利用线面角、二面角本质解题

利用线面角和二面角本质解题

沈勤龙

某天听了一节高三某老师的试卷讲评课，很有收获。觉得应该写出来与各位分享，并希望各位不断提醒自己，在学习数学的过程中，应不断思考，不断追求本质。

首先，我们要认识线面角和二面角的两个本质（不作展开，自行理解或证明）：

本质1：一条斜线与已知平面中的任一条直线所成的角中，线面角最小。

本质2：对于一个锐二面角，在其中一个半平面中的任一条直线与另一个半平面所成的线面角中，二面角最大。

上述本质其实我们稍微思考一下，是可以想到的。那么怎么运用呢？先看2017年3月中旬嘉兴一模的一个试题：

【试题1】（2017年嘉兴一模第17题（填空题最后一题）

【解析】本题是在讲线段AC上一个动点的问题，其实本质就是平面ACD上一条动直线与平面BCD所成角的问题。因为两条平行直线与同一个平面所成的角相等，所以不妨在平面ACD中过点A作AF//PE，交线段CD与F。根据相对运动，即求F在什么位置时，AF与平面BCD所成角最大。很显然，当AF垂直于CD时，角最大。如下图，连接HF，易得HF

也垂直于CD，所以构成一个二面角的平面角AFH

本题如果用本质2，是很容易解决的。

再来看这几年浙江省高考中的相关题型：

【试题2】（2014年浙江省理科第17题（填空题最后一题）

【解析】本题的本质是在讲平面ACM上一条动直线AP与平面ABC所成角的问题。根据本质2，即求二面角M-AC-B的大小。如下图，不妨取CM垂直于平面ABC，再过B作BH 垂直于AC于点H，连MH，可得MH也垂直于AC。所以连接HF，易得HF也垂直于CD，

所以构成一个二面角的平面角AFH

哦，又是抓本质解决问题！

再来看一题：

【试题3】（2017年浙江省统考第9题（选择题倒数第二题）

【解析】这个题目就简单了。首先由本质2，可以得到1θθ≥（所以到这里正确选项A 已经产生）；由本质1，可以得到21θθ≤。至于θ与2θ的大小，就不确定了：从极端的角度，当二面角D-AB-C 无限小（趋向于0）时，可得2θθ≤；当二面角D-AB-C 无限大（趋向于π）时，可得2θθ≥。

关于极端原理，还可以解决以下浙江省的高考题：

【试题4】（2015年浙江理科第8题（选择题倒数第三题）

【解析】顺着上面的话，从极端的角度来说，当二面角B CD A --'无限小（趋向于0）时，可得CB A '∠≤α；当二面角B CD A --'无限大（趋向于π）时，可得CB A '∠≥α。 故选项C 和选项D 不能选。

当二面角B CD A --'无限小（趋向于0）时，可得DB A '∠≤α；当二面角B CD A --'无限大（趋向于π）时，可得DB A '∠趋向于α。

故选项B 成立。

答案是对的，但总感觉有点不踏实。这是没办法的办法，或者叫做巧做。

那么有没有踏实的做法呢？应该有吧：

如上图，过点A '作DC H A ⊥'于H ，连AH ，A A B A '',则有DC AH ⊥。所以HA A '∠-=πα。

又因为HA A '?是等腰三角形，

所以122∠='∠=H A A α。

同理，222∠='∠='∠D A A DB A 。

又作A A DM '⊥于点M ，连MH ，可得A A MH '⊥。

又M

A MD M A MH '=∠'=∠2tan ,1tan ，且MD MH ≤（斜边大于直角边）， 所以2tan 1tan ∠≤∠，继而21∠≤∠， 所以D

B A '∠≤α。故选项B 成立。

线线角,线面角,二面角的一些题目

B 1 D 1 A D C 1 B C A 1线线角与线面角习题 一、复习目标 1.理解异面直线所成角的概念,并掌握求异面直线所成角的常用方法． 2.理解直线与平面所成角的概念，并掌握求线面角常用方法． 3.掌握求角的计算题步骤是“一作、二证、三计算”,思想方法是将空间图形转化为平面图形即“降维”的思想方法. 二、课前预习 1.在空间四边形ABCD 中，AD=BC=2, E 、F 分别为AB 、CD 的中点且EF=3，AD 、BC 所成的角为 . 2.如图,在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中 ，B 1C 和C 1D 与底面所成的角分别为60ο 和45ο，则异面直线B 1C 和C 1D 所成角的余弦值为 ( ) (A). 46 (B).36 (C).6 2 (D).63 3.平面α与直线a 所成的角为3 π ,则直线a 与平面α内所有直线所成的角的取值范围是 ． 4.如图,ABCD 是正方形,PD ⊥平面ABCD,PD=AD,则PA 与BD 所成的角的度数为 (A).30ο (B).45ο (C).60ο (D).90ο 5.有一个三角尺ABC,∠A=30ο, ∠C=90ο,BC 是贴于桌面上, 当三角尺与桌面成45ο 角时,AB 边与桌面所成角的正弦值 是 ． 三、典型例题 例1.(96·全国) 如图,正方形ABCD 所在平面与正方形 ABEF 所在平面成60ο角,求异面直线AD 与BF 所成角的余弦值. 备课说明:1.求异面直线所成的角常作出所成角的平面图形.作法有: ①平移法:在异面直线的一条上选择“特殊点”,作另一条直线平行线 或利用中位线.②补形法:把空间图形补成熟悉的几何体,其目的在于容 易发现两条异面直线的关系.2.解立几计算题要先作出所求的角,并 要 有严格的推理论证过程,还要有合理的步骤. A C B D B P C D A C B F E

线面角及二面角的求法

第9节线面角及二面角的求法 【基础知识】 求线面角、二面角的常用方法: (1)线面角的求法,找出斜线在平面上的射影,关键就是作垂线,找垂足,要把线面角转化到一个三角形中求解. (2)二面角的大小求法,二面角的大小用它的平面角来度量. 【规律技巧】 平面角的作法常见的有①定义法;②垂面法.注意利用等腰、等边三角形的性质. 【典例讲解】 【例1】如图,在四棱锥P-ABCD中,P A⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC＝60°,P A ＝AB＝BC,E就是PC的中点. (1)求PB与平面P AD所成的角的大小; (2)证明:AE⊥平面PCD; (3)求二面角A－PD－C的正弦值. (1)解在四棱锥P－ABCD中, 因P A⊥底面ABCD,AB?平面ABCD, 故P A⊥AB、又AB⊥AD,P A∩AD＝A, 从而AB⊥平面P AD, 故PB在平面P AD内的射影为P A, 从而∠APB为PB与平面P AD所成的角. 在Rt△P AB中,AB＝P A,故∠APB＝45°、 所以PB与平面P AD所成的角的大小为45°、 (2)证明在四棱锥P－ABCD中,

因P A⊥底面ABCD,CD?平面ABCD, 故CD⊥P A、由条件CD⊥AC,P A∩AC＝A, ∴CD⊥平面P AC、 又AE?平面P AC,∴AE⊥CD、 由P A＝AB＝BC,∠ABC＝60°,可得AC＝P A、 ∵E就是PC的中点,∴AE⊥PC、 又PC∩CD＝C,综上得AE⊥平面PCD、 【变式探究】如图所示,在四棱锥P－ABCD中,底面ABCD就是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD＝DC、E就是PC的中点,作EF⊥PB交PB于点F、 (1)证明P A∥平面EDB; (2)证明PB⊥平面EFD; (3)求二面角C－PB－D的大小. (1)证明如图所示,连接AC,AC交BD于O,连接EO、 ∵底面ABCD就是正方形, ∴点O就是AC的中点. 在△P AC中,EO就是中位线, ∴P A∥EO、 而EO?平面EDB且P A?平面EDB, ∴P A∥平面EDB、 【针对训练】 1.如图,四棱锥P－ABCD中,底面ABCD为菱形,P A⊥底面ABCD,AC＝22,P A＝2,E就是PC上的一点,PE＝2EC、

立体几何中二面角和线面角

立体几何中的角度问题 一、 异面直线所成的角 1、如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是矩形，⊥PA 底面ABCD ，E 是PC 的中点，已知2=AB ，22=AD ，2=PA ，求： （1）三角形PCD 的面积； （2）异面直线BC 与AE 所成的角的大小。 2、如图６，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为２，点Ｅ是正方形11BCC B 的中心，点Ｆ、Ｇ分别是棱111,C D AA 的中点．设点11,E G 分别是点Ｅ，Ｇ在平面11DCC D 内的正投影． （１）求以Ｅ为顶点，以四边形FGAE 在平面11DCC D 内的正投影为底面边界的棱锥的体积； （２）证明：直线11FG FEE ⊥平面； （３）求异面直线11E G EA 与所成角的正弦值

二、直线与平面所成夹角 1、如图，在四棱锥P ABCD -中，底面为直角梯形，//AD BC ， 90BAD ∠=，PA ⊥ 底面ABCD ，且2P A A D A B B C ===，M N 、分别为PC 、PB 的中点。 求CD 与平面ADMN 所成的角的正弦值。 2、长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1 , AB=3 ,BC=2, A 1A= 4 ，求AB 与面 AB 1C 1D 所成的角的正弦值。 三、二面角与二面角的平面角问题 1、如图5．在椎体P-ABCD 中，ABCD 是边长为1的棱形， 且∠DAB=60?，PA PD == E,F 分别是BC,PC 的中点． （1） 证明：AD ⊥平面DEF; （2） 求二面角P-AD-B 的余弦值．

2、如图5，?AEC 是半径为a 的半圆，AC 为直径，点E 为?AC 的中点，点B 和点C 为线 段AD 的三等分点，平面AEC 外一点F 满足FB FD ==，EF =。 （1）证明：EB FD ⊥； （2已知点,Q R 为线段,FE FB 上的点，23FQ FE =，2 3 FR FB =，求平面BED 与平面RQD 所成二面角的正弦值。

线线角、线面角、二面角知识点及练习

线线角、线面角、面面角专题 一、异面直线所成的角 1.已知两条异面直线,a b ，经过空间任意一点O 作直线//,//a a b b ''，我们把a '与b '所成的锐角（或直角）叫异面直线,a b 所成的角。 2.角的取值范围：090θ<≤?； 垂直时，异面直线当b a ,900=θ。 例1.如图, 在直三棱柱111ABC A B C -中，13,4,5,4AC BC AB AA ==== ，点D 为AB 的中点异面直线1AC 与1B C 所成角的余弦值 二、直线与平面所成的角 1. 定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角， 叫这条斜线和这个平面所成的角 2.角的取值范围：? ? ≤≤900θ。 _1 _A

例2. 如图、四面体ABCS 中，SA,SB,SC 两两垂直，∠SBA=45°, ∠SBC=60°, M 为 AB 的中 点，求（1）BC 与平面SAB 所成的角。 （2）SC 与平面ABC 所成的角的正切值。 一、 二面角： 1. 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二 面角。这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。 2. 二面角的取值范围：? ? ≤≤1800θ 两个平面垂直：直二面角。 B M H S C A

3.作二面角的平面角的常用方法有六种： 1.定义法 ：在棱上取一点O ，然后在两个平面内分别作过棱上O 点的垂线。 2.三垂线定理法：先找到一个平面的垂线，再过垂足作棱的垂线，连结两个垂足即得二面角的平面角。 3.向量法：分别作出两个半平面的法向量，由向量夹角公式求得。二面角就是该夹角或其补角。 二面角一般都是在两个平面的相交线上，取恰当的点，经常是端点和中点。 例3.如图，E 为正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱CC 1的中点，求 (1)二面角111D C A D --所成的角的余弦值 (2)平面AB 1E 和底面C C BB 11所成锐角的正切值. A 1 D 1 B 1 C 1 E D B C A

线面角与二面角的向量解法

线面角与二面角的向量解法 广州市第65中学 朱星如 510450 几何中的距离和角是初等几何学的核心问题，是新旧教材的教学重点，也是高考常考点。近几年来，各种数学杂志发表了不少用向量解几何题的文章，笔者觉得有些方法在实际解题中，操作起来并不方便，在教学中效果不佳。如线面角论及得较少；而用法向量求二面角的平面角时，两法向量的夹角与二面角的平面角是相等或互补，但不易确定取哪种关系。本文就这两个问题的解答方法作一介绍，但愿对同行的教学有所裨益。 先推导一个线面角公式。设PQ 是平面a 的一条斜线段，P 、Q 均 不为斜足，线段PQ 所在直线与平面α交于点Q '，直线PQ 与平 面α所成的角为q ，见图1。P '为直线PQ 上的一点，作P 'Q a ^ 于H ，连H Q '，则P Q H q ⅱ?。设平面a 的法向量为n r ，则有： 90HP Q q ⅱ+?o ，,HP Q n PQ ⅱ ?uuu r r 或,n PQ p -uuu r r ， sin cos cos ,HP Q n PQ q ⅱ=?=uuu r r PQ n PQ n ×uuu r r g uuu r r ，从而 arcsin (1)PQ n PQ n q =×uuu r r g L uuu r r 。 注：当Q 点为斜足或点P 、Q 在平面α的异侧时本公式也适用。 我们改编一个91年全国的高考题例说公式（1）的应用。 例1：已知正方形ABCD 的边长为4,PA ⊥平面ABCD ，PA =2,E 、F 分别为BC 、 CD 的中点。求直线EB 、FB 分别与平面PEF 所成的角（见图2）。 解：以A 为原点，AD 所在的直线为x 轴，AB 所在的直线为y 轴，AP 所在的 直线为z 轴，建立空间右手直角坐标系。则有 B （0，4，0），C （4，4，0），D （4，0，0），P （0，0，2）。用中点坐标公式 可得E （2，4，0），F （4，2，0）。(2,2,0),(2,4,2)E F E P =-=--u u u r u u u r ，(2,0,0)EB =-u u u r ， (4,2,0)FB =-u u u r 。设平面PEF 的法向量为(),,n x y z =r ，则有 0,0n EF n EP ==u u u r u u u r r r g g ，由此得：220,2420x y x y z -=--+=，可解出： ,3y x z x ==，取1x =得()1,1,3n =r ， 记直线BE 、BF 与平面PEF 所成的角分别为1θ、2θ，则由公式（1）得 1sin n EB n EB q == =uuu r r g uuu r r ，1arcsin q = 22sin arcsin n FB n FB q q == ==uu u r r g uu u r r 。 处理线面角问题用公式（1），可回避找斜线在平面内的射影之苦，从而提高学生的学习效率，真正为学生减负。 () A O B D 图 2 P ' Q ' θ 图1

线线角、线面角,二面角(高考立体几何法宝)

1 A 1 B 1 C 1 D A B C D E F G 线线角、线面角、二面角的求法 1.空间向量的直角坐标运算律： ⑴两个非零向量与垂直的充要条件是 1122330a b a b a b a b ⊥?++= ⑵两个非零向量与平行的充要条件是 a 2 b =±|a ||b | 2.向量的数量积公式 若a 与b 的夹角为θ(0≤θ≤π),且123(,,)a a a a =，123(,,)b b b b =,则 （1）点乘公式： a 2b =|a ||b | cos θ （2）模长公式：则2 12||a a a a a =?=++，2 ||b b b b =?=+（3）夹角公式：2 cos ||||a b a b a b a ??==?+ （4）两点间的距离公式：若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则 2 | |(AB AB x ==,A B d = ①两条异面直线a 、b 间夹角0,2πα?? ∈ ??? 在直线a 上取两点A 、B ，在直线b 上取两点C 、D ，若直线a 与b 的夹角为θ，则cos |cos ,|AB CD θ=<>= 例1 (福建卷)如图，长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1=AB =2，AD =1，点E 、F 、G 分别是DD 1、AB 、CC 1的中点，则异面直线A 1E 与GF 所成的角是（ ） A ．5 15arccos B ． 4 π C ．5 10 arccos D ．2π （向量法，传统法）

P B C A 例 2 (2005年全国高考天津卷)如图，PA ⊥平面ABC ，90ACB ∠=?且 PA AC BC a ===，则异面直线PB 与AC 所成角的正切值等于_____． 解：（1）向量法 （2）割补法：将此多面体补成正方体'''DBCA D B C P -，PB 与AC 所成的角的大小即此正方体主对角线PB 与棱BD 所成角的大小，在Rt △PDB 中 ，即 t a n 2PD DBA DB ∠ = =． 点评：本题是将三棱柱补成正方体'''DBCA D B C P - ②直线a 与平面α所成的角0,2πθ?? ∈ ??? (重点讲述平行与垂直的证明) 可转化成用向量→ a 与平面α的法向量→ n 的夹角ω表示，由向量平移得：若 ππ（图）；若ππ 平面α的法向量→ n 是向量的一个重要内容，是求直线与平面所成角、求点到平面距离的必备工具.求平面法向量的一般步骤： (1)找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标111222(,,),(,,)a a b c b a b c == (2)设出平面的一个法向量为(,,)n x y z = (3)根据法向量的定义建立关于x,y,z 的方程组(0a << (4)解方程组，取其中的一组解，即得法向量。 图1－ 图1－ 图1－ 1 D 1 B 1 C P D B C A

线面角与二面角

二面角及其度量 平面内的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分都叫做半平面。从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面。 棱为l ，两个面分别为,αβ的二面角，记作l αβ--。A α∈，B β∈，二面角也可以记作A l B --。 在二面角l αβ--的棱上任取一点O ，在两半平面内分别做射线OA l ⊥，OB l ⊥，则AOB ∠叫做二面角l αβ--的平面角。显然，这个平面角与点O 在l 上的位置无关。 二面角的大小可以用它的平面角来度量。二面角的平面角是几度，就说这个二面角是几度。我国发射的第一颗人造卫星的倾角是68.5，这个倾角指的是人造卫星的轨道平面和地球赤道平面所成的角。 我们约定，二面角的范围是[0,]π。 平面角是直角的二面角叫做直二面角。互相垂直的平面也就是相交成直二面角的两个平面。 我们可以用向量的夹角来研究二面角的性质及其度量。 如图，分别在二面角l αβ--的面,αβ内，作向量1n l ⊥，2n l ⊥，则我们可以用向量1n 与2n 的夹角来度量这个二面角。 如图，设1m α⊥，2m β⊥，则角12,m m <>与该二面角大小相等或互补。 O O 1 A B A 1 B 1 l α β α 1m 2m β l 1n 2n

2 如图 四棱锥ABCD P -底面为直角梯形，平面⊥=⊥⊥PA AB CD AD CD AD AB ,2,, ABCD ． ⑴BC 与平面PCD 成角． ⑵求二面角C BD P --的平面角． ⑶设Q 为侧棱PC 上一点，PC PQ λ=,试确定λ的值，使得二面角P BD Q --为.45?

线线角_线面角_二面角的讲义

B 1D 1A D C 1 B C A 1 线线角与线面角 一、课前预习 1.在空间四边形ABCD 中，AD=BC=2, E 、F 分别为AB 、CD 的中点且EF=3，AD 、BC 所成的角为 . 2.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中 ，B1C 和C1D 与底面所成的角分别为60ο和45ο，则异面直线B1C 和C1D 所成角的余弦值为 ( ) (A). 46 (B).36 (C).62 (D).63 3.平面α与直线a 所成的角为3π ,则直线a 与平面α所有直线所成的角的取值围是 ． 4.如图,ABCD 是正方形,PD ⊥平面ABCD,PD=AD,则PA 与 BD 所成的角的度数为 (A).30ο (B).45ο (C).60ο (D).90ο 5.有一个三角尺ABC,∠A=30ο, ∠C=90ο,BC 是贴于桌面上, 当三角尺与桌面成45ο角时,AB 边与桌面所成角的正弦值 是 ． 二、典型例题 例1.(96·全国) 如图,正方形ABCD 所在平面与正方形 ABEF 所在平面成60ο角,求异面直线AD 与BF 所成角的余弦值. 【备课说明:1.求异面直线所成的角常作出所成角的平A C B D B P C D A C B

面图形.作法有: ①平移法:在异面直线的一条上选择“特殊点”,作另一条直线平行线或利用中位线.②补形法:把空间图形补成熟悉的几何体,其目的在于容易发现两条异面直线的关系.2.解立几计算题要先作出所求的角,并要有严格的推理论证过程,还要有合理的步骤.】 例2.如图在正方体AC1中, (1) 求BC1与平面ACC1A1所成的角; (2) 求A1B1与平面A1C1B 所成的角. 备课说明:求直线与平面所成角的关键是找直线在 此平面上的射影,为此必须在这条直线上找一点作 平面的垂线. 作垂线的方法常采用:①利用平面垂直 的性质找平面的垂线.②点的射影在面的特殊位置. 例 3. 已知直三棱住ABC-A1B1C1,AB=AC, F 为棱BB1上一点,BF ∶FB1=2∶1, BF=BC=a 2. (1)若D 为BC 的中 点,E 为线段AD 上不同于A 、D 的任意一点,证明：EF ⊥FC1; (2)试问:若AB=a 2,在线段AD 上的E 点能否 使EF 与平面BB1C1C 成60ο角,为什么?证明你的结论. 备课说明:这是一道探索性命题,也是近年高考热点问题,解 决这类问题,常假设命题成立,再研究是否与已知条件矛盾, 从而判断命题是否成立. 一、知识与方法要点： 1．斜线与平面所成的角就是斜线与它在平面的射影的夹角。求斜线与平面所成的角关键是找到斜线在平面的射影，即确定过斜线上A D C 1D 1A 1B 1C B A 1C B A B 1D C 1E F

专题：空间线面角与二面角的求解问题

专题一：空间线面角与二面角的求解问题 1.（2015浙江）如图，底面ABC为正三角形，EA⊥平面ABC，DC⊥平面ABC，EA=AB=2DC= 2a，设F为EB的中点. （1）求证：DF//平面ABC； （2）求直线AD与平面AEB所成角的正弦值. 2.（2014湖北检测）如图所示，长方体ABCD?A1B1C1D1中，AD=AA1=1 ,AB=2，点E是AB 的中点. （1）证明：BD1//平面A1DE； （2）证明：D1E⊥A1D； （3）求二面角D1?EC?D的正切值.

3.（2014深圳调研）如图所示，平面ABCD⊥平面BCEF，且四边形ABCD为矩形，四边形BCEF 为直角梯形，BF//CE，BC⊥CE，DC=CE=4，BC=BF=2. （1）求证：AF//平面CDE； （2）球平面ADE与平面BCEF所成锐二面角的余弦值； （3）球直线EF与平面ADE所成角的余弦值. 4.（2014浙江名校联考）如图，在长方形ABCD中，AB=3，BC=1，E为DC的三等分点（靠近C处），F为线段EC上的一动点（包括端点），现将?AFD沿AF折起，使点D在平面内的射影恰好落在AB边上，则当F运动时，二面角D?AF?B的余弦值的取值范围是________.

5.如图,在直三棱柱ABC?A1B1C1中，平面A1BC⊥侧面A1ABB1，若直线AC与平面A1BC所成的角为θ，二面角A1?BC?A的大小为φ，试判断θ与φ的大小关系，并予以证明. 6.如图所示,四棱锥S?ABCD中,SD⊥平面ABCD,AB∥DC,AD⊥DC,AB=AD=1,DC= SD=2,E为棱SB上一点,平面EDC⊥平面SBC,求二面角A?DE?C的大小.

二面角与线面角

直线和平面所成的角与二面角 一、选择题(共45题，题分合计225分) 1.在直二面角α- l-β中,直线m ?α,直线n ?β,且m 、n 均不与l 垂直,则 A. m 与n 不可能垂直,但可能平行 B. m 与n 可能垂直,但不可能平行 C. m 与n 可能垂直,也可能平行 D. m 与n 不可能垂直,也不可能平行 2.设有不同的直线a 、b 和不同的平面α、β、γ,给出下列三个命题: (1)若a a //,a b //,则b a //.(2)若a a //,β//a ,则β//a . (3)若γ⊥a ,γβ⊥,则β//a . 其中正确的个数是 A.0 B.1 C.2 D.3 3.如图△ABD ≌△CBD ，且△ABD 为等腰三角形，∠BAD =∠BCD =90°，且面ABD ⊥面BCD ，则下列4个结论中，正确结论的序号是 ①AC ⊥BD ②△ACD 是等边三角形③AB 与面BCD 成60°角④AB 与CD 成60°角 A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④ 4.一直线与直二面角的两个面所成的角分别为α、β，则α+β的范围为： Ａ.0＜α＋β＜π/2 B.α＋β＞π/2 C.0≤α＋β≤π/2 D.0＜α＋β≤π/2 5.在直二面角α－AB －β的棱AB 上取一点P ，过P 分别在α、β两个平面内作与棱成45°的斜线PC 、PD ，那么∠CPD 的大小为 A.45° B.60° C.120° D.60°或120° 6.二面角α-l -β的平面角为120°,A ,B ∈l , AC ?α, BD ?β, AC ⊥l , BD ⊥l ,若AB =AC =BD =1，则CD 等于 A.2 B.3 C.2 D.5 7.60°的二面角α- l-β,直线a ?α,直线b ?β,且a 、b 无公共点.设a 、b 所成的角是θ,则cos θ的取值范围是

文科立体几何线面角二面角专题_带答案解析

文科立体几何线面角二面角专题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、解答题 1．如图，在三棱锥中，，，为的中点．（1）证明：平面； （2）若点在棱上，且二面角为，求与平面所成角的正弦值． 2．如图，在三棱锥中，，，为的中点．（1）证明：平面； （2）若点在棱上，且，求点到平面的距离． 3．（2018年浙江卷）如图，已知多面体ABCA1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，∠ABC=120°，A1A=4，C1C=1，AB=BC=B1B=2．

（Ⅰ）证明：AB1⊥平面A1B1C1； （Ⅱ）求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值． 4．如图，在三棱柱中，点P，G分别是，的中点，已知⊥平面ABC，==3，==2. （I）求异面直线与AB所成角的余弦值； （II）求证：⊥平面； （III）求直线与平面所成角的正弦值. 5．如图，四棱锥，底面是正方形，，，，分别是，的中点.

（1）求证； （2）求二面角的余弦值. 6．如图，三棱柱中，侧棱底面，且各棱长均相等.，，分别为棱，，的中点. （1）证明：平面； （2）证明：平面平面； （3）求直线与直线所成角的正弦值. 7．如图，在四边形ABCD中，AB//CD，∠AB D=30°，AB＝2CD＝2AD＝2，DE⊥平面ABCD，EF//BD，且BD＝2EF． （Ⅰ）求证：平面ADE⊥平面BDEF； （Ⅱ）若二面角C BF D的大小为60°，求CF与平面ABCD所成角的正弦值． 8．如图，在四棱锥中，平面，，，

，点是与的交点，点在线段上，且. （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 9．在多面体中，底面是梯形，四边形是正方形，，， ，， （1）求证：平面平面； （2）设为线段上一点，，求二面角的平面角的余弦值. 10．如图，在多面体中，四边形为等腰梯形，，已知，，，四边形为直角梯形，，. （1）证明：平面，平面平面；

线线角、线面角、二面角知识点及练习

线线角、线面角、面面角专题 一、异面直线所成的角 1.已知两条异面直线,a b ，经过空间任意一点O 作直线//,//a a b b ''，我们把a '与b '所成的锐角（或直角）叫异面直线,a b 所成的角。 2.角的取值范围：090θ<≤?； 垂直时，异面直线当b a ,900=θ。 例1.如图, 在直三棱柱111ABC A B C -中，13,4,5,4AC BC AB AA ==== ，点D 为AB 的中点求 异面直线1AC 与1B C 所成角的余弦值 ； 二、直线与平面所成的角 1. 定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角， 叫这条斜线和这个平面所成的角 [ 2.角的取值范围：? ?≤≤900θ。 例 2. 如图、四面体ABCS 中，SA,SB,SC 两两垂直，∠ SBA=45°, ∠SBC=60°, M 为 AB 的中点，求（1）BC 与平面SAB 所成的角。 （2）SC 与平面ABC 所成的角的正切值。 ！ B M H S C A _ C … _ 1 _1 _` A _ 1 _ 。 _ C

< 一、 二面角： 1. 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。这条直线叫做二面角的棱，这两个半 平面叫做二面角的面。 2. 二面角的取值范围：? ?≤≤1800θ 两个平面垂直：直二面角。 $ 3.作二面角的平面角的常用方法有六种： 1.定义法 ：在棱上取一点O ，然后在两个平面内分别作过棱上O 点的垂线。 2.三垂线定理法：先找到一个平面的垂线，再过垂足作棱的垂线，连结两个垂足即得二面角的平面角。 3.向量法：分别作出两个半平面的法向量，由向量夹角公式求得。二面角就是该夹角或其补角。 二面角一般都是在两个平面的相交线上，取恰当的点，经常是端点和中点。 例3.如图，E 为正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱CC 1的中点，求 (1)二面角111D C A D --所成的角的余弦值 … (2)平面AB 1E 和底面C C BB 11所成锐角的正切值. — ， A D 1 B 1 C 1 E D B C A

(完整版)专题：异面直线、线面角二面角

D 1 C 1 B 1 A 1 C A B D N 空间线线角、线面角、二面角 题型一 求异面直线所成角 例1 正方体1111ABCD A B C D -中, ⑴求AC 与1A D 所成角的大小； ⑵若E F 、为AB AD 、中点，11A C 与EF 所成角的大小. 练习 1. 如图，正方体1111ABCD A B C D -中， ⑴异面直线1A B 与1AD 所成角的余弦值为( ); ⑵异面直线1A B 与1DC 所成角的余弦值为( ); ⑶异面直线1A B 与1CC 所成角的余弦值为( ). 练习 1.如图长方体1AC 中，112,3,4,AB BC AA ===N 在 11A B 上，且1 4.B N =，求1BD 与1C N 所成角的余弦值.

2. 在直三棱柱111ABC A B C -中，90BCA ∠=o ，点11,D F 分别为1111,A B AC 的中点，若1AC BC C C ==，求1BD 1与AF 所成的角。 题型二 求线面角 例3如图，正方体1111ABCD A B C D -中，求直线1BC 与平面 ABCD 所成角的大小. 练习 1.在棱长2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1BC 的中点.求直线DE 与平面ABCD 所成角θ的正切值 2.如图所示，已知四面体S ABC -的棱长都为a ，E 为SC 中点，F 为AB 中点 ⑴求BE 与SF 所成角 ⑵求BE 与面ABC 所成角. 1A 1B 1C C B 1D 1F D1 C1 A1 B1 B C D E S A F B C E

D B C A E P B C A 题型三：二面角 1、如图4, 在直角梯形ABCD 中, 90,30,1,ABC DAB CAB BC AD CD ? ? ∠=∠=∠===,把△DAC 沿对角线AC 折起后如图5所示(点D 记为点P ), 点P 在平面ABC 上的正投影E 落在线段AB 上, 连接PB . （1）求直线PC 与平面PAB 所成的角的大小;（2）求二面角P AC B --的大小的余弦值. 图4 图5 2.如图，四棱锥P －ABCD 的底面为矩形，侧面P AD 是正三角形，且侧面P AD ⊥底面ABCD (I) 求证：平面P AD ⊥平面PCD (II) 当AD = AB 时，求二面角A －PC －D 的余弦值. 3.在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是一直角梯形，a BC AB BC AD BAD ===∠,//,90ο， PD ABCD PA a AD ,,2底面⊥=与底面成30°角. （1）若E PD AE ,⊥为垂足，求证：PD BE ⊥； （2）在（1）的条件下，求异面直线AE 与CD 所成 角的余弦值； （3）求平面PAB 与平面PCD 所成的锐二面角的正切值. A B C D P

线面角和二面角

直线和平面所成的角与二面角 年级__________ 班级_________ 学号_________ 姓名__________ 分数____ 一、选择题(共45题，题分合计225分) 1.过正方形ABCD 的顶点A 作线段A A ′⊥平面ABCD ，若A A ′=AB ，则平面A ′A B 与平面A ′CD 所成的角度是 A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 2.一个二面角的两个面分别垂直于另一个二面角的两个面，那么这两个二面角的大小关系是 A.相等 B.互补 C.相等或互补 C.不能确定 3.在直二面角α- l-β中,直线m ?α,直线n ?β,且m 、n 均不与l 垂直,则 A. m 与n 不可能垂直,但可能平行 B. m 与n 可能垂直,但不可能平行 C. m 与n 可能垂直,也可能平行 D. m 与n 不可能垂直,也不可能平行 4.设有不同的直线a 、b 和不同的平面α、β、γ,给出下列三个命题: (1)若a a //,a b //,则b a //.(2)若a a //,β//a ,则β//a . (3)若γ⊥a ,γβ⊥,则β //a . 其中正确的个数是 A.0 B.1 C.2 D.3

5.如图△ABD ≌△CBD ，且△ABD 为等腰三角形，∠BAD =∠BCD =90°，且面ABD ⊥面BCD ，则下列4个结论中， 正确结论的序号是 ①AC ⊥BD ②△ACD 是等边三角形③AB 与面BCD 成60°角④AB 与CD 成60°角 A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④ 6.在边长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的底面A 1C 1上取一点E ,使AE 与AB 、AD 所成的角都为60°,则AE 的长等于 A.35 B.46 C.2 D.3 7.一直线与直二面角的两个面所成的角分别为α、β，则α+β的范围为： Ａ.0＜α＋β＜π/2 B.α＋β＞π/2 C.0≤α＋β≤π/2 D.0＜α＋β≤π/2 8.在直二面角α－AB －β的棱AB 上取一点P ，过P 分别在α、β两个平面内作与棱成45°的斜线PC 、PD ，那么∠ CPD 的大小为 A.45° B.60° C.120° D.60°或120° 9.若三棱锥的顶点在底面上的射影是底面三角形的垂心，则 A.各格侧棱长相等 B.各侧棱与底面成等角 C.各侧面与底面线等角 D.每组相对棱互相垂直 10.二面角α-l -β的平面角为120°,A ,B ∈l ,AC ?α,BD ?β,AC ⊥l ,BD ⊥l ,若AB =AC =BD =1，则CD 等于 A.2 B.3 C.2 D.5 11.60°的二面角α- l-β,直线a ?α,直线b ?β ,且a 、b 无公共点.设a 、b 所成的角是θ,则cos θ的取值范围是 A.???? ?? ??1,23 B.????? ?21,0 C.[]1,0 D.[)1,0 12.二面角α- l-β的大小为θ，直线a ?α，直线b ?β，设a 与b 所成的角为φ，则下面关系中正确的一个是 A. φ＜θ B. φ＞θ C. φ=θ D.以上三种关系均有可能 13.直线l 与平面α或60°角， A l =α ，直线a A a ??且α，设l 与a 所成的角为θ，则cos θ的取值范围是 A.????? ?1,21 B.??????1,21 C.??????21,0 D.??? ???21,0 14.如图,等腰直角△ABC ,沿其斜边AB 边上的高CD 对折,使△ACD 与△BCD 所在的平面垂直,此时∠ACB 等于

线面角、二面角专题复习(学生版)

线面角与二面角专题复习 编辑\ 审核：黄志平 说明红色为必做题（课堂上展示的），其它题可选做，练手感。 一、线面角 1、如图，四棱锥S ABCD -中，AB//CD,BC CD ⊥， 侧面SAB 为等边三角形，2,1AB BC CD SD ====． （Ⅰ）证明：SD SAB ⊥平面; （Ⅱ）求AB 与平面SBC 所成角的大小． 2、如图，在组合体中，1111D C B A ABCD -是一个长方体，ABCD P -是一个四棱锥．2=AB ，3=BC ，点D D CC P 11平面∈且2==PC PD ． （Ⅰ）证明：PBC PD 平面⊥； （Ⅱ）求PA 与平面ABCD 所成的角的正切值； 3、如图，在三棱锥P －ABC 中，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝ 2 1 PA ，点O 、D 分别是AC 、PC 的中点，OP ⊥底面ABC ． (Ⅰ)求直线PA 与平面PBC 所成角的大小； D 1 C 1 B 1 A 1 P D C B A A B C D O P

D B C A E P B C A 4、如图，棱锥P —ABCD 的底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，PA =AD =2，BD =22. （Ⅰ）求点C 到平面PBD 的距离. （Ⅱ）在线段PD 上是否存在一点Q ,使CQ 与平面PBD 所成的角的正弦值为 9 6 2，若存在，指出点Q 的位置，若不存在，说明理由。 5、如图4, 在直角梯形ABCD 中, 90,30,1,ABC DAB CAB BC AD CD ??∠=∠=∠===,把△DAC 沿对角线AC 折起后如图5所示(点D 记为点P ), 点P 在平面ABC 上的正投影E 落在线段AB 上, 连接PB . （1）求直线PC 与平面PAB 所成的角的大小;（2）求二面角P AC B --的大小的余弦值. 图4 图5 二、二面角 6．如图，四棱锥P －ABCD 的底面为矩形，侧面PAD 是正三角形，且侧面PAD ⊥底面ABCD (I) 求证：平面PAD ⊥平面PCD (II) 当AD = AB 时，求二面角A －PC －D 的余弦值. D P A C A B C D P