离散数学习题详细答案
离散数学习题详细答案
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离散数学习题答案
习题一及答案：（P14-15）
14、将下列命题符号化：
（5）李辛与李末是兄弟
解：设p ：李辛与李末是兄弟，则命题符号化的结果是p
（6）王强与刘威都学过法语
解：设p ：王强学过法语；q ：刘威学过法语；则命题符号化的结果是
p q ∧
（9）只有天下大雨，他才乘班车上班
解：设p ：天下大雨；q ：他乘班车上班；则命题符号化的结果是q p →
（11）下雪路滑，他迟到了
解：设p ：下雪；q ：路滑；r ：他迟到了；则命题符号化的结果是()p q r ∧→
15、设p ：2+3=5.
q ：大熊猫产在中国.
r ：太阳从西方升起.
求下列复合命题的真值：
（4）()(())p q r p q r ∧∧???∨?→
解：p=1，q=1，r=0， ()(110)1p q r ∧∧??∧∧??，
(())((11)0)(00)1p q r ?∨?→??∨?→?→?
()(())111p q r p q r ∴∧∧???∨?→???
19、用真值表判断下列公式的类型：
（2）()p p q →?→?
解：列出公式的真值表，如下所示： p q p ? q ? ()p p →? ()p p q →?→?
0 0 1 1 1 1
0 1 1 0 1 0
1 0 0 1 0 1
1 1 0 0 0 1
由真值表可以看出公式有3个成真赋值，故公式是非重言式的可满足式。
20、求下列公式的成真赋值：
（4）()p q q ?∨→
解：因为该公式是一个蕴含式，所以首先分析它的成假赋值，成假赋值的条件是：
()10p q q ?∨??????00
p q ????? 所以公式的成真赋值有：01，10，11。
习题二及答案：（P38）
5、求下列公式的主析取范式，并求成真赋值：
（2）()()p q q r ?→∧∧
解：原式()p q q r ?∨∧∧q r ?∧()p p q r ??∨∧∧
()()p q r p q r ??∧∧∨∧∧37m m ?∨，此即公式的主析取范式，
所以成真赋值为011，111。
6、求下列公式的主合取范式，并求成假赋值：
（2）()()p q p r ∧∨?∨
解：原式()()p p r p q r ?∨?∨∧?∨∨()p q r ??∨∨4M ?，此即公式的主合取范式，
所以成假赋值为100。
7、求下列公式的主析取范式，再用主析取范式求主合取范式：
（1）()p q r ∧∨
解：原式()(()())p q r r p p q q r ?∧∧?∨∨?∨∧?∨∧
()()()()()()p q r p q r p q r p q r p q r p q r ?∧∧?∨∧∧∨?∧?∧∨?∧∧∨∧?∧∨∧∧
()()()()()p q r p q r p q r p q r p q r ??∧?∧∨?∧∧∨∧?∧∨∧∧?∨∧∧
13567m m m m m ?∨∨∨∨，此即主析取范式。
主析取范式中没出现的极小项为0m ，2m ，4m ，所以主合取范式中含有三个极大项0M ，2M ，
4M ，故原式的主合取范式024M M M ?∧∧。
9、用真值表法求下面公式的主析取范式：
（1）()()p q p r ∨∨?∧
解：公式的真值表如下：
p q r p ? p q ∨ p r ?∧ ()()p q p r ∨∨?∧
0 0 0 1 0 0 0
0 0 1 1 0 1 1
0 1 0 1 1 0 1
0 1 1 1 1 1 1
1 0 0 0 1 0 1
1 0 1 0 1 0 1
1 1 0 0 1 0 1
1 1 1 0 1 0 1
由真值表可以看出成真赋值的情况有7种，此7种成真赋值所对应的极小项的析取即为主析
取范式，故主析取范式1234567m m m m m m m ?∨∨∨∨∨∨
习题三及答案：（P52-54）
11、填充下面推理证明中没有写出的推理规则。
前提：,,,p q q r r s p ?∨?∨→
结论：s
证明：
① p 前提引入
② p q ?∨ 前提引入
③ q ①②析取三段论
④ q r ?∨ 前提引入
⑤ r ③④析取三段论
⑥ r s → 前提引入
⑦ s ⑤⑥假言推理
15、在自然推理系统P 中用附加前提法证明下面推理：
（2）前提：()(),()p q r s s t u ∨→∧∨→
结论：p u →
证明：用附加前提证明法。
① p 附加前提引入
② p q ∨ ①附加
③ ()()p q r s ∨→∧ 前提引入
④ r s ∧ ②③假言推理
⑤ s ④化简
⑥ s t ∨ ⑤附加
⑦ ()s t u ∨→ 前提引入
⑧ u ⑥⑦假言推理
故推理正确。
16、在自然推理系统P 中用归谬法证明下面推理：
（1）前提：p q →?，r q ?∨，r s ∧?
结论：p ?
证明：用归谬法
① p 结论的否定引入
② p q →? 前提引入
③ q ? ①②假言推理
④ r q ?∨ 前提引入
⑤ r ? ③④析取三段论
⑥ r s ∧? 前提引入
⑦ r ⑥化简
⑧r r ∧? ⑤⑦合取
由于0r r ∧??，所以推理正确。
17、在自然推理系统P 中构造下面推理的证明：
只要A 曾到过受害者房间并且11点以前没离开，A 就是谋杀嫌犯。A 曾到过受害者房间。
如果A 在11点以前离开，看门人会看见他。看门人没有看见他。所以，A 是谋杀嫌犯。
解：设p ：A 到过受害者房间，q ：A 在11点以前离开，r ：A 是谋杀嫌犯，s ：看门人看见
过A 。
则前提：()p q r ∧?→，p ，q s →，s ?
结论：r
证明：
① q s → 前提引入
② s ? 前提引入
③ q ? ①②拒取式
④ p 前提引入
⑤ p q ∧? ③④合取引入
⑥ ()p q r ∧?→ 前提引入
⑦ r ⑤⑥假言推理
习题四及答案：（P65-67）
5、在一阶逻辑中将下列命题符号化：
（2）有的火车比有的汽车快。
解：设F(x)：x 是火车，G(y)：y 是汽车，H(x,y)：x 比y 快；则命题符号化的结果是：
(()()(,))x y F x G y H x y ??∧∧
（3）不存在比所有火车都快得汽车。
解：设F(x)：x 是汽车，G(y)：y 是火车，H(x,y)：x 比y 快；则命题符号化的结果是：
(()(()(,)))x F x y G y H x y ??∧?→或(()(()(,)))x F x y G y H x y ?→?∧?
9、给定解释I 如下：
(a) 个体域为实数集合R 。
(b) 特定元素0a
-=。
(c) 函数(,),,f x y x y x y R -=-∈。
(d) 谓词(,):,(,):,,F x y x y G x y x y x y R -
-
=<∈。 给出以下公式在I 下的解释，并指出它们的真值：
（2）(((,),)(,))x y F f x y a G x y ??→
解：解释是：(0)x y x y x y ??-
=→<，含义是：对于任意的实数x ，y ，若x-y=0则x 14、证明下面公式既不是永真式也不是矛盾式： （1）(()(()(,)))x F x y G y H x y ?→?∧ 解：取解释I 如下：个体域为全总个体域， ()F x ：x 是兔子，()G y ：y 是乌龟，(,)H x y ：x 比y 跑得快，则该公式在解释I 下真值是1； 取解释'I 如下：(,)H x y ：x 比y 跑得慢，其它同上，则该公式在解释' I 下真值是0； 故公式（1）既不是永真式也不是矛盾式。 此题答案不唯一，只要证明公式既不是永真式也不是矛盾式的每个解释合理即可。 习题五及答案：（P80-81） 中，构造下面推理的证明： 15、在自然推理系统N ξ （3）前提：(()()) xG x ?? ?∨，() x F x G x 结论：() ? xF x 证明： ①() ??前提引入 xG x ②() ??①置换 x G x ③() G c ?②UI规则 ④(()()) ?∨前提引入 x F x G x ⑤()() ∨④UI规则 F c G c ⑥() F c③⑤析取三段论 ⑦() ?⑥EG规则 xF x 22、在自然推理系统N 中，构造下面推理的证明： ξ （2）凡大学生都是勤奋的。王晓山不勤奋。所以王晓山不是大学生。 解：设F(x)：x为大学生，G(x)：x是勤奋的，c：王晓山 则前提：(()()) ? G c ?→，() x F x G x 结论：() ? F c 证明： ①(()()) ?→前提引入 x F x G x ②()() →①UI规则 F c G c ③() ?前提引入 G c ④() F c ?②③拒取式 中，构造下面推理的证明： 25、在自然推理系统N ξ 每个科学工作者都是刻苦钻研的，每个刻苦钻研而又聪明的人在他的事业中都将获得成功。王大海是科学工作者，并且是聪明的。所以，王大海在他的事业中将获得成功。（个体域为人 类集合） 解：设F(x)：x是科学工作者，G(x)：x是刻苦钻研的，H(x)：x是聪明的，I(x)：x在他的事业中获得成功，c：王大海 则前提：(()()) F c H c ?∧→，()() ∧ x G x H x I x x F x G x ?→，(()()()) 结论：() I c 证明： ①()() ∧前提引入 F c H c ②() F c①化简 ③() H c①化简 ④(()()) ?→前提引入 x F x G x ⑤()() →④UI规则 F c G c ⑥() G c②⑤假言推理 ⑦()() ∧③⑥合取引入 G c H c ⑧(()()()) ?∧→前提引入 x G x H x I x ⑨()()() ∧→⑧UI规则 G c H c I c ⑩() I c⑦⑨假言推理 习题六及答案 1 2 4 3 习题七及答案：（P132-135） *22、给定{}1,2,3,4A =，A 上的关系{}1,3,1,4,2,3,2,4,3,4R =，试 （1）画出R 的关系图； （2）说明R 的性质。 解：（1） ● ● ● ● （2）R 的关系图中每个顶点都没有自环，所以R 是反自反的，不是自反的； R 的关系图中任意两个顶点如果有边的都是单向边，故R 是反对称的，不是对 称的； R 的关系图中没有发生顶点x 到顶点y 有边、顶点y 到顶点z 有边，但顶点x 到顶点z 没有边的情况，故R 是传递的。 26 设{}1,2,3,4,5,6A =，R 为A 上的关系，R 的关系图如图7.13所示： （1）求23,R R 的集合表达式； （2）求r(R), s(R), t(R)的集合表达式。 解：（1）由R 的关系图可得{}1,5,2,5,3,1,3,3,4,5R = 所以{}23,1,3,3,3,5R R R =?=，{}323,1,3,3,3,5R R R =?=， 可得{}3,1,3,3,3,5,n>=2n R =当； （2）{}A r(R)=R I 1,5,2,5,3,1,3,3,4,5,1,1,2,2,4,4,5,5,6,6=U ， {}1()R 1,5,5,1,2,5,5,2,3,1,1,3,3,3,4,5,5,4s R R -==U {}232()R R ...R 1,5,2,5,3,1,3,3,3,5,4,5t R R R ===U U U U 46、分别画出下列各偏序集,A R ≤的哈斯图，并找出A 的极大元、极小元、最大元和最小元。 （1）{}A ,,,,,,,,,,,,,I R a d a c a b a e b e c e d e ≤=U 解：哈斯图如下： A 的极大元为e 、f ，极小元为a 、f ； A 的最大元和最小元都不存在。 48、设,B,S A R 和为偏序集，在集合A B ?上定义关系T 如下： 112211221212,,,A B, ,,a b a b a b T a b a Ra b Sb ?∈??∧ 证明T 为A B ?上的偏序关系。 证明：（1）自反性： 1111 11 1111 112212121111,A B R R S b Sb R b Sb ,,,,T a b a a a a a b T a b a Ra b Sb a b T a b ∈?∴∴∴∧?∧∴Q Q 任取，则： 为偏序关系，具有自反性，为偏序关系，具有自反性，又， ，故具有自反性 （2）反对称性： 1122112222111212 2121122112 122112 1122,,,A B ,,,,R S b b ,,T a b a b a b T a b a b T a b a Ra b Sb a Ra b Sb a Ra a Ra a a b Sb b Sb a b a b ∈?∧∧∴∧=∴∧=∴=任取，若且，则有： （1）（2），又为偏序关系，具有反对称性，所以，又为偏序关系，具有反对称性，所以，故具有反对称性 （3）传递性： e a b c d f 1122331122223311221212 22332323 122313 122313 13131133,,,,A B ,,,,,,,,,R ,S b Sb b Sb ,,T a b a b a b a b T a b a b T a b a b T a b a Ra b Sb a b T a b a Ra b Sb a Ra a Ra a Ra b Sb b Sb a Ra a b T a b ∈??∧?∧∴∧∴∧∴∧?任取，，若且，则有： 又为偏序关系，具有传递性，所以又为偏序关系，具有传递性，所以，故具有传递性。 综合（1）（2）（3）知T 具有自反性、反对称性和传递性，故T 为A B ?上的偏序关系。 习题九及答案：（P179-180） 8、 S=Q Q,Q S a,b ,x,y a,b x,y ax,ay+b S ?*?∈*=为有理数集，为上的二元运算，有 （1）S *运算在上是否可交换、可结合？是否为幂等的？ （2）S *运算是否有单位元、零元？如果有，请指出，并求出中所有可逆元素的逆元。 解：（1） ,a,b xa,xb+y ax,bx+y a,b ,x y x y *==≠*∴*运算不具有交换律 ()()(),a,b c,d ax,bx+y c,d acx,adx+bx+y ,a,b c,d ,*ac,ad+b xac,xad+xb+y acx,adx+bx+y ,a,b c,d x y x y x y x y **=*=**====**∴*而运算有结合律 2a,b s a,b a,b a ,a,b ad b ∈*=+≠∴*任取，则有： 运算无幂等律 （2） ()()a,b *,a,b a,b s ax,ay+b a,b a,b s ax a a x 10a,b ay b b ay 0x 10x 1y 0y 0 101010 x y =?∈=?∈?=?-=?∴????+==???-==??∴???==??∴**∴*令对均成立 则有：对均成立 对成立必定有运算的右单位元为，，可验证，也为运算的左单位元， 运算的单位元为， ()()()a,b *,,,a,b s a,b *,,ax,ay+b ,a 1x 0ax x a 1y+b 0ay b y a 1y+b 0a,b s a,b *,,a,b s x y x y x y x y x y x y x y x y =?∈=?=?-=?=?????-=+=???? -=?∈=?∈令，若存在使得对上述等式均成立， 则存在零元，否则不存在零元。 由由于不可能对均成立， 故不可能对均成立，故不存在零元； a,b ,a,b *,e 10 1x ax 1a a ay b 0b y a a 0a,b 1b a a,b ,a a x y x y ==?=?=????≠??+=??=-?? ∴=≠-设元素的逆元为，则令，（当0）当时，的逆元不存在； 当0时，的逆元是 11、 {}S 12S S ?=***设，，...,10，问下面的运算能否与构成代数系统，如果能构成代数系统则说明运算是否满足交换律、结合律，并求运算的单位元和零元。 （3）x y x y *=大于等于和的最小整数； 解：（3）由*运算的定义可知：x y=max(x,y)*， x,y S,x y S S S ∈*∈**有，故运算在上满足封闭性，所以运算与非空集合能构成代数系统； x,y S,x y=max(x,y)=max(y,x)=y ,x ∈***任取有所以运算满足交换律； x,y,z S,x y)z=max(max(x,y),z)=max(x,y,z)=max(x,max(y,z))=x (y z),∈*****任取有(所以运算满足结合律；x S x 1=max(x,1)=x=max(1,x)=1x,∈***任取，有所以运算的单位元是1； x S x 10=max(x,10)=10=max(10,x)=10x,∈***任取，有所以运算的零元是10； 16、 {}{}1212V 1,2,3,,1,x y V 5,6,,6x y V V x y x y =??=**设其中表示取和之中较大的数。， 其中表示取和之中较小的数。求出和的所有的子代数。 指出哪些是平凡的子代数，哪些是真子代数。 {}{}{}{}{}{}{}{}{}111V 1,2,3,,1,1,,1,1,2,,1,1,3,,1V 1,2,3,,1,1,,1V 1,,1,1,2,,1,1,3,,1?????????解：（1）的所有的子代数是：； 的平凡的子代数是：； 的真子代数是：； {}{}{}{}{}222V 5,6,,66,,6V 5,6,,66,,6V 6,,6*****（2）的所有的子代数是：，； 的平凡的子代数是：，； 的真子代数是：。 习题十一及答案：（P218-219） 1、图11.11给出了6个偏序集的哈斯图。判断其中哪些是格。如果不是格，说明理由 解：（a ）、（c ）、（f ）是格；因为任意两个元素构成的集合都有最小上界和最大下界； （b ）不是格，因为{d,e}的最大下界不存在； （d ）不是格，因为{b,c}的最小上界不存在； （e ）不是格，因为{a,b}的最大下界不存在。 2、下列各集合低于整除关系都构成偏序集，判断哪些偏序集是格。 （1）L={1，2，3，4，5}； （2）L={1，2，3，6，12}； 解：画出哈斯图即可判断出：（1）不是格，（2）是格。 4、设L 是格，求以下公式的对偶式： （2）()()()a b c a b a c ∨∧≤∨∧∨ 解：对偶式为：()()()a b c a b a c ∧∨≥∧∨∧，参见P208页定义11.2。 9、针对图11.11中的每个格，如果格中的元素存在补元，则求出这些补元。 解： （a ）图：a,d 互为补元，其中a 为全下界，d 为全上界，b 和c 都没有补元； （c ）图：a,f 互为补元，其中a 为全下界，f 为全上界，c 和d 的补元都是b 和e ，b 和e 的补元都是c 和d ； （f ）图：a,f 互为补元，其中a 为全下界，f 为全上界，b 和e 互为补元，c 和d 都没有补元。 10、说明图11.11中每个格是否为分配格、有补格和布尔格，并说明理由。 解： （a ）图：是一条链，所以是分配格，b 和c 都没有补元，所以不是有补格，所以不是布尔格； （c ）图：a,f 互为补元，c 和d 的补元都是b 和e ，b 和e 的补元都是c 和d ，所以任何元素皆有补元，是有补格；(),c b d c a c ∨∧=∨=Q ()()c b c d f d d ∨∧∨=∧=()()()c b d c b c d ∴∨∧≠∨∧∨，所以∨对∧运算不满足分配律，所以不是分配格，所以不是布尔格； （f ）图：经过分析知图（f ）对应的格只有2个五元子格：L1={a,c,d,e,f}, L2={a,b,c,d,f}。画出L1和L2的哈斯图可知L1和L2均不同构于钻石格和五角格，根据分配格的充分必要条件（见P213页的定理11.5）得图（f ）对应的格是分配格；c 和d 都没有补元，所以不是有补格，所以不是布尔格。 离散数学作业7 离散数学数理逻辑部分形成性考核书面作业 本课程形成性考核书面作业共3次，内容主要分别是集合论部分、图论部分、数理逻辑部分的综合练习，基本上是按照考试的题型（除单项选择题外）安排练习题目，目的是通过综合性书面作业，使同学自己检验学习成果，找出掌握的薄弱知识点，重点复习，争取尽快掌握。本次形考书面作业是第三次作业，大家要认真及时地完成数理逻辑部分的综合练习作业。 要求：将此作业用A4纸打印出来，手工书写答题，字迹工整，解答题要有解答过程，要求2010年12月19日前完成并上交任课教师（不收电子稿）。并在07任务界面下方点击“保存”和“交卷”按钮，以便教师评分。 一、填空题 1．命题公式()P Q P →∨的真值是 1 ． 2．设P ：他生病了，Q ：他出差了．R ：我同意他不参加学习. 则命题“如果他生病或出差了，我就同意他不参加学习”符号化的结果为 (PQ)R ． 3．含有三个命题变项P ，Q ，R 的命题公式PQ 的主析取范式是 (PQR) (PQR) ． 4．设P(x)：x 是人，Q(x)：x 去上课，则命题“有人去上课．” 可符号化为 (x)(P(x) →Q(x)) ． 5．设个体域D ＝{a, b},那么谓词公式)()(y yB x xA ?∨?消去量词后的等值式为 (A(a) A(b)) (B(a) B(b)) ． 6．设个体域D ＝{1, 2, 3}，A(x)为“x 大于3”，则谓词公式(x)A(x) 的真值为 ． 7．谓词命题公式(x)((A(x)B(x)) C(y))中的自由变元为 ． 8．谓词命题公式(x)(P(x) Q(x) R(x ，y))中的约束变元为 X ． 三、公式翻译题 1．请将语句“今天是天晴”翻译成命题公式． 1．解：设P ：今天是天晴； 则 P ． 2．请将语句“小王去旅游，小李也去旅游．”翻译成命题公式． 解：设P ：小王去旅游，Q ：小李去旅游， 则 PQ ． 3．请将语句“如果明天天下雪，那么我就去滑雪”翻译成命题公式． 解：设P:明天天下雪 。 Q:我去滑雪 则 P Q ． 4．请将语句“他去旅游，仅当他有时间．”翻译成命题公式． 7．解：设 P ：他去旅游，Q ：他有时间， 则 P Q ． 5．请将语句 “有人不去工作”翻译成谓词公式． 11．解：设P(x)：x 是人，Q(x)：x 去工作， 《离散数学》题库答案 一、选择或填空 (数理逻辑部分) 1、下列哪些公式为永真蕴含式？( ) (1)?Q=>Q →P (2)?Q=>P →Q (3)P=>P →Q (4)?P ∧(P ∨Q)=>?P 答:(1),(4) 2、下列公式中哪些就是永真式？( ) (1)(┐P ∧Q)→(Q →?R) (2)P →(Q →Q) (3)(P ∧Q)→P (4)P →(P ∨Q) 答:(2),(3),(4) 3、设有下列公式,请问哪几个就是永真蕴涵式?( ) (1)P=>P ∧Q (2) P ∧Q=>P (3) P ∧Q=>P ∨Q (4)P ∧(P →Q)=>Q (5) ?(P →Q)=>P (6) ?P ∧(P ∨Q)=>?P 答:(2),(3),(4),(5),(6) 4、公式?x((A(x)→B(y,x))∧ ?z C(y,z))→D(x)中,自由变元就是( ),约束变元就是( )。 答:x,y, x,z 5、判断下列语句就是不就是命题。若就是,给出命题的真值。( ) (1) 北京就是中华人民共与国的首都。 (2) 陕西师大就是一座工厂。 (3) 您喜欢唱歌不？ (4) 若7+8＞18,则三角形有4条边。 (5) 前进！ (6) 给我一杯水吧！ 答:(1) 就是,T (2) 就是,F (3) 不就是 (4) 就是,T (5) 不就是 (6) 不就是 6、命题“存在一些人就是大学生”的否定就是( ),而命题“所有的人都就是要死的”的否定就是( )。 答:所有人都不就是大学生,有些人不会死 7、设P:我生病,Q:我去学校,则下列命题可符号化为( )。 (1) 只有在生病时,我才不去学校 (2) 若我生病,则我不去学校 (3) 当且仅当我生病时,我才不去学校(4) 若我不生病,则我一定去学校 答:(1) P Q →? (2) Q P ?→ (3) Q P ?? (4)Q P →? 8、设个体域为整数集,则下列公式的意义就是( )。 (1) ?x ?y(x+y=0) (2) ?y ?x(x+y=0) 答:(1)对任一整数x 存在整数 y 满足x+y=0(2)存在整数y 对任一整数x 满足x+y=0 9、设全体域D 就是正整数集合,确定下列命题的真值: (1) ?x ?y (xy=y) ( ) (2) ?x ?y(x+y=y) ( ) (3) ?x ?y(x+y=x) ( ) (4) ?x ?y(y=2x) ( ) 答:(1) F (2) F (3)F (4)T 10、设谓词P(x):x 就是奇数,Q(x):x 就是偶数,谓词公式 ?x(P(x)∨Q(x))在哪个个体域中为真?( ) (1) 自然数 (2) 实数 (3) 复数 (4) (1)--(3)均成立 答:(1) 11、命题“2就是偶数或-3就是负数”的否定就是( )。 答:2不就是偶数且-3不就是负数。 12、永真式的否定就是( ) (1) 永真式 (2) 永假式 (3) 可满足式 (4) (1)--(3)均有可能 数理逻辑部分 选择、填空及判断 ?下列语句不就是命题的( A )。 (A) 您打算考硕士研究生不？ (B) 太阳系以外的星球上有生物。 (C) 离散数学就是计算机系的一门必修课。 (D) 雪就是黑色的。 ?命题公式P→(P∨?P)的类型就是( A ) (A) 永真式(B) 矛盾式 (C) 非永真式的可满足式(D) 析取范式 ?A就是重言式,那么A的否定式就是( A ) A、矛盾式 B、重言式 C、可满足式 D、不能确定 ?以下命题公式中,为永假式的就是( C ) A、p→(p∨q∨r) B、(p→┐p)→┐p C、┐(q→q)∧p D、┐(q∨┐p)→(p∧┐p) ?命题公式P→Q的成假赋值就是( D ) A、 00,11 B、 00,01,11 C、10,11 D、 10 ?谓词公式) x xP∧ ?中,变元x就是 ( B ) R , ( x ) (y A、自由变元 B、既就是自由变元也就是约束变元 C、约束变元 D、既不就是自由变元也不就是约束变元 ?命题公式P→(Q∨?Q)的类型就是( A )。 (A) 永真式 (B) 矛盾式 (C) 非永真式的可满足式 (D) 析取范式 ?设B不含变元x,) x x→ ?等值于( A ) A ) ( (B A、B (D、B x xA→ x ?) ( ( ?C、B x∧ A ?) (B、) ?) xA→ x ) ( A x (B x∨ ?下列语句中就是真命题的就是( D )。 A.您就是杰克不？ B.凡石头都可练成金。 C.如果2+2=4,那么雪就是黑的。 D.如果1+2=4,那么雪就是黑的。 ?从集合分类的角度瞧,命题公式可分为( B ) A、永真式、矛盾式 B、永真式、可满足式、矛盾式 C、可满足式、矛盾式 D、永真式、可满足式 ?命题公式﹁p∨﹁q等价于( D )。 A、﹁p∨q B、﹁(p∨q) C、﹁p∧q D、 p→﹁q ?一个公式在等价意义下,下面写法唯一的就是( D )。 (A) 范式 (B) 析取范式 (C) 合取范式 (D) 主析取范式 ?下列含有命题p,q,r的公式中,就是主析取范式的就是( D )。 离散数学作业7 离散数学数理逻辑部分形成性考核书面作业 本课程形成性考核书面作业共3次，内容主要分别是集合论部分、图论部分、 数理逻辑部分的综合练习，基本上是按照考试的题型(除单项选择题外) 安排练习题目，目的是通过综合性书面作业，使同学自己检验学习成果，找出掌握的薄弱知识点，重点复习，争取尽快掌握。本次形考书面作业是第三次作业，大家要认真及时地完成数理逻辑部分的综合练习作业。 要求：将此作业用A4纸打印出来，手工书写答题，字迹工整，解答题要有解答过程，要求本学期第17周末前完成并上交任课教师(不收电子稿)。并在07任务界面下方点击“保存”和“交卷”按钮，以便教师评分。 一、填空题 1 .命题公式P (Q P)的真值是T或1 ______ . 2?设P:他生病了，Q:他出差了. R:我同意他不参加学习.则命题“如果他生病或出差了，我就同意他不参加学习”符号化的结果为(P V Q)-R 3. ____________________________________________________________ 含有三个命题变项P，Q，R的命题公式P Q的主析取范式是__________________ _(P Q R) (P Q R)_ 4. 设P(x): x是人，Q(x): x去上课，则命题“有人去上课.” 可符号化为— x(P(x) Q(x))_ 5. 设个体域D = {a, b},那么谓词公式xA(x) yB(y)消去量词后的等值式为 (A(a) A(b)) (B(a) B(b))_ 6 .设个体域D = {1,2, 3}，A(x)为“x大于3”，则谓词公式(x)A(x)的真值为F 或0 ________________ . 7.谓词命题公式(x)((A(x) B(x)) C(y))中的自由变元为 ________ . 8 .谓词命题公式(x)(P(x) Q(x) R(x，y))中的约束变元为x _______ . 三、公式翻译题 1 .请将语句“今天是天晴”翻译成命题公式 《离散数学》题库与答案 一、选择或填空 （数理逻辑部分） 1、下列哪些公式为永真蕴含式？( A ) (1)?Q=>Q→P (2)?Q=>P→Q (3)P=>P→Q (4)?P∧(P∨Q)=>?P 答：在第三章里面有公式（1）是附加律，（4）可以由第二章的蕴含等值式求出（注意与吸收律区别） 2、下列公式中哪些是永真式？( ) (1)(┐P∧Q)→(Q→?R) (2)P→(Q→Q) (3)(P∧Q)→P (4)P→(P∨Q) 答：（2），（3），（4）可用蕴含等值式证明 3、设有下列公式，请问哪几个是永真蕴涵式?( ) (1)P=>P∧Q (2) P∧Q=>P (3) P∧Q=>P∨Q (4)P∧(P→Q)=>Q (5) ?(P→Q)=>P (6) ?P∧(P∨Q)=>?P 答：（2）是第三章的化简律，（3）类似附加律，（4）是假言推理，（3），（5），（6）都可以用蕴含等值式来证明出是永真蕴含式 4、公式x((A(x)B(y，x))z C(y，z))D(x)中，自由变元是( )，约束变元是( )。 答：x,y, x,z（考察定义在公式x A和x A中，称x为指导变元，A为量词的辖域。在x A和x A的辖域中，x的所有出现都称为约束出现，即称x为约束变元，A中不是约束出现的其他变项则称为自由变元。于是A(x)、B(y，x)和z C(y，z)中y为自由变元，x和z为约束变元，在D(x)中x为自由变元） 5、判断下列语句是不是命题。若是，给出命题的真值。( ) (1)北京是中华人民共和国的首都。(2) 陕西师大是一座工厂。 (3) 你喜欢唱歌吗？(4) 若7+8＞18，则三角形有4条边。 (5) 前进！(6) 给我一杯水吧！ 答：（1）是，T （2）是，F （3）不是（4）是，T （5）不是（6）不是（命题必须满足是陈述句，不能是疑问句或者祈使句。） 6、命题“存在一些人是大学生”的否定是( )，而命题“所有的人都是要死的”的否定是( )。 答：所有人都不是大学生，有些人不会死（命题的否定就是把命题前提中的量词“换成存在，换成”，然后将命题的结论否定，“且变或或变且”） 7、设P：我生病，Q：我去学校，则下列命题可符号化为( )。 (1) 只有在生病时，我才不去学校(2) 若我生病，则我不去学校 (3) 当且仅当我生病时，我才不去学校(4) 若我不生病，则我一定去学校答：（1）P ?（注意“只有……才……”和“除非……就……”两者都是一个 Q→ 形式的）（2）Q P→ ? P? ?（4）Q P? →（3）Q 8、设个体域为整数集，则下列公式的意义是( )。 (1) x y(x+y=0) (2) y x(x+y=0) 答：（1）对任一整数x存在整数y满足x+y=0 （2）存在整数y对任一整数x满足x+y=0 9、设全体域D是正整数集合，确定下列命题的真值： (1) x y (xy=y) ( ) (2) x y(x+y=y) ( ) (3) x y(x+y=x) ( ) (4) x y(y=2x) ( ) 答：（1）F (反证法：假若存在，则（x- 1）*y=0 对所有的x都成立，显然这个与前提条件相矛盾) （2）F （同理）（3）F （同理）（4）T（对任一整数x存在整数y满足条件y=2x 很明显是正确的） 试卷二试题与参考答案 一、填空 1、 P:您努力,Q:您失败。 2、 “除非您努力,否则您将失败”符号化为 ; “虽然您努力了,但还就是失败了”符号化为 。 2、论域D={1,2},指定谓词P P (1,1) P (1,2) P (2,1) P (2,2) T T F F 则公式x ??真值为 。 3设A={2,3,4,5,6}上的二元关系}|,{是质数x y x y x R ∨<><=,则 R= (列举法)。 R 的关系矩阵M R = 。 4、设A={1,2,3},则A 上既不就是对称的又不就是反对称的关系 R= ;A 上既就是对称的又就是反对称的关系R= 。 5、设代数系统 二、选择 1、在下述公式中就是重言式为( ) A.)()(Q P Q P ∨→∧; B.))()(()(P Q Q P Q P →∧→??; C.Q Q P ∧→?)(; D.)(Q P P ∨→。 2、命题公式 )()(P Q Q P ∨?→→? 中极小项的个数为( ),成真赋值的个数为 ( )。 A.0; B.1; C.2; D.3 。 3、设}}2,1{},1{,{Φ=S ,则 S 2 有( )个元素。 A.3; B.6; C.7; D.8 。 4、设} 3 ,2 ,1 {=S ,定义S S ?上的等价关系 },,,, | ,,,{c b d a S S d c S S b a d c b a R +=+?>∈∈<><><<=则由 R 产 生的S S ?上一个划分共有( )个分块。 A.4; B.5; C.6; D.9 。 5、设} 3 ,2 ,1 {=S ,S 上关系R 的关系图为 则R 具有( )性质。 A.自反性、对称性、传递性; B.反自反性、反对称性; C.反自反性、反对称性、传递性; D.自反性 。 6、设 ο,+ 为普通加法与乘法,则( )>+<ο,,S 就是域。 A.},,3|{Q b a b a x x S ∈+== B.},,2|{Z b a n x x S ∈== C.},12|{Z n n x x S ∈+== D.}0|{≥∧∈=x Z x x S = N 。 7、下面偏序集( )能构成格。 离散数学试题及答案 Company number【1089WT-1898YT-1W8CB-9UUT-92108】 一、填空题 1设集合A,B，其中A＝{1,2,3},B={1,2},则A-B＝____________________; (A)-(B)＝__________________________. 2.设有限集合A,|A|=n,则|(A×A)|=__________________________. 3.设集合A={a,b},B={1,2},则从A到B的所有映射是 _______________________________________,其中双射的是 __________________________. 4.已知命题公式G＝(PQ)∧R，则G的主析取范式是 _______________________________ __________________________________________________________. 6设A、B为两个集合,A={1,2,4},B={3,4},则从AB＝ _________________________;AB＝_________________________;A－B＝_____________________. 7.设R是集合A上的等价关系，则R所具有的关系的三个特性是 ______________________,________________________,__________________ _____________. 8.设命题公式G＝(P(QR))，则使公式G为真的解释有 __________________________， _____________________________,__________________________. 9.设集合A＝{1,2,3,4},A上的关系 R 1={(1,4),(2,3),(3,2)},R 2 ={(2,1),(3,2),(4,3)},则 第二章命题逻辑 §2.2 主要解题方法 2.2.1 证明命题公式恒真或恒假 主要有如下方法： 方法一.真值表方法。即列出公式的真值表，若表中对应公式所在列的每一取值全为1，这说明该公式在它的所有解释下都是真，因此是恒真的；若表中对应公式所在列的每 一取值全为0，这说明该公式在它的所有解释下都为假，因此是恒假的。 真值表法比较烦琐，但只要认真仔细，不会出错。 例2.2.1 说明G= (P∧Q→R)∧(P→Q)→(P→R)是恒真、恒假还是可满足。 解：该公式的真值表如下： 表2.2.1 由于表2.2.1中对应公式G所在列的每一取值全为1，故 G恒真。 方法二.以基本等价式为基础，通过反复对一个公式的等价代换，使之最后转化为一个恒真式或恒假式，从而实现公式恒真或恒假的证明。 例2.2.2 说明G= ((P→R) ∨? R)→ (? (Q→P) ∧ P)是恒真、恒假还是可满足。 解：由(P→R) ∨? R=?P∨ R∨? R=1，以及 ? (Q→P) ∧ P= ?（?Q∨ P）∧ P = Q∧? P∧ P=0 知，((P→R) ∨? R)→ (? (Q→P) ∧ P)=0，故G恒假。 方法三.设命题公式G含n个原子，若求得G的主析取范式包含所有2n个极小项，则G是恒真的；若求得G的主合取范式包含所有2n个极大项，则G是恒假的。 方法四. 对任给要判定的命题公式G，设其中有原子P1，P2，…，P n，令P1取1值，求G的真值，或为1，或为0，或成为新公式G1且其中只有原子P2，…，P n，再令P1取0值，求G真值，如此继续，到最终只含0或1为止，若最终结果全为1，则公式G恒真，若最终结果全为0，则公式G 本科高等数学离散数学试题及答案 一、填空题 1设集合A,B，其中A＝{1,2,3}, B= {1,2}, 则A - B＝____________________; ρ(A) - ρ(B)＝__________________________ . 2. 设有限集合A, |A| = n, 则|ρ(A×A)| = __________________________. 3.设集合A = {a, b}, B = {1, 2}, 则从A到B的所有映射是__________________________ _____________, 其中双射的是__________________________. 4. 已知命题公式G＝?(P→Q)∧R，则G的主析取范式是_______________________________ __________________________________________________________. 5.设G是完全二叉树，G有7个点，其中4个叶点，则G的总度数为__________，分枝点数为________________. 6设A、B为两个集合, A= {1,2,4}, B = {3,4}, 则从A?B＝_________________________; A?B＝_________________________;A－B＝_____________________ . 7. 设R是集合A上的等价关系，则R所具有的关系的三个特性是______________________, ________________________, _______________________________. 8. 设命题公式G＝?(P→(Q∧R))，则使公式G为真的解释有__________________________，_____________________________, __________________________. 9. 设集合A＝{1,2,3,4}, A上的关系R1 = {(1,4),(2,3),(3,2)}, R1 = {(2,1),(3,2),(4,3)}, 则 R1?R2 = ________________________,R2?R1 =____________________________, R12 =________________________. 10. 设有限集A, B，|A| = m, |B| = n, 则| |ρ(A?B)| = _____________________________. 11设A,B,R是三个集合，其中R是实数集，A = {x | -1≤x≤1, x∈R}, B = {x | 0≤x < 2, x∈R},则A-B = __________________________ , B-A = __________________________ , A∩B = __________________________ , . 13.设集合A＝{2, 3, 4, 5, 6}，R是A上的整除，则R以集合形式(列举法)记为___________ _______________________________________________________. 14. 设一阶逻辑公式G = ?xP(x)→?xQ(x)，则G的前束范式是__________________________ _____. 15.设G是具有8个顶点的树，则G中增加_________条边才能把G变成完全图。 常熟理工学院20 ～20 学年第学期 《离散数学》考试试卷（试卷库01卷） 试题总分： 100 分考试时限：120 分钟 题号一二三四五总分阅卷人得分 一、单项选择题（每题2分，共20分） 1.下列表达式正确的有( ) （A）（B）（C）（D） 2.设P：2×2=5，Q：雪是黑的，R：2×4=8，S：太阳从东方升起，下列( )命题的真值为 真。 （A）（B）（C）（D） 3.集合A={1,2,…,10}上的关系R={ 1．n个命题变元组成的命题公式共有种不同的等价公式。 2．设〈L，≤〉为有界格，a为L中任意元素，如果存在元素b∈L,使，则称b是a 的补元。 3．设*，Δ是定义在集合A上的两个可交换二元运算，如果对于任意的x,y∈A,都有 ,则称运算*和运算Δ满足吸收律。 4．设T是一棵树，则T是一个连通且的图。 5．一个公式的等价式称作该公式的主合取范式是指它仅由组成。 6．量词否定等价式? ("x)P(x) ?，? ($x)P(x) ?。 7．二叉树有5个度为2的结点，则它的叶子结点数为。 8．设 作业参考答案——10-特殊图 1.(a)(c)(d)是欧拉图，(a)(b)(c)(d)(e)可以一笔画，(a)(b)(c)(d)(e)(f)(g)是 哈密顿图。 2.根据给定条件建立一个无向图G= 数至少为2，而V2中的每个结点度数至多为2，从而它满足t条件t=1，因此存在从V1到V2的匹配，故可分配。 5.此平面图具有五个面，如下图所示。 a b c d e f g r1r2 r3 r4 r5 ?r1，边界为abca，D(r1)=3; ?r2，边界为acga，D(r2)=3; ?r3，边界为cegc，D(r3)=3; ?r4，边界为cdec，D(r4)=3; ?r5，边界为abcdefega，D(r5)=8;无限面 6.设该连通简单平面图的面数为r，由欧拉公式可得，6?12+r=2，所以 r=8，其8个面分别设为r1,r2,r3,r4,r5,r6,r7,r8。因是简单图，故每个面至少由3条边围成。只要有一个面是由多于3条边所围成的，那就有所有面的次数之和 8∑ i=1 D(r i)>3×8=24。但是，已知所有面的次数之和等于边数的两倍，即2×12=24。因此每个面只能由3条边围成。 2 《离散数学》期末复习题 一、填空题（每空2分，共20分） 1、集合A上的偏序关系的三个性质是、 和。 2、一个集合的幂集是指。 3、集合A={b,c}，B={a,b,c,d,e}，则A?B= 。 4、集合A={1,2,3,4}，B={1,3,5,7,9}，则A?B= 。 5、若A是2元集合, 则2A有个元素。 6、集合A={1,2,3｝，A上的二元运算定义为：a* b = a和b两者的最大值，则 2*3= 。 7、设A={a, b,c,d }, 则∣A∣= 。 8、对实数的普通加法和乘法，是加法的幂等元， 是乘法的幂等元。 9、设a,b,c是阿贝尔群 19、代数系统是指由及其上的或 组成的系统。 20、设 离散数学试题及答案 一、填空题 1设集合A,B，其中A＝{1,2,3}, B= {1,2}, 则A - B＝____________________; ρ(A) - ρ(B)＝__________________________ . 2. 设有限集合A, |A| = n, 则|ρ(A×A)| = __________________________. 3.设集合A = {a, b}, B = {1, 2}, 则从A到B的所有映射是__________________________ _____________, 其中双射的是__________________________. 4. 已知命题公式G＝?(P→Q)∧R，则G的主析取范式是_______________________________ __________________________________________________________. 5.设G是完全二叉树，G有7个点，其中4个叶点，则G的总度数为__________，分枝点数为________________. 6设A、B为两个集合, A= {1,2,4}, B = {3,4}, 则从A?B＝_________________________; A?B ＝_________________________;A－B＝_____________________ . 7. 设R是集合A上的等价关系，则R所具有的关系的三个特性是______________________, ________________________, _______________________________. 8. 设命题公式G＝?(P→(Q∧R))，则使公式G为真的解释有__________________________， _____________________________, __________________________. 9. 设集合A＝{1,2,3,4}, A上的关系R1 = {(1,4),(2,3),(3,2)}, R1 = {(2,1),(3,2),(4,3)}, 则 R1?R2 = ________________________,R2?R1 =____________________________, R12 =________________________. 10. 设有限集A, B，|A| = m, |B| = n, 则| |ρ(A?B)| = _____________________________. 11设A,B,R是三个集合，其中R是实数集，A = {x | -1≤x≤1, x∈R}, B = {x | 0≤x < 2, x∈R},则A-B = __________________________ , B-A = __________________________ , A∩B = __________________________ , . 13.设集合A＝{2, 3, 4, 5, 6}，R是A上的整除，则R以集合形式(列举法)记为___________ _______________________________________________________. 14. 设一阶逻辑公式G = ?xP(x)→?xQ(x)，则G的前束范式是__________________________ _____. 15.设G是具有8个顶点的树，则G中增加_________条边才能把G变成完全图。 第一章 1.假定A是ECNU二年级的学生集合，B是ECNU必须学离散数学的学生的集合。请用A 和B表示ECNU不必学习离散数学的二年级的学生的集合。 2.试求： (1)P(φ) (2)P(P(φ)) (3)P(P(P(φ))) 3.在1~200的正整数中，能被3或5整除，但不能被15整除的正整数共有多少个？ 能被5整除的有40个， 能被15整除的有13个， ∴能被3或5整除，但不能被15整除的正整数共有 66-13+40-13=80个。 第三章 1.下列语句是命题吗？ (1)2是正数吗？ (2)x2+x+1=0。 (3)我要上学。 (4)明年2月1日下雨。 (5)如果股票涨了，那么我就赚钱。 2.请用自然语言表达命题(p?→r)∨(q?→r)，其中p、q、r为如下命题： p：你得流感了 q：你错过了最后的考试 3.通过真值表求p→(p∧(q→p))的主析取范式和主合取范式。 4.给出p→(q→s),q,p∨?r?r→s的形式证明。 第四章 1.将?x(C(x)∨?y(C(y)∧F(x,y)))翻译成汉语，其中C(x)表示x有电脑，F(x,y) 表示x和y是同 班同学，个体域是学校全体学生的集合。 解： 学校的全体学生要么自己有电脑，要么其同班同学有电脑。 2.构造?x(P(x)∨Q(x)),?x(Q(x)→?R(x)),?xR(x)??xP(x)的形式证明。 解： ①?xR(x) 前提引入 ②R(e) ①US规则 ③?x(Q(x)→?R(x)) 前提引入 ④Q(e) →?R(e) ③US规则 ⑤?Q (e) ②④析取三段论 ⑥?x(P(x)∨Q(x)) 前提引入 ⑦P(e) ∨Q(e) ⑥US规则 ⑧P(e) ⑤⑦析取三段论 ⑨?x (P(x)) ⑧EG规则 第五章 《离散数学》题库答案 一、选择或填空 （数理逻辑部分） 1、下列哪些公式为永真蕴含式？( ) (1)?Q=>Q →P (2)?Q=>P →Q (3)P=>P →Q (4)?P ∧(P ∨Q)=>?P 答：（1），（4） 2、下列公式中哪些是永真式？( ) (1)(┐P ∧Q)→(Q →?R) (2)P →(Q →Q) (3)(P ∧Q)→P (4)P →(P ∨Q) 答：（2），（3），（4） 3、设有下列公式，请问哪几个是永真蕴涵式?( ) (1)P=>P ∧Q (2) P ∧Q=>P (3) P ∧Q=>P ∨Q (4)P ∧(P →Q)=>Q (5) ?(P →Q)=>P (6) ?P ∧(P ∨Q)=>?P 答：（2），（3），（4），（5），（6） 4、公式 x((A(x) B(y ，x)) z C(y ，z))D(x)中，自由变元是( )，约束变元是( )。 答：x,y, x,z 5、判断下列语句是不是命题。若是，给出命题的真值。( ) (1) 北京是中华人民共和国的首都。 (2) 陕西师大是一座工厂。 (3) 你喜欢唱歌吗？ (4) 若7+8＞18，则三角形有4条边。 (5) 前进！ (6) 给我一杯水吧！ 答：（1） 是，T （2） 是，F （3） 不是 （4） 是，T （5） 不是 （6） 不是 6、命题“存在一些人是大学生”的否定是( )，而命题“所有的人都是要死的”的否定是( )。 答：所有人都不是大学生，有些人不会死 7、设P ：我生病，Q ：我去学校，则下列命题可符号化为( )。 (1) 只有在生病时，我才不去学校 (2) 若我生病，则我不去学校 (3) 当且仅当我生病时，我才不去学校(4) 若我不生病，则我一定去学校 答：（1） P Q →? （2） Q P ?→ （3） Q P ?? （4）Q P →? 8、设个体域为整数集，则下列公式的意义是( )。 (1) x y(x+y=0) (2) y x(x+y=0) 答：（1）对任一整数x 存在整数 y 满足x+y=0（2）存在整数y 对任一整数x 满足x+y=0 9、设全体域D 是正整数集合，确定下列命题的真值： (1) x y (xy=y) ( ) (2) x y(x+y=y) ( ) (3) x y(x+y=x) ( ) (4) x y(y=2x) ( ) 答：（1） F （2） F （3）F （4）T 10、设谓词P(x)：x 是奇数，Q(x)：x 是偶数，谓词公式 x(P(x)Q(x))在哪个个体域中为真?( ) (1) 自然数 (2) 实数 (3) 复数 (4) (1)--(3)均成立 答：（1） 11、命题“2是偶数或-3是负数”的否定是（ ）。 答：2不是偶数且-3不是负数。 12、永真式的否定是（ ） (1) 永真式 (2) 永假式 (3) 可满足式 (4) (1)--(3)均有可能 答：（2） 13、公式(?P ∧Q)∨(?P ∧?Q)化简为（ ），公式 Q →(P ∨(P ∧Q))可化简为（ ）。 答：?P ，Q →P 离散数学练习题 第一章 一．填空 1.公式) ∨ ? ∧的成真赋值为 01；10 ? p∧ ( (q ) p q 2.设p, r为真命题，q, s 为假命题，则复合命题) ? ? →的真值为 0 p→ ( q (s ) r 3.公式) ∨ ? p∧ q ?与共同的成真赋值为 01；10 ? ∧ p ( ) ) (q q p ( 4.设A为任意的公式，B为重言式，则B A∨的类型为重言式 5．设p, q均为命题，在不能同时为真条件下，p与q的排斥也可以写成p与q的相容或。 二．将下列命题符合化 1. 7不是无理数是不对的。 解：) ? ?，其中p: 7是无理数；或p，其中p: 7是无理数。 (p 2.小刘既不怕吃苦，又很爱钻研。 解：其中 ?p: 小刘怕吃苦，q：小刘很爱钻研 p∧ ,q 3.只有不怕困难，才能战胜困难。 解：p →，其中p: 怕困难，q: 战胜困难 q? 或q →，其中p: 怕困难， q: 战胜困难 p? 4.只要别人有困难，老王就帮助别人，除非困难解决了。 解：) → ?，其中p: 别人有困难，q:老王帮助别人，r: 困难解决了 p (q r→ 或：q ?) (，其中p:别人有困难，q: 老王帮助别人，r: 困难解决了r→ ∧ p 5.整数n是整数当且仅当n能被2整除。 解：q p?，其中p: 整数n是偶数，q: 整数n能被2整除 三、求复合命题的真值 P：2能整除5， q：旧金山是美国的首都， r：在中国一年分四季 1. )) p∧ → q ∨ r → ∧ ((q r ( ) ( ) p 2.r ?) → (( → (( ∨ ) ( )) p r p ∨ p q ? ∧ ? q∧ 解：p, q 为假命题，r为真命题 1.)) p∧ → q ∨的真值为0 r → ∧ ( ) ( ) ((q p r 国开放大学离散数学本离 散数学作业答案 The pony was revised in January 2021 离散数学集合论部分形成性考核书面作业 本课程形成性考核书面作业共3次，内容主要分别是集合论部分、图论部分、数理逻辑部分的综合练习，基本上是按照考试的题型（除单项选择题外）安排练习题目，目的是通过综合性书面作业，使同学自己检验学习成果，找出掌握的薄弱知识点，重点复习，争取尽快掌握．本次形考书面作业是第一次作业，大家要认真及时地完成集合论部分的综合练习作业． 要求：学生提交作业有以下三种方式可供选择： 1. 可将此次作业用A4纸打印出来，手工书写答题，字迹工整，解答题要有解答过程，完成作业后交给辅导教师批阅． 2. 在线提交word文档 3. 自备答题纸张，将答题过程手工书写，并拍照上传． 一、填空题 1．设集合{1,2,3},{1,2} ==，则P(A)-P(B )= {{1,2}，{2,3}，{1,3}， A B {1,2,3}} ，A B= {< 1,1>，<1,2>，<2，1>，<2，2>，<3，1>，<3， 2> } ． 2．设集合A有10个元素，那么A的幂集合P(A)的元素个数为 1024 ． 3．设集合A={0, 1, 2, 3}，B={2, 3, 4, 5}，R是A到B的二元关系， 则R的有序对集合为 {< 2,2>，<2,3>，<>，<> } ．4．设集合A={1, 2, 3, 4 }，B={6, 8, 12}，A到B的二元关系 R＝} y x y x∈ ∈ < > = A , , 2 , y {B x 那么R－1＝ {< 6，3>，<8，4> } ． 5．设集合A=｛a, b, c, d｝，A上的二元关系R={离散数学作业答案
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