二次函数专题
Document serial number【NL89WT-NY98YT-NC8CB-NNUUT-NUT108】
专题训练(三) 与函数有关的最值问题
类型之一 由不等关系确定的最值问题
1.某工厂以每吨3000元的价格购进50吨原料进行加工,两种加工方式如下表:
行)
(1)设其中粗加工x 吨,共获利y 元,求y 与x 的函数关系式;(不要求写出自变量的取值范围)
(2)如果必须在20天内加工完,如何安排生产才能获得最大利润最大利润是多少
类型之二 由一次函数确定的最值问题
2.某工厂计划为地震灾区生产A ,B 两种型号的学生桌椅500套,以解决1250名学生的学习问题,一套A 型桌椅(一桌两椅)需木料0.5 m 3,一套B 型桌椅(一桌三椅)需木料0.7 m 3,工厂现有库存木料302 m 3.
(1)有多少种生产方案?
(2)现要把生产的全部桌椅运往地震灾区,已知每套A 型桌
椅的生产成本为100元,运费为2元;每套B 型桌椅的生产成本为120元,运费为4元,求总费用y (元)与生产A 型桌椅x (套)之间的关系式,并确定总费用最少的方案和最少的总费用.(总费用=生产成本+运费)
类型之三 由二次函数确定的最值问题
3.一个边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE (如图Z -3-1),其中AF =2,BF =1.试在AB 上求一点P ,使矩形PNDM 有最大面积.
图Z -3-1
4.[2015·青岛]如图Z -3-2,隧道的截面由抛物线和长方形构成,长方形的长是12 m ,宽是4 m .按照图中所示的直角
坐标系,抛物线可以用y =-x 2
+bx +c 表示,且抛物线的点C 到墙面OB 的水平距离为3 m 时,到地面OA 的距离为m .
(1)求该抛物线的函数关系式,并计算出拱顶D 到地面OA 的距离;
(2)一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6 m ,宽为4 m ,如果隧道内设双向行车道,那么这辆货车能否安全通过?
(3)在抛物线型拱壁上需要安装两排灯,使它们离地面的高度相等,如果灯离地面的高度不超过8 m ,那么两排灯的水平距离最小是多少米?
图Z -3-2
类型之四用换元法求最值
5.求函数y=x-的最值.
类型之五用数形结合法求最值
6.函数y=+的最小值是________.
类型之六自变量x在某一范围内的最值
7.求二次函数y=-4x2+8x-3在-2≤x≤2上的最大值和最小值.
8.阅读下面的材料:
小明在学习中遇到这样一个问题:若1≤x≤m,求二次函数y=x2-6x+7的最大值.他画图研究后发现,x=1和x=5时的函数值相等,于是他认为需要对m进行分类讨论.
他的解答过程如下:
∵二次函数y=x2-6x+7的图象的对称轴为直线x=3,∴由对称性可知,当x=1和x=5时的函数值相等.
∴若1≤m<5,则当x=1时,y的最大值为2;若m≥5,则当x=m时,y的最大值为m2-6m+7.
请你参考小明的思路,解答下列问题:
(1)当-2≤x≤4时,二次函数y=2x2+4x+1的最大值为________;
(2)若p≤x≤2,求二次函数y=2x2+4x+1的最大值;
(3)若t≤x≤t+2时,二次函数y=2x2+4x+1的最大值为31,则t的值为________.
图Z-3-3
专题训练(五) 巧用抛物线的对称性妙解题类型之一利用对称性比较函数值的大小
1.点A(-2,y1),B(3,y2)是二次函数y=2(x-1)2-1的图象上的两点,则y1与y2的大小关系是( )
A.y1<y2B.y1=y2
C.y1>y2D.不能确定
2.已知二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象过点A(1,n),B(3,n),若点M(-2,y
1
),N(-1,y2),K(8,y3)也在二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象上,则下列结论正确的是( ) A.y1<y2<y3B.y2<y1<y3
C.y3<y1<y2D.y1<y3<y2
类型之二利用对称性求交点坐标
3.如图5-ZT-1,已知抛物线y=x2+bx+c的对称轴为直线x=2,点A,B均在抛物线上,且AB与x轴平行,其中点A 的坐标为(0,3),则点B的坐标为( )
图5-ZT-1
A.(2,3)B.(3,2)
C.(3,3)D.(4,3)
4.如图5-ZT-2,抛物线y=ax2+bx+c(a>0)的对称轴是直线x=1,且经过点P(3,0),则a-b+c的值为( )
图5-ZT-2
A.0B.-1
C.1D.2
5.抛物线y=ax2+bx+c经过点A(-2,7),B(6,7),C(3,-8),求该抛物线上纵坐标为-8的另一点的坐标.
类型之三利用对称性求长度
6.如图5-ZT-3是一个抛物线形拱桥的示意图,桥的跨度AB为100 m,支撑桥的是一些等距的立柱,相邻立柱间的水平距离为10 m(不考虑立柱的粗细),其中距点A10 m处的立柱FE的高度为3.6 m.
(1)求正中间的立柱OC的高度;
(2)是否存在一根立柱,其高度恰好是OC高度的一半?请说明理由.
图5-ZT-3
类型之四巧用对称性求二次函数的表达式
7.已知二次函数的函数y有最大值4,且图象与x轴两交点间的距离是8,对称轴为直线x=-3,此二次函数的表达式为________________.
8.已知二次函数的图象与x轴的两个交点A,B关于直线x =-1对称,且AB=6,顶点在函数y=2x的图象上,则这个二次函数的表达式为____________________.
9.二次函数的图象经过点A(0,0),B(12,0),且顶点P 到x轴的距离为3,求该二次函数的表达式.
类型之五利用对称性求面积
10.二次函数y=-x2+2(m-1)x+2m-m2的图象关于y轴对称,顶点A和它的x轴的两个交点B,C所构成的△ABC的面积为( )A.1B.2 C.D.
11.已知二次函数y=2x2+m(m为常数).
(1)若点(2,y1)与(3,y2)在此二次函数的图象上,则y
1
________y2(填“>”“=”“<”);
(2)如图5-ZT-4,此二次函数y=2x2+m的图象经过点(0,-4),正方形ABCD的顶点A,B在抛物线上,顶点C,D在x轴上,求图中阴影部分的面积之和.
图5-ZT-4
类型六利用对称性求不等式的解集或字母的取值范围12.如图5-ZT-5是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分,其对称轴为直线x=1,若其与x轴一交点为A(3,0),则由图象可知,不等式ax2+bx+c<0的解集是______________.
图5-ZT-5
13.二次函数y=ax2+bx+c的图象上部分点的对应值如下
类型之七利用对称性解决线段和最短问题
14.如图5-ZT-6,在平面直角坐标系中,点A在第二象限,以A为顶点的抛物线经过原点,与x轴负半轴交于点B,对称轴为直线x=-2,点C在抛物线上,且位于点A,B之间(C不与A,B重合).若△ABC的周长为a,则四边形AOBC的周长为________(用含a的式子表示).
图5-ZT-6
15.[2015·酒泉]如图5-ZT-7,在直角坐标系中,抛物线经过点A(0,4),B(1,0),C(5,0),其对称轴与x轴相交于点M.
(1)求抛物线的表达式和对称轴.
(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P,使△PAB的周长最小?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
(3)连接AC,在直线AC下方的抛物线上,是否存在一点N,使△NAC的面积最大?若存在,请求出点N的坐标;若不存在,请说明理由.
图5-ZT-7
专题训练(四) 二次函数图象信息专题
类型之一 根据抛物线的特征确定a ,b ,c 及与其有关的代数式的符号
1.已知b <0,二次函数y =ax 2+bx +a 2-1的图象为下列四个图象之一.试根据图象分析,a 的值应等于( )
图4-ZT -1
A .-2
B .-1
C .1
D .2
2.二次函数y =ax 2+bx +c 的图象如图4-ZT -2所示,则abc ,b 2-4ac ,2a +b ,a +b +c 这四个式子中,值为正数的有( )
图4-ZT -2
A .4个
B .3个
C .2个
D .1个
3.[2016·广安]已知二次函数y =ax 2+bx +c(a ≠0)的图象
如图4-ZT -3所示,并且关于x 的一元二次方程ax 2
+bx +c -m =0有两个不相等的实数根.下列结论:①b 2-4ac <0;②abc >0;③a -b +c <0;④m >-2.其中,正确的个数为( )
图4-ZT -3
A .1
B .2
C .3
D .4
类型之二 利用二次函数的图象比较大小
4.[2016·兰州]点P 1(-1,y 1),P 2(3,y 2),P 3(5,y 3)均在
二次函数y =-x 2
+2x +c 的图象上,则y 1,y 2,y 3的大小关系是( )
A .y 3>y 2>y 1
B .y 3>y 1=y 2
C .y 1>y 2>y 3
D .y 1=y 2>y 3
类型之三 利用二次函数的图象求方程或不等式的解
5.如图4-ZT -4,以(1,-4)为顶点的二次函数y =ax 2+
bx +c 的图象与x 轴负半轴交于点A ,则一元二次方程ax 2
+bx +c =0的正数解的范围是( )
图4-ZT -4
A .2<x <3
B .3<x <4
C .4<x <5
D .5<x <6
6.如图4-ZT -5,抛物线y =x 2+1与双曲线y =的交点A 的横坐标是1,则关于x 的不等式x 2+1<的解集是( )
图4-ZT -5
A .x >1
B .x <0
C .0<x <1
D .-1<x <0
7.已知二次函数y =ax 2+bx +c(a ≠0)的图象如图4-Z -6所示,则方程ax 2+bx +c =0的两个根是______________.
图4-ZT -6
8.如图4-ZT -7是二次函数y =ax 2+bx +c 的部分图象,由图象可知不等式ax 2+bx +c<0的解集是______________.
图4-ZT -7
类型之四根据抛物线的特征确定一次函数或反比例函数的图象
9.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图4-ZT-8所示,则一次函数y=ax+b与反比例函数y=在同一平面直角坐标系中的大致图象为( )
图4-ZT-8
图4-ZT-9
10.二次函数y=-x2+bx+c的图象如图4-Z-10所示,则一次函数y=bx+c的图象不经过第________象限.
图4-ZT-10
类型之五有关二次函数的综合题
11.如图4-ZT-11,平行于x轴的直线AC分别交函数y1=x2(x≥0)与y
2
=(x≥0)的图象于B,C两点,过点C作y轴的
平行线交y
1的图象于点D,过点D作直线DE∥AC,交y
2
的图象
于点E,则=________.
图4-ZT-11
12.如图4-ZT-12,A(-1,0),B(2,-3)两点在一次函
数y
1=-x+m与二次函数y
2
=ax2+bx-3的图象上.
(1)求m的值和二次函数的表达式;
(2)设二次函数的图象交y轴于点C,求△ABC的面积.
图4-ZT-12
13.已知抛物线y=x2-(k+2)x+和直线y=(k+1)x+(k
+1)2.
(1)求证:无论k取何实数值,抛物线与x轴都有两个不同的交点;
(2)抛物线与x轴交于点A,B,直线与x轴交于点C,设
A,B,C三点的横坐标分别是x
1,x
2
,x
3
,求x
1
·x
2
·x
3
的最大
值;
(3)如图4-ZT-13所示,如果抛物线与x轴交于点A,B,点A,B在原点的右边,直线与x轴交于点C,点C在原点的左边,又抛物线、直线分别交y轴于点D,E,直线AD交直线CE 于点G,且CA·GE=CG·AB,求抛物线的函数表达式.
图4-ZT-13
二次函数专项复习经典试题集锦(含答案) 一、选择题: 1. 抛物线3)2(2+-=x y 的对称轴是( ) A. 直线3-=x B. 直线3=x C. 直线2-=x D. 直线2=x 2. 二次函数c bx ax y ++=2的图象如右图,则点 ),(a c b M 在( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知二次函数c bx ax y ++=2,且0+-c b a ,则一定有( ) A. 042>-ac b B. 042=-ac b C. 042<-ac b D. ac b 42-≤0 4. 把抛物线c bx x y ++=2向右平移3个单位,再向下平移2个单位,所得图象的解析式 是532+-=x x y ,则有( ) A. 3=b ,7=c B. 9-=b ,15-=c C. 3=b ,3=c D. 9-=b ,21=c 5. 下面所示各图是在同一直角坐标系,二次函数c x c a ax y +++=)(2与一次函数 c ax y +=的大致图象,有且只有一个是正确的,正确的是( ) B D 6. 抛物线322+-=x x y 的对称轴是直线( ) A. 2-=x B. 2=x C. 1-=x D. 1=x
7. 二次函数2)1(2+-=x y 的最小值是( ) A. 2- B. 2 C. 1- D. 1 8. 二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示,若 c b a M ++=24c b a N +-=,b a P -=4,则( ) A. 0>M ,0>N ,0>P B. 0 x 时,求使y ≥2的x 的取值围. 一、二次函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.(10分)(2015?佛山)如图,一小球从斜坡O点处抛出,球的抛出路线可以用二次函数y=﹣x2+4x刻画,斜坡可以用一次函数y=x刻画. (1)请用配方法求二次函数图象的最高点P的坐标; (2)小球的落点是A,求点A的坐标; (3)连接抛物线的最高点P与点O、A得△POA,求△POA的面积; (4)在OA上方的抛物线上存在一点M(M与P不重合),△MOA的面积等于△POA的面积.请直接写出点M的坐标. 【答案】(1)(2,4);(2)(,);(3);(4)(,). 【解析】 试题分析:(1)利用配方法抛物线的一般式化为顶点式,即可求出二次函数图象的最高点P的坐标; (2)联立两解析式,可求出交点A的坐标; (3)作PQ⊥x轴于点Q,AB⊥x轴于点B.根据S△POA=S△POQ+S△梯形PQBA﹣S△BOA,代入数值计算即可求解; (4)过P作OA的平行线,交抛物线于点M,连结OM、AM,由于两平行线之间的距离相等,根据同底等高的两个三角形面积相等,可得△MOA的面积等于△POA的面积.设直 线PM的解析式为y=x+b,将P(2,4)代入,求出直线PM的解析式为y=x+3.再与抛 物线的解析式联立,得到方程组,解方程组即可求出点M的坐标. 试题解析:(1)由题意得,y=﹣x2+4x=﹣(x﹣2)2+4, 故二次函数图象的最高点P的坐标为(2,4); (2)联立两解析式可得:,解得:,或. 故可得点A的坐标为(,); (3)如图,作PQ⊥x轴于点Q,AB⊥x轴于点B. S△POA=S△POQ+S△梯形PQBA﹣S△BOA =×2×4+×(+4)×(﹣2)﹣×× =4+﹣ =; (4)过P作OA的平行线,交抛物线于点M,连结OM、AM,则△MOA的面积等于△POA的面积. 设直线PM的解析式为y=x+b, ∵P的坐标为(2,4), ∴4=×2+b,解得b=3, ∴直线PM的解析式为y=x+3. 由,解得,, ∴点M的坐标为(,). 考点:二次函数的综合题 二次函数的定义专项练习30题(有答案) 1.下列函数中,是二次函数的有() 2y=③y=x(1﹣x)④y=﹣x(②1﹣2x)(1+2x)①y=1 A.1个B.2 个C.3个D.4 个 2.下列结论正确的是() 2.A是二次函数y=ax B.二次函数自变量的取值范围是所有实数C.二次方程是二次函数的特例 D.二次函数自变量的取值范围是非零实数 3.下列具有二次函数关系的是() A.正方形的周长y与边长x B.速度一定时,路程s与时间t C.三角形的高一定时,面积y与底边长x D.正方形的面积y与边长x )是二次函数,则m等于()4.若y=(2﹣m ±2 B.2 C.﹣2 D.不A.能确定 2)是二次函数,则m的值是((m+m)5.若y= B.m =2 C.m=﹣A.1或m=3 D.m =3 ±2m=1 222中,二次函数的个数为(x),y=(x﹣1)6.,下列函数y=3x﹣x,,y=x(﹣2)5个4个D..A.2个B.3个 C )7.下列结论正确的是( 二次函数中两个变量的值是非零实数A. xB.二次函数中变量的值是所有实数 2. C +bx+cy=ax的函数叫二次函数形如2 D .c的值均不能为零二次函数y=axa+bx+c中,b, )8.下列说法中一定正确的是( 2.A c为常数)一定是二次函数,函数y=ax(其中+bx+ca,b B.圆的面积是关于圆的半径的二次函数路程一定时,速度是关于时间的二次函数. C 圆的周长是关于圆的半径的二次函数.D 2)是二次函数的条件是(m﹣n)x+mx+n.函数9y=(n ≠n是常数,且m≠0 B.m、A.m、n是常数,且m 可以为任何常数m、nn≠0 D.C.m、n是常数,且 ).下列两个量之间的关系不属于二次函数的是(10 .速度一定时,汽车行使的路程与时间的关系 A .质量一定时,物体具有的动能和速度的关系 B .质量一定时,运动的物体所受到的阻力与运动速度的关系 C .从高空自由降落的物体,下降的高度与下降的时间的关系D )11.下列函数中,y是x二次函数的是(22 DC..A.y=x﹣1 B.1 y﹣=x+2x =xy210 y=x+﹣ 个函数:12.下面给出了6 222 y=y=;﹣②y=xy=x﹣3x;③;y=④(x⑥+x+1);⑤①y=3x.﹣1;)其中是二次函数的有(个D.4 C2A.1个B.个.3个 2)之间的关系是(t(g为常量),h13.自由落体公式与h=gt 以上答案都不对D.一次函数C.二次函数A.正比例函数 B. 的值一定是_________+kx+1是二次函数,那么k.﹣14.如果函数y=(k3 ) 1.如图,抛物线y=x 2+bx+c 与直线y=x ﹣3交于A 、B 两点,其中点A 在y 轴上,点B 坐标为(﹣4,﹣5),点P 为y 轴左侧的抛物线上一动点,过点P 作PC ⊥x 轴于点C ,交AB 于点D .(1)求抛物线的解析式;(2)以O ,A ,P ,D 为顶点的平行四边形是否存在?如存在,求点P 的坐标;若不存在,说明理由.(3)当点P 运动到直线AB 下方某一处时,过点P 作PM ⊥AB ,垂足为M ,连接PA 使△PAM 为等腰直角三角形,请直接写出此时点P 的坐标. 2. 在直角坐标系xoy 中,(0,2)A 、(1,0)B -,将ABO ?经过旋转、平移变化后得到如图15.1所示的BCD ?. (1)求经过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式;(2)连结AC ,点P 是位于线段BC 上方的抛物线上一动点,若直线PC 将ABC ?的面积分成1:3两部分,求此时点P 的坐标;(3)现将ABO ?、BCD ?分别向下、向左以1:2的速度同时平移,求出在此运动过程中ABO ?与BCD ?重叠部分面积的最大值. 3. 如图,已知抛物线y =ax 2+bx +c (a ≠0)的对称轴为直线x =-1,且经过A (1,0),C (0,3)两点,与x 图15.1 C D O B A x y 轴的另一个交点为B .⑴若直线y =mx +n 经过B ,C 两点,求直线BC 和抛物线的解析式;⑵在抛物线的对称轴x =-1上找一点M ,使点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小,求点M 的坐标;⑶设点P 为抛物线的对称轴x =-1上的一个动点,求使△BPC 为直角三角形的点P 的坐标. 4. 如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线8y 2-+=bx ax 与x 轴交于A ,B 两点,与y 轴交于点C ,直线l 经 第25题图 二次函数综合应用专题归纳训练一 一、相似三角形的存在性问题 1.在平面直角坐标系中,一个二次函数的图像经过A(1,0)B(3,0)两点. (1)写出这个二次函数图像的对称轴; (2)设这个二次函数图像的顶点为D,与y轴交与点C,它的对称轴与x轴交与点E,连接AC、DE和DB.当△AOC与△DEB相似时,求这个二次函数的表达式. 二、等腰三角形的存在性问题 2.如图,直线3 y交x轴于A点,交y轴于B点,过A、B两点的抛物线交x =x 3+ 轴于另一点C(3,0). ⑴求抛物线的解析式 ⑵在抛物线的对称轴上是否存在点Q,使△ABQ 存在,求出符合条件的Q点坐标;若不存在,请说明理由. 3.已知抛物线y=ax2+bx+c经过A(-1,0)、B(3,0)、C(0,3)三点,直线l 是抛物线的对称轴. (1)求抛物线的函数关系式; (2)设点P是直线L上的一个动点,当△PAC的周长最 小时,求点P的坐标; (3)在直线L上是否存在点M,使△MAC为等腰三角 形?若存在,直接写出所有符合条件的点M的坐标; 若不存在,请说明理由. 三、平行四边形的存在性问题 4.(2014年山东泰安)二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点(﹣1,4),且与直线y=﹣x+1相交于A、B两点(如图),A点在y轴上,过点B作BC⊥x轴,垂足为点C(﹣3,0). (1)求二次函数的表达式; (2)点N是二次函数图象上一点(点N在AB上方),过N作NP⊥x轴,垂足为点P,交AB于点M,求MN的最大值; (3)在(2)的条件下,点N在何位置时,BM与NC相互垂直平分?并求出所有满足条件的N点的坐标. 分析:(1)首先求得A、B的坐标,然后利用待定系数法即可求得二次函数的解析式; (2)设M的横坐标是x,则根据M和N所在函数的解析式,即可利用x表示出M、N 的坐标,利用x表示出MN的长,利用二次函数的性质求解; (3)BM与NC互相垂直平分,即四边形BCMN是菱形,则BC=MC,据此即可列方程,求得x的值,从而得到N的坐标. 二次函数的定义专项练习 30 题(有答案) 1.下列函数中,是二次函数的有( ) ① y=1﹣ x 2② y= ③ y=x (1﹣x )④ y= ( 1﹣ 2x )( 1+2x ) A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 5.若 y=(m 2+m ) 是二次函数,则 m 的值是( ) A m=1 ±2 B m=2 C m= ﹣ 1 或 D m=3 . . . m=3 . 6.下列函数 ,y=3x 2, ,y=x (x ﹣2),y=(x ﹣ 1)2﹣ x 2 中,二次函数的个数 为 ( 7.下列结论正确的是( ) 二次函数中两个变量的值是非零实数 二次函数中变量 x 的值是所有实数 2 形如 y=ax +bx+c 的函数叫二次函数 2 二次函数 y=ax +bx+c 中 a ,b ,c 的值均不能为零 8.下列说法中一定正确的是( ) A . y=ax 2 是二次函数 B . 二次函数自变量的取值范围是所有实数 C . 二次方程是二次函数的特例 D . 二次函数自变量的取值范围是非零实数 3.下列具有二次函数关系的是( ) A . 正方形的周长 y 与边长 x B . 速度一定时,路程 s 与时间 t C . 三角形的高一定时,面积 y 与底边长 x D . 正方形的面积 y 与边长 x 4.若 y= ( 2﹣ m ) 是二次函数,则 m 等于( ) 2.下列结论正确的是 ( ) D 不能确定 A C ﹣ 2 ±2 B 2 A . B . C . D . 2 A . 函数 y=ax 2+bx+c (其中 a ,b , c 为常数)一定是二次函数 B . 圆的面积是关于圆的半径的二次函数 C . 路程一定时,速度是关于时间的二次函数 D . 圆的周长是关于圆的半径的二次函数 2 9.函数 y=( m ﹣ n )x 2+mx+n 是二次函数的条件是( ) A . m 、n 是常数,且 m ≠0 B . m 、 n 是常数,且 m ≠n C . m 、n 是常数,且 n ≠0 D . m 、 n 可以为任何常数 10.下列两个量之间的关系不属于二次函数的是( ) A . 速度一定时,汽车行使的路程与时间的关系 B . 质量一定时,物体具有的动能和速度的关系 C . 质量一定时,运动的物体所受到的阻力与运动速度的关系 D . 从高空自由降落的物体,下降的高度与下降的时间的关系 11.下列函数中, y 是 x 二次函数的是( ) A y=x ﹣1 B y=x 2+ ﹣ 10 C 2 y=x +2x D 2 y =x ﹣ 1 . . . . 12.下面给出了 6 个函数: 其中是二次函数的有( ) A 1 个 B 2个 C 3 个 2 13.自由落体公式 h= gt 2(g 为常量),h 与 t 之间的关系是( ) A 正比例函数 B 一次函数 C 二次函数 D 以上答案都不对 14.如果函数 y= ( k ﹣ 3) +kx+1 是二次函数,那么 k 的值一定是 ___________ . 15.二次函数 y= ( x ﹣2) 2﹣ 3 中,二次项系数为 __________ ,一次项系数为 ___________ 为 _________ . 16.已知函数 y=(k+2) 是关于 x 的二次函数,则 k= __________ . 17.已知二次函数 的图象是开口向下的抛物线, m= ___________ . 22 18.当 m __________ 时,关于 x 的函数 y= (m 2﹣1)x 2+(m ﹣1) x+3 是二次函数. 2 2 2 19. y=(m 2﹣ 2m ﹣3)x 2+(m ﹣1)x+m 2是关于 x 的二次函数要满足的条件是 ___________ . ① y=3x 2﹣1;② y=﹣ x 2 ﹣3x ; ③ y= ; 2 ④ y=x (x +x+1 );⑤ y= ⑥ y= ,常数项 1.如图,抛物线 y=x2+bx+c 与直线 y=x﹣3 交于 A、B 两点,其中点 A 在 y 轴上,点 B 坐标为(﹣4,﹣5),点 P 为 y 轴左侧的抛物线上一动点,过点 P 作 PC⊥x 轴于点 C,交 AB 于点 D.(1)求抛物线的解析式;(2)以 O, A,P,D 为顶点的平行四边形是否存在?如存在,求点 P 的坐标;若不存在,说明理由.(3)当点 P 运动到 直线 AB 下方某一处时,过点 P 作 PM⊥AB,垂足为 M,连接 PA 使△PAM 为等腰直角三角形,请直接写出此 时点 P 的坐标. 若直线 PC 将 ABC 的面积分成1: 3 两部分,求此时点 P 的坐标;(3)现将 ABO 、BCD 分别向下、向左 以1: 2 的速度同时平移,求出在此运动过程中 ABO 与 BCD 重叠部分面积的最大值. 初中二次函数计算题专项训练及答案 :___________班级:________考号:_______ 1、如下图,已知二次函数图象的顶点坐标为C(1,0),直线与该二次函数的图象交于A、B两点,其中A点 的坐标为(3,4),B点在轴上. (1)求的值及这个二次函数的关系式; (2)P为线段AB上的一个动点(点P与A、B不重合),过P作轴的垂线与这个二次函数的图象交于点E点,设线段PE的长为,点P的横坐标为,求与之间的函数关系式,并写出自变量的取值围; (3)D为直线AB与这个二次函数图象对称轴的交点,在线段AB上是否存在一点P,使得四边形DCEP是平行四边形?若存在,请求出此时P点的坐标;若不存在,请说明理由. 2、如图,在平面直角坐标系中,坐标原点为O,A点坐标为(4,0),B点坐标为(-1,0),以AB的中点P为圆 心,AB为直径作⊙P与轴的正半轴交于点C。 (1)求经过A、B、C三点的抛物线对应的函数表达式。 (2)设M为(1)中抛物线的顶点,求直线MC对应的函数表达式。 (3)试说明直线MC与⊙P的位置关系,并证明你的结论。 3、已知;函数是关于的二次函数,求: (1)满足条件m的值。 (2)m为何值时,抛物线有最底点?求出这个最底点的坐标,这时为何值时y随的增大而增大? (3)m为何值时,抛物线有最大值?最大值是多少?这时为何值时,y随的增大而减小. 4、如图所示,在梯形ABCD中,已知AB∥CD,AD⊥DB,AD=DC=CB,AB=4.以AB所在直线为轴,过D且垂直于AB 的直线为轴建立平面直角坐标系. (1)求∠DAB的度数及A、D、C三点的坐标; (2)求过A、D、C三点的抛物线的解析式及其对称轴L. 中考数学—二次函数的综合压轴题专题复习附答案 一、二次函数 1.已知二次函数223y ax ax =-+的最大值为4,且该抛物线与y 轴的交点为C ,顶点为D . (1)求该二次函数的解析式及点C ,D 的坐标; (2)点(,0)P t 是x 轴上的动点, ①求PC PD -的最大值及对应的点P 的坐标; ②设(0,2)Q t 是y 轴上的动点,若线段PQ 与函数2 ||23y a x a x =-+的图像只有一个公共点,求t 的取值范围. 【答案】(1)2y x 2x 3=-++,C 点坐标为(0,3),顶点D 的坐标为(1,4);(2)①最 ,P 的坐标为(3,0)-,②t 的取值范围为3t ≤-或 332t ≤<或72t =. 【解析】 【分析】 (1)先利用对称轴公式x=2a 12a --=,计算对称轴,即顶点坐标为(1,4),再将两点代入列二元一次方程组求出解析式; (2)根据三角形的三边关系:可知P 、C 、D 三点共线时|PC-PD|取得最大值,求出直线CD 与x 轴的交点坐标,就是此时点P 的坐标; (3)先把函数中的绝对值化去,可知22x 23,0,y x 23,0.x x x x ?-++≥=?--+ ,此函数是两个二次函数的一部分,分三种情况进行计算:①当线段PQ 过点(0,3),即点Q 与点C 重合时,两图象有一个公共点,当线段PQ 过点(3,0),即点P 与点(3,0)重合时,两函数有两个公共点,写出t 的取值;②线段PQ 与当函数y=a|x|2-2a|x|+c (x≥0)时有一个公共点时,求t 的值;③当线段PQ 过点(-3,0),即点P 与点(-3,0)重合时,线段PQ 与当函数y=a|x|2-2a|x|+c (x <0)时也有一个公共点,则当t≤-3时,都满足条件;综合以上结论,得出t 的取值. 【详解】 解:(1)∵2a x 12a -=-=, ∴2y ax ax 3=-+的对称轴为x 1=. ∵2y ax ax 3=-+人最大值为4, ∴抛物线过点()1,4. 得a 2a 34-+=, 解得a 1=-. ∴该二次函数的解析式为2y x 2x 3=-++.中考数学专题训练---二次函数的综合题分类含详细答案
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2. 在直角坐标系 xoy 中, A(0, 2) 、 B(1, 0) ,将 ABO 经过旋转、平移变化后得到如图15.1所示的 BCD . (1)求经过 A 、B 、C 三点的抛物线的解析式;(2)连结 AC ,点 P 是位于线段 BC 上方的抛物线上一动点,
y A
C
BO D
x
图15.1
3. 如图,已知抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线 x=-1,且经过 A(1,0),C(0,3)两点,与 x 轴 的另一个交点为 B.⑴若直线 y=mx+n 经过 B,C 两点,求直线 BC 和抛物线的解析式;⑵在抛物线的对称轴 x=-1 上找一点 M,使点 M 到点 A 的距离与到点 C 的距离之和最小,求点 M 的坐标;⑶设点 P 为抛物线的初中二次函数计算题专项训练与答案
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