中考数学重难点题型专题复习.

中考数学新题型专题复习

专题复习新题型解析探究性问题

传统的解答题和证明题，其条件和结论是由题目明确给岀的，我们的工作就是由因导果或执果索因。而探究性问题一般没有明确的条件或结论，没有固定的形式和方法，要求我们认真收集和处理问题的信息，通过观察、分析、综合、归纳、概括、猜想和论证等深层次的探索活动，认真研究才能得到问题的解答。开放性、操作性、探索性和综合性是探究性问题的明显特征。这类题目形式新颖，格调清新，涉及的基础知识和基本技能十分广泛，解题过程中有较多的创造性和探索性，解答方法灵活多变，既需要扎实的基础知识和基本技能，具备一定的数学能力，又需要思维的创造性和具有良好的个性品质。

1.阅读理解型

这类题主要是对数学语言(也包括非数学语言)的理解和应用进行考查。要求能够读懂题目，理解数学语言，特别是非

数学语言，并能进行抽象和转化及文字表达，能根据引入的新内容解题。这是数学问题解决的开始和基础。

1 例1. ( 1)据《北京日报》2000年5月16日报道：北京市人均水资源占有量只有300立方米，仅是全国人均占有量的8，

丄

世界人均占有量的32。问：全国人均水资源占有量是多少立方米？世界人均水资源占有量是多少立方米。

5 5

(2)北京市一年漏掉的水，相当于新建一个自来水厂。据不完全统计，全市至少有 6 10个水龙头、2 10个抽

水马桶漏水。如果一个关不紧的水龙头，一个月能漏掉a立方米水；一个漏水马桶，一个月漏掉b立方米水，那么一年造成的

水流失量至少是多少立方米(用含a、b的代数式表示)；

(3)水源透支令人担忧，节约用水迫在眉睫。针对居民用水浪费现象，北京市将制定居民用水标准，规定三口之家楼

房每月标准用水量，超标部分加价收费。假设不超标部分每立方米水费 1.3元，超标部分每立方米水费2.9元，某住楼房的三口之家某月用水12立方米，交水费22元，请你通过列方程求出北京市规定三口之家楼房每月标准用水量为多少立方米。

分析：本题是结合当前社会关注的热点和难点问题一一环保问题设计的题组，着重考查运用数学知识分析和解决实际问

题的能力，以及阅读理解、检索、整理和处理信息的能力，解好本题的关键是认真阅读理解题意，剖析基本数

1 1

300 2400，300 9600

解: (1) 8 32

答：全国人均水资源占有量是2400立方米，世界人均水资源占有量是9600立方米。

5 5

(2)依题意，一个月造成的水流失量至少为(6 10 a 2 10 b)立方米

6 6

所以，一年造成的水流失量至少为⑺2 10 a? 2.4 10 b)立方米

(3)设北京市规定三口之家楼房每月标准用水量为x立方米

依题意，得13x

2.9(

12-x) =22

解这个方程，得x=8

答：北京市规定三口之家楼房每月标准用水量为8立方米。

例2?阅读下列题目的解题过程：

已知a、b、c为ABC的三边，且满足a2c2-b2c2=a4-b4，试判断ABC的形状。

2 2 .22 4 .4

/八\

解. a c -b c a -b （A ）

2 2 2 2 2 2 2

.c （a -b ） =（a b ）（a -b ） （B ）

2 2 2

.c =a b

（C ）

ABC 是直角三角形

问：（1） 上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号： _______ ;

（2） 错误的原因为： ___________________________________ ； （3） 本题正确的结论为： _____________________________ 。

分析：认真阅读，审查每一步的解答是否合理、有据、完整，从而找出错误及产生错误的原因。

答：（1）

C ； （2）a -b 也可以为零；（3）ABC 是等腰三角形或直角三角形。

例3.先阅读第（1）题的解法，再解第（2）题：

1 1 1

p …p - 3 = 0, —2

3=0

p

（1）已知

q q

，p 、q 为实数，且

pq

=

1

，求 q 的值。

, 1

寫 pq 式 1,二 p —

解： q

2

1 1 又 p —p —3 = 0，-

2

3 = 0 q q

1

.p 和

1

是一元二次方程X 2 - x - 3二0的两个不相等的实数根 q

1 2

2

m + —

（2）已知

2m

_3m

一7 =0, 7n 3n -2 = 0，m n 为实数，n

= 0,且

mn

=

1

，求 n 的值。

分析：本题首先要求在阅读第（1）题规范的解法基础上，总结归纳出逆用方程根的定义构造一元二 次方程，根据根与系数的关系求代数式值的方法，

并加以应用。但这种应用并非机械模仿，

需要先对第（2）

题的第二个方程变形转化，才能实现信息迁移，建模应用。

解：；7n 2岛-2=0，n 为实数且n = 0

1 2 1

可得 2-（-） -3?（—）-7=0

n n 又 2m 2 - 3m - 7 = 0

1 mn = 1 m -

n

-m 、1是方程2x 2 -3x-7 =0的两个不相等的实数根

n

由一元二次方程根与系数关系可得

P

丄一（-1）= 1 q

说明：本题考查了阅读理解、举一反三、触类旁通、创造性地解决新问题的能力。例4.阅读下列材料:

1 1 1

( )

2 3 5

1 1 1 ( )

2 5 7

1(丄丄)

17 19 2 17 19

17 19

1 1 石(匕) 丿—

2

3 1(丄 _〕)?丄(］一丄)

3 2 3 5 2 5 7

』(丄丄2 17 19

1 1L 1 .丄一丄)

17 19

9 ”

19

解答问题:

!)????

(1)在和式中，第五项为，第n项为,上述求和的想法是：通过逆用.法则，将和式中各分数转化为两个实数之差，使得除首、末两项外的中间各项可以，从而达到求和的目的。

1 . - ++ (2)

解方程x(x 2) (x 2)(x ---- 4)+

(x 8)( x 10) 24

分析：本题是从一个和式的解题技巧入手，进而探索具有类似特征的分式方程的解题思路。

解: (1)第五项为9 11，第n项为(2n -1)(2n 1)，上述求和的想法是：通过逆用分数减法法则,

将和式中各分数转化为两个实数之差，使得除首、末两项外的中间各项都可以互相抵消，从而达到求和的

目的。

(2)方程左边的分式运用拆项的方法化简:

1 1

(

2 x

m 1 1 1 5

即一()：

2 x x 10 24

x 10

化简可得(X ? 12)(x -2) =0

解得 x 1 =2, x 2 - -12 经检验，x 1 =2, x 2二-12是原方程的根。

例5?阅读以下材料并填空。

平面上有r 个点（n X2），且任意三个点不在同一直线上，过这些点作直线，一共能作出多少条不同 的直线？

（1 ）分析：当仅有两个点时，可连成 1条直线； 当有3个点时，可连成3条直线；

当有4个点时，可连成6条直线；当有5个点时，可连成10条直线;

（2）归纳：考察点的个数n 和可连成直线的条数 S r ，发现：

（3）推理：平面上有n 个点，两点确定一条直线， 取第一个点A 有n 种取法，取第二个点B <

（n

一 °种

试探究以下问题：

平面上有n （n -3）个点，任意三个点不在同一直线上，过任意三点作三角形，一共能作出多少不同 的三角形？ （1）分析：当仅有3个点时，可作 _______ 个三角形； 当有4个点时，可作 ________ 个三角形； 当有5个点时，可作 ________ 个三角形；

（2）归纳：考察点的个数 n 和可作出的三角形的个数 S n ，发现:

取法，所以一共可连成

n （n

一1

）条直线，但AB 与BA 是同一条直线，故应除以

2,即 Sn

n(n 「1) 2

（4）结论：Sn

n(n -1) 2

点的个数

可连成三角形个数

3

4

5

n

3 ) 推

( 4

） 结 论 :

分析：本题是从阅读材料中得到研究数学问题的方法：分析

归纳

—猜想一一推理一 —结论，再

用这种方法探究解决新的数学问题。

解：（1）当仅有3个点时，

可作 1 个三角形；

当有4个点时，可作 4 个三角形；

当有5个点时，可作 10

个三角形。

（2）

点的个数

可连成三角形个数

3

3汉 2 x 1

6

4 4 x 3汉 2 6

5

5汉4汉3

6

n

n(n —1)( n —2)

6

（3）平面上有n 个点，过不在同一条直线上的三点可以确定一个三角形，取第一个点 A 有n 种取法，取

第二个点B 有（n _1）

种取法，取第三个点C 有

（n

一

2）

种取法，所以一共可以作

n （n

一

1）（n

一

2）

个

三角形，

但 ABC 、 *CB 、 ： BAC 、 ： BCA 、 ： CAB 、

2. 探究规律型 例6.观察下列各式:

CBA 是同一个三角形，故应除以

S n

n(n - 1)(n -2)

6

S n

n(n -1)(n -2)

6

2 2 2 2 1 1

3 3 3

3

2 2 4 4 4 4

3 3 5 5 5

5

4

4

分析：本题从比较简单的例子入手，探索算式的规律，易得出

■（

n 1）

，其中n 为正整数。

例7?如图，在直角坐标系中，第一次将 AOAB 变换成△ OAE ，第二次将也°2变换成人O A 2 B 2，

第三次将O A 2B 2变换成OA 3B 3。

已知 A （ 1, 3），A 1（ 2，3），A 2（ 4，3），A 3（ 8, 3）; B （ 2，0）, B 1（ 4, 0）, B 2

（ 8，0）, B 3（ 16, 0）。

（1 ）观察每次变换前后的三角形有何变化，找出规律，按此变换规律再将 O

A 3

B 3变换成OA4 B 4 ,

则A 4的坐标是 _________ , B 4的坐标是 _______________ 。

（2）若按第（1）题找到的规律将 OAB 进行了 n 次变换，得到

OA

n

B n ，比较每次变换中三角形顶

点坐标有何变化，找出规律，推测

A

n 的坐标为 _________ ,

B n 的坐标是 ____________ 。

分析：认真观察不难发现，无论

OAB 怎样变换，A 点和B 点的纵坐标保持不变，横坐标按两倍递增。

所以得A 4的坐标为（16, 3）, B 4的坐标为（32, 0）,依此规律类推，不难推测出

A n 的坐标为（2n , 3）,

n "1

B n 的坐标为（2 ， 0 ） O

例8.在心ABC 中，D 为B 边的中点，E 为AC 边上的任意一点，BE 交AD 于点0。某学生在研究这一问题时，

想一想，什么样的两数之积等于这两数之和？设

x

= + 。

n 表示正整数，用关于 n 的等式表示这个规律为:

(n 1)