(完整版)第十章_电荷和静电场课后习题答案
第十章 电荷和静电场
10-1当用带电玻璃棒吸引干燥软木屑时，会发现软木屑一接触到玻璃棒后又很快跳离。试解释之。 答：先极化接触后电荷一部分转移至软木屑，后同性电荷相斥。
10-2当带正电的玻璃棒吸引一个悬挂的干燥软木小球时，我们是否可以断定软木小球带有负电荷？当带正电的玻璃棒排斥一个悬挂的干燥软木小球时，我们是否可以断定软木小球带有正电荷？ 答：不能。①软木小球可能带电荷为零，也可能带有负电荷。②可以
10-3两个相同的小球质量都是m ，并带有等量同号电荷q ，各用长为l 的丝线悬挂于同一点。由于电荷的斥力作用，使小球处于题图所示的位置。如果q 角很小，试证明两个小球的间距x 可近似地表示为：
12
3
04q l x mg πε??
= ???
证：由库仑定律得 ：2
2
01
4q F x πε=?
而：tan mg f θ= 2
201
tan 4q mg x
θπε∴=?
∵ θ角很小 ∴ 12tan sin x
l
θθ==
故： 220124x q mg l x πε?=? 23
012q l x mg πε?=? 即得：12
3
04q l x mg πε??= ???
证毕
10-4 在上题中， 如果l = 120 cm ，m = 0.010 kg ，x = 5.0 cm ，问每个小球所带的电量q 为多大？
解：由上题得：1
3
2
02mgx q l πε??
=± ???()
13
2
29
0.0109.8 5.0102 1.28.9910-??
?????=±??????
?
82.410c -=±? 10-5 氢原子由一个质子和一个电子组成。根据经典模型，在正常状态下，电子绕核作圆周运动，轨道半
径是110 5.2910r m -=?。质子的质量271.6710M kg -=?，电子的质量31
9.1110m kg -=?，它们的电量
为19
1.6010
e c -±=? 。
(1)求电子所受的库仑力；
(2)电子所受库仑力是质子对它的万有引力的多少倍？
(3)求电子绕核运动的速率。
解：⑴ 2
200
1
4e e F r πε=-?()
()
2
199
2111.60108.9910 5.2910---?=-???293822828.99 1.6108.22105.29N -+-?=-?=? ⑵ 2200
2
1
4e m
e F r Mm F G r πε?=()2
919113127
8.9910 1.6106.67109.1110 1.6710----???=?????29381131278.99 1.6106.679.11 1.67-+++?=??? 39
2.2610=?
⑶ 2
e mv F F r ==向
∴811031
8.2210 5.29109.1110
e F r v m ---????==?6318.22 5.29109.1110-?=??()62.1810m s =? 10-6 边长为a 的立方体，每一个顶角上放一个电荷q 。
解： 由对称性可知，任一顶角的电荷所受合力的大小是相等的。 如图示，求其中任一顶点A 上电荷所受的力。建立直角坐标系
(
)
(
)
()
22
2
2
2
2
2
200
1
1
11sin 45cos 4544443
223x q q q q F a a
a
a πεπεπεπε=?+?
?+?
?+?
?o
o
2202202201211423231
189223
41.904q a q a q a
πεπεπε?=??+?+? ???++=
??=?
2
201.904y z x q F F F a
πε-=-==?
∴ 2201
6332234x q F F a πε++==??2
2
00.26q a
ε= 与x 轴夹角为cos 3α=
与y 轴夹角为cos 3β= 与z 轴夹角为cos 3
γ=-
即：合力的方向为立方体的对角先方向α=54.73°=54°44′=βγ=
10-7 计算一个直径为1.56 cm 的铜球所包含的正电荷电量。
解：3
334413326
d V R d πππ??=== ??? 3
16m v d ρρπ==
3
2319001
629 6.021029 1.61063.5
d m
Q ne N e m ρπ-==???=?????
()3
323
231953.148.9610 1.561010 6.021029 1.6107.8310663.5
c --?????=
?????=??
（注：铜的密度 3
2
8.9610
kg
m ρ=? ， 原子序数为29，原子量063.5m =）
10-8 一个带正电的小球用长丝线悬挂着。如果要测量与该电荷处于同一水平面内某点的电场强度E ，我们就把一个带正电的试探电荷0q 引入该点，测定F/q0。问0F
q 是小于、等于还是大于该点的电场强度E ？
答：若考虑电荷在电场力的作用下会在小球内产生移动（如图所示）同性相斥，
则由于试探电荷0q 的引入，则该点的电场强度E r 比0
F
q r
要大。即0F E q >r r ，
在没有0q 引入时，小球内的电荷分布是均匀的。
10-9 根据点电荷的电场强度公式2
04q E r
πε=
当所考查的点到该点电荷的距离r 接近零时，则电场强度趋
于无限大，这显然是没有意义的。对此应作何解释？
答：这里是将电荷当作点电荷来处理，而实际情况当r 接近零时电荷就不能认为是点电荷了。因此此时公式2
04q E r
πε=
不成立。
10-10 离点电荷50 cm 处的电场强度的大小为1
2.0N c -?。求此点电荷的电量。 解： 2
04q E r πε=
∴ ()2
21109
0.50 2.0
4 5.6108.9910
q r E c πε-?==
=?? 10-11 有两个点电荷，电量分别为5.0?10-7
C 和2.8?10-8
C ，相距15 cm 。求：
0q +
(1)一个电荷在另一个电荷处产生的电场强度； (2)作用在每个电荷上的力
已知：点电荷 71 5.010;q c -=? 82 2.810;q c -=? 1
15 1.510r cm m -==?
求：1212;;;E E F F 解： ()179
4112
2
10 5.0108.991019.98104 1.510N C q E r πε--???=
=
=?? （方向沿两电荷联线向外）
()
89
4222
2
10 2.8108.9910 1.12104 1.510N C q E r πε--???=
=
=?? （同上）
8443
211221 2.81019.981056.9410 5.6910F F q E N N ---=-==???=?=?
（方向沿两电荷联线相互排斥）
10-12 求由相距l 的 ±q 电荷所组成的电偶极子，在下面的两个特殊空间内产生的电场强度： (1)轴的延长线上距轴心为r 处，并且r >>l ； (2)轴的中垂面上距轴心为r 处，并且r >>l 。
解：（1）(
)
(
)
122
2
004422
q q E E E l
l
r r πεπε=-=
-
-+
()()
2202422q rl l l
r r πε?
?
??=
??-+???
?
∵ r l ? 3
04ql r πε=
∴3
024p
E r πε=
r r
（2）如图示：()
()
122
22022cos 2422l
q
E E l l r r απε==?
?
????++????????()
3222042ql l r πε=??+??
??
∵,r l p ql =r r
? ∴3
04p E r πε=-
r r
10-13 有一均匀带电的细棒，长度为L ，所带总电量为q 。求： (1)细棒延长线上到棒中心的距离为a 处的电场强度，并且a >>L ； (2)细棒中垂线上到棒中心的距离为a 处的电场强度，并且a >>L 。 解：（1）取细棒的一线元dx ，则dx 中的电荷为
q
dx l
?。可视为点电荷 ∴()
204q dx l dE a x πε?=+ 方向沿轴线方向 故：()
()()2222202
2044l l
l l q dx d a x q l E l a x a x πεπε--?+=
=++?
? 202
1|4l
l q
l a x πε-?
?=?- ?+??
011422q
l l l a a πε?? ?=?- ?
-+??
2
204()4
ql l
l a πε=
?-
∴2
2
04()
4
ql E i l
l a πε=
?-u r
r
（2） 2204()q dx l dE a x πε+?=+ 2204()q dx l dE a x πε-?=+ ∴ ()
122
2
202
1
2sin 24()
q
dx l dE dE a x a
x
απε+?==??++
∴ 22330
22220
2
2
020
2244()
()
l l l q q a dx
a dx l
l
E a x a x dE πεπε???=
=
++=?
?
?
2222222
2
00202224444
l
q l q a a l l a a x a a x l
a a πεπεπε0
??=?=?=+++
∣
∴ 1
2
2
2044q
E j l a a πε=
??+ ?
?
?r r
10-14 一个半径为R 的圆环均匀带电，线电荷密度为λ。求过环心并垂直于环面的轴线上与环心相距a 的一点的电场强度。
解：如图：圆环上一线元Rd λθ上产生的电场强度为：
2204()
Rd dE a R λθ
πε+=
+
与其对称的一线元Rd λθ产生的电场强度为 ：
2
2
04()
Rd dE a R λθ
πε-=
+，
两个电场强度的合成为：
122222022sin 4()()
Rd a
dE dE a R a R λθαπε+==
?++ ∴ 3
330
2
2
2
22
22
2
2
000224()
4()2()
Rd Ra Ra
E a R a R a R π
λθλλπεπεε=
=
=
+++?
故： 3222
0124()Ra
E k a R πλπε=
?
+r
10-15 一个半径为R 的圆盘均匀带电，面电荷密度为σ。求过盘心并垂直于盘面的轴线上与盘心相距a 的P 点电场强度。
解：由上题知，圆环上电场强度3222
0124()Ra
E k a R πλπε=
?
+r 环
3
222
01
24()RadR k a R πσπε=?+r
∴33022222200121244()
()R R
RadR ak E k a R a R πσπσπεπε0=?=?∣++?r
u r r 盘
2222001621142k k a R a R πσπεε????=?-=- ???++??
??
r r
10-16 一个半径为R 的半球面均匀带电，面电荷密度为s 。求球心的电场强度。
解：由题9-14知：圆环的电场强度为：
3222
0124()rz
E i r z πλπε=
?
+r 环
22301
24R z zRd i R
πσθπε-=r
g g 0
2sin cos 4d i πσθθθπε=r ∴200
001sin cos 24424E i d i i πππσπσσθθθπεπεε20==?=?u r r r r 半球面 10-17 回答下列问题:
(1)处于高斯面内的任何位置上的电荷对该高斯面的电通量是否都有贡献？是否只要电量相同，贡献就相等？
(2)处于高斯面外的任何位置上的电荷对该高斯面的电通量是否都无贡献？
(3)假设一个点电荷正好处于高斯面上，那么这个点电荷对该高斯面的电通量是否有贡献？
答：（1）是的。高斯面内的任何位置上电荷对高斯面的电通量都有贡献。只要电量相同，电性相同，贡献
就相同。
（2）处于高斯面外的任何位置上的电荷对该高斯面的电通量无贡献。 （3）点电荷正好处于高斯面上，则这个点电荷对高斯面的电通量是有贡献的。
10-18 在高斯定理
s
q
E d s ε=??
u r r g ò 中，高斯面上的E 是否完全由式中的q 所产生？如果q = 0，是否
必定有0E =r
？反之，如果在高斯面上E 处处为零，是否必定有0q =？
答:否，高斯面上的E u r
不完全由式0s q E d s ε=??u r r g ò中的q 所产生. 0q =不一定0E =u r （只需E d s u r r 与垂直，
即可）。而高斯面上的E u r 处处为零，则必有：0q =。
10-19如果把电场中的所有电荷分为两类，一类是处于高斯面S 内的电荷，其量用q 表示，它们共同在高
斯面上产生的电场强度为'E u u r
，另一类是处于高斯面S 外的电荷，它们共同在高斯面上产生的电场强度为
''
E u u r ，显然高斯面上任一点的电场强度'''E E E =+u r u u r u u r 试证明： (1)
's
q
E d s ε=
??
u u r r g ò； (2) ''0s
E d s =??u u r r
g ò
解：高斯面的电通量可以表示为：(
)
''''''e s
s
s
s
E d s E E d s E d s E d s Φ==
+=+
????????
u r r
u u r u u r r u u r r
u u r r
g g g g 乙乙
显然，上式中的第一项是高斯面内部电荷对高斯面电通量的贡献，第二项是高斯面外部电荷对高斯面电通量的贡献。
高斯定理表述为“通过任意闭合曲面S 的电通量，等于该闭合曲面所包围的电量除以0ε0，而与S 以外的电荷无关。”可见，高斯面S 以外的电荷对高斯面的电通量无贡献。这句话在数学上应表示为：
''0s
E d s =??u u r r g ò (1)
所以，关系式''0s
E d s =??u u r r
g ò的成立是高斯定理的直接结果。
因为：'''E E E =+u r u u r u u r
于是可以把高斯定理写为：0
'''s
s
q
E d s E d s ε+
=????
u u r r u u r r g g 乙
将式(1)代入上式，即得：
's
q
E d s ε=??
u u r r g ò (2)
10-20 一个半径为R 的球面均匀带电，面电荷密度为s 。求球面内、外任意一点的电场强度。
解: 如图示.
（1） 取高斯面1S (r R <) (半球为r ) 由高斯定理:
1
0s Ed s =??
u r r
ò
∴ 2
40E r π=g
故 0E = （2） 取高斯面为2S (r R >) 由高斯定理:
2
s q
Ed s ε=??
u r r ò
∴ 22
22
0044R R E r r
πσσπεε== E u r 的方向沿半径向外.(垂直于球面) 9-21 一个半径为R 的无限长圆柱体均匀带电，体电荷密度为ρ。求圆柱体内、外任意一点的电场强度。
解:据题意.电场分布具有轴对称,以对称轴为x 轴(如图示) ⑴取高斯面半径为r.轴为x 轴的柱面1S (柱长为l ) (r R <) 则，由高斯定理:
1
200
s q r Ed s ρπεε==
??
u r r g l
ò 200Ed s Ed s Ed s E r π=++=++??
????u r r u r r u r r
g g l 侧
底
顶
∴ 200
22r r
E r ρπρπεε==
l g l 内 方向垂直于x 轴沿径向向外. ⑵当r>R 时.取高斯面为2s (如图)
则，由高斯面定理:
1
200
s q R Ed s ρπεε==
??
u r r g l
ò200Ed s Ed s Ed s E r π=++=++??????u r r u r r u r r g g l 侧底顶
∴ 220022R R
E r r
ρπρπεε==
l g l 外 方向垂直x 轴沿径向向外. 10-22 两个带有等量异号电荷的平行平板，面电荷密度为 ±s，两板相距d 。当d 比平板自身线度小得多时，可以认为两平行板之间的电场是匀强电场，并且电荷是均匀分布在两板相对的平面上。
(1)求两板之间的电场强度；
(2)当一个电子处于负电板面上从静止状态释放，经过8
1.510s -?的时间撞击在对面的正电板上，若
2.0d cm =，求电子撞击正电板的速率。
解:（1） 如图示:据题意,Q d 比平板的线度小得多. ∴电场强度的方向垂直于平行平板,取如图示的柱面为高斯面(半径为r) 则，由高斯定理:
1
2
E s r d s σπε=
??
u r r g g ò 22E ds E ds E ds r E π-?+?+?=???
????u v u u v u v u u v u v u u v
侧
顶
底
6
2E ε-∴=
方向如图示,由上指向下. 同理0
6
2E ε+=
方向由上指向下 0
6
E E E ε∴=+=
里+- 方向由上指向下
在平板以外,取高斯面包括两个平板(仍为柱面).
则，由高斯定理：
2
0s E ds ?=??
u v u u v
ò E 0∴=外
（2） 电子在电场中受电场力作用加速： 02
t
v v d t +=
? 2618
22 2.010 2.7101.510t d m s t v ---??===???
10-23 电势为零的地方，电场强度是否一定为零？电场强度为零的地方，电势是否一定为零？分别举例说明之。
答：电势为零的地方，电场强度不一定为零．电场强度为零的地方，电势也不一定为零．如平行板电容器，当一个板接地时．这个板的电势为零．但此时的电场强度不为零．
10-24 一个半径为R 的球体均匀带电，电量为q ，求空间各点的电势。
解：
03
2
03E= R 3r r R
r R
r
ρερε??
>?? 方向沿往向向外
当r>R 时： 3332
000013334r
R R R q
V dr r r r r r
ρρρεεεπε∞
∞=
=-?∣==?； 当r 3220000133332 R r R R R R V r dr dr r r r R ρρρρεεεε∞= ??+=+??∣? ? 3222 3 00000336688R R r Q Q r R R R ρρρεεεπεπε?=+-=- 。 9-25 点电荷+q 和-3q 相距d = 1.0 m ，求在它们的连线上电势为零和电场强度为零的位置。 解：据题意，如图示： 12001 1344q q V V V r d r πεπε=+= ?-?- 0 0344()4() q d r r q d r r d r r d r πεπε---= ? =?--； 当Ｖ＝０时，0.254d r m = = (即：q +与3q -连线上当距q +为4 d 处，电势为零)； 如图示，电场强度为零的位置：E E +-= 22 011344()q q r r d πεπε∴ ? =?+ 故：2 ()3r d r +=； 1 1.370.73231 r m ∴= ==- （即：在＋q 左侧1.37 m 处电场强度为零）。 10-26 两个点电荷9 14010q c -=+?和927010q c -=-?，相距10 cm 。设点A 是它们连线的中点，点B 的 位置离1q 为8.0 cm ，离2q 为6.0 cm 。求： (1)点A 的电势；(2)点B 的电势；(3)将电量为9 2510C -?的点电荷由点B 移到点A 所需要作的功。 已知：9 14010q C -=+? 927010q C -=-? 100.10d cm m == 18.00.080B d cm m == 2 6.00.060B d cm m == 9 02510q C -=? 如图示。 求：A V 、 B V 、 BA A 解：12001144()() 22 A q q V d d πεπε= ? +? 9992 8.9910(40107010)0.10--=????-? 35394() 5.410()V v =-=-? 120 1021144B B B q q V d d πεπε= ? +? 999 9 22401070108.99108.99108.010 6.010----??=??-???? 35993() 6.010()V V =-=-? 599()600()BA B A U V V V V ∴=-=-≈- 故：95 02510600 1.510()BA BA A q U J --=?=-??=-? （电场力做功） ∴外力做功为51.510()J -?。 10-27 一个半径为R 的圆盘均匀带电，面电荷密度为σ。求过盘心并垂直于盘面的轴线上与盘心相距a 的一点的电势，再由电势求该点的电场强度。 解：如图示， 12 2 2 01 24() r dr dV a r σππε?= ? + 122210 222 00 1 22()044()R R r dr V r a a r σππσ πεπε?∴=? = ?+∣+? 12220 2[()]4r a a πσ πε= ?+- 12220 [()]2R a a σ ε= +- 11 222222 001[1][1]22()()dv x a E i i dx R x R x σεε∴=-?=?-+=-+++u v v v 10-28 一个半径为R 的球面均匀带电，球面所带总电量为Q 。求空间任意一点的电势，并由电势求电场强度。 解：如图，设面密度为σ 当r>R 时：12222 01 2(sin )4[(cos )sin ]R R d dV r R R σπθθ πεθθ???= ? -+ 212 22 0sin 2(2cos ) R d r rR R σθθ εθ= -+ 22110 022222 2 00sin cos 22(2cos ) (2cos )R d R d V r rR R r rR R π πσθθ σθ εεθθ∴= =-?-+-+? ? 2221222000 4(2cos )024R R R r rR R rR r r πσσπσθεεπε=?-+∣== 04Q r πε= 当r 2202sin 1 4cos sin R Rd dV R r R σπθθ πεθθ?= ? ? ?-+?? 212 22 0sin 2(2cos ) R d r rR R σθθ εθ= -+ 22 122210 2 22 0sin (2cos )22(2cos ) R d R V r rR R rR r rR R π πσθθ σθεεθ∴= = =?-+∣0-+? 22200004[()]244R R R Q R r R r rR R R R σσπσεεπεπε=?+--=== 当r>R 时：20114V E V r r r r πε?=-?=-=??r r u v $$ 当r 10-29 什么是导体的静电平衡？金属导体处于静电平衡时具有哪些性质？ 答：在金属导体中，自由电子没有定向运动的状态称为静电平衡。金属导体处于静电平衡时具有以下性质： （1）整个导体是等势体，导体的表面是等势面。 （2）导体表面附近的电场强度处处与表面垂直。 （3）导体内部不存在净电荷，所有过剩电荷都必须在导体表面上。 10-30如题图所示，金属球A 和金属球壳B 同心放置，它们原先都不带电。设球A 的半径为R 0 ，球壳B 的内、外半径分别为R 1 和R 2。求在下列情况下A 、B 的电势差： (1)使B 带+q ； (2)使A 带+q ； (3)使A 带+q ，使B 带-q ； (4)使A 带-q ，将B 的外表面接地。 解：（1）B 带+q 则导体B 是一个等势体内部的电场强度为零。 ∴ 0AB U = （2）A 带+q 则导体B 产生静电感应静电平衡时： 0121( );4A q q q V R R R πε= -+ 0102 1()144B q q q V R R πεπε+-=?+? 0 01 11 ()4AB q U R R πε∴= - （3）A 带+q B 带q - B 球壳电荷全部部分布在内表面，则 011( );4A q q V R R πε= - 01 1()4B q q V R πε+-=? 0 01 11 ()4AB q U R R πε∴= - （4）A 带q - B 的外表面接地 即：0B V = 0001 1 144A q q V R R πεπε=- + 00010011 111()444AB q q q U R R R R πεπεπε∴=- +=-- 10-31 两平行的金属平板a 和b ，相距 5.0d mm =，两板面积都是2 150S cm = ，带有等量异号电荷 82.6610Q C -±=?，正极板a 接地，如图所示。忽略边缘效应，问： (1) b 板的电势为多大？ (2)在a 、b 之间且距a 板1.0 mm 处的电势为多大？ 已知：35.00.510d mm m -==? 222 150 1.5010S cm m -==? 8 2.6610 Q C -±=? 0a V = 求：b V p V （如图示） 解：851 122 00 2.6610 2.00108.8510 1.5010 Q E V m S σεε----?====????? 833 122 0 2.6610 5.010 1.00108.8510 1.5010 ab Qd U V S ε----???===???? ab a b U V V =-Q 010001000b a ab V V U V ∴=-=-=- 532.0010 1.0010200p ap a b a U V V E dl E ap V =-= =?=???=? u u r r g 200p a ap V V U V ∴=-=- 10-32 三块相互平行的金属平板a 、b 和c ，面积都是2 200cm ，a 、b 相距4.0 mm ，a 、c 相距2.0 mm ，b 、c 两板都接地，如图所示。若使a 板带正电，电量为7 3.010C -?，略去边缘效应，求： (1) b 、c 两板上感应电荷的电量； (2) a 板的电势。 已知：222 200 2.0010S cm m -==? 34.0 4.010ab d mm m -==? 32.010ac d m -=? 0b c V V == 7 3.010q C -=? 求：b Q 、c Q 、a V 解：a 板上电量q 分布于它的两个侧面上，设右侧面电量为1q ，左侧面的电量2q ，则12q q q +=用高斯定理可证，b 板上感应电量为1q -，c 板上感应电量为2q -，均匀分布于与a 板相对的侧面上，因此a 、b 两板间场强及a 、c 两板间场强分别为： 1100ab q E S σεε= = 2200ac q E S σεε== 12 ab ac E q E q ∴= （1） a 、b 两板间及a 、c 两板间电势差分别为：ab ab ab U E d = ac ac ac U E d = b 、 c 都接地，电势都为零，所以：ab ac U U = 即：ab ab ac ac E d E d = 所以：33 2.01014.0102 ab ac ac ab E d E d --?===? （2） 由（1）（2）式得：71 1.010q C -=? 7 2 2.010q C -=? b 板上感应电荷即为：71 1.010q C --=-? c 板上感应电荷即为：72 2.010q C --=-? a 板的电势为：7331124 0 1.010 4.010 2.26108.851020010 a a b ab ab ab q V U E d d V S ε----???=====???? 10-33 如图所示，空气平板电容器是由两块相距0.5 mm 的薄金属片A 、B 所构成。若将此电容器放在一个金属盒K 内，金属盒上、下两壁分别与A 、B 都相距0.25 mm ，电容器的电容变为原来的几倍？ 解 将电容器AB 放入盒中，在A 、K 间形成电容AK C ；B 、K 间形成电容BK C 022AK BK AB S C C C d ε== =?? ??? 而AK C 、BK C 成串联关系，然后再与AB C 并联（如图示） 2Ak Bk AB AB AB AB Ak Bk C C C C C C C C C ∴=+ =+=g 可见，放入金属盒中后，电容增大到原来的2倍。 10-34 一块长为l 、半径为R 的圆柱形电介质，沿轴线方向均匀极化，极化强度为P ，求轴线上任意一点由极化电荷产生的电势。 解：建立如图示的坐标系，极化电荷密度为：'P n P σ==r r g 2 2 4dV r x πε∴= + 半径为R 的圆面，电荷面密度为'P σ=的面电荷产生的电势为： 2 222 042R P V r x x r x σπεε??== +-? ?+? 对于均匀极化，极化电荷只出现在电介质的表面上 2222 22222P l l l l V V V R x x R x x σσ ε+-????????????????????=+=+----++-+?? ? ? ? ????????????????????? 2222 2222P l l R x R x x ε????????= +--+++?? ? ? ???????? 10-35 厚度为2.00 mm 的云母片，用作平行板电容器的绝缘介质，其相对电容率为2。求当电容器充电至电压为400 V 时，云母片表面的极化电荷密度。 解：513400 2.00102.0010 U E V m d --= ==??? 00r D E E P εεε==+ ()01'r P E εεσ∴=-= 故：()()125620'18.851021 2.0010 1.7710r E C m σεε---=-=??-??=?? 10-36 平行板电容器两极板的面积都是22 3.010m -?，相距 3.0d mm =。用电源对电容器充电至电压 0100U V =， 然后将电源断开。现将一块厚度为 1.0b mm =、相对电容率为 2.0r ε=的电介质，平行地 插入电容器中，求： (1)未插入电介质时电容器的电容0C ； (2)电容器极板上所带的自由电荷q ； (3)电容器极板与电介质之间的空隙中的电场强度1E ； (4)电介质内的电场强度2E ； (5)两极板之间的电势差U ； (6)插入电介质后电容器的电容C 。 已知：平行板电容器 22 3.010S m -=? 3.0d mm = 0100U V = 断开电源Q 不变， 1.0b mm = 2.0r ε= 求：0C 、q 、1E 、2E 、U 、C 解：(1) ()()212 110033.0108.85108.851088.53.010 S C F pF d ε----???===?=? （2）()11 9008.8510 1008.8510q C U C --==??=? （3）插入介质后： q q - D A 10 D E σεε∴= = 200r r D E σ εεεε== ()1111120 00d d d r d d d U E dl E dl E dl σσεεε--==+= +???u u r r g g g 95141 1212 08.8510110 3.3103.0108.85103q E V m V m S ε-----?===??=????? （4）9 412212 08.8510 1.7103.01028.8510 r q E V m S εε----?===?????? （5）()()43431121 3.310210 1.7101108.3U E d d E d V --=-+=???+???= （6）()9 108.8510 1.071083 q C C U --?===? 10-37 半径为R 的均匀电介质球，电容率为e ，均匀带电，总电量为q 。求： (1)电介质球内、外电位移的分布； (2)电介质球内、外电场强度和电势的分布； (3)电介质球内极化强度的分布； (4)球体表面和球体内部极化电荷的电量。 解：（1）由高斯定理：当r R ≤时： 334433S q D dS r R ππ?? ?= ? ??? ??u r u u r g g ò 3 323 144qr qr D R r R ππ∴==g 方向沿半径向外，即：34qr D R π=r u r 当r R >时： S D dS q =?? u r u u r g ò 2 4q D r π∴= 方向沿半径向外，即：34qr D r π=r u r （2）当r R ≤时：3 4D qr E R ε πε= =u r r u r ()22223330 0012444488R p R r q R r qdr qrdr q q qr V E dl r R R R R R πεπεπεπεπεεπε∞∞-??==+=+=+- ???? ??u r u u r g 当r R >时：3 04D qr E r επε== u r r u r 200 44p r qdr q V E dl r r πεπε∞∞= ==? ?u r u u r g （3）0D E P ε=+u r u r u r 0P D E ε∴=-u r u r u r 当r R ≤时： ()000333 444qr qr qr P D E r R R εεεεππεπε-∴=-=-=r r r u r u r u r 当r R >时： 0P =u r （4）球体内部极化电荷的电量为：()02 0'41S q q P S P R q εεεπεε-??=-=-=-=-- ??? ??u r u r g ò 而球休表面极化电荷的电量为：0"'1q q q εε? ?=-=- ?? ? 10-38 一个半径为R 、电容率为ε的均匀电介质球的中心放有点电荷q ，求： (1)电介质球内、外电位移的分布； (2)电介质球内、外电场强度和电势的分布； (3)球体表面极化电荷的密度。 解：（1）S D dS q =??u r u u r g ò 3 4qr D r π=r u r 无论在电介质内还是在球外的真空中上式都是适用的。 l. 一带电量为Q、半径为R1的金属球, 放在内、外半径分别为R2和R3的金属球壳内, 若用导线把球与球壳连接后，则金属球的电势. ( ) 2．A、B、C为带电导体表面上的三点, 如图所示, 静电平衡时, 比较三点的面电荷密度、电势及表面附近的场强，下述说法中错误的是：( ) 第十章静电场中的导体与电介质课后练习十九 3. 如图所示，两同心导体球壳，初始时刻给内球壳所带电量为+q，给外球壳所带电量为-2q。那么静电平衡时，外球壳的内表面所带电荷量为；外表面所带电荷量为。 4. 一真空中平板电容器，极板面积为S，极板间距为d，则电容C0 = ；当充入εr 的电介质，则电容 C = ；C与C0之比为。 5. 半径分别为R1和R2(R2＞R1)的两个同心导体薄球壳, 分别带电量Q1和Q2, 今将内球壳用细导线与远处的半径为r 的导体球相连, 导体球原来不带电, 试求相连后导体球所带电量q. 6. A、B、C 三个平行板面积均为200cm, A、B之间相距4mm,A、C 之间相距2mm,B、C 两板接地,若使A板带正电3.0×10-7C, 求(1) B、C 两板上的感应负电荷各为多少? (2) A板电势为多大? 第十章静电场中的导体与电介质课后练习十九 1. 一空气平行板电容器充电后与电源断开, 然后在两极板间充满各向同性均匀电介质, 则场强的大小E、电容C、电势差U、电场能量We 四个量各自与充入介质前相比较. 增大(用↑表示)或减小(用↓表示)的情形为( ) (A) E↓C ↑U ↑We ↑ (B) E↑C↓U ↓We ↑ (C) E↓C ↑U ↑We ↓ (D) E↓C↑U ↓We ↓ 2. 平行板电容器极板面积为S, 间距为d, 充电到电压U0 , 然后断开电源, 把相对电容率为εr的均匀电介质充满电容器的一半空间, 如图. 则两极板间电压变为 静电场 第一讲 电场力的性质 一、 电荷及电荷守恒定律 1、自然界中只存在两种电荷，一种是正电，即用丝绸摩擦玻璃棒，玻璃棒带正电；另一种带负电，用毛皮摩擦橡胶棒，橡胶棒带负电，毛皮带正电。电荷间存在着相互作用的引力或斥力。电荷在它的周围空间形成电场，电荷间的相互作用力就是通过电场发生的。电荷的多少叫电荷量，简称电量。元电荷ｅ＝×10－19C ，所有带电体的电荷量都等于ｅ的整数倍。 ２、使物体带电叫做起电。使物体带电的方法有三种：（１）摩擦起电；（２）接触带电；（３）感应起电。 ３、电荷既不能创造，也不能消灭，它只能从一个物体转移到另一个物体，或从物体的一部分转移到另一部分，在转移的过程中，电荷的总量不变。这叫做电荷守恒定律。 二、点电荷 如果带电体间的距离比它们的大小大得多，带电体便可看作点电荷。 三、库仑定律 １、内容：在真空中两个点电荷之间相互作用的电力，跟它们的电荷量的乘积成正比，跟它们的距离的平方成反比，作用力的方向在它们的连线上。 ２、公式：2 21r Q Q k F =，Ｆ叫库仑力或静电力，也叫电场力，Ｆ可以是引力，也可以是斥力，Ｋ叫静电力常量，公式中各量均取国际单位制单位时，Ｋ＝×109N ·m 2/C 2 ３、适用条件：（１）真空中；（２）点电荷。 四、电场强度 １、电场：带电体周围存在的一种物质，由电荷激发产生，是电荷间相互作用的介质。只要电荷存在，在其周围空间就存在电场。电场具有力的性质和能的性质。 ２、电场强度： （１）定义：放入电场中某点的试探电荷所受的电场力跟它的电荷量的比值叫做该点的电场强度。它描述电场的力的性质。 （２）q F E =，取决于电场本身，与ｑ、Ｆ无关，适用于一切电场；2r Q K E =，仅适用于点电荷在真空中形成的电场。 （３）方向：规定电场中某点的场强方向跟正电荷在该点的受力方向相同。 （４）多个点电荷形成的电场的场强等于各个点电荷单独存在时在该点产生场强的矢量和。这叫做电场的叠加原理。在电场的某一区域里，如果各点的场强的大小和方向都相同，这个区域里的电场中匀强电场。 五、电场线 １、概念：为了形象地描绘电场，人为地在电场中画出的一系列从正电荷出发 第十章 静电场中的能量 一、选择题 1．外力克服静电力对电荷做功时，( )。 A ．电荷的动能一定增大； B ．电荷的动能一定减小； C ．电荷一定从电势能大处移到电势能小处； D ．电荷一定从电势能小处移到电势能大处。 2．(多选)图示为静电场的一部分电场线，下列说法正确的是( )。 A ．A 点电势高于B 点电势； B ．A 点电势低于B 点电势； C ．A 点电场强度大于B 点电场强度； D ．A 点电场强度小于B 点电场强度。 3．(多选)关于电势，下列说法正确的是( )。 A ．电场中某点的电势，其大小等于单位正电荷由该点移动到零电势点时，静电力所做的功； B ．电场中某点的电势与零电势点的选取有关； C ．由于电势是相对的，所以无法比较电场中两点的电势高低； D ．电势是描述电场性质的物理量。 4．对于电场中A 、B 两点，下列说法正确的是( )。 A ．电势差U AB ＝ AB W q ，说明两点间的电势差U AB 与静电力做功W AB 成正比，与试探电荷的电荷量q 成反比； B ．A 、B 间的电势差等于将正电荷从A 点移到B 点静电力所做的功； C ．将1 C 电荷从A 点移到B 点，静电力做1 J 的功，这两点间的电势差为1 V ； D ．电荷由A 点移到B 点的过程中，除受静电力外，还受其他力的作用，电荷电势能的变化就不再等于静电力所做的功。 5．如图所示，Q 是带正电的点电荷，P 1、P 2为其电场中的两点。若E 1、E 2为P 1、P 2 两点的电场强度大小，φ1、φ2为P 1、P 2两点的电势，则( )。 A ．E 1＞E 2，φ1＞φ2； B ．E 1＞E 2，φ1＜φ2； 班级 姓名 学号 静电场作业 一、填空题 1. 一均匀带正电的空心橡皮球，在维持球状吹大的过程中，球内任意点的场强 不变 。球内任意点的电势 变小 。始终在球外任意点的电势 不变 。（填写变大、变小或不变） 解： 2. 真空中有一半径为R ，带电量为 +Q 的均匀带电球面。今在球面上挖掉很小一块面积△S ，则球心 处的电场强度E = 。 解：电荷面密度 3. 点电荷q 1、q 2、q 3和q 4在真空中的分布如图所示。S 为闭合曲面， 则通过该闭合曲面的电通量为 。 4 2εq q + 解：高斯定理 ；其中 为S 闭合面内所包围的所有电荷的代数和 4. 边长为a 的正六边形每个顶点处有一个点电荷 +q ，取无限远处 作为电势零点，则正六边形中心O 点电势为 V 。 a q 023πε 解：O 点电势为6个点电荷电势之和。每个q 产生的电势为 +2 041 r Q E ?=πε0 =E （r ＞ R 球 （r ＜ R 球 均匀带 电 球面 r Q U ?=041 πεR Q U ? =041 πεs 2 4R Q πσ= 2 4R s Q q π?= ∴4 022 022*******R s Q R R s Q r q E εππεππε?=??==4 0216R s Q επ?0 εφ∑? = ?=i S q S d E ∑i q a q r q U 0044πεπε= = q q U o 36= ?= ∴ 5. 两点电荷等量异号，相距为a ，电量为q ，两点电荷连线中点O 处的电场强度大小E = 。 2 02a q πε 解： 6. 电量为－×10－9 C 的试验电荷放在电场中某点时，受到×10－9 N 的向下的力，则该点的电场强度 大小为 4 N/C 。 解：由电场强度定义知， 7. 一半径为R 的带有一缺口的细圆环，缺口长度为d （d << R ），环上均匀 带正电，总电量为q ，如图所示，则圆心O 处的场强大小E ＝__________ __。 ) 2(420d R R qd -ππε 解：根据圆环中心E=0可知，相当于缺口处对应电荷在O 点处产生的电场 电荷线密度为 ； 缺口处电荷 8. 如图所示，将一电量为-Q 的试验电荷从一对等量异号点电荷连线的中点 O 处，沿任意路径移到无穷远处，则电场力对它作功为 0 J 。 解：根据电场力做功与电势差之间的关系可求 其中 d + - O q +q -?E 2 a 2 a 2 02 022422a q a q E E q πεπε= ? ? ? ??? ==+4 ==q F E d R q -=πλ2d d R q q ?-='π2) 2(4412420202 0d R R qd R d R qd R q E -= ?-= '=ππεπεππε) (∞-=U U q A O ; 0=∞U ; 04400=+ -= r q r q U o πεπε0 )(=--=∴∞U U Q A O 第7章静止电荷的电场 一、选择题 1．在下列情况中，零电势可以选在无限远处的是（）。 A．孤立带电球体的电势 B．无限大带电平板的电势 C．无限长带电直导线的电势 D．无限长均匀带电圆柱体的电势 【答案】A 2．半径为R的均匀带电球面，若其面电荷密度为σ，则在球面外距离球面R处的电场强度大小为（）。 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图7-1，由高斯定理 图7-1 3．真空中有一组带电导体，其中某一导体表面处电荷面密度为σ，该表面附近的场强大小，其中E是（）。 A．该处无穷小面元上电荷产生的场强 B．该导体上全部电荷在该处产生的场强 C．这一组导体的所有电荷在该处产生的场强 D．以上说法都不对 【答案】C 【解析】根据高斯定理，A产生电场强度（方向由A指向B） B的面电荷密度为－σ，（方向由A指向B）。 所以 图7-2 4．如图7-3所示，一空心介质球，其内半径为R1，外半径为R2，所带的总电荷量为＋Q，这些电荷均匀分布于R1和R2间的介质球层内，当R1＜r＜R2时电场强度为（）。 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台圣才电子书https://www.wendangku.net/doc/6011742151.html, 图7-3 A． B． C． D． 【答案】B 5．下列的说法中，正确的是（）。 A．电场强度不变的空间，电势必为零 B．电势不变的空间，电场强度必为零 C．电场强度为零的地方电势必为零 D．电势为零的地方电场强度必为零 E．电势越大的地方电场强度必定越大 F．电势越小的地方电场强度必定越小 【答案】B 6．关于高斯定理有下面几种说法，其中正确的是（ ）。 A．如果高斯面上E处处为零，则该面内必无电荷 B．如果穿过高斯面的电场强度通量为零，则高斯面上各点的电场强度一定处处为零C．高斯面上各点的电场强度仅仅由面内所包围的电荷提供 D．如果高斯面内有净电荷，则穿过高斯面的电场强度通量必不为零 E．高斯定理仅适用于具有高度对称性的电场 【答案】D 二、填空题 1．一平行板空气电容器，极板面积为S，间距为d，接在电源上并保持电压恒定为U。若将极板距离拉开一倍，则电容器中的静电能改变量为______。 【答案】 2．如图7-4，一长为L、半径为R的圆柱体，置于电场强度为E的均匀电场中，圆柱体轴线与场强方向平行。则 A．穿过圆柱体左端面的E通量为______； B．穿过圆柱体右端面的E通量为______； C．穿过圆柱体侧面的E通量为______； D．穿过圆柱体整个表面的E通量为______。 第十章 静电场中的导体和电介质 一．选择题 ［B ］1、（基训2） 一“无限大”均匀带电平面A ，其附近放一与它平行的 有一定厚度的“无限大”平面导体板B ，如图所示．已知A 上的电荷面密度 为+ ，则在导体板B 的两个表面1和2上的感生电荷面密度为： (A) 1 = -， 2 = +． (B) 1 = σ2 1 -， 2 =σ2 1 + ． (C) 1 =σ21-， 1 =σ2 1 -． (D) 1 = -， 2 = 0． 【解析】 由静电平衡平面导体板B 内部的场强为零，同时根据原平面导体板B 电量为零可以列出 1S+ 2S=0 02220 2010=-+εσεσεσ [B ]2、（基训5）两个同心的薄金属球壳，半径为R 1，R 2（R 1 第七章 静电场 问题 7-1 设电荷均匀分布在一空心均匀带电的球面上，若把另一点电荷放在球心上，这个电荷能处于平衡状态吗？如果把它放在偏离球心的位置上，又将如何呢？ 解 我们先考虑电荷均匀分布的带电球面在球内的电场强度E 的分布情况，由 0q =E F 来判断某处点电荷是否能处于平衡状态。 对于球心O 处，由于球面电荷分布均匀，球面上各点的电荷在球心处的电场强度在各个方向上都是均衡的，又由于电场强度为矢量，所以其合矢量为零， 偏离球心的任一点P 处的电场强度可以由高斯定律求得，根据球面电荷分布的对称性，我们选取过点P 、与带电球同心的球面为高斯面。利用高斯定理有 0S d ?=? E S ，所以在点P 处的电场强度也为零。 由上分析可知，在均匀带电的球面内任一点（球心或者偏离球心）处放一点电荷，此电荷受到的合力都为零，都能处于平衡状态。 7-2 在电场中某一点的电场强度定义为0 q = F E ，若该点没有试验电荷，那么该点的电场强度又如何？为什么？ 解 该点电场强度不会改变。因为电场强度反映的是电场本身的性质，它是电场本身的属性，与试验电荷的存在与否无关。 7-3 我们分别介绍了静电场的库仑力的叠加原理和电场强度的叠加原理。这两个叠加原理是彼此独立没有联系的吗？ 解 这两个叠加原理并非彼此独立，而是相互联系的。这两个叠加原理都是矢量叠加原理，电场强度的叠加原理是由库仑力的叠加原理推导而来的。 7-4 电场线能相交吗？为什么？ 解 不能相交。由电场线性质可知，电场中任一点的电场强度的方向与此处电场线切线方向。若两条电场线相交，则相对于不同的电场线，相交处的电场强度有不同的方向，而电场中一点的电场强度只能有一个确定的方向，所以电场线不能相交。 7-5 如果穿过曲面的电场强度通量e 0Φ=，那么，能否说此曲面上每一点的电场强度E 也必为零呢？ 思考题 13-1 尖端放电的物理实质是什么？ 答： 尖端放电的物理实质，是尖端处的强电场致使附近的空气分子电离，电离所产生的带电粒子在电场的作用下急剧运动和相互碰撞，碰撞又使更多的空气分子电离，并非尖端所带的电荷直接释放到空间去。 13-2 将一个带电+q 半径为R B 的大导体球B 移近一个半径为R A 而不带电的小导体球A ，试判断下列说法是否正确？并说明理由。 (1) B 球电势高于A 球。 答： 正确。不带电的导体球A 在带电+q 的导体球B 的电场中，将有感应电荷分布于表面。另外，定性画出电场线，在静电场的电力线方向上电势逐点降低，又由图看出电场线自导体球B 指向导体球A ，故B 球电势高于A 球。 (2) 以无限远为电势零点，A 球的电势: V A < 0 答： 不正确。若以无穷远处为电势零点V ∞＝0，从图可知A 球的电力线伸向无穷远处。所以，V A ＞0。 13-3 怎样能使导体净电荷为零 ，而其电势不为零? 答：将不带电的绝缘导体(与地绝缘并与其它任何带电体绝缘)置于某电场中，则该导体有 ∑=0q 而导体的电势V ≠0。 图13-37 均匀带电球体的电场能 13-4 怎样理解静电平衡时导体内部各点的场强为零？ 答： 必须注意以下两点： （1） 这里的“点”是指导体内的宏观点，即无限小体积元。对于微观点，例如导体中某电子或某原子核附近的一个几何点，场强一般不为零； （2） 静电平衡的这一条件，只有在导体内部的电荷除静电场力以外不受其他力（如“化学力”）的情况下才能成立。 13-5 怎样理解导体表面附近的场强与表面上对应点的电荷面密度成正比？ 答： 不应产生这样的误解：导体表面附近一点的场强，只是由该点的一个面电荷元S ?σ产生的。实际上这个场强是导体表面上全部电荷所贡献的合场强。如果场中不止一个导体，则这个场强应是所有导体表面上的全部电荷的总贡献。 13-6 为什么不能使一个物体无限制地带电？ 答： 所谓一个物体带电，就是指它因失去电子而有多余的净的正电荷或因获得电子而有多余的负的净电荷。当物体带电时，在其周围空间产生电场，其电场强度随物体带电量的增加而增大。带电体附近的大气中总是存在着少量游离的电子和离子，这些游离的电子和离子在其强电场作用下，获得足够的能量，使它们和中性分子碰撞时产生碰撞电离，从而不断产生新的电子和离子，这种电子和离子的形成过程如雪崩一样地发展下去，导致带电物体附近的大气被击穿。在带电体带电的作用下，碰撞电离产生的、与带电体电荷异号的电荷来到带电体上，使带电体的电量减少。所以一个物体不能无限制地带电。如尖端放电现象。 13-7 感应电荷的大小和分布怎样确定？ 答： 当施感电荷Q 接近于一导体时，导体上出现等量异号的感应电荷±q ′。其分布一方面与导体的表面形状有关，另一方面与施感电荷Q 有关，导体靠近Q 的一端，将出现与Q 第十章 电荷和静电场 10-1当用带电玻璃棒吸引干燥软木屑时，会发现软木屑一接触到玻璃棒后又很快跳离。试解释之。 答：先极化接触后电荷一部分转移至软木屑，后同性电荷相斥。 10-2当带正电的玻璃棒吸引一个悬挂的干燥软木小球时，我们是否可以断定软木小球带有负电荷？当带正电的玻璃棒排斥一个悬挂的干燥软木小球时，我们是否可以断定软木小球带有正电荷？ 答：不能。①软木小球可能带电荷为零，也可能带有负电荷。②可以 10-3两个相同的小球质量都是m ，并带有等量同号电荷q ，各用长为l 的丝线悬挂于同一点。由于电荷的斥力作用，使小球处于题图所示的位置。如果q 角很小，试证明两个小球的间距x 可近似地表示为： 12 3 04q l x mg πε?? = ??? 证：由库仑定律得 ：2 2 01 4q F x πε=? 而：tan mg f θ= 2 201 tan 4q mg x θπε∴=? ∵ θ角很小 ∴ 12tan sin x l θθ== 故： 220124x q mg l x πε?=? 23 012q l x mg πε?=? 即得：12 3 04q l x mg πε??= ??? 证毕 10-4 在上题中， 如果l = 120 cm ，m = 0.010 kg ，x = 5.0 cm ，问每个小球所带的电量q 为多大？ 解：由上题得：1 3 2 02mgx q l πε?? =± ???() 13 2 29 0.0109.8 5.0102 1.28.9910-?? ?????=±?????? ? 82.410c -=±? 10-5 氢原子由一个质子和一个电子组成。根据经典模型，在正常状态下，电子绕核作圆周运动，轨道半 径是110 5.2910r m -=?。质子的质量271.6710M kg -=?，电子的质量31 9.1110m kg -=?，它们的电量 为19 1.6010 e c -±=? 。 (1)求电子所受的库仑力； (2)电子所受库仑力是质子对它的万有引力的多少倍？ 大学物理静电场知识点 总结 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 大学物理静电场知识点总结 1. 电荷的基本特征：（1）分类：正电荷（同质子所带电荷），负电荷（同电子所带电荷）（2）量子化特性（3）是相对论性不变量（4）微观粒子所带电荷总是存在一种对称性 2． 电荷守恒定律 ：一个与外界没有电荷交换的孤立系统，无论发生什么变化，整个系统的电荷总量必定保持不变。 3．点电荷：点电荷是一个宏观范围的理想模型，在可忽略带电体自身的线度时才成立。 4．库仑定律： 表示了两个电荷之间的静电相互作用，是电磁学的基本定律之一，是表示真空中两个静止的点电荷之间相互作用的规律 12 12123 0121 4q q F r r πε= 5． 电场强度 ：是描述电场状况的最基本的物理量之一，反映了电 场的基 0 F E q = 6． 电场强度的计算： （1）单个点电荷产生的电场强度，可直接利用库仑定律和电场强度的定义来求得 （2）带电体产生的电场强度，可以根据电场的叠加原理来求解 πεπε== = ∑ ? n i i 33i 1 i q 11dq E r E r 44r r （3）具有一定对称性的带电体所产生的电场强度，可以根据高斯定理来求解 （4）根据电荷的分布求电势，然后通过电势与电场强度的关系求得电场强度 7．电场线： 是一些虚构线，引入其目的是为了直观形象地表示电场强度的分布 （1）电场线是这样的线：a ．曲线上每点的切线方向与该点的电场强度方向一致 b ．曲线分布的疏密对应着电场强度的强弱，即越密越强，越疏越弱。 （2）电场线的性质：a ．起于正电荷（或无穷远），止于负电荷（或无穷远）。b ．不闭合，也不在没电荷的地方中断。c ．两条电场线在没有电荷的地方不会相交 8． 电通量： φ= ??? e s E dS （1）电通量是一个抽象的概念，如果把它与电场线联系起来，可以把曲面S 的电通量理解为穿过曲面的电场线的条数。（2）电通量是标量，有正负之分。 9． 高斯定理： ε?= ∑?? s S 01 E dS i （里） q （1）定理中的E 是由空间所有的电荷（包括高斯面内和面外的电荷）共同产生。（2）任何闭合曲面S 的电通量只决定于该闭合曲面所包围的电荷，而与S 以外的电荷无关 第十章 静电场中的导体和电介质 在上一章中，我们讨论了真空中的静电场。实际上，在静电场中总有导体或电介质存在，而且在静电的应用中也都要涉及导体和电介质的影响，因此，本章主要讨论静电场中的导体和电介质。本章所讨论的问题，不仅在理论上有重大意义，使我们对静电场的认识更加深入，而且在应用上也有重大作用。 §10-1 静电场中的导体 一、静电平衡条件 1、导体与电介质的区别： （1）宏观上，它们的电导率数量级相差很大（相差10多个数量级，而不同导体间电导率数量级最多就相差几个数量级）。 （2）微观上导体内部存在大量的自由电子，在外电场下会发生定向移动，产生宏观上的电流而电介质内部的电子处于束缚状态，在外场下不会发生定向移动（电介质被击穿除外）。 2、导体的静电平衡条件 （1）导体内部任何一点处的电场强度为零； （2）导体表面处的电场强度的方向,都与导体表面垂直. 导体处于静电平衡状态的必要条件:0=i E （当导体处于静电平衡状态时，导体内部不再有自由电子 定向移动，导体内电荷宏观分布不再随时间变化，自然其内部电场（指外场与感应电荷产生的电场相叠加的总电场）必为0。 二、静电平衡时导体上的电荷分布 1、导体内部没有净电荷，电荷（包括感应电荷和导体本身带的电荷）只分布在导体表面。这个可以由高斯定理推得： i i s q E ds ε?= ?? ，S 是导体内“紧贴”表面的高斯面，所以0i q =。 2、导体是等势体，导体表面是等势面。显然() () 0b a b i a V V E dl -=?=? ，a,b 为导体内或导体表面的 任意两点，只需将积分路径取在导体内部即可。 3、导体表面以处附近空间的场强为：0 ?E n δ ε= ，δ为邻近场点的导体表面面元处的电荷密度，?n 为该面元的处法向。简单的证明下：以导体表面面元为中截面作一穿过导体的高斯柱面，柱面的处底面过场点，下底面处于导体内部。由高斯定理可得： 1 2 i s s ds E ds E ds δε?+?= ????，1s ,2s 分别为 第1讲 电场力的性质 一、电荷 电荷守恒定律 1.元电荷、点电荷 (1)元电荷：e ＝1.60×10 －19 C ，所有带电体的电荷量都是元电荷的整数倍. (2)点电荷：代表带电体的有一定电荷量的点，忽略带电体的大小、形状及电荷分布状况的理想化模型. 2.电荷守恒定律 (1)内容：电荷既不会创生，也不会消灭，它只能从一个物体转移到另一个物体，或者从物体的一部分转移到另一部分，在转移过程中，电荷的总量保持不变. (2)三种起电方式：摩擦起电、感应起电、接触起电； (3)带电实质：物体得失电子； (4)电荷的分配原则：两个形状、大小相同且带同种电荷的导体，接触后再分开，二者带相同电荷，若两导体原来带异种电荷，则电荷先中和，余下的电荷再平分. 自测1 如图1所示，两个不带电的导体A 和B ，用一对绝缘柱支持使它们彼此接触.把一带正电荷的物体C 置于A 附近，贴在A 、B 下部的金属箔都张开( ) A.此时A 带正电，B 带负电 B.此时A 带正电，B 带正电 C.移去C ，贴在A 、B 下部的金属箔都闭合 D.先把A 和B 分开，然后移去C ，贴在A 、B 下部的金属箔都闭合 二、库仑定律 1.内容 真空中两个静止点电荷之间的相互作用力，与它们的电荷量的乘积成正比，与它们的距离的二次方成反比，作用力的方向在它们的连线上. 2.表达式 F ＝k q 1q 2 r 2，式中k ＝9.0×109 N·m 2/C 2，叫做静电力常量. 3.适用条件 真空中的点电荷. (1)在空气中，两个点电荷的作用力近似等于真空中的情况，可以直接应用公式. (2)当两个带电体的间距远大于其本身的大小时，可以把带电体看成点电荷. 第十章 静电场中的能量精选试卷专题练习（解析版） 一、第十章 静电场中的能量选择题易错题培优（难） 1．如图所示，匀强电场中有一个以O 为圆心、半径为R 的圆，电场方向与圆所在平面平行，圆上有三点A 、B 、C ，其中A 与C 的连线为直径，∠A ＝30°。有两个完全相同的带正电粒子，带电量均为q （q ＞0），以相同的初动能E k 从A 点先后沿不同方向抛出，它们分别运动到B 、C 两点。若粒子运动到B 、C 两点时的动能分别为E kB ＝2E k 、E kC ＝3E k ，不计粒子的重力和粒子间的相互作用，则匀强电场的场强大小为 A ．k E qR B ．2k E qR C ．3 3k E qR D ．23 k E 【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】 从A 点到B 点应用动能定理有：2-AB k k k qU E E E == 从A 点到C 点应用动能定理有：32-AC k k k qU E E E == 所以2AC AB U U = 做出等势面和电场线如图所示： 则从A 点到B 点应用动能定理有：,3k k R qEd qE AD E qE E ===即 解得23 3k E E qR =。 选项D 正确，A 、B 、C 错误。 2．空间某一静电场的电势φ在x 轴上分布如图所示，x 轴上两点B 、C 点电场强度在x 方 向上的分量分别是E Bx 、E cx ，下列说法中正确的有 A ． B 、 C 两点的电场强度大小E Bx ＜E cx B ．E Bx 的方向沿x 轴正方向 C ．电荷在O 点受到的电场力在x 方向上的分量最大 D ．负电荷沿x 轴从B 移到C 的过程中，电场力先做正功，后做负功 【答案】D 【解析】 【分析】 本题的入手点在于如何判断E Bx 和E Cx 的大小，由图象可知在x 轴上各点的电场强度在x 方向的分量不相同，如果在x 方向上取极小的一段，可以把此段看做是匀强电场，用匀强电场的处理方法思考，从而得到结论，此方法为微元法． 【详解】 A 、在 B 点和 C 点附近分别取很小的一段d ，由题图得，B 点段对应的电势差大于C 点段对应的电势差，将电场看做匀强电场，有E d ? ?= ，可见E Bx >E Cx ，A 项错误．C 、同理可知O 点的斜率最小，即场强最小，电荷在该点受到的电场力最小，C 项错误．B 、沿电场线方向电势降低，在O 点左侧，E Bx 的方向沿x 轴负方向，在O 点右侧，E Cx 的方向沿x 轴正方向，B 项错误．D 、负电荷沿x 轴从B 移到C 的过程中，电场力先向右后向左，电场力先做正功，后做负功，D 项正确．故选D ． 【点睛】 挖掘出x φ- 图象两大重要性质：图象的斜率反映电场强度的大小，图象中?降低的方向 反映场强沿x 轴的方向． 3．如图所示,虚线AB 和CD 分别为椭圆的长轴和短轴,相交于O 点,两个等量异号点电荷分别位于椭圆的两个焦点M 、N 上.下列说法中正确的是( ) A ．O 点的电场强度为零 B ．A 、B 两点的电场强度相同 C ．将电荷+q 沿曲线CA D 从C 移到D 的过程中,电势能先减少后增加 D ．将电荷+q 沿曲线CBD 从C 移到D 的过程中,电势能先增加后减少 【答案】B 第九章 静止电荷与静电场 9.1 电荷 库仑定律 9.2 电场强度 一．选择题和填空题 1-2 CB 3、－3σ / (2ε0) －σ / (2ε0) 3σ / (2ε0) 4、()3 0220824R qd d R R qd εεπ≈-ππ 从O 点指向缺口中心点． 二．计算题 1、解：设杆的左端为坐标原点O ，x 轴沿直杆方向．带电直杆的电荷线密度为=q / L ，在x 处取一电荷元d q = d x = q d x / L ，它在P 点的场强： () 2 04d d x d L q E -+π= ε()2 04d x d L L x q -+π= ε 2分 总场强为 ?+π=L x d L x L q E 0 2 0)(d 4－ε()d L d q +π=04ε 3分 方向沿x 轴，即杆的延长线方向． 2、解：先计算细绳上的电荷在O 点产生的场强．选细绳顶端作坐标原点O ，x 轴向下为正．在x 处取一电荷元 d q = d x = Q d x /(3R ) 它在环心处的场强为 ()2 0144d d x R q E -π= ε () 2 0412d x R R x Q -π=ε 2分 整个细绳上的电荷在环心处的场强 ()203020116412R Q x R dx R Q E R εεπ=-π= ? 2分 圆环上的电荷分布对环心对称，它在环心处的场强 E 2=0 2分 由此，合场强 i R Q i E E 2 0116επ= = 2分 R 3x x 方向竖直向下． 三．理论推导与证明题 证：选环心作原点，x 轴沿圆环轴线方向，y 、z 轴如图所示．在环上任取一电荷元d q =(Q d θ) / (2π)，设P 点位于x 处，从电荷元d q 到P 点的矢径为r ，它在P 点产生的场强为 r r Q r r q E ?8d ?4d d 2 0220εθεπ=π= r ?为矢径r 方向上的单位矢量．d E 沿x 轴的分量 为 d E x =d E cos φ (φ为矢径r 与x 轴正向夹角) 由对称性容易证明 E y =0 E z =0 因而有 E =E x 20202024cos d 8cos r Q r Q εφθεθππ=π=?() 2/32204x R Qx +π=ε 当x >>R 时，可得 E ≈Q / (4πε0x 2) 这相当于一个位于原点O 的带电量为Q 的点电荷在P 点产生的场强． 9.3 电通量 真空中的高斯定理 一、选择题和填空题 1-4、 D D C B 5、 q / (6ε0) 6、 0 r r R 3 02εσ 7、 2 04r q επ 0 二. 计算题 1、解：在球内取半径为r 、厚为d r 的薄球壳，该壳内所包含的电荷为 r r Ar V q d 4d d 2π?==ρ 在半径为r 的球面内包含的总电荷为 40 3d 4Ar r Ar dV q r V π=π==??ρ (r ≤R) 以该球面为高斯面，按高斯定理有 04 21/4εAr r E π=π? 班级 学号 第八次 电荷和静电场（一） 得分 姓名 基本内容和主要公式 1．电荷的基本特征： (1) 分类：正电荷（同质子所带电荷），负电荷（同电子所带电荷）（2）量子化特 性（3）是相对论性不变量（4）微观粒子所带电荷总是存在一种对称性 2. 电荷守恒定律 ： 一个与外界没有电荷交换的孤立系统，无论发生什么变化，整个系统的电荷总量必定保持不变。 3．点电荷： 点电荷是一个宏观范围的理想模型，在可忽略带电体自身的线度时才成立。 4 库仑定律： 表示了两个电荷之间的静电相互作用，是电磁学的基本定律之一 是表示真空中两个静止的点电荷之间相互作用的规律 5. 电场强度 ：是描述电场状况的最基本的物理量之一，反映了电场的基本性质。 0F E q = 6. 电场强度的计算： （1）单个点电荷产生的电场强度，可直接利用库仑定律和电场强度的定义来求得 （2）带电体产生的电场强度，可以根据电场的叠加原理来求解 πεπε == = ∑ ? n i i 33i 1 0i q 11d q E r E r 44r r （3）具有一定对称性的带电体所产生的电场强度，可以根据高斯定理来求解 （4）根据电荷的分布求电势，然后通过电势与电场强度的关系求得电场强度 7. 电场线： 是一些虚构线，引入其目的是为了直观形象地表示电场强度的分布 （1）电场线是这样的线： a ．曲线上每点的切线方向与该点的电场强度方向一致 b ．曲线分布的疏密对应着电场强度的强弱，即越密越强，越疏越弱。 （2）电场线的性质： a ．起于正电荷（或无穷远），止于负电荷（或无穷远） b ．不闭合，也不在没电荷的地方中断 c ．两条电场线在没有电荷的地方不会相交 8. 电通量： φ= ??? e s E dS (1) 电通量是一个抽象的概念，如果把它与电场线联系起来，可以把曲面S 的电 πε= 1212 12 30 12 q q 1F r 4r 第十章 静电场中的能量精选试卷培优测试卷 一、第十章 静电场中的能量选择题易错题培优（难） 1．一带电粒子在电场中仅受静电力作用，做初速度为零的直线运动，取该直线为x 轴，起始点O 为坐标原点，其电势能p E 与位移x 的关系如图所示，下列图象中合理的是( ) A ． B ． C ． D ． 【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】 粒子仅受电场力作用，做初速度为零的加速直线运动，电场力做功等于电势能的减小量，故： P E F x ?= ? 即p E x -图象上某点的切线的斜率表示电场力； A.p E x - 图象上某点的切线的斜率表示电场力，故电场力逐渐减小，根据 F E q = 故电场强度也逐渐减小，故A 错误； B.根据动能定理，有： k F x E ??=? 故k E x -图线上某点切线的斜率表示电场力；由于电场力逐渐减小，与B 图矛盾，故B 错误； C.按照C 图，速度随着位移均匀增加，根据公式 22 02v v ax -= 匀变速直线运动的2x v ﹣图象是直线，题图v x -图象是直线；相同位移速度增加量相等，又是加速运动，故增加相等的速度需要的时间逐渐减小，故加速度逐渐增加；而电场力减小导致加速度减小；故矛盾，故C 错误； D.粒子做加速度减小的加速运动，故D 正确． 2．如图所示，真空中有一个边长为L 的正方体，正方体的两个顶点M 、N 处分别放置电荷量都为q 的正、负点电荷．图中的a 、b 、c 、d 是其他的四个顶点，k 为静电力常量．下列表述正确是（ ） A ．a 、b 两点电场强度大小相等，方向不同 B ．a 点电势高于b 点电势 C ．把点电荷+Q 从c 移到d ，电势能增加 D ．同一个试探电荷从c 移到b 和从b 移到d ，电场力做功相同 【答案】D 【解析】 A 、根据电场线分布知，a 、b 两点的电场强度大小相等，方向相同，则电场强度相同．故A 错误． B 、ab 两点处于等量异种电荷的垂直平分面上，该面是一等势面，所以a 、b 的电势相等．故B 错误． C 、根据等量异种电荷电场线的特点，因为沿着电场线方向电势逐渐降低，则c 点的电势大于d 点的电势．把点电荷+Q 从c 移到d ，电场力做正功，电势能减小，故C 错误． D 、因cb bd U U =可知同一电荷移动，电场力做功相等，则D 正确．故选D ． 【点睛】解决本题的关键知道等量异种电荷周围电场线的分布，知道垂直平分线为等势线，沿着电场线方向电势逐渐降低． 3．两电荷量分别为q 1和q 2的点电荷放在x 轴上的O 、M 两点，两点电荷连线上各点电势φ随x 变化的关系如图所示，其中P 、N 两点的电势为零，NF 段中Q 点电势最高，则( ) A ．P 点的电场强度大小为零 B ．q 1和q 2为等量异种电荷 第十章电荷和静电场 10-1当用带电玻璃棒吸引干燥软木屑时，会发现软木屑一接触到玻璃棒后又很快跳离。试解释之。 答：先极化接触后电荷一部分转移至软木屑，后同性电荷相斥。 10-2当带正电的玻璃棒吸引一个悬挂的干燥软木小球时， 我们是否可以断定软木小球带有负电荷？当带正 电的玻璃棒排斥一个悬挂的干燥软木小球时，我们是否可以断定软木小球带有正电荷？ 答：不能。①软木小球可能带电荷为零，也可能带有负电荷。②可以 10-3两个相同的小球质量都是 m ，并带有等量同号电荷 q ，各用长为l 的丝线悬挂于同一点。由于电荷的 q 角很小，试证明两个小球的间距 x 可近似地表示为: 10-5氢原子由一个质子和一个电子组成。根据经典模型，在正常状态下，电子绕核作圆周运动，轨道半 11 径是r ° 5.29 10 m 。质子的质量 M 为 e 1.60 10 19c 。 (1) 求电子所受的库仑力； (2) 电子所受库仑力是质子对它的万有引力的多少倍? 斥力作用，使小球处于题图所示的位置。如果 证: 由库仑定律得：F 而：mg ta n 角很小 故: mg 10-4 在上题中, 如果 解: 由上题得: 1 q 2l 3 4 °mg tan sin 2l l = 120 cm ， 2 o mgx 3 l mgta n 1 x 2 l q 2l mg m = 0.010 kg ， x = 5.0 cm ， 2 q 2 x 即得: 问每个小球所带的电量 0.010 9.8 5.0 10 9 2 1.2 8.99 10 2.4 10 o mg 1 3 证毕 q 为多大? 1.67 10 27kg ，电子的质量 m 9.11 10 31kg ，它们的电量 静电场知识点复习 一、库仑定律 ①元电荷：元电荷是指最小的电荷量，用e 表示，大小为e=c 19 10 6.1-?。 ②库仑定律：真空中两个静止点电荷之间的相互作用力，与它们的电荷量的乘积成正比，与它们的距离的二次方成反比，作用力的方向在它们的连线上。表达式：2 2 1r q kq F = ，其中静电力常量229/.100.9C m N k ?=。 二、电场 ①电场的产生：电荷的周围存在着电场，产生电场的电荷叫做源电荷。描述电场力的性质的物理量是电场强度，描述电场能的性质的物理量是电势，这两个物理量仅由电场本身决定，与试探电荷无关。 ②电场强度：放入电场中某点的电荷所受的静电力与它的电荷量的比值，叫电场强度。 定义式：q F E = ，单位：C N /或m V /。方向：规定与正电荷在该点所受的静电力方向相同，则与负电荷在该点所受静电力的方向相反。也是该点电场线的切线方向。 区别：q F E = （定义式，适用于任何电场）；2r kQ E =（点电荷产生电场的决定式）；d U E =（电场强 度与电势差间的关系，适用于匀强电场，d 是两点间距离在场强方向上的投影）。 ③电场线：在电场中画出的一系列有方向的曲线，曲线上每一点的切线方向表示该点的场强方向，曲线的疏密表示场强的大小。电场线是为了形象的描述电场而假想的、实际不存在的曲线。电场线从正电荷或无限远出发，终止于无限远或负电荷，是不闭合、不相交的曲线。熟悉正、负点电荷、匀强电场、等量异种电荷、等量同种电荷的电场线分布图（教材13页）。 三、电势能、电势、电势差 ①电势能：由于移动电荷时静电力做的功与路径无关，所以电荷在电场中也具有势能，叫做电势能。 静电力做功与电势能变化的关系式为：P E W ?-=，即静电力所做的功等于电势能的变化。所以，当静电力做多少正功，电势能就减小多少；当静电力做多少负功，电势能就增加多少。静电力做功与电势差的关系式为：AB AB qU W =。说明：电荷在某点的电势能等于静电力把它从该点移动到零势能位置时所做的功（通常选大地或无限远处电势能为零）。电势能有正有负，但是标量。试探电荷在电场中某点的电势能大小为：?q E P =。 ②电势：电荷在电场中某一点的电势能与它的电荷量的比值，叫做这一点的电势（由电场中这点的性质决定，与试探电荷的q 、E P 无关）。定义式：q E P =?。沿着电场线方向电势降低，或电势降低最快的方向就是电场强度的方向。 ③电势差与电势的关系式为：B A AB U ??-=；电势差与静电力做功的关系式为：q W U AB AB = ；匀强电场中电势差与电场强度的关系为：Ed U =。同一点的电势随零电势点的不同而不同（通常选大地 大学物理静电场知识点总结 1. 电荷的基本特征：（1）分类：正电荷（同质子所带电荷），负电荷（同电子所带电荷）（2）量子化特性（3）是相对论性不变量（4）微观粒子所带电荷总是存在一种对称性 2． 电荷守恒定律 ：一个与外界没有电荷交换的孤立系统，无论发生什么变化，整个系统的电荷总量必定保持不变。 3．点电荷：点电荷是一个宏观范围的理想模型，在可忽略带电体自身的线度时才成立。 4．库仑定律： 表示了两个电荷之间的静电相互作用，是电磁学的基本定律之一，是表示真空中两个静止的点电荷之间相互作用的规律 12 12123 0121 4q q F r r πε= 5． 电场强度 ：是描述电场状况的最基本的物理量之一，反映了电 场的基 0 F E q = 6． 电场强度的计算： （1）单个点电荷产生的电场强度，可直接利用库仑定律和电场强度的定义来求得 （2）带电体产生的电场强度，可以根据电场的叠加原理来求解 πεπε== = ∑ ? n i i 33i 1 i q 11dq E r E r 44r r （3）具有一定对称性的带电体所产生的电场强度，可以根据高斯定 理来求解 （4）根据电荷的分布求电势，然后通过电势与电场强度的关系求得电场强度 7．电场线： 是一些虚构线，引入其目的是为了直观形象地表示电场强度的分布 （1）电场线是这样的线：a ．曲线上每点的切线方向与该点的电场强度方向一致 b ．曲线分布的疏密对应着电场强度的强弱，即越密越强，越疏越弱。 （2）电场线的性质：a ．起于正电荷（或无穷远），止于负电荷（或无穷远）。b ．不闭合，也不在没电荷的地方中断。c ．两条电场线在没有电荷的地方不会相交 8． 电通量： φ= ??? e s E dS （1）电通量是一个抽象的概念，如果把它与电场线联系起来，可以把曲面S 的电通量理解为穿过曲面的电场线的条数。（2）电通量是标量，有正负之分。 9． 高斯定理： ε?= ∑ ?? s S 01 E dS i （里） q （1）定理中的E 是由空间所有的电荷（包括高斯面内和面外的电荷）共同产生。（2）任何闭合曲面S 的电通量只决定于该闭合曲面所包围的电荷，而与S 以外的电荷无关 10． 静电场属于保守力：静电场属于保守力的充分必要条件是，电荷在电场中移动，电场力所做的功只与该电荷的始末位置有关，而与第十章 静电场中的导体和电介质
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