2--双曲函数和反双曲函数

附录2 双曲函数和反双曲函数

双曲正弦sinh 2

x x

e e x --=

. (arcsin h ln =x x .

y sinh x y arcsinh x

y sinh x

y arcsinh x

y x

双曲正弦的性质 sinh x 的定义域为(), R =-∞+∞, 它是奇函数, 其图形通过原点并关于原点对称, sinh x 在R 内是单调增加的. 当x 无限增大时, 其图形在第一象限内无限逼近于曲线12

x

y e =, 当x 无限减小时, 其图形在第三象限内无限逼近于曲线12

x y e -=-

.

双曲余弦cosh 2

x x

e e x -+=. (arccosh ln =x x .

y cosh x

y cosh x

y arccosh x

<

y cosh x

y arccosh x

y x

双曲余弦的性质 cosh x 的定义域为(), R =-∞+∞, 它是偶函数, 其图形通过点()0, 1并关于y 轴对称. 在(), 0-∞内, 它是单调减少的; 在()0, +∞内, 它是单调增加的. cosh01=是它的最小值. 当x 无限增大时, 其图形在第一象限内无限逼近于曲线12

x

y e =; 当x 无限减小时, 其图形在第二象限内无限逼近于曲线12

x y e -=

. 记隹如下常用关系:

注 此式与22

sin cos 1x x +=相似, 但二者不同. 关于双曲函数, 还有些恒等式, 详见——19.

y sinh x

y cosh x

y

12

e x y

12

e x

双曲正切sinh tanh cosh x x

x x

x e e x x e e ---==+.

()()11arctanh ln 1, 121+=∈--x

x x x

.

%

y tanh x

1

y arctanh x

1

y tanh x

y arctanh x

y x

双曲正切的性质 tanh x 的定义域为(), R =-∞+∞, 它是奇函数, 其图形通过原点并关于原点对称. tanh x 在R 内是单调增加的, 其图形夹在水平直线1y =和1y =-之间; 当x 无限增大时, 其图形在第一象限内无限逼近于直线

1y =;当x 无限减小时, 其图形在第三象限内无限逼近于直线1y =-.

tanh x 和sinh x 在0=x 有共同的切线=y x .

y sinh x y tanh x

y x

双曲余切cosh coth sinh --+==-x x x x x e e x x e e . ()11

arccoth ln 121

+=>-x x x x .

·

y coth x

1

y arccoth x

1

y coth x y arccoth x

y x

tanh x 和coth x 有共同的水平渐近线1=±y .

y tanh x

y coth x

1

双曲正割12

sech cosh -=

=+x x x x e e

.

()1arcsech ln 01+=<≤x x x

.

；

y sech x

y sech x

y arcsech x

y sech x

y arcsech x

y x

双曲余割12

csch sinh

-=

=-x x x x e e

.

(()1sgn arccsch ln 0+=≠x x x x

.

y csch x

y arccsch x

y csch x

y arccsch x

y x

…

sech x 和csch x 有共同的水平渐近线0=y .

y csch x

y sech x

csch x和coth 有共同的垂直渐近线.

y coth x

y csch x

1

三角函数公式与双曲函数

公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin（2kπ＋α）＝sinα cos（2kπ＋α）＝cosα tan（2kπ＋α）＝tanα cot（2kπ＋α）＝cotα 公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： sin（π＋α）＝－sinα cos（π＋α）＝－cosα tan（π＋α）＝tanα cot（π＋α）＝cotα 公式三：任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： sin（－α）＝－sinα cos（－α）＝cosα tan（－α）＝－tanα cot（－α）＝－cotα 公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： sin（π－α）＝sinα cos（π－α）＝－cosα tan（π－α）＝－tanα cot（π－α）＝－cotα 公式五：利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： sin（2π－α）＝－sinα cos（2π－α）＝cosα tan（2π－α）＝－tanα cot（2π－α）＝－cotα 公式六：π/2±α与α的三角函数值之间的关系： sin（π/2＋α）＝cosα cos（π/2＋α）＝－sinα tan（π/2＋α）＝－cotα cot（π/2＋α）＝－tanα sin（π/2－α）＝cosα cos（π/2－α）＝sinα tan（π/2－α）＝cotα cot（π/2－α）＝tanα

诱导公式记忆口诀奇变偶不变，符号看象限。“奇、偶”指的是整数n的奇偶，“变与不变”指的是三角函数的名称的变化：“变”是指正弦变余弦，正切变余切。（反之亦然成立）“符号看象限”的含义是：把角α看做锐角，不考虑α角所在象限，看n·(π/2)±α是第几象限角，从而得到等式右边是正号还是负号。一全正；二正弦；三两切；四余弦这十二字口诀的意思就是说：第一象限内任何一个角的四种三角函数值都是“＋”；第二象限内只有正弦是“＋”，其余全部是“－”；第三象限内只有正切和余切是“＋”，其余全部是“－”；第四象限内只有余弦是“＋”，其余全部是“－”。 编辑本段其他三角函数知识 同角三角函数的基本关系式 倒数关系 tanα ·cotα＝1 sinα ·cscα＝1 cosα ·secα＝1 商的关系 sinα/cosα＝tanα＝secα/cscα cosα/sinα＝cotα＝cscα/secα 平方关系 sin^2(α)＋cos^2(α)＝1 1＋tan^2(α)＝sec^2(α) 1＋cot^2(α)＝csc^2(α) 同角三角函数关系六角形记忆法 构造以"上弦、中切、下割；左正、右余、中间1"的正六边形为模型。 倒数关系 对角线上两个函数互为倒数； 商数关系 六边形任意一顶点上的函数值等于与它相邻的两个顶点上函数值的乘积。（主要是两条虚线两端的三角函数值的乘积）。由此，可得商数关系式。 平方关系 在带有阴影线的三角形中，上面两个顶点上的三角函数值的平方和等于下面顶点上的三角函数值的平方。 两角和差公式

双曲函数与三角函数

双曲函数 王希 对之前在双曲函数的来历是什么，与三角函数有什么关系？ - 数学问题的回答不太满意，故在此重新撰文。尽我所能全面具体详细地介绍双曲函数相关的方方面面，希望它能成为最好的讲解双曲函数的文章。 除了第七部分，高中生都应该可以看懂，因此我不希望大家回复「不明觉厉」，而是看懂它并回复「受益匪浅」。 我希望想了解双曲函数的知友看了我的文章都能有所收获。 一、发展历史 双曲函数的起源是悬链线，首先提出悬链线形状问题的人是达芬奇。他绘制《抱银貂的女人》时曾仔细思索女人脖子上的黑色项链的形状，遗憾的是他没有得到答案就去世了。 时隔170年之久，著名的雅各布·伯努利在一篇论文中又提出了这个问题，并且试图去证明这是一条抛物线。事实上，在他之前的伽利略和吉拉尔都猜测链条的曲线是抛物线。 一年之后，雅各布的证明毫无进展（废话，证明错的东西怎么会有进展）。而他的弟弟约翰·伯努利却解出了正确答案，同一时期的莱布尼茨也正确的给出了悬链线的方程。他们的方法都是利用微积分，根据物理规律给出悬链线的二次微分方程然后再求解。 18世纪，约翰·兰伯特开始研究这个函数，首次将双曲函数引入三角学；19世纪中后期，奥古斯都·德·摩根将圆三角学扩展到了双曲线，威廉·克利福德则使用双曲角参数化单位双曲线。至此，双曲函数在数学上已经占有了举足轻重的地位。 19世纪有一门学科开始了全面发展——复变函数。伴随着欧拉公式的诞生，双曲函数与三角函数这两类看起来截然不同的函数获得了前所未有的统一。 二、函数定义 在讲双曲函数的定义之前，我们先看一看三角函数的定义。如图所示：

在实域内，三角函数的值是通过单位圆和角终边上三角函数线的长度定义的。当然这个「长度」是有正负的。 同理，双曲函数的值也是通过双曲线和角终边上的双曲函数线的长度定义的。如图： 具体的定义为 ， ， 。 三、函数性质 和对应的三角函数性质十分类似，但又有一定的区别。

双曲线函数的图像与性质及应用

一个十分重要的函数的图象与性质应用 新课标高一数学在“基本不等式 ab b a ≥+2”一节课中已经隐含了函数x x y 1 +=的图象、性质与重要的应用，是高考要求围的一个重要的基础知识．那么在高三第一轮复习课中，对于重点中学或基础比较好一点学校的同学而言，我们务必要系统介绍学习x b ax y +=（ab ≠0）的图象、性质与应用． 2．1 定理：函数x b ax y +=（ab ≠0）表示的图象是以y=ax 和x=0（y 轴） 的直线为渐近线的双曲线． 首先，我们根据渐近线的意义可以理解：ax 的值与 x b 的值比较，当x 很大很大的时候， x b 的值几乎可以忽略不计，起决定作用的是ax 的值；当x 的值很小很小，几乎为0的时候，ax 的值几乎可以忽略不计，起决定作用的是x b 的值．从而，函数x b ax y +=（ab ≠0）表 示的图象是以y=ax 和x=0（y 轴）的直线为渐近线的曲线．另外我们可以发现这个函数是 奇函数，它的图象应该关于原点成中心对称． 由于函数形式比较抽象，系数都是字母，因此要证明曲线是双曲线是很麻烦的，我们通过一个例题来说明这一结论． 例1．若函数x x y 3233+= 是双曲线，半轴a ，虚半轴b ，半焦距c ，渐近线及其焦点，并验证双曲线 的定义． 分析：画图，曲线如右所示；由此可知它的渐近线应该是x y 3 3 = 和x=0两条直线；由此，两条渐近线的夹角的平分线y=3x 就是实轴了，得出顶点为A （3，3），A 1（-3，-3）； ∴ a=OA =32, 由渐近线与实轴的夹角是30o，则有a b =tan30o, 得b=2 , c=22b a +=4, ∴ F 1(2,32)F 2(-2,-32)．为了验证函数的图象是双曲线， 在曲线上任意取一点P （x, x x 3233+）满足3421=-PF PF 即可；

三角函数与双曲函数基本公式对照表

圆函数（三角函数） 1.基本性质： sin tan cos x x x = ,cos cot sin x x x = 1sec cos x x = ,1 csc sin x x = tan cot 1x x = sin csc 1x x = sec cos 1x x = 22sin cos 1x x += 《 221tan sec x x +=,221cot csc x x += 2.奇偶性： sin()sin x x -=- cos()cos x x -= tan()tan x x -=- 3.两角和差公式 sin()sin cos cos sin x y x y x y ±=± cos()cos cos sin sin x y x y x y ±= [ tan tan tan()1tan tan x y x y x y ±±= 4.二倍角公式 sin 22sin cos x x x = 2222cos 2cos sin 2cos 112sin x x x x x =-=-=-22tan tan 21tan x x x = - 双曲函数 1.基本性质： sh th ch x x x = ,ch cth sh x x x = 1sech ch x x =,1csch sh x x = - th cth 1x x = sh csch 1x x = sech ch 1x x = 22ch sh 1x x -= 221th sech x x -=,221cth csch x x -=- 2.奇偶性： sh()sh x x -=- ch()ch x x -= ~ th()th x x -=- 3.两角和差公式 sh()sh ch ch sh x y x y x y ±=± ch()ch ch sh sh x y x y x y ±=± th th th()1th th x y x y x y ±±= ± 4.二倍角公式 sh 22sh ch x x x = 2222ch 2ch +sh 2ch 112sh x x x x x ==-=+ [

双曲函数及其几何意义

Hyperbolic functions(双曲函数）and their geometric meaning In mathematics, hyperbolic functions are analogs of the ordinary trigonometric, or circular, functions. The basic hyperbolic functions are the hyperbolic sine "sinh" (/?s?nt?/ or /??a?n/), and the hyperbolic cosine "cosh" (/?k??/), from which are derived the hyperbolic tangent "tanh" (/?t?nt?/ or /?θ?n/), hyperbolic cosecant "csch" or "cosech" (/?ko???k/ or /?ko?s?t?/), hyperbolic secant "sech" (/???k/ or /?s?t?/), and hyperbolic cotangent "coth" (/?ko?θ/ or /?k?θ/),[1] corresponding to the derived trigonometric functions. The inverse hyperbolic functions are the area hyperbolic sine "arsinh" (also called "asinh" or sometimes "arcsinh")[2] and so on. Just as the points (cos t, sin t) form a circle with a unit radius, the points (cosh t, sinh t) form the right half of the equilateral hyperbola. The hyperbolic functions take a real argument called a hyperbolic angle. The size of a hyperbolic angle is the area of its hyperbolic sector. The hyperbolic functions may be defined in terms of the legs of a right triangle covering this sector. Hyperbolic functions occur in the solutions of some important linear differential equations, for example the equation defining a catenary, of some cubic equations, and of Laplace's equation in Cartesian coordinates. The latter is important in many areas of physics, including electromagnetic theory, heat transfer, fluid dynamics, and special relativity. In complex analysis, the hyperbolic functions arise as the imaginary parts of sine and cosine. When considered defined by a complex variable, the hyperbolic functions are rational functions of exponentials, and are hence meromorphic. Hyperbolic functions were introduced in the 1760s independently by Vincenzo Riccati and Johann Heinrich Lambert.[3] Riccati used Sc. and Cc. ([co]sinus circulare) to refer to circular functions and Sh. and Ch. ([co]sinus hyperbolico) to refer to hyperbolic functions. Lambert adopted the names but altered the abbreviations to what they are today.[4] The abbreviations sh and ch are still used in some other languages, like European French and Russian.

双曲函数

定义 双曲函数（Hyperbolic Function）包括下列六种函数： sinh / 双曲正弦：sinh(x) = [e^x - e^(-x)] / 2 cosh / 双曲余弦：cosh(x) = [e^x + e^(-x)] / 2 tanh / 双曲正切：tanh(x) = sinh(x) / cosh(x)=[e^x - e^(-x)] / [e^x + e^(-x)] coth / 双曲余切：coth(x) = cosh(x) / sinh(x) = [e^x + e^(-x)] / [e^(x) - e^(-x)] sech / 双曲正割：sech(x) = 1 / cosh(x) = 2 / [e^x + e^(-x)] csch / 双曲余割：csch(x) = 1 / sinh(x) = 2 / [e^x - e^(-x)] cosh^2(t) - sinh^2(t) = 1 和性质 t > 0 对于所有的 t。 参数 t 不是圆角而是双曲角，它表示在 x 轴和连接原点和双曲线上的点(cosh t,sinh t) 的直线之间的面积的两倍。 函数 cosh x 是关于 y 轴对称的偶函数。 函数 sinh x 是奇函数，就是说 -sinh x = sinh (-x) 且 sinh 0 = 0。[3]实变双曲函数 y=sh(x)，定义域：R，值域：R，奇函数，函数图像为过原点并且穿越Ⅰ、Ⅲ象限的严格单调递增曲线，当x->+∞时是（1/2）e^x的等价无穷大，函数图像关于原点对称。

y=ch(x)，定义域：R，值域：[1，+∞），偶函数，函数图像是悬链线，最低点是（0，1），在Ⅰ象限部分是严格单调递增曲线，当x->+∞时是（1/2）e^x 的等价无穷大，函数图像关于y轴对称。 y=th(x)，定义域：R，值域：（-1，1），奇函数，函数图像为过原点并且穿越Ⅰ、Ⅲ象限的严格单调递增曲线，其图像被限制在两渐近线y=1和y=-1之间，lim[x->+∞，tanh(x)=1],lim[x->-∞，tanh(x)=-1]。 y=cth(x)，定义域：{x|x≠0}，值域：{x||x|>1}，奇函数，函数图像分为两支，分别在Ⅰ、Ⅲ象限，函数在（-∞，0）和（0，+∞）分别单调递减，垂直渐近线为y轴，两水平渐近线为y=1和y=-1，lim[x->+∞，coth(x)=1]， lim[x->-∞，coth(x)=-1]。 y=sch(x)，定义域：R，值域：（0，1]，偶函数，最高点是（0，1），函数在（0，+∞）严格单调递减，x轴是其渐近线，lim[x->∞，sech(x)]=0。 y=xh(x)，定义域：{x|x≠0}，值域：{x|x≠0}，奇函数，函数图像分为两支，分别在Ⅰ、Ⅲ象限，函数在（-∞，0）和（0，+∞）分别单调递减，垂直渐近线为y轴，两水平渐近线为x轴，lim[x->∞，csch(x)]=0。 双曲函数名称的变更：sh也叫sinh，ch也叫cosh，th也叫tanh，cth也叫coth，sch也叫sech，xh也叫csch。 双曲正弦：sh(z) = [ e^z - e^(-z)] / 2 双曲余弦：ch(z) = [e^z + e^(-z)] / 2 解析性：shz，chz是全平面的解析函数。 周期性：shz，chz是周期函数，周期为2πi，这是完全不同于实变函数中的性质。 反双曲函数 反双曲函数是双曲函数的反函数.，它们的定义为： arcsh(x) = ln[x + sqrt(x^2 + 1）] arcch(x) = ln[x + sqrt(x^2 - 1）] arcth(x) = ln[sqrt(1 - x^2) / (1 - x)] = ln[(1 + x) / (1 - x)] / 2 arccth(x) = ln[sqrt(x^2 - 1) / (x - 1)] = ln[(x + 1) / (x - 1)] / 2

2--双曲函数和反双曲函数

附录2 双曲函数和反双曲函数 双曲正弦sinh 2 x x e e x --= . (arcsin h ln =x x . y sinh x y arcsinh x y sinh x y arcsinh x y x 双曲正弦的性质 sinh x 的定义域为(), R =-∞+∞, 它是奇函数, 其图形通过原点并关于原点对称, sinh x 在R 内是单调增加的. 当x 无限增大时, 其图形在第一象限内无限逼近于曲线12 x y e =, 当x 无限减小时, 其图形在第三象限内无限逼近于曲线12 x y e -=- . 双曲余弦cosh 2 x x e e x -+=. (arccosh ln =x x . y cosh x y cosh x y arccosh x < y cosh x y arccosh x y x

双曲余弦的性质 cosh x 的定义域为(), R =-∞+∞, 它是偶函数, 其图形通过点()0, 1并关于y 轴对称. 在(), 0-∞内, 它是单调减少的; 在()0, +∞内, 它是单调增加的. cosh01=是它的最小值. 当x 无限增大时, 其图形在第一象限内无限逼近于曲线12 x y e =; 当x 无限减小时, 其图形在第二象限内无限逼近于曲线12 x y e -= . 记隹如下常用关系: 注 此式与22 sin cos 1x x +=相似, 但二者不同. 关于双曲函数, 还有些恒等式, 详见——19. y sinh x y cosh x y 12 e x y 12 e x 双曲正切sinh tanh cosh x x x x x e e x x e e ---==+. ()()11arctanh ln 1, 121+=∈--x x x x . %

双曲函数公式

恒等式 与双曲函数有关的恒等式如下: cosh^2(x) - sinh^2(x) =1 coth^2(x)-csch^2(x)=1 tanh^2(x)+sech^2(x)=1 * 加法公式： sinh(x+y) = sinh(x) * cosh(y) + cosh(x) * sinh(y) cosh(x+y) = cosh(x) * cosh(y) + sinh(x) * sinh(y) tanh(x+y) = [tanh(x) + tanh(y)] / [1 + tanh(x) * tanh(y)] * 减法公式： sinh(x-y) = sinh(x) * cosh(y) - cosh(x) * sinh(y) cosh(x-y) = cosh(x) * cosh(y) - sinh(x) * sinh(y) tanh(x-y) = [tanh(x) - tanh(y)] / [1 - tanh(x) * tanh(y)] * 二倍角公式： sinh(2x) = 2 * sinh(x) * cosh(x) cosh(2x) = cosh^2(x) + sinh^2(x) = 2 * cosh^2(x) - 1 = 2 * sinh^2(x) + 1 * 半角公式： cosh^2(x / 2) = (cosh(x) + 1) / 2 sinh^2(x / 2) = (cosh(x) - 1) / 2 双曲函数的恒等式都在圆三角函数有相应的公式。Osborn's rule指出：将圆三角函数恒等式中，圆函数转成相应的双曲函数，有两个sinh的积时(包括coth^2(x), tanh^2(x), csch^2(x), sinh(x) * sinh(y))则转换正负号，则可得到相应的双曲函数恒等式。如 * 三倍角公式：

高中数学三角函数与双曲函数基本公式对照表

圆函数（三角函数） 1.基本性质： sin tan cos x x x = ,cos cot sin x x x = 1sec cos x x = ,1 csc sin x x = tan cot 1x x = sin csc 1x x = sec cos 1x x = 22sin cos 1x x += 221tan sec x x +=,221cot csc x x += 2.奇偶性： sin()sin x x -=- cos()cos x x -= tan()tan x x -=- 3.两角和差公式 sin()sin cos cos sin x y x y x y ±=± cos()cos cos sin sin x y x y x y ±= tan tan tan()1tan tan x y x y x y ±±= 4.二倍角公式 sin 22sin cos x x x = 2222cos 2cos sin 2cos 112sin x x x x x =-=-=-22tan tan 21tan x x x = - 双曲函数 1.基本性质： sh th ch x x x = ,ch cth sh x x x = 1sech ch x x =,1csch sh x x = th cth 1x x = sh csch 1x x = sech ch 1x x = 22ch sh 1x x -= 221th sech x x -=,221cth csch x x -=- 2.奇偶性： sh()sh x x -=- ch()ch x x -= th()th x x -=- 3.两角和差公式 sh()sh ch ch sh x y x y x y ±=± ch()ch ch sh sh x y x y x y ±=± th th th()1th th x y x y x y ±±= ± 4.二倍角公式 sh 22sh ch x x x = 2222ch 2ch +sh 2ch 112sh x x x x x ==-=+ 22th th 21th x x x = +

双曲函数

探究双曲函数 PB07210142,梁海波 双曲函数是我们在大学时期微积分课程中新接触的东东，但仿佛仅在《高等数学导论》第一章有所提及， 貌似与后来知识没有关系。 本人在做题时发现，双曲函数与后来的微积分，特别是积分求解有许多联系。 首先，我们先认识下双曲函数。 双曲正弦:2x x e e shx --= 双曲余弦: 2 x x e e chx -+= 双曲正切: x x x x e e e e thx --+-= 双曲函数与三角函数有很多相似的性质,在求解积分的过程中,三角函数与双曲函数地位相当,下面对其相似之处进行比较,由于三角函数性质在以前接触较多,这里不在赘述. chx shx thx = chxshy shxchy y x sh ±=±)( shxshy chxchy y x ch ±=±)( 122=-x sh x ch x ch x sh x ch 222=+ shx x sh -=-)( chx x ch =-)( shxchx x sh 22= 下面说反双曲函数。以下记法与书上不同，这样写便于与反三角函数想对比。 )1ln(2-+±=x x arcchx )1ln(2++=x x arcshx )11ln(21x x arcthx -+= 求解积分的问题中，有很多式子含有12-x ，12+x 以及它的倒数与根式形。书后的简明积分表也给出了相关的公式，但这些公式复杂难记，没能把握住其与双曲函数的内在关系。 我们在解这类问题时往往会采用换元法，令x=sint 或x=sht 等。其实这样设的目的就是利用了反三角函数，反双曲函数的微分，下面对这些公式作一定的改写。 （１）dx x ?+211＝c x +arctan

双曲函数

双曲函数 百科名片 双曲函数 在数学中，双曲函数类似于常见的（也叫圆函数的）三角函数。基本双曲函数是双曲正弦“sinh”，双曲余弦“cosh”，从它们导出双曲正切“tanh”等。也类似于三角函数的推导。反函数是反双曲正弦“arsinh”（也叫做“arcsinh”或“asinh”）以次类推 目录

展开 编辑本段双曲函数的作用 双曲函数（hyperbolic function）可借助指数函数定义 Sinh_cosh_tanh 双曲正弦 sh z ＝(e^z-e^(-z))/2 （1） 双曲余弦 ch z ＝(e^z+e^(-z))/2 （2） 双曲正切 th z ＝ sh z /ch z ＝(e^z-e^(-z))/(e^z+e^(-z)) （3） 双曲余切 cth z ＝ ch z/sh z＝(e^z+e^(-z))/(e^z-e^(-z)) （4） 双曲正割 sech z ＝1/ch z （5） 双曲余割 csch z ＝1/sh z （6） 其中，指数函数（exponential Csch_sech_coth function）可由无穷级数定义 e^z＝1＋z/1！＋z^2/2！＋z^3/3！＋z^4/4！＋...＋z^n/n！＋ (7) 双曲函数的反函数（inverse hyperbolic function）分别记为ar sh z、ar ch z、ar th z等。

编辑本段定义 在数学中，双曲函数类似于常见的三角函数（也叫圆函数）。基本双曲函数是双曲正弦“sinh”，双曲余弦“cosh”，从它们导出双曲正切“tanh”等。也类似于三角函数的推导。反函数是反双曲正弦“arsinh”（也叫做“arcsinh”或“asinh”）以此类推。 因为双曲函数出现于某些重要的线性微分方程的解中，譬如说定义悬链线和拉普拉斯方程。 双曲函数接受实数值作为叫做双曲角的自变量。在复分析中，它们简单的是指数函数的有理函数，并因此是完整的。 射线出原点交双曲线 x2 ?y2 = 1 于点 (cosh a,sinh a)，这里的a被称为双曲角，是这条射线、它关于x轴的镜像和双曲线之间的面积。定义 双曲函数（Hyperbolic Function）包括下列六种函数： sinh / 双曲正弦： sinh(x) = [e^x - e^(-x)] / 2 cosh / 双曲余弦： cosh(x) = [e^x + e^(-x)] / 2 tanh / 双曲正切： tanh(x) = sinh(x) / cosh(x)=[e^x - e^(-x)] / [e^x + e^(-x)] coth / 双曲余切： coth(x) = cosh(x) / sinh(x) = [e^x + e^(-x)] / [e^(x) - e^(-x)] sech / 双曲正割： sech(x) = 1 / cosh(x) = 2 / [e^x + e^(-x)] csch / 双曲余割： csch(x) = 1 / sinh(x) = 2 / [e^x - e^(-x)] 其中， e是自然对数的底 e≈2.71828 18284 59045...= 1/0! + 1/1! + 1/2! + 1/3! + 1/4! + 1/5!...+ 1/n! +... e^x 表示 e的x次幂,展开成无穷幂级数是: e^x=x^0/0! + x^1/1! + x^2/2! + x^3/3! + x^4/4! + x^5/5!...+ x^n/n! +... 如同点 (cost,sint) 定义一个圆，点 (cosh t, sinh t) 定义了右半直角双曲线 x^2 ? y^2 = 1。这基于了很容易验证的恒等式 cosh^2(t) - sinh^2(t) = 1 和性质 t > 0 对于所有的 t。

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双曲函数

双曲函数 在数学中，双曲函数类似于常见的（也叫圆函数的）三角函数。基本双曲函数是双曲正弦“sinh ”，双曲余弦“cosh ”，从它们导出双曲正切“tanh ”等。也类似于三角函数的推导。反函数是反双曲正弦“arsinh ”（也叫做“arcsinh ”或“asinh ”）以次类推 定义 双曲函数（hyperbolic function ）可借助指数函数定义 双曲正弦(sinh/sh) 2x x e e shx --= 双曲余弦(cosh/ch) 2x x e e chx -+= 双曲正切(tanh/th) chx shx e e e e thx x x x x =+-=-- 双曲余切(coth/cth) shx chx e e e e thx cthx x x x x =-+==--1 双曲正割(sech) x x e e chx hx -+== 2 1sec

双曲余割(csch) x x e e shx hx --== 2 1csc 其中，指数函数（exponential function ）可由无穷级数定义(Tayor 展 开)),(,!!3!21!320 +∞-∞∈++++++==∑∞ =x n x x x x n x e n n n x ΛΛ e 是自然对数的底 e ≈2.71828 18284 59045...= ΛΛ++++++! 1 !31!21!11!01n ⑺双曲函数的反函数（inverse hyperbolic function ）分别记为ar sh z 、ar ch z 、ar th z 等。 简单介绍 在数学中，双曲函数类似于常见的三角函数（也叫圆函数）。基本双曲函数是双曲正弦“sinh ”，双曲余弦“cosh ”，从它们导出双曲正切“tanh ”等。也类似于三角函数的推导。反函数是反双曲正弦“arsinh ”（也叫做“arcsinh ”或“asinh ”）以此类推。 双曲函数出现于某些重要的线性微分方程的解中，譬如说定义悬链线和拉普拉斯方程。 双曲函数接受实数值作为叫做双曲角的自变量。在复分析中，它们简单的是指数函数的有理函数，并因此是完整的。 射线出原点交双曲线 x2 ? y2 = 1 于点 (ch a,sh a ），这里的 a 被称为双曲角，是这条射线、它关于 x 轴的镜像和双曲线之间的面积。 如图点 (cost,sint) 定义一个圆，点 (ch t,sh t) 定义了右半直角双曲线12 2 =-y x 这基于了很容易验证的恒等式 12 2 =-x sh x ch 和性质 t > 0 对于所有的 t 。 参数 t 不是圆角而是双曲角，它表示在 x 轴和连接原点和双曲线上的点 (ch t,sh t) 的直线之间的面积的两倍。 函数 cosh x 是关于 y 轴对称的偶函数。 函数 sh x 是奇函数，就是说 -sh x = sh -x 且 sh 0 = 0。 双曲函数与三角函数的关系

双曲函数

双曲函数[编辑] 维基百科，自由的百科全书 跳转至：导航、搜索 射线出原点交双曲线于点，这里的被称为双曲角，是这条射线、它关于轴的镜像和双曲线之间的面积。 在数学中，双曲函数是一类与常见的三角函数（也叫圆函数）类似的函数。最基本的双曲函数是双曲正弦函数“sinh”和双曲余弦函数“cosh”（有时也把双曲正弦写作sh，双曲余弦写作ch），从它们可以导出双曲正切函数“tanh”（有时写作th）等等。其中的推导也类似于三角函数的推导。双曲函数的反函数称为反双曲函数，例如双曲正弦函数的反函数是“arsinh”（也叫做“arcsinh”或“asinh”），以此类推。 双曲函数出现于某些重要的线性微分方程的解中，譬如说定义悬链线和拉普拉斯方程。

双曲函数的定义域是实数，其自变量的值叫做双曲角。在复分析中，由于双曲函数是指数函数的有理函数，因此是整函数。 目录 [隐藏] ? 1 基本定义 ? 2 与三角函数的关系 o 2.1 几何关系 ? 3 恒等式 ? 4 反双曲函数 ? 5 双曲函数的导数 ? 6 双曲函数的泰勒展开式 ?7 双曲函数的积分 ?8 参考 ?9 参见 ?10 外部链接 基本定义[编辑]

sinh, cosh和tanh csch, sech和coth ? ? ? ? ? ?

如同当遍历实数集时，点（, ）的轨迹是一个圆 一样，当遍历实数集时，点（, ）的轨迹是直角双曲线 的右半边。这是因为有以下的恒等式： 同时对于所有的都有。 双曲函数是带有复数周期的周期函数。 参数t不是圆角而是双曲角，它表示在x轴和连接原点和双曲线上的点（, ）的直线之间的面积的两倍。 函数是关于y轴对称的偶函数。 函数是奇函数，也就是说对任意的x，都有 -sinh x= sinh -x 且。 与三角函数的关系[编辑] 双曲函数与三角函数有如下的关系: ? ? ? ? ? ? 几何关系[编辑]

双曲函数

双曲函数 射线出原点交双曲线x2?y2 = 1 于点 (cosh a,sinh a)，这里的a被称为双曲角，是这条射线、它关于x轴的镜像和双曲线之间的面积。 在数学中，双曲函数是一类与常见的三角函数（也叫圆函数）类似的函数。最基本的双曲函数是双曲正弦函数“sinh”和双曲余弦函数“cosh”，从它们可以导出双曲正切函数“tanh”等等。其中的推导也类似于三角函数的推导。双曲函数的反函数称为反双曲函数，例如双曲正弦函数的反函数是“arsinh”（也叫做“arcsinh”或“asinh”），以此类推。 双曲函数出现于某些重要的线性微分方程的解中，譬如说定义悬链线和拉普拉斯方程。 双曲函数的定义域是实数，其自变量的值叫做双曲角。在复分析中，由于双曲函数是指数函数的有理函数，因此是整函数。 基本定义 sinh, cosh和tanh

csch, sech和coth ? ? ? ? ? 如同当t遍历实数集时，点 (, ) 的轨迹是一个圆x2 + y2 = 1一样，当t遍历实数集时，点 (, ) 的轨迹是直角双曲线x2?y2 = 1的右半边。这是 因为有以下的恒等式： 同时对于所有的都有 cosh t > 0。 双曲函数是带有复周期 2πi的周期函数。 参数t不是圆角而是双曲角，它表示在x轴和连接原点和双曲线上的点(, 函数是关于y轴对称的偶函数。

函数是奇函数，也就是说对任意的x，都有 -sinh x= sinh -x且。与三角函数的关系 双曲函数与三角函数有如下的关系: ? ? ? ? ? ? 恒等式 与双曲函数有关的恒等式如下: ?加法公式： ?二倍角公式： ?半角公式： 由于双曲函数和三角函数之间的对应关系，双曲函数的恒等式和三角函数的恒等式之间也是一一对应的。对于一个已知的三角函数公式，只需要将其中的三角函数转成相应的双曲函数， 并将含有有两个sinh的积的项（包括）转换正负号，就可得到相应的双曲函数恒等式[1]。如

双曲函数介绍

双曲函数介绍 在数学中，双曲函数类似于常见的三角函数（也叫圆函数）。基本双曲函数是双曲正弦“sinh”，双曲余弦“co snh”，从它们导出双曲正切“tanh”等。也类似于三角函数的推导。反函数是反双曲正弦“ar c sinh”（也叫做“arcsinh”或“asinh”）以此类推。 双曲函数出现于某些重要的线性微分方程的解中，譬如说定义悬链线和拉普拉斯方程。 双曲函数接受实数值作为叫做双曲角的自变量。在复分析中，它们简单的是指数函数的有理函数，并因此是完整的。射线出原点交双曲线 x^2 - y^2 = 1 于点 (cosinh a,sinh a），这里的a被称为双曲角，是这条射线、它关于x轴的镜像和双曲线之间的面积。定义 双曲函数（Hyperbolic Function）包括下列六种函数： sinh / 双曲正弦：sinh(x) = [e^x - e^(-x)] / 2 cosh / 双曲余弦：cosh(x) = [e^x + e^(-x)] / 2 tanh / 双曲正切：tanh(x) = sinh(x) / cosh(x)=[e^x - e^(-x)] / [e^x + e^(-x)] coth / 双曲余切：coth(x) = cosh(x) / sinh(x) = [e^x + e^(-x)] / [e^(x) - e^(-x)] sech / 双曲正割：sech(x) = 1 / cosh(x) = 2 / [e^x + e^(-x)] csch / 双曲余割：csch(x) = 1 / sinh(x) = 2 / [e^x - e^(-x)] 其中， e是自然对数的底 e≈2.71828 18284 59045...= 1/0! + 1/1! + 1/2! + 1/3! + 1/4! + 1/5! + 1/n! +... e^x 表示 e的x次幂,展开成无穷幂级数是： e^x=x^0/0! + X^1/1! + X^2/2! + X^3/3! + X^4/4! + X^5/5!...+ x^n/n! +... 如同点 (cost,sint) 定义一个圆，点 (cosh t,sinh t) 定义了右半直角双曲线x^2 y^2 = 1。这基于了很容易验证的恒等式 cosh^2(t) - sinh^2(t) = 1 和性质 t > 0 对于所有的 t。 参数 t 不是圆角而是双曲角，它表示在 x 轴和连接原点和双曲线上的点(cosinh t,sinh t) 的直线之间的面积的两倍。 函数 cosinh x 是关于 y 轴对称的偶函数。 函数 sinh x 是奇函数，就是说 -sinh x = sinh (-x) 且 sinh 0 = 0。 实变双曲函数 y=sinh(x).定义域：R.值域：R.奇函数.函数图像为过原点并且穿越Ⅰ，Ⅲ象限的严格单调递增曲线，当x->+∞时是（1/2）e^x的等价无穷大.函数图像关于原点对称。 y=ch(x).定义域：R.值域：[1,+∞）.偶函数.函数图像是悬链线，最低点是（0,1），在Ⅰ象限部分是严格单调递增曲线，当x->+∞时是（1/2）e^x的等价无穷大.函数图像关于y轴对称。