矩阵理论试卷(整理版)

山东科技大学2010研究生矩阵理论试卷 1、 在矩阵的四个空间中，行空间、列空间、零空间和左零空间中，维数与矩阵的秩相等的子空间是行空

间和列空间.

2、 在矩阵的四个基本子空间中，和列空间构成正交补的是 左零空间。

3、 利用QR 分解可以讲矩阵分解为正交阵和上三角形矩阵乘积。

4、 通过矩阵 svd 分解，可以获得矩阵四个基本子空间的标准正交基。

5、 将3×3矩阵的第一行加到第三行是初等变换，对应的初等矩阵式 ????

? ??101010001

6、 当矩阵的零空间中有非零向量的时候，线性方程组Ax=b 有无穷多解。

7、 所有的2×2实矩阵组成一个向量空间，这个空间的标准基是 ???? ?????? ?????? ??????

??1000010000100001 8、 通过施密特正交化可以获得矩阵的QR 分解。

9、 在选定一个基后，任何维数为n 的欧式空间与n R 同构。

10 如果将矩阵视为线性处理系统，矩阵有m 行，n 列，则输入空间的维数是n 。

二、判断题

1、给定一个线性空间，他的基不是唯一的，但是各个基中的基向量个数是相等的。（R ）

2、两个子空间的并集是一个子空间。（F ）

3、在线性方程组Ax=b ，当矩阵A 式列满秩的时候，无论向量b 是什么，方程组都有解。（F ）

4、线性变换在不同的基下的矩阵一般不同，同一线性变换的不同矩阵表示所对应的特征值都相同。（R ）

5、线性变换在不同基下的矩阵一般不同，但是对应同一线性变换的各个矩阵的特征向量都相同。（F ）

6、矩阵特征值的代数重数是该特征值对应的特征子空间的维数。（F ）

7、任何N ×N 的实矩阵都可以对角化。（F ）

8、矩阵的左逆就是矩阵的最小范数广义逆。（F ）

9、任何M ×N 实矩阵都有奇异值分解。（R ）

10、正交投影矩阵都是幂等矩阵。（R ）

三、（矩阵的四个基本子空间和投影矩阵）

设矩阵A 为 A=???

? ??4242 1、求矩阵A 的四个基本子空间的基和维数

初等变换 ???

? ??0042 dim R （A ）=dim R （T A ）=1 dim N （A ）=dim N （T A ）=1 R(A)的基 ???? ??22 R(T A )的基 ???? ??42 N(A)的基???? ??-12 N(T A )的基 ???

?

??-11 2、画出矩阵A 的四个基本子空间的示意图。

自己画很好弄

3、写出投影到矩阵A 的列空间的正交投影矩阵，计算向量b=[0 1]T 在列空间上的投影矩阵。

IP =A(T A A)1-T A 因为 (T A A)1-不存在 不能用这种方法求解 求出列空间的基 B=???

? ??11得

IP=B(T B B)1-T B =2 ???? ??1111 投影矩阵 IP*b=2???

? ??11 4、写出投影到矩阵A 的左零空间的正交投影矩阵，计算向量b=[0 1]在左零空间上的投影向量。 N(T A )⊕R(A)=IR 3 N(T A )=R(A)⊥ 所以3IR ∈?α )()(T A N A R IP IP ααα+= 所以

)()(A R A N IP I IP T -==???

? ??----1221 投影矩阵)(T A N IP *b=???? ??--12 四、（矩阵奇异值分解的伪逆）设矩阵A 为A=???

?

??-1122 1、求矩阵A 的奇异值分解。 A T

A=???? ??-???? ??-11221212=???? ??5335=V ???? ??222100σσV T 所以821=σ 222=σ 归一化为特征向量?????? ??2121和?????? ??-2121 u 1=???? ??=?????

? ?????? ??-=01212111228111σAv 同理的u 2=???? ??-10从而A 的svd 分解是A=???? ??-1001???

? ??2008?????? ??-21212121 2、通过奇异值分解计算矩阵的M-P 伪逆。

A +=V +∑T U =?????? ??-21212121?????

? ??210081???? ??-1001=???? ??-212141 五、（基变换和坐标变换）在线性空间V=P 3(x)中，有三个向量

f1（x ）=-3+2x-x 2

f2（x ）=-x+2x 2

f3(x)=-1+2x-x 2

1、 证明B={f1（x ），f2（x ），f3（x ）}构成V=P 3（x ）的一个基。

设1k f 1+k 2f 2+k 3f 3=θ 解方程得矩阵满秩 所以k 1=k 2=k 3=0所以是基

2、 设V=P 3（x ）中有标准基S={1，x ，x 2}，写出由标准基S 到基B 的过渡矩阵。

（-3+2x-x 2 -x+2x 2 _1+2x-x 2）=(1 x x 2)????? ??-----121212103 Q=????

? ??-----121212103

计算出向量f （x ）=3+12x+7x 2在基S 下的坐标向量。

????

? ??7123

3、 根据前述结果，利用坐标变换，计算出向量f （x ）=3+12x+7x 2在基B 下的坐标向量。

B=Q 1-????? ??7123=????????

??---2112

132310

613121????? ??7123=???????? ??-17326320

线性代数知识点总结

线性代数知识点总结 第一章 行列式 (一)要点 1、二阶、三阶行列式 2、全排列和逆序数，奇偶排列（可以不介绍对换及有关定理），n 阶行列式的定义 3、行列式的性质 4、n 阶行列式ij a D =，元素ij a 的余子式和代数余子式，行列式按行（列）展开定理 5、克莱姆法则 （二）基本要求 1、理解n 阶行列式的定义 2、掌握n 阶行列式的性质 3、会用定义判定行列式中项的符号 4、理解和掌握行列式按行（列）展开的计算方法，即 5、会用行列式的性质简化行列式的计算，并掌握几个基本方法： 归化为上三角或下三角行列式， 各行（列）元素之和等于同一个常数的行列式， 利用展开式计算 6、掌握应用克莱姆法则的条件及结论 会用克莱姆法则解低阶的线性方程组 7、了解n 个方程n 个未知量的齐次线性方程组有非零解的充要条件 第二章 矩阵 （一）要点 1、矩阵的概念 n m ?矩阵n m ij a A ?=)(是一个矩阵表。当n m =时，称A 为n 阶矩阵，此时由A 的元素按原来排列的形式构成的n 阶行列式，称为矩阵A 的行列式，记为A . 注：矩阵和行列式是两个完全不同的两个概念。 2、几种特殊的矩阵：对角阵；数量阵；单位阵；三角形矩阵；对称矩阵 3、矩阵的运算；矩阵的加减法；数与矩阵的乘法；矩阵的转置；矩阵的乘法 （1）矩阵的乘法不满足交换律和消去律，两个非零矩阵相乘可能是零矩阵。 如果两矩阵A 与B 相乘，有BA AB =,则称矩阵A 与B 可换。 注：矩阵乘积不一定符合交换 （2）方阵的幂：对于n 阶矩阵A 及自然数k ， 规定I A =0 ,其中I 为单位阵 .

(3) 设多项式函数k k k k a a a a ++++=--λλλλ?1110)( ，A 为方阵，矩阵A 的 多项式I a A a A a A a A k k k k ++++=--1110)( ?,其中I 为单位阵。 （4）n 阶矩阵A 和B ，则B A AB =. （5）n 阶矩阵A ，则A A n λλ= 4、分块矩阵及其运算 5、逆矩阵：可逆矩阵（若矩阵A 可逆，则其逆矩阵是唯一的）；矩阵A 的伴随矩阵记为*A ， 矩阵可逆的充要条件；逆矩阵的性质。 6、矩阵的初等变换：初等变换与初等矩阵；初等变换和初等矩阵的关系；矩阵在等价意义下的标准形；矩阵A 可逆的又一充分必要条件：A 可以表示成一些初等矩阵的乘积；用初等变换求逆矩阵。 7、矩阵的秩：矩阵的k 阶子式；矩阵秩的概念；用初等变换求矩阵的秩 8、矩阵的等价 （二）要求 1、理解矩阵的概念；矩阵的元素；矩阵的相等；矩阵的记号等 2、了解几种特殊的矩阵及其性质 3、掌握矩阵的乘法；数与矩阵的乘法；矩阵的加减法；矩阵的转置等运算及性质 4、理解和掌握逆矩阵的概念；矩阵可逆的充分条件；伴随矩阵和逆矩阵的关系；当A 可逆时,会用伴随矩阵求逆矩阵 5、了解分块矩阵及其运算的方法 （1）在对矩阵的分法符合分块矩阵运算规则的条件下，其分块矩阵的运算在形式上与不分块矩阵的运算是一致的。 （2）特殊分法的分块矩阵的乘法，例如n m A ?，l n B ?，将矩阵B 分块为 ) (21l b b b B =，其中j b （l j 2, ,1=）是矩阵B 的第j 列， 则 又如将n 阶矩阵P 分块为) (21n p p p P =，其中j p （n j 2, ,1=）是矩阵P 的第j 列. （3）设对角分块矩阵

上海交通大学2010-2011学年《矩阵理论》试卷本试卷共四道大题,总分

上海交通大学2010－2011学年《矩阵理论》试卷 本试卷共四道大题，总分100分，其中*A 表示矩阵A 的共轭转置. 一、 单项选择题（每题3分，共15分） 1. 设???? ? ??=001001001A ，则=-199200A A ( ) （A ）E ； （B ）0； （C ）A ； （D ）2A . 2. 下列集合对所给运算构成实数域上线性空间的是( ) （A ） 次数等于)1(≥m m 的实系数多项式的集合，对于多项式的通常加法和数与 多项式的通常乘法； （B ） Hermite 矩阵的集合，对于矩阵的通常加法和实数与矩阵的通常乘法； （C ） 平面上全体向量的集合，对于通常的加法和如下定义的数乘运算 0x x k =?，k 是实数，0x 是某一取定向量； （D ） 投影矩阵的集合，对于矩阵的通常加法和实数与矩阵的通常乘法. 3. 线性变换为正交变换的必要而非充分条件的是( ) （A ）保持向量的长度不变； （B ）将标准正交基变为标准正交基； （C ）保持任意两个向量的夹角不变；（D ）在任意标准正交基下的矩阵为正交矩阵. 4. 设A 是幂等矩阵，则下列命题中不正确的是( ) （A ）A 与对角矩阵相似； （B ）A 的特征值只可能是1或者0； （C ）A A )1sin()sin(=； （D ）幂级数10)(-∞ =-=∑A E A k k . 5. 设21,V V 是V 的两个线性子空间，则与命题“21V V +的任意元素的分解式唯一”不等价的命题是( ) （A ）{}021=?V V ； （B ）2121dim dim )dim (V V V V +=+； （C ）21V V +的零元素的分解式唯一； （D ）V V V =?][21. 二、填空题（每空3分，共15分） 设二维线性空间V 的线性变换V V T :1与V V T :2在基21,αα下的矩阵分别为

高中数学必修和选修知识点归纳总结

高中数学必修+选修知识点归纳 引言 1.课程内容： 必修课程由5个模块组成： 必修1：集合、函数概念与基本初等函数（指、对、幂函数） 必修2：立体几何初步、平面解析几何初步。必修3：算法初步、统计、概率。 必修4：基本初等函数（三角函数）、平面向量、三角恒等变换。 必修5：解三角形、数列、不等式。 以上是每一个高中学生所必须学习的。 上述内容覆盖了高中阶段传统的数学基础知识和基本技能的主要部分，其中包括集合、函数、数列、不等式、解三角形、立体几何初步、平面解析几何初步等。不同的是在保证打好基础的同时，进一步强调了这些知识的发生、发展过程和实际应用，而不在技巧与难度上做过高的要求。 此外，基础内容还增加了向量、算法、概率、统计等内容。 选修课程有4个系列： 系列1：由2个模块组成。 选修1—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、 导数及其应用。 选修1—2：统计案例、推理与证明、数系的扩 充与复数、框图 系列2：由3个模块组成。 选修2—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、 空间向量与立体几何。 选修2—2：导数及其应用，推理与证明、数系 的扩充与复数选修2—3：计数原理、随机变量及其分布列， 统计案例。 系列3：由6个专题组成。 选修3—1：数学史选讲。 选修3—2：信息安全与密码。 选修3—3：球面上的几何。 选修3—4：对称与群。 选修3—5：欧拉公式与闭曲面分类。 选修3—6：三等分角与数域扩充。 系列4：由10个专题组成。 选修4—1：几何证明选讲。 选修4—2：矩阵与变换。 选修4—3：数列与差分。 选修4—4：坐标系与参数方程。 选修4—5：不等式选讲。 选修4—6：初等数论初步。 选修4—7：优选法与试验设计初步。 选修4—8：统筹法与图论初步。 选修4—9：风险与决策。 选修4—10：开关电路与布尔代数。 2．重难点及考点： 重点：函数，数列，三角函数，平面向量，圆锥曲线，立体几何，导数 难点：函数、圆锥曲线 高考相关考点： ⑴集合与简易逻辑:集合的概念与运算、简易逻 辑、充要条件 ⑵函数：映射与函数、函数解析式与定义域、 值域与最值、反函数、三大性质、函 数图象、指数与指数函数、对数与对 数函数、函数的应用 ⑶数列：数列的有关概念、等差数列、等比数 列、数列求和、数列的应用

2016矩阵论试题

第 1 页 共 6 页 （A 卷） 学院 系 专业班级 姓名 学号 (密封线外不要写姓名、学号、班级、密封线内不准答题，违者按零分计) …………………………………………密…………………………封……………………………………线………………………………… 考试方式：闭卷 太原理工大学 矩阵分析 试卷（A ） 适用专业：2016级硕士研究生 考试日期：2017.1.09 时间：120 分钟 共 8页 一、填空选择题（每小题3分，共30分） 1-5题为填空题： 1. 已知??? ? ? ??--=304021101A ，则1||||A =。 2. 设线性变换1T ，2T 在基n ααα ,,21下的矩阵分别为A ，B ，则线性变换212T T +在基n ααα ,,21下的矩阵为_____________. 3．在3R 中，基T )2,1,3(1--=α，T )1,1,1(2-=α，T )1,3,2(3-=α到基T )1,1,1(1=β， T )3,2,1(2=β，T )1,0,2(3=β的过度矩阵为A = 4. 设矩阵??? ? ? ??--=304021101A ，则 5432333A A A A A -++-= . 5．??? ? ? ? ?-=λλλλλ0010 01)(2A 的Smith 标准形为 6-10题为单项选择题： 6．设A 是正规矩阵，则下列说法不正确的是 （ ）. (A) A 一定可以对角化； （B ）?=H A A A 的特征值全为实数； (C) 若E AA H =，则 1=A ； （D ）?-=H A A A 的特征值全为零或纯虚数。 7．设矩阵A 的谱半径1)(

矩阵理论知识点整理资料

三、矩阵的若方标准型及分解 λ-矩阵及其标准型定理1 λ-矩阵()λ A可逆的充分必要条件是行列式()λ A是非零常数 引理2 λ-矩阵()λ A=() () n m ij? λ a的左上角元素()λ 11 a不为0，并且()λ A中至少有一个元素不 能被它整除，那么一定可以找到一个与()λ A等价的()() () n m ij? =λ λb B使得()0 b 11 ≠ λ且 ()λ 11 b的次数小于()λ 11 a的次数。 引理3 任何非零的λ-矩阵()λ A=() () n m ij? λ a等价于对角阵 () () () ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ... ..... d 2 1 λ λ λ r d d ()()()λ λ λ r 2 1 d ,.... d, d是首项系数为1的多项式，且 ()()1 ...... 3,2,,1 , / d 1 - = + r i d i i λ λ 引理4 等价的λ-矩阵有相同的秩和相同的各阶行列式因子 推论5 λ-矩阵的施密斯标准型是唯一的由施密斯标准型可以得到行列式因子推论6 两个λ-矩阵等价，当且仅当它们有相同的行列式因子，或者相同的不变因子 推论7 λ-矩阵()λ A可逆，当且仅当它可以表示为初等矩阵的乘积 推论8 两个()()λ λ λB A m与 矩阵 的- ?n等价当且仅当存在一个m阶的可逆λ-矩阵()λ P和 一个n阶的λ-矩阵()λ Q使得()()()()λ λ λ λQ A P = B 推论9 两个λ-矩阵等价，当且仅当它们有相同的初等因子和相同的秩

定理10 设λ-矩阵()λA 等价于对角型λ-矩阵()() ()()?????? ?? ? ???????? ?=λλλλn h h . . . ..21h B ，若将()λB 的次数大于1的对角线元素分解为不同的一次因式的方幂的乘积，则所有这些一次因式的方幂（相同 的按照重复的次数计算）就是()λA 的全部初等因子。 行列式因子 不变因子 初等因子 初等因子被不变因子唯一确定但，只要λ-矩阵()λA 化为对角阵，再将次数大于等于1的对角线元素分解为不同的一次方幂的乘积，则 所有这些一次因式的方幂（相同的必须重复计算）就为()λA 的全部初等因子，即不必事先知道不变因子，可以直接求得初等因子。 矩阵的若当 标准型 定理1 两个n ?m 阶数字矩阵A 和B 相似，当且仅当它们的特征矩阵B -E A -E λλ与等价 N 阶数字矩阵的特征矩阵A -E λ的秩一定是n 因此它的不变因子有n 个，且乘积是A 的特征多项式 推论3 两个同阶矩阵相似，当且仅当它们有相同的行列式因子，或相同的不变因子，或相同的初等因子。 定理4 每个n 阶复矩阵A 都与一个若当标准型矩阵相似，这个若当标准型矩阵除去其中若当块的排列次序外是被矩阵A 唯一确定的。 求解若当标准型及可逆矩阵Ｐ：根据数字矩阵写出特征矩阵，化为对角阵后，得出初等因子， 根据初等因子，写出若当标准型Ｊ，设Ｐ（Ｘ１Ｘ２Ｘ３），然后根据 J X X X X X X A PJ AP J AP P 321321-1），，（），，（，即得到===得到 P （X1X2X3）方阵 矩阵的最小 多项式 定理1 矩阵A 的最小多项式整除A 的任何零化多项式，且最小多项式唯一。 N 阶数字矩阵可以相似对角化，当且仅当最小多项式无重根。 定理2 矩阵A 的最小多项式的根一定是A 的特征值，反之，矩阵Ａ的特征值一定是最小多项式的根。 求最小多项式：根据数字矩阵写出特征多项式()A E f -=λλ， 根据特征多项式得到最小多

矩阵理论(16-17)试卷

2016——2017学年第一学期 《矩阵理论》考试试卷 试卷审核人： 考试时间： 2016.12.4 注意事项：１.本试卷适用于16级研究生学生考试使用。 ２.本试卷共8页，满分100分。答题时间150分钟。 学院： 姓名:_________________学号： 一.(本题满分12分) 设3[]P x 是次数不超过3的实系数多项式空间， { } 2301233()(1)0; ()[]W f x f a x a x a x f x a P x ==+++∈=, 1. 证明W 按照多项式的加法与数乘运算构成3[]P x 的线性子空间； 2. 求W 的维数及其一组基．

二. (本题满8分)求矩阵 524 212 425 A ?? ?? ?? ?? ?? - =- -- 的LU分解和LDU分 解．

三．(本题满分12分) 设T 为线性空间22R ?的一个线性变换 ， 对任意的22 a b R c d ???∈????， 232a b a b b T c d c d d ??+???? = ?????+???? ? ? ； 1. 求T 在22 R ?的标准基 1112211 00 10 0,,, 000 01 0E E E ?? ?? ?? ===? ??????????? 220 00 1E ?? =? ??? 下的矩阵； 2. 求T 在22R ?的另一基 12 3 1 1010 0,,, 111 11 1G G G ???? ?? ===? ????????? ?? 4000 1G ?? =? ??? 下的矩阵．

四．（本题满分８分）设A()λ为6阶λ矩阵，其秩为4，初等因子为 3212111,,,,,,,()λλλλλλλλ--+++,试求A() λ的不变因子与Smith 标准型．

矩阵秩重要知识点总结_考研必看

一． 矩阵等价 行等价：矩阵A 经若干次初等行变换变为矩阵B 列等价：矩阵A 经若干次初等列变换变为矩阵B 矩阵等价:矩阵A 经若干次初等行变换可以变为矩阵B ，矩阵B 经若干次初等行变换可以变成矩阵A ，则成矩阵A 和B 等价 矩阵等价的充要条件 1. 存在可逆矩阵P 和Q,PAQ=B 2. R(A)=R(B) 二． 向量的线性表示 Case1：向量b r 能由向量组A 线 性表示: 充要条件: 1.线性方程组A x r =b 有解 (A)=R(A,b) Case2：向量组B 能由向量组A 线性表示 充要条件： R(A)=R(A,B) 推论 ∵R(A)=R(A,B),R(B) ≤R(A,B) ∴R(B) ≤R(A) Case3：向量组A 能由向量组B 线性表示 充要条件： R(B)=R(B,A) 推论 ∵R(B)=R(A,B),R(A) ≤R(A,B) ∴R(A) ≤R(B) Case4：向量组A 和B 能相互表示，即向量组A 和向量组B 等价 充要条件: R(A)=R(B)=R(A,B)=R(B,A) Case5：n 维单位坐标向量组能由矩阵A 的列向量组线性表示 充要条件是: R(A)=R(A,E)

n=R(E)<=R(A),又R(A)>=n ，所以R(A)=n=R(A,E) 三． 线性方程组的解 1. 非齐次线性方程组 （1） R(A)=R(A,B),方程有解. （2） R(A)=R(A,B)=n ，解唯一. （3） R(A)=R(A,B)

线性代数知识点总结

线性代数知识点总结 第一章行列式 （一）要点 1、 二阶、三阶行列式 2、 全排列和逆序数，奇偶排列（可以不介绍对换及有关定理） ，n 阶行列式的定义 3、 行列式的性质 4、 n 阶行列式 ^a i j ，元素a j 的余子式和代数余子式，行列式按行（列）展开定理 5、 克莱姆法则 （二）基本要求 1 、理解n 阶行列式的定义 2、掌握n 阶行列式的性质 3 、会用定义判定行列式中项的符号 4、理解和掌握行列式按行（列）展开的计算方法，即 a 1i A Ij ' a 2i A 2 j ' a ni A nj ^ 5、会用行列式的性质简化行列式的计算，并掌握几个基本方法： 归化为上三角或下三角行列式， 各行（列）元素之和等于同一个常数的行列式， 利用展开式计算 6、 掌握应用克莱姆法则的条件及结论 会用克莱姆法则解低阶的线性方程组 7、 了解n 个方程n 个未知量的齐次线性方程组有非零解的充要条件 第二章矩阵 （一）要点 1、 矩阵的概念 m n 矩阵A =（a j ）mn 是一个矩阵表。当 m =n 时，称A 为n 阶矩阵，此时由 A 的 元素按原来排列的形式构成的 n 阶行列式，称为矩阵 A 的行列式，记为 A . 注：矩阵和行列式是两个完全不同的两个概念。 2、 几种特殊的矩阵：对角阵；数量阵；单位阵；三角形矩阵；对称矩阵 a i 1A j 1 ■ a i2A j 2 ? a in A jn = 〔 D '

3、矩阵的运算；矩阵的加减法；数与矩阵的乘法；矩阵的转置；矩阵的乘法 (1矩阵的乘法不满足交换律和消去律，两个非零矩阵相乘可能是零矩阵。如果两矩阵A与B相乘，有AB = BA ,则称矩阵A与B可换。注：矩阵乘积不一定符合交换 (2)方阵的幕：对于n阶矩阵A及自然数k， A k=A A A , 1 k个 规定A° = I ,其中I为单位阵. (3) 设多项式函数(J^a^ k?a1?k^l Z-心律??a k，A为方阵，矩阵A的 多项式(A) = a0A k?a1A k' …-?-a k jA ■ a k I ,其中I 为单位阵。 (4)n阶矩阵A和B ,贝U AB=IAB . (5)n 阶矩阵A ,则∣∕Λ =λn A 4、分块矩阵及其运算 5、逆矩阵：可逆矩阵(若矩阵A可逆，则其逆矩阵是唯一的)；矩阵A的伴随矩阵记 * 为A , AA* = A*A = AE 矩阵可逆的充要条件；逆矩阵的性质。 6、矩阵的初等变换：初等变换与初等矩阵；初等变换和初等矩阵的关系；矩阵在等价 意义下的标准形；矩阵A可逆的又一充分必要条件：A可以表示成一些初等矩阵的乘积； 用初等变换求逆矩阵。 7、矩阵的秩：矩阵的k阶子式；矩阵秩的概念；用初等变换求矩阵的秩 8、矩阵的等价 (二)要求 1、理解矩阵的概念；矩阵的元素；矩阵的相等；矩阵的记号等 2、了解几种特殊的矩阵及其性质 3、掌握矩阵的乘法；数与矩阵的乘法；矩阵的加减法；矩阵的转置等运算及性质 4、理解和掌握逆矩阵的概念；矩阵可逆的充分条件；伴随矩阵和逆矩阵的关系；当A 可逆时，会用伴随矩阵求逆矩阵 5、了解分块矩阵及其运算的方法 (1)在对矩阵的分法符合分块矩阵运算规则的条件下，其分块矩阵的运算在形式上与不分块矩阵的运算是一致的。 (2)特殊分法的分块矩阵的乘法，例如A m n, B nl,将矩

矩阵理论2017-2018学年期末考试试题

矩阵理论2017-2018学年期末考试试题 ?、选择题 (每题5分，共25分) 1.下列命题错误的是(A)(B)若，且，则(C)设且，令，则的谱半径为1 (D)设为空间的任意?空间，则2.下列命题错误的是(A)若，则(B)若,则(C)若，则(D)设的奇异值分别为，，如果，则3.下列说法正确的是(A)若，则(B)若为收敛矩阵，则?定可逆 (C)矩阵函数对任何矩阵均有定义，?论A 为实矩阵还是复矩阵 (D)对任意?阵，均有4.下列选项中正确的是(A)且，则为收敛矩阵； (B)为正规矩阵，则(C)，则(D)为的所有正奇异值，5.下列结论错误的是(A)若和分别是列满秩和?满秩矩阵，则(B)若矩阵为?满秩矩阵，则是正定矩阵(C)设为严格对?占优矩阵，，则的谱半径(D)任何可相似对?化的矩阵，皆可分解为幂等矩阵的加权和，即?、判断题(15分)(正确的打√，错误的打×) 1.若，且，，则 2.若且，则为到的值域上的正交投影 3.设都是可逆矩阵，且齐次线性?程组有?零解，为算?范数，则 4.，定义，则是上的范数 5.设矩阵的最?秩分解为，则当且仅当 ( ) (A ?B =?)H A H B H A ∈C n ×n =A A 2rank (A )=tr (A )μ∈C n μ=1μH H =E ?2μμH H ,V 1V 2V dim (+)=dim ()+dim () V 1V 2V 1V 2( ) =A ,=A A H A 2=A A +A =A A H A H (=(A m )+A +)m x ∈C n ∥x ≤∥x ≤∥x ∥∞∥2∥1 A , B ∈ C n ×n ≥≥?≥>0σ1σ2σn ≥≥?≥>0σ′1σ′2σ′ n >(i =1,2,?,n )σi σ′i ∥>∥A +∥2B +∥2 ( )A =????π000π001π????sinA =????0000000sin 10?? ??A E ?A e A A A ,B =e A e B e A +B ( )A ∈C n ×n ∥A <1∥m A A ∈C n ×n r (A )=∥A ∥2A ∈(r >0)C m ×n r ∥A =A +∥F r √≥≥?≥σ1σ2σr A ∥=A +∥21σ1 ( ) A B (AB =)+ B +A + A A A H Hermite A =()∈(n >1)a ij C n ×n D =diag (,,?,)a 11a 22a nn E ?A D ?1r (E ?A )≥1 D ?1(i =1,2,?,n )A i A =∑n i =1λi A i A ∈C m ×n A ≠0(A =A A ?)H A ?∥A =n A ?∥2 ( ) A ∈，G ∈C m ×n C n ×m AGA =A y =AGx ,?x ∈C m C m A ( ) A , B ∈ C n ×n (A +B )x =0∥?∥∥A ∥≥1B ?1 ( )?(x ,y )∈R 2f (x ,y )=2+3?4xy x 2y 2￣ ￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣√f (x ,y )R 2 ( )A A =BD Ax =0Dx =0 ( )

研究生2008矩阵理论试卷

矩阵理论试卷（A ）（2008级） (共1页) 成绩 学院班级＿＿ ＿; 姓名＿＿＿ ＿＿； 学号＿ ＿＿ ＿＿ 1 （15分）给定 2222{()|}ij ij R A a a R ??==∈（数域R 上二阶实方阵按通常矩阵的加法与数乘构成的线性空间）的子集 221122i j {()|0, } i j V A a a a a R ?==+=∈ （1）证明V 是22R ?的子空间；（2）求V 的维数和一组基；（3）求3253A ??= ?-?? 在所求基下的坐标。 2 （15分）设α为n 维欧氏空间V 中的单位向量，对V 中任意一向量x , 定义线性变换: ()2(,)T T x x x αα=-, （1）证明：T 为正交变换； （2）证明 T 对应特征值1有n-1 个线性无关的特征向量；（3）问T 能否在某组基下的矩阵为对角阵，说明理由。 3 （15分）设矩阵010120110A ?? ?=- ? ?-?? （1）求A 的若当标准形；（2）求A 的最小多项式；（3）计算532()45g A A A A E =+-+。 4（10分）设3 R 中的线性变换T 如下：123122323(,,)(2,,) ; ()i T x x x x x x x x x x R =--+∈ (1) 写出T 在基T T T 123 =(1, 1, 0),=(0, 1, 1), =(0, 0, 1)βββ下的矩阵；(2) 求3()T R 及()Ker T 。 5 （10分）已知多项式矩阵 2210007(2)00()00(1)00 00(1)(5)A λλλλλλλ-?? ?++ ?= ?- ?++??，求()A λ的初等因子及史密斯标准形。 6（10分）在欧氏空间4R 中， 对任意两个向量12341234(,,,) , (,,,),T T a a a a b b b b αβ==定义内积 1122334(, )2a b a b a b a b αβ=+++ 求齐次方程组1234123 20 = 0x x x x x x x +-+=??+-? 的解空间的一组标准正交基。 7 （10分）(1) 设A 为可逆矩阵, 证明对任何矩阵的算子范数, 都有11||||||||--≥A A 。 （2）设???? ? ??--+-=21512363 11684i i A , 利用(1)的结论分别估计11||||-A 和∞-||||1A 的下界。 8（15分）已知200111113?? ?= ? ?-?? A , 求矩阵函数()e t f =A A 。

线性代数知识点归纳,超详细

线性代数复习要点 第一部分行列式 1. 排列的逆序数 2. 行列式按行（列）展开法则 3. 行列式的性质及行列式的计算 行列式的定义 1.行列式的计算： ①(定义法) ②（降阶法）行列式按行（列）展开定理： 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和. 推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.

③(化为三角型行列式)上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积. ④若都是方阵（不必同阶）,则 ⑤关于副对角线： ⑥范德蒙德行列式： 证明用从第n行开始，自下而上依次的由下一行减去它上一行的倍，按第一列展开，重复上述操作即可。 ⑦型公式： ⑧(升阶法)在原行列式中增加一行一列，保持原行列式不变的方法. ⑨(递推公式法) 对阶行列式找出与或,之间的一种关系——称为递推公式，其中 ,,等结构相同，再由递推公式求出的方法称为递推公式法. (拆分法) 把某一行（或列）的元素写成两数和的形式，再利用行列式的性质将原行列式写成两行列式之和，使问题简化以例计算. ⑩(数学归纳法) 2. 对于阶行列式，恒有：，其中为阶主子式；

3. 证明的方法： ①、； ②、反证法； ③、构造齐次方程组，证明其有非零解； ④、利用秩，证明； ⑤、证明0是其特征值. 4. 代数余子式和余子式的关系： 第二部分矩阵 1.矩阵的运算性质 2.矩阵求逆 3.矩阵的秩的性质 4.矩阵方程的求解 1.矩阵的定义由个数排成的行列的表称为矩阵. 记作：或 ①同型矩阵：两个矩阵的行数相等、列数也相等. ②矩阵相等: 两个矩阵同型，且对应元素相等. ③矩阵运算 a. 矩阵加（减）法：两个同型矩阵，对应元素相加（减）. b. 数与矩阵相乘：数与矩阵的乘积记作或，规定为. c. 矩阵与矩阵相乘：设, ,则， 其中 注：矩阵乘法不满足：交换律、消去律, 即公式不成立.

矩阵论试题

2017—2018学年第一学期《矩阵论》试卷 (17级专业硕士) 专业 学号 姓名 得分 一．判断题（每小题3分，共15分） 1．线性空间V 上的线性变换A 是可逆的当且仅当零的原像是零， 即ker A =0。（ ） 2．实数域上的全体n 阶可逆矩阵按通常的加法与数乘构成一个 线性空间。（ ） 3．设A 是n 阶方阵，则k A ),2,1( =k 当∞→k 时收敛的充分 必要条件是A 的谱半径1)(

4． 设1][-n x P 是数域K 上次数不超过1-n 的多项式空间，求导算子D 在基12,,,,1-n x x x 以及基12)! 1(1,,!21, ,1--n x n x x 下的矩阵分别为 ， 。 5．设A 是复数域上的正规矩阵，则A 满足： ，并 写出常用的三类正规矩阵 。 三．计算题（每小题12分，共48分） 1．在3R 中，试用镜像变换（Householder 变换）将向量T )2,2,1(-=α 变为与T e )1,0,0(3=同方向的向量，写出变换矩阵。 。

线性代数知识点归纳

线性代数复习要点 第一部分 行列式 1. 排列的逆序数 2. 行列式按行（列）展开法则 3. 行列式的性质及行列式的计算 1.行列式的计算： ① (定义法)1212121112121222() 1212()n n n n n j j j n j j nj j j j n n nn a a a a a a D a a a a a a τ= = -∑ L L L L L M M M L 1 ②（降阶法）行列式按行（列）展开定理： 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和. 推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零. ③ (化为三角型行列式)上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积. ④ 若A B 与都是方阵（不必同阶）,则 ==()mn A O A A O A B O B O B B O A A A B B O B O *==* *=-1 ⑤ 关于副对角线： (1)2 1121 21 1211 1 () n n n n n n n n n n n a O a a a a a a a O a O ---* ==-K N N 1 ⑥ 范德蒙德行列式：()1 22 22 12111112 n i j n j i n n n n n x x x x x x x x x x x ≤<≤---=-∏L L L M M M L 111

⑦ a b -型公式：1 [(1)]()n a b b b b a b b a n b a b b b a b b b b a -=+--L L L M M M O M L ⑧ (升阶法)在原行列式中增加一行一列，保持原行列式不变的方法. ⑨ (递推公式法) 对n 阶行列式n D 找出n D 与1n D -或1n D -,2n D -之间的一种关系——称为递推公式，其中 n D ,1n D -,2n D -等结构相同，再由递推公式求出n D 的方法称为递推公式法. (拆分法) 把某一行（或列）的元素写成两数和的形式，再利用行列式的性质将原行列式写成两行列式之和， 使问题简化以例计算. ⑩ (数学归纳法) 2. 对于n 阶行列式A ，恒有：1 (1)n n k n k k k E A S λλ λ-=-=+-∑，其中k S 为k 阶主子式； 3. 证明 0A =的方法： ①、A A =-； ②、反证法； ③、构造齐次方程组0Ax =，证明其有非零解； ④、利用秩，证明()r A n <； ⑤、证明0是其特征值. 4. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=- 第二部分 矩阵 1.矩阵的运算性质 2.矩阵求逆 3.矩阵的秩的性质 4.矩阵方程的求解 1. 矩阵的定义 由m n ?个数排成的m 行n 列的表1112121 22212n n m m mn a a a a a a A a a a ?? ? ? = ? ??? L L M M M L 称为m n ?矩阵.

2016矩阵论试题A20170109 (1)

第 1 页 共 4 页 （A 卷） 学院 系 专业班级 姓名 学号 (密封线外不要写姓名、学号、班级、密封线内不准答题，违者按零分计) …………………………………………密…………………………封……………………………………线………………………………… 考试方式：闭卷 太原理工大学 矩阵分析 试卷（A ） 适用专业：2016级硕士研究生 考试日期：2017.1.09 时间：120 分钟 共 8页 一、填空选择题（每小题3分，共30分） 1-5题为填空题： 1. 已知??? ? ? ??--=304021101A ，则______||||1=A 。 2. 设线性变换1T ，2T 在基n ααα ,,21下的矩阵分别为A ，B ，则线性变换212T T +在基n ααα ,,21下的矩阵为_____________. 3．在3R 中，基T )2,1,3(1--=α，T )1,1,1(2-=α，T )1,3,2(3-=α到基T )1,1,1(1=β， T )3,2,1(2=β，T )1,0,2(3=β的过度矩阵为_______=A 4. 设矩阵??? ? ? ??--=304021101A ，则 _______ 3332345=-++-A A A A A . 5．??? ? ? ? ?-=λλλλλ0010 1)(2A 的Smith 标准形为 _________ 6-10题为单项选择题： 6．设A 是正规矩阵，则下列说法不正确的是 （ ）. (A) A 一定可以对角化； （B ）?=H A A A 的特征值全为实数； (C) 若E AA H =，则 1=A ； （D ）?-=H A A A 的特征值全为零或纯虚数。 7．设矩阵A 的谱半径1)(

矩阵知识点归纳

矩阵知识点归纳 (一)二阶矩阵与变换 1．线性变换与二阶矩阵 在平面直角坐标系xOy 中，由? ??? ? x ′＝ax ＋by ，y ′＝cx ＋dy ，(其中a ，b ，c ，d 是常数)构成的变换称 为线性变换．由四个数a ，b ，c ，d 排成的正方形数表???? ? ?a b c d 称为二阶矩阵，其中a ，b ，c ， d 称为矩阵的元素，矩阵通常用大写字母A ，B ，C ，…或(a ij )表示(其中i ，j 分别为元素a ij 所在的行和列)． 2．矩阵的乘法 行矩阵[a 11a 12]与列矩阵??????b 11b 21的乘法规则为[a 11a 12]???? ??b 11b 21＝[a 11b 11＋a 12b 21]，二阶矩阵??????a b c d 与列矩阵??????x y 的乘法规则为??????a b c d ??????x y ＝??????ax ＋by cx ＋dy .矩阵乘法满足结合律，不满足交换律和消去律． 3．几种常见的线性变换 (1)恒等变换矩阵M ＝???? ? ?1 00 1； (2)旋转变换R θ对应的矩阵是M ＝???? ?? cos θ －sin θsin θ cos θ； (3)反射变换要看关于哪条直线对称．例如若关于x 轴对称，则变换对应矩阵为M 1＝??????1 00 －1；若关于y 轴对称，则变换对应矩阵为M 2＝???? ?? －1 0 0 1；若关于坐标原点对称，则变换对应矩阵M 3＝???? ?? －1 0 0 －1； (4)伸压变换对应的二阶矩阵M ＝???? ??k 1 00 k 2，表示将每个点的横坐标变为原来的k 1 倍，纵 坐标变为原来的k 2倍，k 1，k 2均为非零常数； (5)投影变换要看投影在什么直线上，例如关于x 轴的投影变换的矩阵为M ＝??????1 00 0； (6)切变变换要看沿什么方向平移，若沿x 轴平移|ky |个单位，则对应矩阵M ＝???? ? ?1 k 0 1， 若沿y 轴平移|kx |个单位，则对应矩阵M ＝???? ??1 0k 1.(其中k 为非零常数)． 4．线性变换的基本性质 设向量α＝??????x y ，规定实数λ与向量α的乘积λα＝??????λx λy ；设向量α＝??????x 1y 1，β＝???? ??x 2y 2，规定向量α与β的和α＋β＝???? ?? x 1＋x 2y 1＋y 2. (1)设M 是一个二阶矩阵，α、β是平面上的任意两个向量，λ是一个任意实数，则①M (λα)＝λMα，②M (α＋β)＝Mα＋Mβ. (2)二阶矩阵对应的变换(线性变换)把平面上的直线变成直线(或一点)．

矩阵理论资料期末考试试题整理版

矩阵重点(仅供参考) 第一章 线性空间的证明 例8.1 1｝在三维空间 用 中求下列各线性变换f 在指定的基下的矩阵:已知 f &「巧23)= (2眄一忑2卫2 + 乌，巧)’ 求 f 在基 Q =(1,0,0)…62 = (0,1,0),￡3 = (0,0,1)下的距阵; 2)已知线桂变换f 在基0 - (一1」，1),血-(1,(),-1),773 - ((J, 1,1)下的輕阵 10 1' 1 1 0 ,求f 在基 -1 2 1 耳己知 /(//I)二(-5,0,3) J(也)二(0, -1,6) 二(-5,-1,9),其中切- (—13),2)= (0,1,1) ,% = (3, -1,0)是一个基，求/在 ￡1 = (1,0, G) , ￡2 = (0,1,0),^3 - (0,0,1)下的矩阵以及在基 W 二(一12,2),"二(0丄 1),脚二 (3,-1,0)下的矩阵. ［解］1)因为/(叼卫2十』=(2工1 一孔，^2 +衍卫J 所以 /(^1) = /(1.0,0)=(2,0,1), /(E J = /(OJ4)= (—1J2), /(叼)=/(0小1) = (0丄0). 由于三维向莹在标准正楚基61, ￡2,^3下的坐标就是其分量， 力=(1, 0, 0)耳=(0,1,0) ,63 = (0,0,1)下的矩阵; 所以/ (G’F 刘旳)=(巧，￡2,巾)0 1 因此/在基￡?￡2违3下的矩阵为 2-10 1 1 0 () 2 -1 □ 1 1 0

又（巾「乃Jb ） =（6^20」 线性变换的矩阵表示是重点 第二章 例2.2 在欧氏空间用 中对于基曲=（1」.1）?02 = 念=（1.0,0） 行正交化 方法”求出/?"的一个标准正交基. 73 =他一常帶bl 一錚Ibii = ；所以｛九他斶是Q 的一 个正交基； 2）再令C1 =閔=（；^，為.雳）'厲2 =盘| =（為，吉?-搓）； 。3 =希=（为，-爲 4）; 则｛创：血‘伽｝却为欧氏空间R"的一个标准正交基. ■ ■ -110 ■ ■ 1 0 1 '"1 1 -1' "-1 1 -2' 10 1 1 1 0 0 1 -1 2 2 0 1-11 ■ ■ 一 1 2 1 ■ 1 0 1 3 0 2 H-由此可得/（…勿如二 （G 因此f 在基“T “疋3下的矩阵为 2) gwE = 5丄舟涉) 1 0 1 1 -1 2 （G 工2疋小=（加T 也胡叢） 1 0 0 1 -11 -1 I -2 2 2 0 3 0 2 ［解］1）取 71 = 01 生二為一會；：卜1二1-3 1-3 .1,1）,由旄来特止交化方 法: (71 rn )

线性代数知识点总结汇总

线性代数知识点总结 1 行列式 （一）行列式概念和性质 1、逆序数：所有的逆序的总数 2、行列式定义：不同行不同列元素乘积代数和 3、行列式性质：（用于化简行列式） （1）行列互换（转置），行列式的值不变 （2）两行（列）互换，行列式变号 （3）提公因式：行列式的某一行（列）的所有元素都乘以同一数k，等于用数k 乘此行列式 （4）拆列分配：行列式中如果某一行（列）的元素都是两组数之和，那么这个行列式就等于两个行列式之和。 （5）一行（列）乘k加到另一行（列），行列式的值不变。 （6）两行成比例，行列式的值为0。 （二）重要行列式 4、上（下）三角（主对角线）行列式的值等于主对角线元素的乘积 5、副对角线行列式的值等于副对角线元素的乘积乘 6、Laplace展开式：（A是m阶矩阵，B是n阶矩阵），则 7、n阶（n≥2）范德蒙德行列式

数学归纳法证明 ★8、对角线的元素为a，其余元素为b的行列式的值： （三）按行（列）展开 9、按行展开定理： （1）任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和等于行列式的值（2）行列式中某一行（列）各个元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和等于0 （四）行列式公式 10、行列式七大公式： （1）|kA|=k n|A| （2）|AB|=|A|·|B| （3）|A T|=|A| （4）|A-1|=|A|-1 （5）|A*|=|A|n-1 （6）若A的特征值λ1、λ2、……λn，则 （7）若A与B相似，则|A|=|B| （五）克莱姆法则 11、克莱姆法则： （1）非齐次线性方程组的系数行列式不为0，那么方程为唯一解

（2）如果非齐次线性方程组无解或有两个不同解，则它的系数行列式必为0 （3）若齐次线性方程组的系数行列式不为0，则齐次线性方程组只有0解；如果方程组有非零解，那么必有D=0。 2 矩阵 （一）矩阵的运算 1、矩阵乘法注意事项： （1）矩阵乘法要求前列后行一致； （2）矩阵乘法不满足交换律；（因式分解的公式对矩阵不适用，但若B=E,O,A-1，A*,f(A)时，可以用交换律） （3）AB=O不能推出A=O或B=O。 2、转置的性质（5条） （1）（A+B）T=A T+B T （2）（kA）T=kA T （3）（AB）T=B T A T （4）|A|T=|A| （5）（A T）T=A （二）矩阵的逆 3、逆的定义： AB=E或BA=E成立，称A可逆，B是A的逆矩阵，记为B=A-1 注：A可逆的充要条件是|A|≠0 4、逆的性质：（5条） （1）（kA）-1=1/k·A-1 (k≠0) （2）（AB）-1=B-1·A-1 （3）|A-1|=|A|-1 （4）（A T）-1=（A-1）T （5）（A-1）-1=A