线性代数课后习题答案全习题详解

线性代数课后习题答案全习题详解

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第一章 行列式

1.利用对角线法则计算下列三阶行列式：

（1）381141102---； （2）b a c a c b c b a ; （3）222111c b a c b a ； （4）y x y x x y x y

y

x y x +++. 解 （1）=---3

811411

02811)1()1(03)4(2⨯⨯+-⨯-⨯+⨯-⨯)1()4(18)1(2310-⨯-⨯-⨯-⨯-⨯⨯- =416824-++-=4-

（2）=b

a c a c

b c

b a cc

c aaa bbb cba bac acb ---++3333c b a abc ---=

（3）=2

221

11c b a c b a 222222cb ba ac ab ca bc ---++))()((a c c b b a ---=

（4）y

x y x x y x y y

x y x +++yx y x y x yx y y x x )()()(+++++=333)(x y x y -+-- 33322333)(3x y x x y y x y y x xy ------+= )(233y x +-=

2.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数： （1）1 2 3 4； （2）4 1 3 2； （3）3 4 2 1； （4）2 4 1 3； （5）1 3 … )12(-n 2 4 … )2(n ；

（6）1 3 … )12(-n )2(n )22(-n … 2. 解（1）逆序数为0

（2）逆序数为4：4 1，4 3，4 2，3 2

（3）逆序数为5：3 2，3 1，4 2，4 1,2 1 （4）逆序数为3：2 1，4 1，4 3

（5）逆序数为2

)

1(-n n ：

3 2 1个 5 2，5

4 2个 7 2，7 4，7 6 3个 ……………… … )12(-n 2，)12(-n 4，)12(-n 6，…，)12(-n )22(-n )1(-n 个 （6）逆序数为)1(-n n

3 2 1个 5 2，5

4 2个 ……………… … )12(-n 2，)12(-n 4，)12(-n 6，…，)12(-n )22(-n )1(-n 个

4 2 1个 6 2，6 4 2个 ……………… … )2(n 2，)2(n 4，)2(n 6，…，)2(n )22(-n )1(-n 个

3.写出四阶行列式中含有因子2311a a 的项.

解 由定义知，四阶行列式的一般项为43214321)1(p p p p t a a a a -，其中t 为4321p p p p 的逆序数．

由于3,121==p p 已固定，4321p p p p 只能形如13□□，即1324或1342.对应的t 分别为

10100=+++或22000=+++

∴44322311a a a a -和42342311a a a a 为所求.

4.计算下列各行列式：

（1）⎥⎥⎥⎥⎦⎥⎢⎢⎢⎢⎣⎢71100251020214214； （2）⎥⎥⎥⎥

⎦

⎥

⎢⎢⎢

⎢⎣⎢-26

5232112131412； （3）⎥

⎥⎦⎥⎢⎢⎣⎢---ef cf bf de cd bd ae ac

ab ； （4）⎥⎥⎥⎥⎦⎥⎢⎢⎢⎢⎣⎢---d c b a 10

0110011001 解

(1)

7

1

10

025*******

214

34327c c c c --0

10

014

23102

02110

214---=34)1(1431022

11014+-⨯---=14

31022110

14-- 3

21132c c c c ++14

171720010

99-=0

(2)

2

6

5232112131

41

2-24c c -2605032122130

412-24r r -0412032122130

412- 14r r -0

000032122130412-=0

(3)ef cf bf de cd bd ae ac ab ---=e c b e c b e c b adf ---=1

111111

11---adfbce =abcdef 4

(4)

d c b a 100110011001---21ar r +d

c b a ab 1001

100

110

10---+=12)1)(1(+--d

c a ab 1011

1--+ 2

3dc c +0

10111-+-+cd c ad

a a

b =23)1)(1(+--cd

ad

ab +-+111=1++++ad cd ab abcd

5.证明: (1)1

11222

2b b a a b ab a +=3)(b a -;

(2)bz ay by ax bx az by ax bx az bz ay bx az bz ay by ax +++++++++=y

x z x z y z

y x b a )(33+;

(3)0)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(2

2222222

2

222

2222

=++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a ;

(4)4

44422221111d c b a d c b a d c b a ))()()()((d b c b d a c a b a -----=))((d c b a d c +++-⋅;

(5)1

22

110000

0100001a x a a a a x x x n n n +-----

n n n n a x a x a x ++++=--111 .

证明

(1)0

0122222221

312a b a b a a b a ab a c c c c ------=左边a b a b a b a ab 22)

1(22213-----=+21))((a b a a b a b +--= 右边=-=3)(b a

(2)bz ay by ax z by ax bx az y bx az bz ay x a ++++++分开

按第一列

左边

bz

ay by ax x by ax bx az z bx

az bz ay y b +++++++ ++++++002y by ax z x bx az y z bz ay x a 分别再分

bz ay y x by ax x z bx az z y b +++z

y x y x z x

z y b y x z x z y z y x a 33+分别再分

右边=-+=233)1(y

x z x z y z

y x b y x z x z y z y x a

(3) 22

2

22222

2222

2

222)3()2()12()3()2()12()3()2()12()3()2()12(++++++++++++++++=d d d d d c c c c c b b b b b a a a a a 左边9

644129644129

644129644122

2221

41312++++++++++++---d d d d c c c c b b b b a a a a c c c c c c 96449644964496442

22

2

2

++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a 分成二项按第二列9

6441964419

644196441222

2+++++++++d d d c c c b b b a a a 94

94949494642

2

22

24232423d d c c b b a a c c c c c c c c ----第二项

第一项

06416416416412

22

2=+d

d

d c c c b

b b a a a (4) 4

44444422222220

001a

d a c a b a a

d a c a b a a d a c a b a ---------=左边=)()()(222222222222

222a d d a c c a b b a d a c a b a

d a c a b --------- =)

()()(1

11))()((222a d d a c c a b b a d a c a

b a d a

c a b ++++++--- =⨯---))()((a

d a c a b )

()()()()(0

0122222a b b a d d a b b a c c a b b b

d b c a b +-++-++--+ =⨯-----))()()()((b d b c a d a c a b )

()()()(1

12222b d a b bd d b c a b bc c ++++++++

=))()()()((d b c b d a c a b a -----))((d c b a d c +++-

(5) 用数学归纳法证明

.,1

,2212122命题成立时当a x a x a x a x D n ++=+-==

假设对于)1(-n 阶行列式命题成立，即 ,122111-----++++=n n n n n a x a x a x D

:1列展开按第则n D

1

110

010001)1(1

1----+=+-x x

a xD D n n n n 右边=+=-n n a xD 1 所以，对于n 阶行列式命题成立.

6.设n 阶行列式)det(ij a D =,把D 上下翻转、或逆时针旋转 90、或依副对角线翻转，依次得

n nn n a a a a D 11111 =， 11112n nn n a a a a D = ，11

113a a a a D n n

nn =，

证明D D D D D n n =-==-32

)1(21,)1(.

证明 )det(ij a D =

n

nn

n n

n n nn n a a a a a a a a a a D 22111111111

1

1)1(

--==∴ =--=--n

nn n n

n

n n a a a a a a a a 3311

22111121)1()1( nn

n n n n a a a a 11112

1

)1()

1()1(---=--D D n n n n 2)

1()

1()2(21)1()

1(--+-+++-=-= 同理可证nn

n n n n a a a a D 11112

)1(2)1(--=D D n n T

n n 2)

1(2)1()1()1(---=-= D D D D D n n n n n n n n =-=--=-=----)1(2

)1(2

)1(22

)1(3)1()

1()

1()1(

7.计算下列各行列式（阶行列式为k D k ）：

(1)a

a

D n 1

1 =

,其中对角线上元素都是a ，未写出的元素都是0；

(2)x

a

a

a

x a

a a x D n

=

; (3) 1

1

11)()1()()1(11

11

n a a a n a a a n a a a D n n n n

n n n ------=---+; 提示：利用范德蒙德行列式的结果． (4) n

n

n n

n d c d c b a b a D

000

01

11

12=; (5)j i a a D ij ij n -==其中),det(;

(6)n

n a a a D +++=

11

11

111

112

1 ,021≠n a a a 其中.

解

(1) a

a a a a D n 0

1

00000000

00001000

=

按最后一行展开

)

1()1(10000

000

0001

0000)1(-⨯-+-n n n a

a a

)1)(1(2)1(--⋅-+n n n a a a (再按第一行展开)

n n n n

n a a a

+-⋅-=--+)

2)(2(1)1()1(

2--=n n a a )1(22-=-a a n

(2)将第一行乘)1(-分别加到其余各行，得

a

x x a a

x x a a x x a a

a a x D n ------=00

00000 再将各列都加到第一列上，得

a

x a

x a x a

a

a a n x D n ----+=00000000

0)1( )(])1([1

a x a n x n --+=- (3) 从第1+n 行开始，第1+n 行经过n 次相邻对换，换到第1行，第n 行经)1(-n 次对换换到第2行…，

经2

)

1(1)1(+=

++-+n n n n 次行交换，得

n

n n n n n n n n n a a a n a a a n a a a

D )()1()()1(111

1)1(1112)1(1

-------=---++

此行列式为范德蒙德行列式

∏≥>≥++++--+--=1

12

)1(1)]1()1[()

1(j i n n n n j a i a D

∏∏≥>≥+++-++≥>≥++-•

-•-=---=1

11

)1(2

)1(1

12

)1()]

[()

1()

1()]([)

1(j i n n n n n j i n n n j i j i

∏≥>≥+-=

1

1)(j i n j i

(4) n n

n

n

n d c d c b a b a D 0

1

1112

=

n

n n n n n

d d c d c b a b a a 0000

0000

11111111

----

展开

按第一行0

00

0)

1(111

11111

1

2c d c d c b a b a b n

n n n n n

n ----+-+

2222 ---n n n n n n D c b D d a 都按最后一行展开

由此得递推公式：

222)(--=n n n n n n D c b d a D 即 ∏=-=n

i i i i i n D c b d a D 222)(

而 11111

11

12c b d a d c b a D -==

得 ∏=-=n

i i i i i n c b d a D 1

2)(

(5)j i a ij -=

0432********

0122

210113210)det( --------=

=n n n n n n n n a D ij n ,3221r r r r --0

432111111111111111111111 --------------n n n n

,,141312c c c c c c +++1

5242321022210

22100

02100001---------------n n n n n =212)1()1(----n n n

(6)n

n a a D a +++=

11

11111

1

12

1 ,,433

221c c c c c c ---n n n n a a a a a a a a a a +-------100

001000100001000100010000114

3

3221

展开（由下往上）

按最后一列

))(1(121-+n n a a a a n

n n a a a a a a a a a --------000

000000000000000000000000224

3

3221 n

n n a a a a a a a a ----+

--00

000000000000

00

01133221 +

+ n

n n a a a a a a a a -------00

000000

0000000

00

1143322

n n n n n n a a a a a a a a a a a a 322321121))(1(++++=---

)1

1)((121∑

=+=n

i i

n a a a a

8.用克莱姆法则解下列方程组：

⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧=+++-=----=+-+=+++;01123,2532,242,5)1(432143214

3214321x x x x x x x x x x x x x x x x ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=++=++=++=+.15,065,065,065,165)2(545434323212

1x x x x x x x x x x x x x

解 (1)1121

35132412

11111----=

D 8120735032101111------=145008130032

101111---=

142142

0005410032101

111-=---= 1121

05132412211151------=

D 1121

05132905

01115----=

1121023313090509151------=23

3130905011

2109151------=

1202300461000112109151-----=14200038100112109

151----=142-= 112035122412111512-----=D 811507312032701151-------=3139

0112300231011

51-=

284284

00

0191002

3101151-=----=

426110135232422115113-=----=D ; 1420

21321322

1215

1114=-----=

D

1,3,2,144332211-========

∴

D

D

x D D x D D x D D x (2) 5

1000651000

6510

0651

00065=D 展开按最后一行

6

10005100

65100655-'D D D ''-'=65 D D D ''-'''-''=6)65(5D D '''-''=3019D D ''''-'''=1146566551141965=⨯-⨯=

(,11的余子式中为行列式a D D ',11

的余子式中为a D D ''''类推D D ''''''',) 5

1001651000

6510

065000061

1=D 展开按第一列

6

51006510

0650006+'D 46+'=D 460319+''''-'''=D 1507= 5

1

1

6

51000

6500

06010

00152=D 展开

按第二列510

06510065

0006

1-6

5100

6500

0610

005-

365510651065⨯-=

1145108065-=--= 5

1100

6500006010

00051001653=D 展开

按第三列51

006500061000516

5

00

6100

0510

065+

6100510656510650061+= 703114619=⨯+= 510006010000510

00651010654=D 展开

按第四列6

1000

5100

6510

0655000610005100651-

-5

106510

6565--=395-= 1

1

00510006510

00651100655=D 展开

按最后一列

D '+1

00051006

51006512122111=+= 665

212

;665

395

;665

703

;665

1145

;665

1507

44321=

-=

=

-

==

∴

x x x x x ． 9.齐次线性方程组取何值时问,,μλ⎪⎩⎪

⎨⎧=++=++=++0

200321

321321x x x x x x x x x μμλ有非零解

解 μλμμμλ-==1

21111

1

3D ， 齐次线性方程组有非零解，则03=D

即 0=-μλμ 得 10==λμ或

不难验证，当,10时或==λμ该齐次线性方程组确有非零解.

10.齐次线性方程组取何值时问,λ⎪⎩⎪

⎨⎧=-++=+-+=+--0

)1(0)3(2042)1(321

321321x x x x x x x x x λλλ 有非零解

解

λλλ----=111132421D λ

λλλ--+--=1011124

31

)3)(1(2)1(4)3()1(3λλλλλ-------+-=3)1(2)1(23-+-+-=λλλ

齐次线性方程组有非零解，则0=D 得 32,0===λλλ或

不难验证，当32,0===λλλ或时，该齐次线性方程组确有非零解.

第二章 矩阵及其运算

1 已知线性变换

⎪⎩⎪⎨⎧++=++=++=3

213321232113235322y y y x y y y x y y y x

求从变量x 1 x 2 x 3到变量y 1 y 2 y 3的线性变换 解 由已知

⎪

⎪⎭⎫

⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛22

1321323513122y y y x x x

故 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3211

221323513122x x x y y y ⎪

⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=321423736

947y y y

⎪⎩⎪⎨⎧-+=-+=+--=3

2133

2123

211423736947x x x y x x x y x x x y

2 已知两个线性变换

⎪⎩⎪⎨⎧++=++-=+=3

2133

2123

11542322y y y x y y y x y y x ⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=+-=3

233122

11323z z y z z y z z y

求从z 1 z 2 z 3到x 1 x 2 x 3的线性变换

解 由已知

⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛221321514232102y y y x x x ⎪

⎪⎭⎫

⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=321310102013514232102z z z

⎪⎪⎭⎫

⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=32

1161109412316z z z

所以有⎪⎩⎪⎨⎧+--=+-=++-=3

21332123

2111610941236z z z x z z z x z z z x

3 设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=111111111A ⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛--=150421321B 求3AB 2A 及A T

B

解 ⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1111111112150421321111111111323A AB

⎪⎪⎭⎫

⎝⎛----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2294201722213211111111120926508503

⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=092650850150421321111111111B A T

4 计算下列乘积

(1)⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-127075321134

解 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-127075321134⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯+⨯⨯+⨯-+⨯⨯+⨯+⨯=102775132)2(71112374⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛=49635

(2)⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛123)321(

解 ⎪⎪⎭⎫

⎝⎛123)321((132231)(10)

(3))21(312-⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛

解 )21(312-⎪⎪⎭⎫

⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯=23)1(321)1(122)1(2⎪

⎪

⎭⎫ ⎝

⎛---=632142

(4)⎪

⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-20413121013143110412

解 ⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-20

4

13121013143110412⎪⎭⎫

⎝⎛---=6520876

(5)⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321332313232212131211321)(x x x a a a a a a a a a x x x

解

⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛32133231323

2212131211321)(x x x a a a a a a a a a x x x

(a 11x 1a 12x 2a 13x 3 a 12x 1a 22x 2a 23x 3 a 13x 1a 23x 2a 33

x 3

)⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛321x x x

3

223311321122

33322222111222x x a x x a x x a x a x a x a +++++=

5 设

⎪⎭⎫ ⎝⎛=31

21A ⎪⎭

⎫

⎝⎛=2101

B 问

(1)AB BA 吗 解 AB BA 因为

⎪⎭

⎫ ⎝

⎛=64

43AB ⎪⎭

⎫

⎝⎛=8321BA 所以AB BA

(2)(A B)2A 22AB B 2吗 解 (A B)2A 22AB B 2 因为

⎪⎭

⎫ ⎝⎛=+52

22B A

⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=+52

225222)

(2

B A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2914148

但

⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝

⎛=++43

01

1288611483222B AB A ⎪⎭

⎫

⎝⎛=27151610

所以(A B)2A 22AB B 2 (3)(A B)(A B)A 2B 2吗 解 (A B)(A B)A 2B 2

因为

⎪⎭

⎫ ⎝⎛=+5222B A

⎪

⎭

⎫ ⎝⎛=-1020B A

⎪⎭

⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=-+906010205222))((B A B A

而 ⎪⎭

⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-718243011148322B A

故(A B)(A B)A 2B 2

6 举反列说明下列命题是错误的 (1)若A 20 则A 0 解 取

⎪⎭⎫ ⎝⎛=0010A 则A 20 但A 0

(2)若A 2A 则A 0或A E 解 取

⎪⎭

⎫ ⎝

⎛=0011A 则A 2A 但A 0且A E

(3)若AX AY 且A 0 则X Y 解 取

⎪⎭

⎫ ⎝⎛=0001A

⎪

⎭

⎫ ⎝⎛-=1111X ⎪⎭

⎫ ⎝

⎛=10

11Y

则AX AY 且A 0 但X Y

7 设

⎪⎭

⎫ ⎝⎛=101λA 求A 2

A 3

A

k

解 ⎪⎭

⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=12011011012λλλA

⎪⎭

⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==130110112012

3λλλA A A

⎪

⎭⎫ ⎝⎛=101λk A k

8

设⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛=λλλ001001A 求A k

解 首先观察

⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=λλ

λλλλ0010010010012

A ⎪⎪

⎭⎫ ⎝⎛=222002012λλλλλ

⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛=⋅=323

2

323003033λλλ

λλλA A A ⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛=⋅=434

23

434004064λλλ

λλλA A A ⎪⎪⎭

⎫ ⎝

⎛=⋅=545

34

5450050105λλλ

λλλA A A

⎝

⎛=k

A k k k

k k k k k k k λλλλλλ0002)1(12

1----⎪⎪⎪⎭

⎫

用数学归纳法证明 当k 2时 显然成立 假设k 时成立，则k 1时，

⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=⋅=---+λλλλλλλλλ0010010002

)1(1211

k k k k k k k k k k k k A A A

⎪⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛+++=+-+--+1

1111100)1(02)1()1(k k k k k k k k k k λλλλλλ 由数学归纳法原理知

⎪⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=---k k k k k k k k k k k A λλλλλλ0002)1(121

9 设A B 为n 阶矩阵，且A 为对称矩阵，证明B T AB 也是对称矩阵

证明 因为A T A 所以

(B T AB)T B T (B T A)T B T A T B B T AB 从而B T AB 是对称矩阵

10 设A B 都是n 阶对称矩阵，证明AB 是对称矩阵的充分必要条件是AB BA 证明 充分性 因为A T A B T B 且AB BA 所以

(AB)T (BA)T A T B T AB 即AB 是对称矩阵

必要性 因为A T A B T B 且(AB)T AB 所以 AB (AB)T B T A T BA 11 求下列矩阵的逆矩阵 (1)⎪⎭

⎫

⎝⎛5221

解

⎪⎭

⎫ ⎝⎛=5221A |A|1 故A 1

存在 因为 ⎪⎭⎫ ⎝

⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛=1225*22122111A A A A A

故 *||11

A A A =-⎪

⎭⎫ ⎝⎛--=1225 (2)⎪⎭⎫ ⎝⎛-θθθθcos sin sin cos 解 ⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=θθθθcos sin sin cos A |A|10 故A 1

存在 因为

⎪⎭⎫ ⎝

⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=θθθθcos sin sin cos *22122111A A A A A

所以

*||11A A A =-⎪

⎭

⎫ ⎝⎛-=θθθθcos sin sin cos

(3)⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛---145243121

解 ⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛---=145243121A |A|20 故A 1

存在

因为

⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛-----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=214321613024*332313322212312111A A A A A A A A A A

所以 *||11

A A A =-⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛-----=1

716213213012

(4)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛n a a a 002

1(a 1a 2

a n

0)

解 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n a a a A 0021

由对角矩阵的性质知 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=-n a a a A 10011211 12 解下列矩阵方程 (1)⎪⎭

⎫

⎝⎛-=⎪⎭⎫

⎝⎛12643152X

解

⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-126431521

X ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=12642153⎪⎭⎫ ⎝⎛-=80232

(2)⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛--2343

11111012112X 解 1

111012112234311-⎪

⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪

⎭⎫ ⎝⎛-=X

⎪

⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪

⎭⎫ ⎝⎛-=03323210123431131 ⎪⎪⎭⎫

⎝⎛---=3253

8122 (3)⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-101311022141X

解 1

1

110210132141--⎪⎭

⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=X ⎪

⎭

⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=210110131142121

⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=21010366121⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=04111 (4)⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛021102341010100001100001010X

解 1

1

01

0100

00

1

021102341100001010--⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=X

⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=01010

0001021102341100001010⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛---=201431012

13 利用逆矩阵解下列线性方程组

(1)⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++3

532

522132321321321

x x x x x x x x x

解 方程组可表示为

⎪⎪

⎭

⎫

⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321153522321321x x x

故 ⎪

⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0013211535223211

321x x x

从而有 ⎪⎩⎪⎨⎧===0

01321

x x x

(2)⎪⎩⎪⎨⎧=-+=--=--0

5231

3223213213

21x x x x x x x x x

解 方程组可表示为

⎪⎪

⎭

⎫

⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----012523312111321x x x

故 ⎪

⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛-----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3050125233121111

321x x x

故有 ⎪⎩⎪⎨⎧===3

5321

x x x

14 设A k O (k 为正整数) 证明(E A)1

E A A 2 A k

1

证明 因为A k O 所以E A k E 又因为

E A k (E A)(E A A 2

A k 1)

所以 (E A)(E A A 2 A k 1)E 由定理2推论知(E A)可逆 且

(E A)

1

E A A 2

A k

1

证明 一方面 有E (E A)1(E A) 另一方面 由A k O 有 E (E A)(A A 2)A 2

A k

1

(A k

1

A k )

(E A A 2 A k 1)(E A)

故 (E A)1(E A)(E A A 2 A k 1)(E A) 两端同时右乘(E A)

1

就有

(E A)1

(E A)E A A 2

A k

1

15 设方阵A 满足A 2A 2E O 证明A 及A 2E 都可逆 并求A 1及(A 2E)1

证明 由A 2A 2E O 得

A 2A 2E 即A(A E)2E 或

E E A A =-⋅)(2

1

由定理2推论知A 可逆 且)

(2

11E A A -=-

由A 2A 2E O 得 A 2A 6E 4E 即(A 2E)(A 3E)4E

或 E A E E A =-⋅

+)3(4

1)2( 由定理2推论知(A 2E)可逆 且)3(4

1)

2(1

A E E A -=+-

证明 由A 2A 2E O 得A 2A 2E 两端同时取行列式得 |A 2A|2 即 |A||A E|2 故 |A|0

所以A 可逆 而A 2E A 2 |A 2E||A 2||A|20 故A 2E 也可逆 由 A 2A 2E O A(A E)2E A 1A(A E)2A 1E

)

(2

11E A A -=-

又由 A 2A 2E O (A 2E)A 3(A 2E)4E

(A 2E)(A 3E)

4 E

所以 (A 2E)1(A 2E)(A 3E)4(A 2 E)1

)3(4

1)

2(1

A E E A -=+- 16 设A 为3阶矩阵 2

1||=

A 求|(2A)1

5A*|

解 因为*|

|11

A A A =

- 所以 |||521||*5)2(|1

11----=-A A A A A |2

521|11---=A A

|2A 1|(2)3|A 1|8|A|

1

82

16

17 设矩阵A 可逆 证明其伴随阵A*也可逆 且(A*)1

(A 1)*

线性代数第五版答案(全)

线性代数课后习题答案 第一章 行列式 1. 利用对角线法则计算下列三阶行列式: (1)3 81141102---; 解 3 81141102--- =2⨯(-4)⨯3+0⨯(-1)⨯(-1)+1⨯1⨯8 -0⨯1⨯3-2⨯(-1)⨯8-1⨯(-4)⨯(-1) =-24+8+16-4=-4. (2)b a c a c b c b a ; 解 b a c a c b c b a =acb +bac +cba -bbb -aaa -ccc =3abc -a 3-b 3-c 3. (3)2 22111c b a c b a ; 解 2 22111c b a c b a =bc 2+ca 2+ab 2-ac 2-ba 2-cb 2

=(a -b )(b -c )(c -a ). (4)y x y x x y x y y x y x +++. 解 y x y x x y x y y x y x +++ =x (x +y )y +yx (x +y )+(x +y )yx -y 3-(x +y )3-x 3 =3xy (x +y )-y 3-3x 2 y -x 3-y 3-x 3 =-2(x 3+y 3). 2. 按自然 数 从小到大为标准次序, 求下列各排列的逆序数: (1)1 2 3 4; 解 逆序数为0 (2)4 1 3 2; 解 逆序数为4: 41, 43, 42, 32. (3)3 4 2 1; 解 逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1. (4)2 4 1 3; 解 逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3. (5)1 3 ⋅ ⋅ ⋅ (2n -1) 2 4 ⋅ ⋅ ⋅ (2n ); 解 逆序数为2 ) 1(-n n : 3 2 (1个)

线性代数课后习题答案全)习题详解

线性代数课后习题答案全)习题详解 第一章 行列式 1.利用对角线法则计算下列三阶行列式： （1）381141102---； （2）b a c a c b c b a ; （3）222111c b a c b a ； （4）y x y x x y x y y x y x +++. 解 （1）=---3 811411 02811)1()1(03)4(2??+-?-?+?-?)1()4(18)1(2310-?-?-?-?-??- =416824-++-=4- （2）=b a c a c b c b a cc c aaa bbb cba bac acb ---++3333c b a abc ---= （3）=2 221 11c b a c b a 222222cb ba ac ab ca bc ---++))()((a c c b b a ---= （4）y x y x x y x y y x y x +++yx y x y x yx y y x x )()()(+++++=333)(x y x y -+-- 33322333)(3x y x x y y x y y x xy ------+= )(233y x +-=

2.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数： （1）1 2 3 4； （2）4 1 3 2； （3）3 4 2 1； （4）2 4 1 3； （5）1 3 … )12(-n 2 4 … )2(n ； （6）1 3 … )12(-n )2(n )22(-n … 2. 解（1）逆序数为0 （2）逆序数为4：4 1，4 3，4 2，3 2 （3）逆序数为5：3 2，3 1，4 2，4 1,2 1 （4）逆序数为3：2 1，4 1，4 3 （5）逆序数为 2 ) 1(-n n ： 3 2 1个 5 2，5 4 2个 7 2，7 4，7 6 3个 ……………… … )12(-n 2，)12(-n 4，)12(-n 6，…，)12(-n )22(-n )1(-n 个 （6）逆序数为)1(-n n 3 2 1个 5 2，5 4 2个 ……………… … )12(-n 2，)12(-n 4，)12(-n 6，…，)12(-n )22(-n )1(-n 个 4 2 1个 6 2，6 4 2个 ……………… … )2(n 2，)2(n 4，)2(n 6，…，)2(n )22(-n )1(-n 个 3.写出四阶行列式中含有因子2311a a 的项.

线性代数课后习题与答案

《线性代数》课程习题 第1章行列式 习 题 1.1 1． 计算下列二阶行列式： （1） 2 345 （2） 2 16 3- （3） x x x x cos sin sin cos - （4） 1 1 12 3++-x x x x （5） 2 2 32ab b a a （6） β β ααcos sin cos sin （7） 3 log log 1a b b a 2． 计算下列三阶行列式： （1）3 4 1 123312 -- （2）00000d c b a （3）d c e b a 0000 （4）z y y x x 0 0002121 （5）369528 7 41 （6）0 111011 1 -- 3． 用定义计算行列式： （1） 4 10670 5 33020010 0 （2） 1 014300211321221--- （3）5 00000000400030 020001000 (4) d c b a 100 1 10011001---. 4.用方程组求解公式解下列方程组: (1) ?????=-+=--=--0520322321321321x x x x x x x x x (2)??? ??=+-=-+=++2 32120321 321321x x x x x x x x x 习 题 1.2 1． 计算下列行列式：

（1）1 23112 1 01 (2)15 8 10 644372---- （3）3 610285 140 （4）6555655 56 2.计算行列式 （1） 2 341341241231 234（2） 12 11 4 3 51212734201 ----- （3）5 2 4 222 425 -----a a a （4）3 2 213 1399298203 123 - （5）0 53200 4140013202 52 7 1 02135 ---- 3.用行列式的性质证明： （1）32 2 )(1 11 22b a b b a a b ab a -=+（2）3 3 3 222 1113 33 33322222 21111112c b a c b a c b a a c c b b a a c c b b a a c c b b a =+++++++++ 4.试求下列方程的根： （1）022 223 3 56 =-+--λ λλ（2）0913 2 5 1 32 322132112 2 =--x x 5.计算下列行列式 （1） 8 3 6 4 21 3131524273 ------ （2）ef cf bf de cd bd ae ac ab --- （3）2 12 3 5 4 8 67759513 36344 24355---------- （4）1 1 1 1 1 0000000002211 n n a a a a a a ---

线性代数课后习题答案

线性代数课后题详解 第一章 行列式 1.利用对角线法则计算下列三阶行列式： 相信自己加油 （1） 3811411 02 ---； （2）b a c a c b c b a （3） 2 2 2 111 c b a c b a ； （4） y x y x x y x y y x y x +++. 解 注意看过程解答（1）=---3 81141 1 2811)1()1(03)4(2??+-?-?+?-? )1()4(18)1(2310-?-?-?-?-??- =416824-++- =4- （2） =b a c a c b c b a cc c aaa bbb cba bac acb ---++ 3333c b a abc ---= （3） =2 2 2 1 11c b a c b a 222222cb ba ac ab ca bc ---++ ))()((a c c b b a ---= （4） y x y x x y x y y x y x +++ yx y x y x yx y y x x )()()(+++++=333)(x y x y -+-- 33322333)(3x y x x y y x y y x xy ------+= )(233y x +-= 2.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数：耐心成就大业 （1）1 2 3 4； （2）4 1 3 2； （3）3 4 2 1； （4）2 4 1 3； （5）1 3 … )12(-n 2 4 … )2(n ； （6）1 3 … )12(-n )2(n )22(-n … 2. 解（1）逆序数为0

（2）逆序数为4：4 1，4 3，4 2，3 2 （3）逆序数为5：3 2，3 1，4 2，4 1,2 1 （4）逆序数为3：2 1，4 1，4 3 （5）逆序数为2 ) 1(-n n ： 3 2 1个 5 2，5 4 2个 7 2，7 4，7 6 3个 ……………… … )12(-n 2，)12(-n 4，)12(-n 6，…，)12(-n )22(-n )1(-n 个 （6）逆序数为)1(-n n 3 2 1个 5 2，5 4 2个 ……………… … )12(-n 2，)12(-n 4，)12(-n 6，…，)12(-n )22(-n )1(-n 个 4 2 1个 6 2，6 4 2个 ……………… … )2(n 2，)2(n 4，)2(n 6，…，)2(n )22(-n )1(-n 个 3.写出四阶行列式中含有因子 2311a a 的项. 解 由定义知，四阶行列式的一般项为 43214321)1(p p p p t a a a a -，其中t 为4321p p p p 的逆序数．由于3,121==p p 已固定， 4321p p p p 只能形如13□□，即1324或1342.对应的t 分别为 10100=+++或22000=+++ ∴44322311a a a a -和42342311a a a a 为所求. 4.计算下列各行列式： 多练习方能成大财 （1）?? ??????? ???711 00251020214214； （2）????? ? ??? ???-26 0523******** 12； （3）???? ??????---ef cf bf de cd bd ae ac ab ； （4）?? ??? ???? ???---d c b a 100 11 0011001 解 (1) 7110025102021421434327c c c c --0 1001423102 02110214--- =34)1(14 3102211014+-?---

工程数学线性代数(同济大学第六版)课后习题答案(全)

第一章 行列式 1? 利用对角线法则计算下列三阶行列式? (1)3811411 02---? 解 3 811411 02--- 解 解 (4)y x y x x y x y y x y x +++? 解 y x y x x y x y y x y x +++ ?x (x ?y )y ?yx (x ?y )?(x ?y )yx ?y 3?(x ?y )3?x 3 ?3xy (x ?y )?y 3?3x 2 y ?x 3?y 3?x 3 ??2(x 3?y 3)?

2?按自然数从小到大为标准次序?求下列各排列的逆序数? (1)1 2 3 4? 解逆序数为0 (2)4 1 3 2? 解逆序数为4? 41? 43? 42? 32? (3)3 4 2 1? 解逆序数为5? 3 2? 3 1? 4 2? 4 1, 2 1? 解 解 解 4 2(1个) 6 2? 6 4(2个) ?????? (2n)2? (2n)4? (2n)6????? (2n)(2n?2) (n?1个) 3?写出四阶行列式中含有因子a11a23的项? 解含因子a11a23的项的一般形式为 (?1)t a11a23a3r a4s?

其中rs 是2和4构成的排列? 这种排列共有两个? 即24和42? 所以含因子a 11a 23的项分别是 (?1)t a 11a 23a 32a 44?(?1)1a 11a 23a 32a 44??a 11a 23a 32a 44? (?1)t a 11a 23a 34a 42?(?1)2a 11a 23a 34a 42?a 11a 23a 34a 42? 4? 计算下列各行列式? (1)7 1100251020214 214? 解 解 解 ef cf bf de cd bd ae ac ab ---e c b e c b e c b adf ---= abcdef adfbce 41 111111 11=---=? (4)d c b a 100110011001---?

《线性代数》同济大学版-课后习题答案详解

《线性代数》同济大学版 课后习题答案详解 第一章 行列式 1. 利用对角线法则计算下列三阶行列式: (1)3811411 02---; 解 3 81141102--- =2′(-4)′3+0′(-1)′(-1)+1′1′8 -0′1′3-2′(-1)′8-1′(-4)′(-1) =-24+8+16-4=-4. (2)b a c a c b c b a 解 b a c a c b c b a =acb +bac +cba -bbb -aaa -ccc =3abc -a 3-b 3-c 3. (3)2 22111c b a c b a ; 解 2 22111c b a c b a =bc 2 +ca 2 +ab 2 -ac 2 -ba 2 -cb 2 (a -b )(b -c )(c -a ). (4)y x y x x y x y y x y x +++. 解 y x y x x y x y y x y x +++ =x (x +y )y +yx (x +y )+(x +y )yx -y 3 -(x +y )3 -x 3 =3xy (x +y )-y 3 -3x 2 y -x 3 -y 3 -x 3 =-2(x 3 +y 3 ). 2. 按自然数从小到大为标准次序, 求下列各排列的逆序数: (1)1 2 3 4; 解 逆序数为0 (2)4 1 3 2; 解 逆序数为4: 41, 43, 42, 32. (3)3 4 2 1; 解 逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1. (4)2 4 1 3; 解 逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3. (5)1 3 × × × (2n -1) 2 4 × × × (2n ); 解 逆序数为 2 ) 1(-n n :

线性代数课后习题答案

习题答案 习题1（参考答案） 1．程序与算法的概念及二者的区别是什么？ 程序：为了实现特定目标或解决特定问题而用计算机语言偏写的指令序列，它由算法和数据结构组成。 算法：（Algorithm）是在有限步骤内求解某一问题所使用的一组定义明确的规则。通俗地讲，就是计算机解题的步骤。 算法与程序的区别：计算机程序是算法的一个实例，同一个算法可以用不同的计算机语言来表达。 2．简述程序设计语言发展的过程 程序设计语言经过最初的机器代码到今天接近自然语言的表达，经过了四代的演变。一般认为机器语言是第一代，符号语言即汇编语言为第二代，面向过程的高级语言为第三代，面对象的编程语言为第四代。 3．简述高级程序设计语言中面向过程与面向对象的概念。 “面向过程”是一种以过程为中心的编程思想。首先分析出解决问题所需要的步骤，然后用函数把这些步骤一步一步地实现，使用的时候依次调用函数即可。一般的面向过程是从上往下步步求精，所以面向过程最重要的是模块化的思想方法。 “面向对象”是一种以事物为中心的编程思想。面向对象的方法主要是将事物对象化，对象包括属性与行为。 面向过程与面向对象的区别：在面向过程的程序设计中，程序员把精力放在计算机具体执行操作的过程上，编程关注的是如何使用函数去实现既定的功能；而在面向对象的程序设计中，技术人员将注意力集中在对象上，把对象看做程序运行时的基本成分。编程关注的是如何把相关的功能（包括函数和数据）有组织地捆绑到一个对象身上。 4．C语言程序的特点是什么？ （1）C语言非常紧凑、简洁，使用方便、灵活，有32个关键字，有9种流程控制语句。 （2）C语言运算符丰富，共有45个标准运算符，具有很强的表达式功能，同一功能表达式往往可以采用多种形式来实现。 （3）数据类型丰富。C语言的数据类型有整型、实型、字符型、数组类型、结构类型、共用类型和指针类型，而且还可以用它们来组成更复杂的数据结构，加之C语言提供了功能强大的控制结构，因而使用C语言能非常方便地进行结构化和模块化程序设计，适合于大型程序的编写、调试。 （4）用C语言可直接访问物理地址，能进行二进制位运算等操作，即可直接同机器硬件打交道。它具有“高级语言”和“低级语言”的双重特征，既能用于系统软件程序设计，又能用于通用软件程序设计。 （5）C语言生成的目标代码质量高、程序执行速度快。一般只比用汇编语言生成的目标代码的效率低20％左右。 （6）可移植性好。 5．源程序执行过程中，有哪些步骤？

《线性代数》同济大学版课后习题答案详解

《线性代数》同济大学版 课后习题答案详解 第一章 行列式 1. 利用对角线法则计算下列三阶行列式: (1)3 81141102---; 解 3 811411 02--- =2?(-4)?3+0?(-1)?(-1)+1?1?8 -0?1?3-2?(-1)?8-1?(-4)?(-1) =-24+8+16-4=-4. (2)b a c a c b c b a ; 解 b a c a c b c b a =acb +bac +cba -bbb -aaa -ccc =3abc -a 3-b 3-c 3. (3)2 22111c b a c b a ; 解 2 22111c b a c b a =bc 2+ca 2+ab 2-ac 2-ba 2-cb 2 =(a -b )(b -c )(c -a ). (4)y x y x x y x y y x y x +++. 解 y x y x x y x y y x y x +++ =x (x +y )y +yx (x +y )+(x +y )yx -y 3-(x +y )3-x 3 =3xy (x +y )-y 3-3x 2 y -x 3-y 3-x 3 =-2(x 3+y 3). 2. 按自然数从小到大为标准次序, 求下列各排列的逆序数: (1)1 2 3 4; 解 逆序数为0 (2)4 1 3 2; 解 逆序数为4: 41, 43, 42, 32. (3)3 4 2 1; 解 逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1. (4)2 4 1 3; 解 逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3. (5)1 3 ? ? ? (2n -1) 2 4 ? ? ? (2n ); 解 逆序数为 2 ) 1(-n n :

线性代数课后答案(高等教育出版社)

加QQ719283511 第一章 行列式 1. 利用对角线法则计算下列三阶行列式: (1)3811411 02---; 解 3 811411 02--- =2?(-4)?3+0?(-1)?(-1)+1?1?8 -0?1?3-2?(-1)?8-1?(-4)?(-1) =-24+8+16-4=-4. (3)2221 11c b a c b a ; 解 2 221 11c b a c b a =bc 2+ca 2+ab 2-ac 2-ba 2-cb 2 =(a -b )(b -c )(c -a ). 4. 计算下列各行列式: (1)7 1 10 025******* 214; 解 711002510202142140 100142310 20211021 473234-----======c c c c 34)1(1431022110 14+-?---= 143102211014--=014 171720010 9932321 1=-++======c c c c .

(2)2605232112131412-; 解 26 05232112131412 -2605 3212213041224--=====c c 0 41203212213 041224--=====r r 00 000032122130 412 14=--=====r r . (3)ef cf bf de cd bd ae ac ab ---; 解 ef cf bf de cd bd ae ac ab ---e c b e c b e c b adf ---= abcdef adfbce 41 111111 11=---=. (4)d c b a 100110011001---. 解 d c b a 100110011001---d c b a ab ar r 10011001101021---++===== d c a ab 101101)1)(1(12--+--=+0 1011123-+-++=====cd c ad a a b d c c cd ad ab +-+--=+111)1)(1(23=abcd +ab +cd +ad +1. 6. 证明: (1)111222 2b b a a b ab a +=(a -b )3; 证明

线性代数课后习题答案第二版

线性代数课后习题答案第二版 线性代数课后习题答案第二版 线性代数是一门重要的数学学科，广泛应用于各个领域。而对于学习者来说，课后习题是巩固知识、提高能力的重要方式之一。本文将为大家提供线性代数课后习题第二版的答案，希望能够帮助大家更好地理解和掌握这门学科。 一、矩阵与向量 1. 习题：给定矩阵A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]，求矩阵A的转置。 答案：矩阵A的转置为A^T = [1 4 7; 2 5 8; 3 6 9]。 2. 习题：给定向量x = [1; 2; 3]和向量y = [4; 5; 6]，求向量x和y的内积。 答案：向量x和y的内积为x·y = 1*4 + 2*5 + 3*6 = 32。 3. 习题：给定矩阵A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]和向量x = [1; 1; 1]，求矩阵A和向量x的乘积。 答案：矩阵A和向量x的乘积为Ax = [6; 15; 24]。 二、线性方程组与矩阵运算 1. 习题：给定线性方程组： 2x + 3y - z = 1 4x + 2y + z = -2 x - y + 2z = 0 求解该线性方程组。 答案：解为x = 1, y = -1, z = 2。 2. 习题：给定矩阵A = [1 2; 3 4]和矩阵B = [5 6; 7 8]，求矩阵A和矩阵B的乘积。

答案：矩阵A和矩阵B的乘积为AB = [19 22; 43 50]。 3. 习题：给定矩阵A = [1 2; 3 4]和矩阵B = [5 6; 7 8]，求矩阵A和矩阵B的和。答案：矩阵A和矩阵B的和为A + B = [6 8; 10 12]。 三、特征值与特征向量 1. 习题：给定矩阵A = [2 1; 1 2]，求矩阵A的特征值和特征向量。 答案：矩阵A的特征值为λ1 = 3, λ2 = 1，对应的特征向量为v1 = [1; 1]，v2 = [-1; 1]。 2. 习题：给定矩阵A = [1 2; 2 4]，求矩阵A的特征值和特征向量。 答案：矩阵A的特征值为λ1 = 0, λ2 = 5，对应的特征向量为v1 = [-2; 1]，v2 = [1; 2]。 3. 习题：给定矩阵A = [3 -1; 1 3]，求矩阵A的特征值和特征向量。 答案：矩阵A的特征值为λ1 = 2, λ2 = 4，对应的特征向量为v1 = [1; -1]，v2 = [1; 1]。 通过以上习题的解答，我们可以更好地理解线性代数的概念和方法。线性代数 作为一门基础学科，不仅在数学领域中有广泛应用，而且在物理、工程、计算 机科学等领域也起到了重要的作用。希望本文的答案能够帮助大家更好地掌握 线性代数知识，提高解题能力。

线性代数课后习题答案第1――5章习题详解

第一章 行列式 4.计算下列各行列式： （1）???? ????? ???71 10 025********* 4； （2）????????????-26 52321121314 1 2； （3）????????---ef cf bf de cd bd ae ac ab ； （4）????? ???? ???---d c b a 1 00 110011001 解 (1) 71100251020214 214 34327c c c c --0 10014 2310202110 214---=3 4)1(1431022 11014+-?---=14 31022110 14-- 3 21132c c c c ++14 171720010 99-=0 (2) 260 5232112131 412-24c c -2605032122130 412-24r r -0412032122130 412- 14r r -0 000032122130412-=0 (3)ef cf bf de cd bd ae ac ab ---=e c b e c b e c b adf ---=1 111111 11---adfbce =abcdef 4 (4) d c b a 100110011001---21ar r +d c b a ab 1001 100 110 10---+=12)1)(1(+--d c a ab 1011 1--+

2 3dc c +0 10111-+-+cd c ad a a b =23)1)(1(+--cd ad ab +-+111=1++++ad cd ab abcd 5.证明: (1)1 11222 2b b a a b ab a +=3)(b a -; (2)bz ay by ax bx az by ax bx az bz ay bx az bz ay by ax +++++++++=y x z x z y z y x b a )(3 3+; (3)0)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(2 2222222 2 2222222 =++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a ; (4)444422221111d c b a d c b a d c b a ))()()()((d b c b d a c a b a -----=))((d c b a d c +++-?; (5)1 22 110000 0100001a x a a a a x x x n n n +-----ΛΛΛΛΛΛ ΛΛΛΛn n n n a x a x a x ++++=--11 1Λ. 证明 (1)0 0122222221 312a b a b a a b a ab a c c c c ------=左边a b a b a b a ab 22)1(22213-----=+21))((a b a a b a b +--= 右边=-=3)(b a (2)bz ay by ax z by ax bx az y bx az bz ay x a ++++++分开 按第一列 左边 bz ay by ax x by ax bx az z bx az bz ay y b +++++++ ++++++002y by ax z x bx az y z bz ay x a 分别再分 bz ay y x by ax x z bx az z y b +++z y x y x z x z y b y x z x z y z y x a 33+分别再分

线性代数 第五版 课后习题 答案 完整 最全

第一章 行列式 1. 利用对角线法则计算下列三阶行列式: (1)3811411 02---; 解 3 811411 02--- =2⨯(-4)⨯3+0⨯(-1)⨯(-1)+1⨯1⨯8 -0⨯1⨯3-2⨯(-1)⨯8-1⨯(-4)⨯(-1) =-24+8+16-4=-4. (3)2221 11c b a c b a ; 解 2 221 11c b a c b a =bc 2+ca 2+ab 2-ac 2-ba 2-cb 2 =(a -b )(b -c )(c -a ). 4. 计算下列各行列式: (1)7 1 10 025******* 214; 解 711002510202142140 100142310 20211021 473234-----======c c c c 34)1(1431022110 14+-⨯---= 143102211014--=014 171720010 99323211=-++======c c c c . (2)2 605232112131412-;

解 2605232112131412-26050 3212213041224--=====c c 0 41203212213 041224--=====r r 00 00032122130 412 14=--=====r r . (3)ef cf bf de cd bd ae ac ab ---; 解 ef cf bf de cd bd ae ac ab ---e c b e c b e c b a d f ---= abcdef adfbce 41 111111 11=---=. (4)d c b a 100110011001---. 解 d c b a 1 00110011001---d c b a ab ar r 10 011001101021---++===== d c a ab 101101)1)(1(12--+--=+01011123-+-++=====c d c ad a a b d c c cd ad ab +-+--=+111)1)(1(23=abcd +ab +cd +ad +1. 6. 证明: (1)111222 2b b a a b ab a +=(a -b )3; 证明 1112222b b a a b ab a +001 2222 2221213a b a b a a b a ab a c c c c ------=====

王晓峰著《线性代数》习题解答

王晓峰著《线性代数》习题解答 第一章 1. 解下列方程组, 并在直角坐标系中作出图示. 1)⎩⎨ ⎧=-=+21y x y x ; 2)⎩⎨ ⎧=+=+5331y x y x ; 3)⎩⎨ ⎧=-=-2221y x y x . 解: 1) 将第一个方程减去第二个方程, 得2y =-1, y =-1/2, 再代入第个方程解得x =1+1/2=3/2, ⎪ ⎭⎫ ⎝⎛-21,23方程有唯一解. 2) 将第二个方程除以3得35 = +y x , 与第一个方程相比较知此方程组为矛盾方程组, 无解, 3) 将第2个方程除以2, 可以得到第一个方程, 令y =t 为任意实数, 则x =1+t , 方程组的解集. 2. 用Gauss 消元法解下列线性方程组. 1)⎪⎩⎪ ⎨⎧-=-+=++-=-+33 3693132472321321321x x x x x x x x x 2)⎩⎨ ⎧-=-+=+-2232 52321321x x x x x x

3)⎪⎪ ⎩⎪⎪⎨ ⎧=+-=-=--=+5421230243321 4 243241 x x x x x x x x x x 4)⎪⎩⎪ ⎨⎧=++=-+=+0 3380340323213212 1x x x x x x x x 解: 1) 对增广矩阵进行变换: ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--−−−−→−+-⨯⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----−−−−→−-⨯+⨯⎥⎥⎥⎦ ⎤⎢⎢ ⎢⎣⎡-----−−−−→−+-⨯+-⨯⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----0000 7510 10301)2(000075104721)3/1(121153021153047 21)3()2(333693131124721123323 121r r r r r r r r r 则x 3为自由变量, 令x 3=t 为任意实数, 则x 1=10-3t , x 2=5t -7, 方程有无穷多解, 解集为 (10-3t , 5t -7, t ). 2) 对增广矩阵进行变换: ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--−−−→−+⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡---−−−→−⨯⎥⎦ ⎤⎢⎣⎡---−−−−→−+-⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡---121001012121025 218/1816802521)3(212325 2112221r r r r r 则x 3为自由变量, 令x 3=t 为任意实数, 则x 1=-t , x 2=2t -1, 解集为(-t , 2t -1, t ). 3) 对增广矩阵进行变换: ⎥⎥⎥⎥⎦ ⎤⎢⎢⎢ ⎢⎣⎡−−−−→−+-⨯+⨯+⨯-⨯⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦ ⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡- ----−−−−→−+-⨯+⨯⎥⎥⎥⎥⎥⎦ ⎤⎢⎢⎢⎢ ⎢⎣⎡-----−−−−→−⨯-⨯⎥ ⎥ ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-------−−−→−+⨯+⨯↔⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------−−−−→−+-⨯⎥⎥ ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----11 000101 001001010001)3()32()35() 43(34340003235100313201043 001)7(46137 0032351003641043 001)12/1()1(61370082012003641043 0012336410 1203001 1204300 1 )2(50412 1203001 1204300 114243 44432332 42324241r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r 方程有唯一解x 1=x 2=x 3=x 4=1. 4) 此为齐次方程, 对系数矩阵进行变换

《线性代数》课后习题答案

第一章 行列式 习题1.1 1. 证明：（1）首先证明)3(Q 是数域。 因为)3(Q Q ⊆，所以)3(Q 中至少含有两个复数。 任给两个复数)3(3,32211Q b a b a ∈++，我们有 3 )()3()3)(3(3)()()3()3(3)()()3()3(2121212122112121221121212211b a a b b b a a b a b a b b a a b a b a b b a a b a b a +++=++-+-=+-++++=+++。 因为Q 是数域，所以有理数的和、差、积仍然为有理数，所以 ) 3(3)()3()3)(3()3(3)()()3()3()3(3)()()3()3(2121212122112121221121212211Q b a a b b b a a b a b a Q b b a a b a b a Q b b a a b a b a ∈+++=++∈-+-=+-+∈+++=+++。 如果0322≠+b a ，则必有22,b a 不同时为零，从而0322≠-b a 。 又因为有理数的和、差、积、商仍为有理数，所以 )3(33) (3)3() 3)(3()3)(3(3 32 2 22212122222121222222112211Q b a b a a b b a b b a a b a b a b a b a b a b a ∈--+--= -+-+= ++。 综上所述，我们有)3(Q 是数域。 （2）类似可证明)(p Q 是数域，这儿p 是一个素数。 （3）下面证明：若q p ,为互异素数，则)()(q Q p Q ⊄。 （反证法）如果)()(q Q p Q ⊆，则q b a p Q b a +=⇒ ∈∃,，从而有 q ab qb a p p 2)()(222++==。 由于上式左端是有理数，而q 是无理数，所以必有02=q ab 。 所以有0=a 或0=b 。 如果0=a ，则2 qb p =，这与q p ,是互异素数矛盾。