数学方法与精神复习题

数学方法与精神复习题

1.叙述皮亚诺的自然数公理系统。

皮亚诺公理，是数学家皮亚诺提出的关于自然数的五条公理系统。根据这五条公理可以建立起一阶算术系统，也称皮亚诺算术系统。

皮亚诺的这五条公理用非形式化的方法叙述如下：

三个基本概念：

0，数，后继

五条公理：

1.0是一个数。

2.任何数的后继是一个数。

3.若两个数不同，则它们的后继也不同。

4.0不是任何数的后继。

5.数学归纳法原理。

皮亚诺所谓的“数”是指所有自然数所构成的类，即指包括0在内的自然数全体；他没有假定我们知道这类中的所有分子，仅假定当我们说这个或那个是一个数时，我们知道我们所指的是什么。

皮亚诺以“后继”来代表从数到数的一种对应，这种对应是一对一的，是一部以数造数的机器——给一个合适的起始数，潜在地，就足以造出数的全体。这个合适的起始数只有一个，那就是“0”。

“0”、“数”、“后继”是不加以定义的原始概念，它们的性质全由皮亚诺的五条公理所界定和描述。

从皮亚诺的公理系统出发，可以建立起完整的算术理论——可以定义数的加法、乘法和大小关系，可以证明已有的所有算术结果。

2.你认为数学可以完全规约为逻辑吗？论述你的观点。

我认为数学并不能完全规约为逻辑。逻辑主义学派认为，数学可以完全由逻辑得到。罗素和怀特相当成功的把古典数学纳入了一个统一的公理系统，使之能从几个逻辑概念和公理出发，再加上集合论的无穷公理就能推出康托集合论、一般算术和大部分数学来。这把逻辑推理发展到前所未有的高度，使人们看到，在数理逻辑演算的基础上能够推演出许多数学内容来，形成了集合论公理系统的逻辑体系。但后来数理逻辑中的一些深刻结果（如Godel 不完备性定理）则否定了这种观点。事实上，数学不能完全由逻辑得到，即，如果要求数学是无矛盾的，那么，它就不可能是完备的。数学确实有逻辑以外的题材，那就是表达式，而且她的最重要的简单真理是直观的——而非逻辑的——产物。ZFC系统中存在的非逻辑公理即能说明这一点。

3.试述ZF系统的MP规则和GEN规则。

()()()()tion generalisa .

是任一变元是任一公式，而，其中可以推演出规则）：从GEN 概括规则（)

2(ponens modus .是任意两个公式和，其中可推演出和规则）：从MP 分离规则（)

1(这两条规则是：

。

的直接后承而演绎出来,,,作为某有限个公式式把一个公

；这些规则使我们可以的逻辑演绎规则有两条ZF 21x A A x A B A B B A A A A A A m ?→ 注释： ()()()()()()

。成可以判断真假的陈述—它不能构

—定赋值含有的自由变元没有确说来不能谈论，因为它题时，它的真假值一般含义而定；当它是开命的真假值依赖于谓词的的情况下，该命题

闭命题时，在论域确定对于谓词公式，当它是了变元的作用。

受到量化的变元就失去，对变元加以约束和限制们看到，量词的作用是变成了一个闭命题。我,,,变元，那么

的所有自由

表示,,,，其中,,,，记作对一个开命题是一个闭命题。

出现时，称是开命题，而后种情形形出现时，称前种情

，或者不含自由变元；总是或者含有自由变元一个公式性质的推理是必要的。

概括规则对于涉及量词2式。

正是三段论式推理的形因此，分离规则反映的“乙”为结论。

，“甲”为小前提，而“甲蕴含乙”为大前提“乙”。通常称

分离（即推演）出命题“甲蕴含乙”和“甲”式之一：从命题

言中进行论证的标准方分离规则对应于日常语1z y x A x y z A z y x z y x A A A A A ???

4. ZFC 系统的非逻辑公理有哪些条款？其中哪几条最能体现数学价值而又不能归约为逻辑？

（ZF1）两个集合相等，当且仅当它们有相同的元素。（外延公理）

（ZF2）没有元素的集合存在。（空集公理）

（ZF3）给出任何集合x 和y ，总存在着集合z ，它的元素是x 和y 。 （配对公理） （ZF4）给出任何集合x ，总存在着集合y ，它以x 的元素的元素为元素。（并集公理） （ZF5）给出任何集合x ，总存在着集合y ，它以x 的一切子集为元素。（幂集公理）

（ZF6）若对于任意的x ，恰好存在唯一的y ，使得公式A(x,y)成立，那么对于任意的集合z ，存在集合u ，使得

u = { v | 存在w ∈z ，使得A(w,v)成立 }。

（替换公理模式）

（ZF7）存在一个集合x ，它含有无穷多个元素。 （无穷公理）

（ZF8）每个非空集合x 含有一个元素y ，y 作为集合与x 无公共元素。 （基础公理） （AC ） 对任何由两两不交的非空集合组成的集合x ，总存在一个集合y ，它与x 的每个成员恰有一个公共元素。 （选择公理）

（ZF2）空集公理和（ZF7）无穷公理（AC ）选择公理

（ZF2）和（ZF7）是分别断言集合存在和无限集合存在的公理；实质上，它们断言的正是空集?和自然数集N 存在。这两条公理实难作为逻辑公理看待，它们是干脆的数学公理。因此，将集合论完全划归逻辑范畴不可能得到数学界的认可。一般认为：逻辑主义自定的目标——数学化为逻辑，成为逻辑的一部分——不可能实现。除此之外，选择公理也被证明是一条数学原理，不能归约为逻辑。

5. 自然数系有哪些基本原理？详细叙述之。

()()()()看清。这点我们将在下一讲中基于上面的递归定理。本质上

运算的定义的合理性在归方式定义的；这两种是用递

法和乘法两种运算，都例如，自然数系中的加。

出递归定义的理论依据上述定理是我们可以做 .

, 0 Ν:: Ν∈?='=→→n n f n f a f S f S S a S S S ??且，满足

的唯一的映射存在Ν到素。那么，

的任一个事先给定的元是一个映射，为

是一个集合，设（递归原理） 定理2

()()()()()()()()()()()()()()()()“进”。然后再用归纳法飞跃地的情形，

题“退”到最简单易解法上，它教会我们把问而在方

了有限，达到了无限；论意义在于帮我们超越的理

而基本的数学原理。它数学归纳原理是最重要 真。”也真。

真，则证明：命题“若 2真；

0证明：命题 1：

意有两个步骤缺一不可必须注

理去证明数学命题时，注：在使用数学归纳原.

Ν0 谓词公式，那么

的

是一个含有自由变元设 n P n P P n P n n P n P n P x x P 'N ∈??'→∈?∧ ）定理3（数学归纳原理

()()()()递归原理所保证。

这一表示法的合理性由 ,910 ,89 , ,23 ,12 ,01 拉伯数字表示系统：

阿

象记号系统就是它们的的。自然数最常用的抽素的抽象记号就是自然，引入其元N 然数系的统一性，那么对于自既然自然数系具有上述 法存在性。

合

了肯定它在集宇宙中的公理的引入无非就是为系是存在的集合，无限：自然数

义。在此我们强调一点作为自然数系的标准定3我们就将定义家们的习惯，常不予区分。尊重数学与Ν基于上述定理，数学上 .

，0 ，:， ）（ '='='='='='+='=→ωφωωωn h n h h h 且适合

Ν存在唯一的双射对于N 与的统一性与 Ν定理4

6. 什么是有限集、无限集和可数集？

设S 是一个集合，我们规定

（1）如果存在n ∈N 使得S 与｛0，1，…，n ｝相似，或S 与?相似，则称S 是有限集；否则，称S 是无限集。

（2）如果S 与N 相似，则称它是可列集。

（3）如果S 是有限集或可列集，则称S 是可数集或至多可列集。

7. 谈谈你对零的看法。

数学表述着事物复杂的本质，而把庞大的数学体系连成了一个整体的是零。从简单的计数到复杂的运算，从估计事物发生的几率到精确知道与我们相关的事件何时达到最大值，这些有力的数学工具都让我们使用这样的思考方法：一个事件的发生与其他的事件相关，并且所有这些都离不开零这个中心。如：ei π+1=0（数学中最重要的常数都集中于此）

8. 谈谈你对无限的看法。？

无限即无穷，在数学上，从哲学上讲,从公元前400多年前开始对无穷的观念就产生了分歧,潜无穷与实无穷的无穷观一直争论至今.潜无穷的无穷观认为无穷是一个永无终止的过程;实无穷的无穷观认为无穷是实际存在的,无穷是一个可以完成的过程或一个已经生成的对象. 现代数学的主流是以经典数学为基础的，经典数学以ZFC 公理集合论系统为基础，承认无穷集合的存在，故经典数学接受实无穷观，同时也不排斥无穷作为一个过程存在，可以认为经典数学中的无穷观是潜无穷与实无穷辩证统一的无穷观。大学数学学习的是经典数学，故而大学数学中的无穷观应是潜无穷与实无穷辩证统一的无穷观。

9. 谈谈你对算术运算的看法（将同一运算在不同数系中的功能作一比较）。你觉得算

术运算的威力表现在哪里？ ？

算术运算就是数的加、减、乘、除以及乘方开方等数学运算，区别于几何运算。对于算术来说，它是数学中最古老,最基础和最初等的部分.它研究数的性质及其运算.把数和数的性质,数和数之间的四则运算在应用过程中的经验积累起来,并加以整理,就形成了最古老的一门数学—算术。其威力表现在无穷、逻辑、结构、迭代和心灵信条。通过算术运算，数系从自

然数系逐步拓展到实数系，而这整个过程的推导是内在统一的，算术运算的威力就体现在这个地方。

10.从自然数到整数，再到有理数，这样，数系被扩充得与直线几近一样。这在毕达哥

拉斯看来，数与形达成了统一。你认为有理数系与直线达成统一了吗？为什么？

并未完全统一。通过引入无理数系，与有理数系共同构成的完备有序数系——实数系，才真正与直线达成统一。因为：毕达哥拉斯学派后来发现，并不是任意两条线段都是可共度的。例如，正方形的对角线与其一边就构成了不可公度的一对线段，从而引发了数学史上第一次数学危机。

11.谈谈你对实数的认识？

实数是数学中最基本的概念之一。实数与数轴上的点可以一一对应。实数包括有理数与无理数，而从欧几里得以来，人们都把它们理解为单位长线段可公度与不可公度的线段的长度。从实数发展得历史来看，虽然从毕达哥拉斯学派那时起就有人意识到了无理数得存在，到17世纪，人们对实数的使用已经习以为常，并开始脱离其几何原型抽象地认识实数。但到19世纪中叶，在分析严格化的进程中，由于一些事实无法证明（例如，柯西无法证明自己提出的收敛准则的充分性），一些证明出了错（如波尔查诺对连续函数介值性的证明），人们才发现对实数特别是无理数的认识任然模糊不清，这才促使一批数学家关注于处理无理数的问题。通过他们的努力，终于在将近半个世纪的时间里，建立了多种形式上不同，而实质上等价的严格的实数理论。各种形式的构造性实数理论，都是首先从有理数出发去定义无理数，也就是说，数轴上有理点之间的所有空隙（无理点），都可以由有理数经过一定的方式来确定。然后证明这样定义的实数（原有的有理数和新定义的无理数）具有人们原来熟知的实数所应有的一切性质，特别是连续性。这些形式上不同的实数理论也就因确定空隙的方法不同而互相区分，它们主要有：戴德金用有理数的分割的方法，康托尔用有理数的基本列的方法，魏尔斯特拉斯用无穷（非循环）十进小数的方法，以及用端点为有理点的闭区间套和有界单调有理数列的方法。站在现代数学的立场来看，上述各种方法都是从假定实数具有某种特性出发的（如戴德金的方法假定了实数的连续性，康托尔假定的是完备性，而用闭区间套的方法反映了实轴上有界闭集的紧性），而这些特性在实数范围内都是等价的，因而用这些方法定义出的实数都是完全相同的。

12.证明或说明√2、√3、√5 是无理数。

证法一：(1)假设√2是有理数，即可写成两个不能约分的整数之比，设√2=p/q,两边平方得p2/q2=2，p2=2q2∴p是偶数，设p=2m (2m)2=2q24m2=2q2q2=2m2∴q也是偶数，显然这与p,q不能约分矛盾，故√2不是有理数，是无理数。

（2）假设√3是有理数。1^2< (√3)^2<2^2 1<√3<2,所以√3不是整数，设√3=p/q ，p 和q互质。把√3=p/q 两边平方 3=(p^2)/(q^2) 3(q^2)=p^2 3q^2是3的倍数数，p 必定3的倍数，设p=3k 3(q^2)=9(k^2) q^2=3k^2 同理q也是3的倍数数，这与前面假设p，q互质矛盾，故√3是无理数。

（3）假设√5是有理数，则设√5=p/q(p,q是正整数，且互为质数。两边平方得，5=p^2/q^2, p^2=5q^2(*)，p^2含有因数5，设p=5m代入(*)，25m^2=5q^2, q^2=5m^2，q^2含有因数5，即q有因数5，则p,q有公约数5，这与原假设p,q互质矛盾，故√5是无理数。

证法二：由于无理数可以用无限连分数表示，

（1）已知√2的连分数表示法如下：

故√2是无理数。 （2）同理可证，√3、√5 是无理数。

13. 通过实数的连分数表示谈谈你对“万物皆数”的认识。

（1）实数分为有理数和无理数，而它们均可以通过有限或无限次连分数来表示。

（2）“万物皆数”里的“数”指的是自然数，而任何有理数和无理数均可以用有限或无限个自然数通过四则运算得到。

14. 混沌动力系统有哪些特性？

()()()()()()()(){}()在着一定的规则因素。

则反映出这种系统中存混沌系统的。

，使得

和两个不能同时有这样的:，互无干的子系统，亦即系统不能分解成两个相可分解性，即，混沌

，意味着这种系统的不混沌动力系统的要意义和影响了。

界具有重

动力系统为什么对科学共识，就不难理解混沌“永动机”不可制造的达成的

想一想科学界好不容易具有重要意义和影响。在认识论和方法论方面科学界

混沌系统的这一属性对则上不能做长期预测。所以，对混沌系统，原；

都无关和与0注意0

,d sup lim ，于是

混沌动力系统，具测呢？

长期预

么，对动力系统能否做程预测总是可行的。那因此，对动力系统做短；0,d lim 因为0,d sup lim 的连续性，

，由：对任意的00周期点稠密性,的，并且都是非空的，即开又闭与不变子集拓扑传递性对初值的敏感依赖性评注φ?δδ?????=?=?→>>≥==∈≥∞→∞→≤≤∞→B A X B A B A B A X X x x x x x x x x m n k n k k n n

n k n k m k n N

15. 分形集合有什么特点？

分形可具有分数维度：不同于整数维度的一维线段，二维矩形，分形所具有的维度可以是非整数的，称作分数维。

分形具有自相似性：对于同一个分形结构，自相似就是尺度一层一层缩小的结构重复性，它们不仅在越来越小的尺度里重复细节，而且是以某种固定的方式将细节缩小尺寸，造成某种循环重现的复杂景象。

()().212121112121211

21211121121111.111,

111 0222

++++=+++++==+++

=++=-+=+=-+=-=+-=-x x x x x x x x x x x 于是，

即的正根，因此

是二次方程

分形具有尺度无关性：对于同一个分形结构，以不同大小的量尺来量度「可观察的区域」，分形会具有一致的分数维度和自相似方式。例如，如果我们不同程度地放大或缩小科赫雪花 曲线，我们会发现图形的复杂度，或折迭程度，或粗糙程度并未因此而改变。

16. 迭代在描述混沌和分形的数学模式中是怎样发挥威力的？详细论述你的论点。

（1）迭代这一数学模式成为描述决定性系统的理想工具。从数学的角度看，一个映射φ:S →S 可以代表某种因果规律，其定义域 S 用于表示系统的各种可能状态构成的集合。设 x0∈S 表示一个初始状态，那么由状态 x0 到下一个状态φ(x0) 就是因果规律φ 在起作用；设想这种规律相继地不断作用下去，我们就会得到一个状态的序列即迭代序列：x0， x1=φ(x0) ， x2 =φ(x1) ， x3 =φ(x2) ，……。而动力系统理论的基本目的就是了解一个迭代过程之最终的或渐进的性态。（2）迭代与分形：康托三分集的构造是无限次使用给定的迭代模式；简单迭代的无限次使用能使二维正方形由一条曲线填满。通过图形迭代产生分形图的过程表明，迭代规则比较简单，但产生的结果却异常奇妙复杂，且这些图形很好地反映出了分形几何具有自相似性的层次结构。

17. 什么是拓扑空间？什么是连续映射？举一个拓扑空间的例子和一个连续映射的例

子。

()()()()。，,；，，

3，2，1。，：是一个拓扑空间或简称为一个拓扑空间此时称个开集中的每个集合都称作一并将上的一个拓扑为那么称交属于中任意有限多个集合的于中任意多个集合的并属属于和如果

的一个子集族是是一个集合设拓扑空间的定义X X X X X X T T T T T T T T T φ ()。:，，。:，,：1是一个连续映射那么称的一个开集必是开集的任意如果对是一个映射是拓扑空间设连续映射的定义Y X f X V f V Y Y X f Y X →→- 例子：M?bius 带的制造、环面的制造、Klein 带的制造

恒同映射，常值映射。

18. 什么是同胚映射？什么是拓扑不变量？举一个同胚的例子和一个拓扑不变量的例

子。

设X 和Y 是拓扑空间。如果f ：X →Y 是一一映射，并且f 及其逆g ：Y →X 都是连续的，则称f 是一个同胚映射，或称拓扑变换，或简称同胚。当存在X 到Y 的同胚映射时，称X 与Y 同胚，记作X ≌Y 。例如：平面内的正方形和圆同胚。

拓扑眼观察到的空间是没有定形的，它观察一个空间时，只关注与这个空间拓扑等价的全体空间所共有的性质，这种性质称作拓扑性质，或拓扑不变量。例如：稠密性、可分性、紧致性、连通性，Hausdorff 分离性、正则性、正规性，有边与无边、可定向与不可定向，维数、Euler 示性数，同调群、同伦群。

19. 按布尔巴基学派的观点，数学有哪几种基本的结构？结构观概括了数学学科的那些

特点？谈谈你的认识。

一种叫做代数结构。集合上有了运算，能够从两个元素生出第三个来，就叫做有了代数结构。 一种叫序结构。集合中某些元素之间有先后顺序关系，就叫做有了序结构。

还有一种叫做拓扑结构。它用来描述连续性、分离性、附近、边界等这些空间性质。 三种基本的数学结构恰好是现实世界的基本关系与形式在我们头脑中的反映：

代数结构——运算——来自数量关系；

序结构——先后——来自时间观念；

拓扑结构——连续性——来自空间经验。

20. 叙述希尔伯特空间定义，并证明：线性代数中所讲的欧氏空间和酉空间都是希尔伯

特空间。

21. 试论数学的威力、超越性和美。

数学美是普遍存在的,并不是牵强附会地或者说是对美学概念的滥用。古希腊的毕达哥拉斯学派认为万物皆源于数, 美的效果只能从探求数量比例的和谐中去寻求。如果没有数学和数的性质, 世界上任何事物本身或其与其它事物的关系都是不能为人们所理解的。也正是从 这一美学思想出发, 该学派提出了天体运动必须是均匀的圆周运动的基本假说和星体是球形的美学原则。柏拉图极度推崇毕氏的万物皆数的原则, 认为对自然界超感觉的数学结构的追求, 不仅是对绝对知识真的追求, 也是对美的追求。牛顿在科学研究中, 正是充分利用了他的数学才能和数学美感,把数学美转化为表现物质运动状态的方程式。其实, 无论是文学创作还是艺术家形象的塑造, 都是与数学模型的建立过程有着本质上的一致。L. E. 伯尔兹曼曾说: 既然一个音乐家能从头几个音节中辨别出他的莫扎特、贝多芬, 那么一个数学家也可以从前几页文章中识别出他的柯西、欧拉和高斯等人。 例如约束极值的拉格朗日乘子法, 对目标函数和约束在求极值上的一视同仁, 以显示出匀称、和谐的数学美, 给我们留下了拉格朗日个人的风格; 拉普拉斯变换的普遍反演公式, 以复变函数积分形式达到原函数, 显示出某一种珍奇、独特的美, 深深地打上了拉氏的印记。

从另一方面讲, 数学家研究数学, 并不是因为这样做有多大的益处, 而是因为他认为他能够从中得到某种乐趣, 他认为数学是美的。这里所说的美, 不是给我们那种感官上的印象之美, 也不是质地美和表现美, 而是数学那种深层次的美, 这种美在于每个部分秩序的和谐, 与自然界的和谐, 与人心理和生理上的和谐, 引起情感上的强烈共鸣, 并且能为纯粹的理智所掌握。

结构、逻辑、无穷、心灵力量与信仰

22. 试论数学的统一性。

? 历史上，哲学家与数学家很早就试图把数学统一起来，那时数学要比今天简单的多。

在毕达哥拉斯时代，只有算术和几何。毕达哥拉斯做了第一次尝试，试图把数学统一于自然数。这次尝试由于无理数的发现而以失败告终。

? 以后相当长的时间里，人们寄希望于几何，希望把数学统一于欧几里得几何。最后

发现，连几何也是不统一的，人们的希望又破灭了。

? 莱布尼兹、弗雷格和罗素都希望把数学统一于逻辑，使庞大的、复杂的、内容丰富

的数学归结为非常通俗的、直观的、易于洞察的逻辑，结果导出了极不通俗、极为复杂而令人难以洞察的层次理论和可化归公理。

? 直觉主义流派的布劳尔和形式主义流派的希尔伯特，又希望数学统一于算术。结果，

连算术也不是统一的——这是哥德尔定理的推论。

? 最后，数学家和逻辑学家寄希望于把数学统一于康托开创的集合论。但是，哥德尔

和库恩对选择公理的研究成果表明，集合论自身就是难于统一的。

()()(){}()是希尔伯特空间。

内积空间都是收敛点列，那么称中的任何柯西点列下，度量上的完备度量，即，在是如果量如下：

可以引入一个自然的度内积空间?∈?-=??,,.

,:,,,H x H H H y x y x y x H n ρρρ定义

?在经过这些试图把数学统一起来的努力都失败之后，数学反倒变得更加生机勃勃，更加丰富多彩，更加多样化了。数学不断地用新成果使自己壮大，不断地修改着、改组着自己的理论而生出新的分支，以致使人产生一种感觉：数学不是具有统一对象和统一方法的科学，而是一系列建立在局部的、相互之间有千丝万缕联系的精确确定的概念之上的学科。

?法国的布尔巴基学派提出了与此相反的观点。他们认为：别看外部现象是多么光怪陆离、五光十色，其实，数学由于内部的进化，比任何时候都巩固了它的各部分的统一，并且建立起比任何时候都更加有联系的整体，形成了数学所特有的中央的核心。

总的来看，（1）数学的各个部分是相互联系相互支持的，由于各部分相互沟通、相互促进而发展。数学由于内部的进化，比任何时候都巩固了它的各部分的统一，并且建立起比任何时候都更加有联系的整体，形成了数学所特有的中央的核心。（2）数学的各种理论之间的关系是可以系统化的，可以用“公理方法”作统一的总结。（3）结构观用整体的观点看数学，着眼于数学各部门的内在联系，把数学统一到结构的观点上，是符合辩证唯物主义认识论的。

总之，数学的统一性是客观世界统一性的反映，是数学中各个分支固有的内在联系的体现。它有两方面表现：一是数学对其他科学的统一，二是数学本身的统一。它是普遍联系和对立统一辩证思想的具体体现。

23.试论数学精神。

（1）心灵的单纯、自由、超越、信条。（2)理性精神、求真精神、创新精神、统一性精神。

初中数学教师学科专业素养“三级标准”试题

初中数学教师学科专业素养“三级标准”试题 一、选择题 1、强调学生用数学的眼光看问题，意思是说（d ） a. 去课外学习 b. 到车间、农村去学数学c．深刻地理解数学d．用数学知识去观察周围的实际情景 2、数学方法的产生是（ a ） a．伴随数学问题的解决而产生的b.一些人头脑里想出来的c.外国科学家研究出来的 d.做数学题中发现的 3、有学者认为，体验学习是一种以（a ）为中心的、从体验和反思中获得进步的学习方式。 a. 学习者 b.培训者 c.培训容 d.培训手段 4、下面的教学方式适合学生交流思想和感受的是（ b ）。 a.自主探究 b.对话教学 c.体验教学 d.接受学习 5、在对课程目标的认识中，正确的是（d ） a.知识与技能是有效教学成功与否的关键 b.情感态度价值观是有效教学成功与否的关键 c.能力是有效教学成功与否的关键 d.过程是有效教学成功与否的关键 6、教学中教师“包办代替”，会（ a ） a.剥夺了学生能力发展的权利 b.启发学生的思维 c.调动学生学习的积极性 d.有利于学生很好的掌握知识 二、填空题 1、1935年爱因斯坦在纽约州立大学的一次毕业典礼上，指出旧学校给学生太多的“好 2、在1983年问世的《数学方法论选讲》中，徐利治教授对“数学方法论”又给出了如下的定义：“数学方法论主要是研究和讨论数学的发展规律，数学的思想方法以及数学中 值观转变为坚定的信念，进而在行动中体现出来。 问题，以增进教学主体间的理解，提升师生教学生活质量的过程。

进了学生的学习，相对有效地达到了预期教学效果的教学. 6、忽视知识生成发展过程，就是在课堂教学中，教师常常把较少的时间用于新知识 新知识的记忆、应用）。 三、简答题 1、请画出初中数学知识导航图。 2、1901年，英国工程师皇家理科学院教授j．培利主“关心一般民众的数学教育”，取消欧几里得《几何原本》的统治地位，提倡“实验几何”，重视实际测量、近似计算、运用坐标纸画图、尽早接触微积分。他归纳学习数学的“理由”有七条，请回答这七条理由。 3、简述研究数学方法论的意义和目的。 4、教学中可以在哪些过程实施体验教学？ 5、怎样确定体验教学目标？ 6、对话教学的表现形式有哪些？ 7、简述在教学设计中，教材的有效分析。8、简述在教学设计中，学情的有效分析。 9、简述在教学设计中，教学方法的解析。 四、论述题 1、结合自己的体会，谈东西方数学教育的平衡。 2、结合自己的实际，谈数学方法论的文化教育功能。 3、结合自身的实际，谈体验学习能速成吗？ 4、结合教学实际说明体验教学的必要性。 5、结合实际教学说明知识在对话中生成。 6、结合自身的实际，谈在教学程序设计中容成分的有效分析。 7、结合自身的实际，谈在教学程序设计中教学环节的解析。8、结合自身的实际，谈知识的形成和发展过程会带给学生什么？ 9、结合自身的实际，谈教学中的“包办代替”现象的具体体现及导致的后果。 参考答案 三、简答题 1、 2、（1）培养高尚的情操，唤起求知的喜悦。（2）以数学为工具学习物理学。 （3）为了考试合格。（4）给人们以运用自如的智力工具。 （5）认识独立思考的重要性，从权威的束缚下解放自己。（6）使应用科学家认识到数学原理是科学的基础。 （7）提供有魅力的逻辑力量，防止单纯从抽象的立场研究问题。

在教学中如何渗透数学思想方法

《在教学中如何渗透数学思想方法》 培训方案 莒南县第三小学郑玲玲 一、培训源起： 看到山东省教研室徐云鸿科长的《快来参加“我是坊主”成长营》倡议，备受鼓舞，深受启发。倡议中提出需要共同探讨的问题：怎样才能提升自己的培训能力与工作坊主持能力？因此，本着把研修过程作为“我是坊主”的课程来学习的精神，决定在学校层面上进行实战训练：根据教师实际情况，我该设计怎样的培训内容？怎样设计这个活动？活动分几个阶段进行？如何做才最有实效？等等，一系列问题都需深入思考，有效解决，幸好，有徐云鸿科长、于江美科长，还有很多的领导专家在身边指导，困惑可以随时请教，且学且研究吧！ 二、培训背景： 1.从《数学课程标准》来看，总体目标明确的将“数学思想方法”纳入其中，作为“四基”之一的“基本思想方法”，它是数学的灵魂和精髓，其重要性不言而喻。 2.从教师角度上来说，我们普遍缺乏什么？缺乏对数学思想的整体把握，缺乏基于课堂教学的深层次研究，缺乏个人做研究的落脚点……作为一名合格的数学教师，不仅要熟知四大领域的内容，还要理清每一个知识点背后蕴含的思想方法，因此，学习数学思想方法并会在课堂中渗透常用的数学思想方法迫待眉睫。 3.从学生角度上来说，若干年后，深深铭记在他们头脑中的只有数学的精神和思想方法，这些都随时随地发生作用，使他们终身受益。因此，感悟和学习一些基本的数学思想方法对提升学生思维品质、建立科学的数学观，乃至对数学学科的后继学习和个人发展，都有十分重要的意义。

三、培训内容： 在教学中如何渗透数学思想方法。 四、培训目标： 1.以课例为载体，提高教师对数学思想方法的认识和研究能力。 2.了解常用的数学思想方法，学会如何在课堂教学中渗透数学思想方法。 3.用数学思想方法指导自己的教学，不断引导学生运用数学思想方法解决问题，提升学生的思维品质。 五、培训形式： 吴正宪老师曾说过：离开了课堂，我们就失去了成长之根。好的研修活动，应是通过课例的比较，解决教师在课堂上遇到的真实的问题。 因此，本次培训以课例《分数乘分数》入手，研训在教学中如何渗透数学思想方法。 六、培训资源： 1.课例：刘万元老师的两节《分数乘分数》（一节是全国赛课，一节是省课）；临沂刘士峰的《分数乘分数》；聊城张兆菊的《分数乘分数》；烟台杨永丽的《分数乘分数》；济宁张秋平的《分数乘分数》。 2.文本材料：章丘市教育局教研室赵玉香老师的《小学数学思想方法理论与实践研究》。 3.ppt《小学数学常用思想方法的梳理》。 七、培训对象： 全校数学教师 八、培训时间： 2014年5月23日---6月12日。 九、培训安排：

数学分析试题

（六）一年级《数学分析》考试题 一 判断题：（满分10分，每小题2分） 1、设数列{}n a 递增且a a n n =∞ →lim （有限），则有{}n a a sup =； （ ） 2、设数列)(x f 在点0x 的某领域)(0x U 内有定义，若对)(00x U x n ∈?，当0x x n →时， 数列{})(n x f 都收敛于同一极限，则函数)(x f 在带点0x 连续；（ ） 3、设数列)(x f y =在点0x 的某领域内有定义，若存在实数A ，使0→?x 时，)()()(00x o x A x f x x f ?=?--?+，则)(0'x f 存在且A x f =)(0'；（ ） 4、若0)()(2'1'==x f x f ，)(0)(2''1''x f x f ，则有)()(21x f x f ；（ ） 5、设?+=c x F dx x f )()(，?+=c x G dx x g )()(,则当)()(x G x F ≠时，有)()(x g x f ≠； （ ） 二 填空题：（满分15分，每小题3分） 1、∑+=+=1 61291n k n k n a ， =∞ →n n a lim ； 2、函数3 ln 3)(--=x x x f 全部间断点是 ； 3、)1ln()(2x x f +=，已知56)2()(lim 000=--→h h x f x f h ，=0x ； 4、函数193)(23+--=x x x x f 的既递减又下凸的区间是 ； 5、?+=c x dx x f 2sin )(，?=dx x xf )(' ； 三 计算题：（满分36分，每小题6分） 1、111 1lim 30-+-+→x x x ； 2、求函数54 )15(4)(+-=x x x f 的极值； 3、?+12x x dx ； 4、?++dx x x )1ln(2 ；

数学思想与方法试题卷

【经典资料，ＷＯＲＤ文档，可编辑修改】 【经典考试资料，答案附后，看后必过，ＷＯＲＤ文档，可修改】 数学思想与方法试题A卷 一、填空题（每题5分，共25分） 1．算法的有效性是指（如果使用该算法从它的初始数据出发，能够得到这一问题的正确解）。 3．所谓数形结合方法，就是在研究数学问题时，（由数思形、见形思数、数形结合考虑问题）的一种思想方法。 5．古代数学大体可分为两种不同的类型：一种是崇尚逻辑推理，以《几何原本》为代表；一种是长于计算和实际应用，以（《九章算术》）为典范。 7．数学的统一性是客观世界统一性的反映，是数学中各个分支固有的内在联系的体现，它表现为（数学的各个分支相互渗透和相互结合）的趋势。 9．学生理解或掌握数学思想方法的过程一般有三个主要阶段：（潜意识阶段、明朗化阶段、深刻理解阶段）。 二、判断题（每题5分，共25分。在括号里填上是或否） 1．计算机是数学的创造物，又是数学的创造者。（是） 2．抽象得到的新概念与表述原来的对象的概念之间一定有种属关系。（否） 3．一个数学理论体系内的每一个命题都必须给出证明。（否） 4．贯穿在整个数学发展历史过程中有两个思想，一是公理化思想，一是机械化思想。（是） 5．提出一个问题的猜想是解决这个问题的终结。（否） 三、简答题（每题10分，共50分） 1．为什么说《几何原本》是一个封闭的演绎体系 1．答：①因为在《几何原本》中，除了推导时所需要的逻辑规则外，每个定理的证明所采用的论据均是公设、公理或前面已经证明过的定理，并且引入的概念（除原始概念）也基本上是符合逻辑上对概念下定义的要求，原则上不再依赖其它东西。因此《几何原本》是一个封闭的演绎体系。 ②另外，《几何原本》的理论体系回避任何与社会生产现实生活有关的应用问题，因此对于社会生活的各个领域来说，它也

《数学方法论与解题研究》期末试题

For personal use only in study and research; not for commercial use 《数学方法论与解题研究》期末试题一、填空题（20分，每题2分） 1，数学研究主要的就是发现问题和问题。 2，陈氏定理是由我国著名数学家提出。 3，化归是实现化归的关键。 4，演绎法又称，它是一种逻辑证明的工具。 5，爱因斯坦于1905年提出了。 6，完全归纳法又分为和类分法两种类型。 7，在数学教育界第一个系统研究解题理论的人是。8，唐以荣教授得出是“解题过程的本质”。 9，解题“三步曲”是指观察、和转化。 10．应该反映原型，但又不等于原型。 二，判断题（10分，每题2分）（对打√，错打×） 1，（）通常把思维分为三类，即抽象思维、形象思维和灵感思维。2，（）分析法即所谓“执果索引”的方法。 3，（）悖论的出现说明集合论中包含着矛盾。 4，（）数学逻辑思维的基本形式为概念、判断和证明。 5，（）智力是人类特有的现象，是人类认识世界、改造世界的本质力量。

三，选择题（15分，每题3分） 1，求高次方程的近似解法较早出现在（） A，《数书九章》B，《几何原本》C，《九章算术》D，《怎样解题》 2已知f(x+1)=x2,f(x)=( ) A x+1 B x2-2x+1 C x2-x C x2+2x+1 3非演绎法的类型有( ) A 三段法 B 假言推理 C 综合法 C 否定肯定式 4“万物皆数”的说法出自( ) A 欧拉 B 高斯 C 王阳明 D 毕达哥拉斯 5数学解题的目的和价值有知识基础性,方法技能性和( ) A 观念性 B 意识性 C 综合性 D 观念意识性 四.名词解释(10分,每题5分) 1.归纳法 2.公理化方法的含义 五.解题研究:(30分, 每题15分) ^ 值,并证明其结果. 1,研究cos 2n

数学精神

论数学精神与思想方法 数学是人类的一种文化，它的内容、思想、方法和语言是现代文明的重要组成部分，使学生在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展。而数学精神与思想方法是数学的灵魂，是开启数学知识宝库的金钥匙，是层出不穷的数学发现的源泉。 数学与其他科学一样，也具有两种价值：物质价值和精神价值。所谓数学精神，既指人类从事数学活动中的思维方式、行为规范、价值取向、理想追求等意向性心理的集中表征，又指人类对数学经验、数学知识、数学方法、数学思想、数学意识、数学观念等不断概括和内化的产物。数学精神是非常复杂的东西，包括了许许多多的方面，它是以概念、判断、推理等自觉的思维形式为特征的认识活动；数学创造、数学解题、数学教学等自觉的精神生产活动；数学思维的展开、设计、调控、决策等认知活动；感觉、知觉、表象等低层次的心理活动都可以囊括在数学精神范畴之内。 首先，数学精神具有非常大的价值。最主要的是它的教学价值，它能够对社会或者个人的发展具有非常大的意义，其中教育价值包括社会价值、个人价值两个方面。第一，社会价值，一个社会的发展需要精神的支持，就像一个人的精神支柱，一个人失去了他的精神支柱就很快会崩溃，社会也是这样。数学精神作为一种学科上的精神，它不仅对数学本身的生存、发展具有科学性的价值，同时对整个社会的生存和发展同样具有非常重要的意义和作用，正如马克斯。韦伯所断言，每一个民族的每一项重大事业的背景，总是存在着某种决定这项事业成败，与特定时代和特定社会文化背景直接相关联的时代精神力量。现在人们都知道科学技术是人类发展的重要的因素，而数学作为科学技术的一门基础，它的精神也同样对科学对社会有着非凡的意义。第二，个人价值，数学精神具有显示自我的人力价值。因为数学精神有两种组成成分：一是精神性成分即人文形态的数学精神；二是数学性成分即科学形态的数学精神。前者以意向性为特征，集中反映人的情感、意志等非认知心理因素，它是数学精神的非智力成分；后者是以研究性为特征，集中反映思维方式、思维策略等认知心理因素，它是数学精神的智力成分。从系统论的观点来看，前者是动力系统，后者是操作系统。并且，由这两种成分合而为一的数学精神还具有一种“元认知”的力量，它对于数学思维活动的监控、调节具有导航作用，对于数学思维能力的发展和数学认知结构的完善具有促进作用，对于非智力因素向智力因素转变具有明显的转化作用。数学精神具有完善自我的人格价值。被誉为西方名将摇篮的美国西点军校之所以设置许多高深的数学课程，“正是因为数学的学习能严格地培训学员们把握军事行动的能力和适应性，能使学员们在军事行动中的那种特殊的活力和灵活的快速性互相结合起来，并为学员们进入和驰骋于高等军事科学领域而铺平道路“。数学精神对于求真、持善、臻美，形成完美的三维人格，促进德育、智育、美育全面发展，终身持续发展具有重大作用。 其次，20世纪50年代，美籍著名的数学家和数学教育家波利亚从事数学思想方法的研究，其研究成果汇集在他所著的三本著作《数学发现》，《数学猜想》，《怎样解题》，指出了类比思想，归纳思想，随机思想等在解决数学问题中的作用。数学思想方法是数学知识的本质，它为分析、处理和解决数学问题供了指导方针和解题策略，是指在数学科学里提出问题、解决问题过程中所采用的各种方式、手段、途径等。如：求给定条件的圆锥曲线的方程，通常采用待定系数法；求形如二次函数的函数极值，通常采用配方的方法。这就是我们通常所说的数学思想。数学思想方法无论是在现在的教学中还是在我们以后的人生道路中都起到了非常重要的作用，第一，在教学中，数学知识的发生并不是按逻辑方法建立起来的，数学定理的发现，某些重大结论发现、新的学科的创立大都用归纳、类比、联想的方法获得的。著名的数学哲学家拉卡托斯认为：非形式演绎的数学也是。一个好的数学教师，决不会在黑板

数学分析试卷及答案6套

数学分析-1样题(一) 一. (8分)用数列极限的N ε-定义证明1n n n =. 二. (8分)设有复合函数[()]f g x , 满足: (1) lim ()x a g x b →=; (2) 0()x U a ?∈,有0 ()()g x U b ∈ (3) lim ()u b f u A →= 用εδ-定义证明, lim [()]x a f g x A →=. 三. (10分)证明数列{}n x : cos1cos 2 cos 1223 (1) n n x n n = +++ ???+收敛. 四. (12分)证明函数1 ()f x x = 在[,1]a (01)a <<一致连续,在(0,1]不一致连续. 五. (12分)叙述闭区间套定理并以此证明闭区间上连续函数必有界. 六. (10分)证明任一齐次多项式至少存在一个实数零点. 七. (12分)确定,a b 使2 lim (1)0x x x ax b →+∞ -+-=. 八. (14分)求函数32()2912f x x x x =-+在15[,]42 -的最大值与最小值. 九. (14分)设函数()f x 在[,]a b 二阶可导, ()()0f a f b ''==.证明存在(,)a b ξ∈,使 2 4 ()()()() f f b f a b a ζ''≥ --. 数学分析-1样题(二) 一. (10分)设数列{}n a 满足: 1a a =, 1()n n a a a n N +=+ ∈, 其中a 是一给定的正常 数, 证明{}n a 收敛,并求其极限. 二. (10分)设0 lim ()0x x f x b →=≠, 用εδ-定义证明0 11 lim ()x x f x b →=.

数学思想与方法试题总卷

数学思想与方法试题A卷 一、填空题（每题5分，共25分） 1．算法的有效性是指（如果使用该算法从它的初始数据出发，能够得到这一问题的正确解）。 3．所谓数形结合方法，就是在研究数学问题时，（由数思形、见形思数、数形结合考虑问题）的一种思想方法。 5．古代数学大体可分为两种不同的类型：一种是崇尚逻辑推理，以《几何原本》为代表；一种是长于计算和实际应用，以（《九章算术》）为典范。7．数学的统一性是客观世界统一性的反映，是数学中各个分支固有的内在联系的体现，它表现为（数学的各个分支相互渗透和相互结合）的趋势。9．学生理解或掌握数学思想方法的过程一般有三个主要阶段：（潜意识阶段、明朗化阶段、深刻理解阶段）。 二、判断题（每题5分，共25分。在括号里填上是或否） 1．计算机是数学的创造物，又是数学的创造者。（是） 2．抽象得到的新概念与表述原来的对象的概念之间一定有种属关系。（否） 3．一个数学理论体系内的每一个命题都必须给出证明。（否） 4．贯穿在整个数学发展历史过程中有两个思想，一是公理化思想，一是机械化思想。（是） 5．提出一个问题的猜想是解决这个问题的终结。（否） 三、简答题（每题10分，共50分） 1．为什么说《几何原本》是一个封闭的演绎体系？ 1．答：①因为在《几何原本》中，除了推导时所需要的逻辑规则外，每个定理的证明所采用的论据均是公设、公理或前面已经证明过的定理，并且引入的概念（除原始概念）也基本上是符合逻辑上对概念下定义的要求，原则上不再依赖其它东西。因此《几何原本》是一个封闭的演绎体系。 ②另外，《几何原本》的理论体系回避任何与社会生产现实生活有关的应用问题，因此对于社会生活的各个领域来说，它也是封闭的。 ③所以，《几何原本》是一个封闭的演绎体系。 评分标准： （1）①答对，得4分； （2）②答对，得4分； （3）③答对，得2分； （4）完整答出①②③，得10分。 2．为什么说最早使用数学模型方法的是中国人？ 2．答：①因为在中国汉代的古算书《九章算术》中就已经系统地使用了数学模型。《九章算术》将246个题目归结为九类，即九种不同的数学模型，分列为九章。②它在每一章中所设置的问题，都是从大量的实际问题中选择具有典型意义的现实原型，然后再通过“术”(即算法)转化成数学模型。其中有些章就是专门探讨某种数学模型的应用，③例如“勾股”、“方程”等章。这在世界数学史上是最早的。因此，我们说最早使用数学模型方法的是中国人。 评分标准： （1）①②③每答对一个，得3分； （2）完整答出①②③，得10分。 3．什么是类比猜想？并举一个例子说明。 3．答：①人们运用类比法，根据一类事物所具有的某种属性，得出与其类似的事物也具有这种属性的一种推测性的判断，即猜想，这种思想方法称为类比猜想。 ②例如，分式与分数非常相似，只不过是用字母替代数而已。因此，我们可以猜想，分式与分数在定义、基本性质、约分、通分、四则运算等方面都是对应相似的。 评分标准： （1）①②每答对一个，得5分； （2）完整答出①②，得10分。

11级数学方法论B答案

数学方法论 课程考 试查 试题册B 答案 试题使用对象 ： 数学与统计学院 2011 级 数学与应用数学 专业(本科) 考试用时 120 分钟 答题方式采用： 闭卷 说明：1、答题请使用黑色或蓝色的钢笔、圆珠笔在答题纸上书写工整。 2、考生应在答题纸上答题，在此卷上答题作废。 一、 填空题（本题共30 分，共10小题，每题各3 分） 1．在化归过程中应遵循的原则是 。简单化原则、熟悉化原则、和 谐化原则 2．所谓数形结合方法，就是在研究数学问题时， 的一种思想方法。 由数思形、见形思数、数形结合考虑问题 3． 即所谓“由因导果”的方法。 完全归纳法又分为 和类分法两种类型。穷举归纳法 4．《几何原本》所开创的 方法不仅成为一种数学陈述模式，而且还被移植到其它学科，并且促进它们的发展。．公理化 5．类比法是指 的一种推理方法。由一类事物所具有的某种属性，可以推测与其类似的事物也具有这种属性 6．面对一个问题，经过认真的观察和思考，通过归纳或者类比提出猜想，然后从两个方面入手：演绎证明此猜想为真；或者 ，并且进一步修正或否定此猜想。．寻找反例说明此猜想为假 7．化归方法包含的三个要素是： 。化归对象、化归目标、化归途径 8．已知n m ,是互不相等的实数，且使等式022 =+-m m ， 022 =+-n n 成立，则n m 1 1+= 。1/2 9．已知在ABC ?中，满足 ++B A 22s i n s i n B A A C C B C s i n s i n s i n s i n s i n s i n s i n 2 ++= 则ABC ?为 三角形。等边 10．设 05422 2 =++-+y x y x （x ，y 为实数），则x y 的值为 。2

数学思想与方法作业

一、简答题 1、分别简单叙说算术与代数的解题方法基本思想，并且比较它们的区别。 答：算术解题方法的基本思想：首先要围绕所求的数量，收集和整理各种已知的数据，并依据问题的条件列出关于这些具体数据的算式，然后通过四则运算求得算式的结果。 代数解题方法的基本思想是：首先依据问题的条件组成内含已知数和未知数的代数式，并按等量关系列出方程，然后通过对方程进行恒等变换求出未知数的值。 它们的区别在于算术解题参与的量必须是已知的量，而代数解题允许未知的量参与运算；算术方法的关键之处是列算式，而代数方法的关键之处是列方程。 2、比较决定性现象和随机现象的特点，简单叙述确定数学的局限。 二、论述题 1．论述社会科学数学化的主要原因。 2、论述数学的三次危机对数学发展的作用。 答：第一次数学危机促使人们去认识和理解无理数，导致了公理几何与逻辑的产生。 第二次数学危机促使人们去深入探讨实数理论，导致了分析基础理论的完善和集合论的产生。 第三次数学危机促使人们研究和分析数学悖论，导致了数理逻辑和一批现代数学的产生。由此可见，数学危机的解决，往往给数学带来新的内容，新的进展，甚至引起革命性的变革，这也反映出矛盾斗争是事物发展的历史动力这一基本原理。整个数学的发展史就是矛盾斗争的 历史，斗争的结果就是数学领域的发展。 三、分析题 1．分析《几何原本》思想方法的特点，为什么？ 2、分析《九章算术》思想方法的特点，为什么？ 答：（1）开放的归纳体系 从《九章算术》的内容可以看出，它是以应用问题解法集成的体例编纂而成的书，因此它是一个与社会实践紧密联系的开放体系。 在《九章算术》中通常是先举出一些问题，从中归纳出某一类问题的一般解法；再把各类算法综合起来，得到解决该领域中各种问题的方法；最后，把解决各领域中问题的数学方法全部综 合起来，就得到整个《九章算术》。 另外该书还按解决问题的不同数学方法进行归纳，从这些方法中提炼出数学模型，最后再以数学模型立章写入《九章算术》。因此，《九章算术》是一个开放的归纳体系。 （2）算法化的内容 《九章算术》在每一章内先列举若干个实际问题，并对每个问题都给出答案，然后再给出“术”，作为一类问题的共同解法。因此，内容的算法化是《九章算术》思想方法上的特点之一。 （3）模型化的方法 《九章算术》各章都是先从相应的社会实践中选择具有典型意义的现实原型，并把它们表述成问题，然后通过“术”使其转化为数学模型。当然有的章采取的是由数学模型到原型的过程，即先给出数学模型，然后再举出可以应用的原型。

数学分析试题集锦

June21,2006 2002 1.(10) lim x→0( sin x1?cos x . 2.(10)a≥0x1=√2+x n n=1,2,... lim n→∞ x n 3.(10)f(x)[a,a+α]x∈[a,a+α]f(x+α)?f(x)= 1 1?x2+arcsin x f′(x). 5.(10)u(x,y)u ?2u ?x?y + ?2u x2+y2dx dy dz,?z=

x2+y2+z2=az(a>0) 8.(10) ∞ n=1ln cos1 ln(1+x2) 2 √ (2).{n . ?x (4). L(e y+x)dx+(xe y?2y)dy.L O(0,0),A(0,1),B(1,2) O B OAB. √ 2.(15)f(x)=3

4. 15 f (x )[0,1] sup 01 | n ?1 i =0 f (i n ? 1 f (x )dx |≤ M a n 6.(15 ) θ θ(x )= +∞ n =?∞ e n 2 x x >0 7.(15 ) F (α)= +∞ 1 arctan αx x 2?1 dx ?∞<α>+∞ 8.(21 ) R r r 2004 1.( 6 30 ) (1).lim n →?∞ ( 1 n +2 +...+ 1 f (x ) ) 1 3 sin(y 1+n

(5).e x=1+x+x2 n1 4≤e x+y?2. 5.(12)F(x)= Γf(xyz)dxdydy,f V={(x,y,z)|0≤x≤t,0≤y≤t,0≤z≤t}(t>0), F′(t)=3 a+n √ 2 n(a>0,b>0) (2).lim n→∞ 10x n√ 2 0dx 3 . (5).F(t)= x2+y2+z2=t2f(x,y,z)dS, f(x,y,z)= x2+y2,z≥ x2+y2

电大本科小学教育(数学思想与方法》试题及答案

中央广播电视大学2010-2011学年度第二学期“开放本科”期末考试 数学思想与方法试题 一、单项选择题（每题4分，共40分） 1．数学的第一次危机是由于出现了( C )而造成的。 A.无理数（或√虿） B．整数比詈不可约 C．无理数（或厄） D.有理数无法表示正方形边长 2．算法大致可以分为( A )两大类。 A．多项式算法和指数型算法 B．对数型算法和指数型算法 C. 三角函数型算法和指数型算法 D．单向式算法和多项式算法 3．反驳反例是用____否定的一种思维形式。( D ) A．偶然必然 B．随机确定 C．常缝变量 D．特殊一般4．类比联想是人们运用类比法获得猜想的一种思想方法，它的主要步骤是( B )。 A．猜测一类比一联想 B．联想一类比一猜测 C．类比一联想一猜测 D．类比一猜测一联想5．归纳猜想是运用归纳法得到的猜想，它的思维步骤是( D )。 A．归纳一猜测一特例B.猜测一特例一归纳 C．特例一猜测一归纳D．特例一归纳一猜测6．传统数学教学只注重( A )的数学知识传授，忽略了数学思想方法的挖掘、整理、提炼。 A．形式化 B．科学化 C．系统化 D．模型化 7．所谓统一性，就是( C )之间的协调。 A．整体与整体 B．部分与部分 C.部分与部分、部分与整体 D．个别与集体8．中国《九章算术》的算法体系和古希腊《几何原本》____的体系在数学历史发展 进程中争奇斗妍、交相辉映。( A ) A．以算为主逻辑演绎 B．演绎为主推理证明 C模型计算为主几何作画为主 D．模型计算几何证明 9．所谓数学模型方法是( B )。 A．利用数学实验解决问题的一般数学方法 B．利用数学模型解决问题的一般数学方法 C．利用数学理论解决问题的一般数学方法 D．利用几何图形解决问题的一般数学方法 10．公理化方法就是从( D )出发，按照一定的规定定义出其它所有的概念，推导出其它一切命题的一种演绎方法。 A．一般定义和公理 B．特定定义和概念 C．特殊概念和公理 D．初始概念和公理 二、判断题（回答对或错，每题4分，共20分） 1．数学抽象摆脱了客观事物的物质性质，从中抽取其数与形，因而数学抽象具有无物质性。( √ ) 2．数学公理化方法在其他学科也能起到作用，所以它是万能的。( × ) 3．数学模型具有预测性、准确性和演绎性，但不包括抽象性。( × ) 4．猜想具有两个显著的特点：一定的科学性和一定的推测性。( √ ) 5．表层类比和深层类比其涵义是一样的。( × ) 三、简答题（每题10分，共30分） 1．为什么说数学模型方法是一种迂回式化归？ 答：①运用数学模型方法解决问题时，不是直接求出实际问题的解，因为这样做往往是行不通的或者花费过分昂贵。②而是先将实际问题化归为一个合适的数学模型，然后通过求数学模型的解间接求出原实际问题的解，走的是一条迂回的道路。③因此，我们说数学模型方法是一种迂回式化归。 回答①、②各得4分；回答③得2分。 2．特殊化在数学教学中的作用有哪些？ 答：①利用特殊值（图形）解选择题。②利用特殊化探求问题结论。③利用特例检验一般结果。④利用特殊化探索解题思路。 回答①、②、③、④各得2.5分。

方法论试题库(章节)

方法论试题库（章节） 第一章绪论 名词解释：1。方法论：是人们关于认识世界和改造世界的根本性的学科，是人们总结科学发现或发明的一般方法的理论。 简答：1。数学方法论的研究对象：关于数学功能的研究；关于数学内容辩证性质的研究；关于数学中常用方法的研究；关于数学思想方法的研究；关于数学思维的研究；关于数学推理的研究；关于数学语言的研究；关于数学人才成长规律的研究 2。数学方法论中数学内容辩证性质的研究 答。一。关于数学中矛盾的研究，即数学中有哪些重要的矛盾，它们的形势与发展规律是怎样的。二是关于数学中辩证法内容的分析，包括数学内容的辩证实质的分析和演进过程的分析等 3。试举四种数学中的一般科学认识方法 答：观察、分析、综合、比较、分类、抽象、概括等 4。试举四种数学中的特有的科学认识方法 答：抽象方法、公理化方法、模型方法、构造方法、试验方法、化归方法、映射方法等 论述：1。宏观和微观数学方法论的研究侧重点有何不同。 答：宏观数学方法论把数学置于各门科学以致客观世界中来认识，侧重于对数学发展的外部规律以及数学人才成长规律的研究。微观数学方法论从数学的内在联系中讨论数学中的一般研究方法，即着眼于数学的思想、观念，数学研究的方法，数学发现发明和创新法则等内部规律的研究。 2。数学方法论的数学功能。 一。科学功能，即数学作为一种科学语言和科学方法，它在自然科学、社会科学、哲学领域中具有方法论的价值。二。思维功能，即数学作为一种思维工具，是思维的体操，是进行思维活动的载体。三。社会功能，即数学作为认识世界、改造世界的工具，它在社会生产、经济、文化、教育等方面具有突出的地位与作用。四，心理功能，即数学是人类一种宝贵的文化财富，他在塑造人的健康完美的个性心理品质方面，具有特殊的意义与作用 3。论述数学思想方法形成和发展的规律：一。从整体上研究数学思想方法的系统进化，如从算术到代数，从综合几何到几何代数化，从常量数学到变量数学，从必然数学到或然数学，从明晰数学到模糊数学，从手工证明到机器证明等几次重大数学思想方法突破的孕育、产生及其规律的分析。二。研究数学思想方法的个体发育，即对每一种数学思想方法的结构、功能、演变发展规律及其在数学发展中的地位、作用的分析探究等。 第二章化归 填空：1。化归的方向或原则也可简述为：把实际问题化为数学问题，把数学问题化为代数问题，把代数问题化为解方程的问题。 名词解释：1。数学中的化归方法：将数学问题进行规范化，将一个新的、有待解决的或未能解决的问题，通过某种转化过程，归结到一类已经解决或比较容易解决的问题中去，从而最终求得解答的一种手段或方法。 简答：1。化归的三个方向：由未知化为已知，由困难化为容易，由繁琐化为简洁。 2。化归的三个原则：熟悉性原则，简单性原则，直观性原则。 3。请举出至少三个多维化归方法的例子。 答：变换法，反证法，MM方法

数学方法与精神 复习题

1. 叙述皮亚诺的自然数公理系统。 皮亚诺公理，是数学家皮亚诺提出的关于自然数的五条公理系统。根据这五条公理可以建立起一阶算术系统，也称皮亚诺算术系统。 皮亚诺的这五条公理用非形式化的方法叙述如下： 三个基本概念： 0，数，后继 五条公理： 1. 0是一个数。 2. 任何数的后继是一个数。 3. 若两个数不同，则它们的后继也不同。 4. 0不是任何数的后继。 5. 数学归纳法原理。 皮亚诺所谓的“数”是指所有自然数所构成的类，即指包括0在内的自然数全体；他没有假定我们知道这类中的所有分子，仅假定当我们说这个或那个是一个数时，我们知道我们所指的是什么。 皮亚诺以“后继”来代表从数到数的一种对应，这种对应是一对一的，是一部以数造数的机器——给一个合适的起始数，潜在地，就足以造出数的全体。 这个合适的起始数只有一个，那就是“0”。 “0” 、“数” 、“后继”是不加以定义的原始概念，它们的性质全由皮亚诺的五条公理所界定和描述。 从皮亚诺的公理系统出发，可以建立起完整的算术理论——可以定义数的加法、乘法和大小关系，可以证明已有的所有算术结果。 2. 你认为数学可以完全规约为逻辑吗？论述你的观点。 我认为数学并不能完全规约为逻辑。逻辑主义学派认为，数学可以完全由逻辑得到。罗素和怀特相当成功的把古典数学纳入了一个统一的公理系统，使之能从几个逻辑概念和公理出发，再加上集合论的无穷公理就能推出康托集合论、一般算术和大部分数学来。这把逻辑推理发展到前所未有的高度，使人们看到，在数理逻辑演算的基础上能够推演出许多数学内容来，形成了集合论公理系统的逻辑体系。但后来数理逻辑中的一些深刻结果（如Godel 不完备性定理）则否定了这种观点。事实上，数学不能完全由逻辑得到，即，如果要求数学是无矛盾的，那么，它就不可能是完备的。数学确实有逻辑以外的题材，那就是表达式，而且她的最重要的简单真理是直观的——而非逻辑的——产物。 ZFC 系统中存在的非逻辑公理即能说明这一点。 3. 试述ZF 系统的MP 规则和GEN 规则。 ()()()()tion generalisa . 是任一变元是任一公式，而，其中可以推演出 规则）：从GEN 概括规则（)2(ponens modus .是任意两个公式和，其中可推演出和规则）：从MP 分离规则（) 1(这两条规则是： 。 的直接后承而演绎出来,,,作为某有限个公式式把一个公 ；这些规则使我们可以的逻辑演绎规则有两条ZF 21x A A x A B A B B A A A A A A m ?→

专升本数学分析精选三试卷及答案

《数学分析》――参考答案及评分标准 一. 计算题（共8题，每题9分，共72分）。 1. 求函数11 (,)f x y y x =在点(0,0)处的二次极限与二重极限. 解： 11 (,)f x y y x = =， 因此二重极限为0.……(4分) 因为011x y x →+ 与011 y y x →+均不存在， 故二次极限均不存在。 ……(9分) 2. 设(),()y y x z z x =??=? 是由方程组(),(,,)0z xf x y F x y z =+??=? 所确定的隐函数,其中f 和F 分别 具有连续的导数和偏导数,求dz dx . 解： 对两方程分别关于x 求偏导: ， ……(4分) 。 解此方程组并整理得()()() ()y y x y z F f x y xf x y F F dz dx F xf x y F '?+++-='++. ……(9分) 3. 取,μν为新自变量及(,)w w v μ=为新函数，变换方程 222z z z z x x y x ???++=????。 设,,22 y x y x y w ze μν+-=== （假设出现的导数皆连续）. 解：z 看成是,x y 的复合函数如下： ,(,),,22 y w x y x y z w w e μνμν+-==== 。 ……(4分) 代人原方程，并将,,x y z 变换为,,w μν。整理得： 2222w w w μμν ??+ =???。 ……(9分) 4. 要做一个容积为31m 的有盖圆桶,什么样的尺寸才能使用料最省? 解： 设圆桶底面半径为r ,高为h ,则原问题即为：求目标函数在约束条件下的最小值，其中 目标函数: 222S rh r ππ=+表, ()()(1)0x y z dz dy f x y xf x y dx dx dy dz F F F dx dx ?'=++++????++=??

数学思想与方法试题

数学思想与方法试题 一、填空题（每题3分，共30分） 1．算法的有效性是指（） 正确答案是：如果使用该算法从它的初始数据出发，能够得到这一问题的正确解 2．数学的研究对象大致可以分成两大类：（） 正确答案是：数量关系，空间形式 3．所谓数形结合方法，就是在研究数学问题时，（）的一种思想方法。 正确答案是：由数思形、见形思数、数形结合考虑问题 4．推动数学发展的原因主要有两个：（），数学思想方法的几次突破就是这两种需要的结果。 正确答案是：实践的需要，理论的需要 5.古代数学大体可分为两种不同的类型：一种是崇尚逻辑推理，以《几何原本》为代表；一种是长于计算和实际应用，以（）为典范。 正确答案是：《九章算术》 6．匀速直线运动的数学模型是（）。 正确答案是：一次函数 7．数学的统一性是客观世界统一性的反映，是数学中各个分支固有的内在联系的体现，它表现为（）的趋势。 正确答案是：数学的各个分支相互渗透和相互结合 8．不完全归纳法是根据（），作出关于该类事物的一般性结论的推理方法。 正确答案是：对某类事物中的部分对象的分析 9．学生理解或掌握数学思想方法的过程一般有三个主要阶段：（） 正确答案是：潜意识阶段、明朗化阶段、深刻理解阶段

10．在实施数学思想方法教学时，应该注意三条原则：（） 正确答案是：化隐为显原则、循序渐进原则、学生参与原则 未标记标记信息文本 二、判断题（每题4分，共20分。在括号里填上是或否） 1．计算机是数学的创造物，又是数学的创造者。 正确的答案是“对”。 2 2．抽象得到的新概念与表述原来的对象的概念之间一定有种属关系。 正确的答案是“错”。 3 3．一个数学理论体系内的每一个命题都必须给出证明。 正确的答案是“错”。 4 4．贯穿在整个数学发展历史过程中有两个思想，一是公理化思想，一是机械化思想。 正确的答案是“对”。 5 5．提出一个问题的猜想是解决这个问题的终结。 正确的答案是“错”。 未标记标记信息文本 三、简答题（每题10分，共50分） 6 1．为什么说《几何原本》是一个封闭的演绎体系？ 正确答案：①因为在《几何原本》中，除了推导时所需要的逻辑规则外，每个定理的证明所采用的论据均是公设、公理或前面已经证明过的定理，并且引入的概念（除原始概念）也基本上是符合逻辑上对概念下定义的要求，原则上不再依赖其它东西。因此《几何原本》是一个封闭的演绎体系。 ②另外，《几何原本》的理论体系回避任何与社会生产现实生活有关的应用问题，因此对于社会生活的各个领域来说，它也是封闭的。 ③所以，《几何原本》是一个封闭的演绎体系。

数学方法论模拟试卷

第1页，共6页 第2页，共6页 任课教师签名： 命题教师签名： 系主任签名： 主管院长签名： A. 函数的本质是变量间的对应 B. 解析表达式就是函数 C. 函数是两个非空数集间的映射 D. 函数y=2与y=2x 0是同一函数 9．数学中存在的有[ ] A. 黄金椭圆 B. 欧拉三角形 C. 黄金四边形 D. 黄金曲线 10．整数分为奇数、偶数，还可分为质数、合数、0和1。这是[ ] A. 一次划分 B. 复分 C. 二分法 D. 连续划分 11．正方形概念与菱形概念是[ ] A. 交叉关系 B. 从属关系 C. 矛盾关系 D. 对立关系 12．与圆命名有关的名人有[ ] A.拿破仑 B. 赵爽 C. 柯西 D. 牛顿 13．欧拉圆又称为 [ ] A. 九点圆 B.庞加莱圆 C. 黎曼圆 D.都不是 14．属于“因果归纳法”的有( )。 A ． 求同法 B ．数学归纳法 C ． 枚举归纳法 D ．联想法 15．截立方体得到的多边形有( )种。 A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 16．与耐普尔共享发明对数的数学家有( ) A ．笛卡尔 B ．泰勒 C ．别尔基 D ．开普勒 17．“数学来源于逻辑”的观点来自于[ ] A. 罗素 B. 布劳威尔 C. 希尔伯特 D. 布尔巴基 18． “或”是[ ] 逻辑联结词 A. 合取式的 B. 析取式的 C. 等价式的 D. 都不是 19．联结判断与判断的是[ ] A. 判断 B. 推理 C. 证明 D. 都不是 20．与集中思维一致的是 [ ] A. 求异思维 B. 辐合思维 C. 发散思维 D. 幅射思维

数学分析习题

《数学分析Ⅱ》期中考试题 一、选择题（每小题3分，共30分） 1、曲线2x 2 +3y 2 + z 2 =9, z 2 =3x 2 + y 2 在点 ( 1, -1, 2 )的法平面方程是（ 1 ） A 、8x+10y+7z-12=0； B 、8x+10y+7z+12=0； C 、8x -10y+7z-12=0； D 、8x+10y+7z+12=0 2、L 为单位圆周，则 L y ds =? （ 4 ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 3、L 为从( 1, 1, 1 )到( 2, 3, 4 )的直线段，则 L zdx xdz +? = （ 3 ） A 、3 B 、5 C 、7 D 、9 4、 ()1 3x y x y dxdy +≤+?? =（ 2 ） A 、2 B 、4 C 、6 D 、8 5、 02 11(,)y dy f x y dx --? ? ，改变积分顺序得（ 1 ） A 、2 110 (,)x dx f x y dy -?? B 、2 111(,)x dx f x y dy --?? C 、 2 11 (,)x dx f x y dy +? ? D 、2 11 1 (,)x dx f x y dy +-?? 6、V=[-2, 5]?[-3, 3]?[0,1]，则 2()V xy z dv +??? =（ 3 ） A 、1 B 、7 C 、14 D 、21 7、密度为1的均匀单位圆盘对于它的直径的转动惯量为( 4 ) A 、π B 、 π/2 C 、π/3 D 、π/4 8、曲面S 为上半单位球面z =S yzdxdz ?? =（ 2 ） A 、π/2 B 、 π/4 C 、π/6 D 、π/8 9、函数2 3 u x y xz =++的梯度场在（1,1,1）的旋度为（ 2 ） A 、（1,1,1） B 、（0,0,0） C 、（1,0,1） D 、（0,1,1） 10、下面反常积分收敛的有（ 3 ）个。 0cos x e xdx -∞ ? ，10 ? ，3cos ln x dx x +∞?，20?，1+∞? A 、2 B 、3 C 、4 D 、5 二、填空题（28分，每空4分） 1、区域Ω由1z =与22 z x y =+围成的有界闭区域，则 (,,)f x y z dv Ω ??? 在直角坐标下的三 次积分为 柱坐标下三次积分