实验数据误差分析与数据处理
第一章实验数据误差分析与数据处理
第一节实验数据误差分析
一、概述
由于实验方法和实验设备的不完善，周围环境的影响，以及人的观察力，测量程序等限制，实
验测量值和真值之间，总是存在一定的差异，在数值上即表现为误差。为了提高实验的精度，
缩小实验观测值和真值之间的差值，需要对实验数据误差进行分析和讨论。
实验数据误差分析并不是即成事实的消极措施，而是给研究人员提供参与科学实验的积极武器，
通过误差分析，可以认清误差的来源及影响，使我们有可能预先确定导致实验总误差的最大组
成因素，并设法排除数据中所包含的无效成分，进一步改进实验方案。实验误差分析也提醒我
们注意主要误差来源，精心操作，使研究的准确度得以提高。
二、实验误差的来源
实验误差从总体上讲有实验装置（包括标准器具、仪器仪表等）、实验方法、实验环境、实验人员和被测量五个来源。
1. 实验装置误差
测量装置是标准器具、仪器仪表和辅助设备的总体。实验装置误差是指由测量装置产生的测量
误差。它来源于：
（1））标准器具误差
标准器具是指用以复现量值的计量器具。由于加工的限制，标准器复现的量值单位是有误差的。例如，标准刻线米尺的0 刻线和1 000 mm 刻线之间的实际长度与 1 000 mm 单位是有差异的。又如，标称值为1kg 的砝码的实际质量（真值）并不等于1kg 等等。
（2））仪器仪表误差
凡是用于被测量和复现计量单位的标准量进行比较的设备，称为仪器或仪表．它们将被测量转
换成可直接观察的指示值。例如，温度计、电流表、压力表、干涉仪、天平，等等。
由于仪器仪表在加工、装配和调试中，不可避免地存在误差，以致仪器仪表的指示值不等于被
测量的真值，造成测量误差。例如，天平的两臂不可能加工、调整到绝对相等，称量时，按天
平工作原理，天平平衡被认为两边的质量相等。但是，由于天平的不等臂，虽然天平达到平衡，
但两边的质量并不等，即造成测量误差。
（3））附件误差
为测量创造必要条件或使测量方便地进行而采用的各种辅助设备或附件，均属测量附件。如电
测量中的转换开关及移动测点、电源、热源和连接导线等均为测量附件，且均产生测量误差。
又如，热工计量用的水槽，作为温度测量附件，提供测量水银温度计所需要的温场，由于水槽
内各处温度的不均匀，便引起测量误差，等等。
按装置误差具体形成原因，可分为结构性的装置误差、调整性的装置误差和变化性的装置误差。结
构性的装置误差如：天平的不等臂，线纹尺刻线不均匀，量块工作面的不平行性，光学零件
的光学性能缺陷，等等。这些误差大部分是由于制造工艺不完善和长期使用磨损引起的。调整
性的装置误差如投影仪物镜放大倍数调整不准确，水平仪的零位调整不准确，千分尺的零位调
整不准确，等等。这些误差是由于仪器仪表在使用时，未调整到理想状态引起的。变化性的装
置误差如：激光波长的长期不稳定性，电阻等元器件的老化，晶体振荡器频率的长期漂移，等
等。这些误差是由于仪器仪表随时间的不稳定性和随空间位置变化的不均匀性造成的。
2. 环境误差
环境误差系指测量中由于各种环境因素造成的测量误差。
被测量在不同的环境中测量，其结果是不同的。这一客观事实说明，环境对测量是有影响的，
是测量的误差来源之一。环境造成测量误差的主要原因是测量装置包括标准器具、仪器仪表、
测量附件同被测对象随着环境的变化而变化着。
测量环境除了偏离标准环境产生测量误差以外，从而引起测量环境微观变化的测量误差。
3. 方法误差
方法误差系指由于测量方法（包括计算过程）不完善而引起的误差。
事实上，不存在不产生测量误差的尽善尽美的测量方法。由测量方法引起的测量误差主要有下
列两种情况：
第一种情况：由于测量人员的知识不足或研究不充分以致操作不合理，或对测量方法、测量程
序进行错误的简化等引起的方法误差。
第二种情况：分析处理数据时引起的方法误差。例如，轴的周长可以通过测量轴的直径d，然后由公式：L＝πd 计算得到。但是，在计算中只能取其近似值，因此，计算所得的L 也只能是近似值，从而引起周长L 的误差。
4. 人员误差
人员误差系指测量人员由于生理机能的限制，固有习惯性偏差以及疏忽等原因造成的测量误差。由
于测量人员在长时间的测量中，因疲劳或疏忽大意发生看错、读错、听错、记错等错误造成
测量误差，这类误差往往相当大是测量所不容许的。为此，要求测量人员养成严格而谨慎的习
惯，在测量中认真操作并集中精力，从制度上规定，对某些准确性较高而又重要的测量，由另
一名测量人员进行复核测量。
5. 测量对象变化误差
被测对象在整个测量过程中处在不断地变化中。由于测量对象自身的变化而引起的测量误差称
为测量对象变化误差。
例如，被测温度计的温度，被测线纹尺的长度，被测量块的尺寸等，在测量过程中均处于不停
地变化中，由于它们的变化，使测量不准而带来误差。
三、误差的分类
误差是实验测量值（包括间接测量值）与真值（客观存在的准确值）之差别，误差可以分为下
面三类：
1. 系统误差
由某些固定不变的因素引起的。在相同条件下进行多次测量，其误差的数值大小正负保持恒定，或误差随条件按一定规律变化。单纯增加实验次数是无法减少系统误差的影响，因为它在反复
测定的情况下常保持同一数值与同一符号，故也称为常差。系统误差有固定的偏向和确定的规
律，可按原因采取相应的措施给予校正或用公式消除。
2. 随机误差（偶然误差）
由一些不易控制的因素引起，如测量值的波动，肉眼观察误差等等。随机误差与系统误差不同，其误差的数值和符号不确定，它不能从实验中消除，但它服从统计规律，其误差与测量次数有
关。随着测量次数的增加，出现的正负误差可以相互抵消，故多次测量的算术平均值接近于真
值。
3. 过失误差
由实验人员粗心大意，如读数错误，记录错误或操作失误引起。这类误差与正常值相差较大，
应在整理数据时加以剔除。
四、实验数据的真值与平均值
1. 真值
真值是指某物理量客观存在的确定值，它通常是未知的。虽然真值是一个理想的概念，但对某
一物理量经过无限多次的测量，出现的误差有正、有负，而正负误差出现的概率是相同的。因
此，若不存在系统误差，它们的平均值相当接近于这一物理量的真值。故真值等于测量次数无
限多时得到的算术平均值。由于实验工作中观测的次数是有限的，由此得出的平均值只能近似
于真值，故称这个平均值为最佳值。
2. 平均值
油气储运实验中常用的平均值有：
（1 ）算术平均值
设x 1,x2 ,.，x n 为各次测量值，n 为测量次数，则算术平均值为：
算术平均值是最常用的一种平均值，因为测定值的误差分布一般服从正态分布，可以证明算术
平均值即为一组等精度测量的最佳值或最可信赖值。
(2) 均方根平均值
(3) 几何平均值
五、误差的表示方法
1. 绝对误差
测量值与真值之差的绝对值称为测量值的误差，即绝对误差。在实际工作中常以最佳值代替真
值，测量值与最佳值之差称为残余误差，习惯上也称为绝对误差。
设测量值用x 表示，真值用X 表示，则绝对误差 D 为
D=|X-x|
如在实验中对物理量的测量只进行了一次，可根据测量仪器出厂鉴定书注明的误差，或取测量
仪器最小刻度值的一半作为单次测量的误差。如某压力表精（确）度为 1.5 级，即表明该仪表最大误差为相当档次最大量程的 1.5% ，若最大量程为0.4MPa ，该压力表的最大误差为：
0.4 ×1.5%=0.006MPa
如实验中最常用的U 形管压差计、转子流量计、秒表、量筒等仪表原则上均取其最小刻度值为
最大误差，而取其最小刻度值的一半作为绝对误差计算值。
2. 相对误差
绝对误差D 与真值的绝对值之比，称为相对误差：
式中真值X 一般为未知，用平均值代替。
3. 算术平均误差
算术平均误差的定义为：
x i——测量值，i=1,2,3, . ，n ；
d i——测量值与算术平均值（x ）之差的绝对值， d i= x x i . 。
4. 标准误差（均方误差）
对有限测量次数，标准误差表示为：
标准误差是目前最常用的一种表示精确度的方法，它不但与一系列测量值中的每个数据有关，
而且对其中较大的误差或较小的误差敏感性很强，能较好地反映实验数据的精确度，实验愈精
确，其标准误差愈小。
六、精密度、正确度和准确度
1、精密度
精密度是指对同一被测量作多次重复测量时，各次测量值之间彼此接近或分散的程度。它是对随机误差的描述，它反映随机误差对测量的影响程度。随机误差小，测量的精密度
就高。如果实验的相对误差为0.01% 且误差由随机误差引起，则可以认为精密度为10 -4。
2、正确度
正确度是指被测量的总体平均值与其真值接近或偏离的程度。它是对系统误差的描述，它反映系统误差对测量的影响程度。系统误差小，测量的正确度就高。如果实验的相对误差为0.01% 且误差由系统误差引起，则可以认为正确度为10 -4 。
3、准确度
准确度是指各测量值之间的接近程度和其总体平均值对真值的接近程度。它包括了精
密度和正确度两方面的含义。它反映随机误差和系统误差对测量的综合影响程度。只有随
机误差和系统误差都非常小，才能说测量的准确度高。若实验的相对误差为0.01% 且误差由系统误差和随机误差共同引起，则可以认为精确度为10 -4。
七、实验数据的有效数与记数法
任何测量结果或计算的量，总是表现为数字，而这些数字就代表了欲测量的近似值。究竟对这
些近似值应该取多少位数合适呢？应根据测量仪表的精度来确定，一般应记录到仪表最小刻度
的十分之一位。例如：某液面计标尺的最小分度为1mm ，则读数可以到0.1mm 。如在测定时液位高在刻度524mm 与525mm 的中间，则应记液面高为524.5mm ，其中前三位是直接读出的，是准确的，最后一位是估计的，是欠准的，该数据为 4 位有效数。如液位恰在524mm 刻度上，该数据应记为524.0mm ，若记为524mm ，则失去一位（末位）欠准数字。
总之，有效数中应有而且只能有一位（末位）欠准数字。
由上可见，当液位高度为524.5mm 时，最大误差为±0.5mm ，也就是说误差为末位的一半。
在科学与工程中，为了清楚地表达有效数或数据的精度，通常将有效数写出并在第一位数后加
小数点，而数值的数量级由10 的整数幂来确定，这种以10 的整数幂来记数的方法称科学记数法。例如：0.0088 应记为8.8 ×10-3 ，88000 （有效数3 位）记为8.80 ×10 4。应注意科学记数法中，在10 的整数幂之前的数字应全部为有效数。
有效数字进行运算时，运算结果仍为有效数字。总的规则是：可靠数字与可靠数字运
算后仍为可靠数字，可疑数字与可疑数字运算后仍为可疑数字，可靠数字与可疑数字运算
后为可疑数字，进位数可视为可靠数字。
对于已经给出了不确定度的有效数字，在运算时应先计算出运算结果的不确定度，然
后根据它决定结果的有效数字位数。
加减运算规则：
A. 如果已知参与加减运算的各有效数字的不确定度，则先算出计算结果的不确定度，并保留1-2 位，然后确定计算结果的有效位数。
B. 如果没给出参与加减运算的各有效数字的不确定度，则先找出可疑位最高的那个有效数字，计算结果的可疑位应与该有效数字的可疑位对齐。
乘除运算规则
若干个有效数字相乘除时，计算结果（积或商）的有效数字位数在大多数情况下与参
与运算的有效数字位数最少的那个分量的有效位数相同。
乘方、开方运算规则
有效数字在乘方或开方时，若乘方或开方的次数不太高，其结果的有效数字位数与原
底数的有效数字位数相同。
对数运算规则
有效数字在取对数时，其有效数字的位数与真数的有效数字位数相同或多取 1 位。
第二节实验数据处理基本方法
数据处理是指从获得数据开始到得出最后结论的整个加工过程，包括数据记录、整理、计
算、分析和绘制图表等。数据处理是实验工作的重要内容，涉及的内容很多，这里仅介绍一些
基本的数据处理方法。
一、列表法
对一个物理量进行多次测量或研究几个量之间的关系时，往往借助于列表法把实验数据列
成表格。其优点是，使大量数据表达清晰醒目，条理化，易于检查数据和发现问题，避免差错，
同时有助于反映出物理量之间的对应关系。所以，设计一个简明醒目、合理美观的数据表格，
是每一个同学都要掌握的基本技能。
列表没有统一的格式，但所设计的表格要能充分反映上述优点，应注意以下几点：
1. 各栏目均应注明所记录的物理量的名称(符号)和单位；
2. 栏目的顺序应充分注意数据间的联系和计算顺序，力求简明、齐全、有条理；
3. 表中的原始测量数据应正确反映有效数字，数据不应随便涂改，确实要修改数据时，
应将原来数据画条杠以备随时查验；
4. 对于函数关系的数据表格，应按自变量由小到大或由大到小的顺序排列，以便于判断
和处理。
二、图解法
图线能够直观地表示实验数据间的关系，找出物理规律，因此图解法是数据处理的重要方
法之一。图解法处理数据，首先要画出合乎规范的图线，其要点如下：
1. 选择图纸作图纸有直角坐标纸(即毫米方格纸)、对数坐标纸和极坐标纸等，根据作图需
要选择。在物理实验中比较常用的是毫米方格纸，其规格多为17 25 cm 。
2. 曲线改直由于直线最易描绘,且直线方程的两个参数(斜率和截距)也较易算得。所以对于两个变量之间的函数关系是非线性的情形，在用图解法时应尽可能通过变量代换将非线性的
函数曲线转变为线性函数的直线。下面为几种常用的变换方法。
(1) xy c( c 为常数)。令z 1
，则y
x
cz，即y 与z 为线性关系。
(2) x c y ( c 为常数)。令z x 2 ，则y 1
2
z ，即y 与z 为线性关系。c
(3) y ax b ( a 和b 为常数)。等式两边取对数得，lg y lg a blg x 。于是，lg y 与lg x 为线性关系， b 为斜率，lg a 为截距。
(4) y ae bx ( a 和b 为常数) 。等式两边取自然对数得，ln y ln a bx 。于是，ln y 与x 为线性关系， b 为斜率，ln a 为截距。
3. 确定坐标比例与标度合理选择坐标比例是作图法的关键所在。作图时通常以自变量作
横坐标( x 轴) ，因变量作纵坐标( y 轴)。坐标轴确定后，用粗实线在坐标纸上描出坐标轴，并注
明坐标轴所代表物理量的符号和单位。
坐标比例是指坐标轴上单位长度(通常为
意以下几点：
1cm )所代表的物理量大小。坐标比例的选取应注
(1) 原则上做到数据中的可靠数字在图上应是可靠的，即坐标轴上的最小分度( 1mm )对应于实验数据的最后一位准确数字。坐标比例选得过大会损害数据的准确度。
(2) 坐标比例的选取应以便于读数为原则，常用的比例为“ 1 ∶1、”“1 ∶2 ”、“1 ∶5 ”( 包括“1∶0.1 ”、“1 ∶ 10 ” )，即每厘米代表“1、2 、5”倍率单位的物理量。切勿采用复杂的比例关系，如“1 ∶3 ”、“1∶7、”“1 ∶9”等。这样不但不易绘图，而且读数困难。
坐标比例确定后，应对坐标轴进行标度，即在坐标轴上均匀地(一般每隔 2 cm )标出所代表
物理量的整齐数值，标记所用的有效数字位数应与实验数据的有效数字位数相同。标度不一定
从零开始，一般用小于实验数据最小值的某一数作为坐标轴的起始点，用大于实验数据最大值
的某一数作为终点，这样图纸可以被充分利用。
4. 数据点的标出实验数据点在图纸上用“ +” 符号标出，符号的交叉点正是数据点的位
置。若在同一张图上作几条实验曲线，各条曲线的实验数据点应该用不同符号(如×、⊙等) 标出，以示区别。
5. 曲线的描绘由实验数据点描绘出平滑的实验曲线，连线要用透明直尺或三角板、曲线
板等拟合。根据随机误差理论，实验数据应均匀分布在曲线两侧，与曲线的距离尽可能小。个
别偏离曲线较远的点，应检查标点是否错误，若无误表明该点可能是错误数据，在连线时不予
考虑。对于仪器仪表的校准曲线和定标曲线，连接时应将相邻的两点连成直线，整个曲线呈折
线形状。
6. 注解与说明在图纸上要写明图线的名称、坐标比例及必要的说明(主要指实验条件)，并在恰当地方注明作者姓名、日期等。
7. 直线图解法求待定常数直线图解法首先是求出斜率和截距，进而得出完整的线性方程。其步骤如下：
(1) 选点。在直线上紧靠实验数据两个端点内侧取两点A( x1 , y1 ) 、B( x2 , y2 ），并用不同于实验数据的符号标明，在符号旁边注明其坐标值(注意有效数字)。若选取的两点距离较近，计算斜率时会减少有效数字的位数。这两点既不能在实验数据范围以外取点，因为它已无实验根据，也不能直接使用原始测量数据点计算斜率。
(2) 求斜率。设直线方程为y a bx ，则斜率为
(3) 求截距。截距的计算公式为b
y 2 y 1
x2 x1
(1-5-1)
a y
1
bx
1(1-5-2)
三、逐差法
当两个变量之间存在线性关系，且自变量为等差级数变化的情况下，用逐差法处理数据，既能充分利用实验数据，又具有减小误差的效果。具体做法是将测量得到的偶数组数据分成前后两组，将对应项分别相减，然后再求平均值。
例如，在弹性限度内，弹簧的伸长量x 与所受的载荷(拉力) F 满足线性关系
F kx
实验时等差地改变载荷，测得一组实验数据如下表：
砝码质量/Kg 1.000 2.000 3.000 4.000 5.000 6.000 7.000 8.000 弹簧伸长位置/cm x1x2 x3x4 x5x6 x7 x8求每增加1Kg 砝码弹簧的平均伸长量x 。
若不加思考进行逐项相减，很自然会采用下列公式计算
1 1
x ( x2
7 x1 ) ( x3x2 ) ( x8x7 ) (x8
7
x1 )
结果发现除x
1
和x8 外，其它中间测量值都未用上，它与一次增加7 个砝码的单次测量等价。若
用多项间隔逐差，即将上述数据分成前后两组，前一组
然后对应项相减求平均，即
( x1 , x2 , x3 , x4 ) ，后一组( x5 , x6 , x7 , x8 ) ，
1
x ( x5
4 4
x1 ) (x6x2 ) ( x7x3 ) ( x8x4 )
这样全部测量数据都用上，保持了多次测量的优点，减少了随机误差，计算结果比前面的要准
确些。逐差法计算简便，特别是在检查具有线性关系的数据时，可随时“逐差验证”，及时发现数据规律或错误数据。
四、最小二乘法
由一组实验数据拟合出一条最佳直线，常用的方法是最小二乘法。设物理量y 和x 之间的满足线性关系，则函数形式为
i
x
i
y a bx
最小二乘法就是要用实验数据来确定方程中的待定常数
a 和
b ，即直线的斜率和截距。
我们讨论最简单的情况，即每个测量 y
值都是等精度的，且假定
x 和 y 值中只有
y +
y 有明显的测量随机误差。如果
x 和 y 均
i
有误差，只要把误差相对较小的变量作为
+
x 即 可 。 由 实 验 测 量 得 到 一 组 数 据 为 +
( x i , y i ; i 1,2, n) ，其中 x xi 时对应的 y y i 。由于测量总是有误差的，我们将
+
+
这些误差归结为
y i 的测量偏差，并记为
1
，
2
， ， n
，见图 1-5-2 。这样，将
+
实验数据得到
( x i , y i ) 代入方程 y a bx 后， x
x i
y 1 (a y 2
( a bx 1 ) 1 bx 2 ) 2
图 1-5-2
y i 的测量偏差
y n
( a bx n )
n
我们要利用上述的方程组来确定 a 和 b ，那么 a 和 b 要满足什么要求呢？显然， 比较合理的 a 和
b 是使
1
，
2 ， ，
n
数值上都比较小。 但是， 每次测量的误差不会相同，
反映在
1
，
2
， ，
n
大小不一，而且符号也不尽相同。所以只能要求总的偏差最小，即
n
令
使 S 为最小的条件是
i 1 n
n S
i i 1
i 1
S S 2 i
( y i
min a
2
S
bx ) 2
2
S
由一阶微商为零得
0 ，
0 ，
2
a
b
a 0 ，
2
b
S n
2 ( y i
a i 1
S n
2 ( y i
b
i 1
a bx i ) 0
a bx i ) x i
0 n n x ( x y )
n n x
2 y
解得
a
i
i
i
i 1
i 1 n 2
x i
i 1
i
i
i 1 i 1 n
n x i
i 1
(1-5-3)
n n
x i
y i
i 1
i 1
2
n
n (x i y i ) i 1
(1-5-4)
n n x i n i
i 1 i 1
2
2
b
2
i n n
1
1
n y 1 n 令 x x 1 ， y 1 2
y i ， x
2
1
x ， x 2
n
x 2
， xy
1 n
( x 1 y i
) ，则
n i 1
n i 1
n i 1
n i 1
a y bx x y xy n i 1
(1-5-5) b
(1-5-6) x
2
x
2
如果实验是在已知
y 和 x 满足线性关系下进行的，那么用上述最小二乘法线性拟合
(又称一
元线性回归 )可解得斜率 a 和截距 b ,从而得出回归方程 y a bx 。如果实验是要通过对
x 、y 的
测量来寻找经验公式，则还应判断由上述一元线性拟合所确定的线性回归方程是否恰当。这可用下列相关系数 r 来判别
xy x y r
(1-5-7)
其 中 y
n
2
y
n i 1
2
2
1 2
， y
i 。
n i 1
(x 2
x 2 )( y 2
y 2
)
可以证明， | r | 值总是在 0 和 1之间。 | r | 值越接近 1，说明实验数据点密集地分布在所拟合
的直线的近旁，用线性函数进行回归是合适的。 | r | 1表示变量 x 、 y 完全线性相关，拟合直线
通过全部实验数据点。
| r | 值越小线性越差，一般 | r | 0.9 时可认为两个物理量之间存在较密切
的线性关系，此时用最小二乘法直线拟合才有实际意义。
1 1
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实验数据误差分析和数据处理
第二章 实验数据误差分析和数据处理 第一节 实验数据的误差分析 由于实验方法和实验设备的不完善，周围环境的影响，以及人的观察力，测量程序等限制，实验观测值和真值之间，总是存在一定的差异。人们常用绝对误差、相对误差或有效数字来说明一个近似值的准确程度。为了评定实验数据的精确性或误差，认清误差的来源及其影响，需要对实验的误差进行分析和讨论。由此可以判定哪些因素是影响实验精确度的主要方面，从而在以后实验中，进一步改进实验方案，缩小实验观测值和真值之间的差值，提高实验的精确性。 一、误差的基本概念 测量是人类认识事物本质所不可缺少的手段。通过测量和实验能使人们对事物获得定量的概念和发现事物的规律性。科学上很多新的发现和突破都是以实验测量为基础的。测量就是用实验的方法，将被测物理量与所选用作为标准的同类量进行比较，从而确定它的大小。 1.真值与平均值 真值是待测物理量客观存在的确定值，也称理论值或定义值。通常真值是无法测得的。若在实验中，测量的次数无限多时，根据误差的分布定律，正负误差的出现几率相等。再经过细致地消除系统误差，将测量值加以平均，可以获得非常接近于真值的数值。但是实际上实验测量的次数总是有限的。用有限测量值求得的平均值只能是近似真值，常用的平均值有下列几种: (1) 算术平均值 算术平均值是最常见的一种平均值。 设1x 、2x 、……、n x 为各次测量值，n 代表测量次数，则算术平均值为 n x n x x x x n i i n ∑==+???++=121 (2-1) (2) 几何平均值 几何平均值是将一组n 个测量值连乘并开n 次方求得的平均值。即 n n x x x x ????=21几 (2-2) （3）均方根平均值 n x n x x x x n i i n ∑==+???++= 1 222221均 (2-3) (4) 对数平均值 在化学反应、热量和质量传递中，其分布曲线多具有对数的特性，在这种情况下表征平均值常用对数平均值。 设两个量1x 、2x ，其对数平均值
第二章 误差和分析数据处理
第二章误差和分析数据处理 1．指出下列各种误差是系统误差还是偶然误差？如果是系统误差，请区别方法误差、仪器和试剂误差或操作误差，并给出它们的减免办法。 (1)砝码受腐蚀；(2)天平的两臂不等长；(3)容量瓶与移液管未经校准；(4)在重量分析中，试样的非被测组分被共沉淀；(5)试剂含被测组分；(6)试样在称量过程中吸湿；(7)化学计量点不在指示剂的变色范围内；(8)读取滴定管读数时，最后一位数字估计不准；(9)在分光光度法测定中，波长指示器所示波长与实际波长不符。(10)在HPLC测定中，待测组分峰与相邻杂质峰部分重叠。 答：（1）系统误差；校准砝码。 （2）系统误差；校准仪器。 （3）系统误差；校准仪器。 （4）系统误差；控制条件扣除共沉淀。 （5）系统误差；扣除试剂空白或将试剂进一步提纯。 （6）系统误差；在110℃左右干燥后称重。 （7）系统误差；重新选择指示剂。 （8）偶然误差；最后一位是估计值，因而估计不准产生偶然误差。 （9）系统误差；校准仪器。 （10）系统误差；重新选择分析条件。 2．表示样本精密度的统计量有哪些? 与平均偏差相比，标准偏差能更好地表示一组数据的离散程度，为什么？ 3．说明误差与偏差、准确度与精密度的区别和联系。 4．什么叫误差传递？为什么在测量过程中要尽量避免大误差环节？ 5．何谓t分布？它与正态分布有何关系？ 6．在进行有限量实验数据的统计检验时，如何正确选择置信水平? 7．为什么统计检验的正确顺序是：先进行可疑数据的取舍，再进行F检验，在F检验通过后，才能进行t检验? 8．说明双侧检验与单侧检验的区别，什么情况用前者或后者? 9．何谓线性回归？相关系数的意义是什么？ 10．进行下述运算，并给出适当位数的有效数字。
误差和分析数据处理
第二章 误差和分析数据处理 第一节 概 述 定量分析的任务是要准确地解决“量”的问题，但是定量分析中的误差是客观存在的，因此，必须寻找产生误差的原因并设法减免，从而提高分析结果的可靠程度，另外还要对实验数据进行科学的处理，写出合乎要求的分析报告。 第二节 测量误差 一、绝对误差和相对误差 1. 绝对误差 测量值与真实值之差称为绝对误差。δ = x - μ 2. 相对误差 绝对误差与真值的比值称为相对误差。 %100%100?-=?μ μμδ x 若真实值未知，但δ 已知，也可表示为 %100?x δ 3. 真值与标准参考物质 理论真值：如某化合物的理论组成等。 约定真值：如国际计量大会上确定的长度、质量、物质的量单位等。 相对真值：如标准参考物质的含量。 标准参考物质：经权威机构鉴定并给予证书的，又称标准试样。 实际工作中，常把最有经验的人用最可靠的方法对标准试样进行多次测定所得结 果的平均值作为真值的替代值。 二、系统误差和偶然误差 1. 系统误差（可定误差） 由某种确定的原因引起，一般有固定的方向，大小在试样间是恒定的，重复测定 时重复出现。
按系统误差的来源分类：方法误差、仪器或试剂误差、操作误差。 方法误差：滴定分析反应进行不完全、干扰离子的影响、滴定终点与化学计量点 不符、副反应的发生、沉淀的溶解、共沉淀现象、灼烧时沉淀的分解或挥发。 仪器或试剂误差：砝码、容量器皿刻度不准、试剂中含有被测物质或干扰物质。 操作误差：称样时未注意防止吸湿、洗涤沉淀过分或不充分、辨别颜色偏深（浅）、 读数偏高（低）。 按系统误差的数值变化规律分类：恒定误差、比例误差。 系统误差可用加校正值的方法予以消除。 2. 偶然误差（随机误差、不可定误差） 由于偶然的原因如温度、湿度波动、仪器的微小变化、对各份试样处理时的微小 差别等引起，其大小和正负都不固定。 偶然误差服从统计规律，可用增加平行测定次数加以减免。 三、准确度和精密度 1. 准确度与误差 准确度表示分析结果与真实值接近的程度。准确度的大小用绝对误差或相对误差 表示。评价一个分析方法的准确度常用加样回收率衡量。 2. 精密度与偏差 精密度表示平行测量的各测量值之间互相接近的程度。精密度的大小可用偏差、 相对平均偏差、标准偏差和相对标准偏差表示。重复性与再现性是精密度的常见别名。 偏差：d = x i - x 平均偏差： n x x d n i i ∑=-=1 相对平均偏差： %100/)(%1001?-=?∑=x n x x x d n i i 标准偏差（标准差）： 1 )(1 2 --= ∑=n x x S n i i
误差理论与数据处理 实验报告
《误差理论与数据处理》实验指导书 姓名 学号 机械工程学院 2016年05月
实验一误差的基本性质与处理 一、实验内容 1．对某一轴径等精度测量8次，得到下表数据，求测量结果。 Matlab程序： l=[24.674,24.675,24.673,24.676,24.671,24.678,24.672,24.674];%已知测量值 x1=mean(l);%用mean函数求算数平均值 disp(['1.算术平均值为：',num2str(x1)]); v=l-x1;%求解残余误差 disp(['2.残余误差为：',num2str(v)]); a=sum(v);%求残差和 ah=abs(a);%用abs函数求解残差和绝对值 bh=ah-(8/2)*0.001;%校核算术平均值及其残余误差,残差和绝对值小于n/2*A,bh<0，故以上计算正确 if bh<0 disp('3.经校核算术平均值及计算正确'); else disp('算术平均值及误差计算有误'); end xt=sum(v(1:4))-sum(v(5:8));%判断系统误差（算得差值较小，故不存在系统误差） if xt<0.1 disp(['4.用残余误差法校核，差值为：',num2str(x1),'较小，故不存在系统误差']); else disp('存在系统误差'); end bz=sqrt((sum(v.^2)/7));%单次测量的标准差 disp(['5.单次测量的标准差',num2str(bz)]);
p=sort(l);%用格罗布斯准则判断粗大误差，先将测量值按大小顺序重新排列 g0=2.03;%查表g(8,0.05)的值 g1=(x1-p(1))/bz; g8=(p(8)-x1)/bz;%将g1与g8与g0值比较，g1和g8都小于g0，故判断暂不存在粗大误差if g1 第一章实验数据误差分析与数据处理 第一节实验数据误差分析 一、概述 由于实验方法和实验设备的不完善，周围环境的影响，以及人的观察力，测量程序等限制，实验测量值和真值之间，总是存在一定的差异，在数值上即表现为误差。为了提高实验的精度，缩小实验观测值和真值之间的差值，需要对实验数据误差进行分析和讨论。 实验数据误差分析并不是即成事实的消极措施，而是给研究人员提供参与科学实验的积极武器，通过误差分析，可以认清误差的来源及影响，使我们有可能预先确定导致实验总误差的最大组成因素，并设法排除数据中所包含的无效成分，进一步改进实验方案。实验误差分析也提醒我们注意主要误差来源，精心操作，使研究的准确度得以提高。 二、实验误差的来源 实验误差从总体上讲有实验装置（包括标准器具、仪器仪表等）、实验方法、实验环境、实验人员和被测量五个来源。 1.实验装置误差 测量装置是标准器具、仪器仪表和辅助设备的总体。实验装置误差是指由测量装置产生的测量误差。它来源于： （1）标准器具误差 标准器具是指用以复现量值的计量器具。由于加工的限制，标准器复现的量值单位是有误差的。例如，标准刻线米尺的0刻线和1 000 mm刻线之间的实际长度与1 000 mm单位是有差异的。又如，标称值为 1kg的砝码的实际质量（真值）并不等于1kg等等。 （2）仪器仪表误差 凡是用于被测量和复现计量单位的标准量进行比较的设备，称为仪器或仪表．它们将被测量转换成可直接观察的指示值。例如，温度计、电流表、压力表、干涉仪、天平，等等。 由于仪器仪表在加工、装配和调试中，不可避免地存在误差，以致仪器仪表的指示值不等于被测量的真值，造成测量误差。例如，天平的两臂不可能加工、调整到绝对相等，称量时，按天平工作原理，天平平衡被认为两边的质量相等。但是，由于天平的不等臂，虽然天平达到平衡，但两边的质量并不等，即造成测量误差。 （3）附件误差 为测量创造必要条件或使测量方便地进行而采用的各种辅助设备或附件，均属测量附件。如电测量中的转换开关及移动测点、电源、热源和连接导线等均为测量附件，且均产生测量误差。又如，热工计量用的水槽，作为温度测量附件，提供测量水银温度计所需要的温场，由于水槽内各处温度的不均匀，便引起测量误差，等等。 按装置误差具体形成原因，可分为结构性的装置误差、调整性的装置误差和变化性的装置误差。结构性的装置误差如：天平的不等臂，线纹尺刻线不均匀，量块工作面的不平行性，光学零件的光学性能缺陷，等等。这些误差大部分是由于制造工艺不完善和长期使用磨损引起的。调整性的装置误差如投影仪物镜放大倍数调整不准确，水平仪的零位调整不准确，千分尺的零位调整不准确，等等。这些误差是由于仪器仪表在使用时，未调整到理想状态引起的。变化性的装置误差如：激光波长的长期不稳定性，电阻等元器件的老化，晶体振荡器频率的长期漂移，等等。这些误差是由于仪器仪表随时间的不稳定性和随空间位置变化的不均匀性造成的。 2.环境误差 环境误差系指测量中由于各种环境因素造成的测量误差。 被测量在不同的环境中测量，其结果是不同的。这一客观事实说明，环境对测量是有影响的，是测量的误差来源之一。环境造成测量误差的主要原因是测量装置包括标准器具、仪器仪表、测量附件同被测对象随着环境的变化而变化着。 测量环境除了偏离标准环境产生测量误差以外，从而引起测量环境微观变化的测量误差。 3.方法误差 误差理论与数据处理 学号: ____________ 姓名: __________ 专业: _____________ 评分: _______ 上课时间: 第____周星期____上午[ ]下午[ ]晚上[ ] 请将1-24小题的答案对应地填在下表中 一、单选题（每小题3分，共36分）。 1.采用“四舍六入五单双”法，将下列各数据取为2位有效数字（修约间隔为0.1），其 结果正确的是： A. 2.750→2.7 B. 2.650→2.6 C. 2.65001→2.6 D. 2.6499→2.7 2.自然数6的有效数字位数为： A. 1位 B. 2位 C. 3位 D. 无穷位 3.L=0.1010m的有效数字位数为： A. 2位 B. 3位 C. 4位 D. 5位 4.V=2.90×103m/s的有效数字位数为： A. 3位 B. 5位 C. 6位 D. 7位 5.下列单位换算正确的是： A. 0.06m=60mm B. 1.38m=1380mm C. 4cm=40mm D. 5.0mm=0.50cm 6.用有效数字运算法则计算123.98－40.456+ 7.8，其结果正确的是： A. 91.324 B. 91.3 C. 91.32 D. 91 7.用有效数字运算法则计算271.3÷0.1和3.6×4.1，其结果正确的是： A. 3×103和14.8 B. 3×103和15 C. 2712和14.76 D. 2712和15 8.用有效数字运算法则计算 4.0345 +38.1 9.0121-9.011 ，其结果正确的是： A. 3705.827 B. 370.8273 C. 3705.8 D. 4×103 误差和分析数据处理 1 数据的准确度和精度 在任何一项分析工作中，我们都可以看到用同一个分析方法，测定同一个样品，虽然经过多少次测定，但是测 定结果总不会是完全一样。这说明在测定中有误差。为此 我们必须了解误差产生的原因及其表示方法，尽可能将误 差减到最小，以提高分析结果的准确度。 1.1 真实值、平均值与中位数 （一）真实值 真值是指某物理量客观存在的确定值。通常一个物理量的真值是不知道的，是我们努力要求测到的。严格来讲，由于测量仪器，测定方法、环境、人的观察力、测量的程 序等，都不可能是完善无缺的，故真值是无法测得的，是 一个理想值。科学实验中真值的定义是：设在测量中观察 的次数为无限多，则根据误差分布定律正负误差出现的机 率相等，故将各观察值相加，加以平均，在无系统误差情 况下，可能获得极近于真值的数值。故“真值”在现实中 是指观察次数无限多时，所求得的平均值（或是写入文献 手册中所谓的“公认值”）。 （二）平均值 然而对我们工程实验而言，观察的次数都是有限的， 故用有限观察次数求出的平均值，只能是近似真值，或称 为最佳值。一般我们称这一最佳值为平均值。常用的平均 值有下列几种： （1）算术平均值 这种平均值最常用。凡测量值的分布服从正态分布 时，用最小二乘法原理可以证明：在一组等精度的测量中， 算术平均值为最佳值或最可信赖值。 n x n x x x x n i i n ∑=++==121 式中： n x x x 21、——各次观测值；n ――观察的次数。 （2）均方根平均值 n x n x x x x n i i n ∑=++==1222221 均 （3）加权平均值 设对同一物理量用不同方法去测定，或对同一物理量 由不同人去测定，计算平均值时，常对比较可靠的数值予 以加重平均，称为加权平均。 ∑∑=++++++===n i i n i i i n n n w x w w w w x w x w x w w 11212211 式中；n x x x 21、——各次观测值； n w w w 21、——各测量值的对应权重。各观测值的 误差分析和数据处理 误差和分析数据处理 1 数据的准确度和精度 在任何一项分析工作中，我们都可以看到用同一个分析方法，测定同一个样品，虽然经过多 少次测定，但是测定结果总不会是完全一样。这 说明在测定中有误差。为此我们必须了解误差产 生的原因及其表示方法，尽可能将误差减到最 小，以提高分析结果的准确度。 1.1 真实值、平均值与中位数 （一）真实值 真值是指某物理量客观存在的确定值。通常一个物理量的真值是不知道的，是我们努力要求 测到的。严格来讲，由于测量仪器，测定方法、 环境、人的观察力、测量的程序等，都不可能是 完善无缺的，故真值是无法测得的，是一个理想 值。科学实验中真值的定义是：设在测量中观察 的次数为无限多，则根据误差分布定律正负误差 出现的机率相等，故将各观察值相加，加以平均， 在无系统误差情况下，可能获得极近于真值的数 值。故“真值”在现实中是指观察次数无限多时， 所求得的平均值（或是写入文献手册中所谓的 “公认值”）。 （二）平均值 然而对我们工程实验而言，观察的次数都是 有限的，故用有限观察次数求出的平均值，只能 是近似真值，或称为最佳值。一般我们称这一最 佳值为平均值。常用的平均值有下列几种： （1）算术平均值 这种平均值最常用。凡测量值的分布服从正 态分布时，用最小二乘法原理可以证明：在一组 等精度的测量中，算术平均值为最佳值或最可信 赖值。 n x n x x x x n i i n ∑=++==121 式中： n x x x 21、——各次观测值；n ――观察 的次数。 （2）均方根平均值 n x n x x x x n i i n ∑=++==12 22221 均 （3）加权平均值 设对同一物理量用不同方法去测定，或对同 一物理量由不同人去测定，计算平均值时，常对 比较可靠的数值予以加重平均，称为加权平均。 物理实验课的基本程序 物理实验的每一个课题的完成，一般分为预习、课堂操作和完成实验报告三个阶段。 §1 实验前的预习 为了在规定时间内，高质量地完成实验任务，学生一定要作好实验前的预习。 实验课前认真阅读教材，在弄清本次实验的原理、仪器性能及测试方法和步骤的基础上，在实验报告纸上写出实验预习报告。预习报告包括下列栏目： 实验名称 写出本次实验的名称。 实验目的 应简单明确地写明本次实验的目的要求。 实验原理 扼要地叙述实验原理，写出主要公式及符号的意义，画上主要的示意图、电路图或光路图。若讲义与实际所用不符，应以实际采用的原理图为准。 实验内容 简明扼要地写出实验内容、操作步骤。为了使测量数据清晰明了，防止遗漏，应根据实验的要求，用一张A4白纸预先设计好数据表格，便于测量时直接填入测量的原始数据。注意要正确地表示出有效数字和单位。 §2 课堂操作 进入实验室，首先要了解实验规则及注意事项，其次就是熟悉仪器和安装调整仪器（例如,千分 尺调零、天平调水平和平衡、光路调同轴等高等）。 准备就绪后开始测量。测量的原始数据（一定不要加工、修改）应忠实地、整齐地记录在预 先设计好的实验数据表格里，数据的有效位数应由仪器的精度或分度值加以确定。数据之间要留有间隙，以便补充。发现是错误的数据用铅笔划掉，不要毁掉，因为常常在核对以后发现它并没有错，不要忘记记录有关的实验环境条件（如环境温度、湿度等），仪器的精度，规格及测量量的单位。实验原始数据的优劣，决定着实验的成败，读数时务必要认真仔细。运算的错误可以修改，原始数据则不能擅自改动。全部数据必须经老师检查、签名，否则本次实验无效。两人同作一个实验时，要既分工又协作，以便共同完成实验。实验完毕后，应切断电源，整理好仪器，并将桌面收拾整洁方能离开实验室。 §3 实验报告 实验报告是实验工作的总结。要用简明的形式将实验报告完整而又准确地表达出来。实验报告 要求文字通顺，字迹端正，图表规矩，结果正确，讨论认真。应养成实验完后尽早写出实验报告的习惯，因为这样做可以收到事半功倍的效果。 完整的实验报告应包括下述几部分内容： 数据表格 在实验报告纸上设计好合理的表格，将原始数据整理后填入表格之中（有老师签 名的原始数据记录纸要附在本次报告一起交）。 数据处理 根据测量数据，可采用列表和作图法（用坐标纸），对所得的数据进行分析。按照 实验要求计算待测的量值、绝对误差及相对误差。书写在报告上的计算过程应是：公式→代入数据→结果，中间计算可以不写，绝对不能写成：公式→结果，或只写结果。而对误差的计算应是：先列出各单项误差,按如下步骤书写，公式→代入数据→用百分数书写的结果。 结果表达 按下面格式写出最后结果： ）N （）（N ）N （总绝对误差测量结果待测量?±=.. %100(??=N N ）Er 相对误差 第一章 实验误差评定和数据处理 （课后参考答案） 制作：李加定 校对：陈明光 3.改正下列测量结果表达式的错误： （1）± 625 （cm ） 改:±（cm ） （2） ± 5（mm ） 改: ± 5（mm ） （3）± 6 （mA ） 改: ± （mA ） （4）96 500±500 （g ） 改: ± （kg ） （5）±（℃） 改: ±（℃） 4.用级别为，量程为10 mA 的电流表对某电路的电流作10次等精度测量，测量数据如下表所示。试计算测量结果及标准差，并以测量结果形式表示之。 解：①计算测量列算术平均值I ： 10 1 19.548 ()10i i I I mA ===∑ ②计算测量列的标准差I σ： 0.0623 (cm)I σ= = ③根据格拉布斯准则判断异常数据： 取显著水平a ＝，测量次数n ＝10，对照表1-3-1查得临界值0(10,0.01) 2.41g =。取max x ?计算i g 值，有 6 60.158 2.536 2.410.0623 I I g σ?= = => 由此得6I ＝为异常数据，应剔除。 ④用余下的数据重新计算测量结果 重列数据如表1-3-3。 计算得 9 1 19.564 ()9i i I I mA ===∑ ，0.0344 ()I mA σ== 再经过格拉布斯准则判别，所有测量数据符合要求。 算术平均值I 的标准偏差为I σ 0.01145I σ= = = （mA ） 按均匀分布计算系统误差分量的标准差σ仪 为 0.0289σ?=仪0.5%10 （mA ） 合成标准差σ为 0.031σ (mA ) 取0.04σ= (mA)，测量结果表示为 9.560.04x x σ=±=± (mA ) 5．用公式24m d h ρπ= 测量某圆柱体铝的密度，测得直径d ＝±（cm ），高h ＝±（cm ），质量m ＝±（g ）。计算铝的密度ρ和测量的标准差ρσ，并以测量结果表达式表示之。 解 （1）计算铝的密度ρ： 322 4436.488 2.7003g /m 3.1416 2.042 4.126 m c d h ρπ?= =??＝（） （2）计算g 标准差相对误差： 对函数两边取自然对数得 ln ln 4ln ln 2ln ln m d h ρπ=-+-- 求微分，得 误差分析与数据处理 物理化学实验是研究物质的物理性质以及这些物理性质与其化学反应间关系的一门实验科学。在实验研究工作中，一方面要拟定实验的方案，选择一定精度的仪器和适当的方法 进行测量；另一方面必须将所测得的数据加以整理归纳，科学地分析并寻求被研究变量间的 规律。但由于仪器和感觉器官的限制，实验测得的数据只能达到一定程度的准确性。因此，在着手实验之前要了解测量所能达到的准确度以及在实验以后合理地进行数据处理，都必须 具有正确的误差概念，在此基础上通过误差分析，选用最合适的仪器量程，寻找适当的实验方法，得出测量的有利条件。下面首先简要介绍有关误差等几个基本概念。 —、一、基本概念 1.误差。在任何一种测量中，无论所用仪器多么精密，方法多么完善，实验者多么细心，所得结果常常不能完全一致而会有一定的误差或偏差。严格地说，误差是指观测值与真 值之差，偏差是指观测值与平均值之差。但习惯上常将两者混用而不加区别。根据误差的种类、性质以及产生的原因，可将误差分为系统误差、偶然误差和过失误差三种。 系统误差： 这种误差是由于某种特殊原因所造成的恒定偏差，或者偏大或者偏小，其数值总可设法 加以确定，因而一般说来，它们对测量结果的影响可用改正量来校正。系统误差起因很多，例如： (1)仪器误差。这是由于仪器构造不够完善，示数部分的刻度划分得不够准确所引起，如天平零点的移动，气压表的真空度不高，温度计、移液管、滴定管的刻度不够准确等。 (2)测量方法本身的限制。如根据理想气体方程式测量某蒸汽的相对分子质量时，由于实际气体对理想气体有偏差，不用外推法求得的相对分子质量总较实际的相对分子质量为大。 (3 )个人习惯性误差。这是由于观测者有自己的习惯和特点所引起，如记录某一信号的时间总是滞后、有人对颜色的感觉不灵敏、滴定等当点总是偏高等。 系统误差决定测量结果的准确度。它恒偏于一方，偏正或偏负，测量次数的增加并不能 使之消除。通常是用几种不同的实验技术或用不同的实验方法或改变实验条件、调换仪器等 以确定有无系统误差存在，并确定其性质，设法消除或使之减 少，以提高准确度。 偶然误差： 在实验时即使采用了完善的仪器，选择了恰当的方法，经 过了精细的观测，仍会有一定的误差存在。这是由于实验者的感官的灵 敏度有限或技巧不够熟练、仪器的准确度限制以及许 多不能预料的其他因素对测量的影响所引起的。这类误差称为 偶然误差。它在实验中总是存在的，无法完全避免，但它服从几 率分布。偶然误差是可变的，有时大，有时小，有时正，有 时负。但如果多次测量，便会发现数据的分布符合一般统计规律。这种规律可用图I一1中的典型曲线表示，此曲线称为误差的正态分布曲线，此曲线的函数形式为: y= y = 式中：h称为精确度指数，b为标准误差，h与b的关系为：h= 。 自图I 一1中的曲线可以出： (1)误差小的比误差大的出现机会多，故误差的几率与误差大小有关。个别特别大的误差出现的次数极少。 (2)由于正态分布曲线与y轴对称，因此数值大小相同，符号相反的正、负误差出现的机率近于相等。如以m代表无限多次测量结果的平均值，在没有系统误差的情况下，它可以代表真值。b为无限多次测量所得标准误差。由数理统计方法分析可以得出，误差在土 “误差分析和数据处理”习题及解答 1．指出下列情况属于偶然误差还是系统误差？ （1）视差；（2）游标尺零点不准；（3）天平零点漂移；（4）水银温度计毛细管不均匀。 答：（1）偶然误差；（2）系统误差；（3）偶然误差；（4）系统误差。 2．将下列数据舍入到小数点后3位： 3.14159； 2.71729； 4.510150； 3.21650； 5.6235； 7.691499。 答：根据“四舍六入逢五尾留双”规则，上述数据依次舍为： 3.142； 2.717； 4.510； 3.216； 5.624； 7.691。 3．下述说法正确否？为什么？ （1）用等臂天平称衡采取复称法是为了减少偶然误差，所以取左右两边所称得质量的平均值作为测量结果，即 ()1 2 m m m = +左右 （2）用米尺测一长度两次，分别为10.53 cm 及10.54 cm ，因此测量误差为0.01 cm 。 答：（1）错。等臂天平称衡时的复称法可抵消因天平不等臂而产生的系统误差。被测物（质量为m ）放在左边，右边用砝码（质量为m r ）使之平衡，ml 1 = m r l 2，即 2 r 1 l m m l = 当l 1 = l 2时，m = m r 。当l 1 ≠ l 2时，若我们仍以m r 作为m 的质量就会在测量结果中出现系统误差。为了抵消这一误差，可将被测物与砝码互换位置，再得到新的平衡，m l l 1 = ml 2，即 1 l 2 l m m l = 将上述两次称衡结果相乘而后再开方，得 m = 这时测量结果中不再包含因天平不等臂所引起的系统误差。 （2）错。有效数字末位本就有正负一个单位出入；测量次数太少；真值未知。 4．氟化钠晶体经过五次重复称量，其质量（以克计）如下表所示。试求此晶体的平均质量、平均误差和标准误差。 桥梁模型试验与量测技术 1钢筋混凝土桥梁剩余寿命评估方法研究2006ZB01 2自预应力钢管混凝土开发应用试验研究2006ZB02 3 GPS长距离高精度高程传递关键技术研究2006ZB03 4公路隧道松弛荷载预测理论与预警系统及设计方法研究 2006ZB04 5大跨径预应力混凝土桥梁主梁下挠原因分析及对策研究 2006ZB05 6 FRP在混凝土桥梁预应力体系和构件中的应用技术研究 2006ZB06 7钢筋砼肋拱桥现状评价与加固技术研究2006ZB07 8斜拉—悬索协作体系桥梁的研究 2006ZB08 9公路隧道建设中数字化技术应用研究2006ZB09 10混凝土桥梁耐久性设计方法和设计参数研究2006ZB10 11桥梁结构表面防护耐久性材料的研究2006ZB11 12跨江海大型桥梁结构混凝土裂化性能与耐久性对策措施的研究 2006ZB12 13高性能预拌式冷铺沥青混合料的研制和应用技术研究 2006ZB13 14沥青路面热反射与热阻技术应用研究2006ZB14 15基于弹粘性的沥青混合料设计分析体系研究2006ZB15 16 沿海港口深水航道选线及设计主要参数研究2006ZB16 课程内容： 《桥梁模型试验与量测技术》课教学实施计划表 课程特点：内容多、涉及面宽、比较难学。 学习方法：认真笔记、完成思考题 第一章误差分析与实验数据处理 研究误差的意义 人类为了认识自然与改造自然，需要不断地对自然界的各种现象进行测量和研究，由于实验方法和实验设备的不完善，周围环境的影响，以及受人们认识能力所限等，测量和实验所得数据和被测量的真值之间，不可避免地存在着差异，这在数值上即表现为误差。随着科学技术的日益发展和人们认识水平的不断提高，虽可将误差控制得愈来愈小，但终究不能完全消除它。误差存在的必然性和普遍性，已为大量实践所证明，为了充分认识并进而减小或消除误差，必须对测量过程和科学实验中始终存在着的误差进行研究。研究误差的意义为： ①正确认识误差的性质，分析误差产生的原因，以消除或减小误差。 ②正确处理测量和实验数据，合理计算所得结果，以便在一定条件下得到更接近于真值的效据。 ③正确组织实验过程，合理设计仪器或选用仪器和测量方法，以便在最经济条件下，得到理想的结果。 第一节误差的基本概念 一、真值、实验值、平均值、理论值、误差 真值：是指在观测一个量时，该量本身所具有的真实大小。量的真值是一个理想的概念，一般是不知道的。但在某些特定情况下，真值又是可知的。 理论真值：例如：三角形三个内角之和为180o；一个整圆周角为360o。 规定真值：例如：1982年，国际计量局召开会议提出“米”的新定义为：1等于光在真空中1/299792458秒时间间隔内所经过的路径长度。 相对真值：为了使用上的需要，在实际测量中，常用被测的量的实际值来代替真值，而实际值的定义是满足规定精确度的用来代替真值使用的量值。例如在检定工作中，把高一等级精度的标准所测得的量值称为真值。 实验值：通过实验方法得到某个物理量的数值。 算术平均值：有限次观测值的平均值。 n x x n i ∑=1 理论值：通过理论公式计算得到某个物理量的数值。 物理实验误差分析与数 据处理 Document serial number【KKGB-LBS98YT-BS8CB-BSUT-BST108】 目录 实验误差分析与数据处理 (2) 1 测量与误差 (2) 2 误差的处理 (6) 3 不确定度与测量结果的表示 (10) 4 实验中的错误与错误数据的剔除 (13) 5 有效数字及其运算规则 (15) 6 实验数据的处理方法 (17) 习题 (25) 实验误差分析与数据处理 1 测量与误差 测量及测量的分类 物理实验是以测量为基础的。在实验中，研究物理现象、物质特性、验证 物理原理都需要进行测量。所谓测量，就是将待测的物理量与一个选来作为标．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 准的同类量进行比较，得出它们的倍数关系的过程．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 。选来作为标准的同类量称之为单位，倍数称为测量数值。一个物理量的测量值等于测量数值与单位的乘积。 在人类的发展历史上，不同时期，不同的国家，乃至不同的地区，同一种物理量有着许多不同的计量单位。如长度单位就分别有码、英尺、市尺和米等。为了便于国际交流，国际计量大会于1990年确定了国际单位制（SI ），它规定了以米、千克、秒、安培、开尔文、摩尔、坎德拉作为基本单位，其他物理量（如力、能量、电压、磁感应强度等）均作为这些基本单位的导出单位。 1．直接测量与间接测量 测量可分为两类。一类是直接测量，是指直接将待测物理量与选定的同类物理量的标准单位相比较直接得到测量值的一种测量。它无须进行任何函数关系的辅助运算。如用尺测量长度、以秒表计时间、天平称质量、安培表测电流等。另一类是间接测量，是指被测量与直接测量的量之间需要通过一定的函数关系的辅助运算，才能得到被测量物理量的量值的测量。如单摆测量重力加速 度时，需先直接测量单摆长l 和单摆的周期T ，再应用公式224T l g π=，求得重力 加速度g 。物理量的测量中，绝大部分是间接测量。但直接测量是一切测量的基础。不论是直接测量，还是间接测量，都需要满足一定的实验条件，按照严格的方法及正确地使用仪器，才能得出应有的结果。因此实验过程中，一定要充分了解实验目的，正确使用仪器，细心地进行操作读数和记录，才能达到巩固理论知识和加强实验技能训练的目的。 2．等精度测量与不等精度测量 同一个人，用同样的方法，使用同样的仪器，在相同的条件下对同一物理量进行多次测量，尽管各次测量并不完全相同，但我们没有任何充足的理由来判断某一次测量更为精确，只能认为它们测量的精确程度是完全相同的。我们把这种具有同样精确程度的测量称之为等精度测量。在所有的测量条件中，只要有一个发生变化，这时所进行的测量即为不等精度测量。在物理实验中，凡是要求多次测量均指等精度测量，应尽可能保持等精度测量的条件不变。严格地说，在实验过程中保持测量条件不变是很困难的。但当某一条件的变化对测量结果的影响不大时，乃可视为等精度测量。在本书中，除了特别指明外，都作为等精度测量。 第二章实验数据误差分析和数据处理 第一节实验数据的误差分析 由于实验方法和实验设备的不完善，周围环境的影响，以及人的观察力，测量程序等限制，实验观测值和真值之间，总是存在一定的差异。人们常用绝对误差、相对误差或有效数字来说明一个近似值的准确程度。为了评定实验数据的精确性或误差，认清误差的来源及其影响，需要对实验的误差进行分析和讨论。由此可以判定哪些因素是影响实验精确度的主要方面，从而在以后实验中，进一步改进实验方案，缩小实验观测值和真值之间的差值，提高实验的精确性。 一、误差的基本概念 测量是人类认识事物本质所不可缺少的手段。通过测量和实验能使人们对事物获得定量的概念和发现事物的规律性。科学上很多新的发现和突破都是以实验测量为基础的。测量就是用实验的方法，将被测物理量与所选用作为标准的同类量进行比较，从而确定它的大小。 1.真值与平均值 真值是待测物理量客观存在的确定值，也称理论值或定义值。通常真值是无法测得的。若在实验中，测量的次数无限多时，根据误差的分布定律，正负误差的出现几率相等。再经过细致地消除系统误差，将测量值加以平均，可以获得非常接近于真值的数值。但是实际上实 验测量的次数总是有限的。用有限测量值求得的平均值只能是近似真值，常用的平均值有下列几种: (1) 算术平均值 算术平均值是最常见的一种平均值。 设1x 、2x 、……、n x 为各次测量值，n 代表测量次数，则算术平均值为 n x n x x x x n i i n ∑==+???++=1 21 (2-1) (2) 几何平均值 几何平均值是将一组n 个测量值连乘并开n 次方求得的平均值。即 n n x x x x ????=21几 (2-2) （3）均方根平均值 n x n x x x x n i i n ∑== +???++= 1 2222 21 均 (2-3) (4) 对数平均值 在化学反应、热量和质量传递中，其分布曲线多具有对数的特性，在这种情况下表征平均值常用对数平均值。 设两个量1x 、2x ，其对数平均值 2 1212 121ln ln ln x x x x x x x x x -=--=对 (2-4) 应指出，变量的对数平均值总小于算术平均值。当1x /2x ≤2时，可以用算术平均值代替对数平均值。 当1x /2x =2，对x =, =x , (对x -x )／对x =%, 即1x /2x ≤2，引起的误差不超过%。 盛年不重来，一日难再晨。及时宜自勉，岁月不待人。 物理实验课的基本程序 物理实验的每一个课题的完成，一般分为预习、课堂操作和完成实验报告三个阶段。 §1 实验前的预习 为了在规定时间内，高质量地完成实验任务，学生一定要作好实验前的预习。 实验课前认真阅读教材，在弄清本次实验的原理、仪器性能及测试方法和步骤的基础上，在实验报告纸上写出实验预习报告。预习报告包括下列栏目： 实验名称 写出本次实验的名称。 实验目的 应简单明确地写明本次实验的目的要求。 实验原理 扼要地叙述实验原理，写出主要公式及符号的意义，画上主要的示意图、电路图或光路图。若讲义与实际所用不符，应以实际采用的原理图为准。 实验内容 简明扼要地写出实验内容、操作步骤。为了使测量数据清晰明了，防止遗漏，应根据实验的要求，用一张A4白纸预先设计好数据表格，便于测量时直接填入测量的原始数据。注意要正确地表示出有效数字和单位。 §2 课堂操作 进入实验室，首先要了解实验规则及注意事项，其次就是熟悉仪器和安装调整仪器（例如,千分尺调零、天平调水平和平衡、光路调同轴等高等）。 准备就绪后开始测量。测量的原始数据（一定不要加工、修改）应忠实地、整齐地记录在预先设计好的实验数据表格里，数据的有效位数应由仪器的精度或分度值加以确定。数据之间要留有间隙，以便补充。发现是错误的数据用铅笔划掉，不要毁掉，因为常常在核对以后发现它并没有错，不要忘记记录有关的实验环境条件（如环境温度、湿度等），仪器的精度，规格及测量量的单位。实验原始数据的优劣，决定着实验的成败，读数时务必要认真仔细。运算的错误可以修改，原始数据则不能擅自改动。全部数据必须经老师检查、签名，否则本次实验无效。两人同作一个实验时，要既分工又协作，以便共同完成实验。实验完毕后，应切断电源，整理好仪器，并将桌面收拾整洁方能离开实验室。 §3 实验报告 实验报告是实验工作的总结。要用简明的形式将实验报告完整而又准确地表达出来。实验报告要求文字通顺，字迹端正，图表规矩，结果正确，讨论认真。应养成实验完后尽早写出实验报告的习惯，因为这样做可以收到事半功倍的效果。 完整的实验报告应包括下述几部分内容： 数据表格 在实验报告纸上设计好合理的表格，将原始数据整理后填入表格之中（有老师签名的原始数据记录纸要附在本次报告一起交）。 数据处理 根据测量数据，可采用列表和作图法（用坐标纸），对所得的数据进行分析。按照实验要求计算待测的量值、绝对误差及相对误差。书写在报告上的计算过程应是：公式→代入数据→结果，中间计算可以不写，绝对不能写成：公式→结果，或只写结果。而对误差的计算应是：先列出各单项误差,按如下步骤书写，公式→代入数据→用百分数书写的结果。 结果表达 按下面格式写出最后结果： ）N （）（N ）N （总绝对误差测量结果待测量?±=.. %100(??=N N ）Er 相对误差 结果分析 对本次实验的结果及主要误差因数作简要的分析讨论，并完成课后的思考题。还 误差分析与数据处理 一.填空题 1. ______(3S或莱以特)准则是最常用也是最简单的判别粗大误差的准则。 2. 随机误差的合成可按标准差和______（极限误差）两种方式进行。 3. 在相同测量条件下，对同一被测量进行连续多次测量所得结果之间的一致性称为______（重复）性。 4. 在改变了的测量条件下，同一被测量的测量结果之间的一致性称为______（重现）性。 5. 测量准确度是指测量结果与被测量______（真值）之间的一致程度。 6. 根据测量条件是否发生变化分类，可分为等权测量和______（不等权）测量。 7. 根据被测量对象在测量过程中所处的状态分分类，可分为静态测量和_____(动态)测量。 8. 根据对测量结果的要求分类，可分为工程测量和_____(精密)测量。 9. 真值可分为理论真值和____(约定)真值。 10. 反正弦分布的特点是该随机误差与某一角度成_____(正弦)关系。 11. 在相同条件下，对同一物理量进行多次测量时，误差的大小和正负总保持不变，或按一定的规律变化，或是有规律地重复。这种误差称为______(系统误差)。 12. 在相同条件下，对某一物理量进行多次测量时，每次测量的结果有差异，其差异的大小和符号以不可预定的方式变化着。这种误差称为______(偶然误差或随机误差)。 13. 系统误差主要来自仪器误差、________（方法误差）、人员误差三方面。 14. 仪器误差主要包括_________（示值误差）、零值误差、仪器机构和附件误差。 15. 方法误差是由于实验理论、实验方法或_________（实验条件）不合要求而引起的误差。 16. 精密度高是指在多次测量中，数据的离散性小，_________（随机）误差小。 17. 准确度高是指多次测量中，数据的平均值偏离真值的程度小，_________（系统）误差小。 18. 精确度高是指在多次测量中，数据比较集中，且逼近真值，即测量结果中的_________（系统）误差和_________（随机）误差都比较小。 19. 用代数方法与未修正测量结果相加，以补偿其系统误差的值称为_____(修正值)。 20. 标准偏差的大小表征了随机误差的_____(分散)程度。 21. 偏态系数描述了测量总体及其误差分布的_____（非对称）程度。 22. 协方差表示了两变量间的_____（相关）程度。 2 (3) 均方根平均值 n 2.2. , 2 '乞 X X i X 2 X n id ---------------- — n n (2-3) 对数平均值 在化学反应、热量和质量传递中，其分布曲线多具有对数的特性，在这 种情况 下表征平均值常用对数平均值。 设两个量捲、X 2，其对数平均值 1 -X 2 X 对 | In X t — In X 2 X i -X 2 (2-4) 第二章 实验数据误差分析和数据处理 第一节 实验数据的误差分析 由于实验方法和实验设备的不完善，周围环境的影响，以及人的观察力，测量程序等限 制，实验观测值和真值之间，总是存在一定的差异。人们常用绝对误差、相对误差或有效数字 来说明一个近似值的准确程度。为了评定实验数据的精确性或误差，认清误差的来源及其影 响，需要对实验的误差进行分析和讨论。由此可以判定哪些因素是影响实验精确度的主要方 面，从而在以后实验中，进一步改进实验方案，缩小实验观测值和真值之间的差值，提高实验 的精确性。 一、误差的基本概念 测量是人类认识事物本质所不可缺少的手段。通过测量和实验能使人们对事物获得定量的 概念和发现事物的规律性。科学上很多新的发现和突破都是以实验测量为基础的。测量就是用 实验的方法，将被测物理量与所选用作为标准的同类量进行比较，从而确定它的大小。 1. 真值与平均值 真值是待测物理量客观存在的确定值，也称理论值或定义值。通常真值是无法测得的。若 在实验中，测量的次数无限多时，根据误差的分布定律，正负误差的出现几率相等。再经过细 致地消除系统误差，将测量值加以平均，可以获得非常接近于真值的数值。但是实际上实验测 量的次数总是有限的。用有限测量值求得的平均值只能是近似真值，常用的平均值有下列几种 (1) 算术平均值算术平均值是最常见的一种平均值。 设为、X 2、……、X n 为各次测量值，n 代表测量次数，则算术平均值为 -X 1 X 2 亠 亠 X n X n (2) 几何平均值 几何平均值是将一组n 个测量值连乘并开n 次方求得的平均值。即 r X 几 = n X i X 2 X n (2-1) (2-2)实验大数据误差分析报告与大数据处理
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