陀螺的进动性

陀螺的进动性

陀螺是一个既能绕自转轴高速旋转，又能够绕其它轴旋转的物体。利用陀螺的特性制作的测量装置就是陀螺仪。能够绕2个轴旋转的陀螺称为二自由度陀螺，能够绕3个轴旋转的陀螺称为三自由度陀螺。利用陀螺的特性制作的测量仪器（或装置）就称为陀螺仪。

不论是二自由度陀螺，还是三自由度陀螺，都有一个重要的特性——进动性。

一、定义

所谓“进动性”，就是当陀螺转子以高速旋转时，如果施加的外力矩是沿着除自转轴以外的其它轴向，陀螺并不顺着外力矩的方向运动，其转动角速度方向与外力矩作用方向互相垂直，这种特性，叫做陀螺仪的进动性。例如：对于三自由度陀螺来说，若外力矩绕外环轴作用，陀螺仪将绕内环轴转动；若外力矩绕内环轴作用，陀螺仪将绕外环轴转动。对于二自由度陀螺（没有外框）来说，当强迫其绕第三轴（假想的外框轴）运动时，则陀螺将绕内框轴转动。

二、进动规律

1.进动方向

进动角速度的方向取决于转子动量矩H的方向(与转子自转角速度矢量方向一致)和外力矩M的方向,而且是动量矩矢量以最短的路径追赶外力矩。这是三自由度陀螺的情况，如右图。

这可用右手定则判定。即伸直右手，大拇指与食指垂直，手指顺着自转轴的方向，手掌朝外力矩的正方向，然后手掌与4指弯曲握拳，

则大拇指的方向就是进动角速度的方向。

对于二自由度陀螺来说，进动角速度的方向也可用右手定则判定。即伸直右手，大拇指与食指垂直，手指顺着自转轴的方向，手掌朝强迫转动的角速度矢量的正方向，然后手掌与4指弯曲握拳，则大拇指的方向就是进动角速度的方向。

2.进动角速度

对于三自由度陀螺来说，进动角速度的大小取决于转子动量矩H的大小和外力矩M的大小。其计算式为=M/H。即外力矩愈大，其进动角速度也愈大；转子的转动惯量愈大，进动角速度愈小；转子的角速度愈大，进动角速度愈小。

对于二自由度陀螺来说，其进动角速度的大小取决于转子动量矩H的大小和强迫转动角速度的大小。

三、进动性的应用

对于三自由度陀螺来说，利用其进动性，可对自转轴的漂移进行修正或跟踪等；对于二自由度陀螺来说，利用其进动性，可测量运动物体的角速度或角加速度。这些也都广泛地应用于航空、航天、航海等领域.

摆式陀螺原理

第二章陀螺全站仪 §2.1 陀螺仪及其基本特性（龚建） 一、陀螺仪及其分类 陀螺仪 凡是绕定点高速旋转的物体，或绕自身轴高速旋转的任意刚体，都称为陀螺。如图2-1所示，设刚体上有一等效的方向支点O。以O为原点，作固定在刚体上的动坐标系O-XYZ。刚体绕此支点转动的角速度在动坐标轴上的分量分别为ωx、ωy、ωz，若能满足以下条件： ωz＞＞ωx ωz＞＞ωy ωz≈Const （2-1） OZ 为进动运动。 转的地球，而近代物理中广义的定义是：凡是能测量物体相对惯性空间作旋转的装置都叫陀

螺仪，如激光陀螺仪。 陀螺仪的自由度 陀螺仪基本上是一个匀质的转子，其质量大部分集中在轮缘，它能围绕其质量对称轴高速旋转。将转子安置在特殊的悬挂装置上，没有外力作用，使其具有两个或三个回转轴的整个装置，称为具有两个或三个自由度的陀螺仪。 自由陀螺仪的结构如图2-2所示。转子1支撑在内平衡环2上可绕其对称轴作高速度转动，这个轴称为陀螺仪的自转轴，即陀螺主轴，或称X轴。由于转子只能围绕本身轴旋转，因此它具有一个自由度。 转子支撑在内平衡环上，内平衡环又支撑在外平衡环3上，转子和内平衡环一起可绕陀螺仪的内环轴转动，这个轴一般称为Y轴。由于转子既绕本身轴旋转，又可绕内环轴旋转，因此他具有两个自由度。 转子支撑在内平衡环上，内平衡环又支撑在外平衡环上，外平衡环又支撑在底座上，转子和内平衡环、外平衡环一起绕陀螺仪的外环轴转动，这个轴一般称为Z轴。此时由于转子既可绕本身轴旋转，又可绕内、外环轴旋转，因此它具有三个自由度。一般把由内环和外环构成的支架称为万向支架。 如果把陀螺仪的重心与陀螺仪的中心相重合，这种陀螺仪称为三自由度平衡陀螺仪。如果把三自由度陀螺仪限制Y轴或Z轴其中一个自由度，这种陀螺仪称为二自由度陀螺仪。如果把陀螺仪的外环轴下移，偏离陀螺仪的中心，这种陀螺仪称为下悬式陀螺仪或摆式陀螺仪。 摆式陀螺仪如图2-3所示，即在陀螺仪轴上加上悬重G，则重心由陀螺仪中心O下移到

进动和陀螺

进动仪（陀螺仪） 【实验目的】 演示刚体的进动和陀螺的定轴性这一物理现象。 【实验原理】 当物体（如陀螺）不转动时，由于受到重力矩的作用，便倾倒下来，但当陀螺急速旋转时，尽管同样也受到重力矩的作用，却不会到下来。这时陀螺在绕本身对称轴线转动的同时，对称轴还将绕竖直轴回转，这种回转现象称为进动。进动角速度为 式上中，为在 时间内，该自转轴相应的角位移。由此可知，进动角速度与外力矩成正比，和进动仪自转的角动量成反比，因此，在进动仪自转角速度很大时，进动角速度就较小，反之，在自转角速度变小时，进动角速度就增大。 【实验操作与现象】 1．刚体的定向转动将进动仪保持水平，转动自转轮，达到一定速度时，操作者旋转或移动演示仪下部转盘时，自转方向保持不变。 2．刚体的进动把进动仪调节成不水平状态，略有倾斜，转动自转轮，则发现公转轴开始作进动。 【注意事项】 操作时，注意进动仪在开始和结束进动时，防止自转轮掉下摔坏仪器和伤害操作者。

【实验拓展】 试举出陀螺仪在实际工程应用中的一个实例。 陀螺仪可算是非常复杂的物体，因为它们以独特的方式运动，甚至像在抵抗重力。正是这些特殊属性使其在各个方面（包括自行车和宇宙飞船上的先进导航系统）都有极为重要的用途。一般的飞机要用约10多个陀螺仪，遍布在罗盘和自动驾驶仪等各个地方。俄罗斯米尔空间站（Russian Mir space station）曾使用11个陀螺仪保持其方向对准太阳。哈勃太空望远镜也安装了大量导航陀螺仪。同样，陀螺效应对溜溜球和飞盘等玩具也至关重要。 在本文中，我们将了解陀螺仪的应用为何如此广泛，以及它们的奇妙运动的成因！ 如果您玩过陀螺玩具，就知道它能表演各种各样有趣的绝技。陀螺能在细线或手指上保持平衡；能以非常奇妙的方式抵制自转轴运动；但最有趣的陀螺效应还数进动。这是陀螺仪抵抗重力的表现。 根据这一原理，回转的自行车轮能够像下图所示的那样悬在空中： 陀螺仪“抵抗重力”的能力令人莫名惊诧！ 它是怎么做到的？ 这种神秘的效应就是“进动”。一般情况下，进动的发生过程是：如果有一个陀螺仪正在旋转，而您施力转动它的自转轴，则陀螺仪反而会围绕与力轴成直角的轴转动，如下列图形所示：

陀螺的力学原理及其生活中的应用

陀螺的力学原理及其生活中的应用学号:05110202 姓名: 史泽清 一(摘要:陀螺与地面只有一个接触点，但是却不会翻倒，就是因为其在绕轴不停旋转，本文运用理论力学中的动力学知识来对其进行分析。此外陀螺力学在生活中有各种各样的应用。在我们开得车，骑的自行车，乘坐的飞机中都有着广泛的应用。相信将来陀螺效应在科学研究上产生更重要更深远的影响。 二(关键词:陀螺理论力学进动翻转不倒 三(正文: 在准备写这篇论文，正好看到了战斗陀螺这部动画片，然后联系到了我们小时候玩过的陀螺:当我们用力抽打陀螺时，陀螺非但不会倒下，反而会越抽越稳，我就意识到其中有非常有趣的力学知识，于是写下了这篇文章。 1 陀螺的力学特点 1.1 陀螺的定义:绕质量对称轴高速旋转的定点运动刚体 结构特征:有质量对称轴. 运动特征:绕质量轴高速转动(角速度大小为常量)。 陀螺的动力学特征:陀螺力矩效应，进动性，定向性。 进动性是陀螺仪在外力矩的作用下的运动特征，然而陀螺仪是一个定点转动的刚体，因而，它的运动规律必定满足牛顿第二定律对于惯性原点的转动方程式,即定点转动刚体的动量矩定理.

进动本为物理学名词，一个自转的物体受外力作用导致其自转轴绕某一中心旋转，这种现象称为进动。进动(precession)是自转物体之自转轴又绕著另一轴旋转的现象，又可称作旋进。 下面就右图就进动分析: 陀螺绕起对称轴以角速度w高速旋转，如右图 对固定点O，它的动量矩L近似 (未计及进动部分的动量矩) 表示为 0L,J,r 0r式中J为陀螺绕其对称轴Z0的转动惯量，为沿 陀螺对称轴线的单位矢量其指向与陀螺旋转方向间满足右螺旋 法则作用在陀螺上的力对O点的力矩只有重力的力矩M0(P)，

二自由度陀螺与三自由度陀螺的区别

二自由度陀螺仪的转子支撑在一个框架内，没有外框架，因而转子自转有一个进动自由度，即少了垂直于内框架轴和自转轴方向的转动自由度。因此二自由度陀螺仪与三自由度陀螺仪的特性也有所不同。 进动性是三自由度陀螺仪的基本特征之一，当绕内框轴作用外力矩时，将使高速旋转的转子自转轴产生绕外框架轴的进动，而绕外框架轴作用外力矩是，将使转子轴产生绕内框架轴的进动。 定轴性是三自由度陀螺仪的另一基本特征。无论基座绕陀螺仪自转轴转动，还是绕内框架轴或外框架轴方向转动，都不会直接带动陀螺转子一起转动（指转子自转之外的转动）。由内、外框架所组成的框架装置，将基座的转动与陀螺转子隔离开来。这样，如果陀螺仪自转轴稳定在惯性空间的某个方位上，当基座转动时，它仍然稳定在原来的方位上。 对于二自由度陀螺仪，当基座绕陀螺仪自转轴或内框架轴方向转动时，仍然不会带动转子一起转动，即内框架仍然起隔离运动的作用。但是，当基座绕陀螺仪缺少自由度的X轴方向以角速度ωX转动时，由于陀螺仪绕该轴没有转动自由度，所以基座转动时，就通过内框架轴上的一对支承带动陀螺转子一起转动。但陀螺仪自转轴仍尽力保持其原来的空间方位不变。因此，基座转动时，内框架轴上的一对支承就有推力F作用在内框架轴的两端，而形成作用在陀螺仪上的推力矩mx，其方向垂直于动量矩H，并沿X轴正向。由于陀螺仪绕内框架轴有转动的自由度，所以这个推力矩就使陀螺仪产生绕内框架轴的进动，进动角速度β指向内框架轴y的正向，使转子轴趋向与x轴重合。 因此，当基座绕陀螺仪缺少自由度的方向转动时，将强迫陀螺仪跟随基座转动，同时陀螺仪转子轴绕内框架轴进动。结果使转子轴趋向与基座转动角速度的方向重合。即二自由度陀螺仪具有敏感绕其缺少转动自由度方向旋转角速度的特性。 二自由度陀螺仪受到沿内框架轴向外力矩作用时，转子轴绕内框轴运动。 沿内框架轴向作用力矩时转子轴的运动。设沿内框架轴y的正向有外力矩My作用，则二自由度陀螺仪的转子轴将力图以角速度My/H绕x轴的负向进动，由于陀螺转子轴绕x轴方向不能转动，这个进动是不可能实现的。但其进动趋势仍然存在，并对内框架轴两端的支承施加压力，这样，支承就产生约束反力F作用在内框架轴两端，而形成作用在陀螺仪上的约束反力矩mx，其方向垂直于动量矩H并沿x轴的正向。由于转子轴绕内框架轴存在转动自由度，所以在这个约束反力矩mx的作用下，陀螺仪转子轴就绕内框架轴以β德角速度沿y轴正向进动。简单地说，如果陀螺绕x轴方向不能转动，那么在绕内框架轴向德外力矩作用下，陀螺仪的转子轴也绕内框架轴转动。

图说陀螺舵原理、陀螺的进动性

刚才在一个F22的视频贴里，很多朋友对AIM-9M在发射中的蛇形轨迹有疑问，我去搜索9M 所用的陀螺舵的原理图却发现网上没有。（因为文字叙述比较费解，效果肯定不好） 在自己画完这个图解之后，考虑到那帖子可能已经沉底，我就新开个帖子进行说明了。字难 看啊，拍砖别打脸 这个知识是从航模相关的地方学到的（后来花钱多不玩了，汗...）。 很多朋友可能觉得导弹有飞行轨迹控制就可以了，但导弹的滚转对控制和寻的都有影响。对于控制系统采用直角坐标系的AIM-9M来说，以及对所有采用直角坐标系、两对相互垂直的控制面的导弹譬如霹雳xx来说，滚转都是需要摈除的。它们都和最早的响尾蛇导弹一样用了陀螺舵来抑制滚转。陀螺舵是个纯粹机械的设备，滚转抑制是独立于导弹制导控制的。而旋转弹体的导弹譬如拉姆（它的名字RAM就是那个意思），采用极坐标控制，需要一对控制面，每一圈滚转，气动面动作两次。 AIM-9M沿袭了梯形尾翼和陀螺舵，而且陀螺舵轴倾斜，它在飞行中靠这个陀螺舵处在一个不断地抵抗自己在导弹轴向的滚转、在纵向和航向阻尼俯仰和偏转的过程。 陀螺是一圆金属饼，上有锯齿，锯齿垂直的一面迎向前面承接气流导致其绕轴高速旋转。陀螺效应也就是人们常说的陀螺稳定，其原因有进动性和定轴性两个。 进动性是--陀螺自转时，如若陀螺受到一个在某作用平面内的力，给予主轴这力矩，主轴的运动方向并不发生在力的作用平面内，而是与力垂直，主轴的运动平面与力的作用平面垂直。依照这个情况，一旦导弹滚转，陀螺舵的运动将导致其突出尾翼翼面，成为一个气动面而带来抑制滚转的控制力。在连续的滚转倾向和滚转抑制中，导弹可以基本安定。这对于不能塞进姿态传感器进行伺服控制的格斗弹来说是个简洁明快的处理方法。 然后如果把轴做成一个夹角，让它在进动时向外撇，它产生的气动效果就不光抑制滚转，还

陀螺的进动性

陀螺的进动性 陀螺是一个既能绕自转轴高速旋转，又能够绕其它轴旋转的物体。利用陀螺的特性制作的测量装置就是陀螺仪。能够绕2个轴旋转的陀螺称为二自由度陀螺，能够绕3个轴旋转的陀螺称为三自由度陀螺。利用陀螺的特性制作的测量仪器（或装置）就称为陀螺仪。 不论是二自由度陀螺，还是三自由度陀螺，都有一个重要的特性——进动性。 一、定义 所谓“进动性”，就是当陀螺转子以高速旋转时，如果施加的外力矩是沿着除自转轴以外的其它轴向，陀螺并不顺着外力矩的方向运动，其转动角速度方向与外力矩作用方向互相垂直，这种特性，叫做陀螺仪的进动性。例如：对于三自由度陀螺来说，若外力矩绕外环轴作用，陀螺仪将绕内环轴转动；若外力矩绕内环轴作用，陀螺仪将绕外环轴转动。对于二自由度陀螺（没有外框）来说，当强迫其绕第三轴（假想的外框轴）运动时，则陀螺将绕内框轴转动。 二、进动规律 1.进动方向 进动角速度的方向取决于转子动量矩H的方向(与转子自转角速度矢量方向一致)和外力矩M的方向,而且是动量矩矢量以最短的路径追赶外力矩。这是三自由度陀螺的情况，如右图。 这可用右手定则判定。即伸直右手，大拇指与食指垂直，手指顺着自转轴的方向，手掌朝外力矩的正方向，然后手掌与4指弯曲握拳，

则大拇指的方向就是进动角速度的方向。 对于二自由度陀螺来说，进动角速度的方向也可用右手定则判定。即伸直右手，大拇指与食指垂直，手指顺着自转轴的方向，手掌朝强迫转动的角速度矢量的正方向，然后手掌与4指弯曲握拳，则大拇指的方向就是进动角速度的方向。 2.进动角速度 对于三自由度陀螺来说，进动角速度的大小取决于转子动量矩H的大小和外力矩M的大小。其计算式为=M/H。即外力矩愈大，其进动角速度也愈大；转子的转动惯量愈大，进动角速度愈小；转子的角速度愈大，进动角速度愈小。 对于二自由度陀螺来说，其进动角速度的大小取决于转子动量矩H的大小和强迫转动角速度的大小。 三、进动性的应用 对于三自由度陀螺来说，利用其进动性，可对自转轴的漂移进行修正或跟踪等；对于二自由度陀螺来说，利用其进动性，可测量运动物体的角速度或角加速度。这些也都广泛地应用于航空、航天、航海等领域.

陀螺仪的基本特性

3.2 陀螺仪的基本特性 双自由度陀螺的两个基本特性是：进动性和定轴性。 3.2.1 陀螺仪的进动性 简单的说陀螺的进动性是指当陀螺受到外力矩的作用时，所产生的一种复合扭摆运动，其进动角速度的方向垂直于外力矩的方向，其进动角速度的大小正比与外力矩，或者说，陀螺进动的方向为角动量以最短距离导向外力矩的方向。 为了便于理解，我们以二自由度的框架陀螺为例，其进动表现为：外力矩如沿着内框轴作用时，则陀螺仪绕外框转动；若外力矩沿外框轴作用时，则陀螺绕内框转动。 3.2.2 陀螺仪的定轴性 陀螺的定轴性是指转子绕自转轴高速旋转时，如果不受外力矩的作用，自转轴将相对于惯性空间保持方向不变。换言之，双自由度陀螺具有抵抗干扰力矩，力图保持转子轴相对惯性空间的方位稳定的特性。 在实际的陀螺仪中，由于结构和工艺的不尽完善，总是不可避免的存在干扰力矩，因此，考查陀螺仪的定轴性，更有实际意义的是考查有干扰情况下，在有限的时间内，自转轴保持方位稳定的能力。由陀螺仪的进动性可以知道，在干扰力矩的作用下，陀螺将产生进动，使得自转轴偏离原有的方位，这种方位偏差就称为漂移。

一般说来，框架陀螺仪的漂移较大，从几度每小时到几十度每小时不等，这就是为什么框架式陀螺测斜仪在测量前要求标桩对北，测量结束后还必须校北的原因。 3.3 陀螺仪的表观进动 由于陀螺仪自转轴相对于惯性空间保持方位不变（当陀螺仪的漂移足够小；同地球自转引起的地球相对惯性空间方位变化比较，可近似的认为陀螺仪相对惯性空间的方位不变），而地球以其自转角速度绕极轴相对惯性空间转动，所示观察者若以地球为参考基准，将会看到陀螺仪自转轴相对地球转动，这种相对运动称为陀螺仪的表观运动。 表观运动的实质是陀螺仪可以跟踪测量地球自转角速度。例如在地球任意纬度处，放置一个高精度的二自由度陀螺仪，并使其自转轴处于当地垂线位置，如图所示，可以看到陀螺的自转轴将逐渐偏离当地的地垂线，而相对地球作圆锥面轨迹的表观进动，每24小时进动一周。若使得自转轴处于当地子午线位置，此时将看到陀螺仪自转轴逐渐偏离当地子午线，也相对地球作圆锥面轨迹的表观进动，每24小时一周。 3.4 坐标系

陀螺仪的进动性

陀螺是一个既能绕自转轴高速旋转，又能够绕其它轴旋转的物体。利用陀螺的特性制作的测量装置就是陀螺仪。能够绕2个轴旋转的陀螺称为二自由度陀螺，能够绕3个轴旋转的陀螺称为三自由度陀螺。利用陀螺的特性制作的测量仪器（或装置）就称为陀螺仪。 不论是二自由度陀螺，还是三自由度陀螺，都有一个重要的特性——进动性。 一、定义 所谓“进动性”，就是当陀螺转子以高速旋转时，如果施加的外力矩是沿着除自转轴以外的其它轴向，陀螺并不顺着外力矩的方向运动，其转动角速度方向与外力矩作用方向互相垂直，这种特性，叫做陀螺仪的进动性。例如：对于三自由度陀螺来说，若外力矩绕外环轴作用，陀螺仪将绕内环轴转动；若外力矩绕内环轴作用，陀螺仪将绕外环轴转动。对于二自由度陀螺（没有外框）来说，当强迫其绕第三轴（假想的外框轴）运动时，则陀螺将绕内框轴转动。 二、进动规律 1. 进动方向 进动角速度的方向取决于转子动量矩H的方向(与转子自转角速度矢量方向一致)和外力矩M的方向, 而且是动量矩矢量以最短的路径追赶外力矩。这是三自由度陀螺的情况，如右图。

这可用右手定则判定。即伸直右手，大拇指与食指垂直，手指顺着自转轴的方向，手掌朝外力矩的正方向，然后手掌与4指弯曲握拳，则大拇指的方向就是进动角速度的方向。 对于二自由度陀螺来说，进动角速度的方向也可用右手定则判定。即伸直右手，大拇指与食指垂直，手指顺着自转轴的方向，手掌朝强迫转动的角速度矢量的正方向，然后手掌与4指弯曲握拳，则大拇指的方向就是进动角速度的方向。 2. 进动角速度 对于三自由度陀螺来说，进动角速度的大小取决于转子动量矩H的大小和外力矩M的大小。其计算式为=M/H。即外力矩愈大，其进动角速度也愈大；转子的转动惯量愈大，进动角速度愈小；转子的角速度愈大，进动角速度愈小。 对于二自由度陀螺来说，其进动角速度的大小取决于转子动量矩H的大小和强迫转动角速度的大小。 三、进动性的应用 对于三自由度陀螺来说，利用其进动性，可对自转轴的漂移进行修正或跟踪等；对于二自由度陀螺来说，利用其进动性，可测量运动物体的角速度或角加速度。这些也都广泛地应用于航空、航天、航海等领域。

陀螺的力学原理及其生活中的应用

陀螺的力学原理及其生活中的应用 学号：05110202 姓名： 史泽清 一．摘要：陀螺与地面只有一个接触点，但是却不会翻倒，就是因为其在绕轴不停旋转，本文运用理论力学中的动力学知识来对其进行分析。此外陀螺力学在生活中有各种各样的应用。在我们开得车，骑的自行车，乘坐的飞机中都有着广泛的应用。相信将来陀螺效应在科学研究上产生更重要更深远的影响。 二．关键词：陀螺 理论力学 进动 翻转不倒 三．正文： 在准备写这篇论文，正好看到了战斗陀螺这部动画片，然后联系到了我们小时候玩过的陀螺：当我们用力抽打陀螺时，陀螺非但不会倒下，反而会越抽越稳，我就意识到其中有非常有趣的力学知识，于是写下了这篇文章。 1 陀螺的力学特点 1.1 陀螺的定义：绕质量对称轴高速旋转的定点运动刚体 结构特征：有质量对称轴. 运动特征：绕质量轴高速转动（角速度大小为常量）。 陀螺的动力学特征：陀螺力矩效应，进动性，定向性。 进动性是陀螺仪在外力矩的作用下的运动特征，然而陀螺仪是一个定点转动的刚体，因而，它的运动规律必定满足牛顿第二定律对于惯性原点的转动方程式,即定点转动刚体的动量矩定理. 进动本为物理学名词，一个自转的物体受外力作用导致其自转轴绕某一中心旋转，这种现象称为进动。进动(precession)是自转物体之自转轴又绕著另一轴旋转的现象，又可称作旋进。 下面就右图就进动分析： 陀螺绕起对称轴以角速度w 高速旋转，如右图 对固定点O ，它的动量矩L 近似 （未计及进动部分的动量矩） 表示为 0r J L ω= 式中J 为陀螺绕其对称轴Z 0的转动惯量，0r 为沿 陀螺对称轴线的单位矢量其指向与陀螺旋转方向间满足右螺旋 法则作用在陀螺上的力对O 点的力矩只有重力的力矩M 0(P)，

陀螺进动理论

陀螺进动理论及其局限性 什么是陀螺？广义上说，只要能绕某轴转动，而此轴又可绕另一汇交轴转动的刚体就可叫作陀螺。但工程上常将具有固定点的，高速自转的对称刚体称为陀螺。就像我们平时玩的玩具陀螺，由于高速自转，就有可能对对称刚体的定点运动作近似研究。 设对称刚体在对称轴z （陀螺主轴）上具有固定点O ，刚体有3个自由度；陀螺绕主轴的转动惯量为J 。如果陀螺的自转角度大大的大于主轴在空间的转动角速度，就可用陀螺的自转动量矩 H J k =Ω 近似代替陀螺对点O 的全部动量矩。这里Ω是陀螺的自转角速度，由陀螺马达维持为常量（转速通常为6000rpm 到10000rpm ），因此，陀螺自转动量矩H 的大小为常量，方向与主轴一致 这时对点O 的动量矩可近似写成： 0dH M dt = H 对时间的导数的物理意义是H 端点的速度V H ，因而有V H ＝0 M 即陀螺自转动量矩H 端点的速度等于陀螺所受的外力矩。由该式可推出陀螺的三个力学特性： 1．定轴性 如果陀螺不受任何外力矩，则其主轴在惯性空间保持方向不变 2．进动性 如果陀螺受到外力矩的作用，则主轴的运动并不是在外力矩的作用平面内发生，而是在垂直于该平面发生。这种特殊运动称为陀螺的进动性，如图1所示，力F 作用于陀螺主轴，对点O 产生力矩为Mo ，H 端点有速度V H ＝0 M ，于是主轴绕y 轴转动，即垂直于力F 与支点O 形成的铅垂平面运动。进动角速度V M H H H ω== 图1 3．陀螺效应 如果强制陀螺以角速度W 进动，则陀螺必给施力者一个反力

偶，其力矩为Mr ， 有： Mr ＝－Mo Mr ＝H ×ω 这个力矩与一般刚体的反作用力矩也不相同，称为陀螺力矩；与陀螺力矩有关的现象称为陀螺效应 这些结论统称为陀螺的进动理论，它是高速自转下的近似理论，只适用于三自由度陀螺。 陀螺进动理论是有其局限性的，是近似的，其本质是忽略了陀螺的惯性，一般的静止物体受力时，物体有加速度，但不能立刻获得速度，必须经过一段时间后才能获得速度，这说明物体有惯性。而陀螺进动理论指出，只要有力矩M 作用，陀螺主轴立即以角速度ω进动，这显然忽略了陀螺的惯性。 这就导致了进动理论对某些必须考虑陀螺惯性的问题失效，例如：涉及稳定性的问题。 图2 如图2所示，以直立陀螺为例，其重心位于支点的上方，A 为对n 轴的转动惯量。依照进动理论，在重力矩作用下，H 端点的速度恒垂直于陀螺主轴z 与铅垂轴n 构成的平面，因此，不管自转角速度如何，陀螺主轴均作圆锥运动而不倒，这显然与实际不符。实际上陀螺主轴在作进动的同时还叠加有高频微幅的圆锥状抖动，称为陀螺的章动。如果这个章动是随时间发散的，则陀螺在铅直位置的直立状态就不可能稳定。若要考虑陀螺的章动，就必须考虑其惯性，也就必须转向精确的动力学方程。当直立 陀螺的主轴在铅直线附近作圆锥运动时，有 22sin ()sin cos sin sin [()cos ]0J J A Pa J J A Pa ψ?θψθθθθψ?ψθ+-=-+--= 当0θ≠时，有 2()cos 0J J A Pa ψ? ψθ+--= （1） 引入变量 cos ? ψθΩ=+ 它的意义是陀螺角速度在主轴上的投影，且有L C z =Ω。由于重力矩Mo 恒

什么是定轴性和进动性

陀螺特性——定轴性陀螺在旋转的过程中不会倒下，要归功于陀螺的第一个特性，叫做定轴性.陀螺在转动时，如果作用在它上面的外力的力矩为零，由角动量定理可知，这时陀螺对于支点的角动量守恒，在运动中角动量的方向始终保持不变.陀螺上的每一个点都在一个跟旋转轴垂直的平面里沿着一个圆周转动.按照惯性定律，每一个点随时都极力想使自己沿着圆周的一条切线离开圆周，可是所有的切线都与圆周本身在同一个平面内.因此，每一个点在运动的时候，都极力使自己始终停留在跟旋转轴垂直的那个平面上.角动量守恒在生活中是随处可见的.花样滑冰运动员把手收拢或者抱胸，她身体的一部分到转轴的距离变小，自转角速度变大，运动员就飞速旋转起来了. 陀螺特性——进动性陀螺的第二个特性是进动性.当陀螺高速旋转时，陀螺的中心轴像是绕着一个竖立的杆子在转圈，这种高速自转物体的轴在空间转动的现象叫做进动.这是因为当陀螺受到对于支点的重力的力矩作用时，根据角动量定理，角动量的矢量方向便随着陀螺的转动，描出一个圆锥体. 其实，由于太阳和月球施加的潮汐力，我们的地球一直在不断地缓慢地进动着，长期的进动就成为岁差.在我们的日常生活中，也可以常常看到进动，例如自行车在行驶过程中，如果它稍有歪斜，只要把车头向另一方稍微转动一下，车子就平衡了.这是重力对于轮胎支点形成了进动力矩，促使车子恢复了平衡. 陀螺的特性——章动性陀螺的第三个特点是章动性.陀螺不可能永无止境地旋转下去，当陀螺由于摩擦而开始慢慢下落时，所做的运动就是章动.章动是指刚体做进动时，绕自转轴的角动量的倾角在两个角度之间变化，拉丁语的意思就是点头.陀螺在做进动的同时，它的顶部还在做着“点头”运动. 章动在天体中是一个非常常见的运动，地球也存在着章动，地球“点一次头”要花18.6年.我国古代历法将19年称为一章，因此这种运动就被称为章动.

陀螺的力学原理及其生活中的应用

陀螺的力学原理及其生活中的应用 陀 螺 的 力 学 原 理 及 其 生 活 中 的 应 用

目录 目录 (2) 摘要 (3) 1 陀螺的力学特点 (3) 1.2陀螺原理： (4) 1.3陀螺效应： (4) 2 陀螺效应的实际应用 (5) 2.1 直升机的陀螺理学： (5) 2.2 弹丸稳定飞行 (5) 2.3 机动车的陀螺应用： (6) 2.4自行车的陀螺力学： (6) 本文总结 (6) 参考文献 (7)

摘要 陀螺与地面只有一个接触点，但是却不会翻倒，就是因为其在绕轴不停旋转，本文运用理论力学中的动力学知识来对其进行分析。此外陀螺力学在生活中有各种各样的应用。在我们开得车，骑的自行车，乘坐的飞机中都有着广泛的应用。相信将来陀螺效应在科学研究上产生更重要更深远的影响。 关键词：陀螺 理论力学 进动 翻转不倒 1 陀螺的力学特点 1.1 陀螺的定义：绕质量对称轴高速旋转的定点运动刚体 结构特征：有质量对称轴. 运动特征：绕质量轴高速转动（角速度大小为常量）。 陀螺的动力学特征：陀螺力矩效应，进动性，定向性。 进动性是陀螺仪在外力矩的作用下的运动特征，然而陀螺仪是一个定点转动的刚体，因而，它的运动规律必定满足牛顿第二定律对于惯性原点的转动方程式,即定点转动刚体的动量矩定理. 进动本为物理学名词，一个自转的物体受外力作用导致其自转轴绕某一中心旋转，这种现象称为进动。进动(precession)是自转物体之自转轴又绕著另一轴旋转的现象，又可称作旋进。 下面就右图就进动分析： 陀螺绕起对称轴以角速度w 高速旋转，如右图 对固定点O ，它的动量矩L 近似 （未计及进动部分的动量矩） 表示为 0r J L ω= 式中J 为陀螺绕其对称轴Z 0的转动惯量，0r 为沿 陀螺对称轴线的单位矢量其指向与陀螺旋转方向间满足右螺旋 法则作用在陀螺上的力对O 点的力矩只有重力的力矩M 0(P)， 其大小为 M 0(P)=?sin mgb