?时，||MN ==.
【例2】已知等轴双曲线222
2x y a -=上任意一点P ，求证:点P 到两渐近线的距离之积为常数.
【证明】
设点sec tan )P θθ，
因为双曲线2
2
2
2x y a -=的渐近线方程为y x =±， 则P 到0x y -=
的距离为1|sec tan |d a θθ=
=-，
P 到0x y +=
的距离为2|sec tan |d a θθ=
=+，
所以12|sec tan ||sec tan |d d a a θθθθ?=-?+
2
2
2
2
|sec tan |a a θθ=-=. 所以点P 到两渐近线的距离之积为常数.
三、总结提升：
教材对双曲线的参数方程要求较低，能够了解双曲线的参数方程的意义就可以了，会使用双曲线参数方程解决简单问题，知道双曲线上的点的坐标可以设为(sec ,tan )P θθ，在使用过程中，要知道恒等式2
2sec tan 1θθ-=.
四、反馈练习：
1. 双曲线()2tan 4sec x y θ
θθ=??=?
为参数的离心率是 （ C ）
A
B ．2
C
D
2. 方程2222t t
t t
x y --?=-?=+?
（t 为参数）表示的曲线是 （ B ） A . 双曲线 B . 双曲线的上支 C . 双曲线下支
D . 圆
3. 把方程1xy =化为以t 参数的参数方程是 （ D ）
A ．1
21
2x t y t -?=???=?
B ．sin 1sin x t y t =???=??
C ．cos 1cos x t y t =???=??
D ．tan 1tan x t y t =???=?? *4. 曲线???==ααtan sec b y a x （α为参数）与曲线?
??==ββ
sec tan b y a x （β为参数）的离心率分别为1
e 和2e ，则12e e +的最小值为 ( A )
A
． B ．2 C
D
5. 设P 为等轴双曲线12
2
=-y x 上的一点，1F 、2F 为两个焦点，证明
2
21OP P F P F =?.
【证明】设(sec ,tan )P θθ
，双曲线两个焦点的坐标是1(F
、2F ，
所以1||F P =
=
|1|θ=+，
2||F P =
=
|1|θ=-，
所以2
22121|1||2sec 1|sec tan F P F P θθθθθ?==+?-=-=+，
而2
2
2sec
tan OP θθ=+，
所以2
21OP P F P F =?. 五、学后反思：
§2.2.3直线的参数方程及应用(第2课时)1
§2.2.3直线的参数方程及应用（第2课时） 【学习目标】 1. 掌握直线参数方程的标准形式和一般形式，理解参数的几何意义； 2. 利用直线的参数方程求线段的长，求距离、求轨迹、与中点有关等问题； 【学习重点】 1. 直线参数方程的标准形式和一般形式，理解参数的几何意义； 2. 利用直线的参数方程解决有关数学问题； 【学习难点】 1. 直线参数方程的标准形式和一般形式，理解参数的几何意义； 2. 利用直线的参数方程解决有关数学问题； 【学习过程】 一、学前准备： 1、若由a b →→ 与共线，则存在实数λ，使得 ， 2、设e → 为a → 方向上的 ，则a → =︱a → ︱e → ； 3、经过点00(,)M x y ，倾斜角为()2 π αα≠ 的直线的普通方程为 。 二、新课导学 ◆探究新知（预习教材P 35～P 39，找出疑惑之处） 1、选择怎样的参数，才能使直线上任一点M 的坐标,x y 与点0M 的坐标00,x y 和倾斜角α 联系起来呢？由于倾斜角可以与方向联系，M 与0M 可以用距离或线段0M M 数量的大小联系，这种“方向”“有向线段数量大小”启发我们想到利用向量工具建立直线的参数方程。 如图，在直线上任取一点(,)M x y ，则0MM = ， 而直线l 的单位方向向量e → =（ ， ）,因为0MM e → ，所以存在实数t R ∈， 使得0MM = ，即有()()00,cos ,sin x x y y t αα--=，因此，经过点 00(,)M x y ，倾斜角为()2 π αα≠ 的直线的参数方程的标准式为： ???= = y x 2.方程中参数t 的几何意义是什么？ 直线上任意动点到定点P 0的距离________||0=P P 3. 直线参数方程的一般式： （1）过点P 0(00,y x )，斜率为a b k = 的直线，记直线倾斜角α，则=αtan ，直线参数方程的一般式是 ? ? ?+=+ =t y y t x x （）（）00 （t 为参数），直线上任意动点到定点P 0的距离||________||0t P P =, （2）直线参数方程的一般式是 ???+=+=bt y y at x x 00 （t 为参数）， 直线上任意两点A,B 对应参数分别为21,t t ，则它们到P 0的 距离分别为： |t -t |________|B P -A P ||AB ||,|________|||,|________||21002010====弦长t B P t A P ||________||________||________||||212100t t t t B P A P =?=? （3）中点公式：)M(),,(),,(20201010则中点bt y at x B bt y at x A ++++ |2 |________||2 10t t M P += 二、直线参数方程的应用 题组一。.求直线的参数方程的标准式及t 的几何意义的应用 例1：化直线1l 的普通方程13-+y x ＝0为参数方程，并说明参数的几何意义,说明∣t ∣的几何意义.
《双曲线的参数方程》教学案2
《双曲线的参数方程》教学案2 一、教学目标 (1). 双曲线、抛物线的参数方程. (2). 双曲线、抛物线的参数方程与普通方程的关系。 (3)．通过学习双曲线、抛物线的参数方程，进一步完善对双曲线、抛物线的认识，理解参数方程与普通方程的相互联系．并能相互转化．提高综合运用能力 二、教学重难点 学习重点：双曲线、抛物线参数方程的推导 学习难点：(1) 双曲线、抛物线参数方程的建立及应用.(2) 双曲线、抛物线的参数方程与普通方程的互化 三、教学指导： 认真阅读教材，按照导学案的导引进行自主合作探究式学习 四、知识链接: 焦点在x 上的椭圆的参数方程________________________________________ 焦点在y 上的椭圆的参数方程________________________________________ 五、教学过程 （阅读教材29-34完成） (一)双曲线的参数方程 1双曲线)0,0(122 22>>=-b a b y a x 的参数方程___________________________ 注：（1）?的范围__________________________ （2）?的几何意义___________________________ 2双曲线)0,0(122 22>>=-b a b x a y 的参数方程___________________________ (二)抛物线的参数方程
抛物线)0(22>=p px y 的参数方程___________________________ (三)典型例题 、 的轨迹方程。 ，求点相交于点并于点，且上异于顶点的两动是抛物线是直角坐标原点，、如图例M M AB AB OM OB OA p px y B A O ⊥⊥>=,)0(2,12 B x y o A M
直线的参数方程圆锥曲线的参数方程及其应用等高中数学
直线的参数方程，圆锥曲线的参数方程及其应用 一. 教学内容： 直线的参数方程，圆锥曲线的参数方程及其应用，极坐标系，曲线的极坐标方程及其应用。 ［基本知识点］ （1）直线的参数方程 <1>标准形式： :),y ,x (M 000准形式为的直线的参数方程的标且倾角为过点α )t (sin t y y cos t x x 00为参数???+=+=αα <2>一般形式 )1b a 't ('bt y y 'at x x 2200≠+???+=+=为参数且 （2）参数t 的几何意义及其应用 标准形式： )y ,x (M t ,)t (sin t y y cos t x x 00000的几何意义是表示定点中为参数???+=+=αα 的数量的有向线段到直线上动点M M y)(x,M 0 :t,M M 0故即= <1>直线与圆锥曲线相交，交点对应的参数分别为t 1,t 2，则弦长|AB|=|t 1-t 2| <2>定点M 0是弦M 1、M 2的中点?t 1+t 2=0
<3>设弦M 1，M 2中点为M ；则点M 相应的参数 2t t t 2 1M += （3）圆锥曲线的参数方程 <1>)(sin r y cos r x r y x 222为参数的参数方程为圆ααα???===+ 轴正方向的旋转角 的几何意义动半径对于其中x α <2> 其几何意义为离心为参数的参数方程为椭圆,(sin b y cos a x 1b y a x 2222 ααα???===+ 角）。 <3>)(btg y asec x 为参数双曲线的参数方程为ααα???== <4>抛物线y 2=2px 的参数方程为 )(t pt 2y pt 2x 2 为参数?????== （4）极坐标系的基本概念。 在平面内任取一个定点O ，叫做极点，引一条射线O x ，叫做极轴，再选定一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向），对于平面内任一点M ，用ρ表示线段OM 的长度，θ表示从Ox 到OM 的角度，ρ叫做M 的极径，θ叫做点M 的极角，有序数对（ρ，θ）就叫做点M 的极坐标系，这样建立的坐标叫做极坐标系。 （5）极坐标与直角坐标的互化 <1>互化条件： 极点与直角坐标系原点重合； 极轴与直角坐标系O x 轴重合； 两坐标系中的长度单位统一。 <2>互化公式
《双曲线和抛物线的参数方程(2)》教学案
1.13《双曲线和抛物线的参数方程》教学案 一、学习目标 (1).双曲线、抛物线的参数方程. (2).双曲线、抛物线的参数方程与普通方程的关系. (3).通过学习双曲线、抛物线的参数方程，进一步完善对双曲线、抛物线的认识，理解参数方程与普通方程的相互联系．并能相互转化．提高综合运用能力 二、学习重难点 学习重点：双曲线、抛物线参数方程的推导 学习难点：(1)双曲线、抛物线参数方程的建立及应用.(2)双曲线、抛物线的参数方程与普通方程的互化 三、学法指导： 认真阅读教材，按照导学案的导引进行自主合作探究式学习 四、知识链接: 焦点在x 上的椭圆的参数方程________________________________________ 焦点在y 上的椭圆的参数方程________________________________________ 五、学习过程 (阅读教材29-34完成) (一)双曲线的参数方程 1双曲线),(0012222 >>=-b a b y a x 的参数方程___________________________ 注：(1)?的范围__________________________ (2)?的几何意义___________________________ 2双曲线),(0012222 >>=-b a b x a y 的参数方程___________________________ (二)抛物线的参数方程 抛物线)(022>=p px y 的参数方程___________________________ (三)典型例题
六、课堂练习： 、 的轨迹方程。，求点相交于点并于点，且上异于顶点的两动是抛物线是直角坐标原点，、如图例M M AB AB OM OB OA p px y B A O ⊥⊥>=,)0(2,12 _ __________的两个焦点坐标tan sec {、求双曲线αα34321==y x ______________的渐近线方程为)为参数(tan sec {、双曲线???==y x 32的轨迹方程。的中点，求点线段为，点),(上的动点，给定点为抛物线、设P M M P M x y M 0020123-=
直线的参数方程及其应用举例
直线的参数方程及应用 问题1：（直线由点和方向确定） 求经过点P 0(00,y x )，倾斜角为α的直线l 设点P(y x ,)是直线l 上任意一点，方向为直线L 的正方向）过点P 作y P 0作x 轴的平行线，两条直线相交于Q 点. 1)当P P 0与直线l 同方向或P 0和P 重合时， P 0P ＝|P 0P | 则P 0Q ＝P 0Pcos α Q P ＝P 02)当P P 0与直线l 反方向时，P 0P 、P 0Q 、Q P P 0P ＝－|P 0P | P 0Q ＝P 0Pcos α Q P ＝P 0Psin α 设P 0P ＝t ，t 为参数， 又∵P 0Q ＝0x x -， 0x x -＝tcos α Q P ＝0y y - ∴ 0y y -=t sin α 即???+=+=α αsin cos 00t y y t x x 是所求的直线l 的参数方程 ∵P 0P ＝t ，t 为参数，t 的几何意义是：有向直线l 上从已知点P 0(00,y x )到点 P(y x ,)的有向线段的数量，且|P 0P |＝|t| ① 当t>0时，点P 在点P 0的上方； ② 当t ＝0时，点P 与点P 0重合； ③ 当t<0时，点P 在点P 0的下方； 特别地，若直线l 的倾斜角α＝0时，直线?+=0t x x ④ 当t>0时，点P 在点P 0的右侧； ⑤ 当t ＝0时，点P 与点P 0重合； ⑥ 当t<0时，点P 在点P 0的左侧； 问题2：直线l 上的点与对应的参数t 是不是一 对应关系？ 我们把直线l 看作是实数轴， 以直线l 向上的方向为正方向，以定点 这样参数t 便和这条实数轴上的点P 一一对应关系. 问题3：P 1、P 2为直线l 则P 1P 2＝？，∣P 1P 2∣=？ P 1P 2＝P 1P 0＋P 0P 2＝－t 1＋t 2＝t 2－t 1，∣P 1P 2∣=∣ t 2－t 1∣ x x
高中数学《曲线与方程》公开课优秀教学设计
课题：2.1.1曲线与方程（第1课时）(人教A版普通高中课程标准实验教科书数学选修2—1第二章第一节) 一、内容和内容解析 1．教学内容 《曲线与方程》共分两小节，第一小节主要内容是曲线的方程、方程的曲线的概念；第二小节内容是如何求曲线的方程．本课时为第一小节内容．2．地位与作用 本小节内容揭示了几何中的“形”与代数中的“数”相统一的关系，体现了解析几何这门课的基本思想——数形结合思想，对解析几何教学有着指导性的意义．其中，对曲线的方程和方程的曲线从概念上进行明确界定，是解析几何中数与形互化的理论基础和操作依据．《曲线与方程》作为《圆锥曲线与方程》的第一节，一方面，该部分内容是建立在学生学习了直线的方程和圆的方程的基础上对曲线与方程关系认识的一次飞跃；另一方面，它也为下一步学习圆锥曲线方程奠定了模型的基础．因此，它在高中解析几何学习中起着承前启后的关键作用． 二、目标和目标解析 本课时的教学目标是结合已学曲线及其方程的实例，了解曲线与方程的对应关系，进一步理解数形结合的基本思想．具体目标如下： 1．通过探究“以方程的解为坐标的点”汇集的图形，感知并归纳概括曲线与方程的对应关系； 2．初步理解方程的曲线与曲线的方程的含义； 3．通过经历曲线与方程的对应关系的探究过程，发展抽象概括的能力； 4．能使用曲线的方程（方程的曲线）的概念判断曲线与方程的对应关系，继续理解数形结合思想． 三、教学问题诊断分析 1．问题诊断 学生已经对“用方程表示直线、圆”有着感性的认知基础，能够根据直线的方程、圆的方程作对应的图形，并对数形结合思想有初步的了解．但是从直线与方程、圆与方程到曲线与方程的对应关系是一次从感性认识到理性认识的“飞跃”，由于大多数学生对“生活中其他的曲线是否能用、如何使用方程表示”这些问题还未曾有过思考，加之曲线的方程（方程的曲线）这一组概念有着较高的抽象性，所以预计在本课的学习中，学生可能出现以下困难： （1）作图探究结束后，学生独立地归纳概括并写出曲线的方程（方程的曲线）的概念时不规范，不全面； （2）难以理解“曲线上的点的坐标都是方程的解”和“以方程的解为坐标的点都在曲线上”这两句话在揭示“曲线与方程”的关系时各自所起的作用． 2．重难点 重点：曲线的方程（方程的曲线）的概念 难点：曲线的方程（方程的曲线）概念的生成和理解
双曲线与抛物线的参数方程(教学设计)
2.2.2双曲线与抛物线的参数方程（教学设计） 教学目标： 知识与技能目标：掌握双曲线与抛物线的参数方程，理解参数的几何意义。会用曲线的参数方程解决一些实际问题。 过程与方法：通过双曲线与抛物线参数方程的推导，进一步掌握求曲线方程的方法。 情感态度价值观：数学问题解法的多样性，思维多样性。 教学重点：双曲线与抛物线参数方程的应用。 教学难点：双曲线与抛物线参数方程的推导。 教学过程： 一、复习回顾： 1、椭圆的参数方程： 椭圆122 22=+b y a x （a>b>0）参数方程 ???==θ θsin cos b y a x （θ为参数）； 椭圆2 2221(0)y x a b b a +=>>的参数方程是cos sin x b y a θθ=??=?（θ为参数） 二、师生互动，新课讲解： 1、双曲线的参数方程的推导： 1）双曲线122 22=-b y a x 参数方程 ? ??==θθtan sec b y a x （θ为参数） 双曲线 ???==θ θtan sec b y a x （θ为参数） 2、判断双曲线两种参数方程的焦点的位置的方法． 如果x 对应的参数形式是sec φ，则焦点在x 轴上． 如果y 对应的参数形式是sec φ，则焦点在y 轴上． 例1：如图，设M 为双曲线122 22=-b y a x （a>0,b>0）任意一点，O 为原点，过点M 作双曲线两渐近线的平行线，分别与两渐近线交于A ，B 两点，探求平行四边形MAOB 的面积，由此可以发现什么结论？ 2a 222y x -=1(a>0,b>0)的参数方程为：b
变式训练1：化下列参数方程为普通方程，并说明它们表示什么曲线?由此你有什么想法？ 小结：参数方程的表示不唯一，如何判断是哪种曲线，必须化为普通方程。 4、抛物线的参数方程的推导： 1）抛物线方程y 2＝2px(p>0)的参数方程为????? x ＝2pt 2y ＝2pt (t 为参数). 2）抛物线方程x 2 =2py(p>0)的参数方程为222x pt y pt =??=? （t 为参数） 3）抛物线方程y 2 =-2px (p>0)的参数方程为2 22x pt y pt ?=-?=-?（t 为参数） 4）抛物线方程x 2 = -2py (p>0)的参数方程为222x pt y pt =-??=-? 例2：如图O 是直角坐标原点，A ，B 是抛物线y 2=2px (p>0)上异于顶点的两动点，且OA ⊥OB ，OM ⊥AB 并 于AB 相交于点M ，求点M 的轨迹方程。 变式训练2（探究）在本例中，点A 、B 在什么位置时，?AOB 的面积最小？最小值是多少？ 课堂练习： a 1(2()1()2x t t t b y t t ?=+????=-?? ）为参数,a>0,b>0()2(b )()2t t t t a x e e t b y e e --?=-????=+??为参数,a>0,>02 1212121212121221(),,211x pt t M M t t M M y pt A t t B t t C D t t t t ?=?=?+-+-、若曲线为参数上异于原点的不同两点，所对应的参数分别是则弦所在直线的斜率是（ ）、，、，、，、20022(1,0)M y x M P M M P =-、设为抛物线上的动点，给定点，点为线段的中点，求点的轨迹方程。
直线的参数方程及其应用(不错哦,放心用)
直线的参数方程及应用 目标点击： 1．掌握直线参数方程的标准形式和一般形式，理解参数的几何意义； 2．熟悉直线的参数方程与普通方程之间的互化； 3．利用直线的参数方程求线段的长，求距离、求轨迹、与中点有关等问题； 基础知识点击： 1、直线参数方程的标准式 (1)过点P 0(00,y x )，倾斜角为α的直线l 的参数方程是 ? ??+=+=αα s i n c o s 00t y y t x x （t 为参数）t 的几何意义：t 表示有向线段P P 0的数量，P(y x ,) P 0P=t ∣P 0P ∣=t 为直线上任意一点. (2)若P 1、P 2是直线上两点，所对应的参数分别为t 1、t 2， 则P 1P 2=t 2－t 1 ∣P 1P 2∣=∣t 2－t 1∣ (3) 若P 1、P 2、P 3是直线上的点，所对应的参数分别为t 1、t 2、t 3 则P 1P 2中点P 3的参数为t 3＝221t t +,∣P 0P 3∣=2 21t t + (4)若P 0为P 1P 2的中点，则t 1＋t 2＝0，t 1·t 2<0 2、直线参数方程的一般式 过点P 0(00,y x )，斜率为a b k =的直线的参数方程是 ? ??+=+=bt y y at x x 00 （t 为参数） 点击直线参数方程： 一、直线的参数方程 问题1：（直线由点和方向确定） 求经过点P 0(00,y x )，倾斜角为α的直线l 设点P(y x ,)是直线l 上任意一点，方向为直线L 的正方向）过点P 作y P 0作x 轴的平行线，两条直线相交于Q 点. 1)当P P 0与直线l 同方向或P 0和P 重合时， P 0P ＝|P 0P | 则P 0Q ＝P 0Pcos α Q P ＝P 02)当P P 0与直线l 反方向时，P 0P 、P 0Q 、Q P P 0P ＝－|P 0P | P 0Q ＝P 0Pcos α Q P ＝P 0Psin α 设P 0P ＝t ，t 为参数， 又∵P 0Q ＝0x x -， 0x x -＝tcos α x
双曲线、抛物线的参数方程
双曲线 、抛物线的参数方程 1．双曲线的参数方程 (1)中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a >0，b >0)的参数方程是??? ??x ＝a sec φy ＝b tan φ (φ为参数)，规定参数φ的取值范围为φ∈[0，2π)且φ≠ π2，φ≠3π 2 ． (2)中心在原点，焦点在y 轴上的双曲线y 2a 2－x 2 b 2＝1(a >0，b >0)的参数方程是? ?? ??x ＝b tan φy ＝a sec φ(φ为参数)． 2．抛物线的参数方程 (1)抛物线y 2 ＝2px 的参数方程为? ??? ?x ＝2pt 2 y ＝2pt (t 为参数)． (2)参数t 的几何意义是抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数． 1．参数方程? ????x ＝2t 2 ， y ＝4t (t 为参数)表示的曲线不在( ) A ．x 轴上方 B ．x 轴下方 C ．y 轴右方 D ．y 轴左方 解析：选D.原参数方程可化为y 2 ＝8x ，故图象不在y 轴左方．选D. 2．下列不是抛物线y 2 ＝4x 的参数方程的是( ) A.?????x ＝4t 2 y ＝4t ，(t 为参数) B ．?????x ＝ t 2 4y ＝t ，(t 为参数) C.? ????x ＝t 2y ＝2t ，(t 为参数) D ．? ????x ＝2t 2 y ＝2t ，(t 为参数) 解析：选D.逐一验证知D 不满足y 2 ＝4x . 3．双曲线?? ?x ＝23tan α y ＝6sec α ，(α为参数)的两焦点坐标是( ) A ．(0，－43)，(0，43) B ．(－43，0)，(43，0) C ．(0，－3)，(0，3) D ．(－3，0)，(3，0) 解析：选A.tan α＝ x 23 ，sec α＝y 6，
椭圆和双曲线的参数方程
椭圆和双曲线的参数方程 一、选择题 1．椭圆???x ＝a cos θ，y ＝b sin θ (θ为参数)，若θ∈[0，2π)，则椭圆上的点(－a ，0)对应的θ＝( ) A ．π B.π2 C ．2π D.3π2 2．椭圆???x ＝4＋2cos θ，y ＝1＋5sin θ (θ为参数)的焦距为( ) 21 B ．221 C.29 D ．229 3．当参数θ变化时，动点P (2cos θ，3sin θ)所确定的曲线必过( ) A ．点(2，3) B ．点(2，0) C ．点(1，3) D ．点? ????0，π2 4．双曲线???x ＝23tan α，y ＝6sec α (α为参数)的两焦点坐标是( ) A ．(0，－43)，(0，43) B ．(－43，0)，(43，0) C ．(0，－3)，(0，3) D ．(－3，0)，(3，0) 5．点(2，33)对应曲线???x ＝4cos θ，y ＝6sin θ (θ为参数)中参数θ的值为( ) A ．k π＋π6(k ∈Z) B ．k π＋π3 (k ∈Z) C ．2k π＋π6(k ∈Z) D ．2k π＋π3 (k ∈Z) 6．参数方程???x ＝sin α2＋cos α2，y ＝2＋sin α (α为参数)的普通方程为( ) A ．y 2－x 2＝1 B ．x 2－y 2＝1 C ．y 2－x 2＝1(|x |≤2) D ．x 2－y 2＝1(|x |≤2) 7．设O 是椭圆???x ＝3cos φ，y ＝2sin φ (φ为参数)的中心，P 是椭圆上对应于φ＝π6的点，那么直线OP 的斜率为( )
A.33 B. 3 C.332 D.239 8．参数方程???x ＝e t －e －t ，y ＝e t ＋e －t (t 为参数)表示的曲线是( ) A ．双曲线 B ．双曲线的下支 C ．双曲线的上支 D ．圆 二、填空题 9．二次曲线???x ＝5cos θ，y ＝3sin θ (θ为参数)的左焦点的坐标是________． 10．曲线???x ＝4cos θ，y ＝23sin θ (θ为参数)上一点P 到点A (－2，0)，B (2，0)的距离之和为________． 三、解答题 11．在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为x －y ＋4＝0，曲线C 的参数方程为???x ＝ 3 cos α，y ＝sin α (α为参数)． (1)已知在极坐标(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极 轴)中，点P 的极坐标为? ????4，π2，判断点P 与直线l 的位置关系； (2)设点Q 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值． 12．已知点P (x ，y )是圆x 2＋y 2＝2y 上的动点， (1)求2x ＋y 的取值范围； (2)若x ＋y ＋a ≥0恒成立，求实数a 的取值范围． 13．设F 1、F 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1 (a >b >0)的左、右焦点． (1)若椭圆C 上的点A ? ????1，32到F 1、F 2距离之和等于4，写出椭圆C 的方程和 焦点坐标； (2)设P 是(1)中椭圆上的动点，求线段F 1P 的中点的轨迹方程．
13 双曲线的参数方程(学生版)
13. 双曲线的参数方程 主备： 审核： 学习目标：1. 了解双曲线的参数方程的推导过程及参数的意义； 2. 掌握双曲线的参数方程，并能解决一些简单的问题. 学习重点：双曲线参数方程的应用， 学习难点：双曲线参数方程中参数的意义. 学习过程： 一、课前准备： 阅读教材2931P P -的内容，理解双曲线的参数方程的推导过程，并注意以下问题： 1. 写出椭圆22221y x a b +=的参数方程. 答： （θ为参数）. 2.将下列参数方程化为普通方程： （1）11 x a a y a a ?=-???=+? （a 为参数）； （2）21x t y t ??=±+?=??t 为参数）. 答：（1） ； （2） . 二、新课导学： （一）新知： 1.如图，以原点O 为圆心，分别以a ，b （0,0a b >>）为半径作两个同心圆1C 、 2C . 设A 为圆1C 上的任意一点，作直线OA ，过点 A 作1C 的切线AA '与x 轴交于A '，过圆2C 与x 轴的交点B 作圆2C 的切线BB '与直线OA 交于点 B '，过点A '、B '分别作x 轴、y 轴的垂线A M '、 B M '交于点M .设Ox 轴为始边，OA 为终边的角 为θ点，点M 的坐标为（,x y ），求点M 的轨迹方 程. 【分析】点M 的横坐标与点A '的横坐标相同，点M 的纵坐标与点B '的纵坐标相同. 而A '、B '的坐标可以通过引进参数建立联系. 【解析】由已知xOA θ∠=，(,)M x y ，则(,0)A x '，(,)B b y '， 因为(cos , sin )A a a θθ 所以(cos ,sin )OA a a θθ= ,(cos ,sin )AA x a a θθ'=-- 因为OA AA '⊥ ，所以0OA AA '?= ， 即22cos (cos )sin 0a x a a θθθ--=，sec cos a x a θθ= =， 由三角函数的定义得， tan y b θ=，tan y b θ=，所以点M 的轨迹方程为 M x O B ' A ' B A
直线的参数方程及应用
直线的参数方程及应用 基础知识点击： 1、 直线参数方程的标准式 (1)过点P 0(00,y x )，倾斜角为α的直线l 的参数方程是 ???+=+=αα s i n c o s 00t y y t x x （t 为参数）t 的几何意义：t 表示有向线段P P 0的数量，P(y x ,) P 0P=t ∣P 0P ∣=t 为直线上任意一点. (2)若P 1、P 2是直线上两点，所对应的参数分别为t 1、t 2， 则P 1P 2=t 2－t 1 ∣P 1P 2∣=∣t 2－t 1∣ (3) 若P 1、P 2、P 3是直线上的点，所对应的参数分别为t 1、t 2、t 3 则P 1P 2中点P 3的参数为t 3＝221t t +,∣P 0P 3∣=2 21t t + (4)若P 0为P 1P 2的中点，则t 1＋t 2＝0，t 1·t 2<0 2、 直线参数方程的一般式 过点P 0(00,y x )，斜率为a b k =的直线的参数方程是 ???+=+=bt y y at x x 00 （t 为参数） 点击直线参数方程： 一、直线的参数方程 问题1：（直线由点和方向确定） 求经过点P 0(00,y x )，倾斜角为α的直线l ? ??+=+=αα s i n c o s 00t y y t x x 是所求的直线l 的参数方程 ∵P 0P ＝t ，t 为参数，t 的几何意义是：0y )到点 P(y x ,)的有向线段的数量，且|P 0P |＝|t| ① 当t>0时，点P 在点P 0的上方； ② 当t ＝0时，点P 与点P 0重合； ③ 当t<0时，点P 在点P 0的下方； 特别地，若直线l 的倾斜角α＝0时，直线?+=00y t x x ④ 当t>0时，点P 在点P 0的右侧； ⑤ 当t ＝0时，点P 与点P 0重合； ⑥ 当t<0时，点P 在点P 0的左侧； 问题2：直线l 上的点与对应的参数t 是一一对应关系. 问题3：P 1、P 2为直线l 上两点所对应的参数分别为t 1 则P 1P 2＝？，∣P 1P 2∣=？ P 1P 2＝P 1P 0＋P 0P 2＝－t 1＋t 2＝t 2－t 1， ∣P 1P 2∣=∣ t 2－t 1∣ 问题4： 一般地，若P 1、P 2、P 3是直线l 上的点， 所对应的参数分别为t 1、t 2、t 3， P 3为P 1、P 2的中点 则t 3＝2 21t t + 基础知识点拨： 1、参数方程与普通方程的互化 例1：化直线1l 的普通方程13-+y x ＝0为参数方程，并说明参数的几何意 义,说明∣t ∣的几何意义. 点拨：求直线的参数方程先确定定点，再求倾斜角,注意参数的几何意义. 例2：化直线2l 的参数方程? ??+=+-= t 313y t x （t 为参数）为普通方程，并求倾斜角， 说明∣t ∣的几何意义. 点拨：注意在例1、例2中，参数t 的几何意义是不同的，直线1l 的参数方程 你会区分直线参数方程的标准形式？ 例3：已知直线l 过点M 0（1，3），倾斜角为 3 π ，判断方程??? ? ???+=+=t y t x 2332 1 1（t 为参数）和方 程? ??+=+= t 331y t x （t 为参数）是否为直线l 的参数方程？如果是直线l 的参数方程，指出 方程中的参数t 是否具有标准形式中参数t 的几何意义. 点拨：直线的参数方程不唯一，对于给定的参数方程能辨别其标准形式，会利用参数t 的几何意义解决有关问题. x y ,) x x
极坐标与参数方程知识点总结
第一部分：坐标系与参数方程 【考纲知识梳理】 1平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换? :严"一?x,(匸〉0 )的作用下,点p(x, y)对应到点 y=U?y,(A；>0) ' Px,y■，称「为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换. M於①］ 2?极坐标系的概念 (1)极坐标系如图(1)所示，在平面内取一个定点0 ,叫做极点，自极点0引一条射线Ox, 叫做极轴；再选定一个长度单位，一 个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系? 注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景，而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景；平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系，而极坐标系则不可?但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐 标系? (2)极坐标 设M是平面内一点，极点0与点M的距离|0M|叫做点M的极径，记为;以极轴0灿始边，射线0M为终边的角? x0M叫做点M的极角，记为—有序数对几二叫做点M的极坐标记作M匸门?一般地，不作特殊说明时，我们认为「_ 0门可取任意实数?特别地，当点M在极点时，它的极坐标为0,匚< 三R 。和直角坐标不同，平面内一个点的极坐标有无数种表示?如果规定T -0,0"：：^ ::: 2-，那么除极点外，平面内的点可用 唯一的极坐标几二表示；同时，极坐标订二表示的点也是唯一确定的 3?极坐标和直角坐标的互化 (1)互化背景：把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同 的长度单位，如图(2)所示: (2)互化公式：设M是坐标平面内任意一点，它的直角坐标是x, y，极坐标是:::0，于 是极坐标与直角坐标的互化公式如表： 点M 直角坐标(X, y )极坐标(巴日) 互化公式P cos日= Psi n 日P2 =x2+ y2 tan? - y （x 式0 ） x 在一般情况下，由tan二确定角时，可根据点M所在的象限最小正角4?常见曲线的极坐标方程
2.2常见曲线的参数方程
2.2 常见曲线的参数方程 第一节 圆锥曲线的参数方程 一椭圆的参数方程 1、中心在坐标原点，焦点在x 轴上，标准方程是22 221(0)x y a b a b +=>>的椭圆的参数方程 为cos (sin x a y b ? ??=??=? 为参数） 同样，中心在坐标原点，焦点在y 轴上，标准方程是22 221(0)y x a b a b +=>>的椭圆的参 数方程为cos (sin x b y a ? ??=??=? 为参数） 2、椭圆参数方程的推导 如图，以原点O 为圆心，,()a b a b o >>为半径分别作两个同心圆，设A 为大圆上的任一点，连接OA ，与小圆交于点B ，过点,A B 分别作x 轴，y 轴的垂线，两垂线交于点M 。 设以Ox 为始边，OA 为终边的角为?，点M 的坐标是(,)x y 。那么点A 的横坐标为x ，点B 的纵坐标为y 。由于点,A B 都在角?的终边上，由三角函数的定义有 cos cos ,sin sin x OA a y OB b ????==== 3 当半径OA 绕点O 旋转一周时，就得到了点M 的轨迹，它的参数方程是cos (sin x a y b ? ?? =??=?为 参数） 这是中心在原点O ，焦点在x 轴上的椭圆的参数方程。 3、椭圆的参数方程中参数?的意义 圆的参数方程cos (sin x r y r θ θθ =?? =?为参数）中的参数θ是动点(,)M x y 的旋转角，但在椭圆 的参数方程cos (sin x a y b ? ?? =?? =?为参数）中的参数?不是动点(,)M x y 的旋转角，它是动点 (,)M x y 所对应的圆的半径OA （或OB ）的旋转角，称为点M 的离心角，不是OM 的旋 转角，通常规定[)0,2?π∈ 4、椭圆参数方程与普通方程的互化
双曲线的参数方程(教师版)
13. 双曲线的参数方程 主备： 审核： 学习目标：1. 了解双曲线的参数方程的推导过程及参数的意义； 2. 掌握双曲线的参数方程，并能解决一些简单的问题. 学习重点：双曲线参数方程的应用， 学习难点：双曲线参数方程中参数的意义. 学习过程： 一、课前准备： 阅读教材2931P P -的内容，理解双曲线的参数方程的推导过程，并注意以下问题： 1. 写出椭圆22 221y x a b +=的参数方程. 答：cos sin x a y b θ θ=??=? （θ为参数）. 2.将下列参数方程化为普通方程： （1）1 1x a a y a a ?=-???=+? （a 为参数）； （2 ）x y t ??=±?=??t 为参数）. 答：（1）22 4y x -=； （2）2214 x y -=. 二、新课导学： （一）新知： 1.如图，以原点O 为圆心，分别以a ，b （0,0a b >>）为半径作两个同心圆1C 、2C . 设A 为圆1C 上的任意一点，作直线OA ，过点 A 作1C 的切线AA '与x 轴交于A '，过圆2C 与x 轴 的交点B 作圆2C 的切线BB '与直线OA 交于点B '，过点A '、B '分别作x 轴、y 轴的垂线A M '、B M '交于点M .设Ox 轴为始边，OA 为终边的角为θ点，点M 的坐标为（,x y ），求点M 的轨迹方 程. 【分析】点M 的横坐标与点A '的横坐标相同，点M 的纵坐标与点B '的纵坐标相同. 而A '、B '的坐标可以通过引进参数建立联系. 【解析】由已知xOA θ∠=，(,)M x y ，则(,0)A x '，(,)B b y '， 因为(cos , sin )A a a θθ 所以(cos ,sin )OA a a θθ=u u u r ,(cos ,sin )AA x a a θθ'=--u u u r 因为OA AA '⊥u u u r u u u r ，所以0OA AA '?=u u u r u u u r ， 即2 2 cos (cos )sin 0a x a a θθθ--=，sec cos a x a θθ ==， 由三角函数的定义得， tan y b θ= ，tan y b θ=，所以点M 的轨迹方程为
《双曲线的参数方程》教学案1
《双曲线的参数方程》教学案1 【使用课时】：1课时 【教学目标】： 1. 知识与技能：了解双曲线的参数方程及参数的的意义 2. 过程与方法：能选取适当的参数，求简单曲线的参数方程 3. 情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识 【教学重点】：双曲线数方程的定义和方法 【教学过程】： 一、课前准备 复习1：圆x 2+y 2=r 2(r>0)的参数方程: 圆(x-a)2+(y-b)2=r 2的参数方程: 复习2：椭圆 的参数方程为 。 二、新课导学 学习探究 探究任务一：1.双曲线的参数方程的推导：双曲线122 22=-b y a x 参数方程 )0(12222>>=+b a b y a x
122 22=-b y a x ???==θ θtan sec b y a x 双曲线 的参数方程为 注：（1）?的范围__________________________ （2）?的几何意义___________________________ 【例1】：双曲线 23tan 6sec ({x y ααα==为参数） 的两焦点坐标是 。 例2、 22 22100(,)x y M a b O a b M A B MAOB -=>> 如图，设为双曲线任意一点，为原点，过点作双曲线两渐近线的平行线，分别与两渐近线交于，两点。探求平行四边形的面积，由此可以发现什么结论？? b a o x y ) M B A ' B 'A ?
过关检测 3．方程{t t t t x y e e e e --=+=-（t 为参数）的图形是 。 O B M A x y ___________tan 34sec 32{1的两个焦点坐标、求双曲线α α==y x A ______________)(tan sec 3{2的渐近线方程为为参数、双曲线?? ?==y x B
(新)高中数学破题致胜微方法双曲线的参数方程及应用三利用双曲线的参数方程证明定值问题1
三 利用双曲线的参数方程证明定值问题 在几何问题中，有些几何量与参数无关，这就构成了定值问题，解决这类问题一种思路是进行一般计算推理求出其结果；另一种是通过考查极端位置，探索出“定值”是多少，然后再进行一般性证明或计算，即将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角形式，证明该式是恒定的. 今天我们研究利用双曲线的参数方程来证明双曲线中相关的定值问题.已知双曲线的标准方程，则可以将双曲线的方程改写成参数方程，利用坐标在双曲线上，通过参数θ简明地表示曲线上任一点坐标，将相关的几何量（斜率、距离）转化为三角形式，证明几何量与参数无关. 先看例题. 例1：已知等轴双曲线2222(0)x y a a -=>上任意一点P ，求证点P 到两渐近线的距离之 积为常数. 解：设(2sec ,2tan )P a a θθ， 渐近线：y x =±， 则P 到0x y -=的距离为：1|2sec 2tan ||sec tan |2 a a d a θθθθ-==-， 点P 到两渐近线的距离之积为常数.
注意： 中心在原点，坐标轴为对称轴的双曲线的参数方程有以下两种情况： 1.焦点在x 轴上的双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>：sec tan x a y b θθ=??=? （θ为参数）. 2.焦点在y 轴上的双曲线22221(0,0)y x a b a b -=>>：tan sec x b y a θθ =??=?（θ为参数）. 以上的[)0,2θπ∈，且3,22 ππθθ≠ ≠. 例2：过原点作直线交双曲线22 221(,0) x y a b a b -=>于M ，N 两点，设P 为双曲线上任一 点，若直线PM ，PN 的斜率存在，证明直线PM ，PN 的斜率之积为定值21e -（e 为双曲 线的离心率）. 证明：设(sec ,tan )P a b αα，(sec ,tan )M a b ββ， 由椭圆的对称性知，(sec ,tan )N a b ββ--， (tan tan )(tan tan ),(sec sec )(sec sec ) PM PN b b k k a a αβαβαβαβ-+==-+， 222(tan tan )(tan tan )1(sec sec )(sec sec )PM PN b b b k k e a a a αβαβαβαβ-+∴?=?==--+. 注意：上式分母中()()222222sec sec =1+tan 1+tan tan tan αβαβαβ--=-. 总结： 1.利用双曲线的参数方程，写出双曲线上点的坐标. 2.将相关的几何量（斜率、距离）转化为三角形式，通过三角公式化简，证明几何量与参
双曲线的参数方程
双曲线的参数方程 双曲线的参数方程： 双曲线的参数方程是（θ是参数，0≤θ＜2π，）。 双曲线的参数方程是 双曲线上任意点M的坐标可设为 双曲线的普通方程和参数方程的关系: 椭圆的参数方程 椭圆的参数方程： 椭圆的参数方程是，θ∈[0，2π）。
椭圆的参数方程的理解： 如图，以原点为圆心，分别以a，b（a>b>0）为半径作两个圆，点B是大圆半径OA与小圆的交点，过点A作AN⊥Ox，垂足为N，过点B作BM⊥AN，垂足为M，求当半径OA绕点O旋转时，点M的横坐标与点A的横坐标相同，点M的纵坐标与点B的纵坐标相同．而A、B的坐标可以通过引进参数建立联系．设 ，由已知得 ，即为点M的轨迹参数方程，消去参数得 ，即为点M的轨迹普通方程。 (1)参数方程，是椭圆的参数方程； (2)在椭圆的参数方程中，常数a、b分别是椭圆的长半轴长和短半轴长．a>b, 称为离心角，规定参数的取值范围是[0，2π）; (3)焦点在y轴的参数方程为 曲线的参数方程 曲线的参数方程的定义：
一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线C上任意一点的坐标x、y都是某 个变数t的函数，并且对于t的每一个允许值，由方程组 ①所确定的点P（x，y）都在这条曲线C上，那么方程组①就叫做这条曲线的参数方程。变数t叫做参变量或参变数，简称参数。 曲线的参数方程的理解与认识： （1）参数方程的形式：横、纵坐标x、y都是变量t的函数，给出一个t 能唯一的求出对应的x、y的值，因而得出唯一的对应点；但横、纵坐标x、y 之间的关系并不一定是函数关系。 （2）参数的取值范围：在表述曲线的参数方程时，必须指明参数的取值范围；取值范围的不同，所表示的曲线也可能会有所不同。 （3）参数方程与普通方程的统一性：普通方程是相对参数方程而言的，普通方程反映了坐标变量x与y之间的直接联系，而参数方程是通过变数反映坐标变量x与y之间的间接联系；普通方程和参数方程是同一曲线的两种不同表达形式；参数方程可以与普通方程进行互化。 圆的参数方程 圆的参数方程： （θ∈[0，2π）），（a，b）为圆心坐标，r为圆的半径，θ为参数（x，y）为经过点的坐标。 圆心为原点，半径为r的圆的参数方程：