《实变函数》第四章 可测函数
第四章 可测函数（总授课时数 14学时）
由于建立积分的需要，我们还必须引进一类重要的函数——Lebesgue 可测函数，并讨 论其性质和结构.
§1 可测函数及其性质
教学目的 本节将给出可测函数的定义并讨论其基本性质
教学要点 可测函数有若干等价的定义. 它是一类范围广泛的函数, 并且有很好
的运算封闭性. 可测函数可以用简单函数逼近, 这是可测函数的构造性特征.
本节难点 可测函数与简单函数的关系. 授课时数 4学时
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1可测函数定义
定义：设()f x 是可测集E 上的实函数(可取±∞)，若[],f a a R E >?∈可测，则称()f x 是E 上的可测函数.
2可测函数的性质
性质1 零集上的任何函数都是可测函数。
注：称外测度为0的集合为零集；零集的子集，有限并，可数并仍为零集 性质2 简单函数是可测函数
若1n
i i E E ==? (i E 可测且两两不交），()f x 在每个i E 上取常值i c ，则称()f x 是E 上的
简单函数；
1()()i n
i E i f x c x χ==∑ 其中1()0i i
E i x E x x E E χ∈?=?∈-?
注：Dirichlet 函数是简单函数
性质3 可测集E 上的连续函数()f x 必为可测函数 设()f x 为E 上有限实函数，称()f x 在0x E ∈处连续
00(,)((),)0,0,()x f x f O E O δεεδ?>?>??若使得
对比：设()f x 为(),a b 上有限实函数，0()(,)f x x a b ∈在处连续
0lim ()()x x f x f x →=若
000,0,|||()()|x x f x f x εδδε?>?>-<-<即当时，有 00(,)((),)0,0,()x f x x O f x O δεεδ?>?>∈∈即当时，有 00(,)((),)0,0,()x f x f O O δεεδ?>?>?即使得
()f x 在0[,]x a b ∈处连续(对闭区间端点则用左或右连续)
证明：任取[]x E f a ∈>, 则()f x a >,由连续性假设知， 对(),0,x f x a εδ=-?>使得
(,)((),)()(,)x x f x f O E O a δε???+∞
即(,)[]x x f a O E E δ>??.令[]
(,)x f a x x E G O δ>∈=?则G 为开集，当然为可测集，
且另外
[]
[]
(,)(,)[]()()x x f a f a x x f a x E x E G E O E O E E δδ>>>∈∈?=??=???
所以
[]
[](,)()x f a f a x x E E O E G E δ>>∈???=?，
故[]f a E G E >=?为可测集
性质4 R 中的可测子集E 上的单调函数()f x 必为可测函数。
证明：不妨设f 单调增，对任意a R ∈令inf{|()}a I x f x a =>. 由f 单调增知下面的集合为可测集
[][,){|()}
(,){|()}
a a f a a a E I I x f x a E E I I x f x a >?+∞∈>?=?
?+∞?>?当当
⒊可测函数的等价描述
⒈定义：设()f x 是可测集E 上的实函数，则()f x 在E 上可测
（即（1）[],f a a R E >?∈可测）
[](2),f a a R E ≥??∈可测 [](3),f a a R E
[](5),,,a f b a b R a b E ≤
证明：利用（1）与（4），（2）与（3）互为余集，以及
[]11[]
f a n f a n
E E
∞
>=≥+=?， [][][]1
()f a a f a n f n E E E ∞
≥≤<+=+∞==??，
[]11
[]f a n f a n
E E
∞
≥=>-=?， [][][]a f b f a f b E E E ≤<≥<=?
对前面等式的说明
[]1
1
1
1
[]
[]
()f a n n f a f a n
n
E E
E
∞
∞
≥==>-≥-=?=?，
1111
[,)(,)([,))n n a a a n n ∞
∞==+∞=?-+∞=?-+∞
1111
(,)[,)((,))n n a a a n n
∞∞==+∞=?++∞=?++∞，
[]1
1
1
1
[]
[]
()f a n n f a f a n
n
E E
E
∞
∞
>==≥+>+=?=?
⒋ 可测函数的性质
⑴ 可测函数关于子集、并集的性质
若()f x 是E 上的可测函数, 11,E E E ?可测，则()f x 限制在1E 上也是可测函数； 反之，若1n n E E ∞
==? , ()f x 限制在n E 上是可测函数，则()f x 在E 上也是可测函数。
1[][]1[][]1
f a f a f a n f a n E E E E E ∞
>>>>==?=?
注：在一零测度集上改变函数的取值不影响函数的可测性
即： 设()()f x g x = ..a e （almost everywhere ）于E ，()f x 在E 上可测，
则()g x 在E 上也可测
若[]()
0f g m E ≠=,则称()()f x g x =在E 上几乎处处成立,记作()()f x g x = ..a e 于E .
证明：令[][]12,f g f g E E E E ≠===，则10mE =，从而()g x 在1E 上可测，
另外()f x 在2E 上可测，从而()g x 在2E 上也可测 ，进一步()g x 在12E E E =U 上也可测.
注：用到了可测函数关于子集、并集的性质 ⑵ 可测函数类关于四则运算封闭
若(),()f x g x 是E 上的可测函数,则()(),f x g x +()(),f x g x -()(),f x g x ?
()/()f x g x 仍为E 上的可测函数.
证明：只要证[][],f g a f a g a R E E +>>-?∈=可测，任取[]f a g x E >-∈，则()()f x a g x >- 从而
,r Q ?∈使()(),f x r a g x >>-即[][]()f r g a r r Q
x E E >>-∈∈??
从而
[][][]()f a g f r g a r r Q
E E E >->>-∈???，
反之
[][][]()f r g a r f a g r Q
E E E >>->-∈???
也成立，从而[][][]()f a g f r g a r r Q
E E E >->>-∈=??可测
类似可证：设()(),f x g x 是E 上可测函数，则[]f g E >为可测集. 若()(),f x g x 是E 上的可测函数,则()()f x g x ?仍为E 上的可测函数. 证明：首先()2
f
x 在E 上可测，因为对任意a R ∈
2[]
[[0
f a f f E
a E E E a >
再利用()()()()()()()()2214f x g x f x g x f x g x ?
?=
+--?
?即可 作业：若()(),f x g x 是E 上的可测函数,则()()f x g x -, ()()/f x g x 为E 上的可测函数
⑶可测函数类关于确界运算和极限运算封闭.
若()n f x 是E 上的可测函数,则下列函数仍为E 上的可测函数.
()sup{()}
()inf{()}n n x f x x f x λμ==
limsup ()inf sup{()}n m n
n m n
f x f x →∞
≥= liminf ()supinf{()}n m n m n
n
f x f x →∞
≥=
[][]
[][]1
1
n n a f a a f a n n E E E E λμ∞
∞
≤≤≥≥===?=?
推论：可测函数列的极限函数仍为可测函数（连续函数列的极限函数不一定为连续函
数）。
对上式的说明：
()inf{()}n x f x μ=，[][]1
n a f a n E E μ∞
≥≥==?
比较：
[]1
11
1
[]
[]f a n n f a f a n
n
E E
E
∞
∞
≥==>-≥-=?=? 例：1R 上的可微函数()f x 的导函数()'f x 是可测函数 证明：由于
1
()()
()()'()lim lim 1x o n f x f x f x x f x n f x x
n
?→→+∞+-+?-==? 从而()'f x 是一列连续函数（当然是可测函数）的极限，故()'f x 是可测函数.利用了可测函数列的极限函数仍为可测函数.
例 设{}n f 是可测函数列，则它的收敛点全体和发散点全体是可测集.
证明：发散点全体为[lim lim ]n n n n E f f →∞
→∞
≠；收敛点全体为[lim lim ]n n n n E f f →∞
→∞
=再利用
lim n n f →∞
和lim n n f →∞
是可测函数即可
注意：函数列收敛与函数列收敛于f 之间的不同
⒌ 可测函数与简单函数的关系
可测函数()f x 总可表示成一列简单函数的极限
若()f x 是E 上的可测函数,则()f x 总可表示成一列简单函数{()}n x ?的极限
()lim ()n n f x x ?→∞
=，而且还可办到12|()||()|x x ??≤≤L
122[]0,1,2,,21
2[]
()n k k n
n n
k
f k n n f n x E x n x E ?+≤<=?-≥∈??=?
∈??L
注：当()f x 是有界函数时，上述收敛可做到一致收敛
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作业：P98 3, 4, 6
练习题
1 任何点集E 上的常值函数(),f x c x E =∈是可测函数，对吗？
2 已知“若()f x 在E 上可测，则1
,[]a R E f a ?∈=可测”，反之，若1
,[]a R E f a ?∈=可
测，能断定()f x 在E 上可测吗？
3 从函数2
()f x 或()f x 可测能否推出()f x 在E 上可测？ 4 由()()f x g x ±可否推出()f x 、()g x 都可测？ 5 能否断定“零集上任何函数均可测”？
§2 叶果洛夫定理
教学目的 1、深刻理解“几乎处处收敛”，“近一致收敛”（由叶果洛夫定理结论引出）
等概念，弄清它们之间的区别与联系.
2、理解叶果洛夫定理，了解定理的证明.
教学要点“几乎处处收敛”，“近一致收敛”的概念及叶果洛夫定理的内容. 本节难点 叶果洛夫定理的证明. 授课时数 3学时
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在数学分析中，我们已经知道，即使函数列在每一点收敛，也不能保证一致收敛，因此，对可能在某个零测度集上不收敛的函数列而言，更谈不上一致收敛.
例：函数列(),1,2,n n f x x n ==L 在(0,1)上处处收敛到()0f x =,但不一致收敛，究其原因是自变量越靠近0 越收敛速度慢，只有更慢没有最慢，从而不可能一致收敛。但去掉一小测度集合()1,1δ-,在留下的集合上一致收敛。著名的俄国数学家叶果落夫（ЕгОРОВ）任何可测函数都有类似结果，即有下述定理成立.
引理：设mE <+∞，n f ，f 在E 上几乎处处有限且可测，若..n f f a e →于E ，则
0,ε?> 有[||]lim ()0n f f N n N
m E ε∞
-≥→∞
=?=
证明：由于*
[||][||]1
()n f f n E E E ∞
=+∞=+∞==??为零测度集，故不妨令,n f f 在E 上处处有限，
从而有：
1
[][||]
11..0()0n n k n f f f
f k N n N
f f a e E mE m E ∞∞∞
→-≥===→?=????=于
1[||]11
()0
()n k
f
f N n N
m E k
∞∞
-
≥==???=? [||]1()0
()n f f N n N
m E εε∞∞
-≥==???=?
从而当mE <+∞时，0ε?>有
[||][||][||]1lim ()(lim )()0n n n f f f f f f N n N
N n N
N n N
m E m E m E εεε∞∞∞∞
-≥-≥-≥→∞
=→∞
===?=?=??=（）
定理1 (ЕгОРОВ) 设mE <+∞，,n f f 在E 上几乎处处有限且可测，若..n f f a e →于
E ，则..n f f a u →于E （即：可测函数列的收敛 “基本上”是一致收敛）
..n f f a e →于E ，即 []0n f f mE →= 即：去掉某个零测度集，在留下的集合上处处
收敛
..n f f a u E →于即：去掉某个小（任意小）测度集，在留下的集合上一致收敛
证明：由引理知0ε?>有[||]lim ()0n f f N n N
m E ε∞
-≥→∞
=?=，从而有
10,0,0,k N k δδ?>?>?> 1[||]()2
n k k k f f n N m E δδ∞-≥=?<
令1[||]1()n k
k
f
f k n N e E δ∞∞
-
≥===??，则e 可测，e E ?，
1[||]
1
1
()2
n
k
k
k
f
f k n N k me m E δδ
δ∞∞
∞
-≥===≤∑?<∑=
而
1
[||]
1()n k
c
f f k n N k
E E e E e E
δ
δ∞∞
-<===-=?=I I
故1k k N n N x E k
δδδ???≥?∈，，，，有
1|()()|n f x f x k
-<
即{()}n f x 在E δ上一致收敛到()f x
注：叶果洛夫定理的逆定理成立，无论mE <+∞或mE =+∞，即：若..n f f a u →于E ，
则..n f f a e →于E 证明：由条件知1
n
?
,存在可测集n E E ?，使 1
()n m E E n
-<，
且()n f x 在n E 上一致收敛于()f x ，
当然()n f x 在n E 上点点收敛于()f x ，令1n n E E ∞
='=?，则
1
()()0()n m E E m E E n n
'-≤-<
→→∞， 从而
()0m E E '-=
另外显然()n f x 在1n n E E ∞
='=?上点点收敛于()f x
所以()n f x 在E 上..a e 收敛于()f x .
注: 叶果洛夫定理中条件mE <+∞不可少. 例 1(0,]
()0(,)
n x n f x x n ∈?=?
∈+∞?在R +上处处收敛于()f x =1 ,但()n f x 不几乎一致收敛于
()f x 于R +.
几乎一致收敛:去掉某个小（任意小）测度集，在留下的集合上一致收敛
0,δ?>?可测子集,,0,0,e E me N εδδε??>,,n N x E e εδ?≥?∈-
有
|()()|n f x f x ε-<
不几乎一致收敛：去掉任意小（适当小）测度集，在留下的集合上任不一致收敛
0,δ?>任意可测子集,,0,0,e E me N δε??>,,n N x E e ?≥?∈-
有
|()()|n f x f x ε-≥
1,2δ?=
任意可测子集1
,,,0,2
e R me N δε+?,n N N ?=≥ ()(,1),x R e n n +?∈-?+使得
|()()|1n f x f x ε-=≥
注：叶果洛夫定理中的结论me δ<不能加强到0me =.
设()(),0,1n n f x x x =∈,则()n f x 处处收敛于f(x)=0，但()n f x 不一致收敛于()f x ，即使去掉任意一零测度集，在留下的集合上()n f x 仍不一致收敛于()f x .
说明：去掉任意一个零测度集e ，留下的集合()0,1e -仍然以1为聚点从而可找到E e -中一点列{}n x , 使得()n
n x 收敛到1，故：1
,0,,,2
n N n N N x E e ε?=
?>?=≥?∈-有|()()|()n n n n f x f x x ε-=≥
从而E e -上()n f x 不一致收敛于()f x .
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作业：P99 7
练习题
1 叶果洛夫定理的条件“mE <+∞”是否可以取消？
2 叶果洛夫定理的结论能否改为“,0e E me ??=，使()n f x 在E e -上一致收敛于
()f x ”？
3 叶果洛夫定理的逆定理是否成立？
§3 可测函数的构造
教学目的 本节将考察欧氏空间上的可测函数和连续函数关系. 本节将证明重要的Lusin 定理, 它表明Lebesgue 可测函数可以用性质较好连续函数逼近.这个结果在有些情况下是很有用的.
本节要点 一方面, L 可测集上的连续函数是可测的, 另一方面, Lusin 定理表明，
Lebesgue 可测函数可以用连续函数逼近. Lusin 定理有两个等价形式. 另外, 作为准 备定理Tietze 扩张定理本身也是一个很有用的结果.
本节难点 Lusin 定理的证明. 授课时数 3学时
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可测集E 上的连续函数定为可测函数，但可测函数不一定连续.
本节讨论可测函数和连续函数之间的关系，从而揭示可测函数的结构.
我们已经知道可测函数Dirichlit 函数在[0,1]上处处间断，这是否意味着这样的函数与连续不沾边呢？否！事实上，它是在充分接近于定义域的范围内相对连续的。这就是著名的鲁津（лузин）定理
鲁津（лузин）定理：设()f x 为E 上几乎处处有限的可测函数，则
0,ε?>?闭集F E ?使得()m E F ε-<且()f x 在F 上连续.（去掉一小测度集，在留
下的集合上成为连续函数）
即：可测函数“基本上”是连续函数.
证明：由于[]||0mE f =+∞= ，故不妨令()f x 为有限函数 (1) 当()f x 为简单函数时， 令
1
()()i n
i E i f x c x χ==∑ （其中1
,n
i i i E E E ==?可测且两两不交）
0,ε?>对每个i E ，作i E 中的闭子集i F ，使
()(1,2,,)i i m E F i n n
ε
-<
=L
当i x E ∈时，()i f x c =，所以()f x 在i F 上连续， 而i F 为两两不交闭集，故()f x 在1n
i i F F ==? 上连续
显然F 为闭集，且有
1
1
()()n n
i i i i m E F m E F n
ε
ε==-≤-<=∑∑
(2)当()f x 为有界可测函数时，
存在简单函数列{}()n x ? 在E 上一致收敛于()f x ，利用(1)的结果知
0,ε?>及每个(n x ?)，存在闭集n F E ?，使
()2
n n
m E F ε
-<
且()n x ?在n F 上连续. 令1n n F F ∞
==?，则F E ?且
1
1()()2
n n n n m E F m E F ε
ε∞∞
==-≤-<=∑∑
由{}()n x ?在F 连续及一致收敛于()f x ，易知()f x 在闭集F 上连续. (3)当()f x 为一般可测函数时，作变换
()()
()(())1|()|
1|()|
f x
g x g x f x f x g x =
=
+-
则()g x 为有界可测函数，应用(2)即得我们的结果.
（连续函数类关于四则运算封闭） 注：对()f x 在F 连续的说明：
若()f x 在i F 上连续，而i F 为两两不交闭集，则()f x 在1n
i i F F ==?上连续
证明：任取1
n
i i x F F =∈=?则存在0i ，使得0i x F ∈，0()i f x c =，
又i F 为两两不交闭集，从而x 在开集0
()c i i i F ≠?中
所以存在0δ?>, 使得
(,)()c i i i O x F δ≠??
从而
01
(,)(,)()(,)n
i i i O x F O x F O x F δδδ=?=??=?
故对任意(,)x O x F δ∈I ，有|(')()|0f x f x -=，故f 连续 条件i F 为两两不交闭集必不可少，如：
1()0x Q
D x x R Q ∈?=?
∈-?
函数在每一块上为常值，故在每一块上都连续，但函数在R 上处处不连续.
说明：取闭集的原因在于闭集的余集为开集，开集中的点为内点，从而可取i x F ∈足够小的邻域不含其他i F 中的点.
注 鲁津定理推论：若()f x 为E R ?上几乎处处有限的可测函数，则
0,F E ε?>??闭集， 及R 上的连续函数()g x 使得在F 上()()g x f x =且
()m E F ε-<（对n 维空间也成立）
（在某个小测度集上改变取值并补充定义变成连续函数）
鲁津定理（限制定义域）（即：去掉某个小测度集，在留下的集合上连续）
鲁津定理的第二形式：若()f x 在E 上的几乎处处有限的可测函数，则对0δ?>，存在闭
集F E ?及整个直线上的连续函数()g x （F 及()g x 依赖于δ）使在F 上()()g x f x =，
且()m E F δ-<
证明略
其实，以上两定理结果也是可测函数的本质特征，即具有上述结果的函数一定是可测函数，证明留作习题。
可测函数在一个充分接近定义域的闭集上连续这一本质特征明示我们： 尽管可测函数的范围比连续函数的范围广得多，但通过牛顿——莱布尼兹公式计算积分仍为主渠道。
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作业：P99 8
练习题
1 鲁津定理结论中的δ能否取为0，即结论是否能表述为：“?闭集F E ?，使
()0m E F -=，且f 在F 上连续.”？
2 当mE =+∞时鲁津定理是否依然成立？
3 鲁津定理的逆定理是否成立？ 鲁津定理能否改为：“f 为E 上几乎处处有限的可测函数，则0δ?>，存在闭集F E ?，使()m E F δ-<，且f 在F 上可表为多项式”？ 4试作[0,1]E =上的可测函数()f x ，使对任何连续函数()g x 都有[]0mE f g ≠≠，此结果与鲁津定理有无矛盾？
§4 依测度收敛
教学目的 可测函数列可以定义各种收敛性. 本节讨论几乎处处收敛,依测度收敛和几乎
一致收敛. 几种收敛性之间存在一些蕴涵关系. 通过本节的学习, 可以使学生对可测函数列的几种收敛性和相互关系有一个较全面的了解.
教学要点 本节引进的几种收敛是伴随测度的建立而产生的新的收敛性.特别是依测度收
敛是一种全新的收敛, 与熟知的处处收敛有很大的差异. Egorov 定理和Riesz 定理等揭示了这几种收敛之间的关系. Riesz 定理在几乎处处收敛和较难处理的依测度收敛之间架起了一座桥梁.
本节难点依测度收敛的概念及各种收敛之间的关系. 授课时数 4学时
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改造积分定义的目的一是为了扩展可积范围，二是为了使得操作更方便。对(R )积分而言，积分与极限交换顺序需要验证一个较为苛刻的条件：“()n f x 在E 上一致收敛于
()f x ”，将“一致收敛”削弱为“处处收敛”甚至“几乎处处收敛”是一种思路，在此介
绍另一种削弱“一致收敛”条件的方法。
从集合论的角度讲：“()n f x 在E 上一致收敛于()f x ”是指0σ?>，00N ?>，当
0n N >时，[]|()()|n E f x f x σ-≥=?，之所以我们认为“一致收敛”条件苛刻，就在于
它要求[]|()()|n E f x f x σ-≥从某项以后永远为空集。能否改成允许不空，甚至允许为正测度集，但必须满足
[]|()()|0()n mE f x f x n σ-≥→→∞
呢？ 这就导致了一个新的收敛概念的产生.
一、依测度收敛
1定义：{()}n f x 是q E R ?上的一列..a e 有限的可测函数.若有E 上..a e 有限的可测函数()f x 满足下列关系：
对0,σ?>有[||]lim 0n f f n mE σ-≥→∞
=，则称函数列{()}n f x 依测度收敛于()f x .度量收敛到
()f x ，记为：n f f ?.
()N ε-语言：,0,(,)0,N εσεσ?>?>当(,)n N εσ≥时，[||]n f f mE σε-≥<.
2．测度收敛的性质（唯一性和四则运算）
定理1 令mE <+∞，n f f ?于E ， n g g ?于E ，则 (1) 若又有n f h ?于E , 则()()f x h x = a.e.于E .
(2)n n f g f g +?+于E (3)n n f g f g ???于E (4)||||n f f ?于E
注：(1),(2),(4)当mE =+∞时,也成立；条件mE <+∞对(3)来说不可少. 3．依测度收敛与几乎处处收敛的关系
依测度收敛与处处收敛或几乎处处收敛的概念是有很大区别的. 例1依测度收敛，但处处不收敛的函数列.
12(
,]22()()()k k k
n i i i f x f x x χ
++==处处不收敛
但子列121(0,
]
2()()()k k k
n f x f x x χ
+==
处处收敛于()0,f x =
例2 不依测度测度收敛但收敛的函数列：
1(0,]
()0(,)n x n f x x n ∈?=?
∈+∞?
1,2,3n =L 尽管两种收敛区别很大，一种收敛不能包含另一种收敛，但下面定理反映出他们还是有
密切联系的.
定理2（Riesz ）若n f f E ?于,则必有{}n f 的子列{}k n f ，使得..k n f f a e →于E 证明：由n f f ?于,E 可知,0,,k k k N n N ??>?≥ 11
[||]
212n k
k f f mE
+-≥
<
从而可取得12k n n n <<< [||] 21(1,2,3,)2n k k k f f mE k +-≥ < =L 故对0ε?>， 当 1 2 N ε≤时,有 [||] 1[||] 2()()n k n k k f f k N k N f f m E m E ε∞ ∞ -≥==-≥ ?≤?11[||] 211 ()2 2n k k k N f f k N k N m E ∞ ∞ +-≥ ==≤<=∑∑ 从而 [||] lim ()0n k f f N k N m E ε∞ -≥→∞ =?= (*) 故..k n f f a e →于E 注：其实从证明中的(*)式我们可看出..k n f f a u →于E . 定理3（Lebesgue ）mE <+∞，n f ，f 在E 上几乎处处有限且可测，若..n f f a e →于E ，则n f f ?于E 二、函数列几种收敛之间的关系 先归纳一下几种收敛的定义. 1．函数列的几种收敛定义 ⑴点点收敛: 记作n f f →于E ,0,0,,x x x E N n N εεε?∈?>?>?≥有|()()|n f x f x ε-< ⑵一致收敛: 0,0,,,N n N x E εεε?>?>?≥?∈有|()()|n f x f x ε-< 注：近似地说一致收敛是函数列收敛慢的程度能有个控制. 近似地说一致连续是函数图象陡的程度能有个控制 例：函数列(),1,2,n n f x x n ==L 在(0,1)上处处收敛到()0f x =,但不一致收敛，但去掉一小测度集合(1-δ,1),在留下的集合上一致收敛 ⑶几乎处处收敛: 记作..n f f a e →于E （almost everywhere ） 即：去掉某个零测度集，在留下的集合上处处收敛 ⑷几乎一致收敛:记作..n f f a u →于E (almost uniformly) 即：去掉某个小（任意小）测度集，在留下的集合上一致收敛. 0,δ?>存在可测子集,,e E me δ?<使得n f 在E E e δ=-上一致收敛于f 0,δ?>存在可测子集,,e E me δ?<0,0,,,N n N x E e εδεδε?>?>?≥?∈-有 |()()|n f x f x ε-< （5）依测度收敛: n f f ?于E 0,σ?>有[||]lim 0n f f n mE σ-≥→∞ = 2 数列几种收敛之间的关系 —————————————————————————————— 作业：P99 9， 10， 11， 12 练习题 1 勒贝格定理中的条件mE <+∞能否改为mE =+∞？ 2 在数学分析里，函数列的极限具有唯一性，那么对于..n f f a e E →于及n f f E ?于又无类似的结果？ 3 几乎处处有限的可测函数列{()}n f x 依测度收敛的充要条件是：,0,(,)0,N εσεσ?>?>当,n N m N ≥≥时，[||]n m f f mE σε-≥< n f f E ?于..n f f a u E →于..n f f a e E →于 子列 R i e s z 定理 叶果洛夫定理 mE <+∞ 叶果洛夫 逆定理 Lebesgue 定理 mE <+∞ 子列 第三章 可测函数的知识要点与复习自测 一、可测函数的定义的知识要点： ◇ 体会可测函数从简单到一般的定义思想，并能根据这一思想，按可测集上的简单函数到非负可测函数再到一般可测函数的程序，正确写出可测函数的定义。 ◇ 掌握简单函数的四则运算性和复合运算性，并理解复合运算性中为什么必须要求内层函数是简单函数，才能保证复合之后的函数是简单函数。 ◇ 掌握非负可测函数与简单函数的极限关系（即非负可测函数的定义），仔细体会刻画非负可测函数的测度特征的特征定理的证明过程，掌握此定理证明中通过 对值域区间作不交区间分解（即21 01 [0,]{[ ,)}[,]22 m m m m k k k m -=++∞=??+∞），再借助逆象集导出可测集E 的有限不交可测分解的方法，即 2101 [0()][()][()]22m m m m k k k E E x f x E x f x E x f x m -=+=≤≤+∞=?≤ 第四章 可测函数 教学目的： 1.熟练掌握可测函数的定义及其基本性质，可测函数的一些重要性质. 2.掌握通过Egoroff 定理证明Lusin 定理,它表明Lebesgue 可测函数可以用性质较好的连续函数逼近. 3.掌握几乎处处收敛,依测度收敛和几乎一致收敛，以及几种收敛性之间的蕴涵关系.通过学习使学生对可测函数列的几种收敛性和相互关系有一个较全面的了解. 重点难点： 1.可测函数有若干等价的定义.它是一类范围广泛的函数,并且有很好的运算封闭性. 2.可测函数可以用简单函数逼近,这是可测函数的构造性特征. 3.引进的几种收敛是伴随测度的建立而产生的新的收敛性.一方面, L 可测集上的连续函数是可测的,另一方面,Lusin 定理表明, Lebesgue 可测函数可以用连续函数逼近. Lusin 定理有两个等价形式. 4.依测度收敛是一种全新的收敛,与熟知的处处收敛有很大的差异.Egoroff 定理和Riesz 定理等揭示了这几种收敛之间的关系.Riesz 定理在几乎处处收敛和较难处理的依测度收敛之间架起了一座桥梁. §4.1 可测函数及相关性质 由于建立积分的需要，我们还必须引进一类重要的函数—— Lebesgue 可测函数，并讨论其性质和结构. 设f 是可测集D 上的函数,若对任何R ∈?α,{}α>∈)(:x f D x 记 =α D 是可测集,则称f 是可测集D 上的可测函数. 我们知道,f 在D 上连续?R ∈?α,{}α>∈)(:x f D x 、{}α<∈)(:x f D x 都是开集.所以由可测函数的定义,区间D 上的连续函数f 是可测函数. 又如:设E 是D 的可测子集.则E 上的特征函数为 =)(x f )(x E λ???=0 1 E D x E x -∈∈ 1.5 可测集与可测函数 1.5.1 可测集与可测函数 定义1.5.1 设X 是基本空间，R 是X 上的σ-代数，且 E X E ∈= R ， 则称(,)X R 是可测空间(measurable space)，R 中的元素E 是(,)X R 上的可测集(measurable set)。 特别地， 当1X =R ，=R L 时，称1(,)R L 是Lebsgue 可测空间；Lebsgue 可测空间上的可测集称为Lebsgue 可测集； 当1X =R ，()==0R S R B 时，称1(,)R B 是Borel 可测空间；Borel 可测空间上的可测集（即：Borel 集）称为Borel 可测集. 注 定义可测空间、可测集时，严格地说，并不要求在σ-代数R 上已经具有某个测度，即把可测空间、可测集的概念本质上当作集合论范畴的概念，这已是通行的看法。 定义1.5.2 设(,)X R 是可测空间，E X ?，f 是定义在E 上的有限实函数。若对一切实数c ，集 (){(),}E c f x c f x x E ≤=≤∈ 都是(,)X R 上的可测集（即：()E c f ≤∈R ），则称f 是E 上关于R 的可测的函数，简称E 上的可测函数(measurable function)。特别地， 当1(,)(,)X =R R L 时，称f 是E 上关于L 的Lebsgue 可测函数； 当1(,)(,)X =R R B 时，称f 是E 上关于B 的Borel 可测函数。 定理 1.5.1 设(,)X R 是可测空间，f 是定义在E X ?上的有限实函数。则f 是E 上的可测函数的充分必要条件是：对任意实数,c d ，集 ()E c f d ≤< 是可测集。 证 设f 是可测函数，由于 ()()()E c f d E c f E d f ≤<=≤-≤，而()E c f ≤和()E d f ≤都是可测集，所以 ()E c f d ≤<是可测集。 主要内容 为了建立勒贝格积分理论的需要，本章专门讨论一类重要的函数一一可测函数。它一方面和我们熟悉的连续函数有密切的联系，同时又在理论上和应用上成为足够广泛的一类函数，学习本章时应注意以下几点。 一、可测函数的概念及其运算性质是本章的重要内容。可测函数的定义及给出的一些充要条件（如定理等）是判断函数可测的有力工具，应该牢固熟练地掌握和应用它们。可测函数关于加、减、乘、除四则运算和极限运算都是封闭的。可测函数上、下确界函数和上、下极限函数还是可测的，所有这些性质反映了可测函数的优越和方便之处。 二、可测函数列的收敛性也是本章的重要内容之一。几乎处处收敛和依测度收敛是勒贝格积分理论中经常使用的两种收敛形式。叶果洛夫定理揭示了可测函数列几乎处处收敛与一致收敛之间接关系。通过这个定理，可以把不一致收敛的函数列部分的“恢复”一致收敛，而一致收敛在许多问题的研究中都起着重要作用。勒贝格定理（定理）告诉我们：在测度有限的集合上，几乎处处收敛的可测函数列必是依测度收敛的，反之并不成立。然而，黎斯定理（定理）指出：依测度收敛的可测函数列必有几乎处处收敛的子序列。 三、可测函数的构造是本章的又一重要内容。一般常见的函数，如连续函数, 单调函数等都是可测函数。然而，可测函数却未必是连续的，甚至可以是处处不连续的（如迪里克雷函数）。所以，可测函数类比连续函数类要广泛得多。而鲁金定理指出了可测函数与连续函数之间的关系，通过这个定理，常常能把可测函 数的问题转化为关于连续函数的问题来讨论从而带来很大的方便。 四、关于论证方法和技巧方面也有不少值得注意的。如定理证明中的构造方 法是富有启发性的，读者应深入体会，叶果洛夫定理证明中的思想和分析的方法；鲁金定理证明中先考虑简单函数，然后再往一般的可测函数过渡，这种由特殊到般的证明方法在许多场合都是行之有效的。 可测函数与连续函数 实变大作业 2011/4/27 可测函数与连续函数 【摘要】：主要介绍几乎可测函数的定义与性质，及几乎处处有限的可测函数与连续函数的关系。由于连续函数不是本章所学的内容，故不对其介绍。 【关键词】：可测函数、连续函数、关系 这一章中主要学习了可测函数，这是一类新的函数，所以搞清它的性质及其与其它函数之间的关第是十分重要与必要的。特别是我们十分熟悉的函数之间的关系。 一、基本概念 1、几乎处处： 给定一个可测集E，假如存在E的一个子集E1，m E?E1=0，且使得性质P 在E1上处处成立，则称性质P在E上几乎处处成立。 2、可测函数： 设E??是Lebesgue可测集，f是E上的实值函数。假如对于任意实数C E f>C=x∈E:f x>C 都是可测集，则称f是E上的Lebesgue可测函数（简称f是E上的可测函数）。 3、几乎处处有限的可测函数： 设E??是Lebesgue可测集，给定一个可测集E，存在E的一个子集E1， m E?E1=0，f在E1上有限，假如对于任意实数C E f>C=x∈E:f x>C 都是可测集，则称f是E上几乎处处有限的的Lebesgue可测函数 4、连续函数： 设D??，f是定义于D的函数，x∈D，假如 lim y→x,y∈D f y=f x 则称f沿D在x连续；假如f沿D内任意一点都连续，则称f沿D连续。 5、预备定理、引理 定理2.2设 f 是一个紧集， { f n}n≥1是一列沿 F连续的函数。若f n在 F上一致收敛于 f，则 f 也沿 F 连续。 定理2.3（Egoroff）设 f 和f n(n≥1)都是测度有限的集 D 上的几乎处处有限的可测函数。若f n在 D 上几乎处处收敛于 f，则对任何 ε>0，有 D 的闭子集 F，使 m D? F <ε，并且f n在 F 上一致收敛于 f。 引理2.1设 F 是 R中的闭集，函数 f 沿 F 连续，则 f 可以开拓成 R 上的连续函数f?，并且sup x∈R| f?x|=sup x∈R| f x|。 引理2.2设 f是可测集 D 上的简单函数。则对任何ε>0，有沿 D连续的函数f?使 m {f≠f?} <ε。 二、可测函数和连续的关系 1、连续函数的可测性 定理1可测集上的连续函数都是可测函数。 证明:对任意a∈R，设x∈E f>a，则由连续性假设，存在x的某邻域U x，使U x∩E?E f>a。因此，令G=U(x) x∈E(f>a)，则： G∩E=U(x) x∈E(f>a)∩E=U(x) x∈E(f>a) ∩(f>a) 反之，显然有E f>a?G，因此： E f>a?G∩E f>a?G∩E 从而： E f>a=G∩E f>a 但G是开集（因为它是一族开集这并），而E为可测集，故其交G∩E仍为可测集，即E f>a为可测集，由定义知：f(x)是可测函数。 但可测函数不一定连续例例： 可测函数Dirichlit函数在0,1上处处间断 2、用连续函数逼近可测函数，可测函数的连续性 引理1：设F是R中的闭集，函数f没F连续，则f可以开拓成R的连续函数f?，并且： sup x∈R f?(x)=sup x∈R f(x) 证明：此时F c=(a n,b n)是开集，其中开区间族(a n,b n)两两不相交。今定义 第四章 复习题（一） 一、判断题 1、设()f x 是可测集n E R ?上的非负简单函数，则 ()d E f x x ? 一定存在。（√ ） 2、设()f x 是可测集n E R ?上的非负简单函数，则()f x 在E 上勒贝格可积。（× ） 3、设()f x 是可测集n E R ?上的非负简单函数，且0()d E f x x ≤<+∞? ，则()f x 在E 上 勒贝格可积。（√ ） 4、设()f x 是可测集n E R ?上的非负可测函数，则 ()d E f x x ? 一定存在。（√ ） 5、设()f x 是可测集n E R ?上的非负可测函数，则()f x 在E 上勒贝格可积。（× ） 6、设()f x 是可测集n E R ?上的非负简单函数，且0()d E f x x ≤<+∞? ，则()f x 在E 上 勒贝格可积。（√ ） 7、设()f x 是可测集n E R ?上的可测函数，则 ()d E f x x ? 一定存在。（× ） 8、设()f x 是可测集n E R ?上的可测函数，且()()f x L E +∈，()()f x L E -∈至少有一个成立，则 ()d E f x x ? 一定存在。（√ ） 9、设()f x 是可测集n E R ?上的可测函数，且()()f x L E +∈，()()f x L E - ∈至少有一个 成立，则()f x 在E 上勒贝格可积。（× ） 10、设()f x 是可测集n E R ?上的可测函数， 若()()f x L E +∈且()()f x L E -∈，则() f x 在E 上勒贝格可积。（√ ） 11、设()f x 是可测集n E R ?上的可测函数， 若()()f x L E ∈，则()d E f x x -∞<<+∞? 。 （√ ） 12、设()f x 是可测集n E R ?上的可测函数， 若()()f x g x ≤且()()g x L E ∈，则 ()()f x L E ∈。（√ ） 13、若E 为零测集，()f x 为E 上的任何实函数，则()()f x L E ∈。（√ ） 14、若()()f x L E ∈，则[]0mE f =+∞=。（√ ） 15、若()()f x L E ∈，则()()f x L E ∈。（√ ） 第四章 可测函数（总授课时数 14学时） 由于建立积分的需要，我们还必须引进一类重要的函数——Lebesgue 可测函数，并讨 论其性质和结构. §1 可测函数及其性质 教学目的 本节将给出可测函数的定义并讨论其基本性质 教学要点 可测函数有若干等价的定义. 它是一类范围广泛的函数, 并且有很好 的运算封闭性. 可测函数可以用简单函数逼近, 这是可测函数的构造性特征. 本节难点 可测函数与简单函数的关系. 授课时数 4学时 —————————————————————————————— 1可测函数定义 定义：设()f x 是可测集E 上的实函数(可取±∞)，若[],f a a R E >?∈可测，则称()f x 是E 上的可测函数. 2可测函数的性质 性质1 零集上的任何函数都是可测函数。 注：称外测度为0的集合为零集；零集的子集，有限并，可数并仍为零集 性质2 简单函数是可测函数 若1n i i E E ==? (i E 可测且两两不交），()f x 在每个i E 上取常值i c ，则称()f x 是E 上的 简单函数； 1()()i n i E i f x c x χ==∑ 其中1()0i i E i x E x x E E χ∈?=?∈-? 注：Dirichlet 函数是简单函数 性质3 可测集E 上的连续函数()f x 必为可测函数 设()f x 为E 上有限实函数，称()f x 在0x E ∈处连续 00(,)((),)0,0,()x f x f O E O δεεδ?>?>??若使得 对比：设()f x 为(),a b 上有限实函数，0()(,)f x x a b ∈在处连续 0lim ()()x x f x f x →=若 第二章测度与可测函数 本章内容提要： 1.引进Lebesgue测度与抽象测度的概念，给出测度的主要性质 2.引进可测函数的概念，讨论可测函数的性质 3.讨论可测函数与连续函数之间的关系，给出可测函数的结构 4.讨论可测函数列的几种不同类型的收敛性概念及其相互关系 本章重点难点提示： 1.Lebesgue测度与抽象测度的概念及其性质 2.判定一个集合是否可测的方法 3.可测函数的几种等价定义 4.可测函数与连续函数之间的关系 5.可测函数列的几种收敛性之间的关系 第一节Lebesgue测度 2.1.1定理 存在集族L与集函数L，使它们具有以下两组性质 L. 若L，则L. 若L，则L. 若是开集，则L. . -可加性若L，互不相交，则 完备性若则L. 测度单位. 平移不变性若L，则L，且 逼近性质任给L，，存在闭集与开集，使 且. 证明见§2.5. 定义Th2.1.1中的称为一维Lebesgue测度，L中的集称为一维Lebesgue可测集.Th2.1.1中性质刻画了可测集族L的构成，而则表示测度的特征. 由Th2.1.1可得下列关于可测集与测度的性质 2.1.2命题 若L，，则L；若L，则L. 证明 L，L. 综合性质与命题2.1.2得出结论，可测集经过差运算及可数次并或交运算后仍为可测集.由性质进一步推出:开集经差运算及可数次并或交运算后仍为可测集(这种可测集叫Borel集，见§2.5)，特别地:型集与型集是可测集. 2.1.3命题 测度有以下性质L. ①单调性:若L，，则. ②可减性:若L，，则. ③次可加性:若L，则. ④下连续性:若L是一升列，则. ⑤上连续性:若L是一降列，且则 . 第四章 可测函数 习题4-1-P108 P108 1、证明E 上的两个简单函数的和与乘积都还是E 上的简单函数. 证明：设∑== i i k m k E i k i x c x 1 )()()()(χψ,2,1=i ,为E 上的两个简单函数, 那么∑∑∑∑======= 12 1 1 11 )1()1(1 )2(1 )1(m i m j j i m k k m k k E E E E E ,于是 ∑∑==+=+2 )2(1 )1(1 )2(1 )1(21)()()()(m j E j m i E i x c x c x x j i χχψψ ∑∑∑∑====+=2 1 )2() 1(1 2 )2() 1(1 1 )2(1 1)1()()()()(m j m i E E j m i m j E E i x x c x x c j i j i χχ χχ ∑∑==+=12)2()1(11 )2()1()()()(m i m j E E j i x x c c j i χχ∑∑==+=12 )2()1(11 )2()1()()(m i m j E E j i x c c j i χ, ∑∑===2 )2(1)1(1 )2(1 )1(21)()()()(m j E j m i E i x c x c x x j i χχψψ ∑∑∑∑======12 )2()1(12)2()1(11 )2()1(11 )2()1()()()(m i m j E E j i m i m j E E j i x c c x x c c j i j i χχχ, 所以)()(21x x ψψ+与)()(21x x ψψ都是E 上的简单函数. 2、证明当)(x f 既是1E 上又是2E 上的非负可测函数时,)(x f 也是21E E 上的非负可测函数. 证明：由条件知 R ∈?a ,n E x a x f x E M ∈∈>],)(;[1,n E x a x f x E M ∈∈>],)(;[2, 1.5 可测集与可测函数 1.5.1 可测集与可测函数 定义 1.5.1 设 X 是基本空间， R 是 X 上的 - 代数，且 X = E ， E ∈R 则称 ( X , R ) 是 可测空间 (measurable space)， R 中的元素 E 是 ( X , R ) 上的 可测集 (measurable set)。 特别地， 当 X = R 1 ， R = L 时，称(R 1 , L ) 是 Lebsgue 可测空间；Lebsgue 可测空间上的可测集 称为 Lebsgue 可测集； 当 X = R 1 ， R = S (R ) = B 时，称(R 1 , B ) 是 Borel 可测空间；Borel 可测空间上的可测集（即：Borel 集）称为 Borel 可测集. 注 定义可测空间、可测集时，严格地说，并不要求在- 代数 R 上已经具有某个测度，即把可测空间、可测集的概念本质上当作集合论范畴的概念，这已是通行的看法。 定义 1.5.2 设( X , R ) 是可测空间， E ? X ， f 数c ，集 是定义在 E 上的有限实函数。若对一切实 E (c ≤ f ) ={x c ≤ f (x ), x ∈ E } 都是( X , R ) 上的可测集（即： E (c ≤ f )∈ R ），则称 f 称 E 上的可测函数(measurable function)。特别地， 是 E 上关于 R 的可测的函数，简 当( X , R ) = (R 1, L ) 时，称 f 当( X , R ) = (R 1, B ) 时，称 f 是 E 上关于 L 的 Lebsgue 可测函数； 是 E 上关于 B 的 Borel 可测函数。 定理 1.5.1 设( X , R ) 是可测空间， f 是定义在 E ? X 上的有限实函数。则 f 是 E 上的 可测函数的充分必要条件是：对任意实数c , d ，集 E (c ≤ f < d ) 是可测集。 证 设 f 是可测函数，由于 E (c ≤ f < d ) = E (c ≤ f ) - E (d ≤ f ) ， 而 E (c ≤ f ) 和 E (d ≤ f ) 都是可测集，所以 E (c ≤ f < d ) 是可测集。 反之，若已知对任意实数c , d ，集 E (c ≤ f < d ) 是可测集，则由 （0195）《实变函数》复习大纲 第一章集合论 一、基本内容： 集合、集合的运算、对等、基数、可数集、不可数集 二、基本结论 1、集合的运算规律 2、可数集的性质 （1）任何无限集必含有可数子集 （2）可数集的子集至多是可数的。即或为有限集或为可数集。 （3）可数个可数集的并集是可数集。 （4）若A中每个元素由n个互相独立的记号所决定,各记号跑遍一个可数集 A={} n x x x a , , ,2 1 Λ, ()() ()n k x x x k k k . ,2,1 ; , ,2 1Λ Λ= = 则A为可数集。 3、常见的可数集：有理数及其无限子集。 三、基本要求： 1、理解集的概念，分清集的元与集的归属关系，集与集之间的包含关系的区别。 2、掌握集之间的并、交、差、余运算。 3、掌握集列的上、下限集的概念及其交并表示。 4、理解集列的收敛、单调集列的概念。 5、掌握――映射，两集合对等及集合基数等概念。 6、理解伯恩斯坦定理（不要求掌握证明），能利用定义及伯恩斯坦定理证明 两集合对等。 7、理解可数集，不可数集的意义，掌握可数集、基数为C的集合的性质，理 解不存在最大基数的定理的意义。 四、重点：正确应用集合的运算规律，证明有关集合的等式，用可数集合的性质证明某 个集合是可数集合。 五、学习主要事项：集合的基数概念十分抽象，它是集合元素“个数”的推广，我们是用“对等”的方法加以定义的。即对待的集合必有相同的基数，例如，所有可数 集合有相同的基数，但是有理数集与无理数集的基数却不同，有理数集是可数集合，而无理数集是不可数集合。我们还应该注意到，无穷集合是可以与其真子集对等的，这是无穷集合的本质特征。 第二章点集 一、基本内容： 度量空间、聚点、内点、界点、邻域、开集、闭集、闭包、完备集、有界集以 及直线上开集和闭集的构造定理。 二、基本结论 1、开集的运算性质：开集关于任意并及有限交运算是封闭的。 2、闭集的运算性质：闭集关于任意交及有限并运算是封闭的。 3、开集、闭集具有对偶性。 4、Cantor 集合的构造及性质：Cantor 集是不可数的完备的疏朗集，测度为零。 三、基本要求： 1、明确n维欧氏空间中极限概念主要依赖于距离这个概念，从而了解邻域概念在 极限理论中的作用。 2、理解聚点，孤立点、内点、外点、界点的意义，掌握有关性质。 3、理解开集、闭集、完备集的意义，掌握其性质。 4、理解直线上开集、闭集、完备集的构造。 5、理解康托集的构造、特性。 四、重点： 1、能够正确计算点集的边界、聚点和闭包 2、能够正确应用Cantor 集合的构造及性质举例。 五、学习主要事项：本章介绍的点集是带有某种距离结构的集合，通过内点和聚点可以定义其它的所有概念；集合的开、闭性是集合的整体性质，利用它可以定义函数的连续性；本章最后的例子介绍康托集，它的构造方法十分有用，利用这种方法。我们可以构造类似的不同性质的例子，例如，测度为任意正数的疏朗集。 第三章测度论 一、基本内容：外测度及其性质；Lebesgue可测集及其性质。 二、基本结论 1、可测集的性质（基本性质、运算性质）。 实变函数论课后答案第四章1 第四章第一节习题 1． 证明：E 上的两个简单函数的和与乘积都还是E 上的简单函数 证明：设1 ()i n i E i f c x χ==∑，1 ()i m i F i g d x χ==∑，这里{}1n i i E =互不相交，{}1 m i i F =互不相交 令ij i j K E F =?，1,1i n j m ≤≤≤≤ ij i j a c d =+， 1,1i n j m ≤≤≤≤ 则易知1 1 11 ()()()()i j i j n m n m i E j F i j E F i j i j f g c x d x c d x χχχ?====+=+=+∑∑∑∑ 先注意：若1 m i i K K == ，i K 互不相交，则1 ()()i m K K i x x χχ==∑ （m 可为无穷大） （x K ?∈，i ?使i x K ∈，()1()i K K x x χχ==， ,()0K x K x χ??=，且i ?，i x K ?则()0i K x χ=） 且1 1 1 1 (())(())()(( ))m m m m c c i i j i j i j i j j j j j E E F E F E F E F =====???= ??? 1 1 1 () (( )) (( )) 1 ()()()()()m m m i i c c i j i j i j j j j m E E F E F E F E F j x x x x x χχ χ χχ ===????==+=+∑ 同理：1 ( ) 1 ()()()m j i j c j i i n F E F F E i x x x χχχ =??==+∑ 1 1 ()()i j n m i E j F i j f g c x d x χχ==+=+∑∑ 1 1 ( )( )1 1 1 1 (()())(()())m m i j i j c c i j j i j i n m m n i E F j E F E F F E i j j i c x x d x x χχ χχ ==????=====+++∑∑∑∑ 1.5 可测集与可测函数 1.5.1 可测集与可测函数 定义1.5.1 设X 是基本空间，R 是X 上的σ-代数，且E X E ∈= U R ， 则称 (,)X R 是可测空间(measurable space)，R 中的元素E 是(,)X R 上的可测集 (measurable set)。 特别地， 当1X =R ，=R L 时，称1(,)R L 是Lebsgue 可测空间；Lebsgue 可测空间上的可测集称为Lebsgue 可测集； 当1X =R ，()==0R S R B 时，称1(,)R B 是Borel 可测空间；Borel 可测空间上的可测集（即：Borel 集）称为Borel 可测集. 注 定义可测空间、可测集时，严格地说，并不要求在σ-代数R 上已经具有某个测度，即把可测空间、可测集的概念本质上当作集合论范畴的概念，这已是通行的看法。 定义1.5.2 设(,)X R 是可测空间，E X ?，f 是定义在E 上的有限实函数。若对一切实 数c ，集 (){(),}E c f x c f x x E ≤=≤∈ 都是(,)X R 上的可测集（即：()E c f ≤ ∈R ），则称f 是E 上关于R 的可测的函数，简 称E 上的可测函数(measurable function)。特别地， 当1(,)(,)X =R R L 时，称f 是E 上关于L 的Lebsgue 可测函数； 当1(,)(,)X =R R B 时，称 f 是E 上关于B 的Borel 可测函数。 定理1.5.1 设(,)X R 是可测空间， f 是定义在E X ?上的有限实函数。则f 是E 上的 可测函数的充分必要条件是：对任意实数, c d ，集 ()E c f d ≤< 是可测集。 证 设 f 是可测函数，由于 ()()()E c f d E c f E d f ≤<=≤-≤， 习题4.2 1．设A 是]1,0[=E 中的不可测集， ? ? ?∈-∈=,\]1,0[,; ,)(A x x A x x x f 证明： （1） R ∈?a ，),(]|[|+∞=>a E a f E ； （2） 当A ?0时，A f E =>]0[；当A ∈0时，}0{\]0[A f E =>. 试问：f 与||f 在E 上是否可测？ 证明 （1）因为E x ∈?，有x x f =)(||，所以R ∈?a ，有 ),(},:{]|[|+∞=>∈=>a E a x E x x a f E . （2）由定义知0)0(=f 。若A ∈0，则}0{\0)(A x x f ∈?>；若A ?0，则A x x f ∈?>0)(. 所以（2）成立. 由（1）知f 在E 上可测. 因为A 是不可测集，所以}0{\A 也是不可测集。从而，由（2）知f 在E 上不可测。 2．证明：若函数f 在可测集1E 及2E 上可测，则函数f 在21\E E 与1E 2E 上也可测． 证明 因为f 在12,E E 上可测，所以12,[],[]a R E f a E f a ?∈≥≥可测，从而 1 212()[][][]E E f a E f a E f a ≥=≥≥ 可测。因此，f 在1 2E E 上可测。因为 1212(\)[][]\[]E E f a E f a E f a ≥=≥≥， 可测，所以f 在12\E E 上可测. 3．证明：若函数f R →),(:b a 在任意闭区间),(],[b a a ?β上可测，则f 在开区间 ),(b a 上可测． 证明 因为111(,)[,]n a b a b n n ∞ ==+-，其中11 [,](,)a b a b n n +-?，又由题意知：f 在每一个11 [,](1,2,)a b n n n + -=上可测，所以由定理4.2.6知：f 在 111 [,](,)n a b a b n n ∞=+-= 上可测. 4．证明：点集n S R ?的特征函数S χ在可测集n E R ?上可测当且仅当S E 是可测集． 证明 因为?? ??∈=, ,0; ,1)(S x S x x S χ所以R ∈?a 有 ,1[],01,0.s a E x a E S a E a ?>?? ≥=<≤??≤? ，， 充分性. 若E S 是可测集，则对任意的a ∈R , []s E a χ≥可测，所以s χ在E 上可测. 必要性. 设s χ在E 上可测，则对任意的a ∈R , []s E a χ≥可测。特别地，对于 01a <≤，[]s E a χ≥也是可测的。由于[]s E a χ≥E S =，所以E S 可测. 5．证明：],[b a 上连续函数列的极限函数是可测函数． 证明 由可测集上的连续函数是可测函数可知：],[b a 上的连续函数列是可测函数列， 补充:特征函数 定义1 设X 是非空全集 ， , 称 为集合A 的特征函数. 显然的充分必要条件是A=B . 例如：取， ，则特征函数如图 图1-13-1 特征函数 定理1 （1）； （2） ； X A ?A x A x x A ?∈?? ?=0 1)(χ）X x x x B A ∈=()()(χχ[]0,1X =1,12A ?? =?? ? ?0 )(1)(≡=≡=x A x X A A A χφχ充分必要条件是；充分必要条件是) (, )()(X x x x B A B A ∈?≤?χχ充分必要条件是 （3） .特别 时 ； （4） ； （5） ； （6） ； （7） 设 是任一集列，则 ； （8） 存在， 且当极限存在时， . 证明 仅证（3），（7）. ； （3） 任意，.当时， ； 当 时， ； 同理 ； )()()()(x x x x B A B A B A I Y χχχχ-+=φ=B A I )()()(x x x B A B A χχχ+=Y )()()(x x x B A B A χχχ=I )](1)[()(\x x x B A B A χχχ-=) (min )(, ) (max )(x x x x A A A A αα ααα αχχχχ ααΛ ∈Λ ∈==Λ ∈Λ ∈I Y {}k A ) (lim )() (lim )(lim lim x x x x k k k k k k A k A A k A χχχχ==) () (lim lim X x x A k A k k k ∈∞ →∞ →任意，存在的充分必要条件是χ) () (lim )(lim X x x x k k k A k A ∈=∞ →χχX x ∈B A B A x Y I ?∈) (1111)()()(x x x x x x B A B A B A Y I χχ==-+=-+B A x \∈) (1001)()()(x x x x B A B A B A Y I χχχχ==-+=-+) ()()()(\x x x x A B x B A B A B A Y I χχχχ=-+∈有 第三章 可测函数 为了引进新的积分，我们还需要引进一类重要的函数即可测集上的可测函数，这类函数一方面与数学分析中的连续函数有着密切的联系，另一方面比连续函数更为广泛、应用价值更大. 这里我们需要强调，今后所提到的函数都是指定义在n R 中某点集上的单值实函数，且允许它的值可以取±∞（±∞也称为非正常实数，通常的实数称为有限实数或实数）.另外，我们规定： (+∞)+（+∞）=+∞，（-∞）+（-∞）=-∞， 对于任意实数a ，总有a +(+∞)=(+∞)+a =+∞，a +(-∞)=-∞， 对于b >0，c <0，b ·(±∞)=±∞，c ·(±∞)= ∞，(±∞)·（±∞）=+∞， （+∞）·（-∞）=（-∞）·（+∞）=-∞，0·（±∞）=（±∞）·0=0， 对∞≠b ， o b =∞，对o c ≠，∞=o c ， 但（+∞）-（+∞），（±∞）+（ ∞），（-∞）-（-∞）均无意义. §1 可测函数的定义及简单性质 可测函数的定义方法很多，本节，我们将采用从简单到复杂的方法定义可测函数，即先给出简单的可测函数，然后分析这些函数的测度特性从而归纳出一般可测函数的定义. 一、可测函数的定义及等价定义 1．简单函数 定义1 设E n R ?为一个可测集，)(x f 为定义在E 上的实函数，如果 （1）E = m i i E 1 =，其中i E 为两两不交的可测集， （2）在每个i E 上)(x f =i c ，即)(x f = ???1 C C m 1 E x E x m ∈∈ ，亦即∑==m i E i x c x f i 1 )()(χ， 其中)(x i E χ表示i E 的特征函数，则称)(x f 为E 上的简单函数. 第四章习题解答 1. 证明：f(x)在E 上为可测函数的充要条件是对任一有理数r ,集E[f > r ] 可测。如果集 E[f=r]可测，问f(x)是否可测？ 证明 若对任一有理数r ，E[f > r ] 可测，则对任一实数α ，记{n r }是大于α的一切有理数，则有1 [][]n n E f E f r α∞ =>= > ，由[]n E f r >可测得[]E f α>是可测的，所以(x) 为E 上为可测函数。证毕。 若对任有理数r ，E[f=r]可测，则f(x)不一定是可测的。例如， (,)E =-∞+∞z 是(,)-∞+∞中不可测集。对任意x z ∈ ，(),()f x x z f x =?=则对任意有理数r ， []E f r ==? 是可测的。而[E f z =是不可测的，因此f 不是可测的。 2 . 设f(x),…,()(1,2,...)n f x n =是定义在区间[a,b]上的实函数，k 为正整数，试证 11 [||]lim n k n E f f k ∞ =→∞ -< 是E 中使()n f x 收敛于f(x)的点集。 证明：记A 为E 中n f 收敛的点集。对任意x A ∈，任意k,存在N ，使,n>N 时， 1 ()n f f x k -< ，因此 1[]lim n n x E f f k →∞ ∈-< 由k 的任意性，得 11 [||]lim n k n x E f f k ∞ =→∞ ∈ -< 对任意11 [|| ]l i m n k n x E f f k ∞ =→∞ ∈ -< ，对任意0ε>，存在0k ，使 01k ε<，由10 1 [|| ]l i m n k n x E f f k ∞ =→∞ ∈-< 可知存在N ，使n>N 时01[||]n x E f f k ∈-<，，即 011 [||]n f f k k ε-< <<，所以lim ()()n x f x f x →∞=，即x ∈A ，所以 A= 11 [||]lim n k n E f f k ∞ =→∞ -< .第三章可测函数的知识要点与复习自测
第四章 可测函数汇总
1.5 可测集与可测函数(讲义)
实变函数与泛函分析基础(第三版)--------第四章_复习指导
可测函数与连续函数
实变函数第四章复习题及解答(1)
《实变函数》第四章 可测函数
第二章 测度与可测函数
可测函数(知识题)
1.5可测集与可测函数(讲义)(可编辑修改word版)
(0195)《实变函数》复习大纲、样题及
实变函数论课后答案解析第四章
(完整版)1.5可测集与可测函数(讲义)
第四章 实变函数
可测函数的定义及简单性质1
第三章可测函数
第四章实函习题解答