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人教版九年级上册数学全册教案

人教版九年级上册数学

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教

案

第二十一章一元二次方程

21. 1一元二次方程

教学目标

知识技能

1．通过类比一元一次方程，了解一元二次方程的概念及一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，分清二次项及其系数、一次项及其系数与常数项等概念．

2.了解一元二次方程的解的概念，会检验一个数是不是一元二次方程的解．

数学思考与问题解决

通过丰富的实例，列出一元二次方程，让学生体会一元二次方程是刻画现实世界数量关系的有效模型，培养学生初步形成“模型思想”，增强学生应用数学知识解决实际问题的意识．

情感态度

使学生经历类比一元一次方程得到一元二次方程概念的过程，减少学生对新知识的陌生感，提高学生学习数学的兴趣．

重点难点

重点：通过类比一元一次方程，了解一元二次方程的概念及一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)和一元二次方程的解等概念，并能用这些概念解决简单问题．

难点：一元二次方程及其二次项系数、一次项系数和常数项系数的识别．

教学设计

活动一：创设情境

1．什么是方程？什么是一元一次方程？

2．指出下面哪些方程是已学过的方程？分别是什么方程？

(1)3x＋4＝1；(2)6x－5y＝7；(3)4

3x－

y＝0；(4)

5y＝5；(5)x

2－70x＋825＝0；(6)7＋

3 y－2＝4；(7)x(x＋5)＝150；(8)

5－

3＝0.

3．什么是“元”？什么是“次”？

活动二：一元二次方程及其相关概念的学习

自学教材第2～3页，思考教师所提下列问题：

1．问题1中列方程的等量关系是________，所列方程为________，化简后为________．

2．问题2中列方程的等量关系是________，为什么要乘1

2？所列方程为________，化简后为________．

3．观察上面化简后的方程，会发现：等号两边都是________，只含有________个未知数，并且未知数的最高次数是________的方程，叫做一元二次方程．

4．任何一个方程都要化成它的一般形式，一元二次方程的一般形式为________(a ≠________)．为什么？

5．说出一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项，在确定各个系数时要注意什么？

设计意图：通过设问的方式来加深学生对一元二次方程的理解，排除学生对一元二次方程及其相关概念理解的障碍，让学生体会到一元二次方程也是刻画现实世界中的数量关系的一个有效数学模型，同时，通过设问也给学生学习探究搭建了交流平台．

活动三：尝试练习

1．判断下列方程是否为一元二次方程．

(1)3x ＋2＝5y －3；(2)x 2＝4；(3)3x 2－5

x ＝0；(4)x 2－4＝(x ＋2)2；(5)ax 2＋bx ＋c ＝0.

2．方程2x 2＝3(x －6)化为一般形式后二次项系数、一次项系数和常数项分别为( ) A ．2，3，－6 B ．2，－3，18 C ．2，－3，6 D ．2，3，6 (答案：1.略；2.B.) 活动四：知识拓展

例关于x 的方程(m ＋1)x |m|＋1＋3x ＝6，当m ＝________时，该方程是一元二次方程．

分析：要使(m ＋1)x |m|＋1＋3x ＝6为一元二次方程，除了考虑未知数的最高次数为2，还要想到m ＋1≠0.解题过程略．

活动五：课堂小结和作业布置课堂小结：

1．一元二次方程的概念是什么？一个一元二次方程必须同时满足三个要素：(1)整式；(2)方程整理后含有一个未知数；(3)未知数的最高次数是二次．

2．一元二次方程的一般形式是什么？二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、

常数项的概念分别是什么？

作业布置：

1．教材第4页练习第1～2题．

2．若x2－2x m－1＋3＝0是关于x的一元二次方程，求m的值．

板书设计

一元二次方程

1．创设情境

2．一元二次方程及其相关概念

一般形式：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)

3．尝试练习

4．知识拓展

5．课堂小结和作业布置

21. 2. 1配方法(2课时)

第1课时配方法的基本形式

教学目标

知识技能

1．理解一元二次方程降次的转化思想．

2．会利用直接开平方法对形如(x＋m)2＝n(n≥0)的一元二次方程进行求解．

数学思考与问题解决

1．会用直接开平方法解简单的一元二次方程．

2．提出问题，列出缺一次项的一元二次方程ax2＋c＝0，根据平方根的意义解出这个方程，然

后知识迁移到解a(ex ＋f)2＋c ＝0型的一元二次方程．

情感态度

1．通过探究活动，培养学生勇于探索的良好学习习惯． 2．感受数学的严谨性以及数学结论的确定性．重点难点

重点：运用开平方法解形如(x ＋m)2＝n(n ≥0)的方程，领会降次——转化的数学思想．难点：通过根据平方根的意义解形如x 2＝n 的方程，将知识迁移到根据平方根的意义解形如(x ＋m)2＝n(n ≥0)的方程．

教学设计活动一：情境引入

印度古算中有这样一首诗：“一群猴子分两队，高高兴兴在游戏，八分之一再平方，蹦蹦跳跳树林里；其余十二叽叽喳，伶俐活泼又调皮，告我总数共多少，两队猴子在一起．”

大意是说：一群猴子分成两队，一队猴子数是猴子总数的1

8的平方，另一队猴子数是12，那么

猴子总数是多少？你能解决这个问题吗？

(多媒体展示问题．学生互相讨论、分析理解．教师点拨、启发、引导学生分析解题．) 设计意图：寓教于乐，可激发学生的探索欲望．活动二：探索发现

1．如图，在△ABC 中，∠B ＝90°，点P 从点B 开始，沿BA 边向点A 以1 cm/s 的速度移动，点Q 从点B 开始，沿BC 边向点C 以2 cm/s 的速度移动，如果AB ＝6 cm ，BC ＝12 cm ，P 、Q 都从B 点同时出发，几秒后△PBQ 的面积等于8 cm 2?

2．能否求下列方程的解？

(1)(2t ＋1)2＝8；(2)4(x －3)2＝225；(3)9x 2－6x ＋1＝0；(4)x 2＋4x ＋4＝1.

(教师引导学生观察、分析、探索．学生小组内交流、探讨知识的发展变化，找出规律，升华为理论知识．)

设计意图：通过该活动引导学生探究、发现解一元二次方程的解法．通过根据平方根的意义解形如x 2＝n 的方程，将知识迁移到根据平方根的意义解形如(x ＋m)2＝n(n ≥0)的方程．

活动三：归纳总结——由感性到理性问题1：你能和同伴交流吗？降次的实质：____________________. 降次的方法：____________________. 降次体现了________思想．

2．如果方程能化成x 2＝p 或(nx ＋m)2＝p(p ≥0)的形式，那么可得x ＝________，或nx ＋m ＝________.

(学生与同伴交流后将其发现告诉教师并共同探索．)

设计意图：进一步体验充满探索与创造的数学活动，感受数学的严谨性和数学结论的确定性．活动四：巩固练习 1．教材第6页练习． 2．你学会了吗？解下列方程：

(1)(12x －2)2＝3；(2)2x 2－98＝0；(3)x 2－6x ＋9＝2；(4)10(1＋x)2＝14.4；(5)(1＋x ＋12)2＝2.56；(6)x 4

－6x 2＋9＝0；(7)1

(3x ＋1)2－15＝0.

(教师引导，组织学生练习，巡回辅导，重点问题进行强化、点拨方法、总结规律，对学生存在的共性问题做好补教．强调该方法的依据是平方根的意义．学生独立思考解决问题．)

设计意图：通过练习，帮助学生熟练掌握开平方法的应用，从而培养学生分析问题、解决问题的能力．

活动五：师生小结

1．本节课你感受到了什么？

2．根据本节课解方程的方法，你能谈谈你的收获吗？ 3．你认为应该注意什么？ 4．本节课你的困惑是什么？ 5．你认为最让你费解的地方在哪里？

(教师启发学生回忆．学生可以与同伴交流，也可以请教老师．)

设计意图：创造一个平等民主的学习氛围，尽可能地让学生把自己的所思所想表达出来，以期共同提高．

活动六：布置作业

教材第16页习题21.2第1题．

(教师布置作业，学生按要求课外完成．)

设计意图：加深认识，深化提高．

板书设计

配方法的基本形式

一、情境引入

二、探索发现——降次是解一元二次方程的一般思路

三、归纳总结——由感性到理性

1．问题1

2．问题2

四、巩固练习

1．教材练习

2．补充练习

五、师生小结

六、布置作业

第2课时配方法的灵活应用

教学目标

知识技能

1．理解配方法．

2．会利用配方法熟练、灵活地解二次项系数为1的一元二次方程．

数学思考与问题解决

1．会用配方法解简单的一元二次方程．

2．发现不同方程的转化方式，运用已有知识解决新问题．

3．通过对计算过程的反思，获得解决新问题的经验，体会在解决问题的过程中所呈现的数学方法和数学思想．

情感态度

1．通过配方法的探究活动，培养学生勇于探索的良好学习习惯．

2．感受数学的严谨性以及数学结论的确定性．

3．由题目的特点找到与旧知识的联系，将新知化为旧知，从而解决问题．培养学生的观察能力和运用学过的知识解决问题的能力．

重点难点

重点：用配方法熟练地解二次项系数为1的一元二次方程．

难点：灵活地运用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程．

教学设计

活动一：复习引入

问题：要使一块矩形场地的长比宽多6 m，并且面积为16 m2，场地的长和宽应各是多少？

(1)如何设未知数？根据题目的等量关系如何列出方程？

(2)所列方程和之前我们学习的方程x2＋6x＋9＝2有何联系与区别？

(3)你能由方程①x2＋6x＋9＝2的解法联想到怎样解方程②x2＋6x－16＝0吗？

(学生完成问题(1)，列出方程．如何解这个方程呢？学生观察问题(2)，找到联系与区别，教师可点拨启发．问题(3)，学生思考、讨论．)

设计意图：问题(1)益于培养学生的应用意识，可激发学生的探究欲．问题(2)激起学生学习的欲望．

活动二：实验发现

我们研究方程x2＋6x＋7＝0的解法：

将方程视为x2＋2·x·3＝－7，

配方，得x2＋2·x·3＋32＝32－7，即(x＋3)2＝2，

由此可得x＋3＝±2，

所以x1＝－3＋2，x2＝－3－ 2.

这种解一元二次方程的方法叫做配方法．这种方法的特点是：先把方程的常数项移到方程的右

边，再把左边配成一个完全平方式，如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解．

总结发现：用配方法解一元二次方程的步骤． ①把原方程化为ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的形式；

②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；

⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解；如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．

(教师引导学生观察、分析、发现和提出问题．让学生用自己的方法探究一元二次方程的解法．) 设计意图：通过引导学生自主、合作、探究、验证，培养学生分析问题、解决问题的意识和能力．培养学生善于总结思考的能力．

活动三：用配方法解决问题例解下列方程：

(1)x 2－2x －35＝0；(2)2x 2－4x －1＝0.

分析：(1)显然方程的左边不是一个完全平方式，因此，要按前面的方法化为完全平方式；(2)同上．

解：(1)x 2－2x ＝35. x 2－2x ＋12＝35＋12. (x －1)2＝36，x －1＝±6， x －1＝6，x －1＝－6， x 1＝7，x 2＝－5.

可以验证x 1＝7，x 2＝－5都是方程x 2－2x －35＝0的根． (2)x 2－2x －12＝0，x 2－2x ＝12，

x 2－2x ＋12＝1

2＋12，

(x －1)2＝3

2，

x －1＝±6

2，

即x －1＝

，

x－1＝－

6 2，

x1＝1＋

2，x2＝1－

可以验证x1＝1＋

2，x2＝1－

2都是方程2x

2－4x－1＝0的根．

(可以让两位学生演示．可给学生提示两边同时除以二次项的系数．验证不可少，但可写也可不写．)

设计意图：通过练习，使学生认识到：配方的关键是在方程两边同时添加的常数项等于一次项系数一半的平方(二次项系数必须为1)．培养学生做事严谨周密的习惯．

活动四：巩固练习

1．填空：

(1)x2＋10x＋()＝()2；

(2)x2－8x＋()＝(x－)2；

(3)x2＋x＋()＝(x＋)2；

(4)4x2－6x＋()＝4(x－)2＋()．

2．用配方法解方程：

(1)x2＋8x－2＝0；(2)x2－5x－6＝0；(3)x2＋7＝6x.

(教师引导，组织学生练习，巡回辅导，重点问题进行强化、点拨方法、总结规律，共性问题做好补教．学生独立思考解决问题．)

设计意图：通过练习，帮助学生熟练掌握方法的应用，从而培养学生分析问题、解决问题的能力．

活动五：师生小结

1．小结：应用配方法解一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的要点是：

(1)化二次项系数为1；

(2)移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数；

(3)方程两边各加上一次项系数一半的平方．

2．布置作业：教材第17页习题21.2第2，3题．

(教师发动学生共同参与，语言切忌主观，站在学生的角度看待每一点．教师布置作业，分层次提出要求．)

设计意图：梳理学习内容、方法、思路，养成系统整理知识的习惯，形成知识体系．加深认识，深化提高，形成知识体系．

板书设计

配方法的灵活应用

一、复习引入

二、实验发现

用配方法解一元二次方程的步骤

①将原方程化为ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的形式

②将二次项系数化为1

③方程两边同时加上一次项系数一半的平方

④把左边化为完全平方式，右边化为常数

⑤判断方程解的情况

三、用配方法解决问题

例题

四、巩固练习

练习1、2

五、师生小结

1．归纳 2.作业

21. 2. 2 公式法

教学目标

知识技能

1．理解一元二次方程求根公式的推导过程．

2．会利用求根公式解简单数字系数的一元二次方程．

数学思考与问题解决

1．经历探索求根公式的过程，发展学生合情合理的推理能力．2．提高学生的运算能力，并让学生养成良好的运算习惯．

情感态度

1．通过运用公式法解一元二次方程，提高学生的运算能力，并让学生在学习活动中获得成功的体验，建立学好数学的自信心．

2．学会和他人合作，并能与他人交流思维的过程和结果．

重点难点

重点：求根公式的推导和公式法的应用．

难点：一元二次方程求根公式的推导．

教学设计

活动一：复习引入

用配方法解下列方程：

(1)6x2－7x＋1＝0；

(2)4x2－3x＝52.

总结用配方法解一元二次方程的步骤(学生总结，教师点评)．

(1)移项；

(2)化二次项系数为1；

(3)方程两边都加上一次项系数的一半的平方；

(4)原方程变形为(x＋m)2＝n的形式；

(5)如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解；如果右边是负数，则一元二次方程无解．

(安排两名学生板书．教师引导学生回忆用配方法解一元二次方程的基本思路及基本步骤．)

设计意图：通过复习引入，让学生回忆配方法的解题思路，并通过两道练习题巩固所学知识，同时为本节课的学习做好铺垫．

活动二：实验发现

如果一个一元二次方程是一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，你能否用上面配方法的步骤求出它的两根？请同学独立完成下面这个问题．

问题：已知ax2＋bx＋c＝0(a≠0)且b2－4ac≥0，试推导它的两个根x

＝

－b＋b2－4ac

2a ，x

＝

－b－b2－4ac

分析：因为前面具体数字已做得很多了，我们现在不妨把a，b，c也当成一个具体

数字，根据上面的解题步骤可以一直推导下去．

解：移项，得ax 2＋bx ＝－c ，二次项系数化为1，得 x 2＋b a x ＝－c a ，

配方，得 x 2＋b a x ＋(b 2a )2

＝－c a ＋(b

2a )2，

即(x ＋b 2a )2＝b 2－4ac 4a 2

①.

因为a ≠0，所以4a 2>0，式子b 2－4ac 的值有以下三种情况： (1)当b 2

－4ac>0时，b 2－4ac 4a 2

>0.

由①直接开平方，得 x ＋b 2a ＝ ±b 2－4ac 2a ，即x ＝－b ±b 2－4ac 2a ，

∴x 1＝－b ＋b 2－4ac 2a ，

x 2＝－b －b 2－4ac 2a

(2)当b 2

－4ac ＝0时，b 2－4ac

4a 2

＝0，由①可知，方程有两个相等的实数根x 1＝x 2＝－

b 2a

. (3)当b 2

－4ac<0时，b 2－4ac 4a 2<0，由①可知(x ＋b 2a

<0，因此方程无实数根．

由上可知，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根由方程的系数a，b，c而定，一般地，式子b2－4ac叫做方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)根的判别式，通常用希腊字母Δ表示它，即Δ＝b2－4ac，因此：

(1)解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2＋bx＋c＝0，当Δ≥0时，

将a，b，c的值代入式子x＝－b±b2－4ac

就能得到方程的根；当Δ<0时就能得到方

程无实数根．

(2)这个式子叫做一元二次方程的求根公式．

(3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法．

(4)由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根．

(教师引导、启发学生探索求根公式并得出公式法的概念．也可课件演示推导过程．引导学生做完题后总结．)

设计意图：让学生亲自动手实验，探究结论，激发兴趣．培养学生爱动脑思考的好习惯．

活动三：利用公式解决问题

教材第11页例2.

(找四位学生板书，教师巡视及时发现错误及时纠正，对于部分学生给予适当鼓励．) 设计意图：加深对所学知识的理解．

活动四：巩固练习

1．解下列方程：

(1)x2＋3x＋2＝0；(2)2x2－7x＝4；(3)2x2－3x＋1＝0.

2．应用题：

有一长方形的桌子，长为3 m，宽为2 m，一长方形桌布的面积是桌面面积的2倍，且将桌布铺到桌面上时各边垂下的长度相同，则桌布长为________，宽为长度相同，则桌布长为________．

(教师引导，组织练习，巡回辅导，重点问题进行强化、点拨方法、总结规律，共性问题做好补教．学生独立思考解决问题．)

设计意图：通过练习，帮助学生熟练掌握公式法，从而培养学生分析问题、解决问题的能力．

活动五：师生小结

1．本节课你有什么困惑，请你大声地告诉老师．

2．本节课你有何感想，请你畅所欲言．

3．本节课你有何收获，请你与同伴分享．

布置作业：

教材第17页习题21.2第4，5题．

(发动学生对本节课内容进行总结，鼓励同学们大胆发言．教师分层要求，学生课下完成．)

设计意图：梳理学习内容、方法、思路，养成系统整理知识的习惯，形成知识体系．加强教、学反思，进一步提高教、学效果．巩固所学知识．

板书设计

公式法

一、复习引入

二、实验发现

一元二次方程求根公式的推导

x＝－b±b2－4ac

(b2－4ac≥0)

三、利用公式解决问题

例2

四、巩固练习

1．解方程 2.应用题五、师生小结

1．反思 2.作业

21. 2. 3 因式分解法

教学目标

知识技能

1．了解因式分解法的概念．

2．会利用因式分解法解某些简单数字系数的一元二次方程．

数学思考与问题解决

1．经历探索因式分解法解一元二次方程的过程，发展学生合情合理的推理能力．2．体验解决问题的方法的多样性，灵活选择解方程的方法．

情感态度

1．学会和他人合作，并能与他人交流思维的过程和结果．

2．积极探索不同的解法，并和同伴交流，勇于发表自己的观点，从交流中发现最优方法，在学习活动中获得成功的体验，建立学好数学的自信心．

重点难点

重点：应用因式分解法解一元二次方程．

难点：将方程化为一般形式后，对方程左侧二次三项式进行因式分解．

教学设计

活动一：复习引入

问题(学生活动)解下列方程．

(1)2x2＋x＝0(用配方法)．

(2)3x2＋6x＝0(用公式法)．

(3)要使一块矩形场地的长比宽多3 m，并且面积为28 m2，场地的长和宽应各是多少？

(4)如何设未知数并根据题目的等量关系列出方程？

(5)所列方程和以前我们学习的方程x2＋6x＋9＝2有何联系与区别？

(6)你能由方程x2＋6x＋9＝2的解法联想到怎样解方程x2＋3x－28＝0吗？

(鼓励学生自主探究、小组合作交流．)

设计意图：通过复习引入，让学生回忆配方法和公式法的解题思路，并通过两道练习题巩固所学知识，同时为本节课的学习做好铺垫．

活动二：实验发现

思考：(1)x(2x＋1)＝0；(2)3x(x＋2)＝0.

问题：(1)你能观察出这两题的特点吗？

(2)你知道方程的解吗？说说你的理由．

因式分解法的理论根据是：两个因式的积等于零，那么这两个因式的值就至少有一个等于零．即：

若ab＝0，则a＝0或b＝0.

由上述过程我们知道：当方程的一边能够分解成两个一次因式的乘积而另一边等于0时，即可解之．这种方法叫做因式分解法．

(3)因式分解法解一元二次方程的一般步骤：

①移项，使方程的右边为零；

②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；

③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；

④解这两个一元一次方程，它们的解都是原方程的解．

(教师展示练习．对于一部分学生老师可给予一定的帮助，也可以鼓励同学之间互相帮助．)

设计意图：让学生亲自动手实验、探究结论、激发兴趣．

活动三：用因式分解法解决问题

教材第14页例3.

补充例题：解方程．

(1)3x2＝8x，(2)(x－4)2＝3x－12.

分析：(1)移项提取公因式x；(2)等号右侧移项到左侧得－3x＋12，提取因式－3，即－3(x－4)，再提取公因式x－4，便可达到分解因式的目的，一边为两个一次式的乘积，另一边为0的形式．

解：(1)移项，得3x2－8x＝0，

因式分解，得x(3x－8)＝0，

于是，得x＝0或3x－8＝0，

x 1＝0，x

＝

(2)移项，得(x－4)2－3x＋12＝0，(x－4)2－3(x－4)＝0，

因式分解，得(x－4)(x－4－3)＝0，整理，得(x－4)(x－7)＝0，

于是，得x－4＝0或x－7＝0.

x 1＝4，x

＝7.

(找两位同学板书，教师巡视及时发现错误及时纠正，对于部分学生给予适当鼓励．) 设计意图：加深对所学知识的理解．

活动四：巩固练习

1．三角形两边长分别为2和4，第三边是方程x2－6x＋8＝0的解，则这个三角形的周长是( )

A．8 B．8或10 C．10 D．8和10

2．用因式分解法解方程4(x＋1)－3x(x＋1)＝0，可把其化为两个一元一次方程________、________求解．

3．方程(x＋1)(x－2)＝0的根是( )

A．x＝－1 B．x＝2 C．x

1＝1，x

＝－2 D．x

＝－1，x

＝2

4．解下列方程：

(1)x2－3x－10＝0；(2)(x＋3)(x－1)＝5.

(教师引导，组织练习，巡回辅导，重点问题进行强化、点拨方法、总结规律，共性问题做好补教．学生独立思考解决问题．)

设计意图：通过练习，帮助学生熟练掌握一元二次方程的解法，从而培养学生分析问题、解决问题的能力．

活动五：师生小结

(1)用因式分解法，即用提取公因式法、平方差公式、完全平方公式等解一元二次方程．

(2)三种方法(配方法、公式法、因式分解法)的联系与区别：

联系：①降次，它们的解题的基本思想是：将二次方程化为一次方程，即降次．

②公式法是由配方法推导而得到．

③配方法、公式法适用于所有一元二次方程，因式分解法适用于某些一元二次方程．

区别：①配方法要先配方，再开方求根．

②公式法直接利用公式求根．

③因式分解法要使方程一边为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别使每个一次因式等于0.

布置作业：

教材第17页习题21.2第6题．

(发动学生对本节课内容总结，鼓励同学们大胆发言．教师布置作业，学生课下完成．)

设计意图：梳理学习内容、方法、思路，养成系统整理知识的习惯，形成知识体系．加强教、学反思，进一步提高教、学效果．通过作业巩固本节所学知识．板书设计

因式分解法

一、复习引入

二、实验发现

因式分解法解一元二次方程的步骤

三、用因式分解法解决问题

1．例3

2．补充例题

四、巩固练习

五、师生小结

1．小结

2．作业

21. 2. 4 一元二次方程的根与系数的关系

教学目标

知识技能

1．熟练掌握一元二次方程根与系数的关系．

2．灵活运用一元二次方程根与系数的关系解决实际问题．

3．提高学生综合运用基础知识分析解决复杂问题的能力．

数学思考与问题解决

通过创设一定的问题情境，注重由学生自己探索，让学生参与韦达定理的发现，不完全归纳验证以及演绎证明等整个数学思维过程．

情感态度

通过学生探索一元二次方程的根与系数的关系，培养学生观察、分析和综合、判断的能力．激发学生发现规律的积极性，鼓励学生勇于探索的精神．

重点难点

重点：一元二次方程的根与系数的关系．

难点：对根与系数的关系的理解和推导．

教学设计

活动一：引入新课

我们知道，方程的根是由一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的各项系数a，b，c 决定的．我们还知道根是由b2－4ac决定其情况的．今天我们来研究方程的两根的和及两根的积与a，b，c有怎样的关系？

(教师出示问题，学生初步了解本节课的学习内容．教师引出新课并板书课题．) 设计意图：开门见山，引入新课．

活动二：思考与归纳

从下表中找出两根之和x

1＋x

与两根之积x

和a，b，c的关系：

方程两个根x

与x

两根之

和

两根之

积

＋x

x2＋5x＋6＝0 －2 －3 －5 6 x2－5x－6＝0 6 －1 5 －6

九年级数学上册全册教案(最新人教版)

九年级数学上册全册教案（最新人教版）本资料为woRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址www.5y kj.co m 义务教育课程标准人教版数学教案九年级上册 XX—XX学年度第一学期学校：班级：九（3）班教师： XX—XX学年度第一学期九年级数学教学进度表周序日期教学工作内容及课时安排 8.24—8.30 21.1一元二次方程2 21.2降次——解一元二次方程2 2 8.31—9.6 21.2降次——解一元二次方程5

3 9.7—9.13 21.3实际问题与一元二次方程及数学活动2 《一元二次方程》单元小结与练习3 4 9.14—9.20 21.1二次函数的图像与性质5 5 9.21—9.27 21.2二次函数与一元二次方程2 21.3实际问题与二次函数2 《二次函数》单元小结与练习1 6 9.28—10.4 23.1图形的旋转2 23.2中心对称3 7 0.5—10.11 23.3课题学习图案设计2 《旋转》单元考及讲评3 8 0.12—10.18

24.1圆5 9 0.19—10.25 24.2点、直线、圆和圆的位置关系5 0 0.26—11.1 期中考复习 1 1.2—11.8 期中考试与试卷分析 2 1.9—11.15 24.3正多边形和圆2 24.4弧长和扇形面积2 13 1.16—11.21 24.4弧长和扇形面积2 《圆》单元考及讲评3 14 1.23—11.29 25.1随机事件与概率4 5

1.30—1 2.6 25.2用列举法求概率3 25.3用频率估计概率1 6 2.7—12.13 25.4课题学习及数学活动2 《概率初步》单元考及讲评2 7 2.14—12.20 九年级数学下册内容 8 2.21—12.27 九年级数学下册内容 9 2.28—1.3 九年级数学下册内容 20 .4—1.10 期末考复习 21 .11—1.17 期末考复习及考试

人教版九年级上册数学课本知识点归纳1

人教版九年级上册数学课本知识点归纳第二十一章二次根式一、二次根式 1．二次根式：把形如)0(≥a a 的式子叫做二次根式， “ ” 表示二次根号。 2．最简二次根式：若二次根式满足：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。这样的二次根式叫做最简二次根式。 3．化简：化二次根式为最简二次根式（1）如果被开方数是分数（包括小数）或分式，先利用商的算数平方根的性质把它写成分式的形式，然后利用分母有理化进行化简。（2）如果被开方数是整数或整式，先将他分解因数或因式，然后把能开得尽方的因数或因式开出来。 4．同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式。 5．代数式：运用基本运算符号，把数和表示数的字母连起来的式子，叫代数式。 6．二次根式的性质（1）)0()(2≥=a a a )0(≥a a （2）==a a 2 )0(<-a a

（3）)0,0(≥≥?=b a b a ab (乘法) （4）)0,0(≥≥=b a b a b a (除法) 二、二次根式混合运算 1．二次根式加减时，可以把二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的最简二次根式进行合并。 2．二次根式的混合运算与实数中的运算顺序一样，先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的（或先去括号）。第二十二章一元二次方程一、一元二次方程 1、一元二次方程含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程叫做一元二次方程。 2、一元二次方程的一般形式)0(02≠=++a c bx ax ，其中2ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项。二、降次----解一元二次方程 1．降次：把一元二次方程化成两个一元一次方程的过程(不管用什么方法解一元二次方程，都是要一元二次方程降次) 2、直接开平方法利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接开平方法适用于解形如x 2 =b 或b a x =+2)(的一元

人教版九年级数学下册教学设计(优秀)

第二十六章反比例函数 26.1 反比例函数 26.1.1 反比例函数 1．理解反比例函数的概念；(难点) 2．能判断一个给定的函数是否为反比例函数，并会用待定系数法求解析式；(重点) 3．能根据实际问题中的条件建立反比例函数模型．(重点) 一、情境导入 1．京广高铁全程为2298km，某次列车的平均速度v(单位：km/h)与此次列车的全程运行时间t(单位：h)有什么样的等量关系？ 2．冷冻一个物体，使它的温度从20℃下降到零下100℃，每分钟平均变化的温度T(单位：℃)与冷冻时间t(单位：min)有什么样的等量关系？问题：这些关系式有什么共同点？二、合作探究探究点一：反比例函数的定义【类型一】反比例函数的识别下列函数中：①y＝ 3 2x；②3xy＝1；③y＝ 1－2 x；④y＝ x 2.反比例函数有() A．1个B．2个C．3个D．4个解析：①y＝ 3 2x是反比例函数，正确；②3xy＝1可化为y＝ 1 3x，是反比例函数，正确； ③y＝ 1－2 x是反比例函数，正确；④y＝ x 2是正比例函数，错误．故选C. 方法总结：判断一个函数是否是反比例函数，首先要看两个变量是否具有反比例关系，然后根据反比例函数的定义去判断，其形式为y＝ k x(k为常数，k≠0)，y＝kx －1(k为常数，k ≠0)或xy＝k(k为常数，k≠0)．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第3题【类型二】根据反比例函数的定义确定字母的值已知函数y＝(2m2＋m－1)x2m2＋3m－3是反比例函数，求m的值．解析：由反比例函数的定义可得2m2＋3m－3＝－1，2m2＋m－1≠0，然后求解即可．

2017-2018人教版九年级上册数学课本知识点归纳

2017-2018人教版九年级上册数学课本知识点归纳第二十一章二次根式一、二次根式 1．二次根式：把形如)0(≥a a 的式子叫做二次根式， “ ” 表示二次根号。 2．最简二次根式：若二次根式满足：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。这样的二次根式叫做最简二次根式。 3．化简：化二次根式为最简二次根式（1）如果被开方数是分数（包括小数）或分式，先利用商的算数平方根的性质把它写成分式的形式，然后利用分母有理化进行化简。（2）如果被开方数是整数或整式，先将他分解因数或因式，然后把能开得尽方的因数或因式开出来。 4．同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式。 5．代数式：运用基本运算符号，把数和表示数的字母连起来的式子，叫代数式。 6．二次根式的性质（1）)0()(2≥=a a a )0(≥a a （2）==a a 2 )0(<-a a

年最新人教版九年级上册数学全册教案

九年级数学上册教学计划二十一章一元二次方程第1课时 21．1 一元二次方程教学内容一元二次方程概念及一元二次方程一般式及有关概念．教学目标了解一元二次方程的概念；一般式ax2+bx+c=0（a≠0）及其派生的概念；?应用一元二次方程概念解决一些简单题目． 1．通过设置问题，建立数学模型，?模仿一元一次方程概念给一元二次方程下定义． 2．一元二次方程的一般形式及其有关概念． 3．解决一些概念性的题目． 4．通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情．重难点关键 1．?重点：一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程的有关概念并用这些概念解决问题． 2．难点关键：通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，?再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念．教学过程一、复习引入学生活动：列方程．问题（1）古算趣题：“执竿进屋” 笨人执竿要进屋，无奈门框拦住竹，横多四尺竖多二，没法急得放声哭。有个邻居聪明者，教他斜竿对两角，笨伯依言试一试，不多不少刚抵足。借问竿长多少数，谁人算出我佩服。如果假设门的高为x?尺，?那么，?这个门的宽为_______?尺，长为_______?尺， ?根据题意，?得________．整理、化简，得：__________．二、探索新知学生活动：请口答下面问题．（1）上面三个方程整理后含有几个未知数？（2）按照整式中的多项式的规定，它们最高次数是几次？（3）有等号吗？还是与多项式一样只有式子？老师点评：（1）都只含一个未知数x；（2）它们的最高次数都是2次的；（3）?都有等号，是方程．因此，像这样的方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．一般地，任何一个关于x的一元二次方程，?经过整理，?都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0（a≠0）后，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．例1．将方程3x（x-1）=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．分析：一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0）．因此，方程3x（x-1）=5(x+2)必须运用整式运算进行整理，包括去括号、移项等．解：略注意:二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都包括前面的符号. 例2．（学生活动：请二至三位同学上台演练）将方程（x+1）2+（x-2）（x+2）=?1化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项、二次项系数；一次项、一次项系数；常数项．分析：通过完全平方公式和平方差公式把（x+1）2+（x-2）（x+2）=1化成ax2+bx+c=0（a≠0）的形式．解：略三、巩固练习教材练习1、2 补充练习:判断下列方程是否为一元二次方程？ (1)3x+2=5y-3 (2) x2=4 (3) 3x2-5 x =0 (4) x2-4=(x+2) 2(5) ax2+bx+c=0 四、应用拓展

浙教版九年级上册数学书答案

浙教版九年级上册数学书答案篇一：九年级上册数学作业本答案篇二：浙教版九年级数学上册期末试卷及答案九年级数学（上）期末模拟试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将答案填写在题后括号内） 1．如果□+2=0，那么“□”内应填的实数是（） A．－2 B．－ 12 C． 12 D． 2 2．在Rt⊿ABC中，若各边的长度同时都扩大2倍，则锐角A的正弦值与余弦值的情况（） A．都扩大2倍B．都缩小2倍 C．都不变D．正弦值扩大2倍, 余弦值缩小2倍 3．路程s与时间t的大致图象如下左图所示，则速度v与时间t的大致图象为（） A． B．C． D． 4．小明与两位同学进行乒乓球比赛，用“手心、手背”游戏确定出场

顺序. 设每人每次出手心、手背的可能性相同. 若有一人与另外两人不同，则此人最后出场.三人同时出手一次, 小明最后出场比赛的概率为（） A． 12 B． 5．如图, 在 ?ABCD中, AB=10, AD=6, E是AD的中点, 在AB?上取一点F,? 使 F 11 C．34 D． 1 5 AED △CBF∽△CDE, 则BF的长是() A.5 B.8.2 C.6.4 D.1.8 6. 从1到9这九个自然数中任取一个，是2的倍数或是3的倍数的概率为() 12A．B． 992 C．

3 D． 5 9 7．如图，小正方形的边长均为l，则下列图中的三角形(阴影部分)与△ABC相似的是（） A B C D 8．如图，己知△ABC，任取一点O，连AO，BO，CO，并取它们的中点 D，E，F，得△DEF，则下列说法正确的个数是( ) ①△ABC与△DEF是位似图形；②△ABC与△DEF是相似图形；③△ABC 与△DEF的周长比为1:2；④△ABC与△DEF的面积比为4:1． A．1B．2C．3D．4 9．已知二次函数y?ax?bx?c的图象过点A（1，2），B（3，2），C（5，7）．若点M（－2，y1），N（（－1，y2），K（8，y3）也在二次函数y?ax?bx?c 的图象上，则下列结论正确的是( )A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y1＜y3＜y2 2 2 10．在一次1500米比赛中，有如下的判断: 甲说: 丙第一 , 我第三; 乙

人教版九年级数学上册全册教案

(此文档为word格式，下载后您可任意编辑修改！) 数学教案（七年级上册）第1章有理数第2章整式的加减第3章一元一次方程第4章图形认识初步第一章有理数 1.1正数和负数教学目标： 1、了解正数与负数是从实际需要中产生的。 2、能正确判断一个数是正数还是负数，明确0既不是正数也不是负数。 3、会用正、负数表示实际问题中具有相反意义的量。重点：正、负数的概念重点：负数的概念、正确区分两种不同意义的量。 2、正数和负数教师：如何来表示具有相反意义的量呢？我们现在来解决问题4提出的问题。结论：零下5℃用－5℃来表示，零上5℃用5℃来表示。为了用数表示具有相反意义的量，我们把其中一种意义的量。如零上、向东、收入和高于等规定为正的，而把与它相反的量规定为负的。正的用小学学过的数（0除外）表示，负的用小学学过的数（0除外）在前面加上“－”（读作负）号来表示。根据需要，有时在正数前面也加上“+”（读作正）号。注意：①数0既不是正数，也不是负数。0不仅仅表示没有，也可以表示一个确定的量，如温度计中的0℃不是没有表示没有温度，它通常表示水结成冰时的温度。②正数、负数的“+”“－”的符号是表示量的性质相反，这种符号叫做性质符号。

三、巩固知识 1、课本P3 练习 2、课本P4例义。四、总结 ①什么是具有相反意义的量？②什么是正数，什么是负数？③引入负数后，0的意义是什么？五、布置作业课本P5习题1.1第1、2题。 1.2.1有理数教学目标： 1、正确理解有理数的概念及分类，能够准确区分正整数、0、负整数、正分数、负分数。 2、掌握有理数的分类方法，会对有理数进行分类，体验分类是数学上常用的处理问题的方法。重点：正确理解有理数的概念重点：有理数的分类教学过程：一、知识回顾，导入新课什么是正数，什么是负数？问题1：学习了负数之后，我们对数的认识范围扩大了，你能写出三个不同类型的数吗？（请三位同学上黑板上写出，其他同学在自己的练习本上写出，如果有出现不同类型的数，同学们可上黑板补充。）问题2：观察黑板上的这么数，并给它们分类。先让学生独立思考，接着讨论和交流分类的情况，得出数的类型有5类：正整数、0、负整数、正分数、负分数。二、讲授新课 1、有理数的定义引导学生对前面的数进行概括，得出：正整数、零、负整数统称为整数；正分数和负分数统称分数。整数可以看作分母为1的分数，正整数、零、负整数、正分数和负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数，即整数和分数统称有理数。 2、有理数的分类让学生在总结出5类数基础上，进行概括，尝试进行分类，通过交流和讨论，再加上老师适当的指导，逐步得出下面的两种分类方式。（1）按定义分类：（2）按性质分类：

人教版九年级数学上册讲义(全册)

人教版九年级数学上册讲义（全册）第二十一章二次根式教材内容 1．本单元教学的主要内容：二次根式的概念；二次根式的加减；二次根式的乘除；最简二次根式． 2．本单元在教材中的地位和作用：二次根式是在学完了八年级下册第十七章《反比例正函数》、第十八章《勾股定理及其应用》等内容的基础之上继续学习的，它也是今后学习其他数学知识的基础．教学目标 1．知识与技能（1）理解二次根式的概念．（2）理解（a≥0）是一个非负数，（）2=a（a≥0），=a（a≥0）．（3）掌握·＝（a≥0，b≥0），=·； =（a≥0，b>0），=（a≥0，b>0）．（4）了解最简二次根式的概念并灵活运用它们对二次根式进行加减． 2．过程与方法（1）先提出问题，让学生探讨、分析问题，师生共同归纳，得出概念．?再对概念的内涵进行分析，得出几个重要结论，并运用这些重要结论进行二次根式的计算和化简．（2）用具体数据探究规律，用不完全归纳法得出二次根式的乘（除）法规定，?并运用规定进行计算．（3）利用逆向思维，?得出二次根式的乘（除）法规定的逆向等式并运用它进行化简．（4）通过分析前面的计算和化简结果，抓住它们的共同特点，?给出最简二次根式的概念．利用最简二次根式的概念，来对相同的二次根式进行合并，达到对二次根式进行计算和化简的目的． 3．情感、态度与价值观通过本单元的学习培养学生：利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神，经过探索二次根式的重要结论，二次根式的乘除规定，发展学生观察、分析、发现问题的能力．教学重点 1．二次根式（a≥0）的内涵．（a≥0）是一个非负数；（）2＝a（a≥0）；=a（a≥0）?及其运用． 2．二次根式乘除法的规定及其运用． 3．最简二次根式的概念． 4．二次根式的加减运算．教学难点 1．对（a≥0）是一个非负数的理解；对等式（）2＝a（a≥0）及=a（a≥0）的理解及应用．2．二次根式的乘法、除法的条件限制． 3．利用最简二次根式的概念把一个二次根式化成最简二次根式．教学关键 1．潜移默化地培养学生从具体到一般的推理能力，突出重点，突破难点． 2．培养学生利用二次根式的规定和重要结论进行准确计算的能力，?培养学生一丝不苟的科学精神．单元课时划分本单元教学时间约需11课时，具体分配如下： 21．1 二次根式3课时 21．2 二次根式的乘法3课时 21．3 二次根式的加减3课时教学活动、习题课、小结2课时

人教版九年级上册数学全册教案公开课

人教版九年级上册数学全册教案第二十一章一元二次方程 21.1 一元二次方程教学目标知识技能 1．通过类比一元一次方程，了解一元二次方程的概念及一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，分清二次项及其系数、一次项及其系数与常数项等概念． 2.了解一元二次方程的解的概念，会检验一个数是不是一元二次方程的解．

数学思考与问题解决通过丰富的实例，列出一元二次方程，让学生体会一元二次方程是刻画现实世界数量关系的有效模型，培养学生初步形成“模型思想”，增强学生应用数学知识解决实际问题的意识．情感态度使学生经历类比一元一次方程得到一元二次方程概念的过程，减少学生对新知识的陌生感，提高学生学习数学的兴趣．重点难点重点：通过类比一元一次方程，了解一元二次方程的概念及一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)和一元二次方程的解等概念，并能用这些概念解决简单问题．难点：一元二次方程及其二次项系数、一次项系数和常数项系数的识别．教学设计活动一：创设情境 1．什么是方程？什么是一元一次方程？ 2．指出下面哪些方程是已学过的方程？分别是什么方程？ (1)3x＋4＝1；(2)6x－5y＝7；(3)－＝0；(4)y＝5；(5)x2－70x ＋825＝0；(6)7＋＝4；(7)x(x＋5)＝150；(8)－＝0. 3．什么是“元”？什么是“次”？

活动二：一元二次方程及其相关概念的学习自学教材第2～3页，思考教师所提下列问题： 1．问题1中列方程的等量关系是________，所列方程为________，化简后为________． 2．问题2中列方程的等量关系是________，为什么要乘？所列方程为________，化简后为________． 3．观察上面化简后的方程，会发现：等号两边都是________，只含有________个未知数，并且未知数的最高次数是________的方程，叫做一元二次方程． 4．任何一个方程都要化成它的一般形式，一元二次方程的一般形式为________(a≠________)．为什么？ 5．说出一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项，在确定各个系数时要注意什么？设计意图：通过设问的方式来加深学生对一元二次方程的理解，排除学生对一元二次方程及其相关概念理解的障碍，让学生体会到一元二次方程也是刻画现实世界中的数量关系的一个有效数学模型，同时，通过设问也给学生学习探究搭建了交流平台．活动三：尝试练习 1．判断下列方程是否为一元二次方程． (1)3x＋2＝5y－3；(2)x2＝4；(3)3x2－＝0；(4)x2－4＝(x＋2)2；

人教版九年级数学下册：全套教案

第二十六章二次函数 [本章知识要点] 1．探索具体问题中的数量关系和变化规律． 2．结合具体情境体会二次函数作为一种数学模型的意义，并了解二次函数的有关概念． 3．会用描点法画出二次函数的图象，能通过图象和关系式认识二次函数的性质． 4．会运用配方法确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴． 5．会利用二次函数的图象求一元二次方程（组）的近似解． 6．会通过对现实情境的分析，确定二次函数的表达式，并能运用二次函数及其性质解决简单的实际问题． 26．1 二次函数 [本课知识要点] 通过具体问题引入二次函数的概念，在解决问题的过程中体会二次函数的意义． [MM 及创新思维] （1）正方形边长为a （cm ），它的面积s （cm 2）是多少？（2）矩形的长是4厘米，宽是3厘米，如果将其长与宽都增加x 厘米，则面积增加y 平方厘米，试写出y 与x 的关系式．请观察上面列出的两个式子，它们是不是函数？为什么？如果是函数，请你结合学习一次函数概念的经验，给它下个定义． [实践与探索] 例1． m 取哪些值时，函数)1()(2 2 +++-=m mx x m m y 是以x 为自变量的二次函数？分析若函数)1()(22 +++-=m mx x m m y 是二次函数，须满足的条件是： 02≠-m m ．解若函数)1()(2 2 +++-=m mx x m m y 是二次函数，则 02 ≠-m m ．解得 0≠m ，且1≠m ．因此，当0≠m ，且1≠m 时，函数)1()(2 2 +++-=m mx x m m y 是二次函数．回顾与反思形如c bx ax y ++=2 的函数只有在0≠a 的条件下才是二次函数．探索若函数)1()(22 +++-=m mx x m m y 是以x 为自变量的一次函数，则m 取哪些

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21.1二次函数教学目标：（1）能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围。（2）注重学生参与，联系实际，丰富学生的感性认识，培养学生的良好的学习习惯重点难点：能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围。教学过程：一、试一试 1.设矩形花圃的垂直于墙的一边AB的长为xm，先取x的一些值，算出矩形的另一边BC的长，进而得出矩形的面积ym2．试将计算结果填写在下表的空格 3．我们发现，当AB的长(x)确定后，矩形的面积(y)也随之确定，y是x的函数，试写出这个函数的关系式，对于1.，可让学生根据表中给出的AB的长，填出相应的BC的长和面积，然后引导学生观察表格中数据的变化情况，提出问题：(1)从所填表格中，你能发现什么？(2)对前面提出的问题的解答能作出什么猜想?让学生思考、交流、发表意见，达成共识：当AB的长为5cm，BC的长为10m时，围成的矩形面积最大；最大面积为50m2。对于2，可让学生分组讨论、交流，然后各组派代表发表意见。形成共识，x的值不可以任意取，有限定范围，其范围是0 ＜x ＜10。对于3，教师可提出问题，(1)当AB=xm时，BC长等于多少m?(2)面积y等于多少?并指出y=x(20－2x)(0 ＜x ＜10)就是所求的函数关系式．二、提出问题某商店将每件进价为8元的某种商品按每件10元出售，一天可销出约100件．该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润，经过市场调查，发现这种商品单价每降低0.1元，其销售量可增加10件。将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大? 在这个问题中，可提出如下问题供学生思考并回答： 1．商品的利润与售价、进价以及销售量之间有什么关系? [利润=(售价－进价)×销售量] 2．如果不降低售价，该商品每件利润是多少元?一天总的利润是多少元? [10－8=2(元)，(10－8)×100=200(元)] 3．若每件商品降价x元，则每件商品的利润是多少元?一天可销售约多少件商品? (10－8－x)；(100＋100x) 4．x的值是否可以任意取?如果不能任意取，请求出它的范围， [x的值不能任意取，其范围是0≤x≤2]

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第22章一元二次方程 22.1 一元二次方程【知识与技能】 1.知道一元二次方程的意义，能熟练地把一元二次方程整理成一般形式ax2+bx+c=0（a≠0）. 2.在分析、揭示实际问题的数量关系并把实际问题转化为数学模型（一元二次方程）的过程中，使学生感受方程是刻画现实世界数量关系的工具，增加对一元二次方程的感性认识. 【过程与方法】通过解决实际问题，把实际问题转化为数学模型，引入一元二次方程的概念，让学生认识一元二次方程及其相关概念，提高学生利用方程思想解决实际问题的能力. 【情感态度】通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情. 【教学重点】判定一个数是否是方程的根. 【教学难点】由实际问题列出的一元二次方程解出根后，还要考虑这些根是否确定是实际问题的根.

一、情境导入，初步认识问题1 绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少？【分析】设长方形绿地的宽为x米，不难列出方程x（x+10）=900，整理可得x2+10x-900=0.（1）问题2 学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7.2万册.求这两年的年平均增长率. 解：设这两年的年平均增长率为x，我们知道，去年年底的图书数是5万册，则今年年底的图书数是5（1+x）万册，同样，明年年底的图书数又是今年年底的（1+x）倍，即5（1+x）·（1+x）=5（1+x）2万册.可列得方程5 （1+x）2=7.2，整理可得5x2+10x-2.2=0（2）【教学说明】教师引导学生列出方程，解决问题. 二、思考探究，获取新知思考、讨论问题1和问题2分别归结为解方程（1）和（2）.显然，这两个方程都不是一元二次方程.那么这两个方程与一元二次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？共同特点：（1）都是整式方程（2）只含有一个未知数（3）未知数的最高次数是2 【归纳总结】上述两个整式方程中都只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的方程叫做一元二次方程.通常可写成如下的一般形式：

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《人教版九年级上册全书教案》第二十一章二次根式教材内容 1．本单元教学的主要内容：二次根式的概念；二次根式的加减；二次根式的乘除；最简二次根式． 2．本单元在教材中的地位和作用：二次根式是在学完了八年级下册第十七章《反比例正函数》、第十八章《勾股定理及其应用》等内容的基础之上继续学习的，它也是今后学习其他数学知识的基础．教学目标 1．知识与技能（1）理解二次根式的概念．（2a≥02=a（a≥0（a≥0）．（3（a≥0，b≥0； a≥0，b>0a≥0，b>0）．（4）了解最简二次根式的概念并灵活运用它们对二次根式进行加减． 2．过程与方法（1）先提出问题，让学生探讨、分析问题，师生共同归纳，得出概念．?再对概念的内涵进行分析，得出几个重要结论，并运用这些重要结论进行二次根式的计算和化简．（2）用具体数据探究规律，用不完全归纳法得出二次根式的乘（除）法规定，?并运用规定进行计算．（3）利用逆向思维，?得出二次根式的乘（除）法规定的逆向等式并运用它进行化简．（4）通过分析前面的计算和化简结果，抓住它们的共同特点，?给出最简二次根式的概念．利用最简二次根式的概念，来对相同的二次根式进行合并，达到对二次根式进行计算和化简的目的． 3．情感、态度与价值观通过本单元的学习培养学生：利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神，经过探索二次根式的重要结论，二次根式的乘除规定，发展学生观察、分析、发现问题的能力．教学重点 1a≥0a≥0）2＝a（a≥0）；（a≥0）?及其运用． 2．二次根式乘除法的规定及其运用． 3．最简二次根式的概念． 4．二次根式的加减运算．教学难点 1a≥0）2＝a（a≥0（a≥0）

【人教版】九年级下册数学教案 (全册)教学设计

.第二十六章二次函数 [本章知识要点] 1．探索具体问题中的数量关系和变化规律． 2．结合具体情境体会二次函数作为一种数学模型的意义, 并了解二次函数的有关概念． 3．会用描点法画出二次函数的图象, 能通过图象和关系式认识二次函数的性质． 4．会运用配方法确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴． 5．会利用二次函数的图象求一元二次方程（组）的近似解． 6．会通过对现实情境的分析, 确定二次函数的表达式, 并能运用二次函数及其性质解决简单的实际问题． 26．1 二次函数 [本课知识要点] 通过具体问题引入二次函数的概念, 在解决问题的过程中体会二次函数的意义． [MM 及创新思维] （1）正方形边长为a （cm ）, 它的面积s （cm 2）是多少？（2）矩形的长是4厘米, 宽是3厘米, 如果将其长与宽都增加x 厘米, 则面积增加y 平方厘米, 试写出y 与x 的关系式．请观察上面列出的两个式子, 它们是不是函数？为什么？如果是函数, 请你结合学习一次函数概念的经验, 给它下个定义． [实践与探索] 例1． m 取哪些值时, 函数)1()(2 2 +++-=m mx x m m y 是以x 为自变量的二次函数？分析若函数)1()(22 +++-=m mx x m m y 是二次函数, 须满足的条件是:02 ≠-m m ．解若函数)1()(22 +++-=m mx x m m y 是二次函数, 则 02 ≠-m m ．解得 0≠m , 且1≠m ．因此, 当0≠m , 且1≠m 时, 函数)1()(2 2 +++-=m mx x m m y 是二次函数．回顾与反思形如c bx ax y ++=2 的函数只有在0≠a 的条件下才是二次函数．探索若函数)1()(22 +++-=m mx x m m y 是以x 为自变量的一次函数, 则m 取哪些

九年级上册数学教案

第一课21.1二次根式学习目标： 1. 理解二次根式的定义，会用算术平方根的概念解释二次根式的意义. 2. 会确定二次根式有意义的条件，知道a(a≥0)是非负数，并会运用. 3. 会进行二次根式的平方运算，会对被开方数为平方数的二次根式进行化简. 教学重点： 1.a有意义的条件. 2.a≥0时a≥0的应用. 3.()2a和2a 的运算、化简教学难点：a<0时2a的化简（教学过程）一、板书课题，揭示目标在勾股定理和四边形两章中，已经用到过简单的二次根式运算，在本章中将系统地学习二次根式的运算。本课只学习二次根式的概念及其三个运算性质. (投影课题和目标)．学习目标：（见学习目标）二、指导自学认真看课本P2-P5练习前的内容： 1、填空，完成课本思考1，观察其形式上的共同点，被开方数的共同点，说明各式所表示的共同意义. 2、给出二次根式的定义，明白二次根式的读法 3、完成课本探究1，对()2a中的运算顺序、运算结果进行分析， 4、完成课本探究2，对2a中的运算顺序、运算结果进行分析， 5分钟后完成练习三、学生自学，教师巡视 1、学生按照自学指导看书，教师巡视，确保人人学得紧张高效． 2、检查自学效果练习：1、课本思考2：当x是怎样的实数时，2x，3x有意义？ 1、若m -2，则x和m的取值范围是x_____；m______. = x-

2、已知053=-++y x ，求y x ,的值各是多少？ 3、化简：2)4(-π， 2 )32(- 请三位同学板演，其余学生在座位上完成3题．四、更正、讨论、归纳、总结 1．学生自由更正，或写出不同解法； 2．讨论、归纳学生点评教师小结： 1、二次根式的概念及“被开方数非负”的条件和“运算结果非负”的性质. 2、二次根式的两个运算性质，平方为“父对象”，开方为“子对象”. 3、简单介绍代数式的概念. 4、归纳出：一个非负数先开方再平方，结果不变.；一个非负数先平方再开方，结果不变；一个负数先平方再开方结果为相反数. 五、课堂作业必做题：P5 1、（2）（4）2、（2）（4）6、8 补充作业：本课无. 教学反思第2课时 21.2二次根式的乘除（第1课时）学习目标 1.会运用二次根式乘法法则进行二次根式的乘法运算. 2.会利用积的算术平方根性质化简二次根式. 教学重点：双向运用ab b a =?(a ≥0，b ≥0)进行二次根式乘法运算. 教学难点：被开方数的最优分解因数或因式的方法.

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第二十三章数据分析 1.经历收集、整理、描述和分析数据的活动,了解数据处理的过程,能用计算器处理较为复杂的数据. 2.进一步理解平均数、中位数和众数等统计量的意义. 3.会计算加权平均数,理解“权”的意义,能选择适当的统计量表示数据的集中趋势. 4.体会刻画数据离散程度的意义,会计算简单数据的方差. 5.体会样本和总体的关系,知道可以通过样本平均数、样本方差估计总体平均数和总体方差. 6.能对统计结果进行合理的解释,进而进行简单的判断和预测,并能进行交流,清晰地表达自己的观点,体会统计对决策的作用. 1.在实际问题情境中理解平均数、加权平均数、众数、中位数、方差的意义,体会数学与生活的密切联系,培养学生的应用意识和实践能力. 2.经过进一步数据处理的过程,发展数据分析观念和数据分析处理能力,增强统计意识,提高统计能力. 3.通过观察、理解、讨论、合作交流,体会如何探究问题,培养学生用数学知识解决生活中实际问题的能力. 4.通过解决实际问题的过程,区分刻画“平均水平”的三个表示集中趋势的数据代表,让学生获得一定的评判能力,进一步发展其数学应用能力. 5.通过小组合作活动,培养学生的合作意识和交流能力,激发学生学习兴趣,让学生体验成功的快乐. 6.通过解决具体的实际问题进一步学习用样本估计总体的方法,认识统计在社会生活及科学领域中的应用,并能解决一些简单的实际问题.

1.通过解决实际问题,体会数学与自然及人类社会的密切联系,了解数学的价值,增进对数学的理解和学好数学的信心. 2.通过小组合作活动,培养学生自主探索和合作交流的意识和能力,激发学生学习兴趣,体验成功的快乐. 3.将知识的学习放在解决问题的情境中,通过数据分析与处理,培养学生求真的科学态度. 4.通过计算器的使用,了解科学在人们日常生活中的重要作用,激励学生热爱科学、学好文化知识. 【重点】 1.平均数、加权平均数、中位数、众数、方差的概念、意义及计算. 2.能根据平均数、中位数、众数、方差的概念解决实际问题. 3.在实际问题中,能选择恰当的数据代表值描述一组数据的特征,并根据恰当的统计量进行决策. 4.能用样本的平均数和方差估计总体的平均数和方差. 【难点】 1.利用平均数、中位数、众数、方差的概念解决实际问题. 2.在实际问题中,能选择恰当的数据代表值描述一组数据的特征,并根据恰当的统计量做出决策. 3.体会用样本估计总体的思想. 1.现阶段的统计学习,是从实际问题出发,经历收集数据、整理数据、表示数据、分析数据和做出判断的过程,在解决问题的过程中,要理解相关概念,体会统计的基本思想,掌握简单的分析数据的方法,逐步建立数据分析的概念.在教学中多创造贴近学生生活实际的情境,让学生感受统计与实际生活的密切联系,以及统计在解决现实问题中的作用. 2.统计观念反映的是由一组数据所引发的想法、能推测到的可能结果以及自觉地想到用统计的方法解决问题等,是在亲身经历统计活动的过程中培养出来的一种感觉,在教学中多采用学生活动的方式进行教学,在教学活动中教师应

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