构造直角三角形来解题

构造直角三角形巧解题

山东省博兴县锦秋街道清河学校 张海生 256500

有些几何题，若能仔细观察、把握特征、抓住本质、恰当地构造直角三角形进行转化，就会收到化难为易、事半功倍的效果.下面举例介绍构造直角三角形解题的若干常用方法，供同学们复习时参考.

一、利用已知直角构造直角三角形 例1：如图1，在四边形ABCD 中，∠A=060，∠B=∠D=090，AB=2，CD=1.则BC 和AD 的长分别为_______和_______.

解析:考虑到图中含有090和060的角，若延长AD 、BC 相交于E ，则可以构造出Rt △AEB 和Rt △CED ，易知∠E=030，从而可求出DE=3，AE=4，BE=23，故AD=4-3，BC=23-2.

二、利用勾股定理构造直角三角形

例2：如图2，在四边形ABCD 中，AB=AD=8，∠A=060，∠ADC=0150，已知四边形ABCD 的周长为32，求四边形ABCD 的面积.

解析:四边形ABCD 是一个不规则的四边形，要求其面积，可设法变成特殊的三角形求解.连接BD ，则△ABD 是等边三角形， △BDC 是直角三角形，由于AB=AD=BD=8，，求△ABD 的面积不难解决，关键是求△BDC 的面积.可运用周长和勾股定理联合求出DC ，从而求出△BDC 的面积.

解答:连接BD.∵AB=AD ，∠A=060，∴△ABD 是等边三角形. ∴∠ADB=060，BD=AD=AB=8. 因为∠ADC=0150，∴∠BDC=090，

故△BDC 是直角三角形，

因为四边形ABCD 的周长为32， AB=AD=8，

∴BC+DC=32-16=16，BC=16-DC.

在Rt △BDC 中，222BC DC BD =+， 即()222168DC DC -=+.解得DC=6. ∴248621=??=?B DC S .用勾股定理求出等边△ABD 的高为3482

3=?. 3163482

1=??=?A B D S .∴24316+=+=??B DC A B D A B CD S S S 四. 说明:⑴求不规则的图形面积应用割补法把图形分解为特殊的图形;⑴四边形中通过添加辅助线构造直角三角形;⑶边长为a 的等边三角形的高为a 23，面积为24

3a . 三、利用高构造直角三角形

例3：如图3，等腰△ABC 的底边长为8cm ，腰长为5cm ，一动点P 在底边上从B 向C 以0.25cm/s 的速度移动，请你探究：当P 运动几秒时，P 点与顶点A 的连线PA 与腰垂直.

解析：本题是一道探究性的动态问题，假设P 在某一时刻有PA ⊥AC ，此时P 点运动了几秒，这是解决问题的着手点.设BP=x ，PC=8-x ，在Rt △PAC 中，由于PA 不知道，无法建立关系式.考虑△ABC 是等腰三角形，如作底边上的高AD ，则可用x 的代数式表示AP ，用勾股定理便可求出x ，进而求出运动时间.当P

点运动到D 与C 之间时，也存在AP ⊥AB 的情况，故要分类

讨论.

解答：作底边BC 的高AD ，则AD ⊥BC ，垂足为D. 设BP=xcm ，PA ⊥AC. 图1

图2

图3

由等腰三角形的性质知BD=DC=2

1BC=4cm. 在Rt △ADB 中，222AB BD AD =+， 94522222=-=-=BD AB AD ，∴AD=3 (cm).

在Rt △PAC 中， 222PC AC AP =+，∴()()22228543x x -=+-+.

解得x=47，即BP=4

7(cm). P 点移动的时间为

47÷0.25=7(s). 当P 点移动到D 点与C 点之间时，作P 点关于D 点的对称点P '， 则47='C P (cm).4

25478=-='P B (cm). 此时P 点的运动时间为

2525.0425=÷(s). 答：当P 点移动7(s)或25(s)时，PA 与腰垂直.

说明：动态探究问题的解答关键是把它在某一瞬间看做不动，即动中求静，抓住运动中的不变量进行探究.本例中等腰三角形“三线合一”的性质与勾股定理是构成解决问题的纽带，由于点P 是运动的，故要分类讨论.

四、利用勾股定理的逆定理构造直角三角形

例4:如图4，在△ABC 中，AB=5，AC=13，BC 边上的中线AD=6，求BC 的长.

解析:注意到5，12，13恰为一组勾股数，因此加倍延长中线AD 到E ，连接CE ，将AB ，AC ，2AD 集中到同一△ACE 中，构成直角三角形，运用勾股定理求BC 的长. 解答:延长AD 到E ，使DE=AD ，连接CE.

∵AD 是BC 边上的中线， ∴BD=CD.

又AD=ED ， ∠ADB=∠EDC ， ∴△ADB ≌△EDC(SAS)， ∴CE=BA=5. 又AC=13，AE=2AD=12， ∴22213169125==+，即222AC AE CE =+， ∴△AEC 是直角三角形且∠E=090.

在Rt △DEC 中，222CE DE CD +=， ∴CD=，61

5622=+BC=2CD=2，61 ∴BC 边的长为261.

说明:遇到中线问题往往加倍延长，同时对勾股数应有灵敏的感觉，只要已知三角形三边的长，就应该用勾股定理的逆定理来判断三角形的形状.

巧构一线三直角解题

巧构一线三直角解题 发表时间：2017-02-14T14:06:18.193Z 来源：《中小学教育》2017年2月第269期作者：鲍玉秀张刚 [导读] 教师在教学时要注意给学生创造机会，让学生学会找基本图形。 山东省淄博市周村区北郊中学255000；山东省淄博市修文外国语学校255000 教师在教学时要注意给学生创造机会，让学生学会找基本图形。通过基本图形的积累，学生在分析题目时，就能唤醒利用这些基本图形，并能直接解题。几何命题的证明方法很多，只要找到规律、找到模型，我们就可以“以不变应万变”，任何问题就能迎刃而解。所以说，模型建立是学好数学的秘密武器。 基本图形：如图1，B、D、C在一条直线上，∠B=∠ADE=∠C=90°。我们称这一图形为“一线三直角”模型，则△ABD∽△DCE(或 △ABD≌△DCE)。 点评：我们在教学中经常遇到此图形，只要见到一直角在一条直线上，我们可以构造两侧的直角三角形，利用相似三角形可以解决一类相关问题。当出现了有相等边的条件之后，相似就转化为全等了。综合性题目往往就会把相似和全等的转化作为出题的一种形式。本文将重点对这一基本图形进行探讨。 一、在旋转中出现一线三直角基本图形（全等） 如图，将AO绕点O按逆时针方向旋转90°，得到A’O。若点A的坐标为（a,b），则点A’的坐标为( )。 解析：过A点作AB⊥x轴，垂足为E，过A’作A’E’⊥x轴，则△A’OE≌△OAE，所以A’E’=OE=a,AE=OE’=b，所以A’的坐标为（-b,a）。 点评：教师在平时教学中就要注意基本图形的构造，为以后学习打下良好的基础。 变式：直线l1∥l2∥l3，且l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为2。把一块含有45°角的直角三角形如图放置，顶点A、B、C恰好分别落在三条直线上，AC与直线l2交于点D，则线段BD的长度为（）。 分析：∠AEC=90°，并在直线l3，此时我们可以构造一线三直角数学模型，△ADE与△BEC全等，所以DB=CE=3。 二、在折叠中构造一线三直角 如图，把矩形纸片OABC放入平面直角坐标系中，使OA、OC分别落在x轴、y轴上，连结OB，将纸片OABC沿OB折叠，使点A落在A’的位置。若ＯＢ= 5，tan∠BOC= ，则点A’的坐标是多少？ 解析：因为ＯＢ= 5，tan∠BOC= ，OA=1，AB=2，△A’OD∽△A’BE。设OD=a,则A’E=2a, A’D= (a+1), DE=AB，2a+ (a+1)=2，解得a= ,所以A’的坐标（- ，）。 点评：此题是以矩形折叠为载体，如果利用常规方法勾股定理及全等计算很麻烦。如果构造一线三直角是非常简单的，过A’做AB的平行线，与BC、AO的延长线交于E、D, △A’OD∽△A’BE。设OD=a,则A’E=2a, A’D= (a+1),DE=AB，2a+ (a+1)=2，计算量相当简单。 三、画斜为直，找直线构造一线三直角 如图，在平面直角坐标系xoy中，点A的坐标是（-7，1），∠AOB=135°，OB=5。（1）求△AOB的面积。（2）求点B的坐标。 解析：设B（x,y），过B点作BF⊥x轴，过D点作x轴的平行线，与y轴交于G点，过A点作AC⊥CD。因为∠AOB=135°，AO=5 2，所以∠AOD=45°，AD=OD=5，所以△BOF≌△DOG≌△DCA，所以AD=OD=BO,AC=DG=OF,CD=OG=BF，所以△AOB的面积= ×5×5= ，所以x+y=7,1+y=x，所以x=4,y=3。 点评：这是一道一题多解的题，将∠AOB=135°转化为∠AOD=45°，构造等腰直角三角形，再构造模型一线三直角（全等）。 四、在圆中构造一线三直角 如图，在平面直角坐标系中，⊙P与x轴相切于点C，与y轴分别交于A、B两点，连接AP并延长分别交⊙P、x轴于点D、E，连接DC并延长交y轴于点F。若点F的坐标为(0,1),点D的坐标为(6,－1)。（1）求证：DC=FC。（2）求直线AD的解析式。 解析：(1)由△OFC≌△GDC得到OC=CG，过点作DG⊥x轴，连接AC，因为AD为直径，所以∠AGD=90°，△OAG∽△CGD，所以DG∶GC=OG∶OA，所以1∶3=3∶OA，所以OA=9。 点评：从圆中找直角，利用直径得圆周角等于90°，问题便可迎刃而解。 基本图形的教学是初中几何教学的重点，也是难点，教师在平时教学中要注重基本图形的研究，要有足够的耐心等学生慢慢积累。学生的学习达到一定程度就会从复杂的图形中提炼出基本图形，才会出现解决问题时的灵感。

全等三角形题型归类及解析

全等三角形难题题型归类及解析 一、角平分线型 角平分线是轴对称图形，所以我们要充分的利用它的轴对称性，常作的辅助线是：一利用截取一条线段构造全等三角形，二是经过平分线上一点作两边的垂线。另外掌握两个常用的结论：角平分 线与平行线构成等腰三角形，角平分线与垂线构成等腰三角形。 1. 如图，在ΔABC 中，D 是边BC 上一点，AD 平分∠BAC ，在AB 上截取AE=AC ， 连结DE ，已知DE=2cm ，BD=3cm ，求线段BC 的长。 2. 已知：如图所示，BD 为∠ABC 的平分线，AB=BC ，点P 在BD 上，PM ⊥AD 于M ， ?PN ⊥CD 于N ，判断PM 与PN 的关系． 3. 已知：如图E 在△ABC 的边AC 上，且∠AEB=∠ABC 。 (1) 求证：∠ABE=∠C ； (2) 若∠BAE 的平分线AF 交BE 于F ，FD ∥BC 交AC 于D ，设AB=5，AC=8，求DC 的长。 ． A B C D E P D A C B M N

5、如图所示，已知∠1=∠2，EF ⊥AD 于P ，交BC 延长线于M ，求证：2∠M=（∠ACB-∠B ） 2 1P F M D B A C E 6、如图，已知在△ABC 中，∠BAC 为直角，AB=AC ，D 为AC 上一点，CE ⊥BD 于E ． （1） 若BD 平分∠ABC ，求证CE=1 2 BD ； （2） 若D 为AC 上一动点，∠AED 如何变化，若变化，求它的变化范围； 若不变，求出它的度数，并说明理由。 8、如图，在△ABC 中，∠ABC=60°，AD 、CE 分别平分∠BAC 、∠ACB ， 求证：AC=AE+CD ． 二、中点型 由中点应产生以下联想： E D C B A

直角三角形的存在性问题解题策略

中考数学压轴题解题策略（3） 直角三角形的存在性问题解题策略 《挑战压轴题·中考数学》的作者上海马学斌 专题攻略 解直角三角形的存在性问题，一般分三步走，第一步寻找分类标准，第二步列方程，第三步解方程并验根． 一般情况下，按照直角顶点或者斜边分类，然后按照三角比或勾股定理列方程． 有时根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列方程更简便． 解直角三角形的问题，常常和相似三角形、三角比的问题联系在一起． 如果直角边与坐标轴不平行，那么过三个顶点作与坐标轴平行的直线，可以构造两个新的相似直角三角形，这样列比例方程比较简便． 在平面直角坐标系中，两点间的距离公式常常用到． 怎样画直角三角形的示意图呢？如果已知直角边，那么过直角边的两个端点画垂线，第三个顶点在垂线上；如果已知斜边，那么以斜边为直径画圆，直角顶点在圆上（不含直径的两个端点）． 例题解析 例?如图1-1，在△ABC中，AB＝AC＝10，cos∠B＝4 5 ．D、E为线段BC上的两个 动点，且DE＝3（E在D右边），运动初始时D和B重合，当E和C重合时运动停止．过E 作EF//AC交AB于F，连结DF．设BD＝x，如果△BDF为直角三角形，求x的值． 图1-1 【解析】△BDF中，∠B是确定的锐角，那么按照直角顶点分类，直角三角形BDF存在两种情况．如果把夹∠B的两条边用含有x的式子表示出来，分两种情况列方程就可以了．如图1-2，作AH⊥BC，垂足为H，那么H是BC的中点． 在Rt△ABH中，AB＝10，cos∠B＝4 5 ，所以BH＝8．所以BC＝16． 由EF//AC，得BF BE BA BC =，即 3 1016 BF x+ =．所以BF＝ 5 (3) 8 x+． 图1-2 图1-3 图1-4

新人教版八年级下册数学解题技巧专题练习：等腰三角形中辅助线的作法

解题技巧专题：等腰三角形中辅助线的作法 ——形成精准思维模式，快速解题 ◆类型一利用“三线合一”作辅助线 一、已知等腰作垂线(或中线、角平分线) 1．如图，在△ABC中，AB＝AC，AE⊥BE于点E，且∠ABE＝∠ABC.若BE＝1，则BC的长为________． 2．如图，在△ABC中，AC＝2AB，AD平分∠BAC交BC于点D，E是AD上一点，且EA＝EC，连接EB，求证：EB⊥AB. 二、构造等腰三角形 3．如图，在△ABC中，BP平分∠BAC，且AP⊥BP于点P，连接CP.若△PBC的面积为2，则△ABC的面积为() A．3 B．4 C．5 D．6 4．如图，已知△ABC是等腰直角三角形，∠A＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，CE⊥BD，交BD的延长线于点E.求证：BD＝2CE.

◆类型二 巧用等腰直角三角形构造全等 5．如图，在△ABC 中，AC ＝BC ，∠C ＝90°，D 是AB 的中点，DE ⊥DF ，点E ，F 分别在AC ，BC 上．求证：DE ＝DF . ◆类型三 等腰(边)三角形中截长补短或作平行线构造全等 6．(2017·郑州校级月考)如图，过等边△ABC 的边AB 上一点P ，作PE ⊥AC 于点E ，Q 为BC 延长线上一点，且P A ＝CQ ，连 接PQ 交AC 于点D .若△ABC 的边长为6，则 DE 的长为【方法8】( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．不能确定 7．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝108°，BD 平分∠ABC 交AC 于点D .求证：BC ＝AB ＋CD . 参考答案与解析 1．2 2．证明：过点E 作EF ⊥AC 于点F .∵EA ＝EC ，∴AF ＝FC ＝12 AC .∵AC ＝2AB ，∴AF ＝AB .∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAE ＝∠F AE .又∵AE ＝AE ，∴△ABE ≌△AFE (SAS)，∴∠ABE ＝∠AFE ＝90°，∴EB ⊥AB .

全等三角形解题方法与技巧

“三步曲”证全等 牢记判定定理：SSS SAS ASA AAS HL 一看图形：全等三角形的基本图形大致有以下几种①平移型；②对称型；③旋转型（复杂图形可分离 出基本图形） 二看条件： （一）应先看有无隐含条件（如对顶角、公共边、公共角、某些角的和差，某些线段的和差。） 1、利用公共边（或公共角）相等 例1：如图1，AB DC =，AC DB =，△ABC ≌△DCB 全等吗？为什么？ 练习1：已知：如图，AB ⊥BC ，AD ⊥DC ，AB=AD ，若E 是AC 上一点。求证：EB=ED 。 D A E C B

2、利用对顶角相等 例2：如图2，已知AC 与BD 交于点O ，∠A=∠C ，且AD ＝CB ，你能说明BO=DO 吗？ 练习2：已知：如图，AB 、CD 交于O 点，CE//DF ，CE=DF ，AE=BF 。求证：∠ACE=∠BDF 。 3、利用等边（等角）加（或减）等边（等角），其和（或差）仍相等 例3：如图，AB=DC ，BF=CE ，AE=DF ，你能找到一对全等的三角形吗？说明你的理由． 练习3：已知，如图，AB ⊥AC ，AB ＝AC ，AD ⊥AE ，AD ＝AE 。求证：BE ＝CD 。 A E D C B A B C D E F O

4、利用平行线的性质得出同位角、内错角相等 例4：如图4，AB ∥CD ，∠A ＝∠D ，BF ＝CE ，∠AEB ＝110°，求∠DFC 的度数． 练习4：如图，△ABC 中，AB=AC ，过A 作GE ∥BC ，角平分线BD 、CF 交于点H ，它们的延长线分别交GE 于E 、G ，试在图中找出三对全等三角形，并对其中一对给出证明。 （二）再分析显性条件，如果条件不够，应确定还需什么条件，然后证明该条件。基本思路：1.已知两角――任一边；2.已知两边――找夹角或第三边；3.已知一角与邻边――找另一角或另一邻边；4.已知一角与对边――找另一角。 例1：如图，已知点E C ，在线段BF 上，BE=CF ，AB ∥DE ，∠ACB=∠F ． 求证：ABC DEF △≌△． 例2：如图所示，把一个直角三角尺ACB 绕着30°角的顶点B 顺时针旋转，使得点A 落在CB 的延长线上的点E 处，则∠BDC 的度数为 ． 例3：两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，B C E ，，在同一条直线上，连接DC ． （1）请找出图2中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）； （2）证明：DC BE ． 图1 图2 C E B F D A E

一个可以从旋转角度(构造等边三角形)理解的好题及其解法(13)

题目 在凸四边形ABCD 中，60ABC ∠=?，AB BC =，30ADC ∠=?。 证明：222AD CD BD +=。 分析：待证结论让我们联想到勾股定理，需要通过添加辅助线将AD 、CD （作 为直角边）和BD （作为斜边）集中到一个直角三角形里。 图1 图2 证明1：如图1，过D 作DE DA ⊥，且使得ED CD =，连接AE 、CE 、AC 903060CDE ADE ADC ∠=∠-∠=?-?=? ∴CDE ?是等边三角形 ∴CE CD =，60DCE ∠=? 60ABC ∠=?，AB BC = ∴ABC ?是等边三角形 ∴AC BC =，60BCA ∠=? ∴ACE ACD DCE ACD BCA BCD ∠=∠+∠=∠+∠=∠ ∴ACE ?≌BCD ?（SAS ） ∴AE BD = 在Rt ADE ?中，222AD ED AE += ∴222AD CD BD += 评注：意外的是，添加辅助线后原图回到了一个经典（老）问题的图上—两个有公共顶点的等边三角形（不看AD ，试试？）！另外，也可以按如下方式作辅助线：如图2，过D 作DE DC ⊥，且使得ED AD =，连接CE 、AE 、AC （过程基本同证明1，不赘述）。 D B B D B D

图3 图4 证明2：如图3，过C 作CE CD ⊥，且使得CE AD =，连接DE 、BE 360360BCE ECD BCD ABC ADC BCD BAD ∠=?-∠-∠=?-∠-∠-∠=∠ BC BA = ∴BCE ?≌BAD ?（SAS ） ∴BE BD =，CBE ABD ∠=∠ ∴60DBE ABC ∠=∠=? ∴DBE ?是等边三角形 ∴ED BD = 在Rt DCE ?中，222CE CD ED += ∴222AD CD BD += 评注：明白作辅助线的初衷和目的后，问题解决将得心应手，也可以按如下方式作辅助线：如图4，过A 作AE AD ⊥，且使得AE CD =，连接DE 、BE （过程基本同证明2，不赘述）。 后记：1、证明1的图可以看成以CD 为边作等边三角形CDE ，证明2的图可以看成以BD 为边作等边三角形BDE ，你能理解为什么作等边三角形吗？ 2、图1可以看成是将BCD ?绕点C 沿顺时针方向旋转60?到ACE ?，图3可以看成是将ABD ?绕点B 沿顺时针方向旋转60?到CBE ?，你能理解为什么旋转60?吗？其实，从旋转的视角来看待本题，过程将十分简洁：如图3，将ABD ?绕点B 沿顺时针方向旋转60?到CBE ?，连接DE ，易知DBE ?是等边三角形，故ED BD =， 由于D C E D B E C E B C D B A B C A D B C ∠=∠+∠+∠=∠+∠+∠603090=?+?=?（凹四边形），所以2 2 2 CE CD ED +=，从而2 2 2 AD CD BD +=。 相关题目如图，在ABC ?中，90ABC ∠=?，AB CB =，45DBE ∠=?D 、E 是AC 上两点。试证明：222 AD CE DE +=。 请务必督促孩子今晚进行独立思考，下午辅导课时在黑板上已抄过B B

直角三角形典型例题总结

勾股定理与勾股定理逆定理典型例题 类型一、勾股定理的构造应用 例1、如图，已知：在中，，，. 求：BC 的长. 思路点拨：由条件，想到构造含角的直角三角形 总结反思： 举一反三【变式1】已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。求：四边形ABCD的面积。 【变式2】

类型二：方程的思想方法 例1、如图所示，已知△ABC 中，∠C=90°，∠A=60°， ，求、、的值。 思路点拨：由，再找出、的关系即可求出和的值 总结升华： 举一反三： 【变式1】如图，四边形ABCD 中，∠ACB=90O ,CD ⊥AB 于点D ，若AD=8,BD=2， 求CD 的长度。 【变式2 】C A

类型三：转化的思想方法 我们在求三角形的边或角，或进行推理论证时，常常作垂线，构造直角三角形，将问题转化为直角三角形问题来解决． 例1.如图所示，△ABC 是等腰直角三角形，AB=AC ，D 是斜边BC 的中点，E 、F 分别是AB 、AC 边上的点，且DE ⊥DF ，若BE=12，CF=5．求线段EF 的长。 思路点拨：现已知BE 、CF ，要求EF ，但这三条线段不在同一三角形中，所以关键是线段的转化，根据直角三角形的特征，三角形的中线有特殊的性质，不妨先连接AD ． 总结升华： 【变式1】如图，已知：，，于P . 求证：. 【变式2】如图，ADC ?和BCE ?都是等边三角形， 30=∠ABC ， 求证：2 22BC AB BD +=

3. 类型五：利用勾理作长为 的线段 例1． 作长为、、的线段。 思路点拨：由勾股定理得，直角边为1的等腰直角三角形，斜边长就等于 ，直角边为和1的直角三角形斜边长就是，类似地可作D C B A

全等三角形解题技巧

造全等三角形解题的技巧 全等三角形是初中几何《三角形》中的一个重要内容，是初中生必须掌握的三角形两大知识点之一（全等和相似），在解决几何问题时，若能根据图形特征添加恰当的辅助线，构造出全等三角形，并利用全等图形的性质，可以使问题化难为易，出奇制胜，现举几例供大家参考。 友情提示：证明三角形全等的方法有SAS、SSS、AAS、ASA、HL（Rt△）。 一、见角平分线试折叠，构造全等三角形 例1 如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC，AB+BD=AC。 求证：∠B：∠C=2：1。 证法一：在线段AC上截取AE=AB，连接DE。 在△ABD和△AED中 ∵AE=AB，∠1=∠2，AD=AD，∴△ABD△AED。∴DE=DB，∠B=∠AED。 ∵AB+BD=AC，∴AE+DE=AC。 又∵AE+CE=AC，∴DE=CE。∴∠C=∠EDC。 ∵∠AED=∠C+∠EDC，∴∠AED=2∠C，即∠B=2∠C。∴∠B：∠C=2：1。 证法二：延长AB到F，使BF=BD，连接DF。∴∠F=∠BDF。 ∵∠ABC=∠F+∠BDF，∴∠ABC=2∠F。 ∵AB+BD=AC，∴AB+BF=AC，即AF=AC。 在△ADF和△ADC中， ∵AF=AC，∠1=∠2，AD=AD，∴△ADF△ADC。∴∠F=∠C。 又∵∠ABC=2∠F，∴∠ABC=2∠C，即∠ABC：∠C=2：1。 点评：见到角平分线时，既可把△ABD沿AD折叠变成△AED，也可把△ACD沿AD折叠变成△AFD，利用全等三角形的性质，可使问题得以解决。

练习：如图3，△ABC中，AN平分∠BAC，CN⊥AN于点N，M为BC中点，若AC=6，AB=10，求MN的长。 图3 提示：延长CN交于AB于点D。则△ACN△ADN，∴AD=AC=6。 又AB=10，则BD=4。可证为△BCD的中位线。 ∴。 点评：本题相当于把△ACN沿AN折叠成△AND。 二、见中点“倍长”线段，构造全等三角形 例2 如图4，AD为△ABC中BC上的中线，BF分别交AC、AD于点F、E，且AF=EF，求证：BE=AC。 图4 证明：延长AD到G，使DG=AD，连接BG。 ∵AD为BC上的中线，∴BD=CD， 在△ACD和△GBD中， ∵AD=DG，∠ADC=∠BDG，BD=CD，∴△ACD△GBD。∴AC=BG，∠CAD=∠G。 ∵AF=EF，∴∠CAD=∠AEF。∴∠G=∠AEF=∠BEG，∴BE=BG， ∵AC=BG，∴BE=AC。 点评：见中线AD，将其延长一倍，构造△GBD，则△ACD△GBD。 例3 如图5，两个全等的含有、角的三角极ADE和ABC如图放置，E、A、C三点在同一直线上，连接BD，取BD中点M，连接ME、MC 图5 试判断△EMC的形状，并说明理由。 解析：△EMC为等腰直角三角形。

构造正三角形巧解几何问题

构造正三角形巧解几何问题． 构造正三角形巧解几何问题 余凤冈 例1. 如图1，已知在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝80°，P为△ABC内一点，∠

PBC＝10°，∠ACP＝20°，求∠APB的度数。 图1 解：如图1，在△ABC的BC的同侧作等边三角形BCD，连结AD 在△DBA和△CBP中 ∠DBA＝∠DBC－∠ABC ＝60°－50° ＝10° 因为∠CBP＝10° 所以∠DBA＝∠CBP，

因为∠BCP＝∠ACB－∠ACP ＝50°－20° ＝30° BDC 平分∠ DA显然． 所以，BDA＝∠BCP所以∠BC ＝因为 BD ）（ASA △DBA≌△CBP所以，＝BPBA ABP是等腰三角形。即△ 所以

评注：考虑到作等边三角形后形成∠DBA＝60°－50°＝10°为证全等创造条件是本题的关键。 例2. 如图2，已知在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，延长AB到D，设AD＝BC，连接DC，求∠ACD的度数。 图2 AE ，连结BCE的外侧作等边三角形BC的ABC，在△2解：如图 在△ACE和△CAD中， 因为∠ABC＝∠ACB

∠ACE＝∠ACB＋∠BCE ＝40°＋60° ＝100° 所以∠ACE＝∠CAD 因为 AC＝CA，CE＝BC＝AD 所以△ACE≌△CAD（SAS）故∠CEA＝∠D 因为 AE平分∠BEC， 有 所以∠D＝30° ∠ACD＝180°－∠DAC－∠D

＝180°－100°－30° ＝50° 例3. 如图3，已知在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝20°，在AB上取AD＝BC，求的度数。ACD∠． 图3 解：在△ABC的BC的同侧作等边三角形BCE，连结AE。 在△ACD和△CAE中， ABC∠

解直角三角形及其应用--知识讲解

解直角三角形及其应用—知识讲解 【学习目标】 1．了解解直角三角形的含义，会综合运用平面几何中有关直角三角形的知识和锐角三角函数的定义解直角三角形； 2．会运用有关解直角三角形的知识解决实际生活中存在的解直角三角形问题． 【要点梳理】 要点一、解直角三角形 在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求未知元素的过程，叫做解直角三角形. 在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和两个锐角. 设在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有： ①三边之间的关系：a2+b2=c2(勾股定理). ②锐角之间的关系：∠A+∠B=90°. ③边角之间的关系： ，，， ，，. ④，h为斜边上的高. 要点诠释： (1)直角三角形中有一个元素为定值(直角为90°)，是已知值. (2)这里讲的直角三角形的边角关系指的是等式，没有包括其他关系(如不等关系). (3)对这些式子的理解和记忆要结合图形，可以更加清楚、直观地理解. 要点二、解直角三角形的常见类型及解法 已知条件解法步骤 Rt△ABC 两 边两直角边(a，b) 由求∠A， ∠B=90°－∠A， 斜边，一直角边(如c，a) 由求∠A， ∠B=90°－∠A， 一边一直角边 和一锐角 锐角、邻边 (如∠A，b) ∠B=90°－∠A， ，

一 角 锐角、对边 (如∠A ，a) ∠B=90°－∠A ， ， 斜边、锐角(如c ，∠A) ∠B=90°－∠A ， ， 要点诠释： 1．在遇到解直角三角形的实际问题时，最好是先画出一个直角三角形的草图，按题意标明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，然后按先确定锐角、再确定它的对边和邻边的顺序进行计算. 2．若题中无特殊说明，“解直角三角形”即要求出所有的未知元素，已知条件中至少有一个条件为边. 要点三、解直角三角形的应用 解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键. 解这类问题的一般过程是： (1)弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型. (2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题. (3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形. (4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解. 拓展： 在用直角三角形知识解决实际问题时，经常会用到以下概念： (1)坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母表示. 坡度(坡比)：坡面的铅直高度h 和水平距离的比叫做坡度，用字母表示，则，如图， 坡度通常写成=∶的形式. (2)仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，如图.

(完整word版)解直角三角形思想方法中考题型

思想方法中考题型 一、方程思想 根据题意设适当的未知数，从已知和未知中寻求等量关系，构造出方程或方程组，从而使问题获解． 例1如图1，河旁有一座小山，从山顶A处测得河对岸点C的俯角为30°，测得岸边点D的俯角为45°，又知河宽CD为50米．现需从山顶A到河对岸点C拉一条笔直的缆绳AC，求缆绳AC的长（答案可带根号）． 解：过A点作AB⊥CD交CD的延长线于点B，设AB＝x 在Rt△ABC中，因为∠ACB＝∠CAE＝30°，所以AC＝2ABC＝2x，BC=3AB=3x 在Rt△ABD中，因为∠ADB＝∠EAD＝45°，所以DB＝AB＝x 因为CD＝50，所以 解得x＝25（1+3）。答：缆绳AC的长为() 5013 +米． 说明先得出边角之间的关系，再构造方程求解，这是直角三角形的边角关系应用的常见方法，应值得注意． 二、数形结合思想 将数量和图形巧妙结合来寻找解题思路 例2如图2，A、B、C表示建筑在一座比较险峻的名山上的三个缆车站的位置，AB、BC表示连接三个缆车站的钢缆。已知A、B、C所处位置的海拔高度分别为124m、400m、1100m，如图建立直角坐标系，即A(a，124)、B(b，400)、C(c， 1100)，若直线AB的解析式为y＝1 2x＋4，直线BC与水平线BC1的交角为45°． ⑴分别求出A、B、C三个缆车站所在位置的坐标； ⑵求缆车从B站出发到达C站单向运行的距离(精确到1m)． A(240，124)、B(792，400)、C(2192，1100)；（2）7002≈990（米）． 三、转化思想 抽象转化为具体，复杂转化为简单、未知转化为已知，通过变换迅速而合理的寻找和选择问题解决的途径和方法． 例3如图3，学校旗杆附近有一斜坡．小明准备测量学校旗杆AB的高度，他发现当斜坡正对着太阳时，旗杆AB的影子恰好落在水平地面和斜坡的坡面上，此时小明测得水平地面上的影长BC＝20米，斜坡坡面上的影长CD＝8米，太阳光线AD与水平地面成26°角，斜坡CD与水平地面成30°的角．求旗杆AB的高度（精确到1米）．（tan26°=0.43） 解：延长AD、BC交于点E，过点D作DF⊥CE于F．则依据题意可知，∠E＝°，∠DCE＝°。 在Rt△CFD中，得DF＝4，CF＝43≈6.928， 在Rt△DFE中， 在Rt△ABE中， 答：旗杆AB的高度约为． 四、建模思想 所谓建模思想就是认真分析题意，将实际问题抽象、转化为数学问题，建立数学模型，再通过对数学模型的探索达到解决问题的目的． 例4如图4，MN表示一段高速公路的设计路线图．在点M测得点N在它的南偏东30°的方向．测得另一点A在它的南偏东60°的方向；取MN上另一点B，在点B测得点A在它的南偏东75°的方向．以点A为圆心，500m为半径的圆形区域为某居民区．已知MB=400m，通过计算回答：如果不改变方向，高速公路是否会穿过居民区？ 解：过点A作AC⊥MN于点C．依题意，得∠AMC=60°－30°=30°，∠ABC=75°－30°=45°．设AC为x m， 图2 B A 图4 M 30° 60° 75° 北 北 N C 图1 F 图3 E D C B A

构造等腰三角形解题的常见途径(新)

构造等腰三角形解题的常见途径 等腰三角形是研究几何图形的基础，因此在许多几何问题中，常常需要构造等腰三角形才能使问题获解，那么如何构造等腰三角形呢？一般说来有以下几种途径： 一、利用角平分线+平行线，构造等腰三角形 当一个三角形中出现角平分线和平行线时，我们就可以寻找到等腰三角形．如图1①中，若AD 平分∠BAC ，AD ∥EC ，则△ACE 是等腰三角形；如图1②中，AD 平分∠BAC ，DE ∥AC ，则△ADE 是等腰三角形；如图1③中，AD 平分∠BAC ，CE ∥AB ，则△ACE 是等腰三角形；如图1④中，AD 平分∠BAC ，EF ∥AD ，则△AGE 是等腰三角形． 例1 如图2，△ABC 中，AB ＝AC ，在AC 上取点P ，过点P 作EF ⊥BC ，交BA 的延 长线于点E ，垂足为点F ．求证：．AE ＝AP ． 简析 要证．AE ＝AP ，可寻找一条角平分线与EF 平行，于是想到AB ＝AC ，则可以作AD 平分∠BAC ，所以AD ⊥BC ，而EF ⊥BC ，所以AD ∥EF ，所以可得到△AEP 是等腰三角形，故AE ＝AP ． 例2 如图3 ，在△ABC 中，∠BAC 、∠BCA 的平分线相交于点O ，过点O 作DE ∥AC ，分别交AB 、BC 于点 D 、 E ．试猜想线段AD 、CE 、DE 的数量关系，并说明你的猜想 C A B E D O 图3 图4 F C D E B A M 图2 F B A C D P E 图1 ① D ② C D C ④ F C D

理由． 简析 猜想：AD +CE ＝DE ．理由如下：由于OA 、OC 分别是∠BAC 、∠BCA 的平分线，DE ∥AC ，所以△ADO 和△CEO 均是等腰三角形，则DO ＝DA ，EC ＝EO ，故AD +CE ＝DE ． 例3 如图4，△ABC 中，AD 平分∠BAC ，E 、F 分别在BD 、AD 上，且DE ＝CD ，EF ＝AC ．求证：EF ∥AB ． 简析 由于这里要证明的是EF ∥AB ，而AD 平分∠BAC ，所以必须通过辅助线构造出平行线，这样就可以得到等腰三角形了，于是DE ＝CD 的提示下，相当于倍长中线，即延长AD 至M ，使DM ＝AD ，连结EM ，则可证得△MDE ≌△ADC ，所以ME ＝AC ，又EF ＝AC ，∠M ＝∠CAD ，所以∠M ＝∠EFM ，即∠CAD ＝∠EFM ，又因为AD 平分∠BAC ，所以∠BAD ＝∠EFD ＝∠CAD ，所以EF ∥AB ． 二、利用角平分线+垂线，构造等腰三角形 当一个三角形中出现角平分线和垂线时，我们就可以寻找到等腰三角形．如图5中，若AD 平分∠BAC ，AD ⊥DC ，则△AEC 是等腰三角形． 例4 如图6，已知等腰R ｔ△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，BF 平分∠ABC ，CD ⊥BD 交BF 的延长线于D ．求证：BF ＝2CD ． 简析 由BF 平分∠ABC ，CD ⊥BD ，并在图5的揭示之下，延长线BA 、CD 交于点E ，于是△BCE 是等腰三角形，并有ED ＝CD ，余下来的问题只需证明BF ＝CE ，而事实上，由∠BAC ＝90°，CD ⊥BD ，∠AFB ＝∠DFC ，得∠ABF ＝∠DCF ，而AB ＝AC ，所以△ABF ≌△ACE ，则BF ＝CE ，故BF ＝2CD ． 三、利用转化倍角，构造等腰三角形 E 图5 A B C D 图6 B F D E C A

构造直角三角形来解题

构造直角三角形巧解题 山东省博兴县锦秋街道清河学校 张海生 256500 有些几何题，若能仔细观察、把握特征、抓住本质、恰当地构造直角三角形进行转化，就会收到化难为易、事半功倍的效果.下面举例介绍构造直角三角形解题的若干常用方法，供同学们复习时参考. 一、利用已知直角构造直角三角形 例1：如图1，在四边形ABCD 中，∠A=060，∠B=∠D=090，AB=2，CD=1.则BC 和AD 的长分别为_______和_______. 解析:考虑到图中含有090和060的角，若延长AD 、BC 相交于E ，则可以构造出Rt △AEB 和Rt △CED ，易知∠E=030，从而可求出DE=3，AE=4，BE=23，故AD=4-3，BC=23-2. 二、利用勾股定理构造直角三角形 例2：如图2，在四边形ABCD 中，AB=AD=8，∠A=060，∠ADC=0150，已知四边形ABCD 的周长为32，求四边形ABCD 的面积. 解析:四边形ABCD 是一个不规则的四边形，要求其面积，可设法变成特殊的三角形求解.连接BD ，则△ABD 是等边三角形， △BDC 是直角三角形，由于AB=AD=BD=8，，求△ABD 的面积不难解决，关键是求△BDC 的面积.可运用周长和勾股定理联合求出DC ，从而求出△BDC 的面积. 解答:连接BD.∵AB=AD ，∠A=060，∴△ABD 是等边三角形. ∴∠ADB=060，BD=AD=AB=8. 因为∠ADC=0150，∴∠BDC=090， 故△BDC 是直角三角形， 因为四边形ABCD 的周长为32， AB=AD=8， ∴BC+DC=32-16=16，BC=16-DC. 在Rt △BDC 中，222BC DC BD =+， 即()222168DC DC -=+.解得DC=6. ∴248621=??=?B DC S .用勾股定理求出等边△ABD 的高为3482 3=?. 3163482 1=??=?A B D S .∴24316+=+=??B DC A B D A B CD S S S 四. 说明:⑴求不规则的图形面积应用割补法把图形分解为特殊的图形;⑴四边形中通过添加辅助线构造直角三角形;⑶边长为a 的等边三角形的高为a 23，面积为24 3a . 三、利用高构造直角三角形 例3：如图3，等腰△ABC 的底边长为8cm ，腰长为5cm ，一动点P 在底边上从B 向C 以0.25cm/s 的速度移动，请你探究：当P 运动几秒时，P 点与顶点A 的连线PA 与腰垂直. 解析：本题是一道探究性的动态问题，假设P 在某一时刻有PA ⊥AC ，此时P 点运动了几秒，这是解决问题的着手点.设BP=x ，PC=8-x ，在Rt △PAC 中，由于PA 不知道，无法建立关系式.考虑△ABC 是等腰三角形，如作底边上的高AD ，则可用x 的代数式表示AP ，用勾股定理便可求出x ，进而求出运动时间.当P 点运动到D 与C 之间时，也存在AP ⊥AB 的情况，故要分类 讨论. 解答：作底边BC 的高AD ，则AD ⊥BC ，垂足为D. 设BP=xcm ，PA ⊥AC. 图1 图2 图3

构造等腰三角形解题的辅助线做法

构造等腰三角形解题的辅助线做法 吕海艳 等腰三角形是一种特殊的三角形，常与全等三角形的相关知识结合在一起考查。在许多几何问题中，通常需要构造等腰三角形才能使问题获解。那么如何构造等腰三角形呢一般有以下四种方法： （1）依据平行线构造等腰三角形； （2）依据倍角关系构造等腰三角形； （3）依据角平分线+垂线构造等腰三角形； （4）依据120°角或60°角，常补形构造等边三角形。 1、依据平行线构造等腰三角形 例1：如图。△ABC中，AB=AB，E为AB上一点，F为AC延长线上一点，且BE=CF，EF交BC于D，求证DE=DF. [点拔]：若证DE=DF，则联想到D是EF的中点，中点的两旁容易构造全等三角形，方法是过E或F作平行线，构造X型的基本图形，只需证两个三角形全等即可。 " 证明：过E作EG∥AC交BC于G ∴∠1=∠ACB，∠2=∠F ∵AB=AC ∴∠B=∠ACB ∴∠1=∠B ∴BE=GE ∵BE=CF ∴GE=CF 在△EDG和△FDC中 ∠3=∠4 ∠2=∠F

( GE=CF ∴△EDG≌△FDC ∴DE=DF [评注]：此题过E作AC的平行线后，构造了等腰△BEG，从而达到转化线段的目的。 2、依据倍角关系构造等腰三角形 例2：如图。△ABC中，∠ABC=2∠C，AD是∠BAC的平分线 求证：AB+BD=AB [点拔]：在已知条件中出现了一个角是另一个角的2倍，可延长CB，构造等腰三角形，问题即可解决。 证明：延长CB至E，使BE=BA， 连接AE （ ∵BE=BA ∴∠BAE=∠E ∵∠ABC=2∠C, ∠ABC=∠E+∠BAE=2∠E ∴∠C=∠E AC=AE ∵AD平分∠BAC ∴∠1=∠2 ∴∠EAD=∠BAE+∠1=∠E+∠1=∠C+∠2=∠BDA ∴EA=ED ∵ED=EB+BD，EB=AB，AC=AE ∴AC=AB+BD …

初二数学培优之直角三角形

初二数学培优之直角三角形 阅读与思考 直角三角形是一类特殊三角形，有以下丰富的性质： 角的关系：两锐角互余； 边的关系：斜边的平方等于两直角边的平方和； 边角关系：30o 所对的直角边等于斜边的一半. 这些性质广泛应用于线段计算、证明线段倍分关系、证明线段平方关系等方面. 在现阶段，勾股定理是求线段的长度的主要方法，若图形缺少条件直角条件，则可通过作辅助垂线的方法，构造直角三角形为勾股定理的应用创造必要条件；运用勾股定理的逆定理，通过代数方法计算，也是证明两直线垂直的一种方法. 熟悉以下基本图形基本结论： 例题与求解 【例l 】（1）直角△ABC 三边的长分别是x ，1x 和5，则△ABC 的周长＝_____________.△ABC 的面积＝_____________. （2）如图，已知Rt △ABC 的两直角边AC ＝5，BC ＝12，D 是BC 上一点，当AD 是∠A 的平分线时，则CD ＝_____________. D C （太原市竞赛试题） 解题思路：对于（1），应分类讨论；对于（2），能在Rt △ACD 中求出CD 吗？从角平分线性质入手. 【例2】如图所示的方格纸中，点A ，B ，C ，都在方格线的交点，则∠ACB ＝（ ） A.120° B.135° C.150° D.165°

（“希望杯”邀请赛试题）解题思路：方格纸有许多隐含条件，这是解本例的基础. 【例3】如图，P为△ABC边BC上的一点，且PC＝2PB，已知∠ABC＝45°，∠APC ＝60°，求∠ACB的度数. B C （“祖冲之杯”邀请赛试题）解题思路：不能简单地由角的关系推出∠ACB的度数，综合运用条件PC＝2PB及∠APC ＝60°，构造出含30°的直角三角形是解本例的关键. 【例4】如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，分别以AB，AC为边在△ABC的外侧作等边△ABE和等边△ACD，DE与AB交于F，求证：EF＝FD. B A C （上海市竞赛试题）解题思路：已知FD为Rt△FAD的斜边，因此需作辅助线，构造以EF为斜边的直角三角形，通过全等三角形证明. 【例5】如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝30°，∠ADC＝60°，AD＝CD，求证：222 += BD AB BC B （北京市竞赛试题）解题思路：由待证结论易联想到勾股定理，因此，三条线段可构成直角三角形，应设法将这三条线段集中在同一三角形中. 【例6】斯特瓦尔特定理：

数学：专题——构造全等三角形解题

数学：专题——构造全等三角形解题 【本讲教育信息】 一、教学内容： 专题——构造全等三角形解题 1. 构造全等三角形证明角相等及线段的垂直、相等及和差等关系． 2. 构造全等三角形解决实际问题． 二、知识要点： 全等三角形是初中几何的重要内容之一，在几何证明题中有着极其广泛的应用．然而在许多情况下，给定的题设条件及图形并不具有明显的全等条件，这就需要我们认真分析、仔细观察，根据图形的结构特征，挖掘潜在因素，通过添加适当的辅助线，巧构全等三角形．借助全等三角形的有关性质，就会迅速找到证题途径，直观易懂，简捷明快． 三、考点分析： 三角形是最常见的几何图形之一，是后续知识的基础，是历年中考命题的热点，三角形全等的条件是三角形的一大重点．中考考查仍然是要求能应用所学知识解决比较简单的实际问题以及联系比较紧密的知识考查双基．从题型设计上看，由传统的以填空题、选择题为主转向综合应用和自主探究的阅读、探索等新颖题型、答案不唯一，具有开放性和创新性．考查数学的分类 思想、方程思想以及转化思想． 【典型例题】 题型一：证明线段的垂直 例1.如图所示，AD为△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于F，且有BF＝AC，FD＝CD，求证：BE⊥AC． ∵∠1＋∠2＝90°， ∴∠1＋∠C＝90°， ∴∠BEC＝180°－90°＝90°， ∴BE⊥AC． 评析：证明直角三角形全等时，可根据条件灵活选择方法． 题型二：证明线段的相等

例2.如图所示，已知AB＝AD，AE＝AC，∠1＝∠2，求证：DE＝BC． 分析：要想证得∠B＝∠C，可观察∠B与∠C所在的△ABE与△DCE是否全等，由已知难以证其全等．再观察条件可以把∠B与∠C放在△ABD与△DCA中（需连结AD），可以利用三角形全等的条件SSS证明． 证明：连结AD．

等边三角形的几种画法

等 边 三 角 形 的 几 种 画 法 姓名：刘欢欢 学号：0801174059 专业：数学与应用数学

等边三角形的几种画法 本学期开设了课件制作这门课程，学习了几何画板的简单应用。老师曾在课堂上布置了一道题：如何利用几何画板作出等边三角形？我将在本文解决这个问题。 第一种画法：直接画。选择自定义工具→05三角形（等边三角形）。 第二种画法：尺规作图。线段直尺工具，得一条线段→选择端点和线段，构造（以圆心和半径作圆）→选中上交点和两端点，构造（线段）→点中两个圆，显示（隐藏圆）。 第三种画法：利用正六边形作图。选择自定义工具→07正多边形（正六边形），把颜色选作白色→分别选中两点对应的点，构造（线段）→点击两点和交点，构造（线段）→选中六边形各边及两条虚线段，显示（隐藏对象）。 第四种画法：利用线段旋转画图。线段直尺工具，得一条线段→文字工具，给两端点标上标签B A、→变换（旋转），固定角度60°，标上标签A'→点A 、， A' 构造（线段）。

第五种画法：把一般三角形转变成正三角形。线段直尺工具，画一个一般的三角形→选中三边，构造（中点）→任选两个中点和对应的顶点，构造（线段），得一交点→任选两顶点和其对应边，构造（垂线），得一交点→分别选择三角形两边，构造（角平分线），得一交点→点中三角形顶点，使得三点合一→选中除三角形三边及顶点以外的线和点，显示（隐藏对象）。 总结：等边三角形的画法或许远远不止这些，那就等我们以后去发现吧。我在这里想说的是，无论哪种画法，利用的都是等边三角形的性质：三边相等、三心合一、每个角都是60°。 这也就告诉我们，几何画板的使用是有一定根据的。要想很好的运用这个工具，我们应该先搞清楚所做图形的原理及性质，之后才能达到自己想要的效果。另外，对于数学这门学科而言，几何画板是个不可缺少的工具。将来等我们也站上讲台，我们可以用它给学生制造一些惊喜，让每个人都能体会数学的奇妙和美好。