对称式与轮换对称式
八年级实验班竞赛专题
-------对称式与轮换对称式
1． 基本概念
【定义1】一个n 元代数式12()n f x x x ，，，，如果交换任意两个字母的位置后，代数式不变，即对于任意的i j ，（1i j n ≤<≤），都有
11()()i j n j i n f x x x x f x x x x = ，，，，，，，，，，，，
那么，就称这个代数式为n 元对称式，简称对称式。 例如，222x y x y xy x y z xy yz zx xy
++++++，，，，都是对称式。 如果n 元对称式是一个多项式，那么称这个代数式为n 元对称多项式。
由定义1知，在对称式中，必包含任意交换两个字母所得的一切项，例如，在对称多项
式()f x y z ，，中，若有3ax 项，则必有33ay az ，项；若有2bx y 项，则必有2
bx z ，2222by z by x bz x bz y ，，，项，这些项叫做对称式的同形项，同形项的系数都相同。 根据对称多项式的定义，可以写出含n 个字母的对称多项式的一般形式，例如，含有三个字母x y z ，，的二次对称多项式的般形式是：
222()()()a x y z b xy yz zx c x y z d +++++++++
【定义2】如果一个n 元多项式的各项的次数均等于同一个常数r ，那么称这个多项式为n 元r 次齐次多项式。
由定义2知，n 元多项式12()n f x x x ，，，
是r 次齐次多项式，当且仅当对任意实数t 有 1212()()r n n f tx tx tx t f x x x = ，，，，，，。
例如，含三个字母的三元三次齐对称式为：
333222222
()()a x y z b x y x z y x y z z x z y cxyz +++++++++。
【定义3】一个n 元代数式12()n f x x x ，，，，如果交换任意两个字母的位置后，代数式均改变符号，即对于任意的i j ，()1i j n ≤<≤，都有 11()()i j n j i n f x x x x f x x x x =- ，，，，，，，，，，，，
那么就称这个代数式为n 元交代式。
例如，()()()x y x y x y y z z x x y
-----+，，均是交代式。 【定义4】如果一个n 交代数式12()n f x x x ，，，，如果将字母12n x x x ，，，以2x 代1x ，3x 代2n x x ，，代11n x x -，代n x 后代数式不变，即
12231()()n n f x x x f x x x x ≡ ，，，，，，，
那么称这个代数式为n 元轮换对称式，简称轮换式。
显然，对称式一定是轮换式，但轮换式不一定是对称式。例如，222()a x y z ++是对称式也是轮换式；222()b x y y z z x ++是轮换式，但不是对称式。
对称式、交代式、轮换式之间有如下性质：
（1）两个同字母的对称式的和、差、积、商仍是对称式；
（2）两个同字母的交代式的和、差是交代式它们的各、商是对称式；
（3）同字母的对称式与交代式的积、商是交代式；
（4）两个同字母的轮换式的和、差、积、商是交代式；
（5）多变无的交代多项式中必有其中任意两变元之差的因式。
【定义5】下面n 个对称多项式称为n 元基本对称多项式。
1121()n n i
i x x x x σ==∑ ，，，
2121()n n i j i j n x x x x x σ≤<≤=
∑ ，，，
… … … 1212121()k k n k n i i i i i i n x x x x x x σ≤<<<≤=
∑ ，，，
… … … 1212()n n n x x x x x x σ= ，，，
例如，二元基本对称多项式是指x y xy +，，
三元基本对称式是指x y z xy yz zx xyz ++++，，
当你学完了高等代数的时候就会知道，任何一个n 元对称多项式都可以表示为基本对称
多项式的多项式。这个结论对解题的指导作用。
2．对称式、轮换式、交代式在解题中的应用
为了初中学生学习的需要，我们在本讲里主要介绍二元和三元的情形，对于多元的情形，只需作类似的处理即可。
下面是利用对称式、轮换式、交代式解题的一些常用技巧
（1）若()f x y z ，，是对称式，则在解题中可设x y z ≤≤。（为什么？）
（2）若()f x y z ，，是对称式，则当x y ，满足性质p 时，x z y z ，；，也满足性质p 。
（3）若()f x y z ，，是轮换式，则在解题中可设x 最大（小），但不能设x y z ≤≤。（为
什么？）
（4）若()f x y z ，，是轮换式，且x y ，满足性质p ，则y z z x ，；，也满足性质p 。
（5）若()f x y z ，，是交代多项式，则x y y z z x ---，，是()f x y z ，，的因式，即其中()g x y z ，，是对称式。
()()()()()f x y z x y y z z x g x y z =---，，，，
其中()g x y z ，，是对称式。
在利用对称式作因式分解时，齐次对称多项式，齐次轮换对称多项式，齐次交代多项式是常用的。
齐次对称多项式的一般形式：
（1）二元齐次对称多项式
一次：()a x y +，
二次：22()a x y bxy ++
三次：33()()a x y bxy x y +++
（2）三元齐次对称多项式
一次：()a x y z ++
二次：222
()()a x y z b xy yz zx +++++
三次：333222()()()()a x y z b x y z y z x z x y cxyz ??+++++++++?? 判定mx ny rz ++是否为多项式(,,)f x y z ，的因式的方法是：令0mx ny rz ++=，计算()f x y z ，，，如果()=0f x y z ，，，那么mx ny rz ++就是()f x y z ，，的因式，在实际
操作时，可首先考虑mx ny rz ++的如下特殊情形：
x x y x y x y z x y z +-++-+，，，，
【例1】：已知多项式222222()()()()f x y z xy x y yz y z zx z x =-+-+-，，
（1）求证：()f x y z ，，是齐次式；（2）求证：()f x y z ，，是轮换式；
（3）求证：()f x y z ，，是交代式；（4）分解因式()f x y z ，，。
(4)∵ ()f x y z ，，是交代多项式，∴ ()()()x y y z z x ---是它的因式。又因为()f x y z ，，是4次齐次式，所以它还有一个一次对称式因式x y z ++。
于是，()f x y z ，，可表示为
【例2】：分解因式333
()3f x y z x y z xyz =++-，，。
【例3】：分解因式222222444()2()()f x y z x y y z z x x y z =++-++，，。
【例4】：分解因式5555
()()f x y z x y z x y z =++---，，
【例5】：分解因式444(,)()f x y x y x y =+++。
【例6】：分解因式
222222()(1)(1)()(1)(1)()(1)(1)y z xy xz z x yz yx x y zx zy -+++-+++-++。
故()()()()()f x y z x y y z z x xyz x y z =---+++，，
对称式与轮换对称式练习题：
1．已知555()()()()f x y z x y y z z x =-+-+-，，
（1）求证：f 为5次齐次式； （2）求证：f 为轮换式；
（3）求证：f 为交代式； （4）分解因式f 。
2．分解因式
（1）22222()()4()f x y x xy y xy x y =++-+，
（2）4444444
()()()()()f x y z x y z x y z y z z x x y =+++++-+-+-+，，
（3）()()333()()f x y z x y y z z x =-+-+-，， （4）()()()f x y z xy yz zx x y z xyz =++++-，，
（5）()()()444()f x y z x
y z y z x z x y =-+-+-，，
（6）()3333()f x y z x y z x y z =++---，，
（7）()()()
333222222()2f x y z x y z x y z y z x z x y xyz =++-+-+-++，， （8）222222()3f x y z x y xy x z xz y z yz xyz =++++++，，
（9）()()()()
222333()2f x y z x y z y z x z x y x y z xyz =+++++-++-，， （10）()()()()2
()f a b c d bcd cda dab abc bc ad cd ab db ac =+++----，，，
练习答案与提示：
1．2225()()()()x y y z z x x y z xy yz zx ---++---
2．（1）可设2222
()()f k x Axy y x Bxy y =++++，可求得11k A B ===-，
（2）可设()f kxyz x y z =++，可求出12k =
（3）可设()()()f k x y y z z x =---，可求出3k =
（4）可设()()()f k x y y z z x =+++，可求出1k =
（5）222()()()()()f x y y z z x A x y z B xy yz zx ??=---+++++??，可求出1A B == （6）3()()()x y y z z x +++
（7）()()()x y z y z x z x y ------
（8）()()x y z xy yz zx ++++
（9）()()()x y z y z x z x y +-+-+-
（10）当a b c d ===时，0f =，∴f 有abcd 的因式，可设
2222()()f abcd A a b c d B ab bc cd da ac bd ??=+++++++++??， 可求得1
2A B ==，，∴2()f abcd a b c d =+++ Made by @wgrmll
对称式和轮换对称式及答案
对称式和轮换对称式 一．填空题（共10小题） 1．已知，a，b，c是△ABC的边，且，，，则此三角形的面积是：_________． 2．已知实数a、b、c，且b≠0．若实数x1、x2、y1、y2满足x12+ax22=b，x2y1﹣x1y2=a，x1y1+ax2y2=c，则y12+ay22的值为_________． 3．已知正数a，b，c，d，e，f满足=4，=9，=16，=；=，=，则（a+c+e）﹣（b+d+f）的值为_________． 4．已知bc﹣a2=5，ca﹣b2=﹣1，ac﹣c2=﹣7，则6a+7b+8c=_________． 】 5．x1、x2、y1、y2满足x12+x22=2，x2y1﹣x1y2=1，x1y1+x2y2=3．则y12+y22=_________． 6．设a=，b=，c=，且x+y+z≠0，则=_________． 7．已知，，其中a，b，c为常数，使得凡满足第一式的m，n，P，Q，也满足第二式，则a+b+c=_________． 8．设2（3x﹣2）+3=y，2（3y﹣2）+3=z，2（3z﹣2）+3=u且2（3u﹣2）+3=x，则x=_________．9．若数组（x，y，z）满足下列三个方程：、、，则xyz=_________． . 10．设x、y、z是三个互不相等的数，且x+=y+=z+，则xyz=_________． 二．选择题（共2小题） 11．已知，，，则的值是（） A．B．C．D． 12．如果a，b，c均为正数，且a（b+c）=152，b（c+a）=162，c（a+b）=170，那么abc的值是（）A．672 B．688 C．720 D．750 三．解答题（共1小题） & 13．已知b≥0，且a+b=c+1，b+c=d+2，c+d=a+3，求a+b+c+d的最大值．
对称式与轮换对称式
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竞赛专题-------对称式与轮换对称式 1．基本概念 【定义1】一个n 元代数式12()n f x x x ，，，，如果交换任意两个字母的位置后，代数式不变，即对于任意的i j ，（1i j n ≤<≤），都有 11()()i j n j i n f x x x x f x x x x =，，，，，，，，，，，， 那么，就称这个代数式为n 元对称式，简称对称式。 例如，222x y x y xy x y z xy yz zx xy ++++++，，，，都是对称式。 如果n 元对称式是一个多项式，那么称这个代数式为n 元对称多项式。 由定义1知，在对称式中，必包含任意交换两个字母所得的一切项，例如，在对称多项式()f x y z ，，中，若有3ax 项，则必有33ay az ，项；若有2bx y 项，则必有2bx z ，2222by z by x bz x bz y ，，，项，这些项叫做对称式的同形项，同形项的系数都相同。 根据对称多项式的定义，可以写出含n 个字母的对称多项式的一般形式，例如，含有三个字母x y z ，，的二次对称多项式的般形式是： 222()()()a x y z b xy yz zx c x y z d +++++++++ 【定义2】如果一个n 元多项式的各项的次数均等于同一个常数r ，那么称这个多项式为n 元r 次齐次多项式。 由定义2知，n 元多项式12()n f x x x ，，，是r 次齐次多项式，当且仅当对任意实数t 有 1212()()r n n f tx tx tx t f x x x =，，，，，，。 例如，含三个字母的三元三次齐对称式为： 333222222()()a x y z b x y x z y x y z z x z y cxyz +++++++++。 【定义3】一个n 元代数式12()n f x x x ，，，，如果交换任意两个字母的位置后，代数式均改变符号，即对于任意的i j ，()1i j n ≤<≤，都有 11()()i j n j i n f x x x x f x x x x =-，，，，，，，，，，，， 那么就称这个代数式为n 元交代式。
数学奥林匹克竞赛轮换与对称
因式分解对称式交代式和轮换式 1、基本概念 (1)对称式：在一个代数式中，如果把它所含的两个字母互换，式子不改变，那么这个代数式就叫做关于这两个字母的对称式。如a b +,22a ab b ?+,322333a a b ab b +++等都是关于,a b 的对称式。 一般地，在一个代数式中，无论把其中哪两个字母互换，式子都不变，那么这个代数式就叫做关于这些字母的对称式，如a b c ++，222a b c ab bc ca ++???，3333a b c abc ++?等都是关于,,a b c 的对称式。 (2)交代式：在一个代数式中，如果把它所含的两个字母互换，得到的式子和原来的代数式只差一个符号，那么这个代数式就叫做关于这两个字母的交代式。如把a b ?，22a b ?中的两个字母,a b 互换，分别为()b a a b ?=??，2222()b a a b ?=??则a b ?，22a b ?就叫做关于,a b 的交代式。 (3)轮换式：在一个代数式中，如果把所含字母顺次替换(即第一个字母换成第二个字母，第二个字母换成第三个字母，以此类推，最后一个字母换成第一个字母)，式子不变，那么这个代数式就叫做关于这些字母的轮换对称式，简称轮换式，如a b c ++，ab bc ca ++，3333a b c abc ++?等都是关于,,a b c 的轮换式。 2、齐次对称式的一般形式 (1)二元齐次对称式 二元一次齐次对称式：)(b a L +； 二元二次齐次对称式：Mab b a L ++)(22； 二元三次齐次对称式：)()(33b a Mab b a L +++。 (2)三元齐次对称式 三元一次齐次对称式：)(c b a L ++； 三元二次齐次对称式：)()(222ca bc ab M c b a L +++++； 三元三次齐次对称式：)()([)(22233a c b c b a M c b a L ++++++Nabc b a c +++)](2。其中L，M，N 都是待定的常数，不含有,,a b c 。 3、基本性质 (1)对称式一定轮换式，但轮换式不一定是对称式。例如a c c b b a 222++是轮换式，但把,a b 互换，得到b c c a a b 222++，显然它不是关于,a b 的对称式。
自招竞赛 数学讲义：轮换对称式的最值问题(讲师版)
自招竞赛 数学讲义 轮换对称式的最值问题 学生姓名 授课日期 教师姓名 授课时长 知识定位 在不等式和求最值的问题中，轮换对称式是十分常见的。自招、竞赛中出现的不等式证明或代数式求最值问题以轮换对称式为主，而这一类有关轮换对称式的问题也以其简洁优美的数学形式和较为灵活多变的解决方法成为自招竞赛中的一大难点。 本章节列举了处理几类轮换对称式问题和几种常见处理方法，希望同学们在考场上见到这类问题时能够有思路有针对性地着手处理，而不是盲目地尝试变形求解（证）。 知识梳理 1. 不等式对称和轮换对称式的定义 在一个不等式中,若把其中任何两个字母(),,1,2,...,i j a a i j n i j =≠且对调位置后,这个不等式不变(如① 32 a b c b c c a a b ++≥+++,其中,,0a b c >), 我们便称此不等式是关于12,,...,n a a a 对称的。如果把不等式中的字母12,,...,n a a a 按一定顺序依次轮换（如1a 换成2a ，2a 换成3a ，...，1n a -换成n a ）后不等式不变（如② 222222 0,,,0c a a b b c a b c b c c a a b ---++≥>+++其中），我们便称此类不等式是关于12,,...,n a a a 轮换对称的。 2. 对称式与轮换对称不等式的性质 由定义易知，对称的不等式一定是轮换对称的（如①），而轮换对称的不等式却不一定是对称的（如②就不是对称的）。 关于12,,...,n a a a 对称的不等式，由于,i j a a 互换后原不等式不变，因此要想怎么排列他们的大小顺序，只要调换其位即可，故我们可任意排列12,,...,n a a a 的大小顺序（如在①
对称式和轮换对称式的因式分解
在一个含有若干个元的多项式中,如果任意交换两个元的位置,多项式不变,这样的多项式叫做对称多项式. 二元对称式的基本对称式是x+y,xy任何二元对称多项式都可用x+y,xy表示,如x2+y2=(x+y)2-2xy,二元对称多项式的分解方法之一是:先将其用xy,x+y表示,再行分解. 对称式的因式分解 在一个含有若干个元的多项式中,如果任意交换两个元的位置,多项式不变,这样的多项式叫做对称多项式. 例7分解因式x4+(x+y)4+y4 分析这是一个二元对称式,二元对称式的基本对称式是x+y,xy任何二元对称多项式都可用x+y,xy表示,如x2+y2=(x+y)2-2xy,二元对称多项式的分解方法之一是:先将其用xy,x+y表示,再行分解. 解∵x4+y4
=(x+y)4-4x3y-6x2y2-4xy2 =(x+y)4-4xy(x+y)2+2x2y2. ∴原式=(x+y)4-4xy(x+y)2+2x2y2+(x+y)4 =2(x+y)4-4xy(x+y)2+2x2y2 =2[(x+y)4-2xy(x+y)2+(xy)2] =2[(x+y)2-xy]2-2(x2+y2+xy)2, 例8分解因式a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b). 此题中若将式中的b换成a,c换成b,a换成c,即为c2(a-b)+a2(b-c)+b2(c-a),,原式不变,这类多项式称为关于a、b、c的轮换对称式，轮换对称式的因式分解，用因式定理及待定系数法比较简单，下面先粗略介绍一下因式定理，为了叙述方
便先引入符号f(x)、f(a)如对一元多项式3x2-5x-2可记作f(x)=3x2-5x-2,f(a)即表示当x=a时多项式的值，如x=1时多项式3x2-5x-2的值为 f(1)=3×12-5×1-2=-4,当x=2时多项式3x2-5x-2的值为f(2)=3×22-5×2-2=0. 因式定理如果x=a时多项式f(x)的值为零,即f(a)=0,则f(x)能被x-a整除(即含有x-a之因式). 如多项式f(x)=3x2-5x-2,当x=2时,f(2)=0,即f(x)含有x-2的因式,事实上 f(x)=3x2-5x-2=(3x+1)(x-2). 证明设f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0, 若f(a)=0,则 f(x)=f(x)-f(a) =(anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0) =(anan+an-1an-1+…+a1a+a0)
对称式与轮换对称式教案资料
， ， ， ， ， ， ， x n ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 例如， x - y ，x - y)( y - z )( z - x)， 八年级实验班竞赛专题 -------对称式与轮换对称式 1． 基本概念 【定义 1】一个 n 元代数式 f ( x ，x ggg ，x ) ，如果交换任意两个字母的位置后，代数 1 2 n 式不变，即对于任意的 i ，j （1 ≤ i < j ≤ n ），都有 f ( x gg g ，x ggg ，x ggg ，x ) = f ( x ggg ，x ggg ，x ggg ，x ) 1 i j n 1 j i n 那么，就称这个代数式为 n 元对称式，简称对称式。 例如， x + y ，xy ， + y ，x 2 + y 2 + z 2，xy + yz + zx 都是对称式。 xy 如果 n 元对称式是一个多项式，那么称这个代数式为 n 元对称多项式。 由定义 1 知，在对称式中，必包含任意交换两个字母所得的一切项，例如，在对称多项 式 f ( x ，y ，z ) 中 ，若 有 ax 3 项 ，则 必有 ay 3，az 3 项 ； 若有 bx 2y 项 ， 则必 有 bx 2 z ， by 2 z ，by 2 x ，bz 2 x ，bz 2 y 项，这些项叫做对称式的同形项，同形项的系数都相同。 根据对称多项式的定义，可以写出含 n 个字母的对称多项式的一般形式，例如，含有三 个字母 x ，y ，z 的二次对称多项式的般形式是： a( x 2 + y 2 + z 2 ) + b ( x y + yz + zx) + c( x + y + z ) + d 【定义 2】如果一个 n 元多项式的各项的次数均等于同一个常数 r ，那么称这个多项式 为 n 元 r 次齐次多项式。 由定义 2 知， 元多项式 f ( x ，x ggg ，x ) 是 r 次齐次多项式，当且仅当对任意实数 t 有 1 2 n f (tx ，tx gg g ，tx ) = t r f ( x ，x ggg ，x ) 。 1 2 n 1 2 n 例如，含三个字母的三元三次齐对称式为： a( x 3 + y 3 + z 3 ) + b ( x 2 y + x 2 z + y 2 x + y 2 z + z 2 x + z 2 y) + cxyz 。 【定义 3】一个 n 元代数式 f ( x ，x ggg ，x ) ，如果交换任意两个字母的位置后，代数 1 2 n 式均改变符号，即对于任意的 i ，j (1 ≤ i < j ≤ n )，都有 f ( x gg g ，x ggg ，x ggg ，x ) = - f ( x ggg ，x ggg ，x ggg ，x ) 1 i j n 1 j i n 那么就称这个代数式为 n 元交代式。 ( x - y x + y 均是交代式。
对称式和轮换对称式及答案
对称式与轮换对称式 一.填空题(共10小题) 1.已知,a,b,c就是△ABC得边,且,,,则此三角形得面积就是:_________. 2.已知实数a、b、c,且b≠0.若实数x1、x2、y1、y2满足x12+ax22=b,x2y1﹣x1y2=a,x1y1+ax2y2=c,则y12+ay22得值为_________. 3.已知正数a,b,c,d,e,f满足=4,=9,=16,=;=,=,则(a+c+e)﹣(b+d+f)得值为_________. 4.已知bc﹣a2=5,ca﹣b2=﹣1,ac﹣c2=﹣7,则6a+7b+8c=_________. 5.x1、x2、y1、y2满足x12+x22=2,x2y1﹣x1y2=1,x1y1+x2y2=3.则y12+y22=_________. 6.设a=,b=,c=,且x+y+z≠0,则=_________. 7.已知,,其中a,b,c为常数,使得凡满足第一式得m,n,P,Q,也满足第二式,则a+b+c=_________. 8.设2(3x﹣2)+3=y,2(3y﹣2)+3=z,2(3z﹣2)+3=u且2(3u﹣2)+3=x,则x=_________. 9.若数组(x,y,z)满足下列三个方程:、、,则xyz=_________. 10.设x、y、z就是三个互不相等得数,且x+=y+=z+,则xyz=_________. 二.选择题(共2小题) 11.已知,,,则得值就是() A. B. C. D. 12.如果a,b,c均为正数,且a(b+c)=152,b(c+a)=162,c(a+b)=170,那么abc得值就是() A.672 B.688 C.720 D.750 三.解答题(共1小题) 13.已知b≥0,且a+b=c+1,b+c=d+2,c+d=a+3,求a+b+c+d得最大值. 答案与评分标准 一.填空题(共10小题) 1.已知,a,b,c就是△ABC得边,且,,,则此三角形得面积就是:. 考点:对称式与轮换对称式。 分析:首先将将三式全部取倒数,然后再将所得三式相加,即可得:++=+++,再整理,配方即可得:(﹣1)2+(﹣1)2+(﹣1)2=0,则可得此三角形就是边长为1得等边三角形,则可求得此三角形得面积. 解答:解:∵a=,b=,c=, ∴全部取倒数得:=+,=+,=+, 将三式相加得:++=+++, 两边同乘以2,并移项得:﹣+﹣+﹣+3=0, 配方得:(﹣1)2+(﹣1)2+(﹣1)2=0, ∴﹣1=0,﹣1=0,﹣1=0, 解得:a=b=c=1, ∴△ABC就是等边三角形, ∴△ABC得面积=×1×=. 故答案为:. 点评:此题考查了对称式与轮换对称式得知识,考查了配方法与等边三角形得性质.此题难度较大,解题得关键就是将三式取倒数,再利用配方法求解,得到此三角形就是边长为1得等边三角形. 2.已知实数a、b、c,且b≠0.若实数x1、x2、y1、y2满足x12+ax22=b,x2y1﹣x1y2=a,x1y1+ax2y2=c,则y12+ay22得值为. 考点:对称式与轮换对称式。 分析:∵x12+ax22=b①,x2y1﹣x1y2=a②,x1y1+ax2y2=c③.首先将第②、③组合成一个方程组,变形把x1、x2表示出来,在讲将x1、x2得值代入①,通过化简就可以求出结论. 解答:解:∵x12+ax22=b①,x2y1﹣x1y2=a②,x1y1+ax2y2=c③. 由②,得 ④, 把④代入③,得 ⑤
对称式与轮换对称式
八年级实验班竞赛专题 -------对称式与轮换对称式 1． 基本概念 【定义1】一个n 元代数式12()n f x x x ，，，，如果交换任意两个字母的位置后，代数式不变，即对于任意的i j ，（1i j n ≤<≤），都有 11()()i j n j i n f x x x x f x x x x = ，，，，，，，，，，，， 那么，就称这个代数式为n 元对称式，简称对称式。 例如，222x y x y xy x y z xy yz zx xy ++++++，，，，都是对称式。 如果n 元对称式是一个多项式，那么称这个代数式为n 元对称多项式。 由定义1知，在对称式中，必包含任意交换两个字母所得的一切项，例如，在对称多项 式()f x y z ，，中，若有3ax 项，则必有33ay az ，项；若有2bx y 项，则必有2 bx z ，2222by z by x bz x bz y ，，，项，这些项叫做对称式的同形项，同形项的系数都相同。 根据对称多项式的定义，可以写出含n 个字母的对称多项式的一般形式，例如，含有三个字母x y z ，，的二次对称多项式的般形式是： 222()()()a x y z b xy yz zx c x y z d +++++++++ 【定义2】如果一个n 元多项式的各项的次数均等于同一个常数r ，那么称这个多项式为n 元r 次齐次多项式。 由定义2知，n 元多项式12()n f x x x ，，， 是r 次齐次多项式，当且仅当对任意实数t 有 1212()()r n n f tx tx tx t f x x x = ，，，，，，。 例如，含三个字母的三元三次齐对称式为： 333222222 ()()a x y z b x y x z y x y z z x z y cxyz +++++++++。 【定义3】一个n 元代数式12()n f x x x ，，，，如果交换任意两个字母的位置后，代数式均改变符号，即对于任意的i j ，()1i j n ≤<≤，都有 11()()i j n j i n f x x x x f x x x x =- ，，，，，，，，，，，， 那么就称这个代数式为n 元交代式。
对称式与轮换对称式
八年级实验班竞赛专题 -------对称式与轮换对称式 1． 基本概念 【定义1】一个n 元代数式12()n f x x x ，，，，如果交换任意两个字母的位置后，代数式不变，即对于任意的i j ，（1i j n ≤<≤），都有 11()()i j n j i n f x x x x f x x x x = ，，，，，，，，，，，， 那么，就称这个代数式为n 元对称式，简称对称式。 例如，222x y x y xy x y z xy yz zx xy ++++++，，，，都是对称式。 如果n 元对称式是一个多项式，那么称这个代数式为n 元对称多项式。 由定义1知，在对称式中，必包含任意交换两个字母所得的一切项，例如，在对称多项式()f x y z ，，中，若有3ax 项，则必有33ay az ，项；若有2b x y 项，则必有2b x z ， 2 2 2 2 by z by x bz x bz y ，，，项，这些项叫做对称式的同形项，同形项的系数都相同。 根据对称多项式的定义，可以写出含n 个字母的对称多项式的一般形式，例如，含有三个字母x y z ，，的二次对称多项式的般形式是： 2 2 2 ()()()a x y z b xy yz zx c x y z d +++++++++ 【定义2】如果一个n 元多项式的各项的次数均等于同一个常数r ，那么称这个多项式为n 元r 次齐次多项式。 由定义2知，n 元多项式12()n f x x x ，，，是r 次齐次多项式，当且仅当对任意实数t 有 1212()()r n n f tx tx tx t f x x x = ，，，，，，。 例如，含三个字母的三元三次齐对称式为： 3 3 3 2 2 2 2 2 2 ()()a x y z b x y x z y x y z z x z y cxyz +++++++++。 【定义3】一个n 元代数式12()n f x x x ，， ，，如果交换任意两个字母的位置后，代数式均改变符号，即对于任意的i j ，()1i j n ≤<≤，都有 11()()i j n j i n f x x x x f x x x x =- ，，，，，，，，，，，， 那么就称这个代数式为n 元交代式。 例如，()()()x y x y x y y z z x x y -----+，， 均是交代式。
对称式和轮换对称式及答案
?填空题（共10小题） 1.已知，a , b , C 是△KBC 的边，且_ , l+c 2 l+a 2 2 2 2 2 2.已知实数 a 、b 、c,且 b≠0.若实数 x 1、X 2、y 1、y 2满足 X 1 +ax 2 =b , x 2y 1 - x 1y 2=a , x 1y 1+ax 2y 2=c ,贝U y 1 +ay 2 的值为 . (a+c+e )-( b+d+f )的值为 2 2 2 已知 bc - a =5, Ca - b = - 1, ac - C = - 7,贝U 6a+7b+8c= 2 2 2 2 x 1、X 2、y 1、y 2 满足 X 1 +x 2 =2, x 2y 1 - x 1y 2=1, x 1y 1+x 2y 2=3 .贝V y 1 +y 2 = 10.设X 、y 、Z 是三个互不相等的数，且 X+—=y+ =z+ ,则XyZ= y ZX 对称式和轮换对称式 - ,则此三角形的面积是: l+b 2 3. 已知正数a , b , c , d , e , f 满足 a bcdef =4 acde f=9 abde f =16 abce f = l . 訪Cdf = I =4 , ∏ =9 , =l6 , : I ； . a T , b C d 4 e 9 abcde 1 16, 4. 5. 6. 设 a =亠，b <. ., C =「.，且 X+y+Z 旳，则 已知m 亠其中 一式，贝H a+b+c= ____________ . 7. a , b , C 为常数，使得凡满足第一式的 m , n , P , Q ,也满足第 &设 2 ( 3x - 2) +3=y , 2 (3y - 2) +3=z , 2 (3z — 2) +3=u 且 2 (3u - 2) +3=x ,贝U X= 9.若数组（X , y , Z ）满足下列三个方程: 尢-L 「、尢一；，则 XyZ = 二.选择题（共2小题） 11.已知■' ' a+b 15' b+c 17 1 A . 二-丄，则.二 的值是（ ） 、 ab+bc+ca c+a 16 C . 12 .如果a, A . 672 C 均为正数, B . 688 a (b+c ) C . 720 =152 , b (c+a ) =162 , C ( a+b ) =170 ,那么 abc 的值是( ) D . 750 三.解答题（共 13.已知 b ≥）, 1小题) 且 a+b=c+1, b+c=d+2 , c+d=a+3 ,求 a+b+c+d 的最大值.
自招竞赛课程数学讲义：轮换对称式最值求法【学生版】
自招竞赛数学 “轮换对称式最值求法” 讲义编号： 近几年来，关于多元轮换对称和式s的最值问题，多以证明形式出现在数学竞赛题目中，即证S ≥A (或S≤A)。 因为求法能代替证明(通过数学方法求出s最大值为A，也即证明了S≤A成立)，所以，s的最值求法应是一个更深刻的问题。 反之，因为证明不等式S≤A，是先提供常数A，它可以加入到论证、推理和运算过程之中，而求最值并无此条件，所以，证明不能代替求法。 鉴于此，寻找S的最值求法，远比寻找证明的方法和技巧重要。 1.如果a，b，c均为正数，且a（b+c）=152，b（c+a）=162，c（a+b）=170，那么abc的值是（） A．672 B．688 C．720 D．750
通过几个典型例子的“通法”和“简解”比较，说明对称思想在探求最值问题中的巧妙运用． 例1 （2007年全国高中数学联赛广西赛预赛试题）设122007,,,a a a L 均为正实数，且 12200711112222 a a a +++=+++L ，则122007..a a a ?L 的最小值为 例2 (2006年高考重庆理科第12题) 若,,0a b c >，()4a a b c bc +++=-2a b c ++的最小 值为（ ） 1 1 2 2B C D - 例3 (2010年全国高中数学联赛湖北赛区预赛试题)若x ，y ，z 均为实数，且222 1x y z ++=，则2 (1)2z S xyz +=的最小值为多少。
例4 （2010年全国高中数学联赛湖北预赛试题）已知实数x，y，z满足32,4 =+==，则 xyz x y z ++的最小值为 x y z 例5 （《数学通报}2010年第3期问题1844)已知a，b，c为正实数，且12,45 ++=++=， a b c ab bc ca 试求abc的最大值。
轮换对称式的最值问题(教案版)
轮换对称式的最值问题 (教案版) -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
轮换对称式的最值问题 学生姓名 授课日期 教师姓名 授课时长 在不等式和求最值的问题中，轮换对称式是十分常见的。自招、竞赛中出现的不等式证明或代数式求最值问题以轮换对称式为主，而这一类有关轮换对称式的问题也以其简洁优美的数学形式和较为灵活多变的解决方法成为自招竞赛中的一大难点。 本章节列举了处理几类轮换对称式问题和几种常见处理方法，希望同学们在考场上见到这类问题时能够有思路有针对性地着手处理，而不是盲目地尝试变形求解（证）。 1. 不等式对称和轮换对称式的定义 在一个不等式中,若把其中任何两个字母(),,1,2,...,i j a a i j n i j =≠且对调位置后,这个不等式不变(如①32 a b c b c c a a b ++≥+++,其中,,0a b c >), 我们便称此不等式是关于12,,...,n a a a 对称的。如果把不等式中的字母12,,...,n a a a 按一定顺序依次轮换（如1a 换成2a ，2a 换成3a ，...，1n a -换成n a ）后不等式不 变（如②222222 0,,,0c a a b b c a b c b c c a a b ---++≥>+++其中），我们便称此类不等式是关于12,,...,n a a a 轮换对称的。 2. 对称式与轮换对称不等式的性质
由定义易知，对称的不等式一定是轮换对称的（如①），而轮换对称的不等式却不一定是对称的（如②就不是对称的）。 关于12,,...,n a a a 对称的不等式，由于,i j a a 互换后原不等式不变，因此要想怎么排列他们的大小顺序，只要调换其位即可，故我们可任意排列12,,...,n a a a 的大小顺序（如在①中可设a b c ≥≥），而关于12,,...,n a a a 是轮换对称的不等式则不能任意排列其字母的大小顺序，而只能做较弱的排列，如1n a a ≥，2n a a ≥，...，1n n a a -≥，即某一个是其中的最大或最小（如②中可设a c ≥，a b ≥），因为我们总可以通过轮换把某个字母调整到最小或最大的位置。 3. 取得最值的判定 暑期讲义轮换对称式一讲中我们提到，轮换对称式取到最值时往往各地位轮换对称的变量取值相等。在这种情况下我们可以简化问题为先判断最值和取到最值的条件，在转化为不等式证明问题（此时取等的条件也作为一个解决不等式证明的重要提示）。 当然，并不是所有轮换对称式取最值的条件都是上述，所以我们尽可能用特值等方法验证来舍弃显然不合理的假定，确认判断正确后再转化为证明问题，这样可以减少无用功。值得注意的是，判断各变量相等时取到的是最大还是最小值与题目要求比对是十分必要的。 4. 轮换对称式常见的处理方法（结合例题讲解） （1） 凑项法（最常用）
对称式和轮换对称式及答案
！ 对称式和轮换对称式 一．填空题（共10小题） 1．已知，a，b，c是△ABC的边，且，，，则此三角形的面积是：_________ ． 2．已知实数a、b、c，且b≠0．若实数x1、x2、y1、y2满足x12+ax22=b，x2y1﹣x1y2=a，x1y1+ax2y2=c，则y12+ay22的值为_________ ． 3．已知正数a，b，c，d，e，f满足=4，=9，=16，=；=，=，则（a+c+e）﹣（b+d+f）的值为_________ ． 》 4．已知bc﹣a2=5，ca﹣b2=﹣1，ac﹣c2=﹣7，则6a+7b+8c= _________ ． 5．x1、x2、y1、y2满足x12+x22=2，x2y1﹣x1y2=1，x1y1+x2y2=3．则y12+y22= _________ ． 6．设a=，b=，c=，且x+y+z≠0，则= _________ ． 7．已知，，其中a，b，c为常数，使得凡满足第一式的m，n，P，Q，也满足第二式，则a+b+c= _________ ． · 8．设2（3x﹣2）+3=y，2（3y﹣2）+3=z，2（3z﹣2）+3=u且2（3u﹣2）+3=x，则x= _________ ．9．若数组（x，y，z）满足下列三个方程：、、，则xyz= _________ ．10．设x、y、z是三个互不相等的数，且x+=y+=z+，则xyz= _________ ． 二．选择题（共2小题） 11．已知，，，则的值是（） ] A．B．C．D． 12．如果a，b，c均为正数，且a（b+c）=152，b（c+a）=162，c（a+b）=170，那么abc的值是（）A．672 B．688 C．720 D．750 三．解答题（共1小题）
轮换对称式
一.定义 在含有多个变量的代数式f (x,y,z)中，如果变量x, y, z 任意交换两个后，代数式的值不变，则称这个代数式为绝对对称式，简称对称式. 例如：代数式x+y ， xy ， x3+y3+z3－3xyz, x5+y5+xy, 都是对称式. 其中x+y 和xy 叫做含两个变量的基本对称式. 如果把一个多项式的每两个字母依次互换后，多项式不变，这种多项式叫对称多项式。 如 是一个二元对称式． (x-1)(y-1)= xy-(x+y)+1 (x+1)(y+1)= xy+(x+y)+1 例题 求方程x+y=xy 的整数解。 分析 这是一道求不定方程解的题目，当然x 与y 交换位置后，原等式不变，可考虑移项分解因式。 解： ∵ x+y=xy ∴ (x-1)(y-1)=1. 解之，得 x-1=1,y-1=1; 或 x-1=-1, y-1=-1. ∴ x=2 y=2 或 x=0 y=0 关于x 、y 、z 三个变量的多项式，如果对式子中变量按某种次序轮换后（例如把x 换成 y , 把y 换成 z , 把z 换成 x ），所得的式子仍和原式相同，则称这个多项式是关于x 、y 、z 的 轮换对称式.简称轮换式. 例如：代数式 a2(b －c)+b2(c －a)+c2(a －b), 2x2y+2y2z+2z2x, , （xy+yz+zx ） ， . 都是轮换式. 显然，对称式一定是轮换式,而轮换式不一定是对称式. 二.性质 1、含两个变量x 和y 的对称式，一定可用相同变量的基本对称式来表示. ２、对称式中，如果含有某种形式的一式，则必含有该式由两个变量交换后的一切同型式，且系数相等. 例如：在含x, y, z 的二次对称多项式中， 如果含有x2项，则必同时有y2, z2两项；如含有xy 项，则必同时有yz, zx 两项，且它们的系数，都分别相等. 故可以表示为： m(x2+y2+z2)+n(xy+yz+zx) 其中m, n 是常数. ３、轮换式中，如果含有某种形式的一式，则一定含有该式由变量字母循环变换后所得的一切同型式，且系数相等. 例如：轮换式a ２(b －c)+b ２(c －a)+c ２(a －b)中，有因式a －b 这一项, 必有同型式b －c 和c －a 两项. 例如：轮换式分解因式： y x 11+222 ()2a b a ab b +=++abc c b a 1111-++111()x y z ++222222222111b a c a c b c b a -++-++-+
对称式和轮换对称式及答案
对称式和轮换对称式 一?填空题(共10小题) 1.已知，a, b, c是厶ABC的边，且，，，则此三角形的面积是：—_ ? r r . 2 2 2 2 2.已知实数a、b、c,且0.若实数X i、X2、y i、y满足x i +ax2 =b, X2y i- x i y2=a, X i y i+ax2y2=c，贝U y i+ay2 的值为_______________ . 3.已知正数a, b, c, d, e, f 满足=4, =9, =16,=;=,=，则(a+c+e)-( b+d+f)的值为_^_______^_. 2 2 2 4.已知bc- a =5, ca - b =- 1, ac- c = - 7,贝U 6a+7b+8c= _____________ . 5.X1、X2、y1、y2满足xj+X22=2, x2y1 -xy2=1, X1y1+X2y2=3.贝U y12+y22= ______________ . 6.设a=, b=, c=，且x+y+zz0,贝U = _______________ . 7.已知，，其中a, b, c为常数，使得凡满足第一式的 ____ m n, P, Q也满足第二式，则a+b+c= . &设2 ( 3x- 2) +3=y, 2 (3y - 2) +3=z, 2 (3z - 2) +3=u 且2 (3u - 2) +3=x，贝U x= ______________ . 9.若数组(x, y, z)满足下列三个方程：、、，则xyz= __________________ . 10 . 设x、y、z是三个互不相等的数，且x+=y+=z+，贝y xyz= . 二 选择题（共2小题） 11 . 已知，，则的值是（) A. B. C. D. 12 . 如杲a, b, c均为正数，且a(b+c) =152, b (c+a) =162, c (a+b) =170,那么abc 的值是( ) A. 672 B. 688 C. 720 D. 750 三解答题（共1小题） 13.已知b>0,且a+b=c+1, b+c=d+2, c+d=a+3，求a+b+c+d 的最大值.
【精排】轮换对称性在中学数学中的应用
轮换对称性在中学数学中的应用 【摘要】数学的对称美使我们在解题中更简便，更有效．在解题时，可以根据问题的特点去发掘潜在的对称关系或构造某种对称性，使问题得到巧妙快捷的解决，数学中绚丽多彩的对称美，给我们提供了种种奇妙的解法，同时也给我们带来美的享受．在数学学习中要有 意识地利用数学问题的对称性特征,去考察数学对象、思考数学问题,形成数学思维的对称方法和解题策略. 当前，不少同学认为数学就是一堆呆板的公式和复杂的图形，这是没有真正理解数学的精彩、美妙和趣味.其实数学也是一种美学.“哪里有数学，哪里就有美”.例如数学中的对称性, 不仅具有美感,而且具有应用价值.所谓对称美是指某一事物或对象的两个部分的对等性，给人以美的感受。在数学学习中要有意识地利用数学问题的对称性特征,去考察数学对象、思考数学问题,形成数学思维的对称方法和解题策略.轮换对称的概念在数学中有着广泛而重要的应用，如果在求解问题的过程中注意到轮换对称性，并且恰当地利用轮换对称性，则可以减少一些繁琐的计算，化难为易，提高解题效率，达到事半功倍的效果. 1、轮换对称性的相关定义与性质 轮换对称性的相关定义与性质如下： 如果把一个代数式中的字母按照某个秩序排列,然后依次把第一个字母换成第二个字母，把第二个字母换成第三个字母，……，把最后一个字母换成第一个字母，我们称这种变换字母的
方法叫做轮换. 如果把一个代数式中的字母对调，所得的代数式和原来的代数式恒等，那么，就说原来的代数式关于这些字母对称，原来的代数式就是关于这些字母的对称式. 如果一个函数f(x 1,x 2)=f(x 2,x 1)，则称该函数是对称 函数. 如果通过轮换后所得的代数式与原来的代数式恒等，那么，就把原来的代数式叫做关于这些字母的轮换对称式. 如果轮换对称式中各项的次数相等,那么,就把这样的代数式叫做齐次轮换对称式. 轮换对称式的和、差、积、商也是轮换对称式. 齐次轮换对称式的和、差、积、商也是齐次轮换对称式. 2、轮换对称性的应用举例 2.1.1 轮换对称性在因式分解中的应用 由轮换对称式的性质可知,当一个轮换对称式有某个因式时,它一定还有关于这个因式中的变数的轮换对称式.根据这个性质,再利用因式定理和待定系数法,可以比较简便地把一个轮换对称式因式分解. 设△ABC 的三边长分别为 a 、b 、c,且 ac a c bc c b ab b a --++-++-111=0 则△ABC 的形状是_____三角形? 分析因为已知等式是关于 a 、b 、c 的轮换对称式,可考虑
对称式与轮换对称式修订稿
对称式与轮换对称式 WEIHUA system office room 【WEIHUA 16H-WEIHUA WEIHUA8Q8-
竞赛专题-------对称式与轮换对称式 1．基本概念 【定义1】一个n 元代数式12()n f x x x ，，，，如果交换任意两个字母的位置后，代数式不变，即对于任意的i j ，（1i j n ≤<≤），都有 11()()i j n j i n f x x x x f x x x x =，，，，，，，，，，，， 那么，就称这个代数式为n 元对称式，简称对称式。 例如，222x y x y xy x y z xy yz zx xy ++++++，，，，都是对称式。 如果n 元对称式是一个多项式，那么称这个代数式为n 元对称多项式。 由定义1知，在对称式中，必包含任意交换两个字母所得的一切项，例如，在对称多项式()f x y z ，，中，若有3ax 项，则必有33ay az ，项；若有2bx y 项，则必有2bx z ，2222by z by x bz x bz y ，，，项，这些项叫做对称式的同形项，同形项的系数都相同。 根据对称多项式的定义，可以写出含n 个字母的对称多项式的一般形式，例如，含有三个字母x y z ，，的二次对称多项式的般形式是： 222()()()a x y z b xy yz zx c x y z d +++++++++ 【定义2】如果一个n 元多项式的各项的次数均等于同一个常数r ，那么称这个多项式为n 元r 次齐次多项式。 由定义2知，n 元多项式12()n f x x x ，，，是r 次齐次多项式，当且仅当对任意实数t 有 1212()()r n n f tx tx tx t f x x x =，，，，，，。 例如，含三个字母的三元三次齐对称式为： 333222222()()a x y z b x y x z y x y z z x z y cxyz +++++++++。 【定义3】一个n 元代数式12()n f x x x ，，，，如果交换任意两个字母的位置后，代数式均改变符号，即对于任意的i j ，()1i j n ≤<≤，都有 11()()i j n j i n f x x x x f x x x x =-，，，，，，，，，，，， 那么就称这个代数式为n 元交代式。
对称式和轮换对称式及问题详解
?填空题（共10小题） 1 ?已知，a , b , 2 2 2 2 b 、c,且 b 和.若实数 x 1、X 2、y 1、y 2 满足 X 1 +ax 2 =b , x 2y 1 — X 1y 2=a , x 1y 1+ax 2y 2=c ,贝 U y 1 +ay 2 (a+c+e )-( b+d+f )的值为 2 2 2 已知 bc - a =5, ca - b = - 1, ac - c = - 7,贝U 6a+7b+8c= 2 2 2 2 x 1、X 2、y 1、y 2 满足 X 1 +x 2 =2, x 2y 1 _ x 〔y 2=1, X 1y 1+X 2y 2=3 .贝V y 1 +y 2 = 10.设x 、y 、z 是三个互不相等的数，且 x+—=y+ =z+ ，则xyz= y z x 对称式和轮换对称式 3. 已知正数a , b , c , d , e , f 满足 a bcdef =4 acde f=9 abde f =16 abce f = l .^cdf = l =4 , i =9, =16 , : . =-, b c d 4 e 9 abcde 1 2.已知实数a 、 的值为 ______ 4. 5. 6. 设 a =亠，b \. ., c =「.，且 X+y+z 旳，则 已知m 亠其中 一式，贝H a+b+c= _____________ . 7. a , b , c 为常数，使得凡满足第一式的 m , n , P , Q ,也满足第 &设 2 ( 3x -2) +3=y , 2 (3y - 2) +3=z , 2 (3z — 2) +3=u 且 2 (3u — 2) +3=x ，贝U x= 9.若数组（x , y , z ）满足下列三个方程: 尢「「「、’—；，则 xyz = c 是厶ABC 的边，且 %? ,- ，则此三角形的面积是: 1 + L
对称式与轮换对称式
1.基本概念 【定义1】一个n 元代数式f(X 1, X 2,皿 X n )，如果交换任意两个字母的位置后， 代 数式不 变，即对于任意的i, j (1