函数及其表示专题
函数及其表示
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)函数y ＝1与y ＝x 0是同一个函数.( ) (2)对于函数f ：A →B ，其值域是集合B .( ) (3)f (x )＝x －3＋2－x 是一个函数.( )
(4)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等.( )
2. 若函数y ＝f (x )的定义域为M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )
3. 下列函数中，与函数y ＝x ＋1是相等函数的是( )
A.y ＝(x ＋1)2
B.y ＝3
x 3＋1 C.y ＝x 2
x ＋1
D.y ＝x 2＋1
4. 已知函数f (x )＝???x 2
－2x ，x >0，
2x ，x ≤0，则f (f (1))＝( )
A.0
B.12
C.1
D.2
5. 函数y ＝7＋6x －x 2的定义域是________.
6. 已知f ? ????
1x ＝x 2＋5x ，则f (x )＝________.
【例1】 (1) 函数y ＝－x 2＋2x ＋3
lg （x ＋1）的定义域为( )
A.(－1，3]
B.(－1，0)∪(0，3]
C.[－1，3]
D.[－1，0)∪(0，3]
(2) 已知函数f (x )的定义域为[0，2]，则函数g (x )＝f ? ????
12x ＋8－2x 的定义域为
( ) A.[0，3] B.[0，2] C.[1，2] D.[1，3]
【训练1】 (1) 已知函数f (x )的定义域是[－1，1]，则函数g (x )＝f （2x －1）
ln （1－x ）
的
定义域是( )
A.[0，1]
B.(0，1)
C.[0，1)
D.(0，1] (2)函数y ＝1－x 2＋log 2(tan x －1)的定义域是________.
考点二 求函数的解析式
【例2】 (1)已知f ? ??
??
2x ＋1＝lg x ，则f (x )＝________；
(2)已知f (x )是二次函数且f (0)＝2，f (x ＋1)－f (x )＝x －1，则f (x )＝________； (3)已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f (x )＝2f ? ????
1x ·x －1，则f (x )＝
________.
【训练2】 (1)已知y ＝f (x )是二次函数，若方程f (x )＝0有两个相等实根，且f ′(x )＝2x ＋2，则f (x )＝________.
(2)若f (x )满足2f (x )＋f (－x )＝3x ，则f (x )＝______.
考点三 分段函数 角度1 分段函数求值
【例3－1】 函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )(x ∈R)，且在区间(－2，2]上，f (x )
＝?????cos πx 2，0 x ＋12，－2 角度2 分段函数与方程、不等式问题 【例3－2】 (1) 已知函数f (x )＝???log 2 x ，x ≥1， 11－x ，x <1， 则不等式 f (x )≤1的解集为 ( ) A.(－∞，2] B.(－∞，0]∪(1，2] C.[0，2] D.(－∞，0]∪[1，2] (2)已知函数f (x )＝? ??2x ，x >0， x ＋1，x ≤0.若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值为________. 【训练3】 (1) 已知函数f (x )＝???log 3 （x ＋m ）－1，x ≥0， 12 020 ，x <0 的图象经过点(3， 0)，则f (f (2))＝( ) A.2 020 B.1 2 020 C.2 D.1 (2) 设函数f (x )＝???x ＋1，x ≤0，2x ，x >0，则满足f (x )＋f ? ? ???x －12>1的x 的取值范围是 ________. (3) 已知函数f (x )＝???（1－2a ）x ＋3a ，x <1， 2x －1，x ≥1的值域为R ，则实数a 的取值范围 是________. 强化训练 一、选择题 1.下列所给图象是函数图象的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 2. 设函数f (x )＝???x 2 －1（x ≥2）， log 2x （0 A.－2 B.8 C.1 D.2 3.如图是张大爷晨练时离家距离(y )与行走时间(x )之间的函数关系的图象.若用黑点表示张大爷家的位置，则张大爷散步行走的路线可能是( ) 4.已知函数f (x )＝2x 2－a ，f (3)＝1 4，则f (－2)＝( ) A.1 B.－18 C.12 D.1 8 5. 已知函数f (x ＋1)的定义域为(－2，0)，则f (2x －1)的定义域为( ) A.(－1，0) B.(－2，0) C.(0，1) D.? ???? －12，0 6.某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表.那么，各班可推选代表人数y 与该班人数 x 之间的函数关系用取整函数y ＝[x ]([x ]表示不大于x 的最大整数)可以表示为( ) A.y ＝??????x 10 B.y ＝?? ????x ＋310 C.y ＝??????x ＋410 D.y ＝?????? x ＋510 7. 已知函数f (x )＝???x ＋1，－1 1a ＝ ( ) A.2 B.4 C.6 D.8 8.已知函数f (x )＝???x 2 ＋x ，x ≥0， －3x ，x <0，若a [f (a )－f (－a )]>0，则实数a 的取值范围 为( ) A.(1，＋∞) B.(2，＋∞) C.(－∞，－1)∪(1，＋∞) D.(－∞，－2)∪(2，＋∞) 二、填空题 9.函数f (x )＝ln ? ????1＋1x ＋1－x 2的定义域为________. 10. 函数f (x )＝? ??2x －5，x ≤2， 3sin x ，x >2的值域为________. 11.已知函数f (x )满足f ? ????1x ＋1 x f (－x )＝2x (x ≠0)，则f (－2)＝________. 12.设函数f (x )＝???2x ，x ≤0，|log 2x |，x >0， 则使f (x )＝1 2的x 的集合为________. 13. 已知函数f (x )＝log 2x 的值域是[1，2]，则函数φ(x )＝f (2x )＋f (x 2)的定义域为( ) A.[2，2] B.[2，4] C.[4，8] D.[1，2] 14.设函数f (x )＝???－x ＋λ，x <1（λ∈R ）， 2x ，x ≥1，若对任意的a ∈R 都有f [f (a )]＝2f (a ) 成立，则λ的取值范围是( ) A.(0，2] B.[0，2] C.[2，＋∞) D.(－∞，2) 15.已知函数f (x )满足f ? ???? 2x ＋|x |＝log 2x |x |，则f (x )的解析式是________. 16.(多填题)已知函数f (x )＝???x ＋2x －3，x ≥1， lg （x 2 ＋1），x <1， 则f (f (－3))＝________，f (x )的最小值是________. 17.(组合选择题)具有性质：f ? ???? 1x ＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的 函数.下列函数： ①y ＝x －1x ； ②y ＝ln 1－x 1＋x ； ③y ＝?????x ，0 x ，x >1. 其中满足“倒负”变换的函数是( ) A.①② B.①③ C.②③ D.① 答案 函数及其表示专题 1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)函数y＝1与y＝x0是同一个函数.( ) (2)对于函数f：A→B，其值域是集合B.( ) (3)f(x)＝x－3＋2－x是一个函数.( ) (4)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等.( ) 解析 (1)错误.函数y＝1的定义域为R，而y＝x0的定义域为{x|x≠0}，其定义域不同，故不是同一函数. (2)错误.值域C?B，不一定有C＝B. (3)错误.f(x)＝x－3＋2－x中x不存在. (4)错误.若两个函数的定义域、对应关系均相同时，才是相等函数. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)× 2. 若函数y＝f(x)的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f(x)的图象可能是( ) 解析 A中函数定义域不是[－2，2]；C中图象不表示函数；D中函数值域不是[0，2]. 答案 B 3. 下列函数中，与函数y＝x＋1是相等函数的是( ) A.y＝(x＋1)2 B.y＝3 x3＋1 C.y＝x2 x ＋1 D.y＝x2＋1 解析 对于A ，函数y ＝(x ＋1)2的定义域为{x |x ≥－1}，与函数y ＝x ＋1的定义域不同，不是相等函数；对于B ，定义域和对应关系分别相同，是相等函数； 对于C ，函数y ＝x 2 x ＋1的定义域为{x |x ≠0}，与函数y ＝x ＋1的定义域x ∈R 不 同，不是相等函数；对于D ，定义域相同，但对应关系不同，不是相等函数. 答案 B 4. 已知函数f (x )＝???x 2 －2x ，x >0， 2x ，x ≤0，则f (f (1))＝( ) A.0 B.12 C.1 D.2 解析 由题意，知f (1)＝12－2×1＝－1，所以f (f (1))＝f (－1)＝2－1 ＝12. 答案 B 5. 函数y ＝7＋6x －x 2的定义域是________. 解析 要使函数有意义，需7＋6x －x 2≥0，即x 2－6x －7≤0，即(x ＋1)(x －7)≤0，解得－1≤x ≤7. 故所求函数的定义域为[－1，7]. 答案 [－1，7] 6. 已知f ? ???? 1x ＝x 2＋5x ，则f (x )＝________. 解析 令t ＝1x (t ≠0)，所以x ＝1 t ， 所以f (t )＝1t 2＋5t ＝5t ＋1 t 2. 故f (x )＝5x ＋1 x 2 (x ≠0). 答案 5x ＋1 x 2 (x ≠0) 考点一 求函数的定义域 【例1】 (1) 函数y ＝－x 2＋2x ＋3 lg （x ＋1） 的定义域为( ) A.(－1，3] B.(－1，0)∪(0，3] C.[－1，3] D.[－1，0)∪(0，3] (2) 已知函数f (x )的定义域为[0，2]，则函数g (x )＝f ? ???? 12x ＋8－2x 的定义域为 ( ) A.[0，3] B.[0，2] C.[1，2] D.[1，3] 解析 (1)要使函数有意义，x 需满足??? －x 2＋2x ＋3≥0， x ＋1>0， x ＋1≠1， 解得－1 所以函数的定义域为(－1，0)∪(0，3]. (2)因为f (x )的定义域为[0，2]， 所以要使g (x )有意义，x 满足???0≤12x ≤2， 0≤8－2x ， 解得0≤x ≤3. ∴g (x )的定义域为[0，3]. 答案 (1)B (2)A 规律方法 1.求给定解析式的函数定义域的方法 求给定解析式的函数的定义域，其实质就是以函数解析式中所含式子(运算)有意义为准则，列出不等式或不等式组求解；对于实际问题，定义域应使实际问题有意义. 2.求抽象函数定义域的方法 (1)若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，则复合函数f [g (x )]的定义域可由不等式a ≤g (x )≤b 求出. (2)若已知函数f [g (x )]的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ， b ]上的值域. 【训练1】 (1) 已知函数f (x )的定义域是[－1，1]，则函数g (x )＝f （2x －1） ln （1－x ）的 定义域是( ) A.[0，1] B.(0，1) C.[0，1) D.(0，1] (2)函数y ＝1－x 2＋log 2(tan x －1)的定义域是________. 解析 (1)由函数f (x )的定义域为[－1，1]， 令－1≤2x －1≤1，解得0≤x ≤1， 又由1－x >0且1－x ≠1，解得x <1且x ≠0， 所以函数g (x )的定义域为(0，1). (2)要使函数y ＝1－x 2＋log 2(tan x －1)有意义，则1－x 2≥0，tan x －1>0，且 x ≠k π＋π2 (k ∈Z). ∴－1≤x ≤1且π4＋k π 4 则函数的定义域为? ???? π4，1. 答案 (1)B (2)? ???? π4，1 考点二 求函数的解析式 【例2】 (1)已知f ? ?? ?? 2x ＋1＝lg x ，则f (x )＝________； (2)已知f (x )是二次函数且f (0)＝2，f (x ＋1)－f (x )＝x －1，则f (x )＝________； (3)已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f (x )＝2f ? ???? 1x ·x －1，则f (x )＝ ________. 解析 (1)令t ＝2x ＋1(t >1)，则x ＝2 t －1， ∴f (t )＝lg 2t －1，即f (x )＝lg 2x －1 (x >1). (2)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 由f (0)＝2，得c ＝2， f (x ＋1)－f (x )＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋2－ax 2－bx －2＝2ax ＋a ＋b ＝x －1， 所以???2a ＝1，a ＋b ＝－1， 即?????a ＝12，b ＝－32. ∴f (x )＝12x 2 －3 2x ＋2. (3)在f (x )＝2f ? ?? ?? 1x ·x －1中，将x 换成1x ，则1x 换成x ， 得f ? ?? ?? 1x ＝2f (x )· 1 x －1，由?????f （x ）＝2f ? ???? 1x ·x －1，f ? ?? ?? 1x ＝2f （x ）·1x －1， 解得f (x )＝23x ＋1 3 . 答案 (1)lg 2x －1(x >1) (2)12x 2－32x ＋2 (3)23x ＋1 3 规律方法 求函数解析式的常用方法 (1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法. (2)换元法：已知复合函数f [g (x )]的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围. (3)构造法：已知关于f (x )与f ? ???? 1x 或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出 另外一个等式，通过解方程组求出f (x ). 【训练2】 (1)已知y ＝f (x )是二次函数，若方程f (x )＝0有两个相等实根，且f ′(x )＝2x ＋2，则f (x )＝________. (2)若f (x )满足2f (x )＋f (－x )＝3x ，则f (x )＝______. 解析 (1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f ′(x )＝2ax ＋b ， ∴2ax ＋b ＝2x ＋2，则a ＝1，b ＝2. 所以f (x )＝x 2＋2x ＋c ＝0，且有两个相等实根. ∴Δ＝4－4c ＝0，则c ＝1.故f (x )＝x 2＋2x ＋1. (2)因为2f (x )＋f (－x )＝3x ，① 所以将x 用－x 替换，得2f (－x )＋f (x )＝－3x ，② 由①②解得f (x )＝3x . 答案 (1)x 2＋2x ＋1 (2)3x 考点三 分段函数 多维探究 角度1 分段函数求值 【例3－1】 函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )(x ∈R)，且在区间(－2，2]上，f (x )＝?????cos πx 2，0 ?? x ＋12，－2 解析 因为函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )(x ∈R)，所以函数f (x )的最小正周期是 4.因为在区间(－2，2]上，f (x )＝?????cos πx 2 ，0 x ＋12，－2 所以f (15)＝f (－1)＝1 2 ， 因此f [f (15)]＝f ? ???? 12＝cos π4＝22. 答案 2 2 角度2 分段函数与方程、不等式问题 【例3－2】 (1) 已知函数f (x )＝???log 2 x ，x ≥1， 11－x ，x <1，则不等式 f (x )≤1的解集为 ( ) A.(－∞，2] B.(－∞，0]∪(1，2] C.[0，2] D.(－∞，0]∪[1，2] (2)已知函数f (x )＝???2x ，x >0， x ＋1，x ≤0. 若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值为________. 解析 (1)当x ≥1时，不等式f (x )≤1为log 2x ≤1，1≤x ≤2；当x <1时，由 1 1－x ≤1，得x ≤0. 综上，f (x )≤1的解集为{x |x ≤0或1≤x ≤2}. (2)∵f (1)＝2，且f (a )＋f (1)＝0，∴f (a )＝－2. 当a ≤0时，f (a )＝a ＋1＝－2，∴a ＝－3； 当a >0时，f (a )＝2a >0，此时，f (a )≠－2. 综上可知a ＝－3. 答案 (1)D (2)－3 规律方法 1.根据分段函数解析式求函数值，首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解. 2.已知函数值或函数的取值范围求自变量的值或范围时，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围. 提醒 当分段函数的自变量范围不确定时，应分类讨论. 【训练3】 (1) 已知函数f (x )＝???log 3 （x ＋m ）－1，x ≥0， 12 020 ，x <0 的图象经过点(3， 0)，则f (f (2))＝( ) A.2 020 B.12 020 C.2 D.1 (2) 设函数f (x )＝???x ＋1，x ≤0，2x ，x >0，则满足f (x )＋f ? ? ???x －12>1的x 的取值范围是 ________. (3) 已知函数f (x )＝???（1－2a ）x ＋3a ，x <1， 2x －1，x ≥1的值域为R ，则实数a 的取值范围 是________. 解析 (1)因为函数f (x )的图象过点(3，0)，所以log 3(3＋m )－1＝0，解得m ＝0. 所以f (2)＝log 32－1<0，故f (f (2))＝1 2 020. (2)当x ≤0时，f (x )＋f ? ????x －12＝(x ＋1)＋? ???? x －12＋1， 原不等式化为2x ＋32>1，解得－1 4 当0 x －12＋1， 原不等式化为2x ＋x ＋1 2>1，该不等式恒成立， 当x >12时，f (x )＋f ? ? ???x －12＝2x ＋2x －12， 又x >12时，2x ＋2x －12>212＋20＝1＋2>1恒成立， 综上可知，不等式的解集为? ????－14，＋∞. (3)当x ≥1时，f (x )＝2x －1≥1， ∵函数f (x )＝? ??（1－2a ）x ＋3a ，x <1， 2x －1，x ≥1的值域为R ， ∴当x <1时，(1－2a )x ＋3a 必须取遍(－∞，1)内的所有实数，则?? ?1－2a >0， 1－2a ＋3a ≥1，解得0≤a <1 2 . 答案 (1)B (2)? ????－14，＋∞ (3)??? ???0，12 强化训练 一、选择题 1.下列所给图象是函数图象的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析 图象①关于x 轴对称，x >0时，每一个x 对应2个y ，图象②中x 0对应2个 y ，所以①②均不是函数图象；图象③④是函数图象. 答案 B 2. 设函数f (x )＝???x 2 －1（x ≥2）， log 2x （0 A.－2 B.8 C.1 D.2 解析 当m ≥2时，m 2－1＝3，解得m ＝2或m ＝－2(舍)；当0 3.如图是张大爷晨练时离家距离(y )与行走时间(x )之间的函数关系的图象.若用黑点表示张大爷家的位置，则张大爷散步行走的路线可能是( ) 解析 由y 与x 的关系知，在中间时间段y 值不变，只有D 符合题意. 答案 D 4.已知函数f (x )＝2x 2－a ，f (3)＝1 4，则f (－2)＝( ) A.1 B.－18 C.12 D.1 8 解析 f (3)＝23－a ＝1 4，∴3－a ＝－2，则a ＝5， 因此f (x )＝2x 2－5，所以f (－2)＝2－3＝1 8. 答案 D 5. 已知函数f (x ＋1)的定义域为(－2，0)，则f (2x －1)的定义域为( ) A.(－1，0) B.(－2，0) C.(0，1) D.? ???? －12，0 解析 由题意，知－1 6.某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表.那么，各班可推选代表人数y 与该班人数 x 之间的函数关系用取整函数y ＝[x ]([x ]表示不大于x 的最大整数)可以表示为( ) A.y ＝??????x 10 B.y ＝?? ????x ＋310 C.y ＝??????x ＋410 D.y ＝?????? x ＋510 解析 代表人数与该班人数的关系是除以10的余数大于6，即大于等于7时要增加一名，故y ＝?? ???? x ＋310. 答案 B 7. 已知函数f (x )＝???x ＋1，－1 1a ＝ ( ) A.2 B.4 C.6 D.8 解析 由f (x )的定义域，知a >0. 当0 解得a ＝14，则f ? ?? ?? 1a ＝f (4)＝8， 当a ≥1时，由f (a )＝f (a －1)，得2a ＝2(a －1)，不成立. 综上可知，f ? ???? 1a ＝8. 答案 D 8.已知函数f (x )＝???x 2 ＋x ，x ≥0， －3x ，x <0，若a [f (a )－f (－a )]>0，则实数a 的取值范围 为( ) A.(1，＋∞) B.(2，＋∞) C.(－∞，－1)∪(1，＋∞) D.(－∞，－2)∪(2，＋∞) 解析 当a ＝0时，显然不成立. 当a >0时，不等式a [f (a )－f (－a )]>0等价于a 2－2a >0，解得a >2. 当a <0时，不等式a [f (a )－f (－a )]>0等价于－a 2－2a <0，解得a <－2. 综上所述，实数a 的取值范围为(－∞，－2)∪(2，＋∞). 答案 D 二、填空题 9.函数f (x )＝ln ? ? ???1＋1x ＋1－x 2的定义域为________. 解析 要使函数f (x )有意义， 则?????1＋1x >0，x ≠0，1－x 2 ≥0????x <－1或x >0，x ≠0，－1≤x ≤1 ?0 ∴f (x )的定义域为(0，1]. 答案 (0，1] 10. 函数f (x )＝???2x －5，x ≤2， 3sin x ，x >2 的值域为________. 解析 当x ≤2时，f (x )＝2x －5单调递增，则－5 11.已知函数f (x )满足f ? ????1x ＋1 x f (－x )＝2x (x ≠0)，则f (－2)＝________. 解析 令x ＝2，可得f ? ????12＋1 2f (－2)＝4，① 令x ＝－12，可得f (－2)－2f ? ???? 12＝－1② 联立①②解得f (－2)＝7 2. 答案 7 2 12.设函数f (x )＝???2x ，x ≤0，|log 2x |，x >0， 则使f (x )＝1 2的x 的集合为________. 解析 由题意知，若x ≤0，则2x ＝1 2，解得x ＝－1； 若x >0，则|log 2x |＝12，解得x ＝2或x ＝2 2. 故x 的集合为?????? －1，2，22. 答案 ? ????? －1，2，22 13. 已知函数f (x )＝log 2x 的值域是[1，2]，则函数φ(x )＝f (2x )＋f (x 2)的定义域为( ) A.[2，2] B.[2，4] C.[4，8] D.[1，2] 解析 f (x )＝log 2x 的值域是[1，2]， ∴1≤log 2x ≤2，则2≤x ≤4，f (x )定义域为[2，4]， 故φ(x )＝f (2x )＋f (x 2 )满足? ??2≤2x ≤4， 2≤x 2 ≤4， ∴2≤x ≤2，则φ(x )的定义域为[2，2]. 答案 A 14.设函数f (x )＝???－x ＋λ，x <1（λ∈R ）， 2x ，x ≥1，若对任意的a ∈R 都有f [f (a )]＝2f (a ) 成立，则λ的取值范围是( ) A.(0，2] B.[0，2] C.[2，＋∞) D.(－∞，2) 解析 当a ≥1时，2a ≥2. ∴f [f (a )]＝f (2a )＝22a ＝2f (a )恒成立. 当a <1时，f [f (a )]＝f (－a ＋λ)＝2f (a )＝2λ－a ， ∴λ－a ≥1，即λ≥a ＋1恒成立， 由题意λ≥(a ＋1)max ，∴λ≥2， 综上，λ的取值范围是[2，＋∞). 答案 C 15.已知函数f (x )满足f ? ???? 2x ＋|x |＝log 2x |x |，则f (x )的解析式是________. 解析 根据题意知x >0，所以f ? ???? 1x ＝log 2x ，则f (x )＝log 21x ＝－log 2x . 答案 f (x )＝－log 2x 16.(多填题)已知函数f (x )＝???x ＋2x －3，x ≥1， lg （x 2 ＋1），x <1， 则f (f (－3))＝________，f (x )的最小值是________. 解析 由题意知f (－3)＝lg[(－3)2＋1]＝lg 10＝1， 所以f [f (－3)]＝f (1)＝0， 当x ≥1时，f (x )＝x ＋2 x －3≥22－3，当且仅当x ＝2时，取等号，此时f (x )min ＝22－3<0； 当x <1时，f (x )＝lg(x 2＋1)≥lg 1＝0，当且仅当x ＝0时，取等号，此时f (x )min ＝0. ∴f (x )的最小值为22－3. 答案 0 22－3 17.(组合选择题)具有性质：f ? ???? 1x ＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的 函数.下列函数： ①y ＝x －1x ；②y ＝ln 1－x 1＋x ；③y ＝?????x ，0 x ，x >1. 其中满足“倒负”变换的函数是( ) A.①② B.①③ C.②③ D.① 解析 对于①，f (x )＝x －1 x ，f ? ????1x ＝1 x －x ＝－f (x )，满足题意；对于②，f (x )＝ln 1－x 1＋x ，则f ? ?? ?? 1x ＝ln x －1x ＋1≠－f (x )，不满足； 对于③，f ? ????1x ＝?????1 x ，0<1 x <1， 0，1x ＝1，－x ，1x >1， 即f ? ????1x ＝?????1 x ，x >1，0，x ＝1，－x ，0 ?? 1x ＝－f (x ). 所以满足“倒负”变换的函数是①③. 答案 B 数学2019届高考复习基本初等函数专题强化练 习（附答案） 初等函数包括代数函数和超越函数，以下是基本初等函数专题强化练习，希望对考生复习数学有帮助。 1.(文)(2019江西文，4)已知函数f(x)=(aR)，若f[f(-1)]=1，则a=() A. -1 B.-2 C.1 D.2 [答案] A [解析] f(-1)=2-(-1)=2， f(f(-1))=f(2)=4a=1，a=. (理)(2019新课标理，5)设函数f(x)=则f(-2)+f(log212)=() A.3 B.6 C.9 D.12 [答案] C [解析] 考查分段函数. 由已知得f(-2)=1+log24=3，又log2121，所以 f(log212)=2log212-1=2log26=6，故f(-2)+f(log212)=9，故选C. 2.(2019哈三中二模)幂函数f(x)的图象经过点(-2，-)，则满足f(x)=27的x的值是() A. B. C. D. [答案] B [解析] 设f(x)=x，则-=(-2)，=-3， f(x)=x-3，由f(x)=27得，x-3=27，x=. 3.(文)已知命题p1：函数y=2x-2-x在R上为增函数，p2：函数y=2x+2-x在R上为减函数.则在命题q1：p1p2，q2：p1p2，q3：(p1)p2和q4：p1(p2)中，真命题是() A.q1，q3 B.q2，q3 C.q1，q4 D.q2，q4 [答案] C [解析] y=2x在R上是增函数，y=2-x在R上是减函数， y=2x-2-x在R上是增函数，所以p1：函数y=2x-2-x在R上为增函数为真命题，p2：函数y=2x+2-x在R上为减函数为假命题，故q1：p1p2为真命题，q2：p1p2是假命题，q3：(p1)p2为假命题，q4：p1(p2)是真命题.故真命题是q1、q4，故选C. [点拨] 1.由指数函数的性质首先判断命题p1、p2的真假是解题关键，再由真值表可判定命题q1、q2、q3、q4的真假. 2.考查指、对函数的单调性是这一部分高考命题的主要考查方式之一.常常是判断单调性;已知单调性讨论参数值或取 值范围;依据单调性比较数的大小等. (理)已知实数a、b，则2a2b是log2alog2b的() 第二章：基本初等函数 第I 卷（选择题) 一、选择题５分一个 1.已知ｆ（ｘ）=a ｘ５ +bx 3+ｃx ＋１（a≠０),若f=ｍ，则f(﹣2０14）=( ) A ．﹣m ? B ．m ? Ｃ．０ D ．2﹣m 2.已知函数f （x ）＝lo ｇａ(6﹣ａx)在[0,2］上为减函数,则a 的取值范围是( ） A ．（０，１) B ．（1,3）?C ．（１,3]?D.［3，+∞） 3．已知有三个数ａ=( ）﹣ 2，b ＝4 ０．3 ,c ＝80.２ 5,则它们之间的大小关系是( ) A ．a 一、简答题 1、设． （1）判断函数的奇偶性； （2）求函数的定义域和值域． 2、设函数 （Ⅰ）讨论的单调性； （Ⅱ）求在区间的最大值和最小值． 3、已知函数f(x)＝x2＋2ax＋1(a∈R)，f′(x)是f(x)的导函数． (1)若x∈[－2，－1]，不等式f(x)≤f′(x)恒成立，求a的取值范围； (2)解关于x的方程f(x)＝|f′(x)|； (3)设函数g(x)＝，求g(x)在x∈[2,4]时的最小值． 4、经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内(以30天计)，旅游人数f(t)(万人)与时间t(天)的函数关系近似满足f(t)＝4＋，人均消费g(t)(元)与时间t(天)的函数关系近似满足g(t)＝115－|t－15|. (1)求该城市的旅游日收益w(t)(万元)与时间t(1≤t≤30，t∈N*)的函数关系式； (2)求该城市旅游日收益的最小值(万元)． 5、某商场对A品牌的商品进行了市场调查，预计2012年从1月起前x个月顾客对A品牌的商品的需求总量P(x)件与月份x的近似关系是： P(x)＝x(x＋1)(41－2x)(x≤12且x∈N*) (1)写出第x月的需求量f(x)的表达式； (2)若第x月的销售量g(x)＝ (单位：件)，每件利润q(x)元与月份x的近似关系为：q(x)＝，问：该商场销售A品牌商品，预计第几月的月利润达到最大值？月利润最大值是多少？(e6≈403) 6、已知函数f(x)＝x2－(1＋2a)x＋a ln x(a为常数)． (1)当a＝－1时，求曲线y＝f(x)在x＝1处切线的方程； (2)当a＞0时，讨论函数y＝f(x)在区间(0,1)上的单调性，并写出相应的单调区间． 7、某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得10万元到1 000万元的投资收益．现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：资金y(单位：万元)随投资收益x(单位：万元)的增加而增加，且奖金不超过9万元，同时奖金不超过投资收益的20%. (1)若建立函数y＝f(x)模型制定奖励方案，试用数学语言表述该公司对奖励函数f(x)模型的基本要求，并分析函数y＝＋2是否符合公司要求的奖励函数模型，并说明原因； (2)若该公司采用模型函数y＝作为奖励函数模型，试确定最小的正整数a的值． 8、已知函数图象上一点P(2,f(2))处的切线方程为. (Ⅰ)求的值; (Ⅱ)若方程在内有两个不等实根,求的取值范围(其中为自然对数的底,); (Ⅲ)令,如果图象与轴交于,AB中点为,求 证:. 9、已知命题p：函数y＝log a(1－2x)在定义域上单调递增；命题q：不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0对任意实数x 恒成立．若p∨q是真命题，求实数a的取值范围． 专题5 基本初等函数与函数应用 编写：邵永芝 一、知识梳理 1、如果一个实数x 满足 ，那么称x 为a 的n 次实数方根。 2、（1）n N +∈ 时，n = ，（2）n = ；当n 为正偶 = 。 3、分数指数幂的定义：(1)规定正数的正分数指数幂的意义是：m n a = （0,1a m n N n +>∈>、，且）；(2)规定正数的负分数指数幂的意义是：m n a -= （0,1a m n N n +>∈>、，且） 4、有理数指数幂的运算性质：（1）r s a a = （2）()r s a = （3）()r ab = 5、指数函数的概念：一般地， 叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为 ，值域为 。 6、对数的概念：如果a (0,1)a a >≠的b 次幂等于N ，即 ，那么就称b 是以a 为底N 的对数，记作 ，其中a 叫做 ，N 叫做 。 7、对数与指数的关系：若0,1a a >≠，则x a =N ?log a N = 。 对数恒等式：log a N a = ；log N a a = 。 (0,1)a a >≠ 8、对数的运算性质：如果a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0，那么； （1）log a (M ·N )＝ （2）log a M N ＝ （3）log a M n ＝ 9、换底公式：log a N ＝log log b b N a (a ＞0，a ≠1，b ＞0，b ≠1，N ＞0)． 10、．对数函数的定义：一般地，我们把 叫做对数函数，自变量是x ；函数的定义域是(0，＋∞)．值域：R ． 11、幂函数的定义：一般地，我们把形如 的函数称为幂函数，其中底数x 是变量，指数α是常数． 12、幂函数的性质(仅限于在第一象限内的图象)： （1）定点：α＞0时，图象过(0，0)和(1，1)两个定点；α≤0时，图象过只过定点(1，1)． （2）单调性：α＞0时，在区间[0，＋∞)上是单调递增；α＜0时，在区间(0，＋∞)上是单调递减． [答案] 1 2 [解析] 考查函数的奇偶性． ∵f (x )为奇函数，∴f (－1)＝－f (1)，即1 2－1－1＋a ＝－1 2－1－a ，∴a ＝1 2. （四）典型例题 1.命题方向：奇偶性的判定 [例1] 判断下列函数的奇偶性 (1)f (x )＝(x －1) 1＋x 1－x ； (2)f (x )＝lg (1－x 2) |x －2|－2 ； (3)f (x )＝? ?? ?? x 2＋x x <0 x 2－x x >0； (4)f (x )＝3－x 2＋x 2－3； (5)f (x )＝x 2－|x －a |＋2. [解析] (1)由1＋x 1－x ≥0，得定义域为[－1,1)，关于原点不对称，故f (x )为非奇非偶函数． (2)由????? 1－x 2>0|x －2|－2≠0 得定义域为(－1,0)∪(0,1)，这时f (x )＝lg (1－x 2)－(x －2)－2＝－lg (1－x 2)x ， ∵f (－x )＝－ lg[1－－x 2] －x ＝lg 1－x 2x ＝－f (x )．∴f (x )为奇函数． (3)当x <0时，－x >0，则f (－x )＝(－x )2－(－x )＝x 2＋x ＝f (x ) 当x >0时，－x <0则f (－x )＝(－x )2＋(－x )＝x 2－x ＝f (x ) ∴对任意x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)都有f (－x )＝f (x )，故f (x )为偶函数． 另解：1°画函数f (x )＝? ?? ?? x 2＋x x <0 x 2－x x >0的图像．图像关于y 轴对称，故f (x )为偶函数． 2°f (x )还可写成f (x )＝x 2－|x |，故为偶函数． 专题三 基本初等函数 考点07：指数与指数函数（1—3题，8—10题，13,14题，17-19题） 考点08：对数与对数函数（4—7题，8—10题，15题，17题，20-22题） 考点09：二次函数与幂函数（11,12题，16题） 考试时间：120分钟 满分：150分 说明：请将选择题正确答案填写在答题卡上，主观题写在答题纸上 第I 卷（选择题） 一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。） 1． 考点07 易 下列各式中成立的一项是( ) A. 7 1 77n n m m ??= ??? B. = ()34 x y =+ =2. 考点07 中难 函数1 1x y a -=+，（0a >且1a ≠）的图像必经过一个定点，则这个定点的坐标是（ ） A. ()0,1 B.()1,2 C.()2,3 D.()3,4 3． 考点07 难 函数2 212x x y -??= ??? 的值域为( ) A. 1,2 ??+∞???? B. 1,2 ??-∞ ?? ? C. 10,2 ?? ?? ? D. [)0,2 4． 考点08 易 已知函数|lg |,010,()16,10.2 x x f x x x <≤?? =?-+>??若,,a b c 互不相等，且()()(),f a f b f c ==则abc 的 取值范围是( ) A. (1,10) B. (5,6) C. (10,12) D. (20,24) 5．考点08 易 已知2log 0.3a =,0.12b =, 1.30.2c =,则,,a b c 的大小关系是( ) A. a b c << B.c a b << C. a c b << D. b c a << 6． 考点08中难 函数y = ） A ．(0,8] B ．(2,8]- C ．(2,8] D ．[8,)+∞ 7． 考点08中难 函数212 log (617)y x x =-+的值域是( ) A. R B. [8,)+∞ C. (,3)-∞- D. [)3,+∞ 8．考点07，考点08 易 函数()log (1)x a f x a x =++ (0a >且1a ≠)在[]0,1上的最大值与最小值之和为a ,则a 的值为( ) A. 12 B. 14 基本初等函数、函数与方程专题 1．函数f (x )＝ln(x 2＋1)的图象大致是( ) 解析：选A 函数f (x )的定义域为R ，由f (－x )＝ln [(－x )2＋1]＝ln(x 2＋1)＝f (x )知函数f (x )是偶函数，则其图象关于y 轴对称，排除C ；又由f (0)＝ln 1＝0，可排除B ，D ．故选A ． 2． 若0＜a ＜b ＜1，m ＝a b ，n ＝b a ，p ＝log b a ，则m ，n ，p 这三个数的大小关系正确的是( ) A ．n ＜m ＜p __ B ．m ＜n ＜p C ．p ＜m ＜n D ．p ＜n ＜m 解析：选B 由0log b b ＝1，而0 第二章:基本初等函数 第I 卷（选择题） 一、选择题5分一个 1.已知f （ｘ）=ax 5+ｂx 3+ｃx+1(a≠0）,若f=m ，则f(﹣201４)=( ) A.﹣m B.m ? C.０ D ．2﹣m 2.已知函数f （x ）=ｌog a （6﹣ａx ）在［０，2]上为减函数,则a 的取值范围是( ) A ．(0，1)?B.(1，3)?C ．(1,3]?D ．[3,+∞) 3．已知有三个数a=（ )﹣ 2，b ＝４ ０．3 ,ｃ=80.25，则它们之间的大小关系是( ) A.a ＜c ＜b ? B.a ＜b ＜c ?C ．b0,a≠1,ｆ(x)=x ２ ﹣a x ．当x ∈(﹣１，1）时,均有f(x ）＜,则实数a 的取值范围是（ ) A ．(０,]∪[2,+∞) B.[，1）∪（1，2]?C.(0,]∪[4,+∞） D ．[,1)∪(1,4］ 5.若函数y=x ２ ﹣3x ﹣４的定义域为[0,m],值域为[﹣,﹣４］，则m 的取值范围是（ ） Ａ．（0,4]?B. ?Ｃ． ?D. 6.下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是( ) A.y ＝ （x ∈Ｒ且x≠0) B.y=（）x （ｘ∈Ｒ) C.y=ｘ(ｘ∈Ｒ）?Ｄ．y=ｘ３（x ∈Ｒ） 7.函数ｆ(x ）＝2ｘ﹣1＋l ｏg 2x 的零点所在的一个区间是( ) A ．（ 81,41）?B ．（41,21) Ｃ．(2 1 ，1)?D.（１,2) 8.若函数ｙ=ｘ２ ﹣３x ﹣4的定义域为[0，m],值域为,则m 的取值范围是( ） Ａ．(0,4]?B ． C. ?D ． ９.集合Ｍ＝{ｘ|﹣２≤ｘ≤２},N={y ｜０≤y≤2｝，给出下列四个图形,其中能表示以M 为定义域,N 为值域的函数关系的是( ） A ．?Ｂ． C. D. 10．已知函数f(x)对任意的x １，x 2∈（﹣１，０)都有0 ) ()(2 121<--x x x f x f ,且函数y=f(x ﹣１）是偶函数. 则下列结论正确的是（ ) 高考数学基本初等函数一专题卷（附答案） 一、单选题（共10题；共20分） 1.若函数在区间上存在零点，则常数a的取值范围为（） A. B. C. D. 2.已知函数为函数的反函数，且函数的图像经过点，则函数的图像一定经过点（） A. B. C. D. 3.若，，，，则（） A. B. C. D. 4.设函数，则函数的零点的个数为( ) A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 5.设集合,则（） A. B. C. D. 6.已知函数，若，，则的取值范围是（） A. B. C. D. 7.已知函数（），若函数有三个零点，则实数的取值范围是（） A. B. C. D. 8.已知函数，则函数的零点所在区间为（） A. B. C. D. 9.已知函数，若函数有四个零点，则的取值范围是（） A. B. C. D. 10.已知函数，若函数有且只有3个零点，则实数k的取值范围是（） A. B. C. D. 二、填空题（共6题；共7分） 11.函数的反函数________. 12.已知集合，任取，则幂函数为偶函数的概率为 ________（结果用数值表示） 13.定义，已知函数，, ，则的取值范围是________，若有四个不同的实根，则的取值范围是________． 14.设函数y＝f（x）的定义域为D，若对任意的x1∈D，总存在x2∈D，使得f（x1）?f（x2）＝1，则称函数f（x）具有性质M.下列结论：①函数y＝x3﹣x具有性质M；②函数y＝3x+5x具有性质M；③若函数y＝log8（x+2），x∈[0，t]时具有性质M，则t＝510；④若y具有性质M，则a ＝5.其中正确结论的序号是________. 15.已知函数，且在定义域内恒成立，则实数的取值范围为________． 16.设是定义在上的两个周期函数，的周期为4，的周期为2，且是奇函数. 当时，，，其中.若在区间上，关 于的方程有8个不同的实数根，则的取值范围是________. 三、解答题（共5题；共45分） 17.某工厂预购买软件服务，有如下两种方案： 方案一：软件服务公司每日收取工厂元，对于提供的软件服务每次元； 方案二：软件服务公司每日收取工厂元，若每日软件服务不超过次，不另外收费，若超过次，超过部分的软件服务每次收费标准为元． （1）设日收费为元，每天软件服务的次数为，试写出两种方案中与的函数关系式； （2）该工厂对过去天的软件服务的次数进行了统计，得到如图所示的条形图，依据该统计数据，把频率视为概率，从节约成本的角度考虑，从两个方案中选择一个，哪个方案更合适？请说明理由． 18.2021年我省将实施新高考，新高考“依据统一高考成绩、高中学业水平考试成绩，参考高中学生综合素质评价信息”进行人才选拔。我校2018级高一年级一个学习兴趣小组进行社会实践活动，决定对某商场销售的商品A进行市场销售量调研，通过对该商品一个阶段的调研得知，发现该商品每日的销售量（单位：百件）与销售价格（元/件）近似满足关系式，其中为常数 已知销售价格为3元/件时，每日可售出该商品10百件。 （1）求函数的解析式； 讲义三 基本初等函数 知识点1、指数函数及其性质 1．指数函数的概念 函数□09y ＝a x (a >0且a ≠1)叫做指数函数，其中指数x 是自变量，函数的定义域是R ，a 是底数． 说明：形如y ＝kax ，y ＝ax ＋k(k ∈R 且k≠0，a>0且a≠1)的函数叫做指数型函数． 2．指数函数的图象和性质 1．(n a )n ＝a (n ∈N *且n >1)． 2.n a n ＝????? a ，n 为奇数且n >1，|a |＝??? a ，a ≥0，－a ，a ＜0， n 为偶数且n >1. 3．底数对函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的函数值的影响如图(a 1>a 2>a 3>a 4)，不论是a >1，还是00，且a ≠1时，函数y ＝a x 与函数y ＝? ???? 1a x 的图象关于y 轴对称． 考点一 指数函数的图象及应用 例1 (1)(2019·山西模拟)函数f (x )＝a x －b 的图象如图所示，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是( ) A ．a >1，b <0 B ．a >1，b >0 C ．00 D ．00且a ≠1)的图象有两个公共点，则a 的取值范围是________． 变式训练1.函数f (x )＝1－e |x |的图象大致是( ) 5．若曲线|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 的取值范围是________． 考点二 指数函数的性质及其应用 角度1 比较指数幂的大小 例2 (1)(2019·南昌模拟)下列不等关系正确的是( ) A ．3 －2 3 <3－4<32 B ．32y >1，则下列各式中正确的是( ) A ．x a 2019年高考数学真题分类汇编专题07：基本初等函数（基础题） 一、单选题（共19题；共38分） 1.（2019?天津）已知，设函数若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为（） A. B. C. D. 2.（2019?卷Ⅱ）若a>b，则（） A. ln(a?b)>0 B. 3a<3b C. a3?b3>0 D. │a│>│b│ 3.（2019?浙江）设a，b∈R，函数f（x）= ，若函数y=f（x）-ax-b恰有3个零点，则（） A. a＜-1，b＜0 B. a＜-1，b>0 C. a＞-1，b＞0 D. a>-1，b>0 4.（2019?浙江）在同一直角坐标系中，函数y= ，y=log a(x+ ），（a>0且a≠0）的图像可能是（） A. B. C. D. 5.（2019?天津）已知函数若关于的方程恰有两个互异的实数解，则的取值范围为（） A. B. C. D. 6.（2019?全国Ⅲ）函数在[0，2π]的零点个数为（） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 7.（2019?全国Ⅲ）函数，在[-6,6]的图像大致为（）数学高考复习基本初等函数专题强化练习(附答案)
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