正态分布教案导学案
2.4.1正态分布
【教学目标】
1. 了解正态分布的意义，掌握正态分布曲线的主要性质及正态分布的简单应用。
2. 了解假设检验的基本思想，会用质量控制图对产品的质量进行检测，对生产过程进行控制。
【教学重难点】
教学重点：1.正态分布曲线的特点； 2.正态分布曲线所表示的意义.
教学难点：1.在实际中什么样的随机变量服从正态分布； 2．正态分布曲线所表示的意义. 【教学过程】
一、 设置情境，引入新课 这是一块高尔顿板，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落的过程中与层层小木块碰撞，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内。
问题1.在投放小球之前，你能知道这个小球落在哪个球槽中吗？ 问题2.重复进行高尔顿板试验，随着试验次数的增加，掉入每个球槽中小球的个数代表什么？
问题3.为了更好的研究小球分布情况，对各个球槽进行编号，以球槽的编号为横坐标，以小球落入各个球槽的频率值为纵坐标，你能画出它的频率分布直方图吗？ 问题4.随着试验次数的增加，这个频率直方图的形状会发生什么样的变化？ 二、合作探究，得出概念
随着试验次数的增加，这个频率直方图的形状会越来越像一条钟形曲线
.
这条曲线可以近似下列函数的图像：
22
()2,1(),(,),2x x e x μσμσ?πσ
--=
∈-∞+∞
其中实数(0)μσσ>和为参数，我们称,()x μσ?的图像为正态分布密度曲线，简称正态曲
线。
问题5.如果在高尔顿板的底部建立一个水平坐标轴，其刻度单位为球槽的宽度，X 表示一个随机变量，X 落在区间(,]a b 的概率为什么？其几何意义是什么？ 一般地，如果对于任何实数a b <，随机变量X 满足
,( a P a b x dx μσ?≤=?） 则称X 的分布为正态分布，记作2 N μσ（，），如果随机变量X 服从正态分布，则记为 2X N μσ（，）。 问题6.在现实生活中，什么样的分布服从或近似服从正态分布？ 问题7.结合()x μσ?，的解析式及概率的性质，你能说说正态分布曲线的特点吗？ 可以发现，正态曲线有以下特点： （1） 曲线位于x 轴上方，与x 轴不相交； （2） 曲线是单峰的，它关于直线x μ=对称； （3） 曲线在x μ=处达到峰值 2σπ ； （4） 曲线与x 轴之间的面积为1； （5） 当σ一定时，曲线随着μ德变化而沿x 轴平移； （6） 当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”,表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散。 若2X N μσ（，），则对于任何实数0,a >概率 ,( a P a a x dx μμσμμμ?+--≤+=? ） 对于固定的μ和a 而言，给面积随着σ的减少。这说明σ越小，X 落在区间,]a a μμ-+（的概率越小，即X 集中在μ周围概率越大. 特别有 可以看到，正态总体几乎总取值于区间(33)X μσμσ-<≤+之内。而在此区间以外取值的概率只有0.0026,通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生。 在实际应用中，通常认为服从于正态分布2 N μσ（，）的随机变量X 只取(3,3) μσμσ-+之间的值，简称之为3σ原则 三、 典型例题 例1. 在某次数学考试中，考生的成绩ξ服从一个正态分布，即(90,100)N ξ 。 （1） 试求考试成绩ξ位于区间（70,110）上的概率是多少？ （2） 若这次考试共有2000名考生，试估计考试成绩在（80,100）间的考生大 约有多少人？ 解析：正态分布已经确定，则总体的期望μ和标准差σ就可以求出，这样就可以根据正态分布在三个常见的区间上取值的概率进行求解. 解：因为 (90,100)N ξ ，所以 μ=90， σ=10。 （1） 由于正态变量在区间(2,2)μσμσ-+内取值的概率是0.9544,而该正态分布中， ()0.6826,(22)0.9544,(33)0.9774. P X P X P X μσμσμσμσμσμσ-<≤+=-<≤+=-<≤+= 29021070,290210110μσμσ-=-?=+=+?=，于是考试成绩ξ位于区间 （70,110）内的概率就是0.9544。 （2） 由μ=90， σ=10，得80,100μσμσ-=+=。由于正态变量在区间 (,)μσμσ-+内取值的概率是0.6826,所以考试成绩ξ位于区间（80,100）内的概 率就是0..6826.一共有2000名考生，所以考试成绩在（80,100）间的考生大约有2000?0.6826≈1365人。 点评：解答这类问题的关键是熟记正态变量的取值位于区间(,)μσμσ-+， (2,2)μσμσ-+，(3,3)μσμσ-+上的概率值，同时又要根据已知的正态分布确定所给 区间属于上述三个区间中的哪一个. 变式训练.已知一次考试共有60名同学参加，考生的成绩(110,25),X N 据此估计，大 约应有57人的分数在下列哪个区间内？（ ） .(90,110]A .(95,125]B .(100,125]C .(105,115]D 答案C 四、反馈测评 1． 给出下列三个正态总体的函数表达式，请找出其均值μ和标准差σ （１）),(,21)(2 2+∞-∞∈= - x e x f x π （２）),(,221 )(8 )1(2 +∞-∞∈= -- x e x f x π （３）2 2(1)(),(,) x f x x -+=∈-∞+∞ 2.若随机变量(2,4)N ξ -,则ξ在区间(4,2]-上的取值的概率等于ξ在下列哪个区间上取 值的概率（ ） .(2,4]A .(0,2]B .(2,0]C - .(4,4]D - 3．若随机变量ξ服从正态分布(0,1)N ξ ，则ξ在区间(3,3]-上取值的概率等于（ ） A.0.6826 B.0.9544 C.0.9974 D.0.3174 4.若一个正态总体落在区间(0.2,)+∞里的概率是0.5，那么相应的正态曲线f （x ） 在x= 时，达到最高点。 答案：1.(1)0，1；(2)1，2；(3)-1，0.5 2.C 3.C 4. 0.2 五、课堂小结 1. 了解正态曲线、正态分布的概念，知道正态曲线的解析式及曲线的特点。 2. 了解假设检验的基本思想并体会它的应用。 六、作业 课本P86习题2.4 1、2题 2.4.1正态分布 课前预习学案 一、预习目标 1． 通过实际问题，借助直观，认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义。 2． 通过实际问题，知道假设检验的思想。 二、预习内容 1.我们把函数 的图像称为正态分布密度曲线，简称 。 2．一般地，如果对于任何实数a b <，随机变量X 满足 ,则称随机变量 X 的分布为正态分布，记作 ，如果随机变量X 服从正态分布，则记为 。 3.正态曲线的特点： 4.在实际应用中，通常认为服从于正态分布2 N μσ（，）的随机变量X 只取 之间 的值，简称之为 。 三、提出疑惑 疑惑点 疑惑内容 一、 学习目标 1. 知道正态分布密度曲线、正态分布的概念。 2. 知道正态曲线的解析式及函数图像。 3. 通过图像知道正态曲线的特点。 4. 能在实际中体会3σ原则的应用。 二、学习重难点 学习重点：1.正态分布曲线的特点；2.正态分布曲线所表示的意义. 学习难点：正态分布在实际中的应用。 三、学习过程 （一）自主学习 大家预习课本P80页，并回答以下几个问题： 问题1.在投放小球之前，你能知道这个小球落在哪个球槽中吗？ 问题2.重复进行高尔顿板试验，随着试验次数的增加，掉入每个球槽中小球的个数代表什么？ 问题3.为了更好的研究小球分布情况，对各个球槽进行编号，以球槽的编号为横坐标，以小球落入各个球槽的频率值为纵坐标，你能画出它的频率分布直方图吗？ 问题4.随着试验次数的增加，这个频率直方图的形状会发生什么样的变化？ (二) 合作探究，得出概念 二、合作探究，得出概念 随着试验次数的增加，这个频率直方图的形状会越来越像一条钟形曲线. 这条曲线可以近似下列函数的图像： 22 ()2,(),(,),x x e x μσμσ?-- = ∈-∞+∞ 其中实数(0)μσσ>和为参数，我们称,()x μσ?的图像为正态分布密度曲线，简称正态曲线。 问题5.如果在高尔顿板的底部建立一个水平坐标轴，其刻度单位为球槽的宽度，X 表示一个随机变量，X 落在区间(,]a b 的概率为什么？其几何意义是什么？ 一般地，如果对于任何实数a b <，随机变量X 满足 ,( a P a b x dx μσ?≤=?） 则称X 的分布为正态分布，记作2 N μσ（，），如果随机变量X 服从正态分布，则记为 2X N μσ（，） 问题6.在现实生活中，什么样的分布服从或近似服从正态分布？ 问题7.结合()x μσ?，的解析式及概率的性质，你能说说正态分布曲线的特点吗？ 可以发现，正态曲线有以下特点： （1） 曲线位于x 轴上方，与x 轴不相交； （2） 曲线是单峰的，它关于直线x μ=对称； （3） 曲线在x μ=处达到峰值 2σπ ； （4） 曲线与x 轴之间的面积为1； （5） 当σ一定时，曲线随着μ德变化而沿x 轴平移； （6） 当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”,表示总体的分布越集 中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散。 若2X N μσ（，），则对于任何实数0,a >概率 ,( a P a a x dx μμσμμμ?+--≤+=? ） 对于固定的μ和a 而言，给面积随着σ的减少。这说明σ越小，X 落在区间 ,]a a μμ-+（的概率越小，即X 集中在μ周围概率越大. 特别有 可以看到，正态总体几乎总取值于区间(33)X μσμσ-<≤+之内。而在此区间以外取值的概率只有0.0026,通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生。 在实际应用中，通常认为服从于正态分布2 N μσ（，）的随机变量X 只取(3,3) μσμσ-+()0.6826,(22)0.9544,(33)0.9774. P X P X P X μσμσμσμσμσμσ-<≤+=-<≤+=-<≤+= 之间的值，简称之为3σ原则 三、典型例题 例2. 在某次数学考试中，考生的成绩ξ服从一个正态分布，即(90,100)N ξ 。 （3） 试求考试成绩ξ位于区间（70,110）上的概率是多少？ （4） 若这次考试共有2000名考生，试估计考试成绩在（80,100）间的考生大 约有多少人？ 解析：正态分布已经确定，则总体的期望μ和标准差σ就可以求出，这样就可以根据正态分布在三个常见的区间上取值的概率进行求解. 变式训练.已知一次考试共有60名同学参加，考生的成绩(110,25),X N 据此估计，大 约应有57人的分数在下列哪个区间内？（ ） .(90,110]A .(95,125]B .(100,125]C .(105,115]D 答案C 四、反馈测评 1． 给出下列三个正态总体的函数表达式，请找出其均值μ和标准差σ （１）),(,21)(2 2+∞-∞∈= - x e x f x π （２）),(,221 )(8 )1(2 +∞-∞∈= -- x e x f x π （３）2 2(1)(),(,)2x f x e x π -+=∈-∞+∞ 2.若随机变量(2,4)N ξ -,则ξ在区间(4,2]-上的取值的概率等于ξ在下列哪个区间上取 值的概率（ ） .(2,4]A .(0,2]B .(2,0]C - .(4,4]D - 3．若随机变量ξ服从正态分布(0,1)N ξ ， 则ξ在区间(3,3]-上取值的概率等于（ ） A.0.6826 B.0.9544 C.0.9974 D.0.3174 4.若一个正态总体落在区间(0.2,)+∞里的概率是0.5，那么相应的正态曲线f （x ） 在x= 时，达到最高点。 答案：1.(1)0，1；(2)1，2；(3)-1，0.5 2.C 3.C 4. 0.2 五、课堂小结 1. 了解正态曲线、正态分布的概念，知道正态曲线的解析式及曲线的特点。 2. 了解假设检验的基本思想并体会它的应用。 课后练习与提高 一、选择题 1.下列函数中，可以作为正态分布密度函数的是( ) (1)2 2.()2x A f x e π -- = (2)222 .()2x B f x e σπσ -- = ()222 .()2x C f x e μσπσ -- = 4 2 1.()2x D f x e ππ -= 2．函数4 2 1()2x f x e ππ -=，()x R ∈的奇偶性为（ ） A.奇函数 B.偶函数 C.非奇非偶函数 D.无法判断 3．若随机变量满足正态分布2 N μσ（，），则关于正态曲线性质的叙述正确的是（ ） A.σ越大，曲线越“矮胖”，σ越小，曲线越“瘦高”. B. σ越大，曲线越“瘦高”, σ越小，曲线越“矮胖” C. σ的大小，和曲线的“瘦高”，“矮胖”没有关系 D.曲线的“瘦高”，“矮胖”受到μ的影响 二、填空题 4.随机变量2X N μσ（，），其密度函数f （x ）的最大值是 5.工人制造机器零件，零件的尺寸服从分布X 4N （0，） ，则不属于(4,4)-这个尺寸范围的零件约占总数的 三、解答题 642π 态分布的密度函数的解析式. 1.A 2.B 3.A 4 2σπ 5.0.0046 6.解：由于该正态分布的概率密度函数是偶函数，所以其图像即正态曲线关于y 轴对称，记 μ=0。而正态密度函数的最大值是 2σπ，所以2σπ=42π ，所以σ=4，故该正态 分布的概率密度函数的解析式是322 ()42x f x π -=，()x R ∈ 小结与复习 【学习目标】 1 在对具体问题的分析中，理解取有限值的离散型随机变量及其分布列的概念，认识分布列对于刻画随机现象的重要性。 2 通过实例，理解超几何分布及其推到过程，并能进行简单的应用。 3 了解条件概率和两个事件相互独立的概念，理解n 次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际应用。 4 理解离散型随机变量的均值、方差的概念，能计算简单离散型随机变量得均值、方差，并能解决一些实际问题。 5 通过实际问题，借助直观模型，认识正态分布曲线的特点及表示的意义。 【知识结构】 随机变量 离散型随机变量 分布列 均值 方差 应用 两点分布 二项分布 条件概率 两事件独立 正态分布 正态分布密度曲线 3σ原则 应用 【达标练习】 一、选择题 1．给出下列四个命题： ①15秒内，通过某十字路口的汽车的数量是随机变量； ②在一段时间内，某侯车室内侯车的旅客人数是随机变量； ③一条河流每年的最大流量是随机变量； ④一个剧场共有三个出口，散场后某一出口退场的人数是随机变量．其中正确的个数是（） Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4 2．设离散型随机变量X的分布列为： 1 2 3 4 3．袋中有3个红球、2个白球,从中任取2个，用X表示取到白球的个数，则X的分布列为（） 4．某人忘记了一个电话号码的最后一个数字，只好任意去试拔，他第一次失败，第二次成功的概率是（） Ａ． 1 10 Ｂ． 2 10 Ｃ． 8 10 Ｄ． 9 10 5．甲、乙两人各进行一次射击，甲击中目标的概率是0.8，乙击中目标的概率是0.6，则两人都击中目标的概率是（） Ａ．1.4 Ｂ．0.9 Ｃ．0.6 Ｄ．0.48 6．某厂大量生产一种小零件，经抽样检验知道其次品率是1%，现把这种零件中6件装成一 盒，那么该盒中恰好含一件次品的概率是（ ） Ａ．2 99100?? ??? Ｂ．0.01 Ｃ．5 16 111100100dy C dx ?? - ??? · Ｄ．24 26 111100100C ??? ?- ? ????? · 7．设随机变量1~62X B ?? ??? ，，则(3)P X =等于（ ） Ａ．516 Ｂ．316 Ｃ．5 8 Ｄ．716 8．两台相互独立工作的电脑，产生故障的概率分别为a ，b ，则产生故障的电脑台数的均值为（ ） Ａ．ab Ｂ．a b + Ｃ．1ab - Ｄ．1a b -- 9．设1~24X N ? ?- ?? ?，，则X 落在(][)3.50.5---+， ，∞∞内的概率是（ ） Ａ．95.4% Ｂ．99.7% Ｃ．4.6% Ｄ．0.3% 10．正态分布2()N μσ，在下面几个区间内的取值概率依次为（ ） ①(]33μσμσ-+， ②(]22μσμσ-+， ③(]μσμσ-+， Ａ．①68.3% ②95.4% ③99.7% Ｂ．①99.7% ②95.4% ③68.3% Ｃ．①68.3% ②99.7% ③95.4% Ｄ．①95.4% ②68.3% ③99.7% 11节日期间，某种鲜花进货价是每束2.5元，销售价每束5元；节日卖不出去的鲜花以每束1.6元价格处理．根据前五年销售情况预测，节日期间这种鲜花的需求量X 服从如下表所示的分布： 2 0．20 0．35 0．30 0．15 若进这种鲜花500束，则利润的均值为（ ） Ａ．706元 Ｂ．690元 Ｃ．754元 Ｄ．720元 12．某市期末教学质量检测，甲、乙、丙三科考试成绩近似服从正态分布，则由如图曲线可得下列说法中正确的是（ ） Ａ．甲学科总体的方差最小 Ｂ．丙学科总体的均值最小 Ｃ．乙学科总体的方差及均值都居中 Ｄ．甲、乙、丙的总体的均值不相同 13．事件A B C ，，相互独立，若111()()()688 P A B P B C P A B C ===，，····，则()P B = ． 14．两台独立在两地工作的雷达，每台雷达发现飞行目标的概率分别为0.9和0.85，则恰有1台雷达发现飞行目标的概率为 ． 15．某灯泡厂生产大批灯泡，其次品率为1.5%，从中任意地陆续取出100个，则其中正品数X 的均值为 个，方差为 ． 16．设2~()X N μσ，，当x 在(]13，内取值的概率与在(]57，内取值的概率相等时，μ= ． 三、解答题 17．一批产品分一、二、三级，其中一级品的数量是二级品的两倍，三级品的数量是二级品的一半，从这批产品中随机抽取一个检查其品级，用随机变量描述检验的可能结果，写出它的分布列． 18．甲、乙两人独立地破译1个密码，他们能译出密码的概率分别为13和1 4 ，求 （1）恰有1人译出密码的概率； （2）若达到译出密码的概率为 99 100 ，至少需要多少乙这样的人． 19．生产工艺工程中产品的尺寸偏差2(mm)~(02)X N ， ，如果产品的尺寸与现实的尺寸偏差的绝对值不超过4mm 的为合格品，求生产5件产品的合格率不小于80%的概率． （精确到0.001）．20．甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相等，所出次品数分别为1X ，X ，且X 和X 的分布列为： 试比较两名工人谁的技术水平更高．21．张华同学上学途中必须经过A B C D ，，，四个交通岗，其中在A B ，岗遇到红灯的概率均为 12，在C D ，岗遇到红灯的概率均为1 3．假设他在4个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，X 表示他遇到红灯的次数． （1）若3x ≥，就会迟到，求张华不迟到的概率；（2）求EX ． 一、选择题 1Ｄ2Ｃ3Ｄ4Ａ5Ｄ 6Ｃ7Ａ8Ｂ9Ｄ10Ｂ11Ａ12Ａ 二、填空题 13 12 140.22 15 98.5，1.4775 16 4 三、解答题 17解：设二级品有2n 个，则一级品有4n 个，三级品有n 个．一级品占总数的44 427 n n n n =++， 二级品占总数的 22 427 n n n n =++，三级品占总数的17． 又设X k =表示取到的是k 级品(123)k =，，， 则4(1)7P X == ，2(2)7P X ==，1(3)7 P X ==， X ∴的分布列为： 1X 0 1 2 P 610 110 310 2X 0 1 2 P 510 310 210 3 18解：设“甲译出密码”为事件A ；“乙译出密码”为事件B ， 则11()()34 P A P B ==，． （1）13215 ()()343412P P A B P A B =+=?+?=··． （2）n 个乙这样的人都译不出密码的概率为114n ?? - ???． 199114100n ?? -- ??? ∴≥．解得17n ≥． 达到译出密码的概率为99 100 ，至少需要17人. 20解：16130120.7101010EX =? +?+?=∵，2532 0120.7101010 EX =?+?+?=． 12EX EX =∴，说明两人出的次品数相同，可以认为他们技术水平相当. 又2221613 (00.7)(10.7)(20.7)0.81101010 DX =-? +-?+-?=∵， 2222532 (00.7)(10.7)(20.7)0.61101010 DX =-? +-?+-?=． 12DX DX >∴，∴工人乙的技术比较稳定. ∴可以认为工人乙的技术水平更高. 21解：（1）2 2 2 112 2 111121(3)232336 P X C C ??????==+= ? ? ???????·····； 22 111(4)2336P X ???? === ? ????? ·． 故张华不迟到的概率为29 (2)1(3)(4)36P X P X P X =-=-==≤． （2）X 的分布列为 1113115 0123493366363 EX =?+?+?+?+?=∴. 二项分布(2) 【教学目标】 巩固二项分布概型的求法；提高分析问题和解决问题的能力 【自主学习】 1 . 一批玉米种子，其发芽率是0.8.若每穴种3粒，则恰好两粒发芽的概率 为_______________ . 2.某人参加一次考试,若5道题中解对4道则为及格,已知他解一道题的正确率为0.6,他 能及格 的概率为 ________________ . 3.有10门炮同时向目标各发一枚炮弹，如果每门炮的命中率都是0.1，则目标被击中的概 率 为 _____________ . 【展示点拨】 例1?某次乒乓球比赛的决赛在甲、乙两名选手之间举行，比赛采用五局三胜制，按以往比 2 赛经验，甲胜乙的概率为-. 3 (1)求比赛三局甲获胜的概率； (2 )求甲获胜的概率. (3)设甲比赛的局数为X，求X的概率分布. 体验成功：若采用7 局4 胜制比赛，先胜四局者为胜，求甲获胜的概 例2．某射手每次射击击中目标的概率是0.6 ，且各次射击的结果互不影响． （1）求他在3 次射击中，至少有 2 次连续击中目标的概率； （2）求他第3 次击中目标时，恰好射击了 4 次的概率． 例3．甲投篮的命中率为0.8 , 乙投篮的命中率为0.7 , 每人各投篮 3 次, 求下列事件的概率： （1）甲恰好投中2 次； （2）恰好每人都投中 2 次； （3）求乙恰好比甲多投中 2 次的概率； （4）求甲、乙两人共投中 5 次的概率． 例4 ?设某保险公司吸收10000人参加人身意外保险，该公司规定：每人每年付给公司 元，若意外死亡，公司将赔偿10000元?如果已知每人每年意外死亡的概率为0.006， (1)该公司会赔本吗？ (2 )求该公司盈利额不少于400000元的概率. 【学以致用】 1.在100件产品中有4件次品. ①从中抽2件，则2件都是次品概率为；120 问： 2.4.1正态分布 【教学目标】 了解正态分布的意义，掌握正态分布曲线的主要性质及正态分布的简单应用。 了解假设检验的基本思想，会用质量控制图对产品的质量进行检测，对生产过程进行控制。 【教学重难点】 教学重点：1.正态分布曲线的特点； 2.正态分布曲线所表示的意义. 教学难点：1.在实际中什么样的随机变量服从正态分布； 2．正态分布曲线所表示的意义. 【教学过程】 设置情境，引入新课 这是一块高尔顿板，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落的过程中与层层小木块碰撞，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内。 问题1.在投放小球之前，你能知道这个小球落在哪个球槽中吗？ 问题2.重复进行高尔顿板试验，随着试验次数的增加，掉入每个球槽中小球的个数代表什么？ 问题3.为了更好的研究小球分布情况，对各个球槽进行编号，以球槽的编号为横坐标，以小球落入各个球槽的频率值为纵坐标，你能画出它的频率分布直方图吗？ 问题4.随着试验次数的增加，这个频率直方图的形状会发生什么样的变化？ 二、合作探究，得出概念 随着试验次数的增加，这个频率直方图的形状会越来越像一条钟形曲线 . 这条曲线可以近似下列函数的图像： 22 ()2,(),(,), 2x x e x μσμσ?πσ-- =∈-∞+∞ 其中实数(0)μσσ>和为参数，我们称,() x μσ?的图像为正态分布密度曲线，简称正态曲线。 问题5.如果在高尔顿板的底部建立一个水平坐标轴，其刻度单位为球槽的宽度，X 表示一个 随机变量，X 落在区间(,]a b 的概率为什么？其几何意义是什么？ 一般地，如果对于任何实数a b <，随机变量X 满足 ,( 高考数学总复习 正态分布教案 教学目标：掌握正态分布在实际生活中的意义和作用 ，结合正态曲线，加深对正态密度函数的理理，通过正态分布的图形特征，归纳正态曲线的性质 教学重点：正态分布曲线的性质。 教学难点：通过正态分布的图形特征，归纳正态曲线的性质。 教学过程：一，复习引入： 总体密度曲线:样本容量越大，所分组数越多，各组的频率就越接近于总体在相应各组取值的概率．设想样本容量无限增大，分组的组距无限缩小，那么频率分布直方图就会无限接近于一条光滑曲线,这条曲线叫做总体密度曲线． 它反映了总体在各个范围内取值的概率．根据这条曲线，可求出总体在区间(a ，b )内取值的概率等于总 体密度曲线，直线x =a ，x =b 及x 轴所围图形的面积． 二，新知学习：1，观察总体密度曲线的形状，它具有“两头低，中间高，左右对称”的特征，具有这种特征的总体密度曲线一般可用下面函数的图象来表示或近似表示： ， 式中的实数μ、)0(>σσ是参数，分别表示总体的平均数与标准差，,()x μσ?的图象为正态分布密度曲线,简称 ． 2，一般地，如果对于任何实数a b <，随机变量X 满足 ， 则称 X 的分布为正态分布．正态分布完全由参数μ和σ确定，因此正态分布常记作 ．如果随机变量 X 服从正态分布，则记为 . 说明:1参数μ是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本均值去佑计；σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本标准差去估计．正态分布),(2σμN ）是由均值μ和标准差σ唯一决定的分布 3．正态曲线的性质： （1） （2） （3） （4） 。 当x ＜μ时，曲线上升（增函数）；当x ＞μ时，曲线下降（减函数） 并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x 轴为渐近线，向它无限靠近 （5） 。 （6） ， 。 讲解范例：例1．给出下列三个正态总体的函数表达式，请找出其均值μ和标准差σ （１）),(,21 )(22+∞-∞∈=-x e x f x π （２）),(,221)(8)1(2 +∞-∞∈=--x e x f x π （３）22(1)(),(,) x f x x -+=∈-∞+∞ 74页练习1,3 75页A 组2 二项分布教学设计 教材分析：相互独立事件、独立重复试验的概率及条件概率是高考重点考察的内容，在解答题中常和分布列的有关知识结合在一起考察，属中档题目。条件概率和相互独立事件的两个概念的引入，是为了更深刻的理解独立重复试验及二项分布模型。 学情分析：在此之前学生已复习了互斥事件，对立事件，分布列，两点分布，超几何分布等知识，因此在学习过程中应充分调动学生的积极性，通过学生自身的探究学习、互相合作，还有教师的适当引导才能发现二项分布的特点。此外还要让学生加强学二项分布与前面知识的区别与联系，构建知识网络。 教学目标： 知识与技能： 理解n次独立重复试验的模型； 理解二项分布的概念； 能利用n次独立重复试验的模型及二项分布解决相应的实际问题。 过程与方法： 通过主动探究、自主合作、相互交流，从具体事例中归纳出数学概念，使学生充分体会知识的发现过程，并渗透由特殊到一般，由具体到抽象的数学思想方法;在具体问题的解决过程中，领会二项分布需要满足的条件，培养运用概率模型解决实际问题的能力。 情感态度与价值观： 在利用二项分布解决简单的实际问题过程中，深化对某些随机现象的认识，进一步体会数学在日常生活中的广泛运用。 使学生体会数学的理性与严谨，了解数学来源于实际，应用于实际的唯物主义思想，培养学生对新知识的科学态度，勇于探索和敢于创新的精神。 教学重点、难点： 教学重点：理解n次独立重复试验（n重伯努利试验）； 理解二项分布的概念； 应用二项分布模型解决一些简单的实际问题。 教学难点：二项分布模型的构建； 应用二项分布模型解决一些简单的实际问题。 教学方法：由学生熟悉的硬币试验，和姚明投篮的故事引入，激起学生的兴趣。探究过程由学生合作来完成。在知识运用环节，模拟摸奖活动，由中奖学生选题做题，以检验学习效果。 教学过程： 〖创设情境〗： 情境1：在相同条件下，抛硬币3次，研究正面朝上的次数. 情境2：姚明作为中锋，职业生涯中投篮命中率为0.8，现假设投篮4次且每次命中率相同.研究投中次数. 问题1：如果将抛一次硬币看成做了一次试验，那么一共进行了多少次试验？试验间是否独立？每次试验有几个可能的结果？每次正面朝上的概率为多少？ _2.4正态分布 [对应学生用书P39] 1．正态曲线 正态变量概率密度曲线的函数表达式为f(x)＝ 1 2π·σ 2 2 e 2 xμ σ () － － ，x∈R，其中参数μ为正 态分布变量的数学期望，μ∈(－∞，＋∞)；σ为正态分布变量的标准差，σ∈(0，＋∞)．正态变量的概率密度函数(即f(x))的图象叫做正态曲线． 期望为μ，标准差为σ的正态分布通常记作N(μ，σ2)，μ＝0，σ＝1的正态分布叫标准正态分布． 2．正态曲线的性质 (1)曲线在x轴的上方，并且关于直线x＝μ对称； (2)曲线在x＝μ时处于最高点，并由此处向左右两边延伸时，曲线逐渐降低，呈现“中间高，两边低”的形状； (3)曲线的形状由参数σ确定，σ越大，曲线“矮胖”；σ越小，曲线越“高瘦”． 3．正态分布的3σ原则 P(μ－σ＜X＜μ＋σ)＝68.3%； P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)＝95.4%； P(μ－3σ＜X＜μ＋2σ)＝99.7%. 可知正态变量的取值几乎都在距x＝μ三倍标准差之内，这就是正态分布的3σ原则． 1．正态分布密度函数及正态曲线完全由变量μ和σ确定．参数μ是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本的均值去估计；σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本的标准差去估计． 2．对于正态曲线的性质，应结合正态曲线的特点去理解、记忆． [对应学生用书P40] [例1] 析式，求出总体随机变量的期望和方差． [思路点拨] 给出了一个正态曲线，就给出了该曲线的对称轴和最大值，从而就能求出总体随机变量的期望、标准差及解析式． [精解详析] 从给出的正态曲线可知，该正态曲线关于直线x ＝20对称，最大值是1 2π， 所以μ＝20. 由 12π·σ＝1 2π ，得σ＝ 2. 于是概率密度函数的解析式是 f (x )＝ 12π · e x 2204 ()－－ ，x ∈(－∞，＋∞)， 总体随机变量的期望是μ＝20，方差是σ2＝(2)2＝2. [一点通] 利用正态曲线的性质可以求参数μ，σ，具体方法如下： (1)正态曲线是单峰的，它关于直线x ＝μ对称，由此性质结合图象求μ. (2)正态曲线在x ＝μ处达到峰值，由此性质结合图象可求σ. 1．设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数f (x )的图象，且f (x )＝ 18πe x 2 108 ()－－ ，则 这个正态总体的均值与标准差分别是( ) A ．10与8 B ．10与2 C ．8与10 D ．2与10 解析：由正态曲线f (x )＝ 12πσ x 22 e 2()σ－－ μ知， ? ???? 2πσ＝8π，μ＝10，即μ＝10，σ＝2. 答案：B 2．如图是正态分布N (μ，σ21)，N (μ，σ22)，N (μ，σ23)(σ1，σ2，σ3>0)相应的曲线，那么σ1， σ2，σ3的大小关系是( ) 普通高中课程标准实验教科书g 数学（人教A 版）选修 2-3 2.4 正态分布 设计教师：高二数学组 一、教学目标及其解析 （一）教学目标： 1.通过正态曲线的图象认识正态曲线，通过正态曲线了解正态分布． 2．了解正态曲线的基本特点． 3．了解正态曲线随着参数μ和σ变化而变化的特点．了解正态分布的3σ原则． （二）解析： 正态分布在统计中是很常见的分布，它能刻画很多随机现象。从生活实践入手，描绘频率直方图，进而理解正态曲线，结合定积分的有关知识理解其概率分布列，结合图象认识参数μ，σ的几何意义．提高学生用数学知识分析现实问题的能力．善于从复杂多变的现象中发现问题的实质，提高识别能力. 二、教学重难点解析 （一）重点、难点： 重点：了解正态曲线随着参数μ和σ变化而变化的特点．了解正态分布的3σ原则． 难点：通过正态曲线的图象认识正态曲线，通过正态曲线了解正态分布． （二）解析：正态分布密度函数的推导是十分困难的，一般教科书采用直接给出正态分布密度函数表达式的方法，这使学生在很长一段时间是不理解正态分布的实际含义。可以通过直观方法引入正态分布密度曲线，也可以用样本平均值和样本标准差来估计，正态曲线的特点包括图像与坐标轴之间的关系，单峰性，对称性，峰值的位置环境等。 三、教学过程设计 问题1.什么是正态曲线？ 问题2.什么是正态分布?正态分布又有哪些特点？ 例1.如图是一个正态曲线，试根据该图象写出其正态分布的概率密度函数的解析式，求出总体随机总量的均值和方差． [解] 从正态曲线可知，该正态曲线关于直线x ＝20对称，最大值为1 2π ，所以μ＝20， 12πσ＝12π ， ∴σ＝ 2. 于是φμ，σ(x )＝12π·e － (x －20) 2 4 ，x ∈(－∞，＋∞)，总体随机变量的期望是μ＝20，方差是σ2 ＝(2)2＝2. 方法归纳 本题主要考查正态曲线的图象及性质特点，其具有两大明显特征：1.对称轴方程x ＝μ； 2.最值1 σ2π .这两点把握好了，参数μ，σ便确定了，代入φμ，σ(x )中便可求出相应的解析式． 正态分布 教学目的：1．了解正态分布的意义。 2．能借助正态曲线的图象理解正态曲线的性质。 3．了解正态总体N(μ，σ2)转化为标准正态总体N(0,1)的等式 ? ? ? ? ? σ μ - Φ = x )x(F 及其应用。 教学重点：1.正态分布曲线的性质、标准正态曲线N(0，1)。 2.正态总体N(μ，σ2)转化为标准正态总体N(0,1)的等式 ? ? ? ? ? σ μ - Φ = x )x(F 及其应用。 教学难点：1.抽象函数Φ(x0)=p(x 《2.2.3独立重复实验与二项分布》教学案学习目标： 1、理解n次独立重复试验的模型及二项分布，明确它的实际意义； 2、能应用“n次独立重复试验中某事件恰好发生k次”的概率公式解决一些简单的实际问题； 教学重点： 理解n次独立重复试验的模型及二项分布，并能解答一些简单的实际问题 教学难点： 能进行一些与n次独立重复试验的模型及二项分布有关的概率的计算 教学过程： 一、知识回顾 1、相互独立事件： 2、两个独立事件同时发生的概率： P(AB)= 3、多个独立事件同时发生的概率： P(ABC…)= 二、知识建构： 1．“n次独立重复试验”是指(满足两个条件)： (1) (2) 2．掷一枚图钉，针尖向上的概率为0.6，则针尖向下的概率为，第1次、第2次、第3次…第n次针尖向上的概率是，连续掷3次，恰有1次针尖向上的概率是多少？ 分解问题： 问题a：3次中恰有1次针尖向上，有几种情况？ 问题b：它们的概率分别是多少？ 问题c：3次中恰有1次针尖向上的概率是多少？ 引申推广：连续掷n次，恰有k次针尖向上的概率是多少？ 3.定义：在n次独立重复试验中，事件A发生的次数为X，在每次试验中事件A发生的概率为P，那么在在n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率是： (K= ) 此时称随机变量X服从二项分布，记作 .并称P为成功概率. 注： (1)n，p，k分别表示什么？ (2)这个公式和前面学习的哪部分内容有类似之处？ 三、自我反馈： 1．某射手射击1次，击中目标的概率是0.9，他连续射击4次，且各次射击是否击中没有影响，则他第二次没有击中，其它3次都击中的概率是；4次射击中仅有一次没有击中的概率是 . 2．甲投篮的命中率为0.8，乙投篮的命中率为0.7，每人各投3次，两人恰好都投中2次的概率为 . 3．将一枚硬币连续抛掷5次，正面向上的次数X的分布列为： 例1：某射手每次射击击中目标的概率是0.8 .求这名射手在5次射击中， (0．83=0.512，0．84=0.41，0．85=0.328) (1)恰有5次击中目标的概率； (2)至少有3次击中目标的概率； (3)射中目标的次数X的分布列. (4)要保证击中目标概率大于0.99，至少应射击多少次？(结果保留两个有效数字) 五、课堂小结 1. 本节课你学到了 2．独立重复试验的特征： 3．n次试验事件A发生k次的概率为计算公式是： 六、课堂检测 1．从次品率为0.05的一批产品中抽取4件，恰好有2件次品的概率为 2．一名篮球运动员投篮命中率为60%，在一次决赛中投10个球，则投中的球数不少于9个的概率为 . 3．为了测试甲、乙两名篮球运动员投定位球的水平，在罚球线上让他们各投篮10次，甲投中7次，乙投中6次，如果让甲、乙依照各自的水平再投篮3次，求： (1)甲运动员恰好投中2次的概率是什么？ (2)两名运动员都恰好投中2次的概率是多少？(结果保留两个有效数字) §2.4 正态分布 1．了解正态曲线的形状； 2．会求服从正态分布的随机变量X 的概率分布． 一、课前准备 （预习教材P 80~ P 86，找出疑惑之处） 复习1：函数22 21 )(x e x f -=π的定义域是 ；它是 （奇或偶）函数； 当=x 时，函数有最 值，是 ． 复习2：已知抛物线322++-=x x y ，则其对称轴为 ；该曲线与直线1=x ，2=x ，x 轴所围的成的图形的面积是？ 二、新课导学 ※ 学习探究 探究： 1．一所学校同年级的同学的身高，特别高的同学比较少，特别矮的同学也不多，大都集中在某个高度左右； 2．某种电子产品的使用寿命也都接近某一个数，使用期过长，或过短的产品相对较少． 生活中这样的现象很多，是否可以用数学模型来刻划呢？ 新知1：正态曲线： 函数22 2)(,21 )(σμσμσπ?--=x e x ，),(+∞-∞∈x ，（其中实数μ和σ)0(>σ为参数）的图象为正态 分布密度曲线，简称正态曲线． 试试：下列函数是正态密度函数的是（ ） A ．222)(21 )(σμπσ-=x e x f ，)0(,>σσμ是实数 B ．2222)(x e x f -= ππ C ．4)1(2221 )(--=x e x f π D ．2 2 21 )(x e x f π= 新知2：正态分布： 如果对于任何实数b a <，随机变量X 满足，)(b X a P ≤<= ， 则称X 的分布为正态分布．记作：X ～N （ ）． 新知3：正态曲线的特点： （1）曲线位于x 轴 ，与x 轴 ； （2）曲线是单峰的，它关于直线 对称； （3）曲线在 处达到峰值 ； （4）曲线与x 轴之间的面积为 ． 新知4：正态曲线随着μ和σ的变化情况： ①当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x 轴 ； ②当μ一定时，曲线的 由σ确定． σ越小，曲线越“ ”，表示总体的分布越 ；σ越大，曲线越“ ”，表示总体的分布越 ． 试试：把一个正态曲线a 沿着横轴方向向右移动2个单位，得到新的一条曲线b ，下列说法中不正确的是（ ）． A ．曲线b 仍然是正态曲线 B ．曲线a 和曲线b 的最高点的纵坐标相等 C ．以曲线b 为概率密度曲线的总体的期望比以曲线a 为概率密度曲线的总体的期望大2 D ．以曲线b 为概率密度曲线的总体的方差比以曲线a 为概率密度曲线的总体的方差大2 正态分布教学设计 刘一（湖北省沙市中学） 一、教学目标分析 结合课程标准的要求，学生的实际情况，本节课的教学目标如下： 知识与技能目标： （1）学习正态分布密度函数解析式； （2）认识正态曲线的特点及其表示的意义； 过程与方法目标： （1）设置课前自主学习学案，使学生在课前自学； （2）课堂采用小组合作探究，提高课堂效率； （3）课后设置课后查阅要求，将课堂学习延伸至课外学习。 情感、态度与价值观： （1）以情境引入，以实验作载体，激发学生的学习兴趣，调动学生的学习热情； （2）运用讨论探究形式，增强学生的合作意识。 二、教学内容解析 正态分布是人教A版选修2-3第二章第四节的内容，该内容共一课时。之前，学生已经学习了频率分布直方图、离散型随机变量等相关知识，这为本节课学习奠定了基础，而正态分布研究是连续型随机变量，既是对前面内容的补充、拓展，又为学生初步应用正态分布知识解决实际问题提供了理论依据。 三、教学问题诊断 学生已在必修三中学习过频率分布直方图、总体密度曲线，但间隔时间较长，有些遗忘，可能会影响课堂进度。正态曲线的特征较多，证明也较为复杂，如果等到课堂上才开始思考，必定影响课堂容量。本班学生为理科名校班，学生能力较强，要给学生发挥主观能动性的空间。 教学重点： （1）正态分布密度函数解析式； （2）正态曲线的特点及其所表示的意义。 教学难点： 正态曲线的特点 四、教学对策分析 通过两个概念复习题，让学生熟悉本节课需要用到的知识。设计了很多学生发言的环节，让学生充分的展现自己的能力。为完成教学任务，教师需要在课前为学生提供学案，课堂中引导学生，掌控学习进度。 五、教学基本流程 课前自主学习情境引入高尔顿板实验总体密度曲 正态分布教学设计 正态分布教学设计 刘一（湖北省沙市中学） 一、教学目标分析 结合课程标准的要求，学生的实际情况，本节课的教学目标如下： 知识与技能目标： （1）学习正态分布密度函数解析式； （2）认识正态曲线的特点及其表示的意义； 过程与方法目标： （1）设置课前自主学习学案，使学生在课前自学； （2）课堂采用小组合作探究，提高课堂效率；（3）课后设置课后查阅要求，将课堂学习延伸至课外学习。 情感、态度与价值观： （1）以情境引入，以实验作载体，激发学生的学习兴趣，调动学生的学习热情； （2）运用讨论探究形式，增强学生的合作意识。 二、教学内容解析 正态分布是人教A版选修2-3第二章第四节的 内容，该内容共一课时。之前，学生已经学习了频率分布直方图、离散型随机变量等相关知识，这为本节课学习奠定了基础，而正态分布研究是连续型随机变量，既是对前面内容的补充、拓展，又为学生初步应用正态分布知识解决实际问题提供了理论依据。 三、教学问题诊断 学生已在必修三中学习过频率分布直方图、总体密度曲线，但间隔时间较长，有些遗忘，可能会影响课堂进度。正态曲线的特征较多，证明也较为复杂，如果等到课堂上才开始思考，必定影响课堂容量。本班学生为理科名校班，学生能力较强，要给学生发挥主观能动性的空间。 教学重点： （1）正态分布密度函数解析式； （2）正态曲线的特点及其所表示的意义。 教学难点： 正态曲线的特点 四、教学对策分析 通过两个概念复习题，让学生熟悉本节课需 要用到的知识。设计了很多学生发言的环节，让学生充分的展现自己的能力。为完成教学任务，教师需要在课前为学生提供学案，课堂中引导学生，掌控学习进度。 五、教学基本流程 课前自主学习情境引入高尔顿板实验总体密度曲线 正态曲线与函数课堂练习正 态分布正态曲线特点课堂检测条件及举例课堂小结课 后查阅 六、教学过程设计 （1）课前自主学习： 1.频率分布直方图用什么表示频率？ 2.由频率分布直方图得到总体密度曲线的过程是：首先绘制样本的频率分布折线图，然后随着的无限增加，作图时的减小、的增加，频率分布折线图越来越接近一条光滑曲线，这条曲线就是曲线。 讲解：请第一小组的同学展示课前自主学习的成 教学设计 《独立重复试验与二项分布》城关中学董萍娟 独立重复试验与二项分布 一、教学内容分析: 本节内容是新教材选修2-3第二章《概率》的第4节《二项分布》的第2节。通过前面的学习，学生已经学习掌握了有关概率和统计的基础知识：等可能事件概率、互斥事件概率、条件概率、相互独立事件概率的求法以及二项分布的概念及特点。二项分布是继超几何分布后的又一应用广泛的概率模型，而超几何分布在产品数量n相当大时可以近似的看成二项分布。在自然现象和社会现象中，大量的随机变量都服从或近似的的服从二项分布，实际应用广泛，理论上也非常重要。可以说本节内容是对前面所学知识的综合应用，是一种模型的构建。是从实际入手，通过抽象思维，建立数学模型，进而认知数学理论，应用于实际的过程。会对今后数学及相关学科的学习产生深远的影响。 二、学生学习情况分析： （1）学生已经熟练掌握简单的概率的求法。 （2）学生的知识经验较为丰富，具备较强的抽象思维能力和演绎推理能力。 （3）学生思维灵活，积极性高，已经初步形成对数学问题的合作探究能力。 三、设计思想 本节课的设计遵循从一般到特殊，从具体到抽象的原则，适当运用多媒体辅助教学手段，通过类比推理让学生在观察分析、自主探索、合作交流的过程中，发现两点分布与二项分布以及超几何分布与二项分布的区别和联系，养成积极主动、勇于探索、自主学习的学习方式，提高学生的数学逻辑和抽象思维能力。 四、教学目标 高中数学新教学大纲明确指出本节课需达到的知识目标：在了解条件概率和相互独立事件概念的前提下，理解n次独立重复试验的模型及二项分布，并能准确的判断概率模型，培养学生的自主学习能力、数学建模能力和应用数学知识解决实际问题的能力。通过主动探究、合作学习、相互交流，感受探索的乐趣与成功的喜悦，体会数学的理性与严谨，养成实事求是的科学态度和契而不舍的钻研精神。 五、教学重点与难点 教学难点: 二项分布模型的构建。 教学难点：二项分布与超几何分布、两点分布的区别和联系。 六、教学过程设计 （一）知识准备、新课引入 （1）n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每次试验中事件A发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为： ,2,1,0 k, =则称随机变量X服从二项分布． (k ) X P== ，n 主备人： 审核： 包科领导： 年级组长： 使用时间： 正态分布 【学习目标】 1、了解正态曲线的形状； 2、会求服从正态分布的随机变量X 的概率分布 【重点、难点】 会求服从正态分布的随机变量X 的概率分布 【使用说明与学法指导】 1、根据学习目标，自学课本内容，限时独立完成导学案； 2、用红笔勾画出疑难点，提交小组讨论； 3、带※ 为选做题; 【自主探究】 1、正态曲线： 函数22 2) (,21)(σμσμσ π?--=x e x ，),(+∞-∞∈x ，（其中实数μ和σ)0(>σ为参数）的图 象称为正态分布密度曲线，简称正态曲线． 2、正态分布： 如果对于任何实数b a <，随机变量X 满足， )(b X a P ≤<= ， 则称X 的分布为正态分布． 记作：X ～N （ ）． 3、正态曲线的特点： （1）曲线位于x 轴 ，与x 轴 ； （2）曲线是单峰的，它关于直线 对称； （3）曲线在 处达到峰值 ； （4）曲线与x 轴之间的面积为 ． 4、正态曲线随着μ和σ的变化情况： ①当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x 轴 ； ②当μ一定时，曲线的 由σ确定． σ越小，曲线越“ ”，表示总体的分布越 ；σ越大，曲线越“ ”，表示总体的分布越 ． 5、正态分布中的三个概率： =+≤<-)(σμσμX P ； =+≤<-)22(σμσμX P ； =+≤<-)33(σμσμX P ． 【合作探究】 1、若一个正态分布的概率密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值等于 π241，求该正 态分布的概率密度函数的解析式． 2、某地区数学考试的成绩X 服从正态分布，其密度函数曲线图形最高点坐标（π281,60）， 成绩X 位于区间(]68,52的概率是多少？ 3、在某次数学考试中，考生的成绩ξ服从一个正态分布，即ξ～)100,90(N ． （1）试求考试成绩ξ位于区间（70，110）上的概率是多少？ （2）若这次考试共有 2000名考生，试估计考试成绩在（80，100）间的考生大约有多少人？ 4、商场经营的某种包装的大米质量服从正态分布)1.0,10(2N （单位：kg ）任选一袋这种大米，质量在9.8～10.2kg 的概率是多少？ 【巩固提高】 1.若2) 1(221 )(--=x e x f π，则下列正确的是（ ）． A ．有最大值、最小值 B ．有最大值，无最小值 C ．无最大值，有最小值 D ．无最大值、最小值 2．设随机变量ξ～)4,2(N ，则)21 (ξD = ( ) ． A ．1 B ．2 C ． 21 D ． 4 3．若随机变量满足正态分布),(2σμN ，则关于正态曲线性质的叙述正确的是（ ）． A ．σ越大，曲线越“矮胖”，σ越小，曲线越“高瘦” B ．σ越小，曲线越“矮胖”，σ越大，曲线越“高瘦” C ．σ的大小，和曲线的“高瘦”、“矮胖”没有关系 D ．曲线的“高瘦”、“矮胖”受到μ的影响 4．期望是2，标准差为π2的正态分布密度函数的解析式是 ． 5．若随机变量X ～)2,5(2 N ，则 =≤<)73(X P ． 课堂小结————————————————————————————————— 2.4 正态分布教学设计 乾安七中数学组杨文波 2014－5－29 一、教学目标 1. 知识目标：理解并掌握（标准）正态分布和正态曲线的概念、意义及性质，并能简单应 用。 2. 能力目标：能用正态分布、正态曲线研究有关随机变量分布的规律，引导学生通过观察 并探究规律，提高分析问题，解决问题的能力；培养学生数形结合，函数与 方程等数学思想方法。 3. 情感目标：通过教学中一系列的探究过程使学生体验发现的快乐，形成积极的情感，培 养学生的进取意识和科学精神。 二、教学重点、难点： 重点：正态分布的概念、正态曲线的性质和标准正态分布的一些简单计算。 难点：正态分布的意义和性质。 三、教学设想 【一】导入新课 1、问题引入：在2007年的高考中，某省全体考生的高考平均成绩是490分，标准差是80，计划本科录取率为0.4 ，则本科录取分数线可能划在多少分？ 2、回顾样本的频率分布与总体分布之间的关系． 前面我们研究了离散新随机变量，他们只取有限个或可列个值，我们用分布列来描述总体的统计规律；而许多随机现象中出现的一些变量，如上节课研究的某产品的尺寸，它的取值是可以充满整个区间或者区域的，总体分布通常不易知道，我们是用什么去估计总体分布的呢？----用样本的频率分布(即频率分布直方图)去估计总体分布． 回头看上一节得出的100个产品尺寸的频率分布直方图，发现：横坐标是产品的尺寸；纵坐标是频率与组距的比值，什么才是在各组取值的频率呢？---直方图的面积。设想：当样本容量无限增大，分组的组距无限的缩小时，这个频率直方图无限接近于一条光滑的曲线-----总体密度曲线。它能够很好的反映了总体在各个范围内取值的概率。由概率的性质可以知道（1）整条曲线与x轴所夹的总面积应该是？---1（2）总体在任何一个区间内取值的概率等于这个范围内面积 下面，同学们一起观察一下总体密度曲线的形状，看它具有什么特征？ “中间高，两头低，左右对称”的特征。像具有这种特征的总体密度曲线一般就是或者近似的是以下函数的图像。（板书函数、标题）：【二】正态分布 (1)正态总体的函数解析式、正态分布与正态曲线 产品尺寸的总体密度曲线具有“中间高，两头低”的特征，像这种类型的总体密度曲线，一般就是或近似地是以下一个函数的图象：(板书) 2.4正态分布（1） 教材分析 正态分布在概率统计学中是一种很重要的分布.一般说来，若影响某一数量指标的随机因素很多，而 每个因素所起的作用都不太大，则这个指标服从正态分布.我们知道，离散型随机变量最多取可列个不同 值，它等于某一特定实数的概率可能大于0，人们感兴趣的是它取某些特定值的概率，即感兴趣的是其分 布列；连续型随机变量可能取某个区间上的任何值，它等于任何一个实数的概率都为0，所以通常感兴趣 的是它落在某个区间的概率.离散型随机变量的概率分布规律用分布列描述，而连续型随机变量的概率分布规律用密度函数（曲线）描述.要求同学们学会从离散到连续用函数的观点解决问题 课时分配 本节内容用2课时的时间完成，第一课时主要讲解正态分布的图形特征，归纳正态曲线的性质.3 原则 放在了第二课时? 教学目标 重点：正态分布曲线的特点及其所表示的意义 难点：了解在实际中什么样的随机变量服从正态分布，并掌握正态分布曲线所表示的意义. 知识点：通过正态分布的图形特征，归纳正态曲线的性质 能力点：结合正态曲线，加深对正态密度函数的理解 教育点：通过教学中一系列的探究过程使学生体验发现的快乐，形成积极的情感，培养学生的进取意识 和科学精神? 自主探究点：讲授法与引导发现法. 通过教师先讲，师生再共同探究的方式，让学生深刻理解相关概念，领会数形结合的数学思想方法，体会数学知识的形成? 考试点：通过正态分布的图形特征，归纳正态曲线的性质 易错易混点：求系数最大项时的约分化简? 拓展点：引导发现法? 教具准备电子白板，多媒体，高尔顿试验板 课堂模式学案导学 一、创设情境 学生上台演示高尔顿板试验. 模拟高尔顿板试验截图师生活动：创设情境，为导入新知做准备?学生感悟体验，对试验的结果进行定向思考?学生经过观察小球在槽中的堆积形状发现：下落的小球在槽中的分布是有规律的. 【设计意图】让学生演示试验，能提高学生的学习积极性，提高学习数学的兴趣?让学生体验“正态分布 超几何分布与二项分布 学习目标： 1、掌握超几何分布和二项分布的概念； 2、通过典例，学生能运用核心文字提取的方法准确破解超几何分布和二项分布； 3、熟记两种分布的期望公式，理解它们之间的关系。 学习重点：超几何分布和二项分布的区别。 学习难点：超几何分布和二项分布的数学期望之间的关系。 一．知识梳理 1.超几何分布 一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则事件?X=k?发生的概率为：P(X=k)= ,k= 0,1,2,3,??,m；其中，m = min?M,n?,且n≤N , M≤ N 2.二项分布 在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X,在每次试验中，事件A发生的概率为P,那么在n次独立重复试中，事件A恰好发生k次的概率为： P(X=k)= (k=0,1,2,3,?,n),此时称随机变量X服从二项分布. 记作： 3.“二项分布”与“超几何分布”所满足的条件 (1)“二项分布”所满足的条件 每次试验中，事件发生的概率是的；是一种抽样. 各次试验中的事件是；●每次试验只有两种结果，事件要么，要么；?随机变量是这n次独立重复试验中事件发生的 . (2)“超几何分布”的本质：在每次试验中某一事件发生的概率，是抽样， 二．典例分析（小组交流、展示结果） 例1：袋中有8个白球、2个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球．求： （1）有放回抽样时，取到黑球的个数Ｘ的分布列； （2）不放回抽样时，取到黑球的个数Ｙ的分布列． 例2、某地区对12岁儿童瞬时记忆能力进行调查,瞬时记忆能力包括听觉记忆能力与视觉记忆能力.某班学生共有40人,下表为该班学生瞬时记忆能力的调查结果.例如表中听觉记忆能力为中等,且视觉记忆能力偏高的学生为3人. 2．6 正态分布 3．掌握运用正态分布解决实际问题的方法． 1．正态密度曲线 x － μ ) 2 μ ，x ∈ R ，其中实数 μ 和 σ 为参数， P (x ) x 的图象为正 2．正态分布 3．正态曲线的性质 (1) 当 x <μ 时，曲线上升；当 x >μ 时，曲线下降；当曲线向左右两边无限延 伸时，以 x 轴为渐近线； (2) 正态曲线关于直线 x ＝μ 对称； (3) σ 越大，正态曲线越扁平； σ 越小，正态曲线越尖陡； (4) 在正态曲线下方和 x 轴上方范围内的区域面积为 1. 4．正态总体在三个特殊区间内取值的概率值 落在区间 ( μ－σ，μ＋σ) 上的概率约为 68.3%， 落在区间 ( μ－2σ，μ＋2σ) 上的概率约为 95.4%， 落在区间 ( μ－3σ， μ＋3σ) 上的概率约为 99.7%. 义． 1. 了解正态密度函数的概念． 2. 理解正态密度函数的特点及曲线所表示的意 1 函数 P (x ) ＝ e － 2πσ 态密度曲线 (如图所 2σ2 正态分布完全由参数 服从正态分布，记为 X ～ N ( 和σ 确定，因此正态分布记作 2 μ，σ ) ． N ( μ， σ2 ) ．如果随机变量 X 1．判断 ( 正确的打“√”，错误的打“×”) (1) 函数 p ( x ) 中参数 μ，σ的意义分别是样本的均值与方差． ( ) (2) 正态曲线是单峰的，其与 x 轴围成的面积是随参数 μ，σ的变化而变化的． ( ) (3) 正态曲线可以关于 y 轴对称． ( ) 答案： (1) × (2) × (3) √ 2．设随机变量 X ～N (μ，σ2 ) ，且 P ( X ≤ C ) ＝ P ( X > C ) ，则 C ＝( ) 答案： D 答案： D 【解】 (1) 由于该正态分布的概率密度函数是一个偶函数， 所以其图象关于 y 轴对称， 即 μ＝ 0. A ．0 B ．σ C ．－ μ D ．μ 3．已知随机变量 X 服从正态分布 N (3， )，则 P ( X < 3) ＝( 1 A. 5 B. C. 1 D.12 4．已知正态分布密度函 2 x x ∈ ( －∞，＋∞ ) ，则该正态 分布的均 P(x)＝ 2πe － 4π 正态分布密度函数与正态 正态分布教案 学院数学与计算机科学学院专业数学与计算机年级 2008级 执教者王黎玲学号 105062008020 指导老师袁智强老师 教材：人民教育出版社A版选修2-3第二章第四节 一、教学目标 二、教学重点与难点 三、教学的方法与手段 四、教学过程 【环节一：创设情境，导入新知】通过对高尔顿这位伟大的统计学家的介绍，引出高尔顿钉板实验。 教师活动：今天上新课之前我们要先来做一个实验——高尔顿顶板实验，那么实验之前老师想问同学们有谁认识高尔顿呢？ 学生预案：高尔顿？ 教师活动：看来同学们对高尔顿不是很熟悉。那么同学们认识达尔文吗？ 学生预案：知道。 教师活动：达尔文他出版的《物种起源》这一划时代的著作，提出了生物进化论学说，被恩格斯列为19世纪自然科学的三大发现之一。而高尔顿是英国著名的人类学家、 生物统计学家，他是生物统计学派的奠基人，也是著名生物学家达尔文的表弟， 正是因为达尔文《物种起源》的问世，才触动了高尔顿对生物统计学的研究，而 等等我们要进行的高尔顿钉板实验，就是高尔顿在收集统计数据时进行的的实 验。 教师活动：那么高尔顿钉板的实验原理是什么呢？首先在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面当有一块 玻璃，让一个小球从高尔顿钉板上方的通道口落下，小球在下落的过程中与层层 小木块碰撞，最后掉入高尔顿钉板下方的某一个球槽内。 教师活动：那么小球下落后，我们就要观察每个球槽内小球的个数，因此在这之前要把球槽进行编号，以方便我们观察，然后多次重复这个实验，就可以发现掉入各个球槽 内的小球的个数，小球堆积的高度越来越高。为了更好的研究实验结果呈现的现 象，我们将结果化成频率直方图，请同学们也仔细观察频率直方图，总之整个实 验过程分三个步骤，小球下落——观察小球个数——观察频率直方图。现在我们 开始做实验。 老师演示：打开实验flash，进行演示。最后将实验300次、600次、1500次、3000次得频率直方图同时显示，让学生更好的观察。 300次 600次 §2.3.2离散型随机变量的方差导学案 高二数学组 一、教学目标 1、通过实例，理解离散型随机变量的方差； 2、能计算简单离散型随机变量的方差。 重点：离散型随机变量的方差的概念 难点：根据离散型随机变量的分布列求出方差 二、自学引入： 问题1：某射手在10次射击中所得环数为：10，9，8，10，8，10，10，10，8，9. 求这名射手所得环数的方差。 问题2：某射手在一次射击中所得环数 能否根据分布列求出这名射手所得环数的方差？ 引入概念： （1）方差的概念：设一个离散型随机变量X所有可能取得值是x1，x2，…，x n；这些值对应的概率为p1，p2，…，p n，则 D（X）= ， 叫做这个离散型随机变量X的方差。 离散型随机变量的方差反映了离散型随机变量的取值。 （2）D（X）的叫做随机变量X的标准差。 三、问题探究： （1）若随机变量X服从参数为p的二点分布，则D（X）= （）。 （2）若随机变量X服从参数为n，p的二项分布，则D（X）= （）。 四、典例解析： 例1 甲、乙两射手在同样条件下进行射击，成绩的分布列如下： 射手甲： 射手乙： 谁的射击水平比较稳定。 变式训练设X是一个离散型随机变量，其分布列如下表，试求D（X） 例2 已知某离散型随机变量X 服从下面的二项分布： k k k C k X P -==449.01.0)( (k=0,1,2,3,4). 求E （X ）和D （X ）。 变式训练 一牧场有10头牛，因误食含有病毒的饲料而被感染，已知该病的发病率为 0.02。设发病的牛的头数为X ，求E （X ）和D （X ）。 五、小结： 六、作业：课后练习A 、B 。 §2.3. 2离散型随机变量的方差当堂检测 高二数学组 1、已知()~,,8, 1.6B n p E D ξξξ==，则,n p 的值分别是（ ） A ．1000.08和； B ．200.4和； C ．100.2和； D ．100.8和 2、设投掷1颗骰子的点数为ξ，则（ ） A.E ξ=3.5，D ξ=3.52 B.E ξ=3.5，D ξ=12 35 C.E ξ=3.5，D ξ=3.5 D.E ξ=3.5，D ξ= 16 35 3、有一批数量很大的商品的次品率为1%，从中任意地连续取出200件商品，设其中次品数为X ，求E （X ），D （X ） 4、A 、B 两台机床同时加工零件，每生产一批数量较大的产品时，出次品的概率如下表所示： A 机床 B 机床 问哪一台机床加工质量较好江苏省宿迁市高中数学第2章概率第7课时二项分布2导学案无答案苏教版选修
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