用椭圆的定义解题
用椭圆的定义解题
舒云水
椭圆的定义是椭圆最本质属性的反映，用椭圆定义解决一些数学题，十分简捷明快﹒
1.求离心率
例 1 过椭圆22221x y a b
+=（a ＞b ＞0）的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于点P ，2F 为右焦点，若1260F PF ?∠=，则椭圆的离心率为
A B .3 C .12 D .13 解析：根据椭圆定义知122PF PF a +=，在12Rt PF F 中，由1260F PF ?∠=，得212PF PF =﹒从而132PF a =，123PF a =，243PF a =﹒利用勾股定理得2221122PF F F PF +=，即()2
2224233a c a ????+= ? ?????﹒由此得
e 3
c a ==﹒选B ﹒ 点评 本题运用椭圆定义和直角 12PF F 的边角关系，转化为a 和
c 的关系，从而得到要求的离心率﹒
2.求轨迹方程
例 2 动圆与定圆224320x y y ++-=内切且过圆内的一个定点(02)A ，，求动圆圆心P 的轨迹方程﹒
解析：由题设条件知：动圆与定圆内切，又由于动圆过定点A ，于是必有动圆圆心P 到定点A 与到定圆圆心的距离之和等于定圆半径，根据椭圆定义知动圆圆心P 的轨迹为椭圆﹒
由224320x y y ++-=得：22(2)36x y ++=，圆心B 为(0,2)-，半径为6﹒设动点(,)P x y ，动圆半径为PA ，由于动圆与定圆内切，所以PA +
PB =6，因此动圆圆心P 到两定点(02)A ，
，B (0,2)-的距离之和为6﹒根据椭圆定义知：点P 的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆且26a =，24c =﹒
∴3a =，2c =，∴25b =﹒ ∴动圆圆心的轨迹方程为22159
x y +=﹒ 点评：根据圆的有关知识发现6PA PB +=是解决本题的关键，再根据椭圆的定义易知点P 的轨迹为椭圆﹒
3.求最值
例 3 已知(4,0)A ，(2,2)B 是椭圆221259
x y +=内的点，M 是椭圆上的动点，求MA MB +的最大值与最小值﹒
解析：由于(4,0)A 是椭圆的一个焦点，设(4,0)A '-是椭圆的另一个焦点，根据椭圆定义得：
10MA MA '+=﹒ ∴MA MB +=10MA MB '-+10MB MA '=+-﹒
分别延长线段A B '、BA '交椭圆于N 、P 两点，根据三角形两边之差小于第三边的知识知：
当M 在点N 处时，MB MA '-取最小值A B '-=- 当
M 在点P 处时，MB MA '-取最大值A B '=
即：MB MA '-≤-≤﹒
∴
101010MB MA '-≤+-≤+
即MA MB +的最大值为10+10-
点评：综合运用椭圆的定义及三角形有关知识求出最大值、最小值﹒
练习：1.已知椭圆的焦点是1F 、2F ，P 是椭圆上的一个动点﹒如果延长1F P 到Q ，使得2PQ PF =，那么动点Q 的轨迹是
.A 圆 .B 椭圆 .C 双曲线的一支 .D 抛物线
2.已知椭圆22221x y a b
+=（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为1(,0)F c -、 2(,0)F c ，若椭圆上存在点P 使1221
sin sin a c PF F PF F =，则该椭圆的离心率的取值范围是 ﹒
3.已知(1,2)A -是椭圆2212516
x y +=内的点，1F 、2F 分别是左、右焦点，M 是椭圆上的一个动点，求2MA MF -的最大值和最小值﹒
答案：1.A ；2.1,1)；3.-﹒
椭圆的常见题型及解法(一).
椭圆的常见题型及其解法(一) 椭圆是圆锥曲线的内容之一，也是高考的热点和重点，椭圆学习的好坏还直接影响后面的双曲线与抛物线的学习，笔者在这里就椭圆常见题型作简要的探讨，希望对学习椭圆的同学有所帮助. 一、椭圆的焦半径 椭圆上的任意一点到焦点F的长称为此曲线上该点的焦半径，根据椭圆的定义，很容易推导出椭圆的焦半径公式。在涉及到焦半径或焦点弦的一些问题时，用焦半径公式解题可以简化运算过程。 1.公式的推导 设P （，）是椭圆上的任意一点， 分别是椭圆的左、右焦点，椭圆 ，求证，。证法1： 。 因为，所以 ∴ 又因为，所以 ∴， 证法2：设P 到左、右准线的距离分别为，由椭圆的第二定义知1 1 PF e d ，又，所 以， 而 。
∴，。 2.公式的应用 例1 椭圆上三个不同的点A （）、B （）、C （）到焦点F （4， 0）的距离成等差数列，则 12 x x + . 解：在已知椭圆中，右准线方程为 25 4x = ，设A 、B 、C 到右准线的距离为 ， 则、、。 ∵ ， ， ，而|AF|、|BF|、|CF|成等差数列。 ∴，即，。 例2.12,F F 是椭圆22 14x y +=的两个焦点，P 是椭圆上的动点，求 的最大值和最 小值。 解：设 ，则10202,2.PF x PF x =+ =-2 12034.4 PF PF x ?=- P 在椭圆上，022x ∴-≤≤，12PF PF ?的最大值为4，最小值为1. 变式练习1：. 求过椭圆的左焦点，倾斜角为的弦AB 的长度。 解：由已知 可得 ，所以直线AB 的方程 为 ，代入椭圆方程 得 设 ，则 ，从而 变式练习2. 设Q 是椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>上任意一点，求证：以2QF （或1QF ）为
习题课：椭圆第二定义的应用(精)
人教版高二数学上册§8.2 椭圆第二定义的应用(习题课 班级姓名自我学习评价 :优良还需努力 【学习目标】1. 进一步加深对椭圆第二定义及其性质的认识，会熟练运用椭圆的几何性质和第二定义解决有关问题； 2. 通过对椭圆的第二定义的应用，体会和感悟“方程思想”和“数形结合”，“分类讨论”的数学思想方法。 【学习重点】灵活运用椭圆的第二定义及性质解决有关问题。 【学习过程】 一、学习准备（知识准备） 请独立完成下列填空： 1．椭圆的第一定义为：；其中的两点为椭圆的 ；常数等于椭圆的； 2．椭圆第二定义：若平面内的动点M（x，y）到定点F（c，0）的距离和它到定直线 的距离的比是常数，则点M 的轨迹为；定直线叫做，准线与长轴所在直线____，椭圆的准线有条. 常数，（）是的离心率。e1时，椭圆趋于；e0时，椭圆趋向于。 3．由椭圆第二定义我们得到了焦半径公式。设为椭圆上任意一点，对于标准方程 的焦半径；；对于标准方程的焦半径； .
椭圆第二定义及其性质在解题中有何价值和作用？你知道吗？通过本节课的学习你就会知道了！ ●基础练习：试一试，你能根据已知很快独立完成下列问题吗？有困难的题可与小组同学讨论。 1、椭圆的准线方程是（）A.； B.； C.； D. 2 椭圆的一个焦点到相应准线的距离为，离心率为，则短轴长为（）A B C. D. 3 设点P为椭圆上一点，P到左准线的距离为10，则P到右准线的距离为（） A . 6 ； B .8 ； C.10 ； D.15 4 已知点A（2，y）是椭圆上的点，F是其右焦点，则∣AF∣=； 5．椭圆与椭圆〉0）的形状怎样？它们的离心率有何关系？你 能否快速求出与椭圆有相同的离心率且经过点（，）的椭圆的方程？其方程为 你是用什么方法求解的？。 二、典型例析 【探究一】利用椭圆第二定义解题
利用椭圆的对称性解题
专题三、用椭圆中的对称性解题 一、知识点 椭圆是关于_____________________________________________对称. 二、例题讲解 例题1.方程 所表示的图形的面积 变式1：画出方程 表示的图形 例题2.如图所示，已知椭圆的方程为 + =1（a ＞b ＞0），A 为椭圆的左顶点，B 、C 在椭 圆上，若四边形OABC 为平行四边形，且∠OAB=30°，则椭圆的离心率等于_________. 变式1.(2016.10)如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆()22 2210x y a b a b +=>>的右焦 点，直线2 b y =与椭圆交于,B C 两点，且90BFC ∠=?，则该椭圆的离心是 ．
例题3.（1）过原点的直线与椭圆2 214 x y += 交于,A B 两点，F 是椭圆的右焦点，则ABF ?面积的最大值为_____________. （2）过原点的直线与椭圆2 214 x y += 交于,A B 两点，F 是椭圆的右焦点，则ABF ?周长的最小值为_____________. 变式1：已知椭圆的C ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)左焦点为F ，椭圆与过原点的直线相交于A,B 两点， 连接AF,BF,若AB=10,BF=8,4 cos 5 ABF ∠= ,求椭圆的离心率. 变式2：已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l ：3x －4y ＝0交椭圆C 于A ，B 两点.若AF ＋BF ＝4，点M 到直线l 的距离不小于4 5，则椭圆E 的离 心率的取值范围是__________.
椭圆定义及应用
一、椭圆第一个定义的应用 1.1 椭圆的第一个定义平面内有两个定点F1、F2，和一个定长2a。若动点P到两个定点距离之和等于定长2a，且两个定点距离|F1F2|<2a.则动点轨迹是椭圆。两个定点F1、F2称为椭圆的焦点。 由此定义得出非常重要的等式，其中P为椭圆上一个点。此等式既表明作为椭圆这个点的轨迹的来源，也说明椭圆上每一个具有的共同性质。即椭圆上每一个点到两个焦点距离之和等于定长2a .在有关椭圆的问题中，若题设中含有有关椭圆上一点到两个焦点距离的信息，首先考虑的就是能否用上这个关系式。 1.2 应用举例 例1.已知点 1(3,0) F-,2(3,0) F,有 126 PF PF +=,则P点的轨迹是 . 例2.求证以椭圆 (a>b>0) 上任意一点P的 焦半径为直径画圆，这个圆必与圆相切. 解评：此题若用一般方法解或用椭圆参数方程解答，计算量都很大，解题过程冗长，属于中档题。我们若抓住PF2为一个圆直径，PF1为另一个圆半径的2倍，用公式，很容易得出正确解答。
例3. F 1、F 2是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上一点， 求的面积.24 解评：题设中有椭圆上一点到两个焦点间距离的信息，即可试探是否能用 解决 例4.P 是椭圆2 2 145 20 x y + =上位于第一象限内的点, F 1、F 2是椭圆的左、右焦点, 若 则12PF PF -的值为( ) A. D. 3 例5. 在圆C:22(1)25x y ++=内有一点A (1,0),Q 为圆C 上一点,AQ 的垂直平分线线段CQ 的交点为M,求M 点的轨迹方程. 练:一动圆与圆⊙o 1：x 2+y 2+6x+5=0外切,同时与⊙o 2 ： x 2+y 2_ 6x _ 91=0 内切， 求动圆圆心M 的轨迹方程，并说明它是什么样的曲线。
椭圆经典解题思路
椭圆标准方程典型例题 例1 已知椭圆0632 2 =-+m y mx 的一个焦点为(０,2）求m 的值． 分析：把椭圆的方程化为标准方程，由2=c ,根据关系2 2 2 c b a +=可求出m 的值． 解:方程变形为 1262 2=+m y x ．因为焦点在y 轴上，所以62>m ，解得3>m ． 又2=c ，所以2 262=-m ，5=m 适合.故5=m . 例２ 已知椭圆的中心在原点，且经过点()03， P ,b a 3=,求椭圆的标准方程． 分析:因椭圆的中心在原点，故其标准方程有两种情况．根据题设条件，运用待定系数法， 求出参数a 和b (或2 a 和2 b )的值，即可求得椭圆的标准方程． 解：当焦点在x 轴上时，设其方程为()0122 22>>=+b a b y a x ． 由椭圆过点()03， P ,知10922=+b a .又b a 3=，代入得12=b ，92 =a ,故椭圆的方程为1922=+y x ． 当焦点在y 轴上时,设其方程为()0122 22>>=+b a b x a y ． 由椭圆过点()03， P ,知10922=+b a ．又 b a 3=，联立解得812=a ,92 =b ，故椭圆的方程为198122=+x y ． 例3 ABC ?的底边16=BC ,AC 和AB 两边上中线长之和为30,求此三角形重心G 的轨迹和顶点A 的轨迹. 分析：(１)由已知可得20=+GB GC ,再利用椭圆定义求解． (2）由G 的轨迹方程G 、A 坐标的关系,利用代入法求A 的轨迹方程. 解： (1）以BC 所在的直线为x 轴，BC 中点为原点建立直角坐标系．设G 点坐标为()y x ，，由20=+GB GC ，知G 点的轨迹是以B 、C 为焦点的椭圆,且除去轴上两点.因10=a ,8=c ,有6=b ， 故其方程为 ()0136 1002 2≠=+y y x . (2）设()y x A ，，()y x G ''，,则 ()0136 1002 2≠'='+'y y x . ① 由题意有??? ????='='33 y y x x ，代入①，得A 的轨迹方程为()0132490022≠=+y y x ，其轨迹是椭圆（除去x 轴上两点）．
高中数学椭圆常考题目解题方法及练习2018高三专题复习-解析几何专题
高中数学椭圆常考题目解题方法及练习 2018高三专题复习-解析几何专题（2） 第一部分：复习运用的知识 （一）椭圆几何性质 椭圆第一定义:平面内与两定点21F F 、距离和等于常数()a 2(大于21F F ）的点的轨迹叫做椭圆. 两个定点叫做椭圆的焦点；两焦点间的距离叫做椭圆的焦距()c 2. 椭圆的几何性质:以()0122 22>>=+b a b y a x 为例 1. 范围: 由标准方程可知，椭圆上点的坐标()y x ,都适合不等式1,122 22≤≤b y a x ，即 b y a x ≤≤,说明椭圆位于直线a x ±=和b y ±=所围成的矩形里（封闭曲线）.该性质主要用于求最值、轨迹检验等问题. 2. 对称性:关于原点、x 轴、y 轴对称，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心。 3. 顶点（椭圆和它的对称轴的交点） 有四个： ()()()().,0B ,0B 0,0,2121b b a A a A 、、、-- 4. 长轴、短轴： 21A A 叫椭圆的长轴，a a A A ,221=是长半轴长； 21B B 叫椭圆的短轴，b b B B ,221=是短半轴长. 5. 离心率 （1）椭圆焦距与长轴的比a c e = ，()10,0<<∴>>e c a （2）22F OB Rt ?,2 22 22 22OF OB F B +=，即222c b a +=.这是椭圆的特征三角形，并且22cos B OF ∠的值是椭圆的离心率. （3）椭圆的圆扁程度由离心率的大小确定，与焦点所在的坐标轴无关.当e 接近于1时，c 越接近于a ，从而22c a b -=越小，椭圆越扁；当e 接近于0时，c 越
巧用椭圆的第二定义解题
巧用椭圆的第二定义解题 《普通数学课程标准》在圆锥曲线这一章较过去增加一种要求：即学生要根据方程的形式和图形特征等进行类比猜想，培养直觉思维与合情推理能力。增加这一要求是很科学的，因为很多圆锥曲线问题用代数法运算非常繁杂，而一旦抓住图形特征后，运用数形结合，则可以简化运算，大幅度提高解题效率，下面以椭圆为例说明。 例：已知椭圆的中心在原点，其左焦点为F （－2，0），左准线l 的方程为x=－22 3 ，PQ 是过F 且与x 轴不垂直的弦，PQ 的中点M 到左准线l 1：求椭圆的方程2：求证： d PQ 为定值 3：在l 上是否存在点R ，使?PQR 为正三角形 若存在，求出点R 的坐标，若不存在，说明理由 1：解析：易得椭圆的方程11 32 2=+y x 2：证明：如图，作PP / ⊥l 与P ，QQ / ⊥l 与Q ，则由椭圆的第二定义，易得 e PP PF =/ ，e QQ QF =/；于是PQ=PF+QF=ePP /＋eQQ / =2ed=362=定值 3：解析：此题若从代数角度入手，设直线的方程，联立的方程再用韦达定理，则运算繁杂，很多同学会丧失信心；若能抓住图形特征，运用椭圆的第二定义和正三角形的性质，则可化难为易。假设存在点R ，使?PQR 分线RM 也确定，所以RM 的斜率确定，可以考虑先求RM 即求倾斜角π－/ /MM Q ∠的大小， 而COS / / MM Q ∠=M Q MM //，由第2问的结论可得： COS / / MM Q ∠=M Q MM // = PQ PQ e 2 321= 2 231= e ，//MM Q ∠ 为45○ ，根据对称性，RM 的斜率应为1±，进而可得PQ 的方程及中点M 的坐标，再由点斜式求得RM 的方程，再联立左准线l 的方程x=－ 223
椭圆的解题方法和技巧
椭圆的解题方法和技巧 安徽省宿州市褚兰中学海平 一、椭圆的定义的应用椭圆的定义是用椭圆上的点到焦点的距离来描述的，因此在解题中凡涉及曲线上的点到焦点的距离时，应先想到用定义求解，常会有事半功倍之效。 例1 的三边、、成等差数列且满足，、两点的坐标分别是、。求顶点的轨迹。 分析：数列与解析几何相联系，往往构成综合性较大的题目，历来是高考考查的热点之一。 解析：∵ 、、成等差数列，∴ ，即，又，∴ 。 根据椭圆的定义，易得点的轨迹方程为。 又∵ ，∴ ，即， ∴ ，∴ 。 故点的轨迹是椭圆的一半，方程为（）。又当时， 点、、在同一条直线上，不能构成三角形，∴ 。 ∴点的轨迹方程为。评注：该例是先由条件找到动点所满足的几何关系，寻找出满足椭圆定义的条件，然后确定椭圆的方程。解题时，易忽略这一条件，因此易漏掉这一限制；由于、、三点构成三角形，故应剔除使、、共线的点。 例2 、椭圆上一点到两焦点、的距离之差为2 ，试判断的形状。 分析：由椭圆定义知，的和为定值，且二者之差为题设条件，故可求出的两边。解析：由，解得。
又，故满足。 ∴为直角三角形。 评注：由椭圆上一点与两个焦点构成的三角形，称作焦点三角形。利用焦点三角形能有意识地考查定义、三角形正（余）弦定理、内角和定理及面积公式能否灵活运用。 二、利用待定系数法确定椭圆的标准方程。 例3 、已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点 P1（ 6,1）, P2 （ 3, 2）,求椭圆的方程. 【解析】设椭圆方程为mx 2ny21（m>0,n>0 且m≠n）. ∵椭圆经过P1，P2点，∴ P1，P2点坐标适合椭圆方程，则① 6m+n=1 ，② 3m+2n=1 ，①②两式联立，解 得m= 1, n= 1. 93 22 ∴所求椭圆方程为x y 1 93 评注：运用待定系数法求椭圆标准方程,即设法建立关于a，b 的方程组，先定型、再定量，若位置不确定时，考虑是否两解，有时为了解题需要，椭圆方程可设为mx2+ny2=1 （m >0,n>0,m≠n），由题目所给条件求出m，n 即可.
2014年高考椭圆综合题做题技巧与方法总结
2014年高考椭圆综合题做题技巧与方法总结 知识点梳理： 1. 椭圆定义： （1）第一定义：平面内与两个定点21F F 、的距离之和为常数|)|2(222F F a a >的动点P 的轨迹叫椭圆,其中两个定点21F F 、叫椭圆的焦点. 当21212F F a PF PF >=+时, P 的轨迹为椭圆 ; ; 当21212F F a PF PF <=+时, P 的轨迹不存在; 当21212F F a PF PF ==+时, P 的轨迹为 以21F F 、为端点的线段 （2）椭圆的第二定义:平面内到定点F 与定直线l (定点F 不在定直线l 上)的距离之比是常数e (10<
准线 c a x 2 ±= c a y 2 ±= 考点1 椭圆定义及标准方程 题型1:椭圆定义的运用 [例1 ] 椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A 、B 是它的焦点，长轴长为2a ，焦距为2c ，静放在点A 的小球（小球的半径不计），从点A 沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A 时，小球经过的路程是 A ．4a B ．2(a －c) C ．2(a+c) D ．以上答案均有可能 [解析]按小球的运行路径分三种情况: (1)A C A --,此时小球经过的路程为2(a －c); (2)A B D B A ----, 此时小球经过的路程为2(a+c); (3)A Q B P A ----此时小球经过的路程为4a,故选D 总结：考虑小球的运行路径要全面 练习 1.短轴长为5，离心率3 2 = e 的椭圆两焦点为F 1，F 2，过F 1作直线交椭圆于A 、B 两点，则△ABF 2的周长为 （ ） A.3 B.6 C.12 D.24 [解析]C. 长半轴a=3，△ABF 2的周长为4a=12 2.已知P 为椭圆22 12516 x y +=上的一点，,M N 分别为圆22(3)1x y ++=和圆 22(3)4x y -+=上的点，则PM PN +的最小值为（ ） A ． 5 B ． 7 C ．13 D ． 15 [解析]B. 两圆心C 、D 恰为椭圆的焦点，10||||=+∴ PD PC ，PM PN +的最小值为10-1-2=7 题型2 求椭圆的标准方程 [例2 ]设椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴，一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的端点距离为24－4，求此椭圆方程. 【解题思路】将题中所给条件用关于参数c b a ,,的式子“描述”出来 [解析]设椭圆的方程为122 22=+b y a x 或)0(12222>>=+b a a y b x ， O x y D P A B C Q
巧用圆锥曲线定义解题教学设计
巧用圆锥曲线定义解题(教学设计) 南浔中学沈爱华 一、教材分析：圆锥曲线作为高中数学的一个重要内容，是历年高考的必考点，同时它又是高中数学各骨干知识的交汇点，与函数、平面向量、方程、不等式、三角函数等均有紧密联系。圆锥曲线的定义是根本，是相应标准方程和几何性质的“源”，不能正确的理解定义，对圆锥曲线方程和几何性质就不能深入。而且圆锥曲线的定义反映着它特有的几何特征，这些定义在解题中起着不可忽视的作用。对圆锥曲线的定义的教学我们往往注重它的理解而忽略它的运用，恰当地运用定义解题，有助于使问题得到更清晰、简洁的解决。同时理解圆锥曲线的定义，是学生掌握椭圆、双曲线、抛物线的标准方程和几何性质的基础；熟练运用定义解题，可以培养学生运用方程研究曲线几何性质的能力。 二、学生情况分析：作为普通中学的高三学生，对圆锥曲线的定义已有一定的理解，但在运用圆锥曲线定义解题的方法、题型没有掌握好，圆锥曲线的定义反映了圆锥曲线的本质属性,它是无数次实践后的高度抽象。恰当地利用定义解题, 许多时候能以简驭繁。因此,在高三数学复习课的教学过程中，我认为有必要再一次回到定义,熟悉“巧用圆锥曲线定义解题”这一重要的解题策略。 三、设计思想：由于这部分知识较为抽象,难以理解.如果离开感性认识,容易使学生陷入困境,降低学习热情.在教学时,我首先复习圆锥曲线的定义，使学生进一步理解定义；然后有意识地引导学生运用定义解题来分类研究学习，利用一般解题方法处理习题, 针对学生练习中产生的问题,进行点评,强调“双主作用”的发挥.引导学生主动发现问题、解决问题,主动参与教学,以使学生提高运用知识解决问题的能力。 四、教学目标：1.深刻理解并熟练掌握圆锥曲线的定义，能灵活应用定义解决问题；熟练掌握焦点坐标、顶点坐标、焦距、离心率、渐近线等概念和求法；能结合平面几何的基本知识求解圆锥曲线的方程。 2.通过对练习,强化对圆锥曲线定义的理解，培养思维的深刻性、创造性、科学性和批判性,提高学生分析、解决问题的能力；通过对问题的不断引申,精心设问,引导学生学习解题的一般方法及联想、类比、猜测、证明等合情推理方法. 3．借助导学案辅助教学,激发学生学习数学的兴趣。在课堂教学氛围中,努力培养学生敢想、敢说、勇于探索、发现、创新的精神. 五、教学重点：圆锥曲线定义的理解，运用该定义解题的方法与题型的掌握。 六、教学方法：讲授法、讲练结合 七、教学过程： （一）、复习圆锥曲线的定义 椭圆定义：平面内与两个定点距离的和等于定值的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，
好用的高中数学椭圆解题方法
一些好用的高中数学椭圆解题方法 一、设点或直线 做题一般都需要设点的坐标或直线方程，其中点或直线的设法有很多种。其中点可以设为 , 等，如果是在椭圆 上的点，还可以设为 。一般来说，如果题目中只涉及到唯一一个椭圆上的的动点，这个点可以设为 。还要注意的是，很多点的坐标都是设而不求的。对于一条直线，如果过定点 并且不与y轴平行，可以设点斜式 ,如果不与x轴平行，可以设 ，如果只是过定点，可以设参数方程 ，其中α是直线的倾斜角。一般题目中涉及到唯一动直线时可以设直线的参数方程。二、转化条件 有的时候题目给的条件是不能直接用或直接用起来不方便的，这时候就需要将这些条件转化一下。对于一道题来说这是至关重要的一步，如果转化得巧，可以极降低运算量。比如点在圆上可以转化为向量点乘得零，三点共线可以转化成两个向量平行，某个角的角平分线是一条水平或竖直直线则这个角的两条边斜率和是零。 有的题目可能不需要转化直接带入条件解题即可，有的题目给的条件可能有多种转化方式，这时候最好先别急着做题，多想几种转化方法，估计一下哪种方法更简单。 三、代数运算 转化完条件就剩算数了。很多题目都要将直线与椭圆联立以便使用一元二次方程的韦达定理，但要注意并不是所有题目都是这样。有的题目可能需要算弦长，可以用弦长公式 ，设参数方程时，弦长公式可以简化为 解析几何中有时要求面积，如果O是坐标原点，椭圆上两点A、B坐标分别为 和 ，AB与x轴交于D，则
(d是点O到AB的距离；第三个公式是我自己推的，教材上没有，解答题慎用)。 解析几何中很多题都有动点或动直线。如果题目只涉及到一个动点时，可以考虑用参数设点。若是只涉及一个过定点的动直线，题目中又涉及到求长度面积之类的东西，这时设直线的参数方程会简单一些。 在解析几何中还有一种方法叫点差法，设椭圆上两个点的坐标，将两点在椭圆上的方程相减，整理即可得到这两点的中点的横纵坐标与这两点连线的斜率的关系式。 四、能力要求 做解析几何题，首先对人的耐心与信心是一种考验。在做题过程中可能遇到会一大长串的式子要化简，这时候，只要你方向没错，坚持算下去肯定能看到最终的结果。另外运算速度和准确率也是很重要的，在真正考试的时候肯定不像平时做题的时候能容你慢慢做题，因此需要有一定的做题速度，在做题的时候运算准确也是必须要保证的，因为一旦算错数，就很可能功亏一篑。 五、理论拓展 这一部分主要说一些对做题有帮助的公式、定理、推论等容 关于直线： 1、将直线的两点式整理后，可以得到这个方程: 。据此可以直接写出过 和 两点的直线，至于这两点连线是否与x轴垂直，是否与y轴垂直都没有关系。对于一些坐标很复杂的点，可以直接代入这个方程便捷的得到过两点的直线。 2、直线一般式Ax+By+C=0表示的这条直线和向量（A,B）垂直；过定点 的直线的一般式可以写为 。根据这两条推论可以快速地写出两点的垂直平分线的方程。 关于椭圆： 3、椭圆 的焦点弦弦长为 （其中α是直线的倾斜角，k是l的斜率）。右焦点的焦点弦中点坐标为 ，将横纵坐标都取相反数可得左焦点弦的中点坐标。 4、根据椭圆的第二定义，椭圆上的点到焦点的距离与到同一侧的准线的距离之商等于椭圆的离心率。椭圆 的准线是
利用圆锥曲线的统一定义解题
利用圆锥曲线的统一定义解题 圆锥曲线的统一定义揭示了圆锥曲线的内在联系，使焦点、离心率、准线等构成了一个和谐的整体。恰当而灵活运用统一定义来解题，往往能化难为易，化繁为简，起到事半功倍的效果．下面谈一谈圆锥曲线的统一定义的解题功能。 一、“统一定义”活解曲线方程 例1、已知圆锥曲线过点(4,8)P --，它的一个焦点(4,0)F -，对应这个焦点的准线方程为4x =，求这条曲线的轨迹方程． 解：设(,)M x y 为该圆锥曲线上任一点，由统一定义得：4 44 MF PF x =---，即 0)= 216y x =-，故所求曲线的方程为216y x =- 点评：利用圆锥曲线的统一定义来解，体现问题的本质，避免不必要的讨论，解题过程简捷．求圆锥曲线的轨迹方程时，涉及到焦点、准线、离心率和曲线上点4个条件中的3个，往往用圆锥曲线的统一定义解． 练习1：在平面内到定点（0，4）的距离比它到定直线5y =-的距离小1的动点的轨迹方程。 解：由题设可知：平面内动点到定点（0，4）的距离等于到定直线4y =-距离，由“统一定义”可知，动点的轨迹是以（0，4）为焦点，4y =-为准线的一条抛物线，其方程为216x y =。 二、“统一定义”妙解圆锥曲线的最值 例2、已知点(2,1)A 在椭圆内，F 的坐标为(2,0)，在椭圆上求一点P ，使||2||P A P F +最小． 分析：如果直译，很难使问题得到解决．根据所提供数据的特点，已知椭圆的离心率为 1 2 ，而表达式||2||PA PF +中有系数２，可以考虑构造表达式||2||PA PF +的几何意义，紧扣椭圆的定义解答． 解：设椭圆上点P 到准线的距离为d ，则 1 2 PF e d ==，即2||d PF =，则问题转化为，在椭圆上求一点，使它到焦点F 与对应准线的距离之和最小，如图６，根据平面几何中的“垂线段最短”的性质，作2AM 垂直于准线，其与椭圆的交点即为所求点P ，故设 (,1)P x ，代入椭圆方程得x =P 为所求． 点评：根据椭圆的第二定义，通过离心率把到焦点的距离与到对应准线的距离之间进行 转化，结合图形的性质，探求解题方法，优化解题过程。 练习2：已知点A （3，0）、F （2，0），在双曲线22 13y x -=上求一点P ，使1 ||||2 P A P F + 的值最小。 解：1,2,2a b c e ==∴=∴=。设点P 到与焦点F （2，0）相应的准线的距离为d ，则 ||2PF d =。∴1 ||2 PF d =。1||||||2PA PF PA d ∴+=+，这问题就转化为在双曲线上求点P ，
例谈椭圆定义在解题中的应用
例谈椭圆定义在解题中的应用 定义是揭示事物的本质属性，对于某些数学问题，若能灵活运用定义解题，往往事半功倍，本文举例说明椭圆定义在解题中的应用。 一、解方程 例1 x x x x 2 2 22224-++++= 分析：常规方法是经过两次平方去根号求解，但运算繁杂，难免不出错。如果联想到椭圆的第一定义，将方程配方后令12=y ，得()()x y x y -++ ++=114222 2 ， 则点M （x ，y ）的轨迹是以F 1（-1，0），F 2（1，0）为焦点，长轴长为4的椭圆，从而原方程的解等价于已知椭圆上点的纵坐标去求它们的横坐标。 解：由原方程可得 y x y x y 222 2 2 1114 =-++ ++=?? ???()() ?+==??? ? ?x y y 22 243 11 解得x =± 263 二、判断方程表示的曲线 例2 已知x y R 、∈，且满足x x y x y 224412 2-++=+-||，试判断点M 的轨迹是怎样 的曲线。 分析：若将原方程平方，化简后并不能直接判断出轨迹是什么曲线，注意式子结构的特点，左边可看成点M 到点（2，0）的距离，从而可联想右边可化为点M 到直线x y +-=20的距离，即有 () || x y x y -++-= 222 22 2 2 ，由此联想到椭圆的第二定义，就很简单地求出点M 的 轨迹是椭圆。 三、求参数的取值范围 例3 （2004年高考·全国卷III ）设椭圆 x m y 2 2 1 1++=的两个焦点是F 1（-c ，0）、F 2（c ， 0）（c>0），且椭圆上存在点P ，使得直线PF 1与直线PF 2垂直，求m 的取值范围。 解：由题意知m>0，a m b = +=11，，c m = ，且 ||||||||||PF PF F F c PF PF a 12221222 1242+==+=?? ???① ② ②2－①得： ||||PF PF a c b 12222222?=-=
用椭圆的定义解题
用椭圆的定义解题 舒云水 椭圆的定义是椭圆最本质属性的反映，用椭圆定义解决一些数学题，十分简捷明快﹒ 1.求离心率 例 1 过椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于点P ，2F 为右焦点，若1260F PF ?∠=，则椭圆的离心率为 A B .3 C .12 D .13 解析：根据椭圆定义知122PF PF a +=，在12Rt PF F 中，由1260F PF ?∠=，得212PF PF =﹒从而132PF a =，123PF a =，243PF a =﹒利用勾股定理得2221122PF F F PF +=，即()2 2224233a c a ????+= ? ?????﹒由此得 e 3 c a ==﹒选B ﹒ 点评 本题运用椭圆定义和直角 12PF F 的边角关系，转化为a 和 c 的关系，从而得到要求的离心率﹒ 2.求轨迹方程 例 2 动圆与定圆224320x y y ++-=内切且过圆内的一个定点(02)A ，，求动圆圆心P 的轨迹方程﹒ 解析：由题设条件知：动圆与定圆内切，又由于动圆过定点A ，于是必有动圆圆心P 到定点A 与到定圆圆心的距离之和等于定圆半径，根据椭圆定义知动圆圆心P 的轨迹为椭圆﹒
由224320x y y ++-=得：22(2)36x y ++=，圆心B 为(0,2)-，半径为6﹒设动点(,)P x y ，动圆半径为PA ，由于动圆与定圆内切，所以PA + PB =6，因此动圆圆心P 到两定点(02)A ， ，B (0,2)-的距离之和为6﹒根据椭圆定义知：点P 的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆且26a =，24c =﹒ ∴3a =，2c =，∴25b =﹒ ∴动圆圆心的轨迹方程为22159 x y +=﹒ 点评：根据圆的有关知识发现6PA PB +=是解决本题的关键，再根据椭圆的定义易知点P 的轨迹为椭圆﹒ 3.求最值 例 3 已知(4,0)A ，(2,2)B 是椭圆221259 x y +=内的点，M 是椭圆上的动点，求MA MB +的最大值与最小值﹒ 解析：由于(4,0)A 是椭圆的一个焦点，设(4,0)A '-是椭圆的另一个焦点，根据椭圆定义得： 10MA MA '+=﹒ ∴MA MB +=10MA MB '-+10MB MA '=+-﹒ 分别延长线段A B '、BA '交椭圆于N 、P 两点，根据三角形两边之差小于第三边的知识知： 当M 在点N 处时，MB MA '-取最小值A B '-=- 当 M 在点P 处时，MB MA '-取最大值A B '= 即：MB MA '-≤-≤﹒
椭圆经典例题分类汇总
1. 椭圆第一定义的应用 例1椭圆的一个顶点为 A 2,0，其长轴长是短轴长的 2倍，求椭圆的标准方程. 分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置. 解：（1 ）当A 2,0为长轴端点时，a 2 , b 1 , 椭圆的标准方程为: （2）当A 2,0为短轴端点时, 说明：椭圆的标准方程有两个，给出一个顶点的坐标和对称轴的位置，是不能确定椭圆的横竖 的，因而要考虑两种情况. 2 2 例2已知椭圆— 匚 1的离心率e k 8 9 分析：分两种情况进行讨论. 由e 1，得」1，即 2 9 4 k 5 0, 得3 k 5，故k 的取值范围是3 k 5. 3 k 0, 椭圆经典例题分类汇总 2 2 例3 已知方程 x y 1表示椭圆，求k 的取值范围 k 5 3 k k 5 0, 解: 由3 k 0, 得3 k 5，且 k 4. k 5 3 k, ?满足条件的k 的取值范围是3 椭圆的标准方程为: 2 2 x y 4 16 ，求k 的值. 解：当椭圆的焦点在x 轴上时, a 2 b 2 9，得 c 2 k 1 .由 e 当椭圆的焦点在y 轴上时, b 2 得c 2 ???满足条件的k 4或k 4 说明：本题易出现漏解?排除错误的办法是： 可能在x 轴上，也可能在 y 轴上.故必须进行讨论. 因为 k 8与9的大小关系不定, 所以椭圆的焦点 k 5,且 k 4. 出错的原因是没有注意椭圆的标准方程中 a b 0这个条件，当a b 时，并不表示椭圆. 2 2 例4 已知 x sin y cos 1 (0 ）表示焦点在y 轴上的椭圆，求 的取值范围. 说明：本题易出现如下错解：由
椭圆知识梳理和应用和解题方法步骤
圆锥曲线 圆锥曲线分三大部分：椭圆，双曲线和抛物线 （一）椭圆 椭圆分三大部分：基本量的应用、利用椭圆的基本量解决焦点三角形问题、直线和椭圆的相交问题 一、椭圆的知识梳理 二、椭圆的标准方程和统一方程 三、椭圆的离心率 e= c/a ( 0
椭圆经典精讲例题详细答案
椭圆经典精讲 1、基本概念、基本图形、基本性质 题1、 题面：集合}12|),{(}4|),{(2 2 2 2 =+==+=y x y x B y x y x A 与的关系可表述为（ ）. A.A B A =I B.A B ? C.B A ? D.A ∩B = ? 答案：D. 变式一 题面： 设双曲线的左，右焦点为F 1，F 2，左，右顶点为M ，N ，若△PF 1F 2的一个顶点P 在双曲线上，则△PF 1F 2的切圆与边F 1F 2的切点的位置是( ) A ．在线段MN 的部 B ．在线段F 1M 的部或NF 2部 C ．点N 或点M D ．以上三种情况都有可能 答案：C. 详解： 若P 在右支上，并设切圆与PF 1，PF 2的切点分别为A ，B ，则|NF 1|－|NF 2|＝|PF 1|－|PF 2|＝(|P A |＋|AF 1|)－(|PB |＋|BF 2|)＝|AF 1|－|BF 2|. 所以N 为切点，同理P 在左支上时，M 为切点． 变式二 题面： 若直线mx ＋ny ＝4和圆O ：x 2＋y 2＝4 没有交点，则过点(m ，n )的直线与椭圆x 29＋ y 2 4 ＝1的交点个数为( ) A ．至多1个 B ．2个 C ．1个 D ．0个 答案：B. 详解： 由题意得 4 m 2＋n 2 ＞2，即m 2＋n 2＜4，则点(m ，n )在以原点为圆心，以2为半径的圆，此圆在椭圆x 29＋y 2 4＝1的部． 题2、
题面：如图，倾斜圆柱形容器，液面的边界近似一个椭圆。 若容器底面与桌面成角为60o ，则这个椭圆的离心率是 。 答案： 解题步骤： 由图，短轴就是径2r ，长轴为4r ， 即：2,,a r b r c ===， 2 e =. 变式一 题面： 已知椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)的两顶点为A (a,0)，B (0，b )，且左焦点为F ，△F AB 是 以角B 为直角的直角三角形，则椭圆的离心率e 为( ) A. 3－1 2 B.5－1 2 C.1＋54 D. 3＋1 4 答案：B. 详解： 由题意得a 2＋b 2＋a 2＝(a ＋c )2，即c 2＋ac －a 2＝0，即e 2＋e －1＝0，解得e ＝－1±5 2. 又e ＞0，故所求的椭圆的离心率为5－1 2 . 变式二 题面： 60o 4r 2r
椭圆的定义与标准方程基础练习(含答案)
椭圆的定义与标准方程 一．选择题（共19小题） 1．若F1（3，0），F2（﹣3，0），点P到F1，F2距离之和为10， 则P点的轨迹方程是（） A．B． C．D．或 2．一动圆与圆x2+y2+6x+5=0及圆x2+y2﹣6x﹣91=0都内切，则动圆圆心的轨迹是（）A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．圆 3．椭圆上一点P到一个焦点的距离为5，则P 到另一个焦点的距离为（）A．4B．5C．6D．10 4．已知坐标平面上的两点A（﹣1，0）和B（1，0），动点P到A、B两点距离之和为常数2，则动点P的轨迹是（） A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．线段 5．椭圆上一动点P到两焦点距离之和为（） A．10 B．8C．6D．不确定
6．已知两点F1（﹣1，0）、F2（1，0），且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，则动点P的轨迹方程是（） A．B．C．D． 7．已知F1、F2是椭圆=1的两焦点，经点F2的直线交椭圆于点A、B，若|AB|=5，则|AF1|+|BF1|等于（） A．16 B．11 C．8D．3 8．设集合A={1，2，3，4，5}，a，b∈A，则方程表示焦点位于y轴上的椭圆（） A．5个B．10个C．20个D．25个 9．方程=10，化简的结果是（） A．B．C．D． 10．平面内有一长度为2的线段AB和一动点P，若满足|PA|+|PB|=8，则|PA|的取值范围是（） A．[1，4]B．[2，6]C．[3，5]D．[3，6] 11．设定点F1（0，﹣3），F2（0，3），满足条件|PF1|+|PF2|=6，则动点P的轨迹是（）A．椭圆B．线段 C．椭圆或线段或不存在D．不存在
巧用椭圆的第二定义解题
巧用椭圆的第二定义解题 《普通数学课程标准》在圆锥曲线这一章较过去增加一种要求：即学生要根据方程的形式和图形特征等进行类比猜想，培养直觉思维与合情推理能力。增加这一要求是很科学的，因为很多圆锥曲线问题用代数法运算非常繁杂，而一旦抓住图形特征后，运用数形结合，则可以简化运算，大幅度提高解题效率，下面以椭圆为例说明。 例：已知椭圆的中心在原点，其左焦点为F （－2，0），左准线l 的方程为x =－22 3 ，PQ 是过F 且与x 轴不垂直的弦，PQ 的中点M 到左准线l 1：求椭圆的方程2：求证： d PQ 为定值 3：在l 上是否存在点R ，使?PQR 为正三角形 若存在，求出点R 的坐标，若不存在，说明理由 1：解析：易得椭圆的方程 11 32 2=+y x 2：证明：如图，作PP /⊥l 与P ，QQ /⊥l 与Q ，则由椭圆的第二定义，易得 e PP PF =/，e QQ QF =/ ；于是PQ=PF+QF=ePP /＋eQQ / =2ed=362=定值 3：解析：此题若从代数角度入手，设直线的方程，联立的方程再用韦达定理，则运算繁杂，很多同学会丧失信心；若能抓住图形特征，运用椭圆的第二定义和正三角形的性质，则可化难为易。假设存在点R ，使?PQR 为正三角形，且椭圆固定，则PQ 确定，于是PQ 的垂直平分线RM 也确定，所以RM 的斜率确定，可以考虑先求RM 即求倾斜角π－/ /MM Q ∠的大小， 而COS / / MM Q ∠=M Q MM // ，由第2问的结论可得： COS //MM Q ∠= M Q MM / / =PQ PQ e 321= 2 2 31= e ，//MM Q ∠为45○ ，根据对称性，RM 的斜率应为1±，进而可得PQ 的方程及中点M 的坐标，再由点斜式求得RM 的方程，再联立左准线l 的方程x =－ 223变题：已知椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x ，PQ 是过 F 且与x 轴不垂直的弦，若在其左准线l 上存在点 R 使?PQR 为正三角形，求椭圆的离心率的范围。 解析：同上，由椭圆的第二定义和正三角形的性质， RM 3
巧用定义求椭圆中四类最值问题(精)
巧用定义求椭圆中四类最值问题 聂文喜 圆锥曲线的定义既是推导圆锥曲线标准方程的依据，又是用来解决一些问题的重要方法，一般情况下，当问题涉及焦点或准线，且用其它方法不易求解时，可考虑运用定义求解，下面以椭圆为例归纳四类最值问题。 一、的最值 若A为椭圆内一定点（异于焦点），P是C上的一个动点，F是C的一个焦点，e 是C的离心率，求的最小值。 例1. 已知椭圆内有一点A（2，1），F是椭圆C的左焦点，P为椭圆C上的动点，求的最小值。 分析：注意到式中的数值“”恰为，则可由椭圆的第二定义知等于椭圆上的点P到左准线的距离。这种方法在本期《椭圆中减少运算量的主要方法》 一文中已经介绍过，这里不再重复，答案为。 二、的最值 若A为椭圆C内一定点（异于焦点），P为C上的一个动点，F是C的一个焦点，求的最值。 例2. 已知椭圆内有一点A（2，1），F为椭圆的左焦点，P是椭圆上动点，求的最大值与最小值。 解：如图1，设椭圆的右焦点为，可知其坐标为（3，0）
图1 由椭圆的第一定义得： 可知，当P为的延长线与椭圆的交点时，最大，最大值为，当P为的延长线与椭圆的交点时，最小，最小值为。 故的最大值为，最小值为。 三、的最值 若A为椭圆C外一定点，为C的一条准线，P为C上的一个动点，P到的距离为d，求的最小值。 例3. 已知椭圆外一点A（5，6），为椭圆的左准线，P为椭圆上动点，点P到的距离为d，求的最小值。 解：如图2，设F为椭圆的左焦点，可知其坐标为 图2 根据椭圆的第二定义有：，即 可知当P、F、A三点共线且P在线段AF上时，最小，最小值。
故的最小值为10。 四、椭圆上定长动弦中点到准线距离的最值 例4. 定长为的线段AB的两个端点分别在椭圆 上移动，求AB的中点M到椭圆右准线的最短距离。 解：设F为椭圆的右焦点，如图3，作于A”，BB”⊥于B”，MM”⊥于M” 图3 则 当且仅当AB过焦点F时等号成立。 故M到椭圆右准线的最短距离为。 评注：是椭圆的通径长，是椭圆焦点弦长的最小值，是AB能过焦点的充要条件。