概率与数理统计第7章参数估计习题及答案
第7章 参数估计 ----点估计
一、填空题
1、设总体X 服从二项分布),(p N B ，10<
计量=p
? X
N
. 2、 设 总 体)p ,1(B ~
X ，
其 中 未 知 参 数 01<
则 p 的 矩 估 计 为_∑=n 1i i X n 1_， 样本 的 似 然 函 数 为_i
i X 1n 1
i X )p 1(p -=-∏__。
3、 设 12,,,n X X X 是 来 自 总 体
),(N ~X 2σμ的 样 本， 则 有 关 于 μ及 σ2
的 似 然 函 数2
12(,,;,)n L X X X μσ= _2
i 2
)X (21n
1
i e
21
μ-σ
-
=∏
σ
π__。
二、计算题
1、设总体X 具有分布密度(;)(1),01f x x x ααα=+<<，其中1->α是未知参数，
n X X X ,,21为一个样本，试求参数α的矩估计和极大似然估计.
解：因?
?++=+=
10
1
1α1α1αdx x dx x x X E a )()()(2
α1
α2α1α102++=++=
+|a x 令2
α1α
++==??)(X X E
X
X --=∴112α
?为α的矩估计 因似然函数1212(,,;)(1)()n n n L x x x x x x ααα=+
∑=++=∴n
i i X n L 1α1αln )ln(ln ，由∑==++=??n
i i X n
L 1
01ααln ln 得，
α的极大似量估计量为)ln (?∑=+-=n
i i
X
n
1
1α
2、设总体X 服从指数分布 ,0
()0,x e x f x λλ-?>=??
其他 ，n X X X ,,21是来自X 的样本，（1）
求未知参数λ的矩估计；（2）求λ的极大似然估计.
解：（1）由于1
()E X λ
=
，令
1
1X X
λλ
=?=
，故λ的矩估计为1?X λ
= （2）似然函数1
12(,,,)n
i
i x n
n L x x x e
λ
λ=-∑=
11
1
ln ln ln 0n
i
i n
i n
i i
i L n x d L n n x d x
λλλλλ====-=-=?=∑∑∑
故λ的极大似然估计仍为
1
X 。 3、设总体()2~0,X N σ，12,,,n X X X 为取自X 的一组简单随机样本，求2
σ的极大似
然估计；
[解] (1)似然函数22
21
1
2i x n
i L e σπσ
-
==
∏
()
2
2
1
222
2n
i i x n e
σπσ
=-
-∑=?
于是22
2
1
ln ln 2ln 222n
i i x n n L πσσ==---∑ 2
2241
ln 122n i i d L n x d σσσ==-+∑， 令
2ln 0d L d σ=，得2σ的极大似然估计：2
21
1n i i X n σ∧
==∑. 4、设总体X 服从泊松分布()P λ, 12,,,n X X X 为取自X 的一组简单随机样本, （1）求未知参数估计；（2）求大似然估计.
解：（1）令?()E X X X λλ
==?=，此为估计。 （2）似然函数1121
(,,,)!
n
i
i x n n n
i
i e L x x x x λ
λ=-=∑=
∏
EMBED Equation.3 λ的极大似然估计仍为X 。
第七章 参数估计 ----点估计的评价标准
一、填空题
1、 设总体样本，则下面三个均值估计量体均值的无偏估计，则 最有效.
2、 设总体，则可以作为估计量是( A ).
A 、、、、计算题
二、计算题
1、设一总体中抽出的一组样本，总体均值，用计总体方差是否是偏估计，应如何修改，才能成为无偏估计.
解：因EMBED Equation.3 221
σσ≠-=
n n
偏估计
但 EMBED Equation.3 2
σ的无偏估计
2、设总体样本，若使EMBED Equation.3 2σ的无偏估计，求常数C 的值。 解：
章 参数估计 ----区间估计
第七章 参数估计 ----区间估计
一、选择题
1、设总体 EMBED Equation.3 2
σ未知，设总体均值信度信区间长度么 EMBED Equation.3
a 的关系为( A ).
A 、，
B 、，
C 、，
D 、 EMBED Equation.3 l 关系不确定
2、设总体，现在以置信度总体均值列做法中一定能使估计更精确的是( C ).
A 、提高置信度加样本容量
B 、提高置信度少样本容量
C 、降低置信度加样本容量
D 、降低置信度少样本容量
二、计算题
1、设总体样本容量测得未知参数信度为0.95的置信区间.
解：信区间为 EMBED Equation.3 05.0=α EMBED Equation.3 9.0=σ
EMBED Equation.3 μ的置信区间为2、设总体0,σσ=要使总体均值μ的置信水平为1α
-的置信区间的长度不大于L ，问需要抽取多大容量的样本。
EMBED Equation.3 9=n EMBED Equation.3 μ的置信区间为2、设总体
0,σσ=要使总体均值μ的置信水平为1α-的置信区间的长度不大于L ，问需要抽取多大容量的样本。
信区间为2、设总体0,σσ=要使总体均值μ的置信水平为1α-的置信区间的长度不大于
L ，问需要抽取多大容量的样本。
2、设总体0,σσ=要使总体均值μ的置信水平为1α-的置信区间的长度不大于L ，问需要抽
取多大容量的样本。
解：信区间为、某车间生产自行车中所用小钢球，从长期生产实践中得知钢球直径从某
批产品里随机抽取6件，测得它们的直径(单位：mm)为：
、某车间生产自行车中所用小钢球，从长期生产实践中得知钢球直径从某批产品里随机抽取6件，测得它们的直径(单位：mm)为：
3、某车间生产自行车中所用小钢球，从长期生产实践中得知钢球直径从某批产品里随机抽取6件，测得它们的直径(单位：mm)为：
14.6，15.1，14.9，14.8，15.2，15.1，置信度(1)若信区间
(2)若，求信区间
(1)若信区间
(2)若，求信区间
(3)求方差方差σ的置信区间.
解：(1)，则信区间为 EMBED Equation.3 2
5,
0.05, 1.96n Z αα===
代入则得信区间2)，则信区间为 EMBED Equation.3 05.0,5==αn (2)，则信区间为 EMBED Equation.3 05.0,5==αn
查表得入得信区间为3) EMBED Equation.3 2
σ的置信区间 EMBED Equation.3
5,05.0==n α 代入得信区间为：均方差σ的置信区间为、 设从正态总体X 中采用了n
= 31个相互独立的观察值 , 算得样本均值 方差 总体X 的均值和方差的90%的置信区间
(3) EMBED Equation.3 2
σ的置信区间 EMBED Equation.3 5,05.0==n α 代入得信区间为：均方差σ的置信区间为、 设从正态总体X 中采用了n = 31个相互独立的观察值 , 算得样本均值 方差 总体X 的均值和方差的90%的置信区间
信区间 EMBED Equation.3 5,05.0==n α 代入得信区间为：均方差σ的置信区间为、 设从正态总体X 中采用了n = 31个相互独立的观察值 , 算得样本均值 方差 总体X 的
均值和方差的90%的置信区间
入得信区间为：均方差σ的置信区间为、 设从正态总体X 中采用了n = 31个相互独立的观察值 , 算得样本均值 方差 总体X 的均值和方差的90%的置信区间
均方差σ的置信区间为、 设从正态总体X 中采用了n = 31个相互独立的观察值 , 算得样本均值 方差 总体X 的均值和方差的90%的置信区间
4、 设从正态总体X 中采用了n = 31个相互独立的观察值 , 算得样本均值 方差 总体X 的
均值和方差的90%的置信区间
解：EMBED Equation.3
0.05(30) 1.6973t =
∴μ
的 90%的置信区间为 : EMBED Equation.3
2
20.050.95(30)43.77
(30)18.49χχ== ，S 2 = 33.64
S 2 = 33.64
（1-a ）%的置信区间为 :
2
的 90%的 置 信 区 间 为 : (23.1 , 54.6)
即
2
的 90%的 置 信 区 间 为 : (23.1 , 54.6)
∴σ2
的 90%的 置 信 区 间 为 : (23.1 , 54.6)
5、 设 某 种 灯 泡 的 寿 命 X 服 从 正 态 分 布 N(μ , σ2 ) , μ , σ2未 知 , 现 从 中 任 取 5个灯 泡 进 行 寿 命 测 试 (单 位 : 1000小 时 ), 得 :
10.5 , 11.0 , 11.2 , 12.5 , 12.8 ,
求 方 差 及 均 方 差 的 90%的 置 信 区 间 .
解：EMBED Equation.3
22
0.050.95(4)9.488,(4)0.711x x ==
EMBED Equation.3 22
0.05
0.95(4)9.488,(4)0.711x x ==
EMBED Equation.3
598.5711.0995
.04,419.0488.9995.04=?=?
σ2
及 σ 的 90%的 置 信 区 间 为 (0.419 , 5.598)
∴ σ2
及 σ 的 90%的 置 信 区 间 为 (0.419 , 5.598)
及 、 二正态总体N(μ1 , σ12) , N(μ2 , σ22)的参数均未知 ,依次取容量为
n 1=10 , n 2=11的二独立样本 ,测得样本均值分别为121.2, 2.8x x ==，样本方差分别为 1) 求
二总体均值差12μμ-的90%的置信区间。（2）求二总体方差比90%的置信区间。
6、 二正态总体N(μ1 , σ12) , N(μ2 , σ22)的参数均未知 ,依次取容量为 n 1=10 , n 2=11的二独立样本 ,测得样本均值分别为121.2, 2.8x x ==，样本方差分别为 1) 求二总体均值差
12μμ-的90%的置信区间。
（2）求二总体方差比90%的置信区间。 (1) 求二总体均值差12μμ-的90%的置信区间。（2）求二总体方差比90%的置信区间。
解：）2
90.34100.29
0.313719
w s ?+?=
=，0.05(19) 1.729t =，
（1）2
90.34100.290.313719
w s ?+?=
=，0.05(19) 1.729t =， 12μμ-的90%的置信区间为
1111(1.2 2.8 1.7290.3137,1.2 2.8 1.7290.3137)10111011( 2.0231, 1.1769)
--?+-+?+=--
（2）
EMBED Equation.3 0.950.0511
(9,10)(10,9) 3.14
F F =
=
EMBED
Equation.3
2
2
21/σσ∴的 90%的 置 信 区 间 为 : EMBED Equation.3
2
221/σσ∴的 90%的 置 信 区 间 为 : 0%的 置 信 区 间 为 :
概率统计第七章参数估计参考答案
概 班级 姓名 学号 任课教师 第七章 参数估计 教学要求： 一、理解点估计的概念，了解矩估计法和极大似然估计法； 二、了解无偏性、有效性、一致性等估计量的评判标准； 三、理解区间估计的概念，会求单个正态总体均值与方差的置信区间，会求两个正态总体均值差与方差比的置信区间． 重点：极大似然估计法、矩估计法． 难点：置信区间的定义及求法． 习题一 点估计 1.随机抽取8只活塞环，测得它们的直径（单位：mm ）为： 74.001， 74.005， 74.003， 74.001， 74.000， 73.998， 74.006， 74.002 试求总体均值μ与总体方差2σ的矩估计值，并求样本方差2 s ． 解：总体的一、二阶原点矩分别为： ()μ=X E ， () ()()[]222 2μσ+=+=X E X D X E ； 样本的一、二阶中心矩分别为： X X n A n i i ==∑=111， ∑==n i i X n A 1 2 21； 由矩估计法有 ()X A X E ===∧ ∧ 1μ, ()22 2 2 A X E =+=∧∧ ∧ μσ , 即 X =∧ μ， () ∑∑==∧∧ -=-=-=n i i n i i X X n X X n A 12 2122 22 11μσ 由题中所给数据得 001.74=∧ μ， 52 10388.1-∧?=σ
2.设总体X 的密度函数为，()??? ??≤>=-;0, 0,0,1x x e x f x θθ 其中θ0>是未知参数，求θ的矩 估计． 解：因为 ()θθ θ=== - ∞ +∞ +∞ -? ? dx e x dx x xf X E x 1 )( 则 X =∧ θ. 3.设总体X 服从泊松分布，其分布律为λλ-==e x x X P x ! }{， ,2,1=x ．试求未知参 数λ)0(>λ的矩估计． 解：因为 λλλλλλλ λ λ λ =-=-=? =? =∑∑ ∑∑∞ =---∞ =-∞ =∞ =-1 1 11 )!1()! 1(! ! )(x x x x x x x x x e e x e x x x e x X E ， 故 X =∧ λ. 4.设总体X 的密度函数为：σ σ x e x f -=21)( ，)(+∞<<-∞x 求参数σ)0(>σ的最大似然估计． 解：似然函数为 ()σ σσσ σ∑=∏==---=n i i i x n x n i e e L 1 221)(1， σ σσ∑=- -=n i i x n L 1 )2ln()(ln ， 对σ求导得似然方程 01 )(ln 1 2 =+-=∑=n i i x n d L d σ σσσ 求得σ的最大似然估计为 ∑=∧ =n i i ML x n 1 1σ. 5.已知某种白炽灯泡的使用寿命服从正态分布，其分布参数均未知．在某个星期所生产的这种灯泡中随机抽取10只，测得其寿命（单位：小时）为： 1067， 919， 1196， 785， 1126， 936， 918， 1156， 920， 948. 试用最大似然估计法估计这个星期中生产的灯泡能使用1300小时以上的概率．
统计学第七章、第八章课后题答案
统计学复习笔记 第七章参数估计 一、思考题 1．解释估计量和估计值 在参数估计中，用来估计总体参数的统计量称为估计量。估计量也是随机变量。如样本均值，样本比例、样本方差等。 根据一个具体的样本计算出来的估计量的数值称为估计值。 2．简述评价估计量好坏的标准 （1）无偏性：是指估计量抽样分布的期望值等于被估计的总体参数。 （2）有效性：是指估计量的方差尽可能小。对同一总体参数的两个无偏估计量，有更小方差的估计量更有效。 （3）一致性：是指随着样本量的增大，点估计量的值越来越接近被估总体的参数。 3．怎样理解置信区间 在区间估计中，由样本统计量所构造的总体参数的估计区间称为置信区间。置信区间的论述是由区间和置信度两部分组成。有些新闻媒体报道一些调查结果只给出百分比和误差（即置信区间），并不说明置信度，也不给出被调查的人数，这是不负责的表现。因为降低置信度可以使置信区间变窄（显得“精确”），有误导读者之嫌。在公布调查结果时给出被调查人数是负责任的表现。这样则可以由此推算出置信度（由后面给出的公式），反之亦然。 4．解释95%的置信区间的含义是什么 置信区间95%仅仅描述用来构造该区间上下界的统计量（是随机的）覆盖总体参数的概率。也就是说，无穷次重复抽样所得到的所有区间中有95%（的区间）包含参数。 不要认为由某一样本数据得到总体参数的某一个95%置信区间，就以为该区间以的概率覆盖总体参数。 5．简述样本量与置信水平、总体方差、估计误差的关系。 1. 估计总体均值时样本量n 为 （z 2 ）2 2其中： E z n n E22 其中： E z 2 n 2. 样本量n 与置信水平1- α、总体方差、估计误差E之间的关系为与置信水平 成正比，在其他条件不变的情况下，置信水平越大，所
第7章 统计学 参数估计 练习题
第7章参数估计 练习题 一、填空题（共10题，每题2分，共计20分） 1．参数估计就是用_______ __去估计_______ __。 2. 点估计就是用_______ __的某个取值直接作为总体参数的_______ __。3．区间估计是在_______ __的基础上，给出总体参数估计的一个区间范围，该区间通常由样本统计量加减_______ __得到。 4. 如果将构造置信区间的步骤重复多次，置信区间中包含总体参数真值的次数所占的比例称为_______ __，也成为_______ __。 5．当样本量给定时，置信区间的宽度随着置信系数的增大而_______ __；当置信水平固定时，置信区间的宽度随着样本量的增大而_______ __。 6. 评价估计量的标准包含无偏性、_______ __和_______ __。 7. 在参数估计中，总是希望提高估计的可靠程度，但在一定的样本量下，要提高估计的可靠程度，就会_______ __置信区间的宽度；如要缩小置信区间的宽度，又不降低置信程度，就要_______ __样本量。 8. 估计总体均值置信区间时的估计误差受总体标准差、_______ __和_______ __的影响。 9. 估计方差未知的正态总体均值置信区间用公式_______ __；当样本容量大于等于30时，可以用近似公式_______ __。 10. 估计正态总体方差的置信区间时，用_____ __分布，公式为______ __。 二、选择题（共10题，每题1分，共计10分） 1．根据一个具体的样本求出的总体均值的95%的置信区间 ( )。 A．以95%的概率包含总体均值 B．有5%的可能性包含总体均值 C．一定包含总体均值 D. 要么包含总体均值，要么不包含总体均值 2．估计量的含义是指( )。
第7章参数估计习题及答案精编版
第7章 参数估计 ----点估计 一、填空题 1、设总体X 服从二项分布),(p N B ，10<
α是未知参数， n X X X ,,21为一个样本，试求参数α的矩估计和极大似然估计. 解：因? ?++=+= 10 1 1α1α1αdx x dx x x X E a )()()(2 α1 α2α1α102++= ++= +|a x 令2α 1α ++==??)(X X E X X --=∴112α ?为α的矩估计 因似然函数1212 (,, ;)(1)()n n n L x x x x x x ααα=+ ∑=++=∴n i i X n L 1α1αln )ln(ln ，由∑==++=??n i i X n L 1 01ααln ln 得， α的极大似量估计量为)ln (?∑=+-=n i i X n 1 1α 2、设总体X 服从指数分布 ,0 ()0,x e x f x λλ-?>=?? 其他 ，n X X X ,,21是来自X 的样本，（1） 求未知参数λ的矩估计；（2）求λ的极大似然估计.
第七章参数估计练习题(最新整理)
第七章参数估计练习题 一．选择题 1.估计量的含义是指（） A.用来估计总体参数的统计量的名称 B.用来估计总体参数的统计量的具体数值 C．总体参数的名称 D．总体参数的具体取值 2．一个95%的置信区间是指（） A.总体参数有95%的概率落在这一区间内 B.总体参数有5%的概率未落在这一区间内 C. 在用同样方法构造的总体参数的多个区间中，有95%的区间包含该总体参数。 D.在用同样方法构造的总体参数的多个区间中，有95%的区间不包含该总体参数。 3.95%的置信水平是指（） A.总体参数落在一个特定的样本所构造的区间内的概率是95% B．在用同样方法构造的总体参数的多个区间中，包含总体参数的区间比例为95% C．总体参数落在一个特定的样本所构造的区间内的概率是5% D．在用同样方法构造的总体参数的多个区间中，包含总体参数的区间比例为5% 4.根据一个具体的样本求出的总体均值的95%的置信区间（） A．以95%的概率包含总体均值 B．有5%的可能性包含总体均值 C.一定包含总体均值 D．要么包含总体均值，要么不包含总体均值 5. 当样本量一定时，置信区间的宽度（） A.随着置信水平的增大而减小 B. .随着置信水平的增大而增大 C．与置信水平的大小无关D。与置信水平的平方成反比 6.当置信水平一定时，置信区间的宽度（） A.随着样本量的增大而减小 B. .随着样本量的增大而增大 C．与样本量的大小无关D。与样本量的平方根成正比 7.在参数估计中，要求通过样本的统计量来估计总体参数，评价统计量的标准之一是使它与总体参数的离差越小越好。这种评价标准称为（） A．无偏性 B.有效性 C. 一致性D. 充分性 8. 置信水平（1-α）表达了置信区间的（） A．准确性 B. 精确性 C. 显著性D. 可靠性 9. 在总体均值和总体比例的区间估计中，边际误差由（） A．置信水平决定 B. 统计量的抽样标准差确定 C. 置信水平和统计量的抽样标准差 D. 统计量的抽样方差确定 10. 当正态总体的方差未知，且为小样本条件下，估计总体均值使用的分布是（） A.正态分布 B. t分布 C.χ2分布 D. F分布 11. 当正态总体的方差未知，且为大样本条件下，估计总体均值使用的分布是（）
统计学答案第七章
1 估计量的含义是指（）。 A.用来估计总体参数的统计量的名称 B.用来估计总体参数的统计量的具体数值 C.总体参数的名称 D.总体参数的具体数值 2 在参数估计中，要求通过样本的统计量来估计总体参数，评价统计量的标准之一是使它与总体参数的离差越小越好。这种评价标准称为（）。 A.无偏性 B.有效性 C.一致性 D.充分性 3 根据一个具体的样本求出的总体均值的95%的置信区间（）。 A.以95%的概率包含总体均值 B.有5%的可能性包含总体均值 C.一定包含总体均值 D.要么包含总体均值，要么不包含总体均值 4 无偏估计是指（）。 A.样本统计量的值恰好等于待估的总体参数 B.所有可能样本估计值的数学期望等于待估总体参数 C.样本估计值围绕待估总体参数使其误差最小 D.样本量扩大到和总体单元相等时与总体参数一致 5 总体均值的置信区间等于样本均值加减边际误差，其中的边际误差等于所要求置信水平的临界值乘以（）。 A.样本均值的抽样标准差 B.样本标准差 C.样本方差 D.总体标准差 6 当样本量一定时，置信区间的宽度（）。 A.随着置信系数的增大而减小 B.随着置信系数的增大而增大 C.与置信系数的大小无关 D.与置信系数的平方成反比 7 当置信水平一定时，置信区间的宽度（）。 A.随着样本量的增大而减小 B.随着样本量的增大而增大 C.与样本量的大小无关 D.与样本量的平方根成正比 8 一个95%的置信区间是指（）。 A.总体参数有95%的概率落在这一区间内 B.总体参数有5%的概率未落在这一区间内 C.在用同样方法构造的总体参数的多个区间中，有95%的区间包含该总体参数 D.在用同样方法构造的总体参数的多个区间中，有95%的区间不包含该总体参数
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统计学复习笔记 第七章 一、 思考题 1． 解释估计量和估计值 在参数估计中，用来估计总体参数的统计量称为估计量。估计量也是随机变量。如样本均值，样本比例、样本方差等。 根据一个具体的样本计算出来的估计量的数值称为估计值。 2． 简述评价估计量好坏的标准 （1）无偏性：是指估计量抽样分布的期望值等于被估计的总体参数。 （2）有效性：是指估计量的方差尽可能小。对同一总体参数的两个无偏估计量，有更小方差的估计量更有效。 （3）一致性：是指随着样本量的增大，点估计量的值越来越接近被估总体的参数。 3． 怎样理解置信区间 在区间估计中，由样本统计量所构造的总体参数的估计区间称为置信区间。置信区间的论述是由区间和置信度两部分组成。有些新闻媒体报道一些调查结果只给出百分比和误差（即置信区间），并不说明置信度，也不给出被调查的人数，这是不负责的表现。因为降低置信度可以使置信区间变窄（显得“精确”），有误导读者之嫌。在公布调查结果时给出被调查人数是负责任的表现。这样则可以由此推算出置信度（由后面给出的公式），反之亦然。 4． 解释95%的置信区间的含义是什么 置信区间95%仅仅描述用来构造该区间上下界的统计量(是随机的)覆盖总体参数的概率。也就是说，无穷次重复抽样所得到的所有区间中有95%（的区间）包含参数。 不要认为由某一样本数据得到总体参数的某一个95%置信区间，就以为该区间以0.95的概率覆盖总体参数。 5． 简述样本量与置信水平、总体方差、估计误差的关系。 1. 估计总体均值时样本量n 为 2. 样本量n 与置信水平1-α、总体方差、估计误差E 之间的关系为 其中： 2222α2222)(E z n σα=n z E σα2=
概率与数理统计第7章参数估计习题及答案
第7章 参数估计 ----点估计 一、填空题 1、设总体X 服从二项分布),(p N B ，10<
α是未知参数， n X X X ,,21为一个样本，试求参数α的矩估计和极大似然估计. 解：因? ?++=+= 10 1 1α1α1αdx x dx x x X E a )()()(2 α1 α2α1α102++=++= +|a x 令2 α1α ++==??)(X X E X X --=∴112α ?为α的矩估计 因似然函数1212(,,;)(1)()n n n L x x x x x x ααα=+ ∑=++=∴n i i X n L 1α1αln )ln(ln ，由∑==++=??n i i X n L 1 01ααln ln 得， α的极大似量估计量为)ln (?∑=+-=n i i X n 1 1α 2、设总体X 服从指数分布 ,0 ()0,x e x f x λλ-?>=?? 其他 ，n X X X ,,21是来自X 的样本，（1） 求未知参数λ的矩估计；（2）求λ的极大似然估计.
第七章参数估计
第七章 参数估计 1．[一] 随机地取8只活塞环，测得它们的直径为（以mm 计） 74.001 74.005 74.003 74.001 74.000 73.998 74.006 74.002 求总体均值μ及方差σ2的矩估计，并求样本方差S 2。 解：μ，σ2 的矩估计是 61 22 106)(1?,002.74?-=?=-===∑n i i x X n X σμ 621086.6-?=S 。 2．[二]设X 1，X 1，…，X n 为准总体的一个样本。求下列各总体的密度函数或分布律中的未知参数的矩估计量。 （1）? ??>=+-其它,0,)()1(c x x c θx f θθ 其中c >0为已知，θ>1，θ为未知参数。 （2）?? ???≤≤=-.,01 0,)(1其它x x θx f θ 其中θ>0，θ为未知参数。 （5）()p p m x p p x X P x m x m x ,10,,,2,1,0,)1()(<<=-==- 为未知参数。 解：（1）X θc θθc θc θc θdx x c θdx x xf X E θθc θ θ =--=-== =+-∞+-∞+∞ -? ? 1 ,11)()(1令， 得c X X θ-= （2）,1)()(10 += = = ? ? ∞+∞ -θθdx x θdx x xf X E θ 2 )1(,1 X X θX θθ-==+得令 （5）E (X ) = mp 令mp = X ， 解得m X p =? 3．[三]求上题中各未知参数的极大似然估计值和估计量。 解：（1）似然函数 1211 )()()(+-=== ∏θn θ n n n i i x x x c θ x f θL 0ln ln )(ln ,ln )1(ln )ln()(ln 1 1 =- +=-++=∑∑ ==n i i n i i x c n n θθL d x θc θn θn θL
统计学第七章、第八章课后题答案
统计学复习笔记 第七章 参数估计 一、 思考题 1． 解释估计量和估计值 在参数估计中，用来估计总体参数的统计量称为估计量。估计量也是随机变量。如样本均值，样本比例、样本方差等。 根据一个具体的样本计算出来的估计量的数值称为估计值。 2． 简述评价估计量好坏的标准 （1）无偏性：是指估计量抽样分布的期望值等于被估计的总体参数。 （2）有效性：是指估计量的方差尽可能小。对同一总体参数的两个无偏估计量，有更小方差的估计量更有效。 （3）一致性：是指随着样本量的增大，点估计量的值越来越接近被估总体的参数。 3． 怎样理解置信区间 在区间估计中，由样本统计量所构造的总体参数的估计区间称为置信区间。置信区间的论述是由区间和置信度两部分组成。有些新闻媒体报道一些调查结果只给出百分比和误差（即置信区间），并不说明置信度，也不给出被调查的人数，这是不负责的表现。因为降低置信度可以使置信区间变窄（显得“精确”），有误导读者之嫌。在公布调查结果时给出被调查人数是负责任的表现。这样则可以由此推算出置信度（由后面给出的公式），反之亦然。 4． 解释95%的置信区间的含义是什么 置信区间95%仅仅描述用来构造该区间上下界的统计量(是随机的)覆盖总体参数的概率。也就是说，无穷次重复抽样所得到的所有区间中有95%（的区间）包含参数。 不要认为由某一样本数据得到总体参数的某一个95%置信区间，就以为该区间以0.95的概率覆盖总体参数。 5． 简述样本量与置信水平、总体方差、估计误差的关系。 1. 估计总体均值时样本量n 为 2. 样本量n 与置信水平1-α、总体方差 、估计误差E 之间的关系为 其中： 2222α2222)(E z n σα=n z E σα2=
统计学第四版第七章答案
第四章 抽样分布与参数估计 某快餐店想要估计每位顾客午餐的平均花费金额。在为期3周的时间里选取49名顾客组成 了一个简单随机样本。 (1)假定总体标准差为15元，求样本均值的抽样标准误差。 x σ= = = (2)在95％的置信水平下，求边际误差。 x x t σ?=?，由于是大样本抽样，因此样本均值服从正态分布，因此概率度t=2z α 因此，x x t σ?=?x z ασ=?0.025x z σ=?=×= (3)如果样本均值为120元，求总体均值 的95％的置信区间。 置信区间为： (),x x x x -?+?=()120 4.2,120 4.2-+=（，） 从总体中抽取一个n=100的简单随机样本,得到x =81，s=12。 要求： 大样本，样本均值服从正态分布：2,x N n σμ?? ???:或2,s x N n μ?? ??? : 置信区间为： 22x z x z αα?-+ ? (1)构建μ的90％的置信区间。 2z α=0.05z =，置信区间为：()81 1.645 1.2,81 1.645 1.2-?+?=（，） (2)构建μ的95％的置信区间。 2z α=0.025z =，置信区间为：()81 1.96 1.2,81 1.96 1.2-?+?=（，） (3)构建μ的99％的置信区间。 2z α=0.005z =，置信区间为：()81 2.576 1.2,81 2.576 1.2-?+?=（，） 某大学为了解学生每天上网的时间，在全校7 500名学生中采取重复抽样方法随机抽取 36人，调查他们每天上网的时间，得到下面的数据(单位：小时)： 解：
第七章 参数估计
第七章 参数估计 §7.1 参数的点估计 §7.2 估计量的评选标准 一、 填空题 1．矩估计法是通过 参数 与 总体矩 的联系，解出参数，并用 样本矩 代替 总体矩 而得到参数估计的一种方法； 2．极大似然估计法是在 总体分布形式 已知情况下的一种点估计方法； 3．设n X X X 2,1是正态总体),(2σμN 的一个样本，则μ的极大似然估计为 =μ? ∑=n i i X n 11 ；总体方差的矩估计为=σ2 ? ∑=-n i i X X n 1 2)(1 ； 4.设()12?,,,n X X X θ 为未知参数θ的估计量，若() ?E θθ=，则称?θ为θ的无偏估计量； 5．设n X X X 2,1为总体X 的一个样本，则总体均值)(X E 的无偏估计为 ∑==n i i X n X 11 ；总体方差)(X D 的无偏估计为 ∑=--=n i i X X n S 1 22 )(11 ； 6.设总体X 服从二项分布(),,B N p N 已知，()12,,,n X X X 是来自X 的样本，则p 的极大似然估计量为 X N ； 解 {}() 1i i i N x x x i N P x x C p p -==-， ()()11 1111n n i i i i i i i i n n x N x nN x x x x N N i i L C p p C p p ==--==∑??∑=-=- ??? ∏∏， ()111ln ln ln ln 1i n n n x N i i i i i L C x p nN x p ===?????? =++-- ? ? ??? ????∑∑∏， 令11ln 11 0,1n n i i i i d L x nN x dp p p ==????=--= ? ?-????∑∑得到1n i i x X p nN N ===∑。 7.在天平上重复称量一重为a 的物品，假设各次称量结果相互独立且服从正态分布 ()2,0.2N a ，若以n X 表示n 次称量结果的算术平均值，则为使{} 0.10.95n P X a -<≥，n 的最小值应不小于自然数16。 解 ()()2 2 0.2,n n E X a D X n n σ===，所以20.2,n X N a n ?? ???
统计学课件 第七章 参数估计
统计学
STATISTICS (第三版 第三版)
第 7 章 参数估计
统计学
作者：张占贞 作者：张占贞 青岛科技大学经济与管理学院 青岛科技大学经济与管理学院
统计学
STATISTICS (第三版 第三版)
第 7 章 参数估计
§7.1 参数估计的一般问题 §7.2 一个总体参数的区间估计 §7.3 样本量的确定
作者：张占贞 作者：张占贞 青岛科技大学经济与管理学院 青岛科技大学经济与管理学院
统计学
STATISTICS (第三版 第三版)
学习目标
1. 估计量与估计值的概念 2. 点估计与区间估计的区别 3. 评价估计量优良性的标准 4. 一个总体参数的区间估计方法 5. 样本量的确定方法
作者：张占贞 作者：张占贞 青岛科技大学经济与管理学院 青岛科技大学经济与管理学院
统计学
STATISTICS (第三版 第三版)
§7.1 参数估计的一般 问题
7.1.1 估计量与估计值 7.1.2 点估计与区间估计 7.1.3 评价估计量的标准
作者：张占贞 作者：张占贞 青岛科技大学经济与管理学院 青岛科技大学经济与管理学院
统计学
STATISTICS (第三版 第三版)
估计量与估计值
作者：张占贞 作者：张占贞 青岛科技大学经济与管理学院 青岛科技大学经济与管理学院
统计学
STATISTICS (第三版 第三版)
估计量与估计值
(estimator & estimated value)
1. 估计量：用于估计总体参数的随机变量 – 如样本均值，样本比例, 样本方差等 – 例如: 样本均值就是总体均值μ 的一个估计量
? 表示 2. 参数用θ 表示，估计量用 θ
3. 估计值：估计参数时 计算出来的统计量的
具体值
– 如果样本均值 ?x =80，则80就是μ的估计值
作者：张占贞 作者：张占贞 青岛科技大学经济与管理学院 青岛科技大学经济与管理学院
大学统计学第七章练习题及答案(供参考)
第7章 参数估计 练习题 7.1 从一个标准差为5的总体中抽出一个样本量为40的样本，样本均值为25。 （1） 样本均值的抽样标准差x σ等于多少? （2） 在95%的置信水平下，边际误差是多少？ 解：⑴已知25,40,5===x n σ 样本均值的抽样标准差79.04 10 40 5≈= = = n x σ σ ⑵已知5=σ,40=n ,25=x ，4 10 = x σ，%951=-α 96.1025.02 ==∴Z Z α 边际误差55.14 10 * 96.12 ≈==n Z E σ α 7.2 某快餐店想要估计每位顾客午餐的平均花费金额，在为期3周的时间里选取49名顾客 组成了一个简单随机样本。 （1） 假定总体标准差为15元，求样本均值的抽样标准误差； （2） 在95%的置信水平下，求边际误差； （3） 如果样本均值为120元，求总体均值μ的95%的置信区间。 解.已知.根据查表得2/αz = （1）标准误差：14.249 15== =n X σ σ （2）．已知2/αz = 所以边际误差=2/αz * =n s *49 15= （3）置信区间：)(2.124,8.11596.149 151202 =*± =±n s Z x α
7.3 从一个总体中随机抽取100=n 的随机样本，得到104560=x ，假定总体标准差 85414=σ，构建总体均值μ的95%的置信区间。 96.12 =?Z 144.16741100 85414* 96.12 ==? ?n Z σ 856.87818144.16741104560. 2 =-=-?n Z x σ 144.121301144.16741104560. 2 =+=+?n Z x σ 置信区间：（，） 7.4 从总体中抽取一个100=n 的简单随机样本，得到81=x ，12=s 。 （1） 构建μ的90%的置信区间。 （2） 构建μ的95%的置信区间。 （3） 构建μ的99%的置信区间。 解；由题意知100=n , 81=x ,12=s . （1）置信水平为%901=-α，则645.12 =αZ . 由公式n s z x ? ±2 α974.181100 12645.181±=? ±= 即(),974.82,026.79974.181=± 则的的%90μ置信区间为~ （2）置信水平为%951=-α， 96.12 =αz 由公式得n s z x ? ±2 α=81352.281100 12 96.1±=? ± 即81352.2±=（，）， 则μ的95%的置信区间为~ （3）置信水平为%991=-α，则576.22 =αZ .
第七章 参数估计-含答案
第七章参数估计 一、单项选择题 1.区间X 2.58x S的含义是（）。 A. 99%的总体均数在此范围内 B. 样本均数的99%可信区间 C. 99%的样本均数在此范围内 D. 总体均数的99%可信区间 答案：D 2.以下关于参数估计的说法正确的是（）。 A. 区间估计优于点估计 B. 样本含量越大，参数估计准确的可能性越大 C. 样本含量越大，参数估计越精确 D. 对于一个参数只能有一个估计值 答案：B 3.假定抽样单位数为400，抽样平均数为300和30，相应的变异系数为50%和20%，试以0.9545的概率来确定估计精度为（）。 A.15和0.6 B.5%和2% C.95%和98% D.2.5%和1 答案：C 4.根据10%抽样调查资料，甲企业工人生产定额完成百分比方差为25，乙企业为49。乙企业工人数四倍于甲企业，工人总体生产定额平均完成率的区间（）。 A. 甲企业较大 B. 乙企业较大 C. 两企业一样 D. 无法预期两者的差别 答案：A 5.对某轻工企业抽样调查的资料，优质品比重40%，抽样误差为4%，用多大的概率才能确信全及总体的这个指标不小于32%（）。 A.0.6827 B.0.9545 C.0.9973 D.2.00 答案：B 6.根据抽样调查的资料，某城市人均日摄入热量2500千卡，抽样平均误差150千卡，该市人均摄入热量在2350千卡至2650千卡之间的置信度为（）。 A.0.9545 B. 0.6827 C.1 D. 0.90 答案：B 7.对进口的一批服装取25件作抽样检验,发现有一件不合格。概率为0.9545时计算服装不合格率的抽样误差为7.3%。要使抽样误差减少一半,必须抽（）件服装做检验。 A.50 B.100 C.625 D.25 答案：B 8.根据以往调查的资料，某城市职工平均每户拥有国库券和国债的方差为1600，为使极限抽样误差在概率保证程度为0.9545时不超过4元，应抽取（）户来进行调查。 A.I600 B.400 C.10 D.200 答案：B
概率论与数理统计练习题第七章答案
概率论与数理统计练习题 系 专业 班 姓名 学号 第七章 参数估计（一） 一、选择题： 1矩估计必然是 [ C ] （A ）无偏估计 （B ）总体矩的函数 （C ）样本矩的函数 （D ）极大似然估计 2．设12,X X 是正态总体(,1)N μ的容量为2的样本，μ为未知参数，μ的无偏估计是 [ D ] （A ） 122433X X + （B ）121244X X + （C ）123144X X - （D ）122355 X X + 3．设某钢珠直径X 服从正态总体(,1)N μ（单位：mm ），其中μ为未知参数，从刚生产的一大堆钢珠抽出9个，求的样本均值31.06X =，样本方差2 2 90.98S =，则μ的极大似然估计值为 [ A ] （A ）31.06 （B ）(31.06-0.98 , 31.06 + 0.98) （C ）0.98 （D ）9×31.06 二、填空题： 1．如果1?θ与2?θ都是总体未知参数θ的估计量，称1?θ比2?θ有效，则1?θ与2 ?θ的期望与方差一定满 足 1212????,E E D D θθθθ=< 2．设样本1230.5,0.5,0.2x x x ===来自总体1 ~(,)X f x x θθθ-=，用最大似然法估计参 数θ时，似然函数为()L θ= 31(0.05)θθ- 3．假设总体X 服从正态分布2 12(,),,,(1)n N X X X n μσ> 为X 的样本， 1 2 211()n i i i C X X σ-+==-∑是2σ的一个无偏估计，则C = 12(1) n - 三、计算题： 1．设总体X 具有分布律，其中(01)θθ<<为未知参数， 已知取得了样本值1231,2,1x x x ===，试求θ 456()2(1)22.5 ')1(0.6 L L θθθθθθθθ=?-=-== 解：该样本的似然函数.为令得三 、
07练习题解答：第七章 参数估计
第七章参数估计 练习题： 1．假设一个总体有3、6、9、12、15共5个元素，抽取样本容量为2的样本，绘制总体分布与样本均值的抽样分布，并比较两个分布的异同？ 解：○1总体分布： 总体中5个元素3、6、9、12和15在总体中都各自仅仅出现一次，其分布为均匀分布，如下图所示： ○2若重复抽取（抽取后放回）样本容量为2的样本，则可以抽取的样本有52=25个，样本以及样本的均值如下表所示： 根据上表可以绘制出25个样本均值的相对频数分布，如下图所示：
样本均值的抽样分布 2．某报刊为了对某市交通的便利情况进行调查，在全市随机抽取了56名市民，调查其每天上下班大约在公交车上花费的时间，下表是56名市民做出的回答：（单位：分钟） 80 80 68 48 60 50 110 50 85 95 75 70 210 60 50 60 200 70 40 35 120 90 60 80 70 80 190 45 60 120 100 40 78 50 80 50 30 55 80 110 50 70 90 40 60 30 60 60 70 60 60 80 50 60 80 120 （1）请计算这56名市民上下班在公交车上花费的时间的平均数 x和标准差S。 （2）求该市市民上下班在公交车上花费的平均时间的置信区间，置信度为95%。解：（1）均值：1 8080684224 75.43 5656 n i i X x n = +++ ==== ∑ …+120 标准差： =37.11 S== = （2）大样本单总体均值的区间估计：
在1α-的置信度下，总体均值μ 的置信区间为22 x Z x Z α α ? ? -+ ?， 该题目中：=0.05α，75.43x =，=37.11σ，0.052 2 ==1.96 Z Z α，56n = 则：2 1.969.72Z α == 可得：2 75.439.7265.71x Z α -=-= 2 75.439.7285.15x Z α +=+= 可得总体均值μ的置信区间为()65.71,85.15。 3．某大学为了了解本校学生每天上网的时间，在全校6000名学生中随机抽取了20 名学生进行调查，得到下面的数据：（单位：小时） 2.5 3 4 2 1.6 2.5 4 2 3 1 2.8 3.5 6 2 4 1 2 3.8 1 5 （1）请计算这20学生每天上网的时间的平均数x 和方差S 。 （2）求该校20名学生每天上网的平均时间的置信区间，置信度为99%。 解：（1）均值：1 2.53456.7 2.842020 n i i X x n =+++== ==∑…+5 标准差： =1.35 s == = （2）小样本单总体均值的区间估计： 在1α-的置信度下，总体均值μ 的置信区间为2 2 x t x t α α??-+ ? ，该题 目中：=0.05α， 2.84x =，s=1.35，0.052 2 2.093t t α==（自由度为19），20n =
第七章、参数估计
第七章、参数估计 一、选择题： 1．若12,,,n X X X 是取自总体X 的样本，且DX = 2 σ，又X 与2 S 分别是样本均值与样本方差，则必有 （ ） A ．2 S 是2 σ的矩法估计量 B ．2 S 是2σ的最大似然估计量 C ．2()()E S E X = D ．22()E S σ= 2．若总体X 在（0，θ）上服从均匀分布，θ>0，12,,,n X X X 是取自总体X 的样本，则θ的矩法估计量为 （ ） A ．X B ．2X C ．S D ．2S 3．若总体X 的分布律为 {},0,1,2 ! x e P X x x x λ λ-== = 而1，2，5，7，8是X 的样本观测值，则λ的最大似然估计值为 （ ） A ．4 B ．5 C ．23/5 D ．3 4．若总体2 ~(,)X N μσ ，已知σ2 =σ20 ，则未知参数μ的置信区间为 （ ） A. 22 001 122122()(),n n i i i i x x x x ααμμ==- ?? --? ? ??? ???? ? ∑∑ B. 22 2 2122(1)(1),n s n s x x α α -? ? --???????? C. 2 2,x x αασσ? ?- + ??? ? D. 22,s s x x αα??- +??? ? 5．若总体2 ~(,)X N μσ ，未知σ2，则未知参数μ的置信区间为 （ ） A. 22001 122122()() ,n n i i i i x x x x ααμμ==- ?? --?? ??? ???? ? ∑∑ B. 22 2 2122(1)(1),n s n s x x α α -? ? --????????
概率与数理统计第7章参数估计习题及答案
第7章 参数估计 ----点估计 一、填空题 1、设总体X 服从二项分布),(p N B ，10<
α是未知参数， n X X X Λ,,21为一个样本，试求参数α的矩估计和极大似然估计. 解：因? ?++=+= 10 1 1α1α1αdx x dx x x X E a )()()(2 α1 α2α1α102++= ++= +|a x 令2 α1α ++==??)(X X E X X --=∴112α ?为α的矩估计 因似然函数1212(,,;)(1)()n n n L x x x x x x α αα=+L L ∑=++=∴n i i X n L 1α1αln )ln(ln ，由∑==++=??n i i X n L 1 01ααln ln 得， α的极大似量估计量为)ln (?∑=+-=n i i X n 1 1α 2、设总体X 服从指数分布 ,0 ()0,x e x f x λλ-?>=?? 其他 ，n X X X Λ,,21是来自X 的样本，（1）
第七章参数估计习题
第七章 参数估计 一、 填空题： 1．设总体),(~2σμN X ，n X X X ,,,21 是来自X 的一个样本，参数2,σμ都是未知的， 则μ的矩估计量为 。2 σ的矩估计量为 。 2．设总体),(~2σμN X ，其中2 σ未知，μ已知，n X X X ,,,21 是来自X 的一个样本， 做样本函数如下①∑=-n i i X n 12)(1μ，②2 1])([∑=-n i i X σμ，③∑=-n i i X X n 12)(1，④ ∑=--n i i X X n 12 )(11，⑤∑=+--n i i i X X n 121)() 1(21，这些样本函数中，是统计量的有 , 统计量中是的无偏估计量的有 。 3．设某总体X 的密度函数为?? ???<<-=其他 ,00, )(2 );(2ααα αx x x f ，对容量为n 的样本， 参数α的矩估计量为 。 4.假设总体)81.0,(~μξN ，n X X X ,,,21 是来自ξ的样本，测得样本均值5=x ，则置 信度是0.99的μ的置信区间是 5．设n X X X ,,,21 是来自总体X 的样本，对总体方差进行估计时，常用的无偏估计量是 。 6．设总体X 在区间],0[θ上服从均匀分布，则未知参数θ的矩法估计量为 。 二、选择题： 1．设n X X X ,,,21 是来自总体X 的样本，2 )(,)(σμ==x D x E ，并且和是未知参数，下面结论中是错误的[ ]。 （A ）X =1?μ 是μ的无偏估计； （B ）12?X =μ是μ的无偏估计； （C ）21??μμ比有效； （C ）21 )(1∑=-n i i X n μ是2σ的 极大似然估计量。
第七章 参数估计习题
第七章 参数估计 习题十七 点估计 一、填空 1. 估计一个参数的常用估计方法是 。 2. 若X 是离散型随机变量，分布律是P{X =x}=P(x ;θ)，（θ是待估计参数），则似然函数 ，X 是连续型随机变量，概率密度是f(x ;θ)，则似然函数是 。 3. 若未知参数θ的估计量是θ ?，若?ε>0，有 成立，则θ?称是θ的一致估计量，若 称θ?是θ的无偏估计量。设θ?1,θ?2是未知参数θ的两个无偏估计量，若 则称θ?1较θ ?2有效。 4. 对任意分布的总体，样本均值X 是 的无偏估计量。 5. 设总体X ~π(λ)，其中λ>0是未知参数，X 1,…,X n 是X 的一个样本，则λ的矩估计量为 ，极大似然估计为 。 6. 设Χ1 Χ2，…，Χn 1是总体Χ～Ν(μ1,σ12)的一个样本，、S 12分别是样本均值和方差；Y 1 Y 2，…，Y n 2是总体Y ～Ν(μ2,σ22)的一个样本，Y 、S 22是样本均值和方差，这两个样本相 互独立，S 12/S 2 2σ1 2/σ2 2服从 ． 二、设随机变量X 服从正态分布N(μ,σ2)(σ>0)，且二次方程y 2+4y +X =0无实根的概 率为1 2，求μ。 三、设总体X 服从几何分布，分布律为Y 1，先用矩法求p 的估计量，再求p 的极大似然估计。 四、设总体X 的概率密度为f(x ;θ)={(θ+1)x θ,0
五、设总体X 的概率分布为 X 0123P θ2 2θ(1?θ)θ2 1?2θ ，其中θ(0<θ<1 2)是未知参数， 利用总体X 的如下样本值3，1，3，0，3，1，2，3，求θ的矩估计值和最大似然估计值。 四、设总体X ~N (μ,σ2),X 1,…,X n ，都是来自X 的一个样本，试确定常数C ，使C ∑(X i+1? n?1i=1X i )2为σ2的无偏估计。 五、设某种元件的使用寿命X 的概率密度为f(x,θ)={ 2e ?2(x?θ) ,x >θ0, x ≤θ ，其中θ>0是未知参数，X 1,…,X n 是来自总体X 的简单随机样本，（1）求总体X 的分布函数F(x)；（2）求θ的最大似然估计量θ?；（3）用θ?做θ的估计量，讨论它是否具有无偏性。 习题十八 区间估计 一．填空 1. 设总体Χ～Ν(μ,σ2) Χ1 …，Χn 是来自Χ的一个样本，求σ2的置信区间所使用的枢轴量为Ζ= ；Ζ服从 分布． 2. 设由来自总体Χ～Ν(μ,σ2)容量为9的简单随机样本，得样本均值Χ=5，则未知参数μ的置信度为0.95的置信区间是 ． 3. 设总体Χ～Ν(μ,σ2) Χ1 …，Χn 是Χ的样本，则当σ2已知时，求μ的置信区间所使用的枢轴量为Ζ= ；Ζ服从 分布；当σ2未知时，求μ的置信区间所使用的枢轴量Ζ= ，Ζ服从 分布．