矩阵理论习题(整理版)

山东科技大学2010研究生矩阵理论试卷 1、 在矩阵的四个空间中，行空间、列空间、零空间和左零空间中，维数与矩阵的秩相等的子空间是行空

间和列空间.

2、 在矩阵的四个基本子空间中，和列空间构成正交补的是 左零空间。

3、 利用QR 分解可以讲矩阵分解为正交阵和上三角形矩阵乘积。

4、 通过矩阵 svd 分解，可以获得矩阵四个基本子空间的标准正交基。

5、 将3×3矩阵的第一行加到第三行是初等变换，对应的初等矩阵式 ????

? ??101010001

6、 当矩阵的零空间中有非零向量的时候，线性方程组Ax=b 有无穷多解。

7、 所有的2×2实矩阵组成一个向量空间，这个空间的标准基是 ???? ?????? ?????? ??????

??1000010000100001 8、 通过施密特正交化可以获得矩阵的QR 分解。

9、 在选定一个基后，任何维数为n 的欧式空间与n R 同构。

10 如果将矩阵视为线性处理系统，矩阵有m 行，n 列，则输入空间的维数是n 。

二、判断题

1、给定一个线性空间，他的基不是唯一的，但是各个基中的基向量个数是相等的。（R ）

2、两个子空间的并集是一个子空间。（F ）

3、在线性方程组Ax=b ，当矩阵A 式列满秩的时候，无论向量b 是什么，方程组都有解。（F ）

4、线性变换在不同的基下的矩阵一般不同，同一线性变换的不同矩阵表示所对应的特征值都相同。（R ）

5、线性变换在不同基下的矩阵一般不同，但是对应同一线性变换的各个矩阵的特征向量都相同。（F ）

6、矩阵特征值的代数重数是该特征值对应的特征子空间的维数。（F ）

7、任何N ×N 的实矩阵都可以对角化。（F ）

8、矩阵的左逆就是矩阵的最小范数广义逆。（F ）

9、任何M ×N 实矩阵都有奇异值分解。（R ）

10、正交投影矩阵都是幂等矩阵。（R ）

三、（矩阵的四个基本子空间和投影矩阵）

设矩阵A 为 A=???

? ??4242 1、求矩阵A 的四个基本子空间的基和维数

初等变换 ???

? ??0042 dim R （A ）=dim R （T A ）=1 dim N （A ）=dim N （T A ）=1 R(A)的基 ???? ??22 R(T A )的基 ???? ??42 N(A)的基???? ??-12 N(T A )的基 ???

?

??-11 2、画出矩阵A 的四个基本子空间的示意图。

自己画很好弄

3、写出投影到矩阵A 的列空间的正交投影矩阵，计算向量b=[0 1]T 在列空间上的投影矩阵。

IP =A(T A A)1-T A 因为 (T A A)1-不存在 不能用这种方法求解 求出列空间的基 B=???

? ??11得

IP=B(T B B)1-T B =2 ???

? ??1111 投影矩阵 IP*b=2???? ??11 4、写出投影到矩阵A 的左零空间的正交投影矩阵，计算向量b=[0 1]在左零空间上的投影向量。 N(T A )⊕R(A)=IR 3 N(T A )=R(A)⊥ 所以3IR ∈?α )()(T A N A R IP IP ααα+= 所以

)()(A R A N IP I IP T -==???

? ??----1221 投影矩阵)(T A N IP *b=???? ??--12 四、（矩阵奇异值分解的伪逆）设矩阵A 为A=???

?

??-1122 1、求矩阵A 的奇异值分解。 A T

A=???? ??-???? ??-11221212=???? ??5335=V ???? ??222100σσV T 所以821=σ 222=σ 归一化为特征向量?????? ??2121和?????? ??-2121 u 1=???? ??=?????

? ?????? ??-=01212111228111σAv 同理的u 2=???? ??-10从而A 的svd 分解是A=???? ??-1001???? ??2008?????

? ??-21212121 2、通过奇异值分解计算矩阵的M-P 伪逆。

A +=V +∑T U =?????? ??-21212121?????

? ??210081???? ??-1001=???? ??-212141 五、（基变换和坐标变换）在线性空间V=P 3(x)中，有三个向量

f1（x ）=-3+2x-x 2

f2（x ）=-x+2x 2

f3(x)=-1+2x-x 2

1、 证明B={f1（x ），f2（x ），f3（x ）}构成V=P 3（x ）的一个基。

设1k f 1+k 2f 2+k 3f 3=θ 解方程得矩阵满秩 所以k 1=k 2=k 3=0所以是基

2、 设V=P 3（x ）中有标准基S={1，x ，x 2}，写出由标准基S 到基B 的过渡矩阵。

（-3+2x-x 2 -x+2x 2 _1+2x-x 2）=(1 x x 2)????? ??-----121212103 Q=????

? ??-----121212103

计算出向量f （x ）=3+12x+7x 2在基S 下的坐标向量。

????

? ??7123

3、 根据前述结果，利用坐标变换，计算出向量f （x ）=3+12x+7x 2在基B 下的坐标向量。

B=Q 1-????? ??7123=????????

??---2112132310

613121????? ??7123=???????

? ??-17326320

2012矩阵论复习题

2012矩阵论复习题 1. 设+=R V 是正实数集,对于任意的V y x ∈,,定义x 与y 的和为 y x y x ?=⊕ 对于任意的数R k ∈,定义k 与x 的数乘为 k x x k =? 问:对于上述定义加法和数乘运算的集合V ,是否构成线性空间,并说明理由. 2.对任意的2,R y x ∈,),(21x x x =,),(21y y y =定义x 与y 的和为 ),(112211y x y x y x y x +++=⊕ 对于任意的数R k ∈,定义k 与x 的数乘为 )2 )1(,(2121x k k kx kx x k -+=? 问:对于上述定义加法和数乘运算的集合2R ,是否构成线性空间,并说明理由. 3．设},022|),,{(321321R x x x x x x x S i ∈=++=，试证明S 是3R 的子空间，并求S 的一组基和S dim . 4.设)(R P n 表示次数不超过n 的全体多项式构成的线性空间, )}()(,0)0(|)({R P x f f x f S n ∈='= 证明S 是)(R P n 的子空间,并写出S 的一组基和计算S dim . 5. 设T 是2R 上的线性变换,对于基向量i 和j 有 j i i T +=)( j i j T -=2)( 1)确定T 在基},{j i 下的矩阵; 2)若j i e -=1 j i e +=32,确定T 在基},{21e e 下的矩阵. 6. 设T 是3R 上的线性变换,对于基},,{k j i 有 k j k j i T -=++)( i k j T =+)( k j i k T 532)(++=

上海交通大学2010-2011学年《矩阵理论》试卷本试卷共四道大题,总分

上海交通大学2010－2011学年《矩阵理论》试卷 本试卷共四道大题，总分100分，其中*A 表示矩阵A 的共轭转置. 一、 单项选择题（每题3分，共15分） 1. 设???? ? ??=001001001A ，则=-199200A A ( ) （A ）E ； （B ）0； （C ）A ； （D ）2A . 2. 下列集合对所给运算构成实数域上线性空间的是( ) （A ） 次数等于)1(≥m m 的实系数多项式的集合，对于多项式的通常加法和数与 多项式的通常乘法； （B ） Hermite 矩阵的集合，对于矩阵的通常加法和实数与矩阵的通常乘法； （C ） 平面上全体向量的集合，对于通常的加法和如下定义的数乘运算 0x x k =?，k 是实数，0x 是某一取定向量； （D ） 投影矩阵的集合，对于矩阵的通常加法和实数与矩阵的通常乘法. 3. 线性变换为正交变换的必要而非充分条件的是( ) （A ）保持向量的长度不变； （B ）将标准正交基变为标准正交基； （C ）保持任意两个向量的夹角不变；（D ）在任意标准正交基下的矩阵为正交矩阵. 4. 设A 是幂等矩阵，则下列命题中不正确的是( ) （A ）A 与对角矩阵相似； （B ）A 的特征值只可能是1或者0； （C ）A A )1sin()sin(=； （D ）幂级数10)(-∞ =-=∑A E A k k . 5. 设21,V V 是V 的两个线性子空间，则与命题“21V V +的任意元素的分解式唯一”不等价的命题是( ) （A ）{}021=?V V ； （B ）2121dim dim )dim (V V V V +=+； （C ）21V V +的零元素的分解式唯一； （D ）V V V =?][21. 二、填空题（每空3分，共15分） 设二维线性空间V 的线性变换V V T :1与V V T :2在基21,αα下的矩阵分别为

2016矩阵论试题

第 1 页 共 6 页 （A 卷） 学院 系 专业班级 姓名 学号 (密封线外不要写姓名、学号、班级、密封线内不准答题，违者按零分计) …………………………………………密…………………………封……………………………………线………………………………… 考试方式：闭卷 太原理工大学 矩阵分析 试卷（A ） 适用专业：2016级硕士研究生 考试日期：2017.1.09 时间：120 分钟 共 8页 一、填空选择题（每小题3分，共30分） 1-5题为填空题： 1. 已知??? ? ? ??--=304021101A ，则1||||A =。 2. 设线性变换1T ，2T 在基n ααα ,,21下的矩阵分别为A ，B ，则线性变换212T T +在基n ααα ,,21下的矩阵为_____________. 3．在3R 中，基T )2,1,3(1--=α，T )1,1,1(2-=α，T )1,3,2(3-=α到基T )1,1,1(1=β， T )3,2,1(2=β，T )1,0,2(3=β的过度矩阵为A = 4. 设矩阵??? ? ? ??--=304021101A ，则 5432333A A A A A -++-= . 5．??? ? ? ? ?-=λλλλλ0010 01)(2A 的Smith 标准形为 6-10题为单项选择题： 6．设A 是正规矩阵，则下列说法不正确的是 （ ）. (A) A 一定可以对角化； （B ）?=H A A A 的特征值全为实数； (C) 若E AA H =，则 1=A ； （D ）?-=H A A A 的特征值全为零或纯虚数。 7．设矩阵A 的谱半径1)(

2016矩阵论复习题

矩阵论复习题 1. 设+=R V 是正实数集,对于任意的V y x ∈,,定义x 与y 的和为 y x y x ?=⊕ 对于任意的数R k ∈,定义k 与x 的数乘为 k x x k =? 问:对于上述定义加法和数乘运算的集合V ,是否构成线性空间,并说明理由. 2.对任意的2,R y x ∈,),(21x x x =,),(21y y y =定义x 与y 的和为 ),(112211y x y x y x y x +++=⊕ 对于任意的数R k ∈,定义k 与x 的数乘为 )2 )1(,(2121x k k kx kx x k -+=? 问:对于上述定义加法和数乘运算的集合2R ,是否构成线性空间,并说明理由. 3．设},022|),,{(321321R x x x x x x x S i ∈=++=，试证明S 是3R 的子空间，并求S 的一组基和S dim . 4.设)(R P n 表示次数不超过n 的全体多项式构成的线性空间, )}()(,0)0(|)({R P x f f x f S n ∈='= 证明S 是)(R P n 的子空间,并写出S 的一组基和计算S dim . 5. 设33:R R T →是线性变换， ()()321323213212,,2,,x x x x x x x x x x x T -++-+= 求T 的零空间)(T N 和像空间)(T R 的基和维数. 6. 设T 是3R 上的线性变换,对于基},,{k j i 有 k j k j i T -=++)( i k j T =+)( k j i k T 532)(++= 1)确定T 在基},,{k j i 下的矩阵; 2)求T 的像空间的基与维数.

上海交大研究生矩阵理论答案

习题 一 1．（1）因 cos sin sin cos nx nx nx nx ?? ? ? -?? cos sin sin cos x x x x ????-??= cos(1) sin(1)sin(1) cos(1)n x n x n x n x ++?? ??-++?? ，故由归纳法知 cos sin sin cos n nx nx A nx nx ?? =??-?? 。 （2）直接计算得4A E =-，故设4(0,1,2,3)n k r r =+=，则4(1)n k r k r A A A A ==-，即只需算出2 3 ,A A 即可。 （3）记J=0 1 0 1 1 0 ?????? ?????????? ，则 ， 1122111 11 () n n n n n n n n n n n n n n i i n i n n i n n n a C a C a C a C a C a A aE J C a J a C a a -----=-?????? ??=+==?? ???????? n ∑。 2．设112 2 (1,0),0 a A P P a A E λλ-??===???? 则由得 2 1112111 1 1 210 0 0 a λλλλλλλ?? ????==?????????????? 1时,不可能。 而由2 112 222 0 0 000 0 0 a λλλλλλ??????==?????????????? 1时,知1i λ=±所以所求矩阵为1 i PB P -， 其中P 为任意满秩矩阵，而 1231 0 1 0 1 0,,0 10 1 0 1B B B -?????? ===?????? --?????? 。 注：2A E =-无实解，n A E =的讨论雷同。 3．设A 为已给矩阵，由条件对任意n 阶方阵X 有AX=XA ，即把X 看作2 n 个未知数时线 性方程AX -XA=0有2 n 个线性无关的解，由线性方程组的理论知其系数矩阵为零矩

矩阵理论(16-17)试卷

2016——2017学年第一学期 《矩阵理论》考试试卷 试卷审核人： 考试时间： 2016.12.4 注意事项：１.本试卷适用于16级研究生学生考试使用。 ２.本试卷共8页，满分100分。答题时间150分钟。 学院： 姓名:_________________学号： 一.(本题满分12分) 设3[]P x 是次数不超过3的实系数多项式空间， { } 2301233()(1)0; ()[]W f x f a x a x a x f x a P x ==+++∈=, 1. 证明W 按照多项式的加法与数乘运算构成3[]P x 的线性子空间； 2. 求W 的维数及其一组基．

二. (本题满8分)求矩阵 524 212 425 A ?? ?? ?? ?? ?? - =- -- 的LU分解和LDU分 解．

三．(本题满分12分) 设T 为线性空间22R ?的一个线性变换 ， 对任意的22 a b R c d ???∈????， 232a b a b b T c d c d d ??+???? = ?????+???? ? ? ； 1. 求T 在22 R ?的标准基 1112211 00 10 0,,, 000 01 0E E E ?? ?? ?? ===? ??????????? 220 00 1E ?? =? ??? 下的矩阵； 2. 求T 在22R ?的另一基 12 3 1 1010 0,,, 111 11 1G G G ???? ?? ===? ????????? ?? 4000 1G ?? =? ??? 下的矩阵．

四．（本题满分８分）设A()λ为6阶λ矩阵，其秩为4，初等因子为 3212111,,,,,,,()λλλλλλλλ--+++,试求A() λ的不变因子与Smith 标准型．

研究生矩阵论课后习题答案(全)习题二

习题二 1．化下列矩阵为Smith 标准型： （1）222211λλλλ λλλλλ?? -?? -????+-?? ; （2）2222 00 000 00(1)00000λλλλλλ ?? ?? -? ? ??-?? -?? ; （3）2222 232321234353234421λλλλλλλλλλλλλλ?? +--+-??+--+-????+---?? ; (4)23014360220620101003312200λλλλλλλλλλλλλλ????++??????--????---?? . 解：（1）对矩阵作初等变换 23221311(1)100 10 000000(1)00(1)c c c c c c r λλλλλλλλλ+--?-???????????→-???→? ??? ????-++???? ， 则该矩阵为Smith 标准型为 ???? ? ?????+)1(1λλλ； （2）矩阵的各阶行列式因子为 44224321()(1),()(1),()(1),()1D D D D λλλλλλλλλλ=-=-=-=, 从而不变因子为 22 2341234123()()() ()1,()(1),()(1),()(1)()()() D D D d d d d D D D λλλλλλλλλλλλλλλλ== =-==-==-故该矩阵的Smith 标准型为

2210000(1)0000(1)00 00(1)λλλλλλ?? ??-????-?? -??； （3）对矩阵作初等变换 故该矩阵的Smith 标准型为 ?? ?? ??????+--)1()1(112 λλλ; (4)对矩阵作初等变换 在最后的形式中，可求得行列式因子 3254321()(1),()(1),()()()1D D D D D λλλλλλλλλ=-=-===, 于是不变因子为 2541234534()() ()()()1,()(1),()(1)()() D D d d d d d D D λλλλλλλλλλλλλ==== =-==-故该矩阵的Smith 标准形为 2 1 0000 010 0000100000(1)00 00 0(1)λλλλ?????????? -?? ??-?? . 2.求下列λ-矩阵的不变因子： （1） 21 0021002λλλ--????--????-??； （2）100 1000 λαββλα λαββ λα+????-+? ???+??-+?? ；

矩阵论习题课答案

习题课答案 一 1). 设A 为n 阶可逆矩阵, λ是A 的特征值,则*A 的特征根之一是(b )。 (a) 1 ||n A λ - (b) 1||A λ- (c) ||A λ (d) ||n A λ 2). 正定二次型1234(,,,)f x x x x 的矩阵为A ，则( c )必成立. ()a A 的所有顺序主子式为非负数 ()b A 的所有特征值为非负数 ()c A 的所有顺序主子式大于零 ()d A 的所有特征值互不相同 3).设矩阵111 11A α αββ?? ?= ? ???与000010002B ?? ? = ? ??? 相似,则,αβ的值分别为( a )。 (a) 0,0 (b) 0,1 (c) 1,0 (d) 1,1 二 填空题 4)若四阶矩阵A 与B 相似，A 的特征值为1111 ,,,2345 ，则1B E --= 24 。 5)设532644445A -?? ?=- ? ?-?? ,则100 A = 10010010010010010010010010010010010010032(21)223312(23)442232(31)2(31)2(13)231?? +---- ? +---?- ? ?--?-? ? 三 计算题 3.求三阶矩阵1 261 725027-?? ? ? ?--? ? 的Jordan 标准型 解 1261725027E A λλλλ+--?? ?-=--- ? ?+??,将其对角化为210001000(1)(1)λλ?? ? ? ?+-??.故A 的若 当标准形为100110001-?? ? - ? ??? .■

矩阵理论2017-2018学年期末考试试题

矩阵理论2017-2018学年期末考试试题 ?、选择题 (每题5分，共25分) 1.下列命题错误的是(A)(B)若，且，则(C)设且，令，则的谱半径为1 (D)设为空间的任意?空间，则2.下列命题错误的是(A)若，则(B)若,则(C)若，则(D)设的奇异值分别为，，如果，则3.下列说法正确的是(A)若，则(B)若为收敛矩阵，则?定可逆 (C)矩阵函数对任何矩阵均有定义，?论A 为实矩阵还是复矩阵 (D)对任意?阵，均有4.下列选项中正确的是(A)且，则为收敛矩阵； (B)为正规矩阵，则(C)，则(D)为的所有正奇异值，5.下列结论错误的是(A)若和分别是列满秩和?满秩矩阵，则(B)若矩阵为?满秩矩阵，则是正定矩阵(C)设为严格对?占优矩阵，，则的谱半径(D)任何可相似对?化的矩阵，皆可分解为幂等矩阵的加权和，即?、判断题(15分)(正确的打√，错误的打×) 1.若，且，，则 2.若且，则为到的值域上的正交投影 3.设都是可逆矩阵，且齐次线性?程组有?零解，为算?范数，则 4.，定义，则是上的范数 5.设矩阵的最?秩分解为，则当且仅当 ( ) (A ?B =?)H A H B H A ∈C n ×n =A A 2rank (A )=tr (A )μ∈C n μ=1μH H =E ?2μμH H ,V 1V 2V dim (+)=dim ()+dim () V 1V 2V 1V 2( ) =A ,=A A H A 2=A A +A =A A H A H (=(A m )+A +)m x ∈C n ∥x ≤∥x ≤∥x ∥∞∥2∥1 A , B ∈ C n ×n ≥≥?≥>0σ1σ2σn ≥≥?≥>0σ′1σ′2σ′ n >(i =1,2,?,n )σi σ′i ∥>∥A +∥2B +∥2 ( )A =????π000π001π????sinA =????0000000sin 10?? ??A E ?A e A A A ,B =e A e B e A +B ( )A ∈C n ×n ∥A <1∥m A A ∈C n ×n r (A )=∥A ∥2A ∈(r >0)C m ×n r ∥A =A +∥F r √≥≥?≥σ1σ2σr A ∥=A +∥21σ1 ( ) A B (AB =)+ B +A + A A A H Hermite A =()∈(n >1)a ij C n ×n D =diag (,,?,)a 11a 22a nn E ?A D ?1r (E ?A )≥1 D ?1(i =1,2,?,n )A i A =∑n i =1λi A i A ∈C m ×n A ≠0(A =A A ?)H A ?∥A =n A ?∥2 ( ) A ∈，G ∈C m ×n C n ×m AGA =A y =AGx ,?x ∈C m C m A ( ) A , B ∈ C n ×n (A +B )x =0∥?∥∥A ∥≥1B ?1 ( )?(x ,y )∈R 2f (x ,y )=2+3?4xy x 2y 2￣ ￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣√f (x ,y )R 2 ( )A A =BD Ax =0Dx =0 ( )

研究生矩阵论课后习题答案(全)习题三

习题三 1．证明下列问题： （1）若矩阵序列{}m A 收敛于A ，则{}T m A 收敛于T A ，{} m A 收敛于A ； （2）若方阵级数∑∞ =0m m m A c 收敛，则∑∑∞ =∞==?? ? ??00)(m m T m T m m m A c A c . 证明：（1）设矩阵 ,,2,1,)() (Λ==?m a A n n m ij m 则 ,)()(n n m ji T m a A ?=,)()(n n m ij m a A ?=,,2,1Λ=m 设 ,)(n n ij a A ?= 则 n n ji T a A ?=)(，,)(n n ij a A ?= 若矩阵序列{}m A 收敛于A ，即对任意的n j i ,,2,1,Λ=，有 ij m ij m a a =∞ →) (lim ， 则 ji m ji m a a =∞ →)(lim ，ij m ij m a a =∞ →)(lim ，n j i ,,2,1,Λ=， 故{} T m A 收敛于T A ，{} m A 收敛于A . (2)设方阵级数 ∑∞ =0 m m m A c 的部分和序列为 ΛΛ,,,,21m S S S ， 其中m m m A c A c c S +++=Λ10.

若 ∑∞ =0 m m m A c 收敛，设其和为S ，即 S A c m m m =∑∞ =0 ，或S S m m =∞ →lim ， 则 T T m m S S =∞ →lim . 而级数∑∞ =0 )(m m T m A c 的部分和即为T m S ，故级数∑∞ =0 )(m m T m A c 收敛，且其和为T S ， 即 ∑∑∞ =∞==?? ? ??00)(m m T m T m m m A c A c . 2.已知方阵序列{}m A 收敛于A ，且{} 1-m A ，1 -A 都存在，证明： （1）A A m m =∞ →lim ；（2）{}1 1 lim --∞ →=A A m m . 证明：设矩阵 ,,2,1,)() (Λ==?m a A n n m ij m ,)(n n ij a A ?= 若矩阵序列{}m A 收敛于A ，即对任意的n j i ,,2,1,Λ=，有 ij m ij m a a =∞ →) (lim . (1) 由于对任意的n j j j ,,,21Λ，有 ,lim ) (k k kj m kj m a a =∞ → n k ,,2,1Λ=， 故 ∑-∞ →n n n j j j m nj m j m j j j j m a a a ΛΛΛ2121)()(2)(1) ()1(lim τ ＝ ∑-n n n j j j nj j j j j j a a a ΛΛΛ21212121) ()1(τ ， 而 ∑-= n n n j j j m nj m j m j j j j m a a a A ΛΛΛ2121) ()(2)(1)()1(τ，

矩阵理论第一二章 典型例题

《矩阵理论》第一二章 典型例题 一、 判断题 1．A n 为阶实对称矩阵，n R x 对中的列向量， ||x |A x =定义, ||x ||x 则为向量 的范数. ( ) 2．设A n 为阶Hermite 矩阵，12,,,n λλλ 是矩阵A 的特征值，则22 2 1 ||||n m i i A λ==∑ . ( ) 3. 如果m n A C ?∈，且0A ≠，()H AA AA --=, 则2||||A A n - =. ( ) 4. 若设n x R ∈，则212||||||||||||x x x ≤≤. ( ) 5. 设m n A R ?∈的奇异值为12n σσσ≥≥≥ ，则222 1 ||||n i i A σ==∑. ( ) 6. 设n n A C ?∈，且有某种算子范数||||?，使得||||1A <，则11||()||1|||| E A A --> -, 其中E 为n 阶单位矩阵. ( ) 7. 设2H A E uu =-(其中，E 为n 阶单位矩阵，2||||1n u C u ∈=且)，则2 ||||m A = ( ) 8. 设n n A C ?∈为正规矩阵，则矩阵的谱半径2()||||r A A =. ( ) 9.设n n C A ?∈可逆，n n C B ?∈，若对算子范数有1 ||||||||1A B -?<，则B A +可逆. ( ) 10. 设A 为m n ?矩阵，P 为m 阶酉矩阵, 则PA 与A 有相同的奇异值. ( ) 11. 设n n A C ?∈，且A 的所有列和都相等，则()r A A ∞ =. ( ) 12. 如果12(,,,) T n n x x x x C =∈，则1||||m in i i n x x ≤≤=是向量范数. ( ) 13. 设,n n A C ?∈则矩阵范数 m A ∞ 与向量的1-范数相容. ( ) 14、设n n A C ?∈是不可逆矩阵，则对任一自相容矩阵范数 有1I A -≥, 其中I 为单位矩 阵. ( )

研究生2008矩阵理论试卷

矩阵理论试卷（A ）（2008级） (共1页) 成绩 学院班级＿＿ ＿; 姓名＿＿＿ ＿＿； 学号＿ ＿＿ ＿＿ 1 （15分）给定 2222{()|}ij ij R A a a R ??==∈（数域R 上二阶实方阵按通常矩阵的加法与数乘构成的线性空间）的子集 221122i j {()|0, } i j V A a a a a R ?==+=∈ （1）证明V 是22R ?的子空间；（2）求V 的维数和一组基；（3）求3253A ??= ?-?? 在所求基下的坐标。 2 （15分）设α为n 维欧氏空间V 中的单位向量，对V 中任意一向量x , 定义线性变换: ()2(,)T T x x x αα=-, （1）证明：T 为正交变换； （2）证明 T 对应特征值1有n-1 个线性无关的特征向量；（3）问T 能否在某组基下的矩阵为对角阵，说明理由。 3 （15分）设矩阵010120110A ?? ?=- ? ?-?? （1）求A 的若当标准形；（2）求A 的最小多项式；（3）计算532()45g A A A A E =+-+。 4（10分）设3 R 中的线性变换T 如下：123122323(,,)(2,,) ; ()i T x x x x x x x x x x R =--+∈ (1) 写出T 在基T T T 123 =(1, 1, 0),=(0, 1, 1), =(0, 0, 1)βββ下的矩阵；(2) 求3()T R 及()Ker T 。 5 （10分）已知多项式矩阵 2210007(2)00()00(1)00 00(1)(5)A λλλλλλλ-?? ?++ ?= ?- ?++??，求()A λ的初等因子及史密斯标准形。 6（10分）在欧氏空间4R 中， 对任意两个向量12341234(,,,) , (,,,),T T a a a a b b b b αβ==定义内积 1122334(, )2a b a b a b a b αβ=+++ 求齐次方程组1234123 20 = 0x x x x x x x +-+=??+-? 的解空间的一组标准正交基。 7 （10分）(1) 设A 为可逆矩阵, 证明对任何矩阵的算子范数, 都有11||||||||--≥A A 。 （2）设???? ? ??--+-=21512363 11684i i A , 利用(1)的结论分别估计11||||-A 和∞-||||1A 的下界。 8（15分）已知200111113?? ?= ? ?-?? A , 求矩阵函数()e t f =A A 。

矩阵论试题

2017—2018学年第一学期《矩阵论》试卷 (17级专业硕士) 专业 学号 姓名 得分 一．判断题（每小题3分，共15分） 1．线性空间V 上的线性变换A 是可逆的当且仅当零的原像是零， 即ker A =0。（ ） 2．实数域上的全体n 阶可逆矩阵按通常的加法与数乘构成一个 线性空间。（ ） 3．设A 是n 阶方阵，则k A ),2,1( =k 当∞→k 时收敛的充分 必要条件是A 的谱半径1)(

4． 设1][-n x P 是数域K 上次数不超过1-n 的多项式空间，求导算子D 在基12,,,,1-n x x x 以及基12)! 1(1,,!21, ,1--n x n x x 下的矩阵分别为 ， 。 5．设A 是复数域上的正规矩阵，则A 满足： ，并 写出常用的三类正规矩阵 。 三．计算题（每小题12分，共48分） 1．在3R 中，试用镜像变换（Householder 变换）将向量T )2,2,1(-=α 变为与T e )1,0,0(3=同方向的向量，写出变换矩阵。 。

【免费下载】控制中的矩阵理论习题

练习一： 1．设A 、是Hermite 矩阵，证明：AB 是Hermite 矩阵的充分必要条件是n n C B ?∈AB=BA 。2．设，若，则A 为反Hermite 矩阵。试证明：任意一个都n n C A ?∈A A H -=n n C B ?∈可以唯一地表示为一个Hermitet 矩阵与一个反Hermite 矩阵的和。3．证明反Hermite 矩阵的主对角线上的元素或为零，或为纯虚数。4．设是Hermite 矩阵，rank(A)=1，证明：矩阵A 的主对角线上凡不是零的元素n n C A ?∈都是具有同符号的实数；又设是反Hermite 矩阵，rank(B)=1，证明：矩阵B n n C B ?∈的主对角线上凡不是零的元素都是具有同符号的虚部之纯虚数。5．试求一酉矩阵P ，使为对角矩阵，这里AP P AP P H =-1（1）A=； （2）A=。??????????----10001i i i i ??????????-0010010i i 6. 设是Hermite 矩阵。证明A 是Hernite 正定矩阵的充分必要条件是，存在n n C A ?∈Hermite 正定矩阵B ，使得。2 B A =7．设是Hermite 矩阵,则下列条件等价：n n C A ?∈ （1）A 是Hernite 半正定矩阵； （2）A 的特征值全为非负实数； （3）存在矩阵，使得。n n C P ?∈P P A H =练习二：1．用初等变换化下列多项式矩阵为Smith 标准形：（1） ； （2）；()???? ??+-=λλλλλλλ352223A ()??????????-+--=222211λλλλλλλλλλB （3） ；（4）()()220000 001C λλλλλ??+??=????+????。()()??????????????---=00000100000002222λλλλλλλD 2．求下多项式矩阵的不变因子：

2016矩阵论试题A20170109 (1)

第 1 页 共 4 页 （A 卷） 学院 系 专业班级 姓名 学号 (密封线外不要写姓名、学号、班级、密封线内不准答题，违者按零分计) …………………………………………密…………………………封……………………………………线………………………………… 考试方式：闭卷 太原理工大学 矩阵分析 试卷（A ） 适用专业：2016级硕士研究生 考试日期：2017.1.09 时间：120 分钟 共 8页 一、填空选择题（每小题3分，共30分） 1-5题为填空题： 1. 已知??? ? ? ??--=304021101A ，则______||||1=A 。 2. 设线性变换1T ，2T 在基n ααα ,,21下的矩阵分别为A ，B ，则线性变换212T T +在基n ααα ,,21下的矩阵为_____________. 3．在3R 中，基T )2,1,3(1--=α，T )1,1,1(2-=α，T )1,3,2(3-=α到基T )1,1,1(1=β， T )3,2,1(2=β，T )1,0,2(3=β的过度矩阵为_______=A 4. 设矩阵??? ? ? ??--=304021101A ，则 _______ 3332345=-++-A A A A A . 5．??? ? ? ? ?-=λλλλλ0010 1)(2A 的Smith 标准形为 _________ 6-10题为单项选择题： 6．设A 是正规矩阵，则下列说法不正确的是 （ ）. (A) A 一定可以对角化； （B ）?=H A A A 的特征值全为实数； (C) 若E AA H =，则 1=A ； （D ）?-=H A A A 的特征值全为零或纯虚数。 7．设矩阵A 的谱半径1)(

矩阵论华中科技大学课后习题答案

习题一 1.判断下列集合对指定的运算是否构成R 上的线性空间 （1）11 {()| 0}n ij n n ii i V A a a ?====∑，对矩阵加法和数乘运算； （2）2{|,}n n T V A A R A A ?=∈=-，对矩阵加法和数乘运算； （3）33V R =；对3R 中向量加法和如下定义的数乘向量：3 ,,0R k R k αα?∈∈=； （4）4{()|()0}V f x f x =≥，通常的函数加法与数乘运算。 解： （1）、（2）为R 上线性空间 （3）不是，由线性空间定义，对0α?≠有1α=α，而题（3）中10α= （4）不是，若k<0，则()0kf x ≤，数乘不满足封闭性。 2.求线性空间{|}n n T V A R A A ?=∈=的维数和一组基。 解：一组基 100 010 10 101010000000100............ ......0010010?? ???? ?????? ???? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ?? ?? ? ? ? ?????? dim W =n ( n +1)/2 3.如果U 1和U 2都是线性空间V 的子空间，若dim U 1=dim U 2，而且12U U ?，证明：U 1=U 2。 证明：因为dim U 1=dim U 2，故设 {}12,,,r ααα为空间U 1的一组基，{}12,,,r βββ为空间U 2的一组基 2U γ?∈，有 ()12 r X γγβββ= 而 ()()12 12r r C αααβββ=，C 为过渡矩阵，且可逆 于是 ()()()112 12121r r r X C X Y U γγγγβββαααααα-===∈ 由此，得 21 U U ?

东南大学考博矩阵论复习题

2011矩阵论复习题 1.设+ =R V 是正实数集,对于任意的V y x ∈,,定义x 与y 的和为y x y x ?=⊕对于任意的数R k ∈,定义k 与x 的数乘为 k x x k =?问:对于上述定义加法和数乘运算的集合V ,是否构成线性空间,并说明理由. 2.对任意的2,R y x ∈,),(21x x x =,),(21y y y =定义x 与y 的和为 ) ,(112211y x y x y x y x +++=⊕对于任意的数R k ∈,定义k 与x 的数乘为 )2)1(,(2121x k k kx kx x k ?+ =?问:对于上述定义加法和数乘运算的集合2R ,是否构成线性空间,并说明理由. 3．设},022|),,{(321321R x x x x x x x S i ∈=++=，试证明S 是3 R 的子空间，并求S 的 一组基和S dim . 4.设)(R P n 表示次数不超过n 的全体多项式构成的线性空间,)} ()(,0)0(|)({R P x f f x f S n ∈=′=证明S 是)(R P n 的子空间,并写出S 的一组基和计算S dim . 5.设T 是2 R 上的线性变换,对于基向量i 和j 有j i i T +=)(j i j T ?=2)(1)确定T 在基},{j i 下的矩阵; 2)若j i e ?=1j i e +=32,确定T 在基},{21e e 下的矩阵.敬告：本资源来自网络，如有侵权，请发邮件至liwdedy@https://www.wendangku.net/doc/c414134416.html, ，收到后立即删除，谢谢!

6.设T 是3 R 上的线性变换,对于基},,{k j i 有k j k j i T ?=++)(i k j T =+)(k j i k T 532)(++=1)确定T 在基},,{k j i 下的矩阵; 2)求T 的零空间和像空间的维数. 7.设线性空间3R 的两个基为(I):321,,x x x ,(II):321,,y y y ,由基(I)到基(II)的过度矩阵为 ???? ????????=101010101C ,3R 上的线性变换T 满足 2 1321)32(y y x x x T +=++12323 (24)T x x x y y ++=+3 1321)43(y y x x x T +=++1)求T 在基(II)下的矩阵; 2)求)(1y T 在基(I)下的坐标. 8.在线性空间)(3R P 中 321)(x x x a x f +++=3221)(x x ax x f +++=3 2321)(x x x x f +++=讨论)(),(),(321x f x f x f 的线性相关性. 9.在22R ×中求由基(I)12101A ??=????20122A ??=????32112A ???=????41312A ??=????到基(II)11210B ??=?????21111B ???=????31211B ???=????41101B ????=???? 的过渡矩阵. 10.已知1(1,2,1,0)α=2(2,1,0,1)α=?1(1,1,1,1)β=?2(1,1,3,7) β=?设1212(,)(,)V L L ααββ=∩,求线性空间V 的维数和基.

上海交大研究生矩阵理论答案

n k r n n 1 2 习题 一 1．（ 1）因 cosnx sin nx sin nx cosnx cosx sin x sin x = cosx cos(n sin(n 1)x 1)x sin( n cos(n 1)x 1)x ，故由归纳法知 cosnx sin nx A 。 sin nx cosnx （ 2）直接计算得 A 4 E ，故设 n 4 k r (r 0,1,2,3) ，则 A n A 4 k A r ( 1) A ， 即 只需算出 A 2, A 3 即可。 0 1 0 1 （ 3 ）记 J= ，则 ， 1 0 n 1 n 1 2 n 2 n a C n a C n a C n a n C 1 a n 1 C n 1a A n (aE J ) n n C i a i J n i i 0 n n a n 。 C 1a n 1 a n 2. 设 A P 1 a 2 P 1(a 1,0),则由A 2 E 得 a 1时, 1 1 1 1 0 1 2 1 2 1 0 2 不可能。 1 而由 a 1 0时, 2 1 知 1 所以所求矩阵为 PB P 1 ， 其中 P 为任意满秩矩阵，而 i i 2 2 2 1 0 1 0 1 0 B 1 , B 2 , B 3 。 0 1 0 1 1 注： A 2 E 无实解， A n E 的讨论雷同。 3. 设 A 为已给矩阵，由条件对任意 n 阶方阵 X 有 AX=XA ，即把 X 看作 n 2 个未知数时线 性方程 AX XA=0 有 n 2 个线性无关的解， 由线性方程组的理论知其系数矩阵为零矩阵， 1

矩阵理论试卷(整理版)

山东科技大学2010研究生矩阵理论试卷 1、 在矩阵的四个空间中，行空间、列空间、零空间和左零空间中，维数与矩阵的秩相等的子空间是行空 间和列空间. 2、 在矩阵的四个基本子空间中，和列空间构成正交补的是 左零空间。 3、 利用QR 分解可以讲矩阵分解为正交阵和上三角形矩阵乘积。 4、 通过矩阵 svd 分解，可以获得矩阵四个基本子空间的标准正交基。 5、 将3×3矩阵的第一行加到第三行是初等变换，对应的初等矩阵式 ???? ? ??101010001 6、 当矩阵的零空间中有非零向量的时候，线性方程组Ax=b 有无穷多解。 7、 所有的2×2实矩阵组成一个向量空间，这个空间的标准基是 ???? ?????? ?????? ?????? ??1000010000100001 8、 通过施密特正交化可以获得矩阵的QR 分解。 9、 在选定一个基后，任何维数为n 的欧式空间与n R 同构。 10 如果将矩阵视为线性处理系统，矩阵有m 行，n 列，则输入空间的维数是n 。 二、判断题 1、给定一个线性空间，他的基不是唯一的，但是各个基中的基向量个数是相等的。（R ） 2、两个子空间的并集是一个子空间。（F ） 3、在线性方程组Ax=b ，当矩阵A 式列满秩的时候，无论向量b 是什么，方程组都有解。（F ） 4、线性变换在不同的基下的矩阵一般不同，同一线性变换的不同矩阵表示所对应的特征值都相同。（R ） 5、线性变换在不同基下的矩阵一般不同，但是对应同一线性变换的各个矩阵的特征向量都相同。（F ） 6、矩阵特征值的代数重数是该特征值对应的特征子空间的维数。（F ） 7、任何N ×N 的实矩阵都可以对角化。（F ） 8、矩阵的左逆就是矩阵的最小范数广义逆。（F ） 9、任何M ×N 实矩阵都有奇异值分解。（R ） 10、正交投影矩阵都是幂等矩阵。（R ） 三、（矩阵的四个基本子空间和投影矩阵） 设矩阵A 为 A=??? ? ??4242 1、求矩阵A 的四个基本子空间的基和维数 初等变换 ??? ? ??0042 dim R （A ）=dim R （T A ）=1 dim N （A ）=dim N （T A ）=1 R(A)的基 ???? ??22 R(T A )的基 ???? ??42 N(A)的基???? ??-12 N(T A )的基 ??? ? ??-11 2、画出矩阵A 的四个基本子空间的示意图。 自己画很好弄 3、写出投影到矩阵A 的列空间的正交投影矩阵，计算向量b=[0 1]T 在列空间上的投影矩阵。

矩阵论练习题2

1．了解坐标变换和基变换，熟悉过度矩阵的概念，会求过度矩阵以及一个向量在不同基下的坐标。 例1 三维空间的一组基为I ：（1，0，0）、（1，1，0）、（1，1，1），另一组基为II ：（1，0，1）、（1，2，1）、（3，1，4），求由I 到II 的过度矩阵，并求向量（2，2，3）在这两组基下的坐标。并用过度矩阵检验你计算的正确性。 112113114A -?? ?=-- ? ??? （2，2，3）= 0（1，0，0）-1（1，1，0）+3（1，1，1） （2，2，3）=-1.5（1，0，1）+0.5（1，2，1）+（3，1，4） 例2 在4维线性空间22R ?中，向量组， 123401101111,,,11110110εεεε???????? ====???????? ???????? 与向量组 123410111111,,,00001011μμμμ???????? ====? ??????????????? 为其两组基，求从基 1234,,,εεεε 到基1234,,,μμμμ 的过渡矩阵，并求向 量 1234A ?? =?? ?? 在这两组基下的坐标。 2．熟悉子空间的和与交，会用子空间的基本概念来证明子空间的性质。 例1. 子空间的和与交都是子空间. 设1V 和2V 是数域P 上线性空间V 的任 意两个子空间，试证明 （1）{}1212,V V x x V x V =∈∈ （2）{}12121122:,V V x x x x x V x V +==+∈∈ 都是线性空间V 的子空间。 例2．向量组12,,,s ααα 和12,,,r βββ 都是线性空间V 中的向量，试证明 12121212(,,,)(,,,)(,,,,,,,)s r s L L L αααβββαααβββ+= 例3．判断矩阵 311201112A -?? ?= ? ?-?? 是否可以对角化？ 例4．试将λ-矩阵 22221()1A λλλλλ λλλλλ?? - ? =- ? ?+-?? 化成Smith 标准形。