简单曲线的极坐标方程教案
简单曲线的极坐标方程
【教学目标】
1.熟练掌握简单曲线的极坐标方程的求法，提高应用极坐标系的概念和极坐标和直角坐标的互化解决问题的能力.
2.自主学习，合作交流，探究并归纳总结简单曲线的极坐标方程的求法.
3.激情投入，高效学习，体验探究、归纳、总结的过程，增强应用数学的能力.
【教学重难点】
简单曲线的极坐标方程的求法
【教学过程】
一、复习、预习自学：
2.极坐标和直角坐标的互化（P11）
（1）极坐标化为直角坐标
θ
ρcos
=
x，θ
ρsin
=
y
（2）直角坐标化为极坐标
2
2
2y
x+
=
ρ，)0
(
tan≠
=x
x
y
θ
3.曲线和方程（平面直角坐标系中（P12））
曲线C上的点的坐标都是方程0
)
,
(=
y
x
f
的解；
以方程0
)
,
(=
y
x
f的解为坐标的点都在
曲线C上.
（3）极坐标系中如何用方
程表示曲线
【复习、预习自测】
1.极坐标化为直角坐标：→
)
4
,3(
π________，→
)
3
2
,2(
π________
2. 直角坐标化为极坐标：→
)3
,3( ________，→
-)
3
5
,0(________
二、合作探究
探究点一：圆的极坐标方程（P12-13）
如图，半径为a的圆的圆心坐标为C(a,0)(a>0).你能用一个等式表示圆上任意一点的极坐标）
，
（θ
ρ满足的条件吗
探究点1图拓展1图小结（P13）：一般的，在极坐标系中，如果满足下列两个条件，那么方程
0),(=θρf 叫做曲线C 的极坐标方程：
（1） （2）
拓展1（P13）：已知圆O 的半径为r ，建立怎样的极坐标系，可以使圆的
极坐标方程更简单并将所得结果与直角坐标方程进行比较.
探究点二：直线的极坐标方程（P13）
如图，直线l 经过极点，从极轴到直线l 的角是4
π
，求直线l 的极坐标方
程.
探究点2图 拓展2图 拓展3图
拓展2（P14）：求过点A(a,0)(a>0),且垂直于极轴的直线l 的极坐标方程. 拓展3（P14）：设P 点的极坐标为),(11θρ,直线l 过点P 且与极轴所成的角为α，求直线l 的极坐标方程.
【课堂小结】 1.
知
识
方
面
_____________________________________________________________________ 2.
数
学
思
想
方
面
_______________________________________________________________
__
探究点三：圆锥曲线的极坐标方程
已知椭圆C的焦距为2c，长轴长为2a，离心率为e(0 极坐标方程 简单曲线的极坐标方程 【教学目标】 1.熟练掌握简单曲线的极坐标方程的求法，提高应用极坐标系的概念和极坐标和直角坐标的互化解决问题的能力. 2.自主学习，合作交流，探究并归纳总结简单曲线的极坐标方程的求法. 3.激情投入，高效学习，体验探究、归纳、总结的过程，增强应用数学的能力. 【教学重难点】 简单曲线的极坐标方程的求法 【教学过程】 一、复习、预习自学： 基础知识梳理问题导引 1.极坐标系的概念（P9） 如图，在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O引一条射线Ox，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位（通常取弧度）及正方向（通常取逆时针方向），这样就建立了一个极坐标系 设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径记为；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记为.有序实数对叫做点M 的极坐标记为. 2.极坐标和直角坐标的互化（P11） （1）极坐标化为直角坐标 ， （2）直角坐标化为极坐标 ， 3.曲线和方程（平面直角坐标系中（P12）） 曲线C上的点的坐标都是方程的解； 以方程的解为坐标的点都在曲线C上. （1）极坐标系和以前所学的平面直角坐标系有什么区别和联系？ （2）那些只是是我们应该掌握的？ （3）极坐标系中如何用方程表示曲线？ 【复习、预习自测】 1.极坐标化为直角坐标：________，________ 2. 直角坐标化为极坐标： ________，________ 二、合作探究 探究点一：圆的极坐标方程（P12-13） 如图，半径为a的圆的圆心坐标为C(a0)(a>0).你能用一个等式表示圆上任意一点的极坐标满 足的条件吗？ 探究点1图拓展1图 小结（P13）：一般的，在极坐标系中，如果满足下列两个条件，那么方程叫做曲线C的极 坐标方程： （1） （2） 拓展1（P13）：已知圆O的半径为r，建立怎样的极坐标系，可以使圆的极坐标方程更简单？并将所得结果与直角坐标方程进行比较. 探究点二：直线的极坐标方程（P13） 如图，直线l经过极点，从极轴到直线l的角是，求直线l的极坐标方程. 探究点2图拓展2图拓展3图 拓展2（P14）：求过点A(a0)(a>0)且垂直于极轴的直线l的极坐标方程. 拓展3（P14）：设P点的极坐标为直线l过点P且与极轴所成的角为，求直线l的极坐标方程. 【课堂小结】 1.知识方面_____________________________________________________________________ 2.数学思想方面_________________________________________________________________ 探究点三：圆锥曲线的极坐标方程 已知椭圆C的焦距为2c，长轴长为2a，离心率为e(0 简单曲线的极坐标方程 内容和内容解析 本节课是普通高中新课程标准实验教科书《数学》（选修4-4）中第一讲《坐标系》第三节“简单曲线的极坐标方程”的第一课时。解析几何是数学一个重要的分支,它沟通了数学中数与形、代数与几何等最基本对象之间的联系。牛顿在他的老师沃利斯的影响下，多次运用坐标系，按曲线的方程来描述曲线，而且提出了建立新的坐标系的创建。牛顿坐标系就是现在的极坐标系。极坐标系的创立为数学研究做出了巨大的贡献。简单曲线的极坐标方程这一节是本讲的重点内容，是选修4-4的重点，也是高考选考内容中的考察内容之一。极坐标方程在实际生活中有着较广的应用，同时也是学生锻炼提高数学能力的良好题材，它蕴含了许多重要的数学思想方法，如：数形结合思想、转化与化归思想等。因此，教学时应重视体现数学的思想方法及价值。 目标和目标解析 1.知识与技能目标： 理解曲线极坐标方程的概念；了解与曲线直角坐标方程的异同；掌握求曲线极坐标方程的步骤；能在极坐标系中给出简单图形（如过极点或圆心在极点的圆）的方程，通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，体会在用方程刻画平面图形时选择适当坐标系的意义。掌握圆的直角坐标方程和极坐标方程的互化，能根据圆的极坐标方程画出其对应的图形并进行有关计算 2.过程与方法目标： 通过对预习作业中问题的探究体会类比、从已知推测未知、从特殊到一般的数学思想方法；通过对简单曲线的极坐标方程的求解和其几何意义的探讨，培养观察、分析、比较和归纳的能力；通过不同坐标系的选择感受转化与化归的思想方法；通过极坐标方程与其几何图形的对应，体会数形结合的思想方法 3.情感、态度与价值观目标： 通过不同坐标系的选择与变换理解事物的多样性及其中必然的内在的联系性，可以多角度、多层次地分析问题.；通过练习体验小组探究合作学习，体会团结协作精神；通过阿基米德螺线，四叶玫瑰线，双曲螺线，心脏线，双纽线，星形线，三叶玫瑰线的绘制感受数学与生活的联系，欣赏和感受数学中的美，渗透数学文化，激发学习兴趣 教学重点：圆的极坐标方程的求法 教学问题诊断分析 高二学生，知识经验正逐步成熟，形成了适合自己的一套学习方法，有较强的演绎推理能力和数形结合的能力，具有较好自主探究的能力，能在教师的引导下独立、合作地解决一些问题，学生之前已经学习了极坐标系，现在基本会极坐标和直角坐标的互化，也会求曲线轨迹方程的步骤，具备了数形结合思想。在圆的极坐标方程推导中，要用到三角函数知识，关键是利用直角三角形边角关系建立起坐标变量间的关系，如何合理作图构造恰当的三角形是关键，因此在这部分内容的研究中，鼓励学生小组讨论, 尽多的给学生动手的机会，让学生在实践中体验作图的关键，另外，特殊点极坐标的选择和检验也是理解难点。本节课需要学生小组合作探究学习，因此之前的学习小组分配很关键，小组间的配合也有影响课堂进度，教师分组时引起注意。 教学难点：对不同位置的圆的极坐标方程的理解 教学支持条件分析 课堂上需要学生小组讨论，合作学习。配合班级管理把班上同学分成六个学习小组，围桌而坐，组建原则是：“组间同质、组内异质”, 根据学习能力、兴趣倾向、交往技能、守纪情况、性别比例及座位的安排等合理搭配 根据本节内容的特点，教学过程中可充分发挥信息技术的作用： 利用多媒体播放短片引起兴趣，利用动态作图优势为学生的数学探究与数学思维提供支持；利用实物投影仪，直接投影学生小组讨论的解题思路、解题过程，学生上台分析时也可直接投影自己的答题过程不用板书节约时间 三 简单曲线的极坐标方程 课 题: 1、圆的极坐标方程 教学目标： 1、掌握极坐标方程的意义 2、能在极坐标中给出简单图形的极坐标方程 教学重点、极坐标方程的意义 教学难点：极坐标方程的意义 教学方法：启发诱导，讲练结合。 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 问题情境 1、直角坐标系建立可以描述点的位置极坐标也有同样作用？ 2、直角坐标系的建立可以求曲线的方程 极坐标系的建立是否可以求曲线方程？ 学生回顾 1、直角坐标系和极坐标系中怎样描述点的位置？ 2、曲线的方程和方程的曲线（直角坐标系中）定义 3、求曲线方程的步骤 4、极坐标与直角坐标的互化关系式: 二、讲解新课： 1、引例．如图，在极坐标系下半径为a 的圆的圆心坐标为 (a ,0)(a >0)，你能用一个等式表示圆上任意一点， 的极坐标(ρ,θ)满足的条件？ 解：设M (ρ,θ)是圆上O 、A 以外的任意一点，连接AM ， 则有：OM=OAcos θ，即：ρ＝2acos θ ①， 2、提问：曲线上的点的坐标都满足这个方程吗？ 可以验证点O(0,π/2)、A(2a ,0)满足①式. 等式①就是圆上任意一点的极坐标满足的条件. 反之，适合等式①的点都在这个圆上. 3、定义：一般地，如果一条曲线上任意一点都有一个极坐标适合方程 0),(=θρf 的点在曲线上，那么这个方程称为这条曲线的极坐标方程，这条曲线称为这个极坐标方程的曲线。 例1、已知圆O 的半径为r ，建立怎样的坐标系， 可以使圆的极坐标方程更简单？ ①建系； ②设点；M （ρ，θ） ③列式；OM ＝r ， 即：ρ＝r ④证明或说明. 变式练习：求下列圆的极坐标方程 (１)中心在Ｃ(a ,0)，半径为a ； (２)中心在(a,π/2)，半径为a ； (３)中心在Ｃ(a ,θ０)，半径为a 答案：(1)ρ＝2acos θ (2) ρ＝2asin θ (3)0cos()a ρθθ-＝２ 例2．（1）化在直角坐标方程0822=-+y y x 为极坐标方程， （2）化极坐标方程)3cos(6π θρ-= 为直角坐标方程。 三、课堂练习： 1.以极坐标系中的点(1,1)为圆心，1为半径的圆的方程是 (C) ()() .2cos .2sin 44.2cos 1.2sin 1A B C D ππρθρθρθρθ????=-=- ? ?? ?? ?=-=- 2.极坐标方程分别是ρ＝cos θ和ρ＝sin θ的两个圆的圆心距是多少？ 2 sin (4)π πρθρθρθρ3．说明下列极坐标方程表示什么曲线 (1)＝２cos(-) (2)＝cos(-)4 3 (3)＝3 ＝６ 2222423020x y x y x y x y x +-+==+==．填空： (1)直角坐标方程的 极坐标方程为＿＿＿＿＿＿＿ (2)直角坐标方程－＋１的极坐标方程为＿＿＿＿＿＿＿ (3)直角坐标方程９的极坐标方程为＿＿＿＿＿ (4)直角坐标方程３的极坐标方程为＿＿＿＿＿＿＿ 四、课堂小结： 1．曲线的极坐标方程的概念． 2．求曲线的极坐标方程的一般步骤． 五、课外作业：教材28P 1，2 1．在极坐标系中，已知圆C 的圆心)6 ,3(π C ，半径3=r ， （1）求圆C 的极坐标方程。 （2）若Q 点在圆C 上运动，P 在OQ 的延长线上，且2:3:=OP OQ ，求动点P 的轨迹方程。 师：在平面直角坐标系中，平面曲线C 可以用方程f (x ,y )=0表示，曲线与方程满足如下关系： ①曲线C 的点的坐标都是方程f (x ,y )=0 的解； ②以方程 f (x ,y )=0的解为坐标的点都是曲线C 上的点． 师：那么，在极坐标系中，平面曲线是否可以用方程f (ρ,θ )=0表示呢？我们一起来探讨一下下面的问题。 探究：如图，半径为a 的圆的圆心坐标 为(a,0)(a>0)，你能用一个等式表示圆上任 意一点的极坐标(ρ,θ)满足的条件吗？ (多媒体演示,学生思考，互相讨论) 师：大家先回忆一下我们在直角坐标系 中求曲线方程的一般步骤。 生众：建系→设点→列式→化简→结论 师：其实，采用相同的办法，我们可以求极坐标系中曲线的方程。我们可以以点O 为极点，Ox 为极轴建立如右图所示的极坐标系， 设圆与极轴的另一个交点为A ，那么=||OA ？ 生众：2a 师： 设),(θρM 为圆上除点O ，A 以外的任意一点，则⊥OM ？ 生众：AM 师：在AMO RT ?中，=||OM ？ ，即=ρ ？ 生众：ρ=||OM ，θθρcos 2cos a OA =?= ······① 师：注意，我们可以可以验证，点O （0,0） ，A （2a ，0） 的坐标满足等式①，也就是说等式①就是圆上任意一点的极坐标),(θρ满足的条件。， 师：像这样（1）曲线C 的点的极坐标都是方程f (ρ,θ )=0的解； （2）以方程f (ρ,θ )=0的解为坐标的点都在曲线C 上． 那么方程f (ρ,θ )=0 叫做曲线C 的极坐标方程 【设计意图】由直角坐标系中求曲线的方程的一般步骤类比出求曲线的极坐标方程的一般步骤，从而得到如何求曲线极坐标方程的思路。由上述例子得到曲线的极坐标方程的定义，层层递进，有利于我们对知识点的理解。 （教师板书） 曲线的极坐标方程：一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C 上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程0),(=θρf ，并且坐标适合方程0),(=θρf 的点都在曲线C 上，那么方程0),(=θρf 叫做曲线C 的极坐标方程． 师：那么，在极坐标系中，求曲线的极坐标方程的一般步骤是什么？ 圆的极坐标方程 1.曲线的极坐标方程 一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程f (p, 0) =0,并且坐标适合方程f (p, 0) =0的点都在曲线C上，那么方程f (p, 0) =0叫做曲线C的极坐标方程. 2.圆的极坐标方程 (1)特殊情形如下表 (2) 一般情形：设圆心C ( po, 0o),半径为r, M (p, 0)为圆上任意一点，则| CM|=r, https://www.wendangku.net/doc/5a6432508.html,= | 0— 0o| ,根据余弦定理可得圆C的极坐标方程为p — 2popcos (0 — 00) + po— r2 = 0. o 1. 极坐标方程p = 4表示的曲线是（） A.过（4, 0）点，且垂直于极轴的直銭 ?过（2, 0）点，且垂直于极轴的直线 C.以（4, 0）为圆心，半径为4的圆D ?以极点为圆心，半径为4的圆 解析：选 D.由极 坐标方程的定义可知，极坐标方暗4表示以极点为圆心，以4为 半径的圆. 2. 圆心在（1, 0）且过极点的圆的极坐标（） A. p= 1 B p= cos 0 C p=2cos°D ? p=2sin8 解析：选C.经过极点0且半径为3的圆的极坐标方程为p=2acos0,因圆心在 （1 , 0）,所以半径为1,所以极坐标方程为p-2cos0,故选C. 2 所以 P 2= 22p COS 0+ 22 p sin 0, 即 x 2 + y^=2 2x+ 2y ? 2 2 2 2 ］ _ 化简整理得X — 2 + y — 2 =,表不圆.选D ? 4 4 4 4.极坐标方程p=2cos8表示的曲线所围成的面积为 __________ ? 解析：由p = 2cos 8 = 2xlxcos 8知，曲线表示圆，且圆的半径r 为1, 所以面积S=irr =冗? 答案：u 圆的极坐标方程 3TT 求圆心在C 2, 2处并且过极点的圆的极坐标方程，并判断点 是否在这个圆上. ［解］如图，由题意知，圆经过极点0, 0A 为其一条直径，设M （p, 0）为圆上 除点0, A 以外的任意一点，贝IJ | 0A| -2r ,连接AM,则0M 丄MA. 3.极坐标方p=cos4 —°表示的曲线是（） -rr-i ?椭 A.双曲线 B 闾 C.抛物线 解析：选D.p TT cos K 4 —0 IT =cos cos 0+sin A D ?圆 K 4 sin 0 = 2 2 COS 0 + 2 2 sin 0, 5TT —2, sin 6 常见曲线的极坐标方程（3） 学习目标： 1、进一步体会求简单曲线的极坐标方程的基本方法； 2、了解圆锥曲线的方程； 3、通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，体会在用方程刻画平面 图形时选择适当坐标系的意义。 活动过程： 活动一：知识回顾 1、若圆心的坐标为),(00θρM ，圆的半径为r ，则圆的极坐标方程为 ； 2、（1）当圆心位于)0,(r M 时，圆的极坐标方程是： ； （2）当圆心位于),(2π r M 时，圆的极坐标方程是： 。 3、圆锥曲线统一定义： 活动二：圆锥曲线的极坐标方程 探究：设定点F 到定直线l 的距离为p ，求到定点F 和定直线l 的距离之比为常数e 的点的 轨迹的极坐标方程。 活动三：圆锥曲线的极坐标方程的简单应用 例1：2003年10月15—17日，我国自主研制的神舟五号载人航天飞船成功发射并按预定方 案安全、准确的返回地球，它的运行轨道先是以地球中心为一个焦点的椭圆，椭圆的近地点（离地面最近的点）和远地点（离地面最远的点）距离地面分别为200km 和350km ，然后进入距地面约343km 的圆形轨道。若地球半径取6378km ，试写出神舟五号航天飞船运行的椭圆轨道的极坐标方程。 例2：求证：过抛物线的焦点的弦被焦点分成的两部分的倒数和为常数。 例3：已知抛物线的极坐标方程为θρcos 14-= ，求此抛物线的准线的极坐标方程。 活动四：课堂小结与自主检测 1、按些列条件写出椭圆的极坐标方程： （1）离心率为0.5，焦点到准线的距离为6； （2）长轴为10，短轴为8。 2、圆心在极轴上，半径为a 的圆经过极点，求此圆过极点的弦的三等分点的轨迹方程。 3、自极点O 作射线与直线4cos =θρ相交于点M ，在OM 上取一点P ，使得12=?OP OM ，求点P 的轨迹方程。 选修4-4教案 教案1平面直角坐标系（1课时） 教案2平面直角坐标系中的伸缩变换（1课时）教案3极坐标系的的概念（1课时） 教案4极坐标与直角坐标的互化（1课时） 教案5圆的极坐标方程（2课时） 教案6直线的极坐标方程（2课时） 教案7球坐标系与柱坐标系（2课时） 教案8参数方程的概念（1课时） 教案9圆的参数方程及应（2课时） 教案10圆锥曲线的参数方程（1课时） 教案11圆锥曲线参数方程的应用（1课时） 教案12直线的参数方程（2课时） 教案13参数方程与普通方程互化（2课时） 教案14圆的渐开线与摆线（1课时） 课题：1、平面直角坐标系 教学目的： 知识与技能：回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法 能力与与方法：体会坐标系的作用 情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。 教学重点：体会直角坐标系的作用 教学难点：能够建立适当的直角坐标系,解决数学问题 授课类型：新授课 教学模式：互动五步教学法 教具：多媒体、实物投影仪 复习及预习提纲： 1平面直角坐标系中刻画点的位置的方法 2坐标系的作用 ————教学过程———— 复习回顾和预习检查 1平面直角坐标系中刻画点的位置的方法 2坐标系的作用 创设情境，设置疑问 情境1：为了确保宇宙飞船在预定的轨道上运行，并在按计划完成科学考察任务后，安全、准确的返回地球，从火箭升空的时刻开始，需要随时测定飞船在空中的位 置机器运动的轨迹。 情境2：运动会的开幕式上常常有大型团体操的表演，其中不断变化的背景图案是由看台上座位排列整齐的人群不断翻动手中的一本画布构成的。要出现正确的背景 图案，需要缺点不同的画布所在的位置。 问题1：如何刻画一个几何图形的位置？ 问题2：如何创建坐标系？ 分组讨论 刻画一个几何图形的位置，需要设定一个参照系 1、数轴它使直线上任一点P都可以由惟一的实数x确定 2、平面直角坐标系 在平面上，当取定两条互相垂直的直线的交点为原点，并确定了度量单位和这两条直线的方向，就建立了平面直角坐标系。它使平面上任一点P都可以由惟一的实数对（x,y）确定 3、空间直角坐标系 在空间中，选择两两垂直且交于一点的三条直线，当取定这三条直线的交点为原点，并确定了度量单位和这三条直线方向，就建立了空间直角坐标系。它使空间上任一点P 都可以由惟一的实数对（x,y,z）确定 1、建立坐标系是为了确定点的位置，因此，在所建的坐标系中应满足： 任意一点都有确定的坐标与其对应；反之，依据一个点的坐标就能确定这个点的位置2、确定点的位置就是求出这个点在设定的坐标系中的坐标 三 简单曲线的极坐标方程 课 题: 1、圆的极坐标方程 教学目标： 1、掌握极坐标方程的意义 2、能在极坐标中给出简单图形的极坐标方程 教学重点、极坐标方程的意义 教学难点：极坐标方程的意义 教学方法：启发诱导，讲练结合。 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 问题情境 1、直角坐标系建立可以描述点的位置极坐标也有同样作用？ 2、直角坐标系的建立可以求曲线的方程 极坐标系的建立是否可以求曲线方程？ 学生回顾 1、直角坐标系和极坐标系中怎样描述点的位置？ 2、曲线的方程和方程的曲线（直角坐标系中）定义 3、求曲线方程的步骤 4、极坐标与直角坐标的互化关系式: 二、讲解新课： 1、引例．如图，在极坐标系下半径为a 的圆的圆心坐标为 (a ,0)(a >0)，你能用一个等式表示圆上任意一点， 的极坐标(ρ,θ)满足的条件？ 解：设M (ρ,θ)是圆上O 、A 以外的任意一点，连接AM ， 则有：OM=OAcos θ，即：ρ＝2acos θ ①， 2、提问：曲线上的点的坐标都满足这个方程吗？ 可以验证点O(0,π/2)、A(2a ,0)满足①式. 等式①就是圆上任意一点的极坐标满足的条件. 反之，适合等式①的点都在这个圆上. 3、定义：一般地，如果一条曲线上任意一点都有一个极坐标适合方程 0),(=θρf 的点在曲线上，那么这个方程称为这条曲线的极坐标方程，这条曲线称为这个极坐标方程的曲线。 例1、已知圆O 的半径为r ，建立怎样的坐标系， 可以使圆的极坐标方程更简单？ ①建系； ②设点；M （ρ，θ） ③列式；OM ＝r ， 即：ρ＝r ④证明或说明. 变式练习：求下列圆的极坐标方程 简单曲线的极坐标方程 【教学目标】 1.掌握极坐标方程的意义 2.能在极坐标中求直线和圆的极坐标方程 3.通过观察圆的极坐标方程的推导过程，体会圆的极坐标方程的简介美 【重难点分析】 ; 教学重点：直线和圆的极坐标方程的求法 教学难点：对不同位置的直线和圆的极坐标方程的理解 【教学方法】 引导发现、讲授 【教学过程】 1.导入 问题设置 1、直角坐标系中怎样描述点的位置 # 2、曲线的方程和方程的曲线（直角坐标系中）定义怎样 3、直角坐标系的建立可以求曲线的方程；极坐标系的建立是否可以求 曲线方程 2、极坐标方程的概念 引例如图，在极坐标系下半径为a的圆的圆心坐标为(a,0)(a>0)，你能用一个等式表示圆上任意一点，的极坐标(,)满足的条件 : [解] 设M (,)是圆上O、A以外的任意一点，连接AM，则有， OM=OAcosθ，所以，ρ＝2acosθ. [思考] 曲线上的点的坐标都满足这个方程吗 定义：一般地，在极坐标中，如果一条曲线C上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程 ) , (= θ ρ f,并且坐标适合0 ) , (= θ ρ f的点都在曲线C上，那么这个方程称为这条 曲线C的极坐标方程，这条曲线C称为这个极坐标方程的曲线。 [注] 1.定义中的所涉及到的两个方面. 2.极坐标系下求曲线方程的步骤： Step1找到曲线上点满足的几何条件； Step2 几何条件坐标化； $ Step3 化简. 例1 已知圆O的半径为r，建立怎样的坐标系，可以使圆的极坐标方程更简单 [分析]建系；设点M（ρ，θ）；列式OM＝r，即：ρ＝r. ) [思考] 和直角坐标方程2 2 2r y x= +相比较，此方程有哪些优点 [变式练习] 求下列圆的极坐标方程 (１)中心在Ｃ(a,0)，半径为a； (２)中心在(a,/2)，半径为a； 答案：(1)＝2acos (2) ＝2asin 例2．（备选）（1）化在直角坐标方程0 8 2 2= - +y y x为极坐标方程， & （2）化极坐标方程) 3 cos( 6 π θ ρ- =为直角坐标方程。 3、直线的极坐标方程 例3．求过极点，倾角为/4， π的射线的极坐标方程。 第4课时：常见曲线极坐标方程 教学目标 （1）了解曲线的极坐标方程的求法， （2）了解简单图形（过极点的直线、过极点的圆、圆心在极点的圆）的极坐标方程。 教学重难点：曲线的极坐标方程的求法 教学过程： 一、新课讲解 1、直线的极坐标方程 若直线l 经过点00(,)M ρθ，且极轴到此直线的角为α，则直线l 的极坐标方程为00sin()sin()ρθαρθα-=- 2、圆心是A （0ρ，0θ），半径r 的圆的极坐标方程为2220002cos()-0r ρρρθθρ--+＝ 二、例题选讲： 例1、按下列条件写出直线的极坐标方程： （1）经过极点，且倾斜角是π6的直线； （2）经过点 A(2, π4 ),且垂直于极轴的直线； （3）经过点 B(3, - π3),且平行于极轴的直线； （4）经过点C(4，0),且倾斜角是3π4 的直线. 例2、按下列条件写出圆的极坐标方程. （1）以（2,0）为圆心，2为半径的圆； （2）以（4，π2 ）为圆心，4为半径的圆； （3）以（5，π）为圆心，且过极点的圆； （4）以（2，π4 ）为圆心，1为半径的圆。 例3、在圆心的极坐标为点A （4,0），半径为4的圆中，求过极点的O 的弦的中点的轨迹方 程。 例4. 已知曲线:C 3cos 2sin x y θθ =??=?，直线:l (cos 2sin )12ρθθ-=． ⑴．将直线l 的极坐标方程化为直角坐标方程； ⑵．设点P 在曲线C 上，求P 点到直线l 距离的最小值． 例5在极坐标系中，已知圆C 的圆心)6, 3(πC ，半径1=r ，Q 点在圆C 上运动. （1）求圆C 的极坐标方程； （2）若P 在直线OQ 上运动，且3:2:=QP OQ ，求动点P 的轨迹方程. 课堂反馈： 1．两圆θρcos 2=和θρsin 4=的圆心距是 . 2.极坐标方程cos()4π ρθ=-所表示的曲线是 . 3．极坐标方程分别是θρcos =和θρsin =的两个圆的圆心距是 . 4、 直线αθ=和直线1)sin(=-αθρ的位置关系是 ． 三、课堂小结： §1.3 直线与圆的极坐标方程 撰稿人：李林源 审稿人：马 龙 授课人：__________ 授课时间:__________学生编号：____________ 姓名：_______________ 【学习目标】 1.知识与技能：能在极坐标中表示直线和圆的极坐标方程； 2.过程与方法：掌握极坐标系点的正确表示，理解极坐标方程的意义； 3.情感态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。 【重点难点】 重点：直线和圆的极坐标方程的求法 难点：对不同位置的直线和圆的极坐标方程的理解 【自主探究】 探究1:直角坐标系建立可以描述点的位置；极坐标也有同样作用？ 探究2:直角坐标系的建立可以求曲线的方程； 极坐标系的建立是否可以求曲线的方程？ 学生回顾 1、直角坐标系和极坐标系中怎样描述点的位置？ 2、曲线的方程和方程的曲线（直角坐标系中）定义; 3、求曲线方程的步骤; 【合作探究】 探究1：以极点O 为圆心5为半径的圆上任意一点极径为5，反过来，极径为5的点都在这个圆上。 因此，以极点为圆心，5为半径的圆可以用方程5=ρ来表示。 探究2：过极点，倾斜角是6π的射线和直线的极坐标方程？ 探究3：曲线上的点的坐标都满足这个方程吗？ 定义：一般地，如果一条曲线可以用含这两个变量θρ,的方程来表示，同时曲线上任意一点都有一个极坐标适合方程0),(=θρf ，那么这个方程称为这条曲线的极坐标方程，这条曲线称为这个极坐标方程的曲线。 例1、【课本P13页例5】求经过点)0,3(A 且与极轴垂直的直线l 的极坐标方程。 教师分析：设动点的极坐标抓住几何图形特征建立关系式。 变式训练：已知点P 的极坐标为),1(π，那么过点P 且垂直于极轴的直线极坐标方程。 答案：cos 1ρθ=- 例2、【课本P13页例6】求经过点A(2,0)、倾斜角为6π的直线的极坐标方程。 分析：设动点的极坐标，在三角形OAM 中利用正弦定理可解。 反思归纳：以上题目均为求直线的极坐标方程，方法是设动点的极坐标，抓住几何图形特征建立ρ与θ的关系式。 例3、【课本P14页例8】求圆心在（a,0）(a>0)、半径为a 的圆的极坐标方程。 学生练习，准对问题讲评。 变式训练：求圆心在)2 ,3(π A 且过极点的圆A 的极坐标方程。 【运用探究】 课本P13页练习中1、2、3 小结：本节课学习了以下内容： 1．如何求直线和圆的极坐标方程 。 2．极坐标系中曲线与方程的关系和直角坐标系中曲线与方程的关系是一致的。 3、掌握求直线和圆的极坐标方程的方法和步骤。 【延伸探究】 课本P18页A 组 4、8 B 组1 【教学反思】 第三章参数方程、极坐标教案直线和圆的极坐标方程教案 教学目标 1．理解建立直线和圆的极坐标方程的关键是将已知条件表示成ρ与θ之间的关系式．2．初步掌握求曲线的极坐标方程的应用方法和步骤． 3．了解在极坐标系内，一个方程只能与一条曲线对应，但一条曲线即可与多个方程对应． 教学重点与难点 建立直线和圆的极坐标方程． 教学过程 师：前面我们学习了极坐标系的有关概念，了解到极坐标系是不同于直角坐标系的另一种坐标系，那么在极坐标系下可以解决点的轨迹问题吗？ 问题：求过定圆内一定点，且与定圆相切的圆的圆心的轨迹方程． 师：探求轨迹方程的前提是在坐标系下，请你据题设先合理地建立一个坐标系．(巡视后，选定两个做示意图，(如图3-8，图3-9)，画在黑板上．) 解设定圆半径为R，A(m，0)，轨迹上任一点P(x，y)(或P(ρ，θ))．(1)在直角坐标系下：|ρA|=R-|Oρ|， (两边再平方，学生都感到等式的右边太繁了．) 师：在直角坐标系下，求点P的轨迹方程的化简过程很麻烦．我们看在极坐标系下会如何呢？ (2)在极坐标系下：在△AOP中 |AP|2=|OA|2+|OP|2-2|OA|·|OP|·cosθ， 即(R-ρ)2=m2+ρ2-2mρ·cosθ． 化简整理，得 2mρ·cosθ-2Rρ=m2-R2， 师：对比两种解法可知，有些轨迹问题在极坐标系下解起来反而简 坐标方程有什么不同呢？这就是今天这节课的讨论内容． 一、曲线的极坐标方程的概念 师：在直角坐标系中，曲线用含有变量x和y的方程f(x，y)=0表示．那么在极坐标系中，曲线用含有变量ρ和θ的方程f(ρ，θ)=0来表示，也就是说方程f(ρ，θ)=0应称为极坐标方程，如上面问题中的：ρ= (投影) 定义：一般地，在直角坐标系中，如果曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)=0的实数解建立了如下的关系： 1．曲线上的点的坐标都是这个方程的解； 2．以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点． 那么这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线． 师：前面的学习知道，坐标(ρ，θ)只与一个点M对应，但反过来，点M的极坐标都不止一个．推而广之，曲线上的点的极坐标有无穷多个．这无穷多个极坐标都能适合方程f(ρ，θ)=吗？如曲线ρ=θ上有一点(π，π)，它的另一种形式(-π，0)就不适合ρ=θ方程，这就是说点(π，π)适合方程，但点(π，π)的另一种表示方法(-π，0)就不适合．而(-π，0)不适合方程，它表示的点却在曲线ρ=θ上．因而在定义曲线的极坐标方程时，会与曲线的直角坐标方程有所不同． (先让学生参照曲线的直角坐标方程的定义叙述曲线的极坐标方程的定义，再修正，最后打出投影：曲线的极坐标方程的定义) 曲线的极坐标方程定义： 如果极坐标系中的曲线C和方程f(ρ，0)=0之间建立了如下关系： 1．曲线C上任一点的无穷多个极坐标中至少有一个适合方程f(ρ，θ)=0；2．坐标满足f(ρ，θ)=0的点都在曲线C上，那么方程f(ρ，θ)=0叫做曲线C的极坐标方程． 师：下面我们学习最简单的曲线：直线和圆的极坐标方程． 求直线和圆的极坐标方程的方法和步骤应与求直线和圆的直角坐标方程的方法和步骤类似，关键是将已知条件表示成ρ和θ之间的关系式． 极坐标的几种常见题型 一、极坐标方程与直角坐标方程的互化 互化条件：极点与原点重合，极轴与x 轴正半轴重合，长度单位相同. 互化公式：???==θρθρsin cos y x 或 ? ? ? ??≠=+=)0(tan 2 22x x y y x θρ θ的象限由点(x,y)所在的象限确定. 例1(2007海南宁夏)⊙O 1和⊙O 2的极坐标方程分别为θρcos 4=，θρsin 4-=． (I)把⊙O 1和⊙O 2的极坐标方程化为直角坐标方程； (II)求经过⊙O 1，⊙O 2交点的直线的直角坐标方程． 解：以极点为原点，极轴为x 轴正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位． (I)θρcos =x ，θρsin =y ，由θρcos 4=得θρρcos 42=．所以x y x 42 2=+． 即042 2 =-+x y x 为⊙O 1的直角坐标方程． 同理042 2 =++y y x 为⊙O 2的直角坐标方程． (II)解法一:由? ??=++=-+04042 222y y x x y x 解得???==0011y x ，???-==22 22y x 即⊙O 1，⊙O 2交于点(0,0)和(2,－2)．过交点的直线的直角坐标方程为y=－x ． 解法二: 由???=++=-+0 40 42 222y y x x y x ,两式相减得－4x-4y=0,即过交点的直线的直角坐标方程为y=－x ． 评述:本题主要考查曲线的极坐标方程化为直角坐标方程的方法及两圆公共弦所在直线方程的求法. 例2(2003全国)圆锥曲线θ θ ρ2cos sin 8= 的准线方程是 (A)2cos -=θρ (B)2cos =θρ (C) 2sin -=θρ (D) 2sin =θρ 解: 由θ θρ2 cos sin 8= 去分母后两边同时乘以ρ得:θρθρsin 8cos 22=,所以x 2 =8y ,其准线方程为y=2-,在极坐标系中方程为2sin -=θρ,故选C. 例3(1998年上海)以直角坐标系的原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,若椭圆两焦点的极坐标分别是(1, 2 π),(1,23π),长轴长是4,则此椭圆的直角坐标方程是_______________. 解：由已知条件知椭圆两焦点的直角坐标为(0,1),(0,-1).c=1,a=2,b 2=a 2-c 2=3, 故所求椭圆的直角坐标方程为4 32 2y x +=1 类题:1(1995年上海)把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴作为极轴,并且在两种坐标系中取相同的长度单位.若曲线的极坐标方程是1 cos 4122 -= θρ,则它的直角坐标方程是___________. (答案:3x 2-y 2=1) 2(1998年全国)曲线的极坐标方程ρ=4sin θ化成直角坐标方程为 (A) x 2+(y+2)2=4 (B) x 2+(y-2)2=4 精锐教育学科教师辅导教案 学员编号：年级：高三课时数：3 学员姓名：辅导科目：数学学科教师：刘欢 C-极坐标与参数方程C–极坐标与参数方程C-极坐标与参数方程授课类型 授课日期及时段 教学内容 知识点概括 一、坐标系1．平面直角坐标系的建立：在平面上，当取定两条互相垂直的直线的交点为原点，并确定 了度量单位和这两条直线的方向，就建立了平面直角坐标系。 2．空间直角坐标系的建立：在空间中，选择两两垂直且交于一点的三条直线，当取定这三条直线的交 点为原点，并确定了度量单位和这三条直线方向，就建立了空间直角坐标系。 3．极坐标系的建立：在平面上取一个定点O，自点O引一条射线OX，同时确定一个单位长度和计算 角度的正方向（通常取逆时针方向为正方向），这样就建立了一个极坐标系。 （其中O称为极点，射线OX称为极轴。） ①设M是平面上的任一点，ρ表示OM的长度，θ表示以射线OX ρθ称为点M的极坐 为始边，射线OM为终边所成的角。那么有序数对(,) 标。其中ρ称为极径，θ称为极角。 约定：极点的极坐标是ρ=0，θ可以取任意角。 4．直角坐标与极坐标的互化 以直角坐标系的O 为极点，x 轴正半轴为极轴，且在两坐标系中取相同的单位长度平面内的任一点P 的直角坐标极坐标分别为（x ，y ）和(,)ρθ，则 二、曲线的极坐标方程 1．直线的极坐标方程：若直线过点00(,)M ρθ，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为： 00sin()sin()ρθ-α=ρθ-α 几个特殊位置的直线的极坐标方程 （1）直线过极点 （2）直线过点M(a,0)且垂直于极轴 （3）直线过(,)2M b π 且平行于极轴 2．圆的极坐标方程： 若圆心为00(,)M ρθ，半径为r 的圆方程为： 几个特殊位置的圆的极坐标方程 （1）当圆心位于极点 （2）当圆心位于(,0)M r （3）当圆心位于(,)2M r π 3．直线、圆的直角坐标方程与极坐标方程的互化 利用： x = 2ρ= 三、参数方程 第 周 第 课时教案 时间： 教学主题 简单曲线的极坐标方程 一、教学目标 1、掌握极坐标方程的意义，掌握直线的极坐标方程 2、能在极坐标中给出简单图形的极坐标方程，会求直线的极坐标方程及与直角坐标之间的互化 3、过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。 二、教学重点、极坐标方程的意义，理解直线的极坐标方程，直角坐标方程与极坐标方程 的互化 教学难点：极坐标方程的意义 ，直线的极坐标方程的掌握 三、教学方法 讲练结合 四、教学工具 无 五、教学流程设计 教学 环节 教师活动 学生活动 圆的极坐标方程 一、复习引入： 问题情境 1、直角坐标系建立可以描述点的位置极坐标也有同样作用？ 2、直角坐标系的建立可以求曲线的方程 极坐标系的建立是否可以求曲线方程？ 学生回顾 1、直角坐标系和极坐标系中怎样描述点的位置？ 2、曲线的方程和方程的曲线（直角坐标系中）定义 3、求曲线方程的步骤 4、极坐标与直角坐标的互化关系式: 二、讲解新课： 1、引例．如图，在极坐标系下半径为a 的圆的圆心坐标为 (a ,0)(a >0)，你能用一个等式表示圆上任意一点， 的极坐标(ρ,θ)满足的条件？ 解：设M (ρ,θ)是圆上O 、A 以外的任意一点，连接AM ， 则有：OM=OAcos θ，即：ρ＝2acos θ ①， 2、提问：曲线上的点的坐标都满足这个方程吗？ 可以验证点O(0,π/2)、A(2a ,0)满足①式. 等式①就是圆上任意一点的极坐标满足的条件. 反之，适合等式①的点都在这个圆上. 3、定义：一般地，如果一条曲线上任意一点都有一个极坐 标适合方程0),(=θρf 的点在曲线上，那么这个 1.6《圆锥曲线统一的极坐标方程》教学案 一、教学目的： 知识目标：进一步学习在极坐标系求曲线方程 能力目标：求出并掌握圆锥曲线的极坐标方程 德育目标：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识. 二重难点： 教学重点：圆锥曲线极坐标方程的统一形式 教学难点：方程中字母的几何意义 三、教学方法： 启发、诱导发现教学. 四、教学过程： (一)、复习引入： 1、问题情境 情境1：直线与圆在极坐标系下都有确定的方程，我们熟悉的圆锥曲线呢？ 情境2：按通常情况化直角坐标方程为极坐标方程会得到让人满意的结果吗？ 2、学生回顾 (1)．求曲线方程的方程的步骤 (2)．两种坐标互化前提和公式 (3)．圆锥曲线统一定义 (二)、讲解新课： 1、由必修课的学习我们已经知道：与一个定点的距离和一条定直线(定点不在定直线上)的距离的比等于常数e的点的轨迹，当e=1时，是抛物线.那么当0 学生根据分析求出圆锥曲线的统一方程，1cos ep e -θ ρ= 3、圆锥曲线的统一方程，1cos ep e -θ ρ=化为直角坐标方程为222222(1)2px y p e x e e -+-=，由此可由e 与0和1的大小关系确定曲线形状. 4、思考交流：学生讨论交流课本P 18页的问题：当0 课题：2、直线的极坐标方程 教学目标： 知识与技能：掌握直线的极坐标方程 过程与方法：会求直线的极坐标方程及与直角坐标之间的互化 情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。 教学重点：理解直线的极坐标方程，直角坐标方程与极坐标方程的互化 教学难点：直线的极坐标方程的掌握 授课类型：新授课 教学模式：启发、诱导发现教学. 教学过程： 一、探究新知： 阅读教材P13-P14 探究1、直线l 经过极点，从极轴到直线l 的角是 4π 思考：用极坐标表示直线时方程是否唯一？ 探究2、如何表示过点(,0)(0)A a a >，且垂直于极轴的直线l 的极坐标方程，化为直角坐标方程是什么？过点(,0)(0)A a a >，平行于极轴的直线l 的极坐标方程呢？ 二、知识应用： 例1、已知点P 的极坐标为(2,)π，直线l 过点P 且与极轴所成的角为 3π，求直线l 的极坐 标方程。 例2、把下列极坐标方程化成直角坐标方程 （1） 5()4R πθρ= ∈ （2）(2cos 5sin )40ρθθ+-= （3） sin()43πρθ-= 例3、判断直线sin()4πρθ+ =与圆2cos 4sin ρθθ=-的位置关系。 三、巩固与提升： P15第1，2，3，4题 四、知识归纳： 1、直线的极坐标方程 2、直线的极坐标方程与直角坐标方程的互化 3、直线与圆的简单综合问题 五、作业布置： 1、在直角坐标系中，过点(1,0)，与极轴垂直的直线的极坐标方程是（ ） A sin 1ρθ= B sin ρθ= C cos 1ρθ= D cos ρθ= 2、与方程(0)4πθρ= ≥表示同一曲线的是 （ ） A ()4R πθρ=∈ B 5(0)4πθρ= ≤ C 5()4R πθρ=∈ D (0)4πθρ=≤ 3、在极坐标系中，过点(2,)2A π -且与极轴平行的直线l 的极坐标方程是 4、在极坐标系中，过圆4cos ρθ=的圆心，且垂直于极轴的直线方程是 5、在极坐标系中，过点3(2,)4 A π且垂直于极轴的直线l 的极坐标方程是 三、简单曲线的极坐标方程 【基础知识导学】 1、极坐标方程的定义：在极坐标系中，如果平面曲线C 上任一点的极坐标中至少有一个满足方程0),(=θρf ，并且坐标适合方程0),(=θρf 的点都在曲线C 上，那么方程 0),(=θρf 叫做曲线C 的极坐标方程。 1． 直线与圆的极坐标方程 ① 过极点，与极轴成α角的直线 极坐标议程为 αθραθtan tan )(=∈=或R ②以极点为圆心半径等于r 的圆的 极坐标方程为 r =ρ 【知识迷航指南】 例1求（1）过点)4 ,2(π A 平行于极轴的直线。 （2）过点)3 , 3(πA 且和极轴成 4 3π 角的直线。 解（1）如图，在直线l 上任取一点),(θρM ，因为)4 ,2(π A ，所以|MH|=224 sin =?π 在直角三角形MOH 中|MH|=|OM|sin θ即2sin =θρ，所以过点)4 ,2(π A 平行于极轴的直线 为2sin = θρ。 （2）如图 ，设M ),(θρ为直线l 上一点。 )3 , 3(π A ， OA =3，3 π= ∠AOB x 由已知4 3π=∠MBx ，所以125343π ππ=-=∠OAB ，所以127125πππ= -=∠OAM 又θπ θ-= -∠=∠4 3MBx OMA 在?MOA 中，根据正弦定理得 12 7sin )43sin(3πρ θπ= - 又426)34sin(127sin +=+=πππ 将)4 3sin(θπ -展开化简可得23233)cos (sin += +θθρ 所以过)3 ,3(π A 且和极轴成 4 3π 角的直线为：23233)cos (sin +=+θθρ 〔点评〕求曲线方程，关键是找出曲线上点满足的几何条件。将它用坐标表示。再通过代数变换进行化简。 例2（1）求以C(4,0)为圆心，半径等于4的圆的极坐标方程。（2）从极点O 作圆C 的弦ON ，求ON 的中点M 的轨迹方程。 解：（1）设),(θρp 为圆C 上任意一点。圆C 交极轴于另一点A 。由已知 OA =8 在直角?AOD 中θcos OA OD =，即 θρcos 8=， 这就是圆C 的方程。 （2）由4==OC r 。连接CM 。因为M 为弦ON 的中点。所以ON CM ⊥，故M 在以OC 为直径的圆上。所以，动点M 的轨迹方程是：θρcos 4=。 〔点评〕 在直角坐标系中，求曲线的轨迹方程的方法有直译法，定义法，动点转移法。在极坐标中。求曲线的极坐标方程这几种方法仍然是适用的。例2中（1）为直译法，（2）为定义法。此外（2）还可以用动点转移法。请同学们尝试用转移法重解之。 例3 将下列各题进行直角坐标方程与极坐标方程的互化。 （1）x y 42= （2）3 π θ= （3）12 cos 2 =θ ρ （4）42cos 2=θρ 解：（1）将θρθρsin ,cos ==y x 代入x y 42=得θρθρcos 4)sin (2=化简得 θθρsin 4sin 2= （2）∵x y = θtan ∴ 33tan ==x y π 化简得：)0(3≥=x x y （3）∵12cos 2=θρ ∴ 12 cos 1=+θ ρ。即2cos =+θρρ 所以 222=++x y x 。 化简得 )1(42--=x y 。 （4）由42cos 2=θρ 即4)sin (cos 222=-θθρ 所以 422=-y x 〔点评〕 （1）注意直角坐标方程与极坐标方程互化的前提。 （2）由直角坐标求极坐标时，理论上不是唯一的，但这里约定πθρ20,0<≤>简单曲线的极坐标方程
简单曲线的极坐标方程优秀教学设计
高中数学选修4--4简单曲线的极坐标方程教案
圆的极坐标方程教学案例
圆的极坐标方程
常见曲线的极坐标方程3
高中数学选修4-4坐标系与参数方程完整教案(精选.)
圆的极坐标方程教案
选修4-4曲线极坐标方程-教案
4常见曲线的极坐标方程
直线与圆的极坐标方程教学案
直线与圆的极坐标方程
极坐标的几种常见题型p
极坐标与参数方程复习教案
简单曲线的极坐标方程
《圆锥曲线统一的极坐标方程》教学案
直线的极坐标方程教学设计
人教版数学高二人教A选修4-4数学 1.3极坐标系-简单曲线的极坐标方程教案
- 极坐标与参数方程课程教案
- 参数方程与极坐标教学设计
- 高中数学选修4-4坐标系与参数方程完整教案(精选.)
- 简单曲线的极坐标方程(教案)学习资料
- 第三中学高中数学1.3.2直线的极坐标方程教案新人教版选修4_4
- 海南省陵水县民族中学人教数学选修4-4教案 第一讲 常用曲线的极坐标方程(3)
- 《直线的极坐标方程》(人教版选修4-4)教学设计
- 直线与圆的极坐标方程
- 直线与圆的极坐标方程教学案
- 新人教选修4-4教案极坐标系--简单曲线的极坐标方程
- 圆的极坐标方程教学案例
- 常用曲线的极坐标方程 说课稿 教案 教学设计
- 高中数学选修4--4简单曲线的极坐标方程教案
- 圆的极坐标方程教案
- 人教版数学高二人教A选修4-4数学 1.3极坐标系-简单曲线的极坐标方程教案
- 《常用曲线的极坐标方程》教学案
- 【教案】极坐标与参数方程的教学设计
- 简单曲线的极坐标方程精品教案
- 简单曲线的极坐标方程教案
- 《极坐标系--简单曲线的极坐标方程》教案