均值不等式练习题及答案解析
一.均值不等式
1.若a,b?R,则a2?b2?2ab 若a,b?R,则ab
2. 若a,b?R*,则
a?b2
?
*
?
a?b2
22
a?b时取“=”)
ab 若a,b?R,则a?b?2
2
ab
a?b?若a,b?R,则ab??) ?? ?
2
a?b2
注:当两个正数的积为定植时,可以求它们的和的最小值,当两个正数的和为定植时,可以求它们的积的最小值,正所谓“积定和最小,和定积最大”.求最值的条件“一正,二定,三取等”
均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用.应用一:求最值例1:求下列函数的值域
y=3x解:y=3x+
11
y=x+xx
1
3x =∴值域为[,+∞)
2x
1
x· =2; x
1
x· =-2
x
1
≥22x1
当x>0时,y=x+≥x
11
当x<0时, y=x+= -≤-2
xx
∴值域为
解题技巧:技巧一:凑项例1:已知x?
54
,求函数y
?4x?2?
14x?5
的最大值。
1
解:因4x?5?0,所以首先要“调整”符号,又?x?
54
,?5?4x?0,?y?4x?2?
1
4x?5
不是常数,所以对4x?2要进行拆、凑项,
???2?3?1 ??3?
1?
???5?4x?
4x?55?4x?
当且仅当5?4x?
15?4x
,即x?1时,上式等号成立,故当x?1时,ymax?1。
评注:本题需要调整项的符号,又要配凑项的系数,使其积为定值。
技巧二:凑系数
例1. 当时,求y?x的最大值。
解析:由知,,利用均值不等式求最值,必须和为定值或积为定值,此题为两个式子积的形式,但其和不是定值。注意到2x??8为定值,故只需将y?x凑上一个系数即可。
当
,即x=2时取等号当x=2时,y?x的最大值为8。
32
评注:本题无法直接运用均值不等式求解,但凑系数后可得到和为定值,从而可利用均值不等式求最大值。变式:设0?x?
,求函数y?4x的最大值。
3
2
2x?3?2x?9
解:∵0?x?∴3?2x?0∴y?4x?2?2x?2????
222??
当且仅当2x?3?2x,即x?
3
?3?
??0,?时等号成立。?2?
技巧三:分离
例3. 求y?
的值域。
x?1
解析一:本题看似无法运用均值不等式,不妨将分子配方凑出含有的项,再将其分离。
x?7x?10
2
当
,即
时
,y?5?9。
技巧四:换元
解析二:本题看似无法运用均值不等式,可先换元,令t=x+1,化简原式在分离求最值。 y?
?7?g恒正或恒负的形式,然后运用均值不等式来求最值。 ?B,
g
当,即t=时
,y?技巧五:注意:在应用最值定理求最值时,若遇等号取不到的情况,应结合函数f?x?
2
ax
的单调性。
例:求函数y?的值域。
解:令
?t,则y?
1t
2
??t?
1t
因t?0,t??1,但t?因为y?t?
1t
1t
解得t??1不在区间?2,???,故等号不成立,考虑单调性。
52
在区间?1,???单调递增,所以在其子区间?2,???为单调递增函数,故y?
?5
??
。
所以,所求函数的值域为?,???。
?2
练习.求下列函数的最小值,并求取得最小值时,x 的
值. y?
x?3x?1
x
2
, y?2x?
1x?3
,x? y?2sinx?
23
1sinx
,x?
2.已知0?x?
1,求函数y?条件求最值
的最大值.;3.0?x?
,求函数y?.
1.若实数满足a?b?2,则3a?3b的最小值是分析:“和”到“积”是一个缩小的过程,而且3a?3b定值,因此考虑利用均值定理求最小值,解:a和3b都是正数,3a?3b≥23?3?23
a
b
a?b
?6
当3a?3b时等号成立,由a?b?2及3a?3b得a?b?1即当a?b?1时,3a?3b的最小值是6.
变式:若log4x?log4y?
2,求
1x
?
1y
的最小值.并求x,y的值
技巧六:整体代换:多次连用最值定理求最值时,要注意取等号的条件的一致性,否则就会出错。。:已知x?0,y?0,且
1x?
1x
9y
9y
?1,求x?y的最小值。
?1?x
9?
??
x?y??y?
错解:?x?0,y?0,且..
?
?1,?x?y??
?
?1 故
?x?y?min
9y
?1。
错因:解法中两次连用均值不等式,在x?y?x?
y,在1
x
??条件是
1x
?
9y
即y?9x,取等号的条件的不一致,产生错误。因此,在利用均值不等式处理问题时,列出
等号成立条件是解题的必要步骤,而且是检验转换是否有误的一种方法。正解:?x?0,y?0,
1x?9
?19?y9x
?10?6?10?1?1,?x?y??x?y??????
xyxyy??
当且仅当
yx
?
9xy
时,上式等号成立,又
?
1x
?
9y
?1,可得x?4,y?12时,?x?y?min?1。
1y
变式:若x,y?R且2x?y?1,求1
x
?
的最小值
?
已知a,b,x,y?R且a?b?1,求x?y的最小值
xy
y2
技巧七、已知x,y为正实数,且x+=1,求+y 的最大值.
2
a+b
分析:因条件和结论分别是二次和一次,故采用公式ab≤。
2
2
2
1
+y 中y前面的系数为,+y =x
2
2
2
1+y2· =x·
21y +22
下面将x,
1y
分别看成两个因式:2
x+2x+2223
==即+y =·x
224
2
1y3
+≤ 24
1
的最小值. ab
分析:这是一个二元函数的最值问题,通常有两个途径,一是通过消元,转化为一元函数问题,再用单调技巧八:已知a,b为正实数,2b+ab+a=30,求函数y=
性或基本不等式求解,对本题来说,这种途径是可行的;二是直接用基本不等式,对本题来说,因已知条件中既有和的形式,又有积的形式,不能一步到位求出最值,考虑用基本不等式放缩后,再通过解不等式的途径进行。
30-2b30-2b-b+30b
法一:a=,ab ·b=
b+1b+1b+1由a>0得,0<b<15
-2t+34t-311616
令t=b+1,1<t<16,ab=-2+34∵t+≥2
ttt
1
∴ ab≤1∴ y≥ 当且仅当t=4,即b=3,a=6时,等号成立。
18
法二:由已知得:30-ab=a+2b∵ a+2b≥2ab∴0-ab≥ab令u=ab则u2+u-30≤0,-5≤u≤3
1
∴ ≤3,ab≤18,∴y≥18点评:①本题考查不等式
a?b2
?
ab的应用、不等式的解法及运算能力;②如何由已知不等
?
t·
16
=t
式ab?a?2b?30出发求得ab的范围,关键是寻找到a?b 与ab之间的关系,由此想到不等式
a?b2
?
ab,这样将已知条件转换为含ab的不等式,进而解得ab的范围.
?
变式:1.已知a>0,b>0,ab-=1,求a+b的最小值。
2.若直角三角形周长为1,求它的面积最大值。技巧
九、取平方
5、已知x,y为正实数,3x+2y=10,求函数W=x +y 的最值.
a+ba+b
解法一:若利用算术平均与平方平均之间的不等关系,
≤,本题很简单
22
3x +y
22y )=x+2y =25
解法二:条件与结论均为和的形式,设法直接用基本不等式,应通过平方化函数式为积的形式,再向“和为定值”条件靠拢。
W>0,W2=3x+2y+2x y =10+2x y ≤
10+
2·=10+=20
∴ W≤20 =
2
变式:
求函数y
?
12?x?
52
)的最大值。
解析:注意到2x?1与5?2x的和为定值。
y
?2
?4??4???8
32
2
又y?0,所以0?y?当且仅当2x?1=5?2x,即x?
时取等号。故ymax?
评注:本题将解析式两边平方构造出“和为定值”,为利用均值不等式创造了条件。
总之,我们利用均值不等式求最值时,一定要注意“一正二定三相等”,同时还要注意一些变形技巧,积极创造条件利用均值不等式。应用二:利用均值不等式证明不等式 1.已知a,b,c为两两不相等的实数,求证:a
2
?b?c
22
?ab?bc?ca
1)正数a,b,c满足a+b+c=1,求证:≥8abc 例6:已知a、b、c?R?,且a?b?c?1。求证:?
?1
??1??1?
?1???1???1???a??b??c?
分析:不等式右边数字8,使我们联想到左边因式分别使用均值不等式可得三个“2”连乘,
又
1a?1?
1?aa
?b?ca
?a
1a
1?aa
b?ca
a
解:?a、b、c?R?,a?b?c?1。
?
?1???
。同理
1b
?1?
b
,?1?
c
1c
。
上述三个不等式两边均为正,分别相乘,得
1?1??1??1?a?b?c?。当且仅当时取等号。 ?1?1?1??8??????
3abcabc??????
应用三:均值不等式与恒成立问题例:已知x?0,y?0且
1x?9y
?1,求使不等式x?y?m恒成立的实数m的取值范围。
解:令x?y?k,x?0,y?0,
10k
3k
1x
?
9y
?1,?
x?ykx
?
9x?9yky
?1.?
10k
?
ykx
?
9xky
?1
?1??2?
。?k?1,m????,16?
应用四:均值定理在比较大小中的应用:例:若a?b?1,P?
lga?lgb,Q?
12
,R?lg,则P,Q,R的大小关系是分析:∵a?b?1 ∴lga?0,lgb?0
Q?
12
已知a,b,c均为正实数,
证明:
并确定a,b,c为何值时,等号成立。
类型二:求最值:221a112?)?,bc
利用均值不等式求最值是近几年高考中考查频率最高的题型之一。使用均值不等式的核心在于配凑,配凑的精髓在于使得均值不等式取等号的条件成立。
1. 设x,y?且11??1,求x?y的最小值。 xy
11?的最小值。xy2. 设x,y?且x?y?1,求
3. 已知a,b为正实数,且a?b?1求ab?1的最小值。 ab
4. 求函数y?11?的最小值。 x1?x
291?的最小值。 x1?2x2变式:求函数y?
5. 设x,y?,x?3y?5xy,求3x?4y的最小值。
6. 设x,y?,x?y?xy?6求x?y的最小值。
7. 设x,y?,x?y?xy?6求xy的最大值。
228. 设x,y为实数,若4x?y?xy?1,求2x?y的最大值。
9.
求函数y变式:y?的最大值。
x2?x?110. 设x?0求函数y?的最小值。 x
x2?x?111. 设设x??1求函数y?的最小值。 x?1
12. 若任意x?0,x?a恒成立,求a的取值范围.x?3x?1 2x2?3x?313. 求函数y?2的最大值。 x?2x?2 类型三、应用题
1.围建一个面积为360m的矩形场地,要求矩形场地的一面利用旧墙,其它三面围墙要新建,在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口,如图所示,已知旧墙的维修费用为45元/m,新墙的造价为180元/m,设利用旧墙的长度为x。
将y表示为x的函数。
试确定x,使修建此矩形场地围墙的总费用最少。并求出最小总费用。
2.某单位用2160万元购得一块空地,计划在该空地上建造一栋至少10层,每层2000平方米的楼房。经测算,如果将楼房建为x层,则每平方米的平均建筑费用为
560?48x。为了使楼房每平方米的平均综合费用最少,该楼房应建为多少层?
建筑总面积
附加题:
若正数a,b,c满足a?b?c?1,那么?2?2的最小值为 abc
1、若实数x,y满足x?y?4,求xy的最大值
2、若x>0,求f?4x?
3、若x?0,求y?x?
4、若x
5、求f?4x?
6、若x,y?R,x+y=5,求xy的最值
7、若x,y?R,2x+y=5,求xy的最值
8、已知直角三角形的面积为4平方厘米,求该三角形周长的最小值
??229的最小值; x1的最大值 x9的最大值 x9的最小值. x?5
1、求y?
2、求y?x的最大值.
3、求y?x的最大值。
4、求y?
5、若x?2,求y?2x?5?
6、若x?0,求y?
7
不等式练习题 一、选择题 1、若a,b 是任意实数,且a >b,则 ( ) (A )a 2>b 2 (B ) a b <1 (C )lg(a-b)>0 (D )(21)a <(2 1)b 2、下列不等式中成立的是 ( ) (A )lgx+log x 10≥2(x >1) (B )a 1 +a ≥2 (a ≠0) (C ) a 1<b 1 (a >b) (D )a 21+t ≥a t (t >0,a >0,a ≠1) 3、已知a >0,b >0且a +b =1, 则()11 )(1122--b a 的最小值为 ( ) (A )6 (B ) 7 (C ) 8 (D ) 9 4、已给下列不等式(1)x 3+ 3 >2x (x ∈R ); (2) a 5+b 5> a 3b 2+a 2b 3(a ,b ∈R ); (3) a 2+b 2≥2(a -b -1), 其中正确的个数为 ( ) (A ) 0个 (B ) 1个 (C ) 2个 (D ) 3个 5、f (n ) = 12+n -n , ?(n )= n 21 , g (n ) = n 12--n , n ∈N ,则 ( ) (A ) f (n ) 均值不等式测试题 一、选择题 1.已知a 、b ∈(0,1)且a ≠b ,下列各式中最大的是( ) A.a 2+b 2 B.2ab C.2a b D.a +b 2.x ∈R ,下列不等式恒成立的是( ) A .x 2+1≥x B .11 2+x <1 C .lg(x 2+1)≥lg(2x) D .x 2+4>4x 3.已知x+3y-1=0,则关于y x 82+的说法正确的是( ) A.有最大值8 B.有最小值22 C.有最小值8 D.有最大值22 4.A设实数x ,y ,m ,n 满足x 2+y 2=1,m 2+n 2=3那么mx+ny 的最大值是( ) A.3 B.2 C.5 D.2 10 5.设a>0,b>0,则以下不等式中不恒成立的是( ) A.(a+b )(b a 1 1+)≥4 B.a 3+b 3≥2ab 2 C.a 2+b 2+2≥2a+2b D.b a b a -≥- 6.下列结论正确的是( ) A .当x>0且x ≠1时,lgx+x lg 1≥2 B .当x>0时,x +x 1≥2 C .当x ≥2时,x + x 1 ≥2 D .当0 均值不等式题型汇总 杨社锋 均值不等式是每年高考必考内容,它以形式灵活多变而备受出题人的青睐,下面我们来细数近几年来均值不等式在高考试题中的应用。 类型一:证明题 1. 设*,,1,a b R a b ∈+=求证:1 125()()4 a b a b ++≥ 2. 设,,(0,),a b c ∈+∞)a b c ≥++ 3. 设,,(0,),a b c ∈+∞求证:222 b c a a b c a b c ++≥++ 4. 设,,(0,),a b c ∈+∞求证:222 a b c ab bc ac ++≥++ 5. 已知实数,,x y z 满足:222 1x y z ++=,求xy yz +得最大值。 6. 已知正实数,,a b c ,且1abc =9≥ 7. (2010辽宁)已知,,a b c 均为正实数,证明:22221 11()a b c a b c +++++≥,并确定,,a b c 为何值时,等号成立。 类型二:求最值: 利用均值不等式求最值是近几年高考中考查频率最高的题型之一。使用均值不等式的核心在于配凑,配凑的精髓在于使得均值不等式取等号的条件成立。 1. 设11,(0,)1x y x y ∈+∞+=且,求x y +的最小值。 2. 设,(0,)1x y x y ∈+∞+=且,求 112x y +的最小值。 3. 已知,a b 为正实数,且1a b +=求1ab ab +的最小值。 4. 求函数11(01)1y x x x =+<<-的最小值。 变式:求函数291(0)122 y x x x =+<<-的最小值。 5. 设,(0,)x y ∈+∞,35x y xy +=,求34x y +的最小值。 6. 设,(0,)x y ∈+∞,6x y xy ++=求x y +的最小值。 7. 设,(0,)x y ∈+∞,6x y xy ++=求xy 的最大值。 8. (2010浙江高考)设,x y 为实数,若22 41x y xy ++=,求2x y +的最大值。 9. 求函数y = 的最大值。 变式:y = 10. 设0x >求函数21x x y x ++=的最小值。 11. 设设1x >-求函数211 x x y x ++=+的最小值。 12. (2010山东高考)若任意0x >,231 x a x x ≤++恒成立,求a 的取值范围. 13. 求函数22233(1)22 x x y x x x -+=>-+的最大值。 类型三、应用题 1.(2009湖北)围建一个面积为2 360m 的矩形场地,要求矩形场地的一面利用旧墙(利用旧墙需要维修),其它三面围墙要新建,在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2m 的进出口,如图所示,已知旧墙的维修费用为45/m 元,新墙的造价为180/m 元,设利用旧墙的长度为x (单位:m )。 (1)将y 表示为x 的函数(y 表示总费用)。 (2)试确定x ,使修建此矩形场地围墙的总费用最少。并求出最小总费用。 2.(2008广东)某单位用2160万元购得一块空地,计划在该空地上建造一栋至少10层,每层2000平方米的楼房。经测算,如果将楼房建为x 层(10x ≥),则每平方米的平均建筑费用为56048x +(单位:元)。为了使楼房每平方米的平均综合费用最少,该楼房应建为多少层? (注:平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用, 1.若xy>0,则对x y+ y x说法正确的是() A.有最大值-2B.有最小值2 C.无最大值和最小值D.无法确定 答案:B 2.设x,y满足x+y=40且x,y都是正整数,则xy的最大值是() A.400 B.100 C.40 D.20 答案:A 3.已知x≥2,则当x=____时,x+4 x有最小值____. 答案:2 4 4.已知f(x)=12 x+4x. (1)当x>0时,求f(x)的最小值; (2)当x<0 时,求f(x)的最大值. 解:(1)∵x>0,∴12 x,4x>0. ∴12 x+4x≥2 12 x·4x=8 3. 当且仅当12 x=4x,即x=3时取最小值83, ∴当x>0时,f(x)的最小值为8 3. (2)∵x<0,∴-x>0. 则-f(x)=12 -x +(-4x)≥2 12 -x ·?-4x?=83, 当且仅当12 -x =-4x时,即x=-3时取等号. ∴当x<0时,f(x)的最大值为-8 3. 一、选择题 1.下列各式,能用基本不等式直接求得最值的是() A.x+1 2x B.x 2-1+ 1 x2-1 C.2x+2-x D.x(1-x) 答案:C 2.函数y=3x2+ 6 x2+1 的最小值是() A.32-3 B.-3 C.6 2 D.62-3 解析:选D.y=3(x2+ 2 x2+1 )=3(x2+1+ 2 x2+1 -1)≥3(22-1)=62-3. 3.已知m、n∈R,mn=100,则m2+n2的最小值是() A.200 B.100 C.50 D.20 解析:选A.m2+n2≥2mn=200,当且仅当m=n时等号成立.4.给出下面四个推导过程: ①∵a,b∈(0,+∞),∴b a+ a b≥2 b a· a b=2; ②∵x,y∈(0,+∞),∴lg x+lg y≥2lg x·lg y; ③∵a∈R,a≠0,∴4 a+a≥2 4 a·a=4; ④∵x,y∈R,,xy<0,∴x y+ y x=-[(- x y)+(- y x)]≤-2?- x y??- y x?=-2. 其中正确的推导过程为() A.①②B.②③C.③④D.①④解析:选D.从基本不等式成立的条件考虑. ①∵a,b∈(0,+∞),∴b a, a b∈(0,+∞),符合基本不等式的条件,故①的推导 过程正确; ②虽然x,y∈(0,+∞),但当x∈(0,1)时,lg x是负数,y∈(0,1)时,lg y是负数,∴ ②的推导过程是错误的; ③∵a∈R,不符合基本不等式的条件, ∴4 a+a≥24 a·a=4是错误的; ④由xy<0得x y, y x均为负数,但在推导过程中将全体 x y+ y x提出负号后,(- x y)均 变为正数,符合基本不等式的条件,故④正确. 5.已知a>0,b>0,则1 a+ 1 b+2ab的最小值是() A.2 B.2 2 C.4 D.5 解析:选 C.∵1 a+ 1 b+2ab≥ 2 ab +2ab≥22×2=4.当且仅当 ?? ? ??a=b ab=1 时, 等号成立,即a=b=1时,不等式取得最小值4. 6.已知x、y均为正数,xy=8x+2y,则xy有() 利用基本不等式求最值的常用技巧及练习题(含解答)(经典) 一.基本不等式的常用变形 1.若0x >,则12x x + ≥ (当且仅当1x =时取“=” );若0x <,则1 2x x +≤- (当且仅当 _____________时取“=”) 若0x ≠,则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当____________时取“=”) 2.若0>ab ,则2≥+a b b a (当且仅当____________时取“=”) 若0ab ≠,则 22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当_________时取“=” ) 注:(1)当两个正数的积为定植时,可以求它们和的最小值,当两个正数的和为定植时, 可以求它们的积的最小值,正所谓“积定和最小,和定积最大”. (2)求最值的重要条件“一正,二定,三取等” 二、利用基本不等式求最值的技巧: 技巧一:直接求: 例1 已知,x y R + ∈,且满足 134 x y +=,则xy 的最大值为 ________。 解:因为x >0,y>0 ,所以 34x y +≥=当且仅当34x y =,即x=6,y=8时取等 号) 1, 3.xy ∴≤,故xy 的最大值3. 变式:若44log log 2x y +=,求11 x y +的最小值.并求x ,y 的值 解:∵44log log 2x y += 2log 4=∴xy 即xy=16 2 1211211==≥+∴xy y x y x 当且仅当x=y 时等号成立 技巧二:配凑项求 例2:已知5 4x < ,求函数14245 y x x =-+-的最大值。 高考均值不等式经典例题 1.已知正数,,a b c 满足2 15b ab bc ca +++=,则58310a b c +++的最小值为 。 2.设M 是ABC V 内一点,且30AB AC A =∠=?u u u r u u u r g ,定义()(,,)f M m n p =,其中,,m n p 分别是 ,,MBC MCA MAB V V V 的面积,若1()(,,)2 f M x y =,则14x y +的最小值为 . 3.已知实数1,12 m n >>,则224211n m m n +--的最小值为 。 4.设22110,21025() a b c a ac c ab a a b >>>++-+-的最小值为 。 5.设,,a b c R ∈,且222 ,2222a b a b a b c a b c ++++=++=,则c 的最大值为 。 6.已知ABC V 中,142, 10sin sin a b A B +=+=,则ABC V 的外接圆半径R 的最大值为 。 7.已知112,,339 a b ab ≥≥=,则a b +的最大值为 。 8. ,,a b c 均为正数,且222412a ab ac bc +++=,则a b c ++的最小值为 。 9. ,,,()4a b c R a a b c bc +∈+++=-2a b c ++的最小值为 。 10. 函数()f x =的最小值为 。 11.已知0,0,228x y x y xy >>++=,则2x y +的最小值为 。 12.若*3()k k N ≥∈,则(1)log k k +与(1)log k k -的大小: 。 13.设正数,,x y z 满足22340x xy y z -+-=,则当xy z 取最大值时,212x y z +-的最大值为 。 14.若平面向量,a b r r 满足23a b -≤r r ,则a b ?r r 的最小值为 。 15. 的线段,在该几何体的侧视图与俯视图中,这条棱的投影分别是长为a 和b 的线段,则a b +的最大值为 。 16.设{}n a 是等比数列, 公比q =n S 为{}n a 的前n 项和,记*21 17()n n n n S S T n N a +-=∈,设0n T 为数列{}n T 的最大项,则0n = 。 八下2.6一元一次不等式组 一、选择题 1、下列不等式组中,解集是2<x <3的不等式组是( ) A 、???>>23x x B 、???<>23x x C 、? ??><23x x D 、???<<23x x 2、在数轴上从左至右的三个数为a ,1+a ,-a ,则a 的取值范围是( ) A 、a <12 B 、a <0 C 、a >0 D 、a <-12 3、不等式组10235x x +??+ ≤,的解集在数轴上表示为( ) 4、不等式组31025x x +>?? 的整数解的个数是( )A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 5、在平面直角坐标系内,P (2x -6,x -5)在第四象限,则x 的取值范围为( ) A 、3<x <5 B 、-3<x <5 C 、-5<x <3 D 、-5<x <-3 6、已知不等式:①1x >,②4x >,③2x <,④21x ->-,从这四个不等式中取两个,构成正整数解是2的不等式组是( )A 、①与② B 、②与③ C 、③与④ D 、①与④ 7、如果不等式组x a x b >?? B. 109m > C. 1910m > D. 1019 m > 二、填空题 9、若y 同时满足y +1>0与y -2<0,则y 的取值范围是______________. 10、不等式组3010x x -?+?≥的解集是 .11、不等式组20.53 2.52 x x x -??---?≥≥的解集是 . 12、若不等式组? ??->+<121m x m x 无解,则m 的取值范围是 . A B C D 第三章 不等式 一、选择题 1.已知x ≥2 5 ,则f (x )=4-25+4-2x x x 有( ). A .最大值45 B .最小值4 5 C .最大值1 D .最小值1 2.若x >0,y >0,则221+)(y x +221 +)(x y 的最小值是( ). A .3 B . 2 7 C .4 D . 2 9 3.设a >0,b >0 则下列不等式中不成立的是( ). A .a +b + ab 1≥22 B .(a +b )( a 1+b 1 )≥4 C 22 ≥a +b D . b a ab +2≥ab 4.已知奇函数f (x )在(0,+∞)上是增函数,且f (1)=0,则不等式x x f x f ) ()(--<0 的解集为( ). A .(-1,0)∪(1,+∞) B .(-∞,-1)∪(0,1) C .(-∞,-1)∪(1,+∞) D .(-1,0)∪(0,1) 5.当0<x <2 π时,函数f (x )=x x x 2sin sin 8+2cos +12的最小值为( ). A .2 B .32 C .4 D .34 6.若实数a ,b 满足a +b =2,则3a +3b 的最小值是( ). A .18 B .6 C .23 D .243 7.若不等式组?? ? ??4≤ 34 ≥ 30 ≥ y x y x x ++,所表示的平面区域被直线y =k x +34分为面积相等的两部分,则k 的值是( ). A . 7 3 B . 37 C . 43 D . 34 8.直线x +2y +3=0上的点P 在x -y =1的上方,且P 到直线2x +y -6=0的距离为 双基自测 1.(人教A 版教材习题改编)函数y =x +1 x (x >0)的值域为( ). A .(-∞,-2]∪[2,+∞) B .(0,+∞) C .[2,+∞) D .(2,+∞) 2.下列不等式:①a 2+1>2a ;②a +b ab ≤2;③x 2+1 x 2+1≥1,其中正确的个数是 ( ). A .0 B .1 C .2 D .3 3.若a >0,b >0,且a +2b -2=0,则ab 的最大值为( ). A.1 2 B .1 C .2 D .4 4.(2011·重庆)若函数f (x )=x + 1 x -2 (x >2)在x =a 处取最小值,则a =( ). A .1+ 2 B .1+ 3 C .3 D .4 5.已知t >0,则函数y =t 2-4t +1 t 的最小值为________. 考向一 利用基本不等式求最值 【例1】?(1)已知x >0,y >0,且2x +y =1,则1x +1 y 的最小值为________; (2)当x >0时,则f (x )= 2x x 2 +1 的最大值为________. 【训练1】 (1)已知x >1,则f (x )=x + 1 x -1 的最小值为________. (2)已知0<x <2 5,则y =2x -5x 2的最大值为________. (3)若x ,y ∈(0,+∞)且2x +8y -xy =0,则x +y 的最小值为________. 考向二 利用基本不等式证明不等式 【例2】?已知a >0,b >0,c >0,求证:bc a +ca b +ab c ≥a +b +c . . 【训练2】 已知a >0,b >0,c >0,且a +b +c =1. 求证:1a +1b +1 c ≥9. 考向三 利用基本不等式解决恒成立问题 【例3】?(2010·山东)若对任意x >0,x x 2+3x +1≤a 恒成立,则a 的取值范围是 ________. 【训练3】 (2011·宿州模拟)已知x >0,y >0,xy =x +2y ,若xy ≥m -2恒成立,则实数m 的最大值是________. 考向三 利用基本不等式解实际问题 【例3】?某单位建造一间地面面积为12 m 2的背面靠墙的矩形小房,由于地理位置的限制,房子侧面的长度x 不得超过5 m .房屋正面的造价为400元/m 2,房屋侧面的造价为150元/m 2,屋顶和地面的造价费用合计为5 800元,如果墙高为3 m ,且不计房屋背面的费用.当侧面的长度为多少时,总造价最低? 【训练3】 (2011·广东六校第二次联考)东海水晶制品厂去年的年产量为10万件,每件水晶产品的销售价格为100元,固定成本为80元.从今年起,工厂投入100万元科技成本.并计划以后每年比上一年多投入100万元科技成本.预计产量每年递增1万件,每件水晶产品的固定成本g (n )与科技成本的投入次数n 的关系是g (n )= 80 n +1 .若水晶产品的销售价格不变,第n 次投入后的年利润为f (n )万元. (1)求出f (n )的表达式; (2)求从今年算起第几年利润最高?最高利润为多少万元? 【试一试】 (2010·四川)设a >b >0,则a 2+1 ab +1 a (a - b ) 的最小值是( ). A .1 B .2 C .3 D .4 双基自测 D .(2,+∞) 答案 C 2.解析 ①②不正确,③正确,x 2+ 1x 2+1=(x 2 +1)+1x 2+1 -1≥2-1=1.答案 B 3.解析 ∵a >0,b >0,a +2b =2,∴a +2b =2≥22ab ,即ab ≤1 2.答案 A 均值不等式应用 一.均值不等式 1.(1)若R b a ∈,,则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,,则2 2 2b a ab +≤(当且仅当b a =时取“=”) 2. (1)若*,R b a ∈,则 ab b a ≥+2 (2)若* ,R b a ∈,则ab b a 2≥+(当且仅当b a =时取“=” ) (3)若* ,R b a ∈,则2 2?? ? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”) 3.若0x >,则12x x + ≥ (当且仅当1x =时取“=”);若0x <,则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”) 若0x ≠,则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”) 3.若0>ab ,则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”) 若0ab ≠,则 22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=” ) 4.若R b a ∈,,则2 )2(2 22b a b a +≤ +(当且仅当b a =时取“=”) 注:(1)当两个正数的积为定植时,可以求它们的和的最小值,当两个正数的和为定植时,可以求它们的 积的最小值,正所谓“积定和最小,和定积最大”. (2)求最值的条件“一正,二定,三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用. 应用一:求最值 例1:求下列函数的值域 (1)y =3x 2+12x 2 (2)y =x +1 x 解:(1)y =3x 2+1 2x 2 ≥2 3x 2·1 2x 2 = 6 ∴值域为[ 6 ,+∞) (2)当x >0时,y =x +1 x ≥2 x ·1 x =2; 当x <0时, y =x +1x = -(- x -1 x )≤-2 x ·1 x =-2 ∴值域为(-∞,-2]∪[2,+∞) 解题技巧: 技巧一:凑项 例1:已知5 4x < ,求函数14245 y x x =-+-的最大值。 解:因450x -<,所以首先要“调整”符号,又1 (42)45 x x -- 不是常数,所以对42x -要进行拆、凑项, 5,5404x x <∴-> ,11425434554y x x x x ??∴=-+=--++ ?--??231≤-+= 当且仅当1 5454x x -= -,即1x =时,上式等号成立,故当1x =时,max 1y =。 评注:本题需要调整项的符号,又要配凑项的系数,使其积为定值。 技巧二:凑系数均值不等式测试题(含详解)
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