地磁场和磁场中的临界极值问题

地磁场和磁场中的临界极值问题

问题一、地磁场

1、下列关于地磁场的描述正确的是（）

A.指南针总是指向南北是因为受到地磁场的作用

B.地磁两极与地理两极完全重合

C.地球周围的地磁场的磁感线是从地磁南极出发到地磁北极

D.我国宋代学者沈括正确找到了地磁场产生的原因

2、科考队进入某一磁矿区域后，发现指南针原来指向正北的N极逆时针转过30°（如

图的虚线），设该处的地磁场磁感应强度水平分量为B，则磁矿所产生的磁感应强度

水平分量的最小值为（）

A．B B．2B

3、指南针是我国古代的四大发明之一。当指南针静止时，其N极指向如图1虚线(南北向)所示，若某一条件下该指南针静止时N极指向如图实线(N极北偏东向)所示。则判断正确的是()

A．可能在指南针上面有一导线东西放置，通有东向西的电流

B．可能在指南针上面有一导线东西放置，通有西向东的电流

C．可能在指南针上面有一导线南北放置，通有北向南的电流

D．可能在指南针上面有一导线南北放置，通有南向北的电流

4、已知龙岩市区地磁场磁感应强度B约为4.0×10－5T，其水平分量约为3.0×10－5T。若龙岩市区一高层建筑安装了高50 m的竖直金属杆作为避雷针，在某次雷雨天气中，当带有正电的乌云经过避雷针的上方时，经避雷针开始放电，某一时刻的放电电流为1.0×105 A，此时金属杆受到地磁场对它的安培力方向和大小分别为()

A．方向向东，大小约为150 N B．方向向东，大小约为200 N

C．方向向西，大小约为150 N D．方向向西，大小约为200 N

5、每时每刻都有大量宇宙射线向地球射来，地磁场可以改变射线中大多数带电粒子的运动方向，使它们不能到达地面，这对地球上的生命有十分重要的意义。假设有一个带正电的宇宙射线粒子正垂直于地面向赤道射来，在地磁场的作用下，它将( )

A．向东偏转B．向南偏转C．向西偏转D．向北偏转

6、2010年地球再次受到“太阳风暴”袭击，如图所示，在“太阳风暴”中若有一个质子以3.6×105 km/h速度垂直射向北纬60°的水平地面，经过此地面上空100 km处时，质子速

度方向与该处地磁场方向间的夹角为30°，该处磁感应强度B＝6×10－5T(e＝

1.6×1019C)，则()

A．该质子在此处受洛伦兹力方向向东，大小约为5×10－19N

B．该质子一定会落到北纬60°的地面上

C．“太阳风暴”中射向地球的大多数带电粒子可被地磁场“挡住”而不落到地面上

D．该质子的运动轨迹与磁感线方向相同

7、在高纬度地区的高空，大气稀薄，常出现五颜六色的弧状、带状或幕状的极其美丽壮观的发光现象，这就是我们常说的“极光”．“极光”是由太阳发射的高速带电粒子受地磁场的影响，进入两极附近时，撞击并激发高空中的空气分子和原子引起的．假如我们在北极地区忽然发现正上方的高空出现了射向地球的沿顺时针方向生成的紫色弧状极光(显示带电粒子的运动轨迹)．则关于引起这一现象的高速带电粒子的电性及弧状极光的弯曲程度的说法正确的是() A．高速粒子带负电B．高速粒子带正电C．轨迹半径逐渐减小D．轨迹半径逐渐增大

8、科学研究经常需要猜想与假设。合理的猜想与假设不是主观臆测，它总

伴随着理性的分析和科学的思考，并有待进一步的实验检验。19世纪20年

代，以塞贝克为代表的科学家已经认识到：温度差会引起电流。安培考虑到

地球自转造成了太阳照射后地球正面与背面的温度差，于是提出如下假没：

地球磁场是由绕地球的环形电流引起的。若规定地磁场N极与S极在地球

表面的连线称为“磁子午线”，如图所示，则安培假设中电流方向应该是( )

A．由西向东垂直磁子午线B．由东向西垂直磁子午线

C．由南向北沿磁子午线D．由北向南沿磁子午线

9．在赤道上某处有一支避雷针。当带有负电的乌云经过避雷针上方时，避雷针开始放电，不考虑地磁偏角，则地磁场对避雷针的作用力的方向为（）

A．正东B．正西C．正南D．正北

10、[2011·课标全国卷] 为了解释地球的磁性，19世纪安培假设：地球的磁场是由绕过地心的轴的环形电流I引起的．在下列四个图中，正确表示安培假设中环形电流方向的是()

11、极光是由来自宇宙空间的高能带电粒子流

进入地极附近的大气层后，由于地磁场的作用

而产生的．如图所示，科学家发现并证实，这

些高能带电粒子流向两极做螺旋运动，旋转半径不断减小．此运动形成的原因是（）

A．可能是洛伦兹力对粒子做负功，使其动能减小

B．可能是介质阻力对粒子做负功，使其动能减小

C．可能是粒子的带电量减小

D．南北两极的磁感应强度较强

12、在北半球有一架飞机正沿着纬度线由西向东平行地面飞行，飞机的两翼作切割地磁感线运动，在其左右两端产生感应电动势。则（）

A．左端电势高于右端电势B．右端电势高于左端电势

C．若飞机改为沿经度线飞行，则机翼右端电势将高于左端电势

D ．若飞机在南半球飞行，则机翼右端电势将高于左端电势 问题二、磁场的临界和极值问题 ①两个结论

1、如图所示，两导体板水平放置，两板间电势差为U ，带电粒子以某一初速度v 0沿平行于两板的方向从两板正中间射入，穿过两板后又垂直于磁场方向射入边界线竖直的匀强磁场，则粒子射入磁场和射出磁场的M 、N 两点间的距离d 随着U 和v 0的变化情况为( )

A ．d 随v 0增大而增大，与U 无关

B ．d 随v 0增大而增大，随U 增大而增大

C ．d 随U 增大而增大，与v 0无关

D ．d 随v 0增大而增大，随U 增大而减小

2、如图所示，在半径为R ＝mv 0/qB 的圆形区域内有水平向里的匀强磁场，磁感应强度为B ，圆形区域右侧有一竖直感光板，从圆弧顶点P 以速率为v 0的带正电粒子平行于纸面进入磁场，已知粒子的质量为m ，电荷量为q ，粒子重力不计。正确的是（ ） A ．若粒子对准圆心射入，则它在磁场中运动的时间为πm/2qB B ．若粒子对准圆心射入，则它在磁场中运动的时间为πm/qB

C ．若粒子以速率3v 0对准圆心射入，则打到感光板上时其速度垂直分量为3v 0/2

D ．若粒子以速度v 0从P 点以任意角入射，则离开磁场后均垂直打在感光板上 ②动态分析

通用解法：①第一步，找准轨迹圆圆心可能的位置，②第二步，按一定顺序．．．．．尽可能多地作不同圆心对应的轨迹圆，请务必认真作图（一般至少画5个轨迹圆），③第三步，根据所作的图和题设条件，找出临界轨迹圆，从而抓住解题的关键点。 ※按边界分类（带电粒子出发点在边界上和磁场里）：

1、单直线边界

2、双直线边界（锐角、直角、平行）

例、如图所示，在真空中坐标xOy 平面的x>0区域内，有磁感应强度B=1.0×

10-2T 的匀强磁场，方向与xOy 平面垂直，在x 轴上的P(10，0)点，有一放射源，在xOy 平面内向各个方向发射速

率v=104

m/s 的带正电的粒子，粒子的质量为m=1.6×10-25kg ，电荷量为q=1.6×10-18C ，则（ ）

A.带电粒子打到y 轴上的最高点坐标为10cm

B.带电粒子打到y 轴上的最高点坐标为103cm

C.带电粒子打到y 轴上的最低点坐标为-10cm

D.若将x=10cm 右侧的磁场去掉，带电粒子打到y 轴上的最高点坐标为10cm

3、封闭边界（三角形、长方形、圆形边界）

例1、在边长为2a 的ABC ?内存在垂直纸面向里的磁感强度为B 的匀强磁场，有一带正电q ，质量为m 的粒子从距Ａ点a 3的D 垂直AB 方向进入磁场，如图所示，若粒子能从AC 间离开磁场，求粒子速率应满足什么条件及粒子从AC 间什么范围内射出．

例2、据有关资料介绍，受控核聚变装置中有极高的温度，因而带电粒子将没有通常意义上的“容器”可装，而是由磁场约束带电粒子运动使之束缚在某个区域内．现按下面的简化条件来讨论这个问题：如图所示的是一个截面为内径R 1=0.6m 、外径R 2=1.2m 的环状区域，区域内有垂直于截面向里的匀强

磁场．已知氦核的荷质比q/m=4.8×107C/kg ，磁场的磁感应强度B=0.4T ，不计带电粒子重力．（1）若氦核沿磁场区域的半径方向平行于截面从A 点射人磁场，求氦核在磁场中运动而不穿出外边界的最大速度．（2）若氦核在平行于截面从A 点沿各个方向射人磁场都不能穿出磁场外边界，求氦核的最大速度．

例3、如图所示，在正方形区域abcd 内充满方向垂直纸面向里的、磁感应强度为B 的匀强磁场。在t =0时刻，一位于ad 边中点O 的粒子源在abcd 平面内发射出大量的同种带电粒子，所有粒子的初速度大小相同，方向与Od 边的夹角分布在0～180°范围内。已知沿Od 方向发射的粒子在

t =t 0时刻刚好从磁场边界cd 上的p 点离开磁场，粒子在磁场中做圆周运动的半径恰好等于正方形边长L ，粒子重力不计，求：（1）粒子的比荷q /m ；

（2）假设粒子源发射的粒子在0～180°范围内均匀分布，此时刻仍在磁场中的粒子数与粒子源发射的总粒子数之比； （3）从粒子发射到全部粒子离开磁场所用的时间。

b

c

※按可能变化的参量分类：

1、已知入射点和入射速度方向，但入射速度大小不确定（伸缩圆）

2、已知入射点和入射速度大小，但入射速度方向不确定（旋转圆、圆心圆）

3、已知初速度的大小和方向，但入射点不确定（所有轨迹圆圆心均在将入射点组成的边界沿垂直入射速度方向平移一个半径距离的曲线上）

例、如图所示，长方形abcd 的长ad =0.6m ，宽ab =0.3m ，O 、e 分别是ad 、bc 的中点，以e 为圆心eb 为半径的圆弧和以O 为圆心Od 为半径的圆弧组成区域内有垂直纸面向里的匀强磁场(eb 边界上无磁场)磁感应强度B =0.25T 。一群不计重力、质量m =3×10-7kg 、电荷量q =+2×10-3C 的带正电粒子以速度v =5×l02m/s 沿垂直ad 方向且垂直于磁场射入磁场区域，则正确的是（ ） A. 从Od 边射入的粒子，出射点全部分布在Oa 边 B. 从aO 边射入的粒子，出射点全部分布在ab 边 C. 从Od 边射入的粒子，出射点分布在ab 边 D. 从ad 边射人的粒子，出射点全部通过b 点

4、已知入射点和出射点，但未知初速度大小和方向（所有轨迹圆心均在入射点和出射点连线的中垂线上）

例、如图所示，无重力空间中有一恒定的匀强磁场，磁感应强度的方向垂直于xOy 平面向外，大小为B ，沿x 轴放置一个垂直于xOy 平面的较大的荧光屏，P 点位于荧光屏上，在y 轴上的A 点放置一放射源，可以不断地沿平面内的不同方向以大小不等的速度放射出质量为m 、电荷量+q 的同种粒子，这些粒子打到荧光屏上能在屏上形成一条亮线，P 点处在亮线上，已知OA

＝OP ＝l ，求：（1）若能打到P 点，则粒子速度的最小值为多少？

（2）若能打到P 点，则粒子在磁场中运动的最长时间为多少？

5、已知初、末速度的方向（所在直线），但未知初速度大小（所有轨迹圆圆心均在初、末速度延长线形成的角的角平分线上）

例、在xOy 平面上的某圆形区域内，存在一垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B .一个质量为m 、带电量为+q 的带电粒子，由原点O 开始沿x 正方向运动，进入该磁场区域后又射出该磁场；后来，粒子经过y 轴上的P 点，此时速度方向与y 轴的夹角为30°（如图所示），已知P 到O 的距离为

x

L

P

L，不计重力的影响。

（1）若磁场区域的大小可根据需要而改变，试求粒子速度的最大可能值；

（2）若粒子速度大小为v=qBL/6m，试求该圆形磁场区域的最小面积。

6、已知初速度方向和出射点，但入射点不确定（所有轨迹圆圆心均在“以初速度所在直线为准线、出射点为焦点的抛物线”上）

例、如图所示，现有一质量为m、电量为e的电子从y轴上的P（0，a）点以初速度v0平行于x轴射出，在y轴右侧某一圆形区域加一垂直于xoy平面向里匀强磁场，磁感应强度大小为B.为了使电子能从x轴上的Q（b，0）点射出磁场。试求满足条件的磁场的

最小面积，并求出该磁场圆圆心的坐标。

参考答案：

一、1、A 2、C 3、C 4、A 5、A 6、AC 7、BC 8、B 9、B 10、B 11、BD 12、AD 二、①1、A 2、ACD ②按边界分类 2、BCD 3、例1、

m aqB

v m aqB 3)32(3≤

<-，a a 3~)332(-例2、例3、06Bt m q π=，5/6 ，0)4

5

arcsin

12

(

t t π

= 按变化参量分类

3、D 4

3qBL m

=，22

2πππ)48

L s R L ===

2a ，（b ,2a

）

例、如图，半径为r=10cm 的匀强磁场区域边界跟y 轴相切于坐标原点O ，磁感强度B=0.332T ，方向垂直纸面向里．在O 处有一放射源S ，可向纸面各个方向射出速度为v=3.2×106m/s 的粒子．已知α粒子质量m=6.64×10-27kg ，电量q=3.2×10-19C ，试画出α粒子通过磁场空间做圆周运动的圆心轨道，求出α粒子通过磁场空间的最大偏角．

2、带电粒子在“长方形磁场区域”中的运动

例、如图，长为L 间距为d 的水平两极板间，有垂直于纸面向里的匀强磁

场，磁感强度为B ，两板不带电，现有质量为m ，电量为q 的带正电粒子（重力不计），从左侧两极板的中心处以不同速率v 水平射入，欲使粒子不打在板上，求粒子速率v 应满足什么条件．

三、带电粒子在“三角形磁场区域”中的运动

例3、在边长为a 2的ABC ?内存在垂直纸面向里的磁感强度为B 的匀强磁场，有一带正电q ，质量为m 的粒子从距Ａ点a 3的Ｄ点垂直ＡＢ方向进入磁场，如图５所示，若粒子能从ＡＣ间离开磁场，求粒子速率应满足什么条件及粒子从ＡＣ间什么范围内射出．

解析：如图６所示，设粒子速率为

1v 时，其圆轨迹正好与ＡＣ边相切于Ｅ点．

图

5

D

B

????????→?d L

v

由图知，在E AO 1?中，11R E O =，113R a A O -=，由

A

O E O 11030cos =

得

1

132

3R a R -=，解得a R )32(31-=，则

a R a A O AE )332(2

321

1-=-==．

又由1

2

11R v

m Bqv =得m aqB m BqR v )32(311-=

=，则要粒子能从ＡＣ间离开磁场，其速率应大于1v ．

如图７所示，设粒子速率为2v 时，其圆轨迹正好与ＢＣ边相切于Ｆ点，与ＡＣ相交于Ｇ点．易知Ａ点即为粒子轨迹的圆心，则

a AG AD R 32===．

又由2

2

22R v m Bqv =得m aqB

v 32=，则要粒子能从ＡＣ间离开磁场，其速率应小于等于

2v ．

综上，要粒子能从ＡＣ间离开磁场，粒子速率应满足

m

aqB

v m aqB 3)32(3≤<-．

粒子从距Ａ点a a 3~)332(-的EG 间射出．

四、带电粒子在“圆环形磁场区域”中的运动

例4、据有关资料介绍，受控核聚变装置中有极高的温度，因而带电粒子将没有通常意义上的“容器”可装，而是由磁场约束带电粒子运动使之束缚在某个区域内．现按下面的简化条件来讨论这个问题：如图所示的是一个截面为内径m R 6.01=、外径m R 2.12=的环状区域，区域内有垂直于截面向里的匀强磁场．已知氦核的荷质比

kg c m

q

/108.47?=，磁场的磁感应强度T B 4.0=，不计带电粒子重力．

（1）实践证明，氦核在磁场区域内沿垂直于磁场方向运动速度v 的大小与它在磁场中运动的轨道半径r 有关，试导出v 与r 的关系式．

（2）若氦核沿磁场区域的半径方向平行于截面从A 点射人磁

图

8

图6

D

1o

A

场，画出氦核在磁场中运动而不穿出外边界的最大圆轨道示意图．

（3）若氦核在平行于截面从A 点沿各个方向射人磁场都不能穿出磁场外边界，求氦核的最大速度．

解析：（１）设氦核质量为m ，电量为q ，以速率v 在磁感强度为B 的匀强磁场中做半径为r 的匀速圆周运动，由洛仑兹力公式和牛

顿定律得R

v m Bqv 2

=，则m Bqr v =．

（２）所求轨迹示意图如图９所示（要与外圆相切） （３）当氦核以m v 的速度沿与内圆相切方向射入磁场且轨道与外圆相切时，则以m v 速度沿各方向射入磁场区的氦核都不能穿出磁场外边界，如图１０所示．

由图知m R R r 3.0212=-='，又由r v m Bqv 2=得Bq

m v r =， 在速度为m v 时不穿出磁场外界应满足的条件是r Bq

mv m

'<， 则s m m

r Bq v m /1076.53.0108.44.067?=???='

≤

． 五、带电粒子在“宽度一定的无限长磁场区域”中的运动

例5、如图11所示，A 、B 为水平放置的足够长的平行板，板间距离为m d 2

100.1-?=，A 板中央有一电子源P ，在纸面内能向各个方向发射速度在

s m /102.3~07?范围内的电子，Ｑ为P 点正上方B 板上的一点，若

垂直纸面加一匀强磁场，磁感应强度T B 3

101.9-?=，已知电子的质量kg m 31

10

1.9-?=，电子电量C e 19

10

6.1-?=，不计电子的重力

和电子间相互作用力，且电子打到板上均被吸收，并转移到大地．求：

（1）沿P Ｑ方向射出的电子击中A 、B 两板上的范围．

（２）若从Ｐ点发出的粒子能恰好击中Ｑ点，则电子的发射方向（用图中θ角表示）与电子速度的大小v 之间应满足的关系及各自相应的取值范围．

解析：如图１２所示，沿ＰＱ方向射出的电子最大轨迹半径由

r

v

m

Bev 2

=可得Be m v r m m =，代入数据解得d m r m 21022=?=-．

该电子运动轨迹圆心在Ａ板上Ｈ处，恰能击中Ｂ板Ｍ处．随着电

图9

图10

图13

P

子速度的减少，电子轨迹半径也逐渐减小．击中Ｂ板的电子与Ｑ点最远处相切于Ｎ点，此时电子的轨迹半径为d ，并恰能落在Ａ板上Ｈ处．所以电子能击中Ｂ板ＭＮ区域和Ａ板ＰＨ区域．

在?ＭＦＨ中，有d d d MF HM FH 3)2(222

2-=-=

，

s m d PF QM /1068.2)32(3-?=-==， m d QN 2101-?==，m d PH 21022-?==．

电子能击中Ｂ板Ｑ点右侧与Ｑ点相距m m 2

3

101~1068.2--??的范围．电子能击中Ａ板Ｐ点右侧与Ｐ点相距m 2

102~0-?的范围．

（２）如图１３所示，要使Ｐ点发出的电子能击中Ｑ点，则有Be mv r =，2

sin d r =θ． 解得6

108sin ?=θv ．

v 取最大速度s m /102.37?时，有41sin =

θ，4

1

arcsin min =θ；v 取最小速度时有2

max π

θ=

，s m v /1086

min ?=．

所以电子速度与θ之间应满足6

108sin ?=θv ，且]2

,41[a r c s i

n πθ∈，]/102.3,/108[76s m s m v ??∈．

六、带电粒子在“单边磁场区域”中的运动

例6、如图14所示，在真空中坐标xoy 平面的0>x 区域内，有磁感强度T B 2

100.1-?=的匀强磁场，方向与xoy 平面垂直，在x 轴上的)0,10(p 点，有一放射源，在xoy 平面内向各个方向发射速率s m v /100.14

?=的带正电的粒子，粒子的质量为

kg m 25106.1-?=，电量为C q 18106.1-?=，求带电粒子能打到y 轴上的范围．

解析：带电粒子在磁场中运动时有R

v m Bqv 2

=，则

cm m Bq mv R 101.0106.1100.1100.1106.118

24

25==??????==---．

cm

/图14

o cm x /cm y /p ??

?

???????

????

?

??

如图１５所示，当带电粒子打到y 轴上方的A 点与P 连线正好为其圆轨迹的直径时，A 点既为粒子能打到y 轴上方的最高点．因cm R Op 10==，cm R AP 202==，则

cm OP AP OA 3102

2=-=．

当带电粒子的圆轨迹正好与y 轴下方相切于Ｂ点时，Ｂ点既为粒子能打到y 轴下方的最

低点，易得cm R OB 10==．

综上，带电粒子能打到y 轴上的范围为：cm y cm 31010≤≤-．

如图所示，无重力空间中有一恒定的匀强磁场，磁感应强度的方向垂直于xOy 平面向外，大小为B ，沿x 轴放置一个垂直于xOy 平面的较大的荧光屏，P 点位于荧光屏上，在y 轴上的A 点放置一放射源，可以不断地沿平面内的不同方向以大小不等的速度放射出质量为m 、电荷量

+q 的同种粒子，这些粒子打到荧光屏上能在屏上形成一条亮线，P 点处在亮线上，已知OA ＝OP

＝l ，求：（1）若能打到P 点，则粒子速度的最小值为多少？

（2）若能打到P 点，则粒子在磁场中运动的最长时间为多少？

如图所示，在正方形区域abcd 内充满方向垂直纸面向里的、磁感应强度为B 的匀强磁场.在t =0时刻,一位于正方形区域中心O 的粒子源在abcd 平面内向各个方向发射出大量带正电的粒子,所有粒子的初速度大小均相同，粒子在磁场中做圆周运动的半径恰好等于正方形边长，不计重力和粒子之间的相互作用力.已知平行于ad 方向发射的粒子在t=t 0时刻刚好从磁场边界cd 上的某点离开磁场，求： (1)粒子的比荷q/m ；

(2)从粒子发射到全部粒子离开磁场所用的时间； (3)假设粒子源发射的粒子在各个方向均匀分布，在t =t 0时刻仍在磁场中的粒子数与粒子源发射的总粒子数之比.

如图所示，在正方形区域abcd 内充满方向垂直纸面向里的、磁感应强度为B 的匀强磁场。在t =0时刻，一位于ad 边中点O 的粒子源在abcd 平面内发射出大量的同种带电粒子，所有粒子的初速度大小相同，方向与Od 边的夹角分布在

0～180°范围内。已知沿Od 方向发射的粒子在t =t 0时刻刚好从磁场边界cd 上的p 点离开磁场，粒子在磁场中做圆周运动的半径恰好等于正方形边长L ，粒子重力不计，求：

（1）粒子的比荷q /m ；

（2）假设粒子源发射的粒子在0～180°范围内均匀分布，此时刻

仍在磁场中的粒子数与粒子源发射的总粒子数之比；

c

（3）从粒子发射到全部粒子离开磁场所用的时间。

解：（1）初速度平行于ad方向发射的粒子在磁场中运动的轨迹如图，其圆心为O1,由几何关系有：∠OO1k=π/6，则t0=T/12.

粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的向心力由洛伦兹力提供。设粒子做圆周运动的半径为R，根据牛顿第二定律，qvB=mRω2，ω=2π/T，v=2πR/T，

联立解得：q/m=π/6Bt0。

（2）如图，在匀强磁场中运动时间最长的粒子的轨迹应过正方形区域的顶点。设此粒子运动轨迹对应的圆心角为θ，则sin(θ/2)=/4。

在磁场中运动的最长时间t=T=arcsin(/4).

所以从粒子发射到全部离开所用时间为t=arcsin(/4).

（3）依题意，同一时刻仍在磁场中的粒子到O点距离相等，在t0时刻仍在磁场中的粒子应位于以O为圆心，Ok为半径的弧上。由几何关系可知，∠nOk=π/12.

此时刻仍在磁场中的粒子与总粒子数之比为=。

如图所示，长方形abcd 的长ad =0.6m ，宽ab =0.3m ，O 、e 分别是ad 、bc 的中点，以e 为圆心eb 为半径的圆弧和以O 为圆心Od 为半径的圆弧组成的区域内有垂直纸面向里的匀强磁场(eb 边界上无磁场)磁感应强度B =0.25T 。一群不计重力、质量m =3×10-7kg 、电荷量q =+2×10-3C 的带正电粒子以速度v =5×l02m/s 沿垂直ad 方向且垂直于磁场射入磁场区域，则判断正确的是（ ）D

A. 从Od 边射入的粒子，出射点全部分布在Oa 边

B. 从aO 边射入的粒子，出射点全部分布在ab 边

C. 从Od 边射入的粒子，出射点分布在ab 边

D. 从ad 边射人的粒子，出射点全部通过b 点

在xOy 平面上的某圆形区域内，存在一垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B .一个质量为m 、带电量为+q 的带电粒子，由原点O 开始沿x 正方向运动，进入该磁场区域后又射出该磁场；后来，粒子经过y 轴上的P 点，此时速度方向与y 轴的夹角为30°（如图所示），已知P 到O 的距离为L ，不计重力的影响。

（1）若磁场区域的大小可根据需要而改变，试求粒子速度的最大可能值； （2）若粒子速度大小为v=qBL/6m ，试求该圆形磁场区域的最小面积。

3qBL v m

=

，2

22πππ()1248L s R L ===

如图所示，现有一质量为m 、电量为e 的电子从y 轴上的P （0，a ）点以初速度v 0平行于x 轴射出，在y 轴右侧某一圆形区域加一垂直于xoy 平面向里匀强磁场，磁感应强度大小为B .为了使电子能从x 轴上的Q （b ，0）点射出磁场。试求满足条件的磁场的最小面积，并求出该磁场圆圆心的坐标。

2π4

1a ，（b ,2a ）

x

v

O

动力学中的临界与极值问题

考点二 动力学中的临界与极值问题 动力学中的临界问题一般有三种解法： 1.极限法 在题目中如出现“最大”“最小”“刚好”等词语时，一般隐含着临界问题，处理这类问题时，应把物理问题(或过程)推向极端，从而使临界现象(或状态)暴露出来，达到尽快求解的目的． 2．假设法 有些物理过程中没有明显出现临界问题的线索，但在变化过程中可能出现临界问题，也可能不出现临界问题，解答这类题，一般用假设法． 3．数学法 将物理过程转化为数学公式，根据数学表达式求解得出临界条件． 命题点1 接触与脱离的临界条件 3．一个弹簧测力计放在水平地面上，Q 为与轻弹簧上端连在一起的秤盘，P 为一重物，已知P 的质量M ＝10.5 kg ，Q 的质量m ＝1.5 kg ，弹簧的质量不计，劲度系数k ＝800 N/m ，系统处于静止．如图所示，现给P 施加一个方向竖直向上的力F ，使它从静止开始向上做匀加速运动，已知在前0.2 s 内，F 为变力，0.2 s 以后，F 为恒力．求力F 的最大值与最小值．(取g ＝10 m/s 2) 【解析】 设开始时弹簧压缩量为x 1，t ＝0.2 s 时弹簧的压缩量为x 2，物体P 的加速度为a ，则有 kx 1＝(M ＋m )g ① kx 2－mg ＝ma ② x 1－x 2＝12 at 2③ 由①式得x 1＝(M ＋m )g k ＝0.15 m ， 由②③式得a ＝6 m/s 2. F min ＝(M ＋m )a ＝72 N ，

F max ＝M (g ＋a )＝168 N. 【答案】 F max ＝168 N F min ＝72 N 命题点2 相对滑动的临界条件 4.如图所示，12个相同的木块放在水平地面上排成一条直线，相邻两木块接触但不粘连，每个木块的质量m ＝1.2 kg ，长度l ＝0.5 m ．木块原来都静止，它们与地面间的动摩擦因数均为μ1＝0.1，在左边第一个木块的左端放一质量M ＝1 kg 的小铅块(可视为质点)，它与各木块间的动摩擦因数均为μ2＝0.5，现突然给小铅块一个向右的初速度v 0＝9 m/s ，使其在木块上滑行．设木块与地面间及小铅块与木块间的最大静摩擦力均等于滑动摩擦力，重力加速度g ＝10 m/s 2.求： (1)小铅块相对木块滑动时小铅块的加速度大小； (2)小铅块下的木块刚发生运动时小铅块的瞬时速度大小． 【解析】 (1)设小铅块相对木块滑动时加速度大小为a ，由牛顿第二定律可知μ2Mg ＝Ma 解得a ＝5 m/s 2. (2)设小铅块最多能带动n 个木块运动，对n 个木块整体进行受力分析，当小铅块下的n 个木块发生运动时，则有μ2Mg ≥μ1(mgn ＋Mg ) 解得n ≤3.33 即小铅块最多只能带动3个木块运动 设当小铅块通过前面的9个木块时的瞬时速度大小为v ，由动能定理可知－μ2Mg ×9l ＝12 M (v 2－v 20) 解得v ＝6 m/s. 【答案】 (1)5 m/s 2 (2)6 m/s 命题点3 数学方法求解极值问题 5．如图所示，一质量m ＝0.4 kg 的小物块，以v 0＝2 m/s 的初速度，在与斜面成某一夹角的拉力F 作用下，沿斜面向上做匀加速运动，经t ＝2 s 的时间物块由A 点运动到B 点，A 、B 之间的距离L ＝10 m ．已知斜面倾角θ＝30°，物块与斜面之间的动摩擦因数μ＝33 .重力加速度g 取10 m/s 2.求：

动力学中的临界极值问题的处理

动力学中临界极值问题的处理及分析 物理学中的临界和极值问题牵涉到一定条件下寻求最佳结果或讨论其物理过程范围的问题，此类问题通常难度较大技巧性强，所涉及的内容往往与动力学、力学密切相关，综合性强。在高考命题中经常以压轴题的形式出现，临界和极值问题是每年高考必考的内容之一。一．解决动力学中临界极值问题的基本思路 所谓临界问题是指当某种物理现象（或物理状态）变为另一种物理现象（或另一物理状态）的转折状态叫临界状态．可理解成“恰好出现”或“恰好不出现”．某种物理现象转化为另一种物理现象的转折状态称为临界状态。至于是“出现”还是“不出现”，需视具体问题而定。极值问题则是在满足一定的条件下，某物理量出现极大值或极小值的情况。临界问题往往是和极值问题联系在一起的。 解决此类问题重在形成清晰的物理图景，分析清楚物理过程，从而找出临界条件或达到极值的条件，要特别注意可能出现的多种情况。动力学中的临界和极值是物理中的常见题型，同学们在刚刚学过的必修1中匀变速运动规律、共点力平衡、牛顿运动定律中都涉及到临界和极值问题。在解决临办极值问题注意以下几点：○1临界点是一个特殊的转换状态，是物理过程发生变化的转折点，在这个转折点上，系统的一些物理量达到极值。○2临界点的两侧，物体的受力情况、变化规律、运动状态一般要发生改变，能否用变化的观点正确分析其运动规律是求解这类题目的关键，而临界点的确定是基础。○3许多临界问题常在题目的叙述中出现“恰好”、“最大”、“至少”、“不相撞”、“不脱离”……等词句对临界问题给出了明确的暗示，审题是只要抓住这些特定词语其内含规律就能找到临界条件。○4有时，某些临界问题中并不包含常见的临界术语，但审题时发现某个物理量在变化过程中会发生突变，如运动中汽车做匀减速运动类问题，则该物理量突变时物体所处的状态即为临界状态。○5临界问题通常具有一定的隐蔽性，解题灵活性较大，审题时应力图还原习题的物理情景，抓住临界状态的特征，找到正确的解题方向。○6确定临界点一般用极端分析法，即把问题（物理过程）推到极端，分析在极端情况下可能出现的状态和满足的条件。解题常用的思路用矢量法、三角函数法、一元二次方程判别式法或根据物理过程的特点求极值法等。 二．匀变速运动规律中与临界极值相关问题的解读 在质点做匀变速运动中涉及到临界与极值的问题主要有“相遇”、“追及”、“最大距离”、“最小距离”、“最大速度”、“最小速度”等。 【例1】速度大小是5m/s的甲、乙两列火车，在同一直线上相向而行。当它们相隔2000m 时，一只鸟以10m/s的速度离开甲车头向乙车头飞去，当到达乙车车头时立即返回，并这样连续在两车间来回飞着。问： （1）当两车头相遇时，这鸟共飞行多少时间？ （2）相遇前这鸟飞行了多少路程？ 【致远提示】甲、乙火车和小鸟运动具有等时性，要分析相遇的临界条件。 【思维总结】本题难度不大，建立物理情景，分清运动过程，找到相遇的临界条件、三个运动物体运动具有等时性和小鸟速率不变是解题的切入点。

高考物理一轮复习热点题型专题3.6带电粒子在有界匀强磁场中的临界极值问题(1)学案

专题3.6 带电粒子在有界匀强磁场中的临界极值问题（1） 该类问题主要解决外界提供什么样以及多大的磁场，使运动电荷在有限的空间内完成规定偏转程度的要求，一般求解磁场分布区域的最小面积，它在实际中的应用就是磁约束。 1. 从关键词找突破口：许多临界问题，题干中常用“恰好”、“最大”、“至少”、“不相撞”、“不脱离”等词语对临界状态给以暗示，审题时，一定要抓住这些特定的词语挖掘其隐藏的规律，找出临界条件。 2. 常用方法 ①对称法：如果磁场边界是直线，那么粒子进入磁场时速度与边界的夹角和射出磁场时速度和边界的夹角相等。 ②旋转平移法：当带电粒子进入磁场时的速率相同而方向不同时，粒子运动轨迹的圆周半径是相同的，所以可将圆周以入射点为转轴进行旋转或平移，从而探索出临界条件，这种方法称为“旋转平移法”。 ③放缩法：粒子源发射速度方向一定、大小不同的带电粒子进入匀强磁场时，这些带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径随速率的变化而变化，将半径放缩作轨迹，从而探索出临界条件，这种方法称为“放缩法”。 【典例1】(2016·全国卷Ⅲ) 平面OM 和平面ON 之间的夹角为30°，其横截面(纸面)如图所示，平面OM 上方存在匀强磁场，磁感应强度大小为B ，方向垂直于纸面向外。一带电粒子的质量为m ，电荷量为q (q >0)。粒子沿纸面以大小为v 的速度从OM 的某点向左上方射入磁场，速度与OM 成30°角。已知该粒子在磁场中的运动轨迹与ON 只有一个交点，并从OM 上另一点射出磁场。不计重力。粒子离开磁场的出射点到两平面交线O 的距离为( ) A. mv 2qB B.3mv qB C.2mv qB D.4mv qB 【答案】 D 【解析】 如图所示， 粒子在磁场中运动的轨迹半径为R ＝mv qB 。设入射点为A ，出射点为B ，圆弧与ON 的交点为P 。由粒子运动的对称性及粒子的入射方向知，AB ＝R 。

在学习物理中有关临界极值问题的处理

在动力学中临界极值问题的处理 佛山市高明第一中学（528500）周兆富 物理学中的临界和极值问题牵涉到一定条件下寻求最佳结果或讨论其物理过程范围的 问题，此类问题通常难度较大技巧性强，所涉及的内容往往与动力学、电磁学密切相关，综合性强。在高考命题中经常以压轴题的形式出现，临界和极值问题是每年高考必考的内容之一。 一．解决动力学中临界极值问题的基本思路 所谓临界问题是指当某种物理现象（或物理状态）变为另一种物理现象（或另一物理状态）的转折状态叫临界状态．可理解成“恰好出现”或“恰好不出现”．某种物理现象转化为另一种物理现象的转折状态称为临界状态。至于是“出现”还是“不出现”，需视具体问题而定。极值问题则是在满足一定的条件下，某物理量出现极大值或极小值的情况。临界问题往往是和极值问题联系在一起的。 解决此类问题重在形成清晰的物理图景，分析清楚物理过程，从而找出临界条件或达到极值的条件，要特别注意可能出现的多种情况。动力学中的临界和极值是物理中的常见题型，同学们在刚刚学过的必修1中匀变速运动规律、共点力平衡、牛顿运动定律中都涉及到临界和极值问题。在解决临办极值问题注意以下几点：○1临界点是一个特殊的转换状态，是物理过程发生变化的转折点，在这个转折点上，系统的一些物理量达到极值。○2临界点的两侧，物体的受力情况、变化规律、运动状态一般要发生改变，能否用变化的观点正确分析其运动规律是求解这类题目的关键，而临界点的确定是基础。○3许多临界问题常在题目的叙述中出现“恰好”、“最大”、“至少”、“不相撞”、“不脱离”……等词句对临界问题给出了明确的暗示，审题是只要抓住这些特定词语其内含规律就能找到临界条件。○4有时，某些临界问题中并不包含常见的临界术语，但审题时发现某个物理量在变化过程中会发生突变，如运动中汽车做匀减速运动类问题，则该物理量突变时物体所处的状态即为临界状态。○5临界问题通常具有一定的隐蔽性，解题灵活性较大，审题时应力图还原习题的物理情景，抓住临界状态的特征，找到正确的解题方向。○6确定临界点一般用极端分析法，即把问题（物理过程）推到极端，分析在极端情况下可能出现的状态和满足的条件。解题常用的思路用矢量法、三角函数法、一元二次方程判别式法或根据物理过程的特点求极值法等。 二．匀变速运动规律中与临界极值相关问题的解读 在质点做匀变速运动中涉及到临界与极值的问题主要有“相遇”、“追及”、“最大距离”、“最小距离”、“最大速度”、“最小速度”等。 ?例1?速度大小是5m/s的甲、乙两列火车，在同一直线上相向而行。当它们相隔2000m时，一只鸟以10m/s的速度离开甲车头向乙车头飞去，当到达乙车车头时立即返回，并这样连续在两车间来回飞着。问： （1）当两车头相遇时，这鸟共飞行多少时间？ （2）相遇前这鸟飞行了多少路程？ ?灵犀一点?甲、乙火车和小鸟运动具有等时性，要分析相遇的临界条件。 ?解析?飞鸟飞行的时间即为两车相遇前运动的时间，由于飞鸟在飞行过程中速率没有变化，可用s=vt求路程。 （1）设甲、乙相遇时间为t，则飞鸟的飞行时间也为t，甲、乙速度大小相等v甲= v乙=5m/s，同相遇的临界条件可得：s = (v甲+v乙)t 则： 2000 =200 10 s t s s v v == + 乙 甲

动力学中的临界极值问题的处理讲课教案

动力学中的临界极值问题的处理

动力学中临界极值问题的处理及分析 物理学中的临界和极值问题牵涉到一定条件下寻求最佳结果或讨论其物理过程范围的问题，此类问题通常难度较大技巧性强，所涉及的内容往往与动力学、力学密切相关，综合性强。在高考命题中经常以压轴题的形式出现，临界和极值问题是每年高考必考的内容之一。 一．解决动力学中临界极值问题的基本思路 所谓临界问题是指当某种物理现象（或物理状态）变为另一种物理现象（或另一物理状态）的转折状态叫临界状态．可理解成“恰好出现”或“恰好不出现”．某种物理现象转化为另一种物理现象的转折状态称为临界状态。至于是“出现”还是“不出现”，需视具体问题而定。极值问题则是在满足一定的条件下，某物理量出现极大值或极小值的情况。临界问题往往是和极值问题联系在一起的。 解决此类问题重在形成清晰的物理图景，分析清楚物理过程，从而找出临界条件或达到极值的条件，要特别注意可能出现的多种情况。动力学中的临界和极值是物理中的常见题型，同学们在刚刚学过的必修1中匀变速运动规律、共点力平衡、牛顿运动定律中都涉及到临界和极值问题。在解决临办极值问题 注意以下几点：○1临界点是一个特殊的转换状态，是物理过程发生变化的转折点，在这个转折点上，系统的一些物理量达到极值。○2临界点的两侧，物体的受力情况、变化规律、运动状态一般要发生改变，能否用变化的观点正确分析其运动规律是求解这类题目的关键，而临界点的确定是基础。○3许多临界问题 常在题目的叙述中出现“恰好”、“最大”、“至少”、“不相撞”、“不脱离”……等词句对临界问题给出了明确的暗示，审题是只要抓住这些特定词语 其内含规律就能找到临界条件。○4有时，某些临界问题中并不包含常见的临界 术语，但审题时发现某个物理量在变化过程中会发生突变，如运动中汽车做匀 减速运动类问题，则该物理量突变时物体所处的状态即为临界状态。○5临界问 题通常具有一定的隐蔽性，解题灵活性较大，审题时应力图还原习题的物理情 景，抓住临界状态的特征，找到正确的解题方向。○6确定临界点一般用极端分 析法，即把问题（物理过程）推到极端，分析在极端情况下可能出现的状态和满足的条件。解题常用的思路用矢量法、三角函数法、一元二次方程判别式法或根据物理过程的特点求极值法等。 二．匀变速运动规律中与临界极值相关问题的解读 在质点做匀变速运动中涉及到临界与极值的问题主要有“相遇”、“追及”、“最大距离”、“最小距离”、“最大速度”、“最小速度”等。 【例1】速度大小是5m/s的甲、乙两列火车，在同一直线上相向而行。当它们相隔2000m时，一只鸟以10m/s的速度离开甲车头向乙车头飞去，当到达乙车车头时立即返回，并这样连续在两车间来回飞着。问： （1）当两车头相遇时，这鸟共飞行多少时间？

圆周运动临界问题 极值问题

圆周运动临界问题 极值问题 相关知识复习： 一、由于受静摩擦力作用 二、绳 杆等恰好无作用力或者有承受最大力 三、两个典型模型 1、绳球模型（已知绳长L ，小球质量m ，线速度V ） 1）画出小球的受力示意图 2）写出小球过最高点的动力学方程 3）若小球刚好过最高点，F =拉 ，此时 V= 2、杆球模型 （已知杆长L ，小球质量m ，线速度V ） 1）若小球刚好过最高点，杆对球的作用力F = ，方向 此时 V= 2 ）若v = F = 。 3 ）若v >F = ，方向 。 4 ）若0v

带电粒子在磁场中运动之临界与极值问题

考点4.6 临界与极值问题 考点4.6.1 “放缩圆”方法解决极值问题 1、圆的“放缩” 当带电粒子射入磁场的方向确定，但射入时的速度v 大小或磁场的 强弱B 变化时，粒子做圆周运动的轨道半径r 随之变化．在确定粒 子运动的临界情景时，可以以入射点为定点，将轨道半径放缩，作 出一系列的轨迹，从而探索出临界条件．如图所示，粒子进入长方 形边界OABC 形成的临界情景为②和④. 1. （多选）如图所示，左、右边界分别为PP ′、QQ ′的匀强磁场的宽度为d ，磁感应强度大小为B ，方向垂直纸面向里.一个质量为m 、电荷量为q 的微观粒子，沿图示方向以速度v 0垂直射入磁场.欲使粒子不能从边界QQ ′射出，粒子入射速度v 0的最大值可能是( ) A.Bqd m B.(2＋2)Bqd m C.(2－2)Bqd m D.2Bqd 2m 2. (2016·全国卷Ⅲ，18)平面OM 和平面ON 之间的夹角为30°，其横截面(纸面)如图所示，平面OM 上方存在匀强磁场，磁感应强度大小为B ，方向垂 直于纸面向外。一带电粒子的质量为m ，电荷量为q (q >0)。 粒子沿纸面以大小为v 的速度从OM 的某点向左上方射入磁 场，速度与OM 成30°角。已知该粒子在磁场中的运动轨迹 与ON 只有一个交点，并从OM 上另一点射出磁场。不计重 力。粒子离开磁场的出射点到两平面交线O 的距离为( ) A.mv 2qB B.3mv qB C.2mv qB D.4mv qB 3. （多选）长为L 的水平极板间，有垂直纸面向内的匀强磁场，如下图所示，磁感应强度为B ，板间距离也为L ，板不带电，现有 质量为m ，电荷量为q 的带正电粒子(不计重力)，从左边极板间中点处垂直磁感线以速度v 水平射入磁场，欲使粒子不打在极板上，可采用的办法是( ) A 、使粒子的速度v 5BqL 4m C 、使粒子的速度v >BqL m D 、使粒子速度BqL 4m

动力学的临界和极值问题

动力学的临界和极值问题 教学目标： 教学重点、难点： 新课引入： 教学过程： 一、临界和极值 在应用牛顿定律解决动力学问题中，当物体运动的加速度不同时，物体 有可能处于不同的状态，特别是题目中出现“最大”、“最小”、“刚好”等词语时，往往会有临界现象。此时要采用极限分析法，看物体在不同加速度时，会有哪些现象发生，尽快找出临界点，求出临界条件。 在某些物理情境中，物体运动状态变化的过程中，由于条件的变化，会出现两种状态的衔接，两种现象的分界，同时使某个物理量在特定状态时，具有最大值或最小值。这类问题称为临界问题。在解决临界问题时，进行正确的受力分析和运动分析，找出临界状态是解题的关键。 1、相互接触的物体，它们分离的临界条件是：它们之间的弹力0 N ，而且此时它们的速度相等，加速度相同。 【例】如图，在竖直立在水平面的轻弹簧上面固定一块质量不计的薄板，将薄板上放一重物，并用手将重物往下压，然后突然将手撤去，重物即被弹射出去，则在弹射过程中，（即重物与弹簧脱离之前），重物的运动情况是（ ） A 、一直加速 B 、先减速，后加速 C 、先加速、后减速 D 、匀加速

【例】如图所示，劲度系数为k 的轻弹簧竖直固定在水平面上，上端固定一质量为0m 的托盘，托盘上有一个质量为m 的木块。用竖直向下的力将原长为0l 的弹簧压缩后突然撤去外力，则m 即将脱离0m 时的弹簧长度为（ ） A 、0l B 、()k g m m l +- C 、k mg l -0 D 、k g m l 00-

【例】如图所示，一细线的一端固定于倾角为?45的光滑楔形滑块A 的顶端P 处，细线的另一端拴一质量为m 的小球。当滑块至少以加速度______=a 向的 左运动时，小球对滑块的压力等于零。当滑块以g a 2=加速度向左运动时，线的拉力大小______=F 。

板块模型的临界极值问题

板块模型的临界极值问题 Prepared on 22 November 2020

板块模型的临界极值问题 1【经典模型】 如图甲所示，M 、m 两物块叠放在光滑的水平面上，两物块间的动摩擦因数为μ，一个恒力F 作用在物块M 上． (1)F 至少为多大，可以使M 、m 之间产生相对滑动 (2)如图乙所示，假如恒力F 作用在m 上，则F 至少为多大，可以使M 、m 之间产生相对滑动 练1、如图所示，物体A 、B 的质量分别为2kg 和1kg ，A 置于光滑的水平地面上，B 叠加在A 上。已知A 、B 间的动摩擦因数为，水平向右的拉力F 作用在B 上，A 、B 一起相对静止开始做匀加速运动。加速度为2/s m 。 （2/10s m g =）求： （1）力F 的大小。 （2）A 受到的摩擦力大小和方向。 （3）A 、B 之间的最大静摩擦力A 能获得的最大加速度 （4）要想A 、B 一起加速（相对静止），力F 应满足什么条件 （5）要想A 、B 分离，力F 应满足什么条件 练2、物体A 放在物体B 上，物体B 放在光滑的水平面上，已知6=A m kg ，2=B m kg ，A 、B 间动摩擦因数2.0=μ，如图所示。现用一水平向右的拉力F 作用于物体A 上，则下列说法中正确的是（10=g m/s 2）（ ） A ．当拉力F <12N 时，A 静止不动 B ．当拉力F =16N 时，A 对B 的摩擦力等于4N C ．当拉力F >16N 时，A 一定相对B 滑动 D ．无论拉力F 多大，A 相对B 始终静止 2、如图，物体A 叠放在物体B 上，B 置于光滑水平面上，A 、B 质量分别为m A ＝6 kg 、m B ＝2 kg ，A 、B 之间的动摩擦因数是，开始时F ＝10 N ，此后逐渐增加，在增大到45 N 的过程中，则( ) A ．当拉力F ＜12 N 时，两物体均保持静止状态 B ．两物体开始没有相对运动，当拉力超过12 N 时，开始相对滑动 C ．两物体间从受力开始就有相对运动

对磁场中双杆模型问题的解析(精)

对磁场中双杆模型问题的解析 南京市秦淮中学汪忠兵 研究两根平行导体杆沿导轨垂直磁场方向运动是力电知识综合运用问题，是电磁感应部分的非常典型的习题类型，因处理这类问题涉及到力学和电学的知识点较多，综合性较强，所以是学生练习的一个难点，下面就这类问题的解法举例分析。 在电磁感应中，有三类重要的导轨问题：1．发电式导轨；2．电动式导轨；3．双动式导轨。导轨问题，不仅涉及到电磁学的基本规律，还涉及到受力分析，运动学，动量，能量等多方面的知识，以及临界问题，极值问题。尤其是双动式导轨问题要求学生要有较高的动态分析能力 电磁感应中的双动式导轨问题其实已经包含有了电动式和发电式导轨，由于这类问题中物理过程比较复杂，状态变化过程中变量比较多，关键是能抓住状态变化过程中变量“变”的特点和规律，从而确定最终的稳定状态是解题的关键，求解时注意从动量、能量的观点出发，运用相应的规律进行分析和解答。 一、在竖直导轨上的“双杆滑动”问题 1.等间距型 如图1所示，竖直放置的两光滑平行金属导轨置于垂直导轨向里的匀强 磁场中，两根质量相同的金属棒a和b和导轨紧密接触且可自由滑动，先固 定a，释放b，当b速度达到10m/s时，再释放a，经1s时间a的速度达到12m/s， 则： A、当va=12m/s时，vb=18m/s B、当va=12m/s时，vb=22m/s C、若导轨很长，它们最终速度必相同 D、它们最终速度不相同，但速度差恒定 【解析】因先释放b，后释放a，所以a、b一开始速度是不相等的，而且b的速度要大于a 的速度，这就使a、b和导轨所围的线框面积增大，使穿过这个线圈的磁通量发生变化，使线圈中有感应电流产生，利用楞次定律和安培定则判断所围线框中的感应电流的方向如图所示。再用左手定则判断两杆所受的安培力，对两杆进行受力分析如图1。开始两者的速度都增大，因安培力作用使a的速度增大的快，b的速度增大的慢，线圈所围的面积越来越小，在线圈中产生了感应电流；当二者的速度相等时，没有感应电流产生，此时的安培力也为零，所以最终它们以相同的速度都在重力作用下向下做加速度为g的匀加速直线运动。 在释放a后的1s内对a、b使用动量定理，这里安培力是个变力，但两杆所受安培力总是大小相等、方向相反的，设在1s内它的冲量大小都为I，选向下的方向为正方向。 当棒先向下运动时，在和以及导轨所组成的闭合回路中产生感应电流，于是棒受到向下的安培力，棒受到向上的安培力，且二者大小相等。释放棒后，经过时间t，分别以和为研究对象，根据动量定理，则有： 对a有：( mg + I ) · t = m v a0,

板块模型的临界极值问题 (1)

板块模型的临界极值问题 1【经典模型】 如图甲所示，M 、m 两物块叠放在光滑的水平面上，两物块间的动摩擦因数为μ，一个恒力F 作用在物块M 上． (1)F 至少为多大，可以使M 、m 之间产生相对滑动？ (2)如图乙所示，假如恒力F 作用在m 上，则F 至少为多大，可以使M 、m 之间产生相对滑动？ 练1、如图所示，物体A 、B 的质量分别为2kg 和1kg ，A 置于光滑的水平地面上，B 叠加在A 上。已知A 、B 间的动摩擦因数为，水平向右的拉力F 作用在B 上， A 、 B 一起相对静止开始做匀加速运动。加速度为2/s m 。（2 /10s m g =）求： （1）力F 的大小。 （2）A 受到的摩擦力大小和方向。 （3）A 、B 之间的最大静摩擦力？A 能获得的最大加速度？ （4）要想A 、B 一起加速（相对静止），力F 应满足什么条件？ （5）要想A 、B 分离，力F 应满足什么条件？ 练2、物体A 放在物体B 上，物体B 放在光滑的水平面上，已知6=A m kg ，2=B m kg ，A 、B 间动摩擦因数2.0=μ，如图所示。现用一水平向右的拉力F 作用于物体A 上，则下列说法中正确的是（10=g m/s 2）（ ） A ．当拉力F <12N 时，A 静止不动 B ．当拉力F =16N 时，A 对B 的摩擦力等于4N C ．当拉力F >16N 时，A 一定相对B 滑动 D ．无论拉力F 多大，A 相对B 始终静止 2、如图，物体A 叠放在物体B 上，B 置于光滑水平面上，A 、B 质量分别为m A ＝6 kg 、m B ＝2 kg ，A 、B 之间的动摩擦因数是，开始时F ＝10 N ，此后逐渐增加，在增大到45 N 的过程中，则( ) A ．当拉力F ＜12 N 时，两物体均保持静止状态 B ．两物体开始没有相对运动，当拉力超过12 N 时，开始相对滑动 C ．两物体间从受力开始就有相对运动 D ．两物体间始终没有相对运动

带电粒子在磁场中的临界极值问题

带电粒子在磁场运动的临界与极值问题考点解读 解决此类问题的关键是：找准临界点． 找临界点的方法是：以题目中的“恰好”“最大”“最高”“至少”等词语为突破口，借助半径R和速度v(或磁场B)之间的约束关系进行动态运动轨迹分析，确定轨迹圆和边界的关系，找出临界点，然后利用数学方法求解极值，常用结论如下： (1)刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切． (2)当速度v一定时，弧长(或弦长)越长，圆周角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长． (3)当速率v变化时，圆周角越大，运动时间越长． 典例剖析 1．磁感应强度的极值问题 例1 如图所示，一带正电的质子以速度v0从O点垂直射入，两个板间存在垂直纸面向里的匀强磁场．已知两板之间距离为d，板长为d，O点是板的正中间，为使质子能从两板间射出，试求磁感应强度应满足的条件(已知质子的带电荷量为e，质量为m)． 2．偏角的极值问题 例2 在真空中，半径r＝3×10－2 m的圆形区域内有匀强磁场，方向如图所示，磁感应强度B＝0.2 T，一个带正电的粒子以初速度v0＝1×106 m/s从磁场边界上直径ab的一端a射入 磁场，已知该粒子的比荷q m＝1×10 8 C/kg，不计粒子重力． (1)求粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径； (2)若要使粒子飞离磁场时有最大偏转角，求入射时v0与ab的夹角θ及粒子的最大偏转角． 3．时间的极值问题 例3如图所示，M、N为两块带等量异种电荷的平行金属板，两板间电压可取从零到某一最大值之间的各种数值．静止的带电粒子带电荷量为＋q，质量为m(不计重力)，从点P经

电场加速后，从小孔Q进入N板右侧的匀强磁场区域，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，CD为磁场边界上的一绝缘板，它与N板的夹角为θ＝45°，孔Q到板的下端C 的距离为L，当M、N两板间电压取最大值时，粒子恰垂直打在CD板上，求： (1)两板间电压的最大值U m； (2)CD板上可能被粒子打中的区域的长度x； (3)粒子在磁场中运动的最长时间t m. 4．面积的极值问题 例4如图12所示，一带电质点，质量为m，电量为q，以平行于Ox轴的速度v从y轴上的a点射入图中第一象限所示的区域。为了使该质点能从x轴上的b点以垂直于Ox轴的速度v射出，可在适当的地方加一个垂直于xy平面、磁感应强度为B的匀强磁场。若此磁场仅分布在一个圆形区域内，试求这圆形磁场区域的最小半径。重力忽略不计。 《带电粒子在磁场运动的临界与极值》反馈训练 1. 一个质子和一个α粒子沿垂直于磁感线方向从同一点射入一个匀

板块模型的临界极值问题

板块模型的临界极值问 题 Standardization of sany group #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN#

板块模型的临界极值问题 1【经典模型】 如图甲所示，M 、m 两物块叠放在光滑的水平面上，两物块间的动摩擦因数为μ，一个恒力F 作用在物块M 上． (1)F 至少为多大，可以使M 、m 之间产生相对滑动 (2)如图乙所示，假如恒力F 作用在m 上，则F 至少为多大，可以使M 、m 之间产生相对滑动 练1、如图所示，物体A 、B 的质量分别为2kg 和1kg ，A 置于光滑的水平地面上，B 叠加在A 上。已知A 、B 间的动摩擦因数为，水平向右的拉力F 作用在B 上， A 、 B 一起相对静止开始做匀加速运动。加速度为2/s m 。 （2/10s m g =）求： （1）力F 的大小。 （2）A 受到的摩擦力大小和方向。 （3）A 、B 之间的最大静摩擦力A 能获得的最大加速度 （4）要想A 、B 一起加速（相对静止），力F 应满足什么条件 （5）要想A 、B 分离，力F 应满足什么条件 练2、物体A 放在物体B 上，物体B 放在光滑的水平面上，已知6=A m kg ， 2=B m kg ，A 、B 间动摩擦因数2.0=μ，如图所示。现用一水平向右的拉力F 作用于物体A 上，则下列说法中正确的是（10=g m/s 2）（ ） A ．当拉力F <12N 时，A 静止不动 B ．当拉力F =16N 时，A 对B 的摩擦力等于4N C ．当拉力F >16N 时，A 一定相对B 滑动 D ．无论拉力F 多大，A 相对B 始终静止 2、如图，物体A 叠放在物体B 上，B 置于光滑水平面上，A 、B 质量分别为m A ＝6 kg 、m B ＝2 kg ，A 、B 之间的动摩擦因数是，开始时F ＝10 N ，此后逐渐增加，在增大到45 N 的过程中，则( ) A ．当拉力F ＜12 N 时，两物体均保持静止状态 B ．两物体开始没有相对运动，当拉力超过12 N 时，开始相对滑动 C ．两物体间从受力开始就有相对运动 D ．两物体间始终没有相对运动

临界与极值问题

热点综合专题四牛顿运动定律的综合应用 热点一超重和失重问题 超重、失重和完全失重的比较 【典例】(2018·福建福州期末)广州塔，昵称小蛮腰，总高度达600米，游客乘坐观光电梯大约一分钟就可以到达观光平台．若电梯简化成只受重力与绳索拉力，已知电梯在t＝0时由静止开始上升，a －t图象如下图所示．则下列相关说法正确的是()

A．t＝4.5 s时，电梯处于失重状态 B．5～55 s时间内，绳索拉力最小 C．t＝59.5 s时，电梯处于超重状态 D．t＝60 s时，电梯速度恰好为零 [审题指导](1)判断超重与失重，仅看加速度方向即可，与加速度大小如何变化无关． (2)a－t图线与t轴所围的“面积”代表速度的变化量． [解析]利用a－t图象可判断：t＝4.5 s时，电梯有向上的加速度，电梯处于超重状态，则A错误；0～5 s时间内，电梯处于超重状态，拉力>重力，5～55 s时间内，电梯处于匀速上升过程，拉力＝重力，55～60 s时间内，电梯处于失重状态，拉力<重力，综上所述，B、C错误；因a－t图线与t轴所围的“面积”代表速度改变量，而图中横轴上方的“面积”与横轴下方的“面积”相等，则电梯的速度在t＝60 s时为零，D正确． [答案]D 判断超重和失重的方法

[针对训练] 1．(2018·吉林省白城市通榆一中考试)某运动员(可看成质点)参加跳台跳水比赛，t＝0时，为其向上起跳离开跳台的瞬间，其速度与时间关系图象如图所示，不计空气阻力，则下列说法错误的是() A．可以求出水池的深度 B．可以求出跳台距离水面的高度

C．0～t2时间内，运动员处于失重状态 D．t2～t3时间内，运动员处于超重状态 [解析]跳水运动员在跳水过程中的v－t图象不能反映是否到达水底，所以不能求出水池的深度，故A错误；应用v－t图象中，图线与横轴围成的面积表示位移大小，可以求出跳台距离水面的高度，故B正确；t＝0时刻是运动员向上起跳离开跳台的瞬间，速度是负值时表示速度方向向上，则知0～t1时间内运动员做匀减速运动，t1～t2时间内向下做匀加速直线运动，0～t2时间内，运动员一直在空中具有向下的加速度，处于失重状态，故C正确；由题图可知，t2～t3时间内，运动员向下做减速运动，则加速度的方向向上，处于超重状态，故D正确． [答案]A 2．(多选)飞船绕地球做匀速圆周运动，宇航员处于完全失重状态时，下列说法正确的是() A．宇航员不受任何力作用 B．宇航员处于平衡状态 C．地球对宇航员的引力全部用来提供向心力 D．正立和倒立时宇航员一样舒服 [解析]飞船绕地球做匀速圆周运动时，飞船以及里面的宇航员都受到地球的万有引力，选项A错误；宇航员随飞船绕地球做匀速圆周运动，宇航员受到地球的万有引力提供其做圆周运动的向心力，不是处于平衡状态，选项B错误，选项C正确；完全失重状态下，重力的作用效果完全消失，正立和倒立情况下，身体中的器官都是处于悬浮状态，没有差别，所以一样舒服，选项D正确． [答案]CD

动力学临界极值问题

专题二：动力学中的临界极值问题 1当物体的运动从一种状态转变为另一种状态时必然有一个转折点，这个转折点所对应的状态叫做临界状态；在临界状态时必须满足的条件叫做临界条件?用变化的观点正确分析物体的受力情况、运动状态变化情况，同时抓住满足临界值的条件是求解此类问题的关键. 2 ?临界或极值条件的标志 (1) 有些题目中有刚好” 恰好” 正好”等字眼，明显表明题述的过程存在着临界点； (2) 若题目中有取值范围”、多长时间”、多大距离”等词语，表明题述的过程存在着起止点”而这些起止点 往往就是临界状态； (3) 若题目中有最大”、最小”、至多”、至少”等字眼，表明题述的过程存在着极值，这个极值点往往是临界占； 八、、\ (4) 若题目要求最终加速度”、稳定加速度”等，即是要求收尾加速度或收尾速度. 3?动力学中的典型临界条件 (1) 接触与脱离的临界条件：两物体相接触或脱离，临界条件是：弹力F N= 0. (2) 相对滑动的临界条件：两物体相接触且处于相对静止时，常存在着静摩擦力，则相对滑动的临界条件是：静摩擦力达到最大值. (3) 绳子断裂与松驰的临界条件：绳子所能承受的张力是有限度的，绳子断与不断的临界条件是绳中张力等于 它所能承受的最大张力，绳子松驰的临界条件是：F T = 0. (4) 加速度变化时，速度达到最大的临界条件：当加速度变化为a= 0时. 【例1 □如图所示，质量为m= 1 kg的物块放在倾角为0= 37°的斜面体上，斜面体质量为M = 2 kg，斜面体与物块 间的动摩擦因数为尸0.2，地面光滑，现对斜面体施一水平推力F，要 使物块m相对斜面静止，试确定推力F的 取值范围.(sin 37 =0.6, cos 37 = 0.8, g= 10 m/s2) 【例2 如图所示，物体A叠放在物体B上，B置于光滑水平面上, 之间的动摩擦因数卩=0.2,开始时F = 10 N，此后逐渐增加，在增大到 A .当拉力F<12 N时，物体均保持静止状态 B ?两物体开始没有相对运动，当拉力超过12 N时，开始相对运动 45 N的过程中，贝U ( A、B 质量分别为m A = 6 kg , m B = 2 kg , A、B

第八章 解题模型练 有界磁场的临界与极值问题

解题模型练 有界磁场的临界与极值问题 (限时：45分钟) ?题组1 对带电粒子在直线有界磁场中偏转的临界与极值问题的考查 1．如图1所示，在边界上方存在着垂直纸面向里的匀强磁场，有两个电荷量、质量均相同的正、负粒子(不计重力)，从边界上的O 点以相同速度先后射入磁场中，入射方向与边界成θ角，则正、负粒子在磁场中 ( ) 图1 A ．运动轨迹的半径相同 B ．重新回到边界所用时间相同 ？ C ．重新回到边界时速度大小和方向相同 D ．重新回到边界时与O 点的距离相等 答案 ACD 解析 洛伦兹力充当带电粒子做圆周运动的向心力，qvB ＝m v 2 r ，带电粒子做圆周运动的半径r ＝mv qB ，根据题意，正、负粒子在磁场中运动的轨迹半径相同，选项A 正确；根据qvB ＝m 4π2 T 2r ，可得 带电粒子做圆周运动的周期T ＝2πm qB ，而正粒子在磁场中运动的时间为t 1＝π－θπT ，负粒子在磁场中运动的时间为t 2＝θ πT ，时间并不相同，选项B 错误；正、负带电粒子的运动轨迹如图所示，重新回到边界时速度大小和方向是相同的，选项C 正确；两粒子重新回到边界时与O 点的距离都是2r sin θ，选项D 正确． 2.如图2所示，平面直角坐标系的第Ⅰ象限内有一匀强磁场垂直于 纸面向里，磁感应强度为B .一质量为m 、电荷量为q 的粒子以速 度v 从O 点沿着与y 轴夹角为30°的方向进入磁场，运动到A 点 时速度方向与x 轴的正方向相同，不计粒子的重力，则 ( ) 图2 A 该粒子带正电

B ．A 点与x 轴的距离为mv 2qB [ C ．粒子由O 到A 经历时间t ＝πm 3qB D ．运动过程中粒子的速度不变 答案 BC 解析 根据粒子的运动方向，由左手定则判断可知粒子带负电，A 项错误；运动过程中粒子做匀速圆周运动，速度大小不变，方向变化，D 项错误；粒子做圆周运动的半径R ＝mv qB ，周期T ＝2πm qB ，从O 点到A 点速度的偏向角为60°，即运动了1 6T ，所以由几何知识求得点A 与x 轴的距离为mv 2qB ，粒子由O 到A 经历时间t ＝πm 3qB ，B 、C 两项正确． 3.如图3所示，边界OA 与OC 之间分布有垂直纸面向里的匀强磁场，边界OA 上有一粒子源S ，某一时刻，从S 平行于纸面向各个方向发射大量带正电的同种粒子(不计粒子的重力及粒子间的相互作用)，所有粒子的初速度大小相同，经过一段时间有大量粒子从边界OC 射出磁场．已知∠AOC ＝60°，从边界OC 射出的粒子在磁场中运动的最短时间等于T /6(T 为粒子在磁场中运动的 周期)，则从边界OC 射出的粒子在磁场中运动的最长时间为( ) 图3 A ．T /3 B ．T /2 C ．2T /3 D ．5T /6 答案 B 解析 首先判断出粒子是做逆时针方向的圆周运动．由于所有粒子的初速度大小都相同，故弧长越小，粒子在磁场中运动时间就越短；从S 作OC 的垂线SD ，可知粒子轨迹过D 点时在磁场中运动时间最短，根据最短时间为T /6，结合几何知识可得粒子圆周运动半径等于SD (如图)；由于粒子是沿逆时针方 向运动，故沿SA 方向射出的粒子在磁场中运动的时间最长，根据几何知识易知此时粒子在磁场中运动轨迹恰为半圆，故粒子在磁场中运动的最长时间为T /2，选项B 正确． 4.如图4所示，在xOy 坐标系的第一象限内有匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里，磁场区域上边界刚好与直线y ＝2a 重合，磁感应强度为B .一个带负电的粒子在坐标为(x,0)的A 点以某一速度进入磁场区域，进入磁场时的速度方向与x 轴负方向的夹角为30°，粒子的质量为m ，电荷量为q .不计粒子的重力． 图4

动力学的临界和极值问题

动力学的临界和极值问题 教学目标： 教学重点、难点： 新课引入： 教学过程： 一、临界和极值 在应用牛顿定律解决动力学问题中，当物体运动的加速度不同时，物体 有可能处于不同的状态，特别是题目中出现“最大”、“最小”、“刚好”等词语时，往往会有临界现象。此时要采用极限分析法，看物体在不同加速度时，会有哪些现象发生，尽快找出临界点，求出临界条件。 在某些物理情境中，物体运动状态变化的过程中，由于条件的变化，会出现两种状态的衔接，两种现象的分界，同时使某个物理量在特定状态时，具有最大值或最小值。这类问题称为临界问题。在解决临界问题时，进行正确的受力分析和运动分析，找出临界状态是解题的关键。 1、相互接触的物体，它们分离的临界条件是：它们之间的弹力0 N ，而且此时它们的速度相等，加速度相同。 【例】如图，在竖直立在水平面的轻弹簧上面固定一块质量不计的薄板，将薄板上放一重物，并用手将重物往下压，然后突然将手撤去，重物即被弹射出去，则在弹射过程中，（即重物与弹簧脱离之前），重物的运动情况是（ ） A 、一直加速 B 、先减速，后加速 C 、先加速、后减速 D 、匀加速

【例】如图所示，劲度系数为k 的轻弹簧竖直固定在水平面上，上端固定一质量为0m 的托盘，托盘上有一个质量为m 的木块。用竖直向下的力将原长为0l 的弹簧压缩后突然撤去外力，则m 即将脱离0m 时的弹簧长度为（ ） A 、0l B 、()k g m m l +- C 、k mg l -0 D 、k g m l 00-

【例】如图所示，一细线的一端固定于倾角为?45的光滑楔形滑块A 的顶端P 处，细线的另一端拴一质量为m 的小球。当滑块至少以加速度______=a 向的 左运动时，小球对滑块的压力等于零。当滑块以g a 2=加速度向左运动时，线的拉力大小______=F 。