文科高等数学(6. 定积分)
第六章 定积分
§6. 1 定积分概念与性质
一、定积分问题举例
1. 曲边梯形的面积
曲边梯形: 设函数y =f (x )在区间[a , b ]上非负、连续. 由直线x =a 、x =b 、y =0及曲线y =f (x )所围成的图形称为曲边梯形, 其中曲线弧称为曲边. 求曲边梯形的面积的近似值:
将曲边梯形分割成一些小的曲边梯形, 每个小曲边梯形都用一个等宽的小矩形代替, 每个小曲边梯形的面积都近似地等于小矩形的面积, 则所有小矩形面积的和就是曲边梯形面积的近似值. 具体方法是: 在区间[a , b ]中任意插入若干个分点
a =x 0< x 1< x 2< ? ? ?< x n -1< x n =
b ,
把[a , b ]分成n 个小区间
[x 0, x 1], [x 1, x 2], [x 2, x 3], ? ? ? , [x n -1, x n ],
它们的长度依次为?x 1= x 1-x 0 , ?x 2= x 2-x 1 , ? ? ? , ?x n = x n -x n -1 .
经过每一个分点作平行于y 轴的直线段, 把曲边梯形分成n 个窄曲边梯形. 在每个小区间 [x i -1, x i ]上任取一点ξ i , 以[x i -1, x i ]为底、f (ξ i )为高的窄矩形近似替代第i 个窄曲边梯形(i =1, 2, ? ? ? , n ) , 把这样得到的n 个窄矩阵形面积之和作为所求曲边梯形面积A 的近似值, 即
A ≈f (ξ 1)?x 1+ f (ξ 2)?x 2+? ? ?+ f (ξ n )?x n ∑=?=n
i i i x f 1)(ξ.
求曲边梯形的面积的精确值:
显然, 分点越多、每个小曲边梯形越窄, 所求得的曲边梯形面积A 的近似值就越接近曲边梯形面积A 的精确值, 因此, 要求曲边梯形面积A 的精确值, 只需无限地增加分点, 使每个小曲边梯形的宽度趋于零. 记
λ=max{?x 1, ?x 2,? ? ?, ?x n }, 于是, 上述增加分点, 使每个小曲边梯形的宽度趋于零, 相当于令λ→0. 所以曲边梯形的面积为
∑
=→?=n
i i
i x f A 1
)(lim
ξλ.
2. 变速直线运动的路程
设物体作直线运动, 已知速度v =v (t )是时间间隔[T 1, T 2]上t 的连续函数, 且v (t )≥0, 计算在这段时间内物体所经过的路程S . 求近似路程:
我们把时间间隔[T 1, T 2]分成n 个小的时间间隔?t i , 在每个小的时间间隔?t i 内, 物体运动看成是均速的, 其速度近似为物体在时间间隔?t i 内某点ξ i 的速度v (τ i ), 物体在时间间隔?t i 内 运动的距离近似为?S i = v (τ i ) ?t i . 把物体在每一小的时间间隔?t i 内 运动的距离加起来作为物体在时间间隔[T 1 , T 2]内所经过的路程S 的近似值. 具体做法是:
在时间间隔[T 1 , T 2]内任意插入若干个分点
T 1=t 0< t 1< t 2
把[T 1 , T 2]分成n 个小段
[t 0, t 1], [t 1, t 2], ? ? ?, [t n -1, t n ] ,
各小段时间的长依次为
?t 1=t 1-t 0, ?t 2=t 2-t 1,? ? ?, ?t n =t n -t n -1.
相应地, 在各段时间内物体经过的路程依次为
?S 1, ?S 2, ? ? ?, ?S n .
在时间间隔[t i -1, t i ]上任取一个时刻τ i (t i -1<τ i < t i ), 以τ i 时刻的速度v (τ i )来代替[t i -1, t i ]上各个时刻的速度, 得到部分路程?S i 的近似值, 即
?S i = v (τ i ) ?t i (i =1, 2, ? ? ? , n ).
于是这n 段部分路程的近似值之和就是所求变速直线运动路程S 的近似值, 即
∑=?≈n
i i
i t v S 1
)(τ;
求精确值:
记λ = max{?t 1, ?t 2,? ? ?, ?t n }, 当λ→0时, 取上述和式的极限, 即得变速直线运动的路程
∑=→?=n
i i i t v S 1
)(lim
τλ.
设函数y =f (x )在区间[a , b ]上非负、连续. 求直线x =a 、x =b 、y =0 及曲线y =f (x )所围成的曲边梯形的面积.
(1)用分点a =x 0 i i x f ?)(ξ (i =1, 2, ? ? ? , n ); 所求曲边梯形面积A 的近似值为 ∑=?≈n i i i x f A 1 )(ξ. (3)记λ=max{?x 1, ?x 2,? ? ?, ?x n }, 所以曲边梯形面积的精确值为 ∑ =→?=n i i i x f A 1 )(lim ξλ. 设物体作直线运动, 已知速度v =v (t )是时间间隔[T 1, T 2]上t 的连续函数, 且v (t )≥0, 计算在这段时间内物体所经过的路程S . (1)用分点T 1=t 0 (2)任取τi ∈[t i -1, t i ], 在时间段[t i -1, t i ]内物体所经过的路程可近似为v (τi )?t i (i =1, 2, ? ? ? , n ); 所求路程S 的近似值为 ∑=?≈n i i i t v S 1)(τ. (3)记λ=max{?t 1, ?t 2,? ? ?, ?t n }, 所求路程的精确值为 ∑=→?=n i i i t v S 1 )(lim τλ. 二、定积分定义 抛开上述问题的具体意义, 抓住它们在数量关系上共同的本质与特性加以概括, 就抽象出下述定积分的定义. 定义 设函数f (x )在[a , b ]上有界, 在[a , b ]中任意插入若干个分点 a =x 0< x 1< x 2< ? ? ?< x n -1< x n = b , 把区间[a , b ]分成n 个小区间 [x 0, x 1], [x 1, x 2], ? ? ?, [x n -1, x n ] , 各小段区间的长依次为 ?x 1=x 1-x 0, ?x 2=x 2-x 1,? ? ?, ?x n =x n -x n -1. 在每个小区间[x i -1, x i ]上任取一个点ξ i (x i -1< ξ i < x i ), 作函数值f (ξ i )与小区间长度?x i 的乘积 f (ξ i ) ?x i (i =1, 2,? ? ?, n ) , 并作出和 ∑=?=n i i i x f S 1 )(ξ. 记λ = max{?x 1, ?x 2,? ? ?, ?x n }, 如果不论对[a , b ]怎样分法, 也不论在小区间[x i -1, x i ]上点ξ i 怎样取法, 只要当λ→0时, 和S 总趋于确定的极限I , 这时我们称这个极限I 为函数f (x )在区间[a , b ]上的定积分, 记作?b a dx x f )(, 即 ∑?=→?=n i i i b a x f dx x f 1 )(lim )(ξλ. 其中f (x )叫做被积函数, f (x )dx 叫做被积表达式, x 叫做积分变量, a 叫做积分下限, b 叫做积分上限, [a , b ]叫做积分区间. 定义 设函数f (x )在[a , b ]上有界, 用分点a =x 0 n 个小区间: [x 0, x 1], [x 1, x 2], ? ? ?, [x n -1, x n ] , 记?x i =x i -x i -1(i =1, 2,? ? ?, n ). 任ξ i ∈[x i -1, x i ] (i =1, 2,? ? ?, n ), 作和 ∑=?=n i i i x f S 1 )(ξ. 记λ=max{?x 1, ?x 2,? ? ?, ?x n }, 如果当λ→0时, 上述和式的极限存在, 且极限值与区间[a , b ]的分法和ξ i 的取法无关, 则称这个极限为函数f (x )在区间[a , b ]上的定积分, 记作?b a dx x f )(, 即 ∑ ? =→?=n i i i b a x f dx x f 1 )(lim )(ξλ. 根据定积分的定义, 曲边梯形的面积为?=b a dx x f A )(. 变速直线运动的路程为dt t v S T T )(2 1 ?=. 说明: (1)定积分的值只与被积函数及积分区间有关, 而与积分变量的记法无关, 即 ???==b a b a b a du u f dt t f dx x f )()()(. (2)和∑=?n i i i x f 1 )(ξ通常称为f (x )的积分和. (3)如果函数f (x )在[a , b ]上的定积分存在, 我们就说f (x )在区间[a , b ]上可积. 函数f (x )在[a , b ]上满足什么条件时, f (x )在[a , b ]上可积呢？ 定理1 设f (x )在区间[a , b ]上连续, 则f (x ) 在[a , b ]上可积. 定理2 设f (x )在区间[a , b ]上有界, 且只有有限个间断点, 则f (x ) 在[a , b ]上可积. 定积分的几何意义: 在区间[a , b ]上, 当f (x )≥0时, 积分?b a dx x f )(在几何上表示由曲线y =f (x )、两条直线x =a 、x = b 与x 轴所围成的曲边梯形的面积; 当f (x )≤0时, 由曲线y =f (x )、两条直线x =a 、x =b 与x 轴所围成的曲边梯形位于x 轴的下方, 定义分在几何上表示上述曲边梯形面积的负值; ∑∑?-- =?--=?==→=→b a n i i i n i i i b a dx x f x f x f dx x f )]([)]([lim )(lim )(1 1 ξξλλ. 当f (x )既取得正值又取得负值时, 函数f (x )的图形某些部分在x 轴的上方, 而其它部分在x 轴的下方. 如果我们对面积赋以正负号, 在x 轴上方的图形面积赋以正号, 在x 轴下方的图形面积赋以负号, 则在一般情形下, 定积分?b a dx x f )(的几何意义为: 它是介于x 轴、函数f (x )的图形及两条直线x =a 、x = b 之间的各部分面积的代数和. 用定积分的定义计算定积分: 例1. 利用定义计算定积分dx x 21 0?. 解 把区间[0, 1]分成n 等份, 分点为和小区间长度为 n i x i =(i =1, 2,? ? ?, n -1), n x i 1=?(i =1, 2,? ? ?, n ) . 取n i i =ξ(i =1, 2,? ? ?, n ), 作积分和 ∑∑ ∑===? =?=?n i i n i i i n i i n n i x x f 121 21 1)()(ξξ ) 12)(1(61 1131 23++?==∑=n n n n i n n i )1 2)(11(61n n ++= . 因为n 1=λ, 当λ→0时, n →∞, 所以 3 1 )12)(11(61lim )(lim 1 21 =++=?=∞ →=→∑?n n x f dx x n n i i i ξλ. 利定积分的几何意义求积分: 例2. 用定积分的几何意义求?-1 )1(dx x . 解: 函数y =1-x 在区间[0, 1]上的定积分是以y =1-x 为曲边, 以区间[0, 1]为底的曲边梯形的面积. 因为以y =1-x 为曲边, 以区间[0, 1]为底的曲边梯形是一直角三角形, 其底边长及高均为1, 所以 21 1121)1(1 0=??=-?dx x . 三、定积分的性质 两点规定: (1)当a =b 时, 0)(=?b a dx x f . (2)当a > b 时, ??-=a b b a dx x f dx x f )()(. 性质1 函数的和(差)的定积分等于它们的定积分的和(差) 即 ???±=±b a b a b a dx x g dx x f dx x g x f )()()]()([. 证明:?±b a dx x g x f )]()([∑=→?±=n i i i i x g f 10 )]()([lim ξξλ ∑∑=→=→?±?=n i i i n i i i x g x f 1 1 0)(lim )(lim ξξλλ ??±=b a b a dx x g dx x f )()(. 性质2 被积函数的常数因子可以提到积分号外面 即 ??=b a b a dx x f k dx x kf )()(. 这是因为∑?=→?=n i i i b a x kf dx x kf 1 0)(lim )(ξλ?∑=?==→b a n i i i dx x f k x f k )()(lim 1 ξλ. 性质3 如果将积分区间分成两部分 则在整个区间上的定积分等于这两部分区间上定积分之 和 即 ???+=b c c a b a dx x f dx x f dx x f )()()(. 这个性质表明定积分对于积分区间具有可加性. 值得注意的是不论a ,b ,c 的相对位置如何总有等式 ???+=b c c a b a dx x f dx x f dx x f )()()( 成立. 例如, 当a < b < c 时, 由于 ???+=c b b a c a dx x f dx x f dx x f )()()(, 于是有 ???-=c b c a b a dx x f dx x f dx x f )()()(??+=b c c a dx x f dx x f )()(. 性质4 如果在区间[a b ]上f (x )≡1 则 a b dx dx b a b a -==??1. 性质5 如果在区间[a , b ]上 f (x )≥0, 则 ?≥b a dx x f 0)((a 推论1 如果在区间[a , b ]上 f (x )≤ g (x ) 则 ??≤b a b a dx x g dx x f )()((a < b ). 这是因为g (x )-f (x )≥0, 从而 ???≥-=-b a b a b a dx x f x g dx x f dx x g 0)]()([)()(, 所以 ??≤b a b a dx x g dx x f )()(. 推论2 ??≤b a b a dx x f dx x f |)(||)(|(a < b ). 这是因为-|f (x )| ≤ f (x ) ≤ |f (x )|, 所以 ???≤≤-b a b a b a dx x f dx x f dx x f |)(|)(|)(|, 即 ??≤b a b a dx x f dx x f |)(||)(|| . 性质6 设M 及m 分别是函数f (x )在区间[a , b ]上的最大值及最小值, 则 ?-≤≤-b a a b M dx x f a b m )()()((a 证明 因为 m ≤ f (x )≤ M , 所以 ???≤≤b a b a b a M d x dx x f mdx )(, 从而 ?-≤≤-b a a b M dx x f a b m )()()(. 性质7 (定积分中值定理) 如果函数f (x )在闭区间[a , b ]上连续, 则在积分区间[a , b ]上至少存在一个点ξ , 使下式成立: ?-=b a a b f dx x f ))(()(ξ. 这个公式叫做积分中值公式. 证明 由性质6 ?-≤≤-b a a b M dx x f a b m )()()(, 各项除以b -a 得 ?≤-≤ b a M dx x f a b m )(1, 再由连续函数的介值定理, 在[a , b ]上至少存在一点ξ , 使 ?-= b a dx x f a b f )(1)(ξ, 于是两端乘以b -a 得中值公式 ?-=b a a b f dx x f ))(()(ξ. 积分中值公式的几何解释: 应注意: 不论a b , 积分中值公式都成立. §6.2 微积分基本公式 一、变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系 设物体从某定点开始作直线运动, 在t 时刻所经过的路程为S (t ), 速度为v =v (t )=S '(t )(v (t )≥0), 则在时间间隔[T 1, T 2]内物体所经过的路程S 可表示为 )()(12T S T S -及dt t v T T )(2 1 ?, 即 )()()(122 1 T S T S dt t v T T -=?. 上式表明, 速度函数v (t )在区间[T 1, T 2]上的定积分等于v (t )的原函数S (t )在区间[T 1, T 2]上的增量. 这个特殊问题中得出的关系是否具有普遍意义呢？ 二、积分上限函数及其导数 设函数f (x )在区间[a , b ]上连续, 并且设x 为[a , b ]上的一点. 我们把函数f (x )在部分区间[a , x ]上的定积分 dx x f x a )(? 称为积分上限的函数. 它是区间[a , b ]上的函数, 记为 Φ(x )dx x f x a )(?=, 或Φ(x )=dt t f x a )(?. 定理1 如果函数f (x )在区间[a , b ]上连续, 则函数 Φ(x )dx x f x a )(?= 在[a , b ]上具有导数, 并且它的导数为 Φ'(x ))()(x f dt t f dx d x a = = ?(a ≤x 简要证明 若x ∈(a , b ), 取?x 使x +?x ∈(a , b ). ?Φ=Φ(x +?x )-Φ(x )dt t f dt t f x a x x a )()(??-=?+ dt t f dt t f dt t f x a x x x x a )()()(???-+=?+ x f dt t f x x x ?==??+)()(ξ, 应用积分中值定理, 有?Φ=f (ξ)?x , 其中ξ在x 与x +?x 之间, ?x →0时, ξ→x . 于是 Φ'(x ))()(lim )(lim lim 00 x f f f x x x x ===??Φ=→→?→?ξξξ. 若x =a , 取?x >0, 则同理可证Φ+'(x )= f (a ); 若x =b , 取?x <0, 则同理可证Φ-'(x )= f (b ). 定理2 如果函数f (x )在区间[a , b ]上连续, 则函数 Φ(x )dx x f x a )(?= 就是f (x )在[a , b ]上的一个原函数. 定理的重要意义: 一方面肯定了连续函数的原函数是存在的, 另一方面初步地揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系. 三、牛顿--莱布尼茨公式 定理3 如果函数F (x )是连续函数f (x )在区间[a , b ]上的一个原函数, 则 )()()(a F b F dx x f b a -=?. 此公式称为牛顿--莱布尼茨公式, 也称为微积分基本公式. 这是因为F (x )和Φ(x )=dt t f x a )(?都是f (x )的原函数, 所以存在常数C , 使 F (x )-Φ(x )=C (C 为某一常数). 由F (a )-Φ(a )=C 及Φ(a )=0, 得C =F (a ), F (x )-Φ(x )=F (a ). 由F (b )-Φ(b )=F (a ), 得Φ(b )=F (b )-F (a ), 即 )()()(a F b F dx x f b a -=?. 证明: 已知函数F (x ) 是连续函数f (x ) 的一个原函数, 又根据定理2, 积分上限函数 Φ(x )=dt t f x a )(? 也是f (x )的一个原函数. 于是有一常数C , 使 F (x )-Φ(x )=C (a ≤x ≤b ). 当x =a 时, 有F (a )-Φ(a )=C , 而Φ(a )=0, 所以C =F (a ); 当x =b 时, F (b )-Φ(b )=F (a ), 所以Φ(b )=F (b )-F (a ), 即 )()()(a F b F dx x f b a -=?. 为了方便起见, 可把F (b )-F (a )记成b a x F )]([, 于是 )()()]([)(a F b F x F dx x f b a b a -==?. 进一步揭示了定积分与被积函数的原函数或不定积分之间的联系. 例1. 计算?1 02dx x . 解: 由于33 1 x 是2x 的一个原函数, 所以 3 1 031131]31[3 31031 02= ?-?==?x dx x . 例2 计算2 3 11x dx +?-. 解 由于arctan x 是2 11 x +的一个原函数, 所以 3 123 1][a r c t a n 1--=+?x x dx )1a r c t a n (3a r c t a n --=πππ12 7)4 (3 =--=. 例3. 计算?--1 21dx x . 解: 1 21 2|]|[ln 1----=?x dx x =ln 1-ln 2=-ln 2. 例4. 计算正弦曲线y =sin x 在[0, π]上与x 轴所围成的平面图形的面积. 解: 这图形是曲边梯形的一个特例. 它的面积 ππ 00 ]c o s [s i n x x d x A -==?=-(-1)-(-1)=2. 例5. 汽车以每小时36km 速度行驶, 到某处需要减速停车.设汽车以等加速度a =-5m/s 2刹车. 问从开始刹车到停车, 汽车走了多少距离？ 解 从开始刹车到停车所需的时间: 当t =0时, 汽车速度 v 0=36km/h 3600 1000 36?= m/s =10m/s . 刹车后t 时刻汽车的速度为 v (t )=v 0+at =10-5t . 当汽车停止时, 速度v (t )=0, 从 v (t )=10-5t =0 得, t =2(s ). 于是从开始刹车到停车汽车所走过的距离为 dt t dt t v s )510()(2 02 0-==??10]2 1510[2 2=?-=t t (m ), 即在刹车后, 汽车需走过10m 才能停住. 例6. 设f (x )在[0, +∞)内连续且f (x )>0. 证明函数??=x x dt t f dt t tf x F 0 0)()()( 在(0, +∞)内为单调增加函数. 证明: )()( 0 x xf dt t tf dx d x =?, )()(0x f dt t f dx d x = ?. 故 2 ) )(()()()()()(???-= 'x x x dt t f dt t tf x f dt t f x xf x F 2 00) )(()()()(??-= x x dt t f dt t f t x x f . 按假设, 当0 0)(0 >?dt t f x , 0)()(0>-?dt t f t x x , 从而F '(x )>0 (x >0), 这就证明了F (x ) 在(0, +∞)内为单调增加函数. 例7. 求2 1 cos 0 2 lim x dt e x t x ?-→. 解: 这是一个零比零型未定式, 由罗必达法则, e x xe x dt e x dt e x x x t x x t x 21 2sin lim lim lim 2 2 2 cos 02 cos 1 2 1 cos 0 = =--→-→-→? ?. 提示: 设?-=Φx t dt e x 12 )(, 则?-=Φx t dt e x cos 1 2 )(cos . x u x t e x x e dx du u du d x dx d dt e dx d 222 cos cos 1 sin )sin ()()(cos ---?-=-?=?Φ=Φ= ?. §6. 3 定积分的换元法和分部积分法 一、换元积分法 定理 假设函数f (x )在区间[a , b ]上连续, 函数x =?(t )满足条件: (1)?(α )=a , ?(β)=b ; (2)?(t )在[α, β](或[β, α])上具有连续导数, 且其值域不越出[a , b ], 则有 dt t t f dx x f b a )()]([)(??β α '=??. 这个公式叫做定积分的换元公式. 证明 由假设知, f (x )在区间[a , b ]上是连续, 因而是可积的; f [?(t )]?'(t )在区间[α, β](或[β, α])上也是连续的, 因而是可积的. 假设F (x )是f (x )的一个原函数, 则 dx x f b a )(?=F ( b )-F (a ). 另一方面, 因为{F [?(t )]}'=F '[?(t )]?'(t )= f [?(t )]?'(t ), 所以F [?(t )]是f [?(t )]?'(t )的一个原函数, 从而 dt t t f )()]([??β α '?=F [?(β )]-F [?(α )]=F (b )-F (a ). 因此 dt t t f dx x f b a )()]([)(??β α'=??. 例1 计算?-a dx x a 022(a >0). 定积分 解 ???-=20 sin 0 22cos cos π tdt a t a dx x a t a x a 令 ??+==20 2 2022)2c o s 1(2c o s π π dt t a tdt a 22024 1 ]2s i n 21[2a t t a ππ =+=. 提示: t a t a a x a cos sin 22222=-=-, dx =a cos t . 当x =0时t =0, 当x =a 时2 π=t . 例2 计算xdx x sin cos 520?π . 解 令t =cos x , 则 x xd xdx x cos cos sin cos 520520??-=π π 6 1 ]61[ 106105015c o s ===-??=t dt t dt t t x 令. 提示: 当x =0时t =1, 当2 π =x 时t =0. 或 x xd xdx x cos cos sin cos 520520??-=π π 6 1 0c o s 6 12 c o s 6 1]c o s 6 1[6620 6 =+-=-=ππ x . 例3 计算?-π 053sin sin dx x x . 解 dx x x dx x x |cos |sin sin sin 23 0053??=-π π ??-=π ππ2 23 2023 c o s s i n c o s s i n x d x x x d x x ??-=π π π 2 2320 23s i n s i n s i n s i n x xd x xd 54)52(52]s i n 52[]s i n 52[2 25 2025=--=-=πππ x x . 提示: |cos |sin )sin 1(sin sin sin 2 3 2 353x x x x x x =-=-. 在]2 ,0[π上|cos x |=cos x , 在] ,2 [ππ 上|cos x |=-cos x . 例4 计算dx x x ?++4 01 22. 定积分 解 ?? ?+= ?+-++=+3 12 3 1 21240 )3(2 12 21 1 22dt t tdt t t dx x x t x 令 3 22)]33 1()9327[(21]331[213 13=+-+=+=t t . 提示: 2 12 -=t x , dx =tdt ; 当x =0时t =1, 当x =4时t =3. 例5 证明: 若f (x )在[-a , a ]上连续且为偶函数, 则 ??=-a a a dx x f dx x f 0 )(2)(. 证明 因为dx x f dx x f dx x f a a a a )()()(00 ???+=--, 而 ?? ??-=-=---=-a a a t x a dx x f dt t f dt t f dx x f 0 00 )()()( )(令, 所以 ???+-=-a a a a dx x f dx x f dx x f 0 0)()()( ???==+-=-a a a a dx x f dx x f dx x f x f 00)(2)(2)]()([. 讨论: 若f (x )在[-a , a ]上连续且为奇函数, 问=?-a a dx x f )(？ 提示: 若f (x )为奇函数, 则f (-x )+f (x ) =0, 从而 0)]()([)(0=+-=??-a a a dx x f x f dx x f . 例6 若f (x )在[0, 1]上连续, 证明 (1)??=2020)(cos )(sin π πdx x f dx x f ; (2)??=π π π00)(sin 2 )(sin dx x f dx x xf . 证明 (1)令t x -=2 π, 则 dt t f dx x f )]2 [sin()(sin 02 20--=??π ππ ??=-=2020 )(c o s )]2 [sin(π π π dx x f dt t f . (2)令x =π-t , 则 定积分 ??---=0 0)][sin()()(sin ππππdt t f t dx x xf ??-=--=π ππππ00)(s i n )()][sin()(dt t f t dt t f t ??-=π ππ00)(s i n )(s i n dt t tf dt t f ??-=π ππ0 0)(s i n )(s i n dx x xf dx x f , 所以 ??=π π π 0)(s i n 2 )(s i n dx x f dx x xf . 例7 设函数?????<<-+≥=-01 cos 110 )(2 x x x xe x f x , 计算?-41)2(dx x f . 解 设x -2=t , 则 ????---++==-2 00 1 2 14 12 c o s 11 )()2(dt te dt t dt t f dx x f t 2 1 2121t a n ]21[]2[t a n 42 12 +-=-=---e e t t . 提示: 设x -2=t , 则dx =dt ; 当x =1时t =-1, 当x =4时t =2. 二、分部积分法 设函数u (x )、v (x )在区间[a , b ]上具有连续导数u '(x )、v '(x ), 由 (uv )'=u 'v +u v '得u v '=u v -u 'v , 等式两端在区间[a , b ]上积分得 vdx u uv dx v u b a b a b a '-='??][, 或vdu uv udv b a b a b a ??-=][. 这就是定积分的分部积分公式. 分部积分过程: ][][???='-=-=='????vdx u uv vdu uv udv dx v u b a b a b a b a b a b a . 例1 计算xdx arcsin 210 ?. 解 xdx arcsin 210?x xd x x arcsin ]arcsin [210 210 ?-= dx x x 2 2 1 016 21--?=?π )1(112 1 1222210 x d x --+=? π 定积分 210 2 ]1[12 x -+= π12 3 12 -+ = π. 例2 计算?1 0dx e x . 解 令t x =, 则 ??=1 1 02t d t e dx e t x ?=10 2t t d e ?-=1 01 0 2 ][2dt e te t t 2 ][221 0 =-=t e e . 例3 设?=20 sin π xdx I n n , 证明 (1)当n 为正偶数时, 2 21432 31π?????--?-=n n n n I n ; (2)当n 为大于1的正奇数时, 3 2542 31????--?-=n n n n I n . 证明 ?=20 sin πxdx I n n ?--=201cos sin π x xd n ?--+-=20 1 2 0 1 s i n c o s ]s i n [c o s π π x xd x x n n ?--=2022s i n c o s )1(π x d x x n n ?--=-20 2)s i n (s i n )1(π dx x x n n n ??---=-20 2 2 s i n )1(s i n )1(π π x d x n x d x n n n =(n -1)I n - 2-(n -1)I n , 由此得 21 --= n n I n n I . 022 1434 2522232212I m m m m m m I m ????--?--?-= , 1123 2543 2421222122I m m m m m m I m ????--?--?+= +, 而2 200π π ==?dx I , 1sin 201==?π xdx I , 因此 定积分 221434 25222322122π?????--?--?-=m m m m m m I m , 3 2543 242122212212????--?--?+=+m m m m m m I m . 例3 设?=20 sin π xdx I n n (n 为正整数), 证明 221434 25222322122π?????--?--?-=m m m m m m I m , 3 2543 242122212212????--?--?+=+m m m m m m I m . 证明 ?=20sin π xdx I n n ?--=201cos sin π x xd n ?---+-=20 2 22 0 1 sin cos )1(]sin [cos π π xdx x n x x n n ?--=-202)s i n (s i n )1(π dx x x n n n ??---=-20 202s i n )1(s i n )1(π πx d x n x d x n n n =(n -1)I n - 2-(n -1)I n , 由此得 21--=n n I n n I . 022 1434 2522232212I m m m m m m I m ?????--?--?-=, 1123 2543 2421222122I m m m m m m I m ?????--?--?+=+. 特别地 2 2 0ππ ==? dx I , 1sin 20 1==?π xdx I . 因此 221434 25222322122π?????--?--?-=m m m m m m I m , 3 2543 242122212212????--?--?+=+m m m m m m I m . §6.4 反常积分 一、无穷限的反常积分 定义1 设函数f (x )在区间[a , +∞)上连续, 取b >a . 如果极限 dx x f b a b )(lim ?+∞ → 存在, 则称此极限为函数f (x )在无穷区间[a , +∞)上的反常积分, 记作dx x f a )(?+∞ , 即 dx x f dx x f b a b a )(lim )(??+∞ →+∞ =. 这时也称反常积分dx x f a )(? +∞收敛. 如果上述极限不存在, 函数f (x )在无穷区间[a , +∞)上的反常积分dx x f a )(?+∞ 就没有意义, 此时 称反常积分dx x f a )(? +∞发散. 类似地, 设函数f (x )在区间(-∞, b ]上连续, 如果极限 dx x f b a a )(lim ?-∞ →(a 存在, 则称此极限为函数f (x )在无穷区间(-∞, b ]上的反常积分, 记作dx x f b )(?∞ -, 即 dx x f dx x f b a a b )(lim )(??-∞ →∞ -=. 这时也称反常积分dx x f b )(?∞-收敛. 如果上述极限不存在, 则称反常积分dx x f b )(?∞-发散. 设函数f (x )在区间(-∞, +∞)上连续, 如果反常积分 dx x f )(0 ?∞ -和dx x f )(0 ? +∞ 都收敛, 则称上述两个反常积分的和为函数f (x )在无穷区间(-∞, +∞)上的反常积分, 记作 dx x f )(?+∞ ∞-, 即 dx x f dx x f dx x f )()()(0 ? ? ?+∞ ∞ -+∞ ∞ -+= dx x f dx x f b b a a )(lim )(lim 00 ??+∞ →-∞→+=. 这时也称反常积分dx x f )(?+∞ ∞-收敛. 如果上式右端有一个反常积分发散, 则称反常积分dx x f )(?+∞ ∞-发散. 定义1' 连续函数f (x )在区间[a , +∞)上的反常积分定义为 dx x f dx x f b a b a )(lim )(??+∞→+∞ =. 在反常积分的定义式中, 如果极限存在, 则称此反常积分收敛; 否则称此反常积分发散. 类似地, 连续函数f (x )在区间(-∞, b ]上和在区间(-∞, +∞)上的反常积分定义为 dx x f dx x f b a a b )(lim )(??-∞→∞-=. dx x f dx x f dx x f b b a a )(lim )(lim )(00 ???+∞ →-∞ →+∞ ∞ -+=. 反常积分的计算: 如果F (x )是f (x )的原函数, 则 b a b b a b a x F dx x f dx x f )]([lim )(lim )(+∞ →+∞→+∞ ==?? )()(lim )()(lim a F x F a F b F x b -=-=+∞ →+∞ →. 可采用如下简记形式: )()(lim )]([)(a F x F x F dx x f x a a -==+∞ →∞ ++∞ ?. 类似地 )(lim )()]([)(x F b F x F dx x f x b b -∞ →∞-∞--==?, )(lim )(lim )]([)(x F x F x F dx x f x x -∞ →+∞→∞+∞-+∞ ∞--==?. 例1 计算反常积分dx x 211+?+∞ ∞-. 解 ∞ +∞-+∞ ∞-=+?][arctan 112x dx x x x x x a r c t a n lim arctan lim -∞ →+∞ →-= πππ=--=)2 (2 . 例2 计算反常积分?+∞ -0dt te pt (p 是常数, 且p >0). 解 ∞ +-∞+-+∞-???-==000]1[][pt pt pt tde p dt te dt te ∞ +--?+-=0]11[dt e p te p pt pt ∞+----=02]11[pt pt e p te p 22211]11[lim p p e p te p pt pt t =+--=--+∞ →. 提示: 01 lim lim lim ===+∞→+∞ →-+∞ →pt t pt t pt t pe e t te . 例3 讨论反常积分dx x p a 1?+∞ (a >0)的敛散性. 解 当p =1时, dx x p a 1?+∞dx x a 1?+∞ =+∞==∞+ ][ln a x . 当p <1时, dx x p a 1?+∞ +∞=-=∞ +- 1]11[a p x p . 当p >1时, 1]11[11 1-=-=-∞+-+∞?p a x p dx x p a p p a . 因此, 当p >1时, 此反常积分收敛, 其值为1 1--p a p ; 当p ≤1时, 此反常积分发散. 二、无界函数的反常积分 定义2 设函数f (x )在区间(a , b ]上连续, 而在点a 的右邻域内无界. 取ε>0, 如果极限 dx x f b t a t )(lim ? +→ 存在, 则称此极限为函数f (x )在(a , b ]上的反常积分, 仍然记作dx x f b a )(?, 即 dx x f dx x f b t a t b a )(lim )(??+ →=. 这时也称反常积分dx x f b a )(?收敛. 如果上述极限不存在, 就称反常积分dx x f b a )(?发散. 类似地, 设函数f (x )在区间[a , b )上连续, 而在点b 的左邻域内无界. 取ε>0, 如果极限 dx x f t a b t )(lim ?- → 存在, 则称此极限为函数f (x )在[a , b )上的反常积分, 仍然记作dx x f b a )(?, 即 dx x f dx x f t a b t b a )(lim )(? ?-→=. 这时也称反常积分dx x f b a )(?收敛. 如果上述极限不存在, 就称反常积分dx x f b a )(?发散. 设函数f (x )在区间[a , b ]上除点c (a dx x f c a )(?与dx x f b c )(? 都收敛, 则定义 dx x f dx x f dx x f b c c a b a )()()(???+=. 否则, 就称反常积分dx x f b a )(?发散. 瑕点: 如果函数f (x )在点a 的任一邻域内都无界, 那么点a 称为函数f (x )的瑕点, 也称为无界 定义2' 设函数f (x )在区间(a , b ]上连续, 点a 为f (x )的瑕点. 函数f (x )在(a , b ]上的反常积分定义为 dx x f dx x f b t a t b a )(lim )(? ?+→=. 在反常积分的定义式中, 如果极限存在, 则称此反常积分收敛; 否则称此反常积分发散. 类似地,函数f (x )在[a , b )(b 为瑕点)上的反常积分定义为 dx x f dx x f t a b t b a )(lim )(??- →=. 函数f (x )在[a , c )?(c , b ] (c 为瑕点)上的反常积分定义为 dx x f dx x f dx x f b t c t t a c t b a )(lim )(lim )(???+ - →→+=. 反常积分的计算: 如果F (x )为f (x )的原函数, 则有 b t a t b t a t b a x F dx x f dx x f )]([lim )(lim )(+ + →→==?? )(lim )()(lim )(x F b F t F b F a x a t ++→→-=-=. 可采用如下简记形式: )(lim )()]([)(x F b F x F dx x f a x b a b a + →-==?. 类似地, 有 )()(lim )]([)(a F x F x F dx x f b x b a b a -==- →?, 当a 为瑕点时,)(lim )()]([)(x F b F x F dx x f a x b a b a + →-==?; 当b 为瑕点时,)()(lim )]([)(a F x F x F dx x f b x b a b a -==- →?. 当c (a )](lim )([)]()(lim [)()()(x F b F a F x F dx x f dx x f dx x f c x c x b c c a b a + - →→-+-=+=???. 例4 计算反常积分?-a dx x a 02 2 1. 解 因为+∞=-- →2 21lim x a a x , 所以点a 为被积函数的瑕点. a a a x dx x a 0 02 2][arcsin 1 =-?20a r c s i n lim π=-=-→a x a x . 一．基本初等函数求导公式 (1) 0)(='C (2) 1 )(-='μμμx x (3) x x cos )(sin =' (4) x x sin )(cos -=' (5) x x 2 sec )(tan =' (6) x x 2 csc )(cot -=' (7) x x x tan sec )(sec =' (8) x x x cot csc )(csc -=' (9) a a a x x ln )(=' (10) (e )e x x '= (11) a x x a ln 1 )(log = ' (12) x x 1)(ln = '， (13) 211)(arcsin x x -= ' (14) 211)(arccos x x -- =' (15) 21(arctan )1x x '= + (16) 21(arccot )1x x '=- + 函数的和、差、积、商的求导法则 设)(x u u =，)(x v v =都可导，则 （1） v u v u '±'='±)( （2） u C Cu '=')(（C 是常数） （3） v u v u uv '+'=')( （4） 2v v u v u v u '-'=' ??? ?? 反函数求导法则 若函数)(y x ?=在某区间y I 内可导、单调且0)(≠'y ?，则它的反函数 )(x f y =在对应区间 x I 内也可导，且 )(1)(y x f ?'= ' 或 dy dx dx dy 1= 复合函数求导法则 设)(u f y =，而)(x u ?=且)(u f 及)(x ?都可导，则复合函数)]([x f y ?=的导数为 dy dy du dx du dx =g 或()()y f u x ?'''=g 二、基本积分表 （1）kdx kx C =+? （k 是常数） （2）1 ,1 x x dx C μμ μ+= ++? (1)u ≠- （3）1 ln ||dx x C x =+? （4）2 tan 1dx arl x C x =++? （5） arcsin x C =+? （6）cos sin xdx x C =+? （7）sin cos xdx x C =-+? 高中数学教案—导数、定积分 一．课标要求： 1．导数及其应用 （1）导数概念及其几何意义 ① 通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵； ②通过函数图像直观地理解导数的几何意义。 （2）导数的运算 ① 能根据导数定义求函数y=c ，y=x ，y=x 2，y=x 3 ，y=1/x ，y=x 的导数； ② 能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数（仅限于形如f （ax+b ））的导数； ③ 会使用导数公式表。 （3）导数在研究函数中的应用 ① 结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间； ② 结合函数的图像，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，以及闭区间上不超过三次的多项式函数最大值、最小值；体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性。 （4）生活中的优化问题举例 例如，使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用。 （5）定积分与微积分基本定理 ① 通过实例（如求曲边梯形的面积、变力做功等），从问题情境中了解定积分的实际背景；借助几何直观体会定积分的基本思想，初步了解定积分的概念； ② 通过实例（如变速运动物体在某段时间内的速度与路程的关系），直观了解微积分基本定理的含义。 （6）数学文化 收集有关微积分创立的时代背景和有关人物的资料，并进行交流；体会微积分的建立在人类文化发展中的意义和价值。具体要求见本《标准》中"数学文化"的要求。 二．命题走向 导数是高中数学中重要的内容，是解决实际问题的强有力的数学工具，运用导数的有关知识，研究函数的性质：单调性、极值和最值是高考的热点问题。在高考中考察形式多种多样，以选择题、填空题等主观题目的形式考察基本概念、运算及导数的应用，也经常以解答题形式和其它数学知识结合起来，综合考察利用导数研究函数的单调性、极值、最值. 三．要点精讲 1．导数的概念 函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ?，那么函数y 相应地有增量y ?=f （x 0+x ?）－f （x 0），比值 x y ??叫做函数y=f （x ）在x 0到x 0+x ?之间的平均变化率，即x y ??=x x f x x f ?-?+)()(00。 如果当0→?x 时， x y ??有极限，我们就说函数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f’（x 0）或y’|0x x =。 实验三定积分的近似计算 一、问题背景与实验目的 利用牛顿—莱布尼兹公式虽然可以精确地计算定积分的值，但它仅适用于被积函数的原函数能用初等函数表达出来的情形．如果这点办不到或者不容易办到，这就有必要考虑近似计算的方法．在定积分的很多应用问题中，被积函数甚至没有解析表达式，可能只是一条实验记录曲线，或者是一组离散的采样值，这时只能应用近似方法去计算相应的定积分． 本实验将主要研究定积分的三种近似计算算法：矩形法、梯形法、抛物线法．对于定积分的近似数值计算，Matlab有专门函数可用． 二、相关函数（命令）及简介 1．sum(a)：求数组a的和． 2．format long：长格式，即屏幕显示15位有效数字． （注：由于本实验要比较近似解法和精确求解间的误差，需要更高的精度）．3．double()：若输入的是字符则转化为相应的ASCII码；若输入的是整型数值则转化为相应的实型数值． 4．quad()：抛物线法求数值积分． 格式： quad(fun,a,b) ，注意此处的fun是函数，并且为数值形式的，所以使用*、/、^等运算时要在其前加上小数点，即 .*、./、.^等．例：Q = quad('1./(x.^3-2*x-5)',0,2); 5．trapz()：梯形法求数值积分． 格式：trapz(x,y) 其中x为带有步长的积分区间；y为数值形式的运算（相当于上面介绍的函数fun） 例：计算 0sin()d x x π ? x=0:pi/100:pi;y=sin(x); trapz(x,y) 6．dblquad()：抛物线法求二重数值积分． 格式：dblquad(fun,xmin,xmax,ymin,ymax)，fun可以用inline定义，也可以通过某个函数文件的句柄传递． 例1：Q1 = dblquad(inline('y*sin(x)'), pi, 2*pi, 0, pi) 顺便计算下面的Q2，通过计算，比较Q1 与Q2结果（或加上手工验算），找出积分变量x、y的上下限的函数代入方法． Q2 = dblquad(inline('y*sin(x)'), 0, pi, pi, 2*pi)例2：Q3 = dblquad(@integrnd, pi, 2*pi, 0, pi) 这时必须存在一个函数文件integrnd.m： 实验二定积分的近似计算 一、问题背景与实验目的 利用牛顿—莱布尼兹公式虽然可以精确地计算定积分的值，但它仅适用于被积函数的原函数能用初等函数表达出来的情形．如果这点办不到或者不容易办到，这就有必要考虑近似计算的方法．在定积分的很多应用问题中，被积函数甚至没有解析表达式，可能只是一条实验记录曲线，或者是一组离散的采样值，这时只能应用近似方法去计算相应的定积分． 本实验将主要研究定积分的三种近似计算算法：矩形法、梯形法、抛物线法．对于定积分的近似数值计算，Matlab有专门函数可用． 二、相关函数（命令）及简介 1．sum(a)：求数组a的和． 2．format long：长格式，即屏幕显示15位有效数字． （注：由于本实验要比较近似解法和精确求解间的误差，需要更高的精度）．3．double()：若输入的是字符则转化为相应的ASCII码；若输入的是整型数值则转化为相应的实型数值． 4．quad()：抛物线法求数值积分． 格式：quad(fun,a,b) ，注意此处的fun是函数，并且为数值形式的，所以使用*、/、^等运算时要在其前加上小数点，即.*、./、.^等． 例：Q = quad('1./(x.^3-2*x-5)',0,2); 5．trapz()：梯形法求数值积分． 格式：trapz(x,y) 其中x为带有步长的积分区间；y为数值形式的运算（相当于上面介绍的函数fun） 例：计算 0sin()d x x π ? x=0:pi/100:pi;y=sin(x); trapz(x,y) 6．dblquad()：抛物线法求二重数值积分． 格式：dblquad(fun,xmin,xmax,ymin,ymax)，fun可以用inline定义，也可以通过某个函数文件的句柄传递． 例1：Q1 = dblquad(inline('y*sin(x)'), pi, 2*pi, 0, pi) 顺便计算下面的Q2，通过计算，比较Q1 与Q2结果（或加上手工验算），找出积分变量x、y的上下限的函数代入方法． Q2 = dblquad(inline('y*sin(x)'), 0, pi, pi, 2*pi) 例2：Q3 = dblquad(@integrnd, pi, 2*pi, 0, pi) 这时必须存在一个函数文件integrnd.m： 创作编号： GB8878185555334563BT9125XW 创作者： 凤呜大王* 一．基本初等函数求导公式 (1) 0)(='C (2) 1 )(-='μμμx x (3) x x cos )(sin =' (4) x x sin )(cos -=' (5) x x 2sec )(tan =' (6) x x 2csc )(cot -=' (7) x x x tan sec )(sec =' (8) x x x cot csc )(csc -=' (9) a a a x x ln )(=' (10) (e )e x x '= (11) a x x a ln 1 )(log = ' (12) x x 1)(ln = '， (13) 211 )(arcsin x x -= ' (14) 211)(arccos x x -- =' (15) 21(arctan )1x x '= + (16) 21 (arccot )1x x '=- + 函数的和、差、积、商的求导法则 设)(x u u =， )(x v v =都可导，则 （1） v u v u '±'='±)( （2） u C Cu '=')(（C 是常数） （3） v u v u uv '+'=')( （4） 2v v u v u v u '-'='??? ?? 反函数求导法则 若函数)(y x ?=在某区间y I 内可导、单调且0)(≠'y ?，则它的 反函数)(x f y =在对应区间x I 内也可导，且 )(1)(y x f ?'= ' 或 dy dx dx dy 1= 复合函数求导法则 设)(u f y =，而)(x u ?=且)(u f 及)(x ?都可导，则复合函数 )]([x f y ?=的导数为 dy dy du dx du dx = 或()()y f u x ?'''= 二、基本积分表 （1）kdx kx C =+? （k 是常数） 洞口三中2008年下学期高二数学（理科）训练测试试题 姓名________ 学号_____ 测试内容：选修2-2:导数、定积分以及其简单应用 一、选择题： 1、曲线 3y x =在点)8,2(处的切线方程为（ ） A ．126-=x y B ．1612-=x y C ．108+=x y D ．322-=x y 2．设2 1sin x y x -=，则'y =（ ） A ．x x x x x 22sin cos )1(sin 2--- B ．x x x x x 22sin cos )1(sin 2-+- C ．x x x x sin )1(sin 22-+- D ．x x x x sin )1(sin 22--- 3．由抛物线x y 22 =与直线4-=x y 所围成的图形的面积是（ ）． A ．18 B ．38/3 C ．16/3 D ．16 4.函数y=2x 3-3x 2 -12x+5在[0,3]上的最大值与最小值分别是（ ） A 、5 、-15 B 、5 、 4 C 、-4、 -15 D 、5 、 -16 5.设y=x-lnx ，则此函数在区间(0,1)内为（ ） A ．单调递增 B 、有增有减 C 、单调递减 D 、不确定 6、设()ln f x x x =，若0'()2f x =，则0x =（ B ） A. 2e B. e C. ln 2 2 D. ln 2 7、由直线21=x ，x=2，曲线x y 1 =及x 轴所围图形的面 积是（ ） A. 415 B. 417 C. 2ln 21 D. 2ln 2 8、若21()ln(2)2 f x x b x =-++∞在(-1,+)上是减函数， 则b 的取值范围是（ ） A. [1,)-+∞ B. (1,)-+∞ C. (,1]-∞- D. (,1)-∞- 9、设a ∈R ，若函数3ax y e x =+，x ∈R 有大于零的极值点，则（ ） A ．3a >- B ．3a <- C ．a>-1/3 D ．a<-1/3 10、已知函数(),()y f x y g x ==的导函数的图象如下图，那么(),()y f x y g x ==图 象可能是 二、填空题 第六讲 定积分与定积分的近似计算 实验目的 １．通过本实验加深理解积分理论中分割、近似、求和、取极限的思想方法. ２．学习并掌握用matlab 求不定积分、定积分、二重积分、曲线积分的方法. ３．学习matlab 命令sum 、symsum 与int. 4. 了解定积分近似计算的矩形法、梯形法。（***） 实验内容 1． 学习matlab 命令 （１）求和命令sum 调用格式. sum(x),给出向量x 的各个元素的累加和,如果x 是矩阵,则sum(x)是一个元素为x 的每列列和的行向量. 例4.1.x=[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10];? sum(x)? ans=55 例4.2.x=[1,2,3;4,5,6;7,8,9]? x= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 sum(x)? ans=12 15 18 （２）求和命令symsum 调用格式. symsum(s,n), 求 ∑n s symsum(s,k,m,n),求∑=n m k s 当x 的元素很有规律,比如为表达式是)(k s 的数列时,可用symsum 求得x 的各项和,即 symsum ),1),((n k s =)()2()1(n s s s +++ symsum )()1()(),,),((n s m s m s n m k k s ++++= 例4.3.syms k n ? symsum(k,1,10)? ans=55 symsum(k^2,k,1,n)? ans=1/3*(n+1)^3-1/2*(n+1)^2+1/6*n+1/6 （３）matlab 积分命令int 调用格式 int (函数)(x f ) 计算不定积分 ?dx x f )( int (函数),(y x f ,变量名x ) 计算不定积分?dx y x f ),( int (函数b a x f ,),() 计算定积分 ?b a dx x f )( int (函数),,(y x f 变量名b a x ,,) 计算定积分 ?b a dx y x f ),( １．计算不定积分 例4.4.计算 xdx x ln 2 ? 解:输入命令: int(x^2*log(x)) 可得结果: ans=1/3*x^3*log(x)-1/9*x^3 注意设置符号变量. 例4.5.计算下列不定积分: 1. dx x a ? -22 2. ?++dx x x 3 131 3. ?xdx x arcsin 2 解:首先建立函数向量. syms x syms a real y=[sqrt(a^2-x^2),(x-1)/(3*x-1)^(1/3),x^2*asin(x)]; 然后对y 积分可得对y 的每个分量积分的结果. int(y,x)? ans = [1/2*x*(a^2-x^2)^(1/2)+1/2*a^2*asin((1/a^2)^(1/2)*x), -1/3*(3*x-1)^(2/3)+1/15*(3*x-1)^(5/3), 1/3*x^3*asin(x)+1/9*x^2*(1-x^2)^(1/2)+2/9*(1-x^2)^(1/2)] 数学实验报告 实验序号：4 日期：2012 年12 月13 日 实验名称定积分的近似计算 问题背景描述： 利用牛顿—莱布尼兹公式虽然可以精确地计算定积分的值，但它仅适用于被积函数的原函数能用初等函数表达出来的情形．如果这点办不到或者不容易办到，这就有必要考虑近似计算的方法．在定积分的很多应用问题中，被积函数甚至没有解析表达式，可能只是一条实验记录曲线，或者是一组离散的采样值，这时只能应用近似方法去计算相应的定积分． 实验目的： 本实验将主要研究定积分的三种近似计算算法：矩形法、梯形法、抛物线法。对于定积分的近似数值计算，Matlab有专门函数可用。 实验原理与数学模型： 1．矩形法 根据定积分的定义，每一个积分和都可以看作是定积分的一个近似值，即 在几何意义上，这是用一系列小矩形面积近似小曲边梯形的结果，所以把这个近似计算方法称为矩形法．不过，只有当积分区间被分割得很细时，矩形法才有一定的精确度． 针对不同的取法，计算结果会有不同。 （1）左点法：对等分区间 ， 在区间上取左端点，即取。 （2）右点法：同（1）中划分区间，在区间上取右端点，即取。 （3）中点法：同（1）中划分区间，在区间上取中点，即取。2．梯形法 等分区间 ， 相应函数值为（）． 曲线上相应的点为（） 将曲线的每一段弧用过点，的弦（线性函数）来代替，这使得每个 上的曲边梯形成为真正的梯形，其面积为 ，． 于是各个小梯形面积之和就是曲边梯形面积的近似值， ， 即， 称此式为梯形公式。 3．抛物线法 将积分区间作等分，分点依次为 ，， 对应函数值为 （）， 曲线上相应点为 （）． 现把区间上的曲线段用通过三点，，的抛物线 数学实验报告 实验序号:2 日期:2013 年11 月30日 班级应数二班姓名丁慧娜学号1101114088 实验名称定积分的近似计算 实验所用软件及版本MATLAB R2012b 问题背景描述: 利用牛顿—莱布尼兹公式虽然可以精确地计算定积分的值,但它仅适用于被积函数的原函数能用初等函数表达出来的情形.如果这点办不到或者不容易办到,这就有必要考虑近似计算的方法.在定积分的很多应用问题中,被积函数甚至没有解析表达式,可能只就是一条实验记录曲线,或者就是一组离散的采样值,这时只能应用近似方法去计算相应的定积分. 实验目的: 1、本实验将主要研究定积分的三种近似计算算法:矩形法、梯形法、抛 物线法。 2、加深理解积分运算中分割、近似、求与、取极限的思想方法。 3、学习fulu2sum、m的程序设计方法,尝试用函数sum 改写附录1与 附录3的程序,避免for 循环。 实验原理与数学模型: 1.矩形法 根据定积分的定义,每一个积分与都可以瞧作就是定积分的一个近似值,即 在几何意义上,这就是用一系列小矩形面积近似小曲边梯形的结果,所以把 这个近似计算方法称为矩形法.不过,只有当积分区间被分割得很细时,矩形法才有一定的精确度. 针对不同的取法,计算结果会有不同。 (1)左点法:对等分区间 , 在区间上取左端点,即取。 (2)右点法:同(1)中划分区间,在区间上取右端点,即取。 (3)中点法:同(1)中划分区间,在区间上取中点,即取。 2.梯形法 等分区间 , 相应函数值为(). 曲线上相应的点为() 将曲线的每一段弧用过点,的弦(线性函数)来代替,这使得每个上的曲边梯形成为真正的梯形,其面积为 定积分的近似计算2 定积分的近似计算 虽然牛顿——莱布尼兹公式解决了定积分的计算问题，但它的使用是有一定局限性的。对于被积分中的不能用初等函数表达的情形或其原函数虽能用初等函数表达但很复杂的情形，我们就有必要考虑近似计算的方法。 定积分的近似计算的基本思想是根据定积分的几何意义找出求曲边梯形面积的近似方法。下面介绍两种常用的方法梯形法及抛物线法。 一梯形法 将积分区间?Skip Record If...?作?Skip Record If...?等分，分点依次为 ?Skip Record If...? 相应的函数为 ?Skip Record If...? ?Skip Record If...? 曲线?Skip Record If...?上相应的点为 ?Skip Record If...? 将曲线的每一段弧?Skip Record If...?用过点?Skip Record If...?（线性函数）来代替，这使得每个?Skip Record If...?上的曲边梯形形成了真正的梯形（图11——25），其面积为 ?Skip Record If...? 于是各个小梯形面积之和就是曲边梯形面积的近 似值，即 ?Skip Record If...? 亦即 ?Skip Record If...?（2） 称此式为梯形法公式。 在实际应用中，我们还需要知道用这个近似值来代替所求积分时所产生的误差，从而有 ?Skip Record If...? 其中?Skip Record If...? 二抛物线法 由梯形法求近似值，当?Skip Record If...?为凹曲线时，它就偏小；当?Skip Record If...?为凸曲线时，它就偏大。如果每段改用与它凸性相接近的抛物线来近似，就可减少上述缺点。下面介绍抛物线法。 将区间?Skip Record If...?作?Skip Record If...?等分（图）分点依次为 ?Skip Record If...? 对应的函数值为 ?Skip Record If...? ?Skip Record If...? ?Skip Record If...?曲线上相应的点为?Skip Record If...? 现把区间?Skip Record If...?上的曲线段?Skip Record If...?用通过三点?Skip Record If...?的抛物线 ?Skip Record If...? 来近似代替，然后求函数?Skip Record If...?从?Skip Record If...?到?Skip Record If...?的定积分： ?Skip Record If...? ?Skip Record If...? ?Skip Record If...?由于?Skip Record If...?，将它代入上式整理后可得 ?Skip Record If...? ?Skip Record If...? 同样也有 ?Skip Record If...? ……………………………………………….. ?Skip Record If...? 将这?Skip Record If...?个积分相加即得原来所要计算的定积分的近似值： ?Skip Record If...? 即 ?Skip Record If...? 实验五 定积分的近似计算 我们已经学习了定积分的基本概念和定积分的计算方法，那里所谓的计算方法，是基于原函数的牛顿-莱布尼兹公式。但在许多实际问题中遇到的定积分，被积函数往往不用算式给出，而通过图形或表格给出；或虽然可用一个算式给出，但是要计算它的原函数却很困难，甚至于原函数可能是非初等函数。本实验的目的，就是为了解决这些问题，介绍定积分的“数值积分”，即定积分的近似计算。 所谓定积分的近似计算，就是找到一个适当的计算公式，利用被积函数在积分区间上若干个点处的函数值，来计算定积分的近似值，并作出误差估计。我们知道，定积分 ? b a dx x f )(在几何上表示曲线)(x f y =，直线b x a x ==,及x 轴所围成的曲边梯形的面积。定积分近似计算的思想，就是将积分区间分割成许多小区间，然后在小区间上近似计算小曲边梯形的面积，最后将小曲边梯形的面积求和，就得到了定积分的近似值。 1、 观察黎曼和式的收敛性 由定积分的定义知道，定积分就是黎曼和式 i n i i x f ?∑=1 )(ξ的极限，因此可以用黎曼和 式来近似计算定积分。为计算方便，这里特殊的，将积分区间等分为n 段，并以小区间中点 处的函数值作近似，于是黎曼和式为：∑=-+-+-n k n a b k a f n a b 1))5.0)1(((， 因而 ? ∑=-+-+-≈b a n k n a b k a f n a b dx x f 1))5.0)1((()(。 例1 计算 dx x ? 3 2 ln 1 的黎曼和。 解：输入命令如下： 2、 梯形法 大家可以看出，用上述方法进行的近似计算，其实是对小曲边梯形的面积用矩形面积来近似，上面取的特殊的黎曼和又称为中点积分公式。如果不用矩形而改用梯形来近似，就可以得到定积分的一个较好的近似方法——梯形积分法。具体方法如下： 将区间],[b a 用b x x x a n ==,,,10 等分为n 个小区间，小区间的长度为 n a b -。设)()(n a b i a f x f y i i -+==),,1,0( n i =，则每个小梯形的面积为n a b y y i i -?++21，从而得到梯形法的公式为： 高中数学知识点—导数、定积分 一．课标要求： 1．导数及其应用 （1）导数概念及其几何意义 ①通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵； ②通过函数图像直观地理解导数的几何意义。 （2）导数的运算 ①能根据导数定义求函数y=c，y=x，y=x2，y=x3，y=1/x，y=x 的导数； ②能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数（仅限于形如f（ax+b））的导数； ③会使用导数公式表。 （3）导数在研究函数中的应用 ①结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间； ②结合函数的图像，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，以及闭区间上不超过三次的多项式函数最大值、最小值；体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性。 （4）生活中的优化问题举例 例如，使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用。 （5）定积分与微积分基本定理 ①通过实例（如求曲边梯形的面积、变力做功等），从问题情境中了解定积分的实际背景；借助几何直观体会定积分的基本思想，初步了解定积分的概念； ②通过实例（如变速运动物体在某段时间内的速度与路程的关系），直观了解微积分基本定理的含义。 （6）数学文化 收集有关微积分创立的时代背景和有关人物的资料，并进行交流；体会微积 分的建立在人类文化发展中的意义和价值。具体要求见本《标准》中"数学文化"的要求。 二．命题走向 导数是高中数学中重要的内容，是解决实际问题的强有力的数学工具，运用导数的有关知识，研究函数的性质：单调性、极值和最值是高考的热点问题。在高考中考察形式多种多样，以选择题、填空题等主观题目的形式考察基本概念、运算及导数的应用，也经常以解答题形式和其它数学知识结合起来，综合考察利用导数研究函数的单调性、极值、最值. 三．要点精讲 1．导数的概念 函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ?，那么函数y 相应地有增量y ?=f （x 0+x ?）－f （x 0），比值x y ??叫做函数y=f （x ）在x 0到x 0+x ?之间的平均变化率，即 x y ??=x x f x x f ?-?+)()(00。 如果当0→?x 时， x y ??有极限，我们就说函数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f ’（x 0）或y ’|0x x =。 即f （x 0）=0 lim →?x x y ??=0 lim →?x x x f x x f ?-?+)()(00。 说明： （1）函数f （x ）在点x 0处可导，是指0→?x 时，x y ??有极限。如果x y ??不存在极限，就说函数在点x 0处不可导，或说无导数。 （2）x ?是自变量x 在x 0处的改变量，0≠?x 时，而y ?是函数值的改变量，可以是零。 由导数的定义可知，求函数y=f （x ）在点x 0处的导数的步骤（可由学生来归纳）： （1）求函数的增量y ?=f （x 0+x ?）－f （x 0）； 导数与定积分练习题 一、填空题 1、已知0||2||≠=，且关于x 的函数x x x x f ?++=23||2 131)(在R 上有极值，则a 与b 的夹角范围为 2、已知直线y=kx 是y=lnx 的切线，则k 的值为 3、y 2=x 与y=x 2所围成图形的面积（阴影部分）是 4、函数)(x f 在定义域R 内可导，若)2()(x f x f -=，且当)1,(-∞∈x 时， 0)()1(<'-x f x ，设).3(),2 1(),0(f c f b f a ===则,,a b c 的大小关系为 5、设3()f x x x =+，x R ∈. 若当02 πθ≤≤时，0)1()sin (>-+m f m f θ恒成立，则实数m 的取值范围是 6、过点（1，1）且与曲线3x y =相切的切线方程为 7、计算0?的结果是 8、已知点P 在曲线y= 41x e +上，a 为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则倾斜角a 的取值范围是 9、已知曲线1y x =与2y x =，则两曲线在它们交点处的两条切线与x 轴所围成的三角形的面积是___________________ 10、设函数32 ()2310f x x x x =+++在1x ，2x 处取得极值，则2212x x += 11、已知函数x f x f x x f x ?-?+=→?)1()21(lim ,)(02 则= 12、函数322()f x x ax bx a =--+在1x =时有极值10，则,a b 的值为 13、若),1()2ln(2 1)(2+∞-++-=在x b x x f 上是减函数，则b 的取值范围是 14、已知函数223)(a x ax x x f +++=有两个极值点，则实数a 的取值范围为 15、三次函数b bx x x f 22)(3+-=在[1，2]内恒为正值的充要条件为 16、设函数)(],2,2[,32 1)1ln()(2x f x x e x x f x 若-∈+-+=的最大值为M ，最小值为m ，则m M +等于 17、函数f （x ）=x 3－bx 2+1有且仅有两个不同零点，则b 的值为 18、若设函数*)()(1,12)()(N n n f x x f tx x x f m ∈? ?????+='+=则数列的导数的前n 项的和 高考数学----导数、定积分知识清单 一 、导数的概念 ●（一）导数的概念 函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量△x ，那么函数y 相应地有增量 △y=f （x 0+△x ）－f （x 0），比值△y △x 叫做函数y=f （x ）在x 0到x 0+△x 之间的平均变化率，即 △y △x = f （x 0+△x ）－f （x 0）△x 。如果当0→?x 时，△y △x 有极限，我们就说函数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f ’（x 0）或y’ | x = x0 即f ‘（x 0）=0 lim →?x x y ??=0lim →?x x x f x x f ?-?+)()(00。 说明： （1）函数f （x ）在点x 0处可导，是指0→?x 时，x y ??有极限。如果x y ??不存在极限，就说函数 在点x 0处不可导，或说无导数。（例如：函数y = |x|在x = 0处得左极限与右极限不相等，所以函数y = |x|在x = 0处不存在极限，所以在x = 0处不可导） （2）x ?是自变量x 在x 0处的改变量，0≠?x 时，而y ?是函数值的改变量，可以是零。 由导数的定义可知，求函数y=f （x ）在点x 0处的导数的步骤： ① 求函数的增量y ?=f （x 0+x ?）－f （x 0）； ② 求平均变化率x y ??=x x f x x f ?-?+) ()(00； ③ 取极限，得导数f ’(x 0)=x y x ??→?0lim 。 ●（二）导数的几何意义 函数y=f （x ）在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的 斜率 x x f x x f x f k x ?-?+==→?) ()(lim )(000 0' 切。也就是说，曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0）） 处的切线的斜率是f ’（x 0）。相应地，切线方程为y －y 0 = f ’（x 0）（x －x 0）。 定积分的近似计算方法与误差估计 作者: 操乐青 指导老师: 邢抱花 摘要 本文主要讨论了一元函数常见的数值积分方法,例如插值型求积公式，高斯求积公式等近 似计算方法,在用这些方法计算定积分时,会产生一些误差,为了减少误差, 可以利用复化求积公式、复化高斯公式等.本文围绕这些方法,系统介绍它们的计算公式以及截断误差,并用例题分析它们产生误差的大小、计算量等. 关键词 插值型积分 高斯积分 误差分析 近似计算 1引言 在计算定积分的值()b a I f x dx =?时,常常根据微积分学基本定理求出)(x f 的一个原函数 )(x F ,再用牛顿-莱布尼茨公式求得积分,()()()b a I f x dx F b F a ==-?.但这种方法只限于解 决一小部分定积分的求值问题.当函数没有具体表达式,只是一些实验测得数据形成的表格或图形或者是()F x 无法用初等函数表示,例如,2 b x a e dx ? ,2 sin b a x dx ?等等,这就需要我们用一些近似方法来求积分值. 与数值积分一样,把积分区间细分,在每个小区间上,找到简单函数)(x ?来近似代替()f x ,且 ()b a x dx ?? 的值容易求的.这样就把计算复杂的()b a f x dx ?转化为求简单的积分值()b a x dx ??. 因此,定积分的近似计算实质上就是被积函数的近似计算问题. 2 定积分的近似计算——常见数值方法 2.1 矩形公式 根据定积分的定义，每一个积分和都可以看作是定积分的一个近似值，即 1 ()d ()n b i i a i f x x f x ?==?∑? 在几何意义上，这是用一系列小矩形面积近似小曲边梯形的结果，所以把这个近似计算方法称为矩形法．不过，只有当积分区间被分割得很细时，矩形法才有一定的精确度． 针对不同i ?的取法，计算结果会有不同，常见的取法有： （1）左端点法，即1-=i i x ?, i a b n i i x x f dx x f ? ∑=-?≈11)()( （2）右端点法，即 i i x =?,i n i i a b x x f dx x f ?≈∑?=1 )()( 几种定积分的数值计算方法 摘要:本文归纳了定积分近似计算中的几种常用方法,并着重分析了各种数值方法的计算思想,结合实例,对其优劣性作了简要说明. 关键词:数值方法;矩形法;梯形法;抛物线法;类矩形;类梯形 Several Numerical Methods for Solving Definite Integrals Abstract:Several common methods for solving definite integrals are summarized in this paper. Meantime, the idea for each method is emphatically analyzed. Afterwards, a numerical example is illustrated to show that the advantages and disadvantages of these methods. Keywords:Numerical methods, Rectangle method, Trapezoidal method, Parabolic method, Class rectangle, Class trapezoid 1. 引言 在科学研究和实际生产中,经常遇到求积分的计算问题,由积分学知识可知,若函数 )(x f 在区间],[b a 连续且原函数为)(x F ,则可用牛顿-莱布尼茨公式 求得积分.这个公式不论在理论上还是在解决实际问题中都起到了很大的作用. 在科学研究和实际生产中,经常遇到求积分的计算问题,由积分学知识可知,若函数)(x f 在区间],[b a 连续且原函数为)(x F ,则可用牛顿-莱布尼茨公式 求得积分.这个公式不论在理论上还是在解决实际问题中都起到了很大的作用.另外,对于求导数也有一系列的求导公式和求导法则.但是,在实际问题中遇到求积分的计算,经常会有这样的情况: (1)函数)(x f 的原函数无法用初等函数给出.例如积分 dx e x ?-1 02 , ? 1 0sin dx x x 等,从而无法用牛顿-莱布尼茨公式计算出积分。 (2)函数)(x f 使用表格形式或图形给出,因而无法直接用积分公式或导数公式。 (3)函数)(x f 的原函数或导数值虽然能够求出,但形式过于复杂,不便使用. 由此可见,利用原函数求积分或利用求导法则求导数有它的局限性,所以就有了求解数值积分的很多方法,目前有牛顿—柯特斯公式法,矩形法,梯形法,抛物线法,随机投点法,平均值法,高斯型求积法,龙贝格积分法,李查逊外推算法等等,本文对其中部分方法作一个比较． 2.几何意义上的数值算法 s 在几何上表示以],[b a 为底,以曲线)(x f y =为曲边的曲边梯形的面积A ,因此,计 算s 的近似值也就是A 的近似值,如图1所示.沿着积分区间],[b a ,可以把大的曲边梯形分割成许多小的曲边梯形面积之和.常采用均匀分割,假设],[b a 上等分n 的小区间 ,x 1-i h x i +=b x a x n ==,0,其中n a b h -= 表示小区间的长度. 2.1矩形法 矩形法就是用小矩形面积近似代替各个小曲边梯形面积,从面积得到S 的近似值.若 取小区间左端点的函数值为小矩形的高,如图1中所示,则∑=-=n i i x f n a b A 1 ).( 本计划研究目的 利用牛顿—莱布尼兹公式虽然可以精确地计算定积分的值，但它仅适用于被积函数的原函数能用初等函数表达出来的情形．如果这点办不到或者不容易办到，这就有必要考虑近似计算的方法．在定积分的很多应用问题中，被积函数甚至没有解析表达式，可能只是一条实验记录曲线，或者是一组离散的采样值，这时只能应用近似方法去计算相应的定积分． 提纲 1引言 2一元函数常见数值积分方法 2．1插值型积分 2．2高斯积分 4 一维数值积分方法应用以及误差分析 5高维数值积分方法应用以及误差分析 研究计划 1.指导教师与学生见面，指导教师填写纸质毕业论文（设计）任务书，并下达给学生。 2011年10月19日210月23日（第8—第8周） 2.学生撰写毕业论文（设计）开题报告并提交第一次周志，交指导教师审阅。2011 年10月24日至12月26日（第9—17周） 3.学生完成毕业论文（设计）初稿并提交第二次周志交指导教师审阅。2012年3月 5日前（第1—3周） 4.学生完成毕业论文（设计）初稿，二稿直至最终定稿，指导教师审阅二稿，三稿。 2012年4月10日前（第4—10周） 5.指导教师：评定教师分别评定论文（设计）成绩2012年4月30 日前（第11—11 周） 6.毕业论文设计答辩2012年5月11日前（第12—13周） 7.教师通过教务管理系统登录学生毕业论文（设计）成绩。2012年5月15日前（第 14周——） 主要文献资料 （1）华东师范大学数学系编《数学分析》上册 （2）李庆扬关治白峰杉《数值计算原理》 （3）肖筱南《现代数值计算方法》 （4）菲赫金哥尔茨《微积分学教程》 （5）裴礼文《数学分析中的典型问题和方法》 （6）LU J T.Is the comos ite function integrable? [J]Amer Math Monthy,1999(106):763--766 定积分的近似计算方法 摘要 本文主要讨论了一元函数常见的数值积分方法,例如插值型求积公式、龙贝格求积公式、高斯求 积公式等近似计算方法,在用这些方法计算定积分时,会产生一些误差,为了减少误差, 可以利用复化求积公式、复化高斯公式等.本文围绕这些方法,系统介绍它们的计算公式以及截断误差,并用例题分析它们产生误差的大小、计算量等. 关键词 插值型积分 龙贝格积分 高斯积分 误差分析 近似计算 1引言 在计算定积分的值()b a I f x dx = ? 时,常常根据微积分学基本定理求出)(x f 的一个原函 数)(x F ,再用牛顿-莱布尼茨公式求的积分,()()()b a I f x dx F b F a = =-? .但在实际应用中, 这种方法只限于解决一小部分定积分的求值问题.当函数没有具体表达式,只是一些实验测得数据形成的表格或图形或者是()F x 无法用初等函数表示,例如,2 b x a e dx ? ,2 sin b a x dx ?等等,这就需要我们用一些近似方法求的积分值. 与数值积分一样,把积分区间细分,在每个小区间上,找到简单函数)(x ?来近似代替 ()f x ,且()b a x dx ??的值容易求的.这样就把计算复杂的()b a f x dx ?转化为求简单的积分值 ()b a x dx ??.因此,定积分的近似计算实质上是就是被积函数的近似计算问题. 2常见数值方法 2.1牛顿-科茨数值方法 牛顿-科茨求积公式是求积节点等距离分布的插值型求积公式. 利用插值多项式来构造数值积分公式是最常用、最基本的方法,具体做法是： 给定区间[,]a b 上一组节点01...n a x x x b =<<<=,以及节点处函数 ()( 0,1,2,i f x i n =,作()f x 的n 次拉格朗日多项式 ()()() n n i i i x f x l x ?==∑, 其中 011011()()()() ()()()()() i i n i i i i i i i n x x L x x x x L x x l x x x L x x x x L x x -+-+----= ----,将插值公式常用求导与定积分公式(完美)
高中数学导数与积分知识点
MATLAB实验三-定积分的近似计算
实验二 定积分的近似计算
常用的求导和定积分公式(完美)
导数与定积分
定积分与定积分的近似计算
定积分的近似计算
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