高中数学竞赛专题讲座---平面几何选讲

平面几何选讲 反演变换

基础知识 一. 定义

1. 设O 是平面π上的一个定点，k 是一个非零常数．如果平面π的一个变换，使得对于平面π上任意异

于O 的点A 与其对应点'A 之间，恒有（1）'

,,A O A 三点共线；（2）'OA OA k ?=，则这个变换称为平面π

的一个反演变换，记做(,)I O k ．其中，定点O 称为反演中心，常数k 称为反演幂，点'A 称为点A 的反点． 2. 在反演变换(,)I O k 下，如果平面π的图形F 变为图形'F ，则称图形'F 是图形F 关于反演变换(,)I O k 的反形．反演变换的不动点称为自反点，而反演变换的不变图形则称为自反图形．

3. 设两条曲线u v 、相交于点A ，l 、m 分别是曲线u v 、在点A 处的切线（如果存在），则l 与m 的交角称为曲线u v 、在点A 处的交角；如果两切线重合，则曲线u v 、在点A 处的交角为0．特别地，如果两圆交于点，那么过点作两圆的切线，则切线的交角称为两圆的交角．当两圆的交角为90时，称为两圆正交；如果直线与圆相交，那么过交点作圆的切线，则切线与直线的交角就是直线与圆的交角．当这个交角为90时，称为直线与圆正交． 二. 定理

定理1. 在反演变换下，不共线的两对互反点是共圆的四点．

定理2. 在反演变换(,)I O k 下，设A B 、两点（均不同于反演中心O ）的反点分别为'

'

A B 、，则有'

'B A =

''

k A B AB OA OB

=?．

定理3. 在反演变换下，过反演中心的直线不变．

定理4. 在反演变换下，不过反演中心的直线的反形是过反演中心的圆；过反演中心的圆的反形是不过反演中心的直线．

定理5. 在反演变换下，不过反演中心的圆的反形仍是不过反演中心的圆． 定理6. 在反演变换下，两条曲线在交点处的交角大小保持不变，但方向相反．

定理7. 如果两圆或一圆一直线相切于反演中心，则其反形是两条平行直线；如果两圆或一圆一直线相切于非反演中心，则其反形（两圆或一圆一直线）相切．

定理8.

典型例题 一. 证明点共线

例1. ABC 的内切圆与边BC 、CA 、AB 分别相切于点D 、E 、F ， 设L 、M 、N 分别是EF 、FD 、DE 的中点．求证：ABC 的外心、 内心与LMN 的外心三点共线．

证明：如图，设ABC 的内心为I ，内切圆半径为r ．以内心I 为反演中心，内切圆为反演圆作反演变换2

(,)I I r ，则A 、B 、C 的

反点分别为L 、M 、N ，因而ABC 的反形是LMN 的外接圆．故

ABC 的外心、内心和LMN 的外心三点共线．

二. 证明线共点

例2. 四边形ABCD 内接于

O ，对角线AC 与BD 相交于P ，设

外心分别为1O 、2O 、3O 、4O ．求证：OP 、13O O 、24O O 证明：作反演变换(,)I P PC PA ?，则A 、C 互为反点，B 、

D 互为反点，O 不变，直线1PO 不变，ABP 的外接圆的反形

是直线CD ．由于直线1PO 与ABP 的外接圆正交，因而1PO 与CD

正交，即有1PO CD ⊥．又3OO CD ⊥，所以13//PO O O ；同理31//PO O O ，所以四边形13PO OO 为平行四边形，从而13O O 过PO 的中点；同理24O O 也过PO 的中点．故OP 、13O O 、24O O 三线共点． 三. 证明点共圆

例3. 设半圆的直径为AB ，圆心为O ，一直线与半圆交于C 、D 两点，且与直线AB 交于M ．再设AOC 与DOB 的外接圆的第二个交点为N ．求证：ON MN ⊥．

证明：以O 为反演中心作反演变换2

(,)I O r ，其中，r 为半圆的半径，则半圆上的每一点都不变，

()AOC 与()DOB 的反形分别为直线AC 、BD ．且设M 、N 的反点分别为'M 、'N ，则'N 为直线

AC 与BD 的交点，'M 在直径AB 上，直线MN 的反形为的反形为

CDO 的外接圆．而'ON NM ON ⊥?是''OM N 外'''M N OM ?⊥．于是问题转化为证明'''M N OM ⊥．O

4

'AD BN ⊥，'BC AN ⊥，O 是AB 的中点，所以过O 、C 、D 三点的圆是'N AB 的九点圆，而'M 在

九点圆上，又在边AB 上（不同于O 点），故'

'

M N AB ⊥，因此ON MN ⊥．

四. 证明一些几何（不）等式

例4. 设六个圆都在一定圆内，每一个圆都与定圆外切，并且与相邻的两个小圆外切，若六个小圆与大圆的切点依次为1A 、2A 、3A 、4A 、5A 、6A ．证明：123456234561A A A A A A A A A A A A ??=??

证明：如图以6A 为反演中心作反演变换6(,1)I A ，则

O 与6O 的反形为两条平行线，其余5个圆

的反形皆是与两条平行线中一条相切的圆；且反形中第一个圆与第五个圆均与两平行线相切，而其余三圆均与相邻的两圆相切．设1A 、2A 、3A 、4A 、5A 的反点分别为'

1A 、'

2A 、'

3A 、'

4A

、'

5A ，则其反形中的

五个圆与两平行线中的一条（即

O 的反形）依次切于'1A 、'2A 、'3A 、'4A 、'5A ；再设这五个圆的半径依

次为1r 、2r 、3r 、4r

、5r ，则由勾股定理可得''

12A A

==同理''

23A A =，

''34A A =''

45A A =15r r =，于是''''''''12

342345A A A A A A A A ?=?．但''12

126162

A A A A A A A A =?，

''34346364A A A A A A A A =

?，''23236263A A A A A A A A =?，''

45456465A A A A A A A A =?．所以1234234561626364626364

A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A ??=?????

342345

636462636465

A A A A A A A A A A A A A A A A A A ?=????故123456234561A A A A A A A A A A A A ??=??．

'

5A 4

A 3A '2

A 1A

练习：

1. （2002土耳其数学奥林匹克）两圆外切于点A ，且内切于另一

Γ于点B 、C ，另D 是小圆内公切线

割Γ的弦的中点，证明：当B 、C 、D 不共线时，A 是BCD 的内切圆圆心．

2. （第30届IMO 预选题）双心四边形是指既有内切圆又有外接圆的四边形．证明双心四边形的两个圆心与对角线的交点共线．

3. （1997全国高中数学联赛）已知两个半径不等的圆1O 与圆2O 相交于M 、N 两点，圆1O 与圆2O 分别于圆O 内切于S 、T ．求证：OM MN ⊥的充分必要条件是S 、N 、T 三点共线．

1212O O M N O O O S T OM MN S N T ⊥如图，已知两个半径不相等的圆和圆相交于、两点，且圆、圆分别与圆内切于、两点，求证：的充分必要条件是、、三点共线；1212O O M N O O O S T OM MN S N T ⊥如图，已知两个半径不相等的圆和圆相交于、两点，且圆、圆分别与圆内切于、两点，求证：的充分必要条件是、、三点共线；1212O O M N O O O S T OM MN S N T ⊥如图，已知两个半径不相等的圆和圆相交于、两点，且圆、圆分别与圆内切于、两点，求证：的充分必要条件是、、三点共线；