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线性代数习题集含答案

《线性代数》习题集（含答案）

第一章

【1】填空题

（1）二阶行列式

a ab

=___________。（2）二阶行列式

cos sin sin cos αααα-=___________。

（3）二阶行列式2a bi b a

a bi

+-=___________。

（4）三阶行列式x

y z

x y y

x =___________。

（5）三阶行列式

a b

c c a b c a b

c a

+++=___________。

答案：1.ab(a-b)；2.1；3.()2

a b -；4.3

3x y z xyz ++-；5.4abc 。【2】选择题

（1）若行列式12

3225x

-=0，则x=（）。

A -3；

B -2；

C 2；

D 3。

（2）若行列式11

1011x x x

=，则x=（）。

A -1

，； B 0

， C 1

， D 2

，

（3）三阶行列式2

31503

2012985

-=（）。

A -70；

B -63；

C 70；

D 82。

（4）行列式

0000

0000a b

a b b a b

=()。

A 44

a b -；B ()

2a b

-；C 44b a -；D 44

a b 。

（5）n 阶行列式01000020

0001

000

n n -L

M M M

M L L

=（）。 A 0；B n ！；C （-1）·n ！；D ()

1!n n +-?。

答案：1.D ；2.C ；3.A ；4.B ；5.D 。

【3】证明

33()by az bz ax bx ay x y z bx ay by az bz ax a b z

x y bz ax bx ay by az

++++++=++++ 答案：提示利用行列式性质将左边行列式“拆项”成八个三阶行列式之和，即得结果。【4】计算下列9级排列的逆序数，从而确定他们的奇偶性：（1）134782695；（2）217986354；（3）987654321。答案：（1）τ（134782695）=10，此排列为偶排列。（2）τ（217986354）=18，此排列为偶排列。（3）τ（987654321）=36，此排列为偶排列。【5】计算下列的逆序数：

（1）135L （2n-1）246L （2n ）；（2）246L （2n ）135L （2n-1）。答案：（1）

12n （n-1）；（2）1

n （n+1）【6】确定六阶行列式中，下列各项的符号：

（1）152332445166a a a a a a ；（2）215316426534a a a a a a ；（3）615243342516a a a a a a 答案：（1）正号；（2）负号。【7】根据定义计算下列各行列式：

（1）00001

00020

0030004000

50000

；(2)

2223323341

000

a a a a a a a a ；（3）00010020

0100000

n n -L L

M M M M L

；（4）0

00100

0200100000000n n

-L L M

M M M L L

答案：（1）5！=120；（2）

()()114414412233233211223344112332441422334114223341

a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a --=-

-+；

（3）(1)

(1)!n n n --?；（4）(1)(2)

(1)!n n n ---。

【8】计算下列行列式：

（1）

312

153404115136

----；（2）

3111131111311113

；（3）

1111123414

182764

；

（4）

22223

111a b c d a b c d a b c d 。

答案：（1）-136；（2）48；（3）12；

（4）（b-a ）（c-a ）（d-a ）（c-b ）（d-b ）（d-c ）【9】计算下列n 阶行列式：

（1）10001110000110000011

L L

M M M M M L

；（2）111112221233123n

L L

L M M M M L

；

（3）123n -103n -1-20n -1-2-3n L L L

M M M M L ；（4）3222232222322223

L L L M M M M L

；（5）1

232

341

112121

n n n n n n ---L L M

M M

M L L

。答案：（1）1+1

(1)

n n n +?-=??为奇数为偶数

；（2）1；（3）n ！

（4）2n+1；（5）

n n-1n-1

n+1n 2

（）2

（-1）。【10】计算下列行列式：

（1）11

12121

22231

3231

n n n n n

a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b ------------L L L M M

；

（2）000000

0000

00a b a

b a a b b a

L L M M

M M M L L

（n 阶）；（3）

2(1)000

000

0000000a a h a h a n h a nh

a a a a a a

+++-+---L L L M M M M M L L

；（4）

112

300000000000001

n n a a a a a a a ----L L

L M M M M M L L

。答案：（1）n=2时，行列式等于

b b 2121（-)(a -a )；n ≥3，行列式为0；（2）1

(1)

n n b ++-n

a ；（3）1(1)(2)2

n a nh a ++；

（4）1

(1)(1)

i i n a =-+∏

【11】计算n+1阶行列式：

120111100

100100

a a a L L L M M M M L

（i a ≠0；i=1，2，L n ）答案：1211

n i i

a a a a =-∑L g

(0;1,2,,)a i n ≠=L . 【12】解下列线性方程组：

（1）12341234

23412

345242235232110x x x x x x x x x x x x x x x x +++=??+-+=-??---=-??+++=?；（2）123451234512345123451234546450

4650

446064404640

x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++++=??++++=??++++=??++++=??++++=?。

答案：（1）12341,2,3,1x x x x ====-； (2)123450x x x x x =====.

【13】计算n 阶行列式

3a x a a a a

a x a a D a a a x a a

++=

+L L L M M M M L

于是12111111n n n D ax x x x x a -??

+++ ??

?L L 【14】证明

()2cos 10001

2cos 1

000

12cos 00sin 1sin 0002cos 10

2cos n n D θθθθ

θθ

L L

L M M M M M L L

由归纳假设，得

()sin 1sin n n D θθ

+????

【15】计算五阶行列式

123451

23451

23451234512345

x a a a a a x a a a D a a x a a a a a x a a a a a x = 可以得到()12312

312311

1231n n

n i i i i i i n

x a a a a x a a a a a x a x a x a a a a x ==??=+?- ?-??∑∏L L L

M M M M

【16】证明

123121*********

1111

n n i i n

a a D a a a a a a =++??=+=?+ ???

+∑

L L L

L M

M M M

证明：略

【17】.证明

'''111213111213212223212223313233313233111213111213'''212223212313233()()()

()()()

()()()()()()()()()()

()

()()()()()()()()()()()()()a t a t a t a t a t a t d

a t a t a t a t a t a t dt

a t a t a t a t a t a t a t a t a t a t a t a t a t a t a t a t a a t a t a t =++223'''313233()()()()()

t a t a t a t a t

答案与提示：

提示将左边行列式按定义写成和的形式，再由和函数乘积的微分公式即得右边。

【18】.计算n阶行列式：

（1）

111

222

333

1sin sin sin

n n n

???

M M M M

；

（2）

111

222

cos cos cos1 cos cos cos1

cos cos cos1 n n

n n

n n n

???

M M M M

。

答案与提示：

（1）

(1)

(sin sin)2cos sin

n n

i j i j

i j

j i n j i n

??????

≤≤≤≤

∏∏

p p

（2）n n-1(1)

(cos cos)2sin sin

n n

i j i j

i j

j i n j i n

????

≤≤≤≤

∏∏

p p

（）

（-1）

【19】.利用拉普拉斯定理计算下列行列式：

（2）

123

111

221232

222

331231

110001

000

111

000

x x x

a b c

a b x x x c

x x x

；

（3）

111111

222222

11!111

n n n n

n n n n n n

a a

b a b b

a a

b a b b

a a

b a b b

++++++

M M M M

(0,1,2,,1)

a i n

≠=+

L；

（4）

a b a b a b b a b a

a b

N O

N N O

答案与提示：

（2）222

213232()()()x x x x x x ---；（3）

()j j i j i n b a a bj ≤≤+-∏

（4）22()n

a b - 【20】.证明下列等式：

（1）

0001

00010

1n n αβ

αβαβ

αβαβαβαβ

αβ

++++-=

+-+L L L

M M M M M L

；

（2）

cos 100002cos 100cos 012cos 0

12cos n α

αααα

=L L L M M M M M L

。

答案与提示：

（1）提示：将左边行列式展开可得递推公式，由此递推公式可得结论。（2）提示：用归纳法证。【21】

3 0

4 0

2 2 2 20 -7 0 05

3 -2 2

D =

（01403）设行列式，则第四行各元素余子式之和的值为（）

【22】

（96503）五阶行列式

1 a a 0 0 0 -1 1-a a 0 0

0 -1 1-a a 00 0 -1 1-a a 0 0 0 -1 1-a

d -== .

第二章

【1】填空题设A 是三阶方阵，*A 是A 的伴随矩阵，A 的行列式A =

，则行列式1*(3)2A A --=___________。

【2】假设A=（ij a ）是一个n 阶非零矩阵，且A 的元素ij a （i ，j=1，2，L ，n ）均为实数。已

知每一个元素ij a 都等于它自己的代数余子式，求证A 的秩等于n ，且当n ≥3时A =1或-1。【3】判断下列结论是否成立：若成立，则说明理由；若不成立，则举出反例。（1）若矩阵A 的行列式A =0，则A=0；（2）若A E -=0，则A=E ；

（3）若A ，B 为两个n 阶矩阵，则A B A B +=+；（4）若矩阵A ≠0，B ≠0，则AB ≠0.

【4】设A ，B 为n 阶方阵，问下列等式在什么条件下成立？（1）2

()2A B A AB B +=++；（2）2

()()A B A B A B +-=-；【5】计算AB 和AB-BA 。已知

（1）311212123A ????=??????，111210101B -??

??=-?????? （2）111a b c A c b a ????=??????，111a c B b b c a ????=??????

。答案：（1）622610812AB -????=????-??，222200442AB BA -??

??-=??

??--??

；

（2）22222222223a b c a b c ac b AB a b c

ac b a b c a b c a b c ??

+++++?

=+++++????++++??

， 222222222222232b ac a b c b ab c b ac a c AB BA c bc ac b a b c ab b c c a c bc b ac ??

-++---+--??

-=--++---????----??

；

【6】计算下列矩阵乘积：

（1）111201312-????????-??110110??????????；（2）（x ，y ，1）a b

d b c

e d e

f ??

????????1x y ??????????

。答案：（1）203214??

????????

；

（2）22222ax bxy cy dx ey f +++++。

【7】计算cos sin sin cos n ????????-??，并利用所得结果求4

0110??

-??

。答案：提示：用数学归纳法可证cos sin cos sin sin cos sin cos n

n n n n ????????????=????--????

。当2π

?=时，cos sin 01sin cos 10????????

=????--????

。故4

01cos 2sin 21010sin 2cos 201ππππ??????

==??????--???

???

【8】已知A ，B 是n 阶对称矩阵，证明AB 为对称矩阵的充分必要条件是AB=BA 。【9】已知A 是一个n 阶对称矩阵，B 是一个n 阶反对称矩阵，证明

（1）2

A ，2

B 都是对称矩阵；（2）AB-BA 是对称矩阵；（3）AB+BA 是反对称矩阵。【10】求矩阵X ，已知：

（1）211230123321X 101456101211312??????

??????+---=??????

??????----??????

；

（2）247610203X 131093????

-=?

???

????

答案：（1）142043022X ????=??

??-??

；（2）021300X ??=????

【11】已知矩阵A ，求A 的逆矩阵1A -;

(1)a A b c d ??=????,其中ad-bc=1；（2）021A 112111-??

??=??

??---??；

（3）13570

123A 00120

1-????-?

?=??????

；答案：（1）1d b A c a --??=??-??

；（2）113

522211122201

1A -??--

-???

???

=?????????

；（3）1131138012700120001A ---??

??-?

?=??-????

【12】在下列矩阵方程中求矩阵X ：（1）1235X 3459????

==?

???

????

；（2）12313022410272101078X --????????-=????????-????；答案：（1）3

712

2X ????=?

???

????；（2）532216111319

1272X ?

?---????=---????---??

? 【13】证明若一个对称矩阵可逆，则它的矩阵也对称。

【14】假设方阵A 满足矩阵方程2

250A A E -+=，证明A 可逆，并求1

A -。

答案：提示：由2

250A A E E 5A A E ??-+=-=????

得（-2）。【15】填空题

（1）设矩阵A=213051123-??????????

，则12

(3)(9)A E A E ---=_________

（2）设A 是3阶数量矩阵，且A =-27，则1A -=_________ （3）设A 是4阶方阵，且A =-2，则A 的伴随矩阵*A 的行列式*A =_________

答案：（1）5-13081126??????????；（2）1313

13??

-??

??-??????

-????

；（3）-8 【16】选择题

（1）设A 是n 阶方阵，且满足等式2

20A A E +-=，则A 的逆矩阵是（A ） A-E ；（B ）E-A ；（C ）

1()2A E -；（D ）1

()2

E A -。（2）设A ，B 是n 阶可逆矩阵，则下列等式成立的是 A 、1

11()

AB A B

---=

g ；B 、111

()AB A B ---= C 、1()AB A B -=；D 、1()(1)n AB AB -=-

（3）设A ，B ，C 为n 阶方阵，且ABC=E ，则必成立的等式为 A 、ACB=E;B 、CBA=E;C 、BAC=E;D 、BCA=E

（4）设A ，B 为n 阶对称矩阵，m 为大于1的自然数，则必为对称矩阵的是 A 、m A ；B 、()m AB ；C 、AB;D 、1

()A B -+。

（5）设A ，B ，A+B ，1

+B A --均为n 阶可逆矩阵，则（1

+B A --）等于

A 、11+

B A --；B 、A+B ；

C 、1()B A B A -+；

D 、1

()A B -+。（1）C ；（2）B ；（3）D ；（4）A ；（5）C 【17】求下列矩阵的秩

（1）1234124511012????-??????

；（3）25

3117

4375945313275945413425322048??

??????

（4）47673520115526982329486164281128452-????-????-??

。

答案：（1）r （A ）=2；（2）r （A ）=2；（3）r （A ）=3；（4）r （A ）=2；【18】求下列矩阵的标准形

（1）112102242030611030

01-????--?

???-?

???

；（2）1

01001

10000

11000011001011??

???????

??????。

答案：（1）100000

1000001000

000

0?????

???????

；（2）1

00000100000100000100

0001??????????

??????

。

【19】假设方阵A 满足方程2

0aA bA cE ++=，其中a ，b ，c 是常数，而且C ≠0，试证A 是满

秩方阵，并求出其逆矩阵。【20】选择题

（1）设矩阵A=12336824t -??

??-????-??

，且r （A ）=2，则t 等于 A 、-6；B 、6；C 、8；D 、t 为任何实数。

（2）设A 是3阶方阵，若2

A =0，下列等式必成立的是 A 、A=0；

B 、r （A ）=2；

C 、3A =0；

D 、0A ≠ （3）设A 是m ×n 矩阵，且m

A 、0T A A ≠；

B 、0T A A =；

C 、0T A A f ；

D 、0T A A p 。答案：（1）D ；（2）C ；（3）B 。【21】求下列矩阵的逆矩阵：

（1）0

0120

020********A ?????

?=??

????；（2）2

1003200311934231423A -????-?

?=??--??

--??

。答案：（1）1310055120055120033210033A -?

?-??????-??=????-??????-??

；（3）1

2100320011

342123-??

????=??

??-??

。【22】假设B 是n 阶可逆矩阵，C 是m 阶可逆方阵。试证明分块矩阵00B A C ??

=????

是可逆方阵，

并且用1

,B C --表示分块矩阵1

A -。

答案：提示：由拉普拉斯展开定理，得A 、B C 0≠g ，故A 是可逆矩阵。由逆矩阵定义，

得1100B A C --??=????

。

【23】已知三阶方阵A=（ij a ）与任意三阶方阵B 之积可交换：AB=BA ，证明A 是数量矩阵。

【24】设4阶矩阵

B=0100001000010000-????-?

???-????C=21340

21300210

002??

??????

且矩阵A 满足等式1

()T

A E C

C E A --=+。其中E 为4阶单位矩阵，求矩阵A 。

于是1

()T

A C

B E -??=--??

【25】（00403）设()1,0,1T

a =-，矩阵T

A =??，n 为正整数，则()

det n aE A -=

【26】（04404）

1200420110020100A AP P A -??

- ?

=-= ? ?-??

设，B=P ，其中为三阶可逆矩阵，则B 。

【27】（04404）设33()ij X A a =是实正交矩阵，且11a =1，b=(1,0,0)T

，则线性方程组Ax=b 得解是。

【28】（04104）

***2101202001A BA E A E B ??

==+= ? ???

设矩阵，矩阵B 满足ABA ，其中A 为的伴随矩阵，是单位矩阵，则

。【29】（00203）设

A=1

1),()(4,76000540003

20001--+-+=??????

?---）则（阶段单位矩阵，且为B E A E A E B E = .

【30】（94503）设A,B 都是n 阶非零矩阵，且AB=0,则A 和B 得秩（）

A.必须有一个等于零

B.都小于n

C.一个小于n ，一个等于n

D.都等于n

第三章

【1】

1212,,...,,...,s s s a a a a a a a ββ如果向量线性无关，而，，线性相关，则可以由，线性表出，而且表示式唯一。

【2】

121112212121 ,,...,...,,,...,,...,n n n n n n n a a a n n a k a k a k a k k k a a a a n ++=+++设是个维的线性无关向量，其

中全不为零。证明：，中任意个向量均线性无关。

【3】（95508）设三阶矩阵A 满足(1,2,3)i i A i i ?=?=，其中列向量,)2,2,1(1T

=α

T T )2,1,2()1,2,2(3,2--=-=αα.试求矩阵A.

【4】（97306）设A 为n 阶非奇异矩阵，α为n 维列向量，b 为常数。记分块矩阵

,,0*

???

??=???

? ??-=b A Q A A a I P T T αα其中*A 是矩阵A 的伴随矩阵，I 为n 阶单位矩阵。（1）计算并化简PQ :

证明：矩阵Q 可逆的充分必要条件是b A T

≠-αα1

【5】（98104）设A 是n 阶矩阵，若存在正整数k ，使线性方程组0=x A k

有解向量α，且

01≠?-k A .证明：向量组ααα1,...,,-k A A 是线性无关的.

【6】（01408）设),,...,2,1(),...,(21n r r i T

in i i i <==αααα是n 维实向量，且r

ααα,...,,21线性无关.已知T

n b b b )...,,(21=β是线性方程组??

?????=?++?+?=?++?+?=+++?0 ...

.....0...,

0...221122221211212111n rn r r n n n n x x x x x x x x x αα

的非零解向量.试判断向量组β,,...,,21r ???得线性相关性。

【7】（96408）设向量i ???,...,,21是齐次线性方程组0=AX 的一个基础解系，向量β不是方程组0=AX 的解，即0≠βA .试证明：向量组i αβαβαββ+++,...,,,21线性无关.

【8】（04313）设,)2,2,1(,)3,2,1(,)0,2,1(321T

T T b b +---=-+==αααααα

T )3,3,1(-=β，试讨论b ,α为何值时，

1. β不能由321,,ααα线性表示;

2. β可以由321,,ααα唯一地线性表示，并求出表示式。

β可以由321,,ααα线性表示，但表示式不唯一，并求出表示式。

答案与提示：

1. 当α=0时，β不能由321,,ααα线性表示。

2. 当0≠α，且b a ≠时，β可以由321,,ααα唯一地线性表示。

当0≠=b a 时β可以由321,,ααα线性表示，但表示式不唯一，其表示式为

321111ka k a a +??

? ??++??? ??

-=ααβ .

【9】（05290）确定常数α，使向量组T

T T a a )1,1,(,)1,,1(,),1,1(321===αααα可由向量组T

T T a a a a ),,2(,)4,,2(,),1,1(321-=-==βββ线性表示，

α=1时向量组321,,βββ不能由向量组321,,ααα线性表示。

【10】（00303）设A 为n 阶实矩阵.T

A 为A 的转置矩阵，则对于线性方程组0:)(=Ax I 和

0:)(=Ax A T X ，必有（）。

A.)(X 的解是)(I 的解，)(I 的解也是)(X 的解

B. )(X 的解是)(I 的解，但)(I 的解不是)(X 的解

C. )(I 的解不是)(X 的解，)(X 的解也不是)(X 的解

D. )(I 的解是)(X 的解，但)(X 的解也不是)(I 的解【11】（98407）已知下列非齐次线性方程组)(I ，)(X

?????=

---=-+;

33,14,62)(32

321

421x x x x x x x x x x I

?+-=--=

-=--+;

12,112,5)(4

432432

1t x x x x nx x x mx x X （1）求解方程组)(I ，用其导出组得基础解系表示通解；

（2）

当方程组)(X 中得参数m,n,t 为何值时，方程组)(I 与)(X 同解。

答案与提示：

（1）方程组得通解为???

??????????+??????????????---=12110542k x （k 为任意常数）.

当6,4,2===t n m 时，方程组)(I )(X 同解。

【12】（99409）已知线性方程组???

??=++=++=+

003

2321

x c x b x a cx bx ax x x x （1） a,b,c 满足何种关系时，方程组仅有零解？（2） a,b,c 满足何种关系时，方程组有无穷多组解，并用基础解系表示全部解。

答案与提示：

（1）当0,,≠≠≠c c b b a 时，0≠D ，方程仅有零解 0321===x x x （2）下面分四种情况：

1、当c b ≠=α时，方程组有无穷多组解，全部解为T

k )0,1,1(1- （1k 为任意常数） 2、当b c ≠=α时，方程组有无穷多组解，全部解为T

k )0,1,1(2- （2k 为任意常数） 3、当a c b ≠=时，方程组有无穷多组解，全部解为T

k )1,1,0(3- （3k 为任意常数） 4、当

a=b=c

时，方程组有无穷多组解，全部解为

).,()1,0,1()0,1,1(5454为任意常数k k k k T

T -+-

【13】（03313）3B 已知齐次线性方程组

?????

????=+++++=+++++=+++++=+++++,

0)(............,0)(,0)(,

0)(332211332211332211332211n

n n n n n n

n x b a x a x a x a x a x b a x a x a x a x a x b a x a x a x a x a x b a ΛΛΛΛ 其中

,01

∑=≠n

i i

讨论,,,21Λa a n a 和b 满足何种关系时，

（1）方程组仅有零解；

（2）方程组有非零解，在有非零解时，求此方程组的一个基础解系. 答案与提示：（1）当0≠b 且∑=≠+

i i

b 1

0时，秩n A =)(方程组仅有零解.

当0=b 时，方程组有非零解，基础解系为T

a )1,,1,1,1(Λ=. 【14】（96403）3B 设

=A ??----113

1211

223222

321

1111

n n

n n n n n a a a a a a a a a a a a Λ

M M M M ΛΛΛ????????，???????? ??=n x x x x X M 321，?????

? ??=1111M B ，

其中),,2,1,;(n j i j i a a j i Λ=≠≠.则线性方程组B X A T

=的解是 T X )0,,0,1(Λ=.

【15】（02106，02206）3B 已知4阶方阵43214321,,,),,,,(a a a a a a a a A =均为4维列向量，其中432,,a a a 线性无关，3212a a a -=.如果4321a a a a +++=β，求线性方程组

β=Ax 的通解.

方程组的通解为????

??-+??????? ??=01

211111k x ，k 为任意实数. 【16】（04413）3B 设线性方程组

???

??=+++++=+++=+++.

14)4()2(3,022,

04321

43214321x x x x x x x x x x x x μλμλ