高中数学讲义微专题50 等比数列性质(含等差等比数列综合题)

微专题50 等比数列性质

一、基础知识

1、定义：数列{}n a 从第二项开始，后项与前一项的比值为同一个常数()0q q ≠，则称{}n a 为等比数列，这个常数q 称为数列的公比

注：非零常数列既可视为等差数列，也可视为1q =的等比数列，而常数列0,0,0,只是等差

数列

2、等比数列通项公式：11n n a a q -=?，也可以为：n m n m a a q -=?

3、等比中项：若,,a b c 成等比数列，则b 称为,a c 的等比中项 （1）若b 为,a c 的等比中项，则有

2a b

b a

c b c

=?= （2）若{}n a 为等比数列，则n N *

?∈，1n a +均为2,n n a a +的等比中项 （3）若{}n a 为等比数列，则有m n p q m n p q a a a a +=+?= 4、等比数列前n 项和公式：设数列{}n a 的前n 项和为n S 当1q =时，则{}n a 为常数列，所以1n S na = 当1q ≠时，则()111n n a q S q

-=

-

可变形为：()1111111

n n n a q a a

S q q

q q -=

=

----，设11a k q =-，可得：n n S k q k =?-

5、由等比数列生成的新等比数列

（1）在等比数列{}n a 中，等间距的抽取一些项组成的新数列仍为等比数列 （2）已知等比数列{}{},n n a b ，则有 ① 数列{}n ka （k 为常数）为等比数列

② 数列{}n a λ

（λ为常数）为等比数列，特别的，当1λ=-时，即1n a ??

????

为等比数列

③ 数列{}n n a b 为等比数列 ④ 数列{}

n a 为等比数列

6、相邻k 项和的比值与公比q 相关： 设1212,m m m k n n n k S a a a T a a a ++++++=++

+=++

+，则有：

()

()

2

12212k m n m m m m k m

k n n n k n

n a q q q S a a a a q T a a a a a q q q -++++++++

+++

+===

=++

+++

+ 特别的：若121222,,k k k k k k k a a a S a a a S S ++++

+=+++=-

2122332,k k k k k a a a S S +++++=-，则232,,,

k k k k k S S S S S --成等比数列

7、等比数列的判定：（假设{}n a 不是常数列） （1）定义法（递推公式）：

()1

n n

a q n N a *+=∈ （2）通项公式：n

n a k q =?（指数类函数） （3）前n 项和公式：n

n S kq k =-

注：若()n

n S kq m m k =-≠，则{}n a 是从第二项开始成等比关系

（4）等比中项：对于n N *

?∈，均有212n n n a a a ++=

8、非常数等比数列{}n a 的前n 项和n S 与1n a ??

?

???

前n 项和n T 的关系 ()111n n a q S q

-=

-，因为1n a ???

?

??

是首项为11a ，公比为1

q 的等比数列，所以有()1111111

111

111n

n n n

n n q a q q q T q a q q a q

q

-????--?? ?????-??

=

==

---

? ()()1

112111111

n n n n n

n a q a q q S a q T q

q ----=?=-- 例1：已知等比数列{}n a 的公比为正数，且2

23951,2a a a a ==，则10a =________

思路：因为2396a a a =，代入条件可得：22

652a a =，因为0q >，所以65a =，q =

所以8

10216a a q ==

例2：已知{}n a 为等比数列，且374,16a a =-=-，则5a =（ ） A. 64 B. 64- C. 8 D. 8- 思路一：由37,a a 可求出公比：4

7

3

4a q a =

=，可得22q =，所以253428a a q ==-?=- 思路二：可联想到等比中项性质，可得2

53764a a a ==，则58a =±，由等比数列特征可得奇

数项的符号相同，所以58a =- 答案：D

小炼有话说：思路二的解法尽管简单，但是要注意双解时要验证项是否符合等比数列特征。

例3：已知等比数列n a 的前n 项和为1

21n n S t -=?+，则实数t 的值为（ ）

A. 2-

B. 1-

C. 2

D. 0.5

思路：由等比数列的结论可知：非常数列的等比数列，其前n 项和为n

n S kq k =-的形式，所

以1

21212n n n t S t -=?+=

?+，即122

t

t =-?=- 答案：A

例4：设等比数列{}n a 的前n 项和记为n S ，若105:1:2S S =，则155:S S =（ ） A.

34 B. 23 C. 12 D. 1

3

思路：由()111n n a q S q

-=

-可得：()()1051110511,11a q a q S S q

q

--=

=

--，可发现只有分子中q 的

指数幂不同，所以作商消去1a 后即可解出q ，进而可计算出155:S S 的值

解：

()()1051110511,11a q a q S S q

q

--=

=

--

105

105

511112

S q q S q -∴==+=-，解得：512q =- 所以()()3

15151155

55119111132831114112

2a q S q q S q q a q ??-- ?---??=?====--??--- ?

??

例5：已知数列{}n a 为等比数列，若4610a a +=，则()713392a a a a a ++的值为（ ） A. 10 B. 20 C. 100 D. 200

思路：与条件4610a a +=联系，可将所求表达式向46,a a 靠拢，从而

()()2

22

71339717339446646222a a a a a a a a a a a a a a a a a ++=++=++=+，即所求表达式的

值为100 答案：C

例6：已知等比数列{}n a 中31a =，则其前5项的和5S 的取值范围是（ ） A. [)1,+∞ B. 5

,4

??-+∞????

C. [)5,+∞

D. ()

[),05,-∞+∞

思路：条件中仅有3a ，所以考虑其他项向3a 靠拢，所以有

2

22

33533322

111111a a S a a q a q q q q q q q q q q q ????=++++=++++=+++- ? ??

???，再求出其值域即可

解：22

33512345533322111a a S a a a a a S a a q a q q q q q q q

=++++==

++++=++++ 2

111q q q q ???

?

=+++

- ? ?????

，设1t q q =+，所以(][),22,t ∈-∞-+∞

2

2515

124

S t t t ??∴=+-=-- ??? [)51,S ∴∈+∞

答案：A

例7：已知数列{}n a 是首项不为零的等比数列，且公比大于0，那么“1q >”是“数列{}n a 是递增数列”的（ ）

A. 充要条件

B. 必要不充分条件

C. 充分不必要条件

D. 既不充分也不必要条件

思路：在等比数列中，数列的增减受到1a 的符号，与q 的影响。所以在考虑反例时可从这两点入手。将条件转为命题：“若1q >，则数列{}n a 是递增数列”，如果10a <，则{}n a 是递

减数列，所以命题不成立；再看“若数列{}n a 是递增数列，则1q >”，同理，如果10a <，则要求()0,1q ∈，所以命题也不成立。综上，“1q >”是“数列{}n a 是递增数列”的既不充分也不必要条件 答案：D

例8：在等比数列{}n a 中，若123423159

,88a a a a a a +++=

=-，

则1234

1111a a a a +++=（ ） A.

53 B. 53- C. 35 D. 3

5

- 解：条件与结论分别是

{}

n a 的前4项和与倒数和，所以考虑设

41234412341111,S a a a a T a a a a =+++=

+++，则()()23241112349

8

S a q a q a q a a T ==?==- 所以445

938

S T =

=-- 答案：B

例9：已知等比数列{}n a 中，各项都是正数，且3122a a a =+，则

9101112

78910

a a a a a a a a +++=+++（ ）

A.

1+

B. 1

C. 3+

D. 3-思路：所求分式中的分子和分母为相邻4项和，则两式的比值与q 相关，所以需要求出q 。由条件3122a a a =+，将等式中的项均用1,a q 即可求出q 。从而解得表达式的值 解：

1321

,,22

a a a 成等差数列 3121

222

a a a ∴?=+ 将23121,a a q a a q ==代入等式可得：

221112210a q a a q q q

=+?--=

212

q ±∴=

=±

{}n a 为正项数列，所以1

q =- 1q ∴=+

()(

)

(23

2

92910111223

7891071131a q q q a a a a q a a a a a q q q ++++++∴===+=+++++++

答案：C

例10：在正项等比数列{}n a 中，5671

,32

a a a =

+=，

则满足1212n n

a a a a a a +++>???的最大正整数n 的值为____________

思路：从已知条件入手可求得n a 通项公式：6

2n n a -=，从而所满足的不等式可变形为关于n

的不等式：

21152

212

n n

n -+->，由

2 的指数幂特点可得：

()22212,,n m n m m n N n m *>?->∈>，所以只需21110

2

22

n n n -+>，从而解出n 的最大值

解：设{}n a 的公比为q ，则有2

675533a a a q a q +=?+=

211

322

q q ∴+=解得：3q =-（舍）或2q = 5652n n n a a q --∴==

()()1122112121

32

n n

n a a a a -+++=

=

-- ()()

()115462

122

2

n n n n a a a --+-+

+-???==

所以所解不等式为：()()

2111152

2

1212

212

32n n n n

n

n --+->?->

21110

222

111022

13100

2

n n n

n n n n n -+-+∴>?>?-+<

可解得：1302

n +<<

n N *∈ n ∴的最大值为12

答案：12

三、历年好题精选（等差等比数列综合）

1、已知正项等比数列{}n a 满足54325a a a a +--=，则67a a +的最小值为（ ）

A. 32

B. 10+

C. 20

D. 28 2、已知等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，其前n 项和为n S ，若直线1y a x =与圆

()

2

224x y -+=的两个交点关于直线0x y d ++=对称，则5S =（ ）

A. 25

B. 25-

C. 15-

D. 15

3、（2016，内江四模）若d c b a ,,,成等比数列，则下列三个数：①d c c b b a +++,, ②

cd bc ab ,, ③d c c b b a ---,,，必成等比数列的个数为（ ）

A.0

B.1

C.2

D.3 4、设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足150S >，160S <，则11S a ，2

2S a ，…，1515

S a 中最大的项为（ ） A.

66S a B.77S a C.99S a D.88

S

a 5、（2016，新余一中模拟）已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，且1313,,a a a 成等比数列，若11a =，

n S 为数列{}n a 前n 项和，则

216

3

n n S a ++的最小值为（ ）

A. 3

B. 4

C.

2 D. 9

2

6、（2015，北京）设{}n a 是等差数列，下列结论中正确的是（ ）

A. 若120a a +>，则230a a +>

B. 若130a a +<，则120a a +<

C. 若120a a <<

，则2a >

D. 若10a <，则()()21230a a a a -->

7、（2015，广东）在等差数列{}n a 中，若3456725a a a a a ++++=，则28a a +=______ 8、（2014，北京）若等差数列{}n a 满足7897100,0a a a a a ++>+<，则当n =______时，{}n a 的前n 项和最大

9、（2015，福建）若,a b 是函数()()2

0,0f x x px q p q =-+>>的两不同零点，且,,2

a b -这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q +的值等于（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9

10、已知{}n a 是等差数列，公差0d ≠，其前n 项和为n S ，若348,,a a a 成等比数列，则（ ） A. 140,0a d dS >> B. 140,0a d dS << C. 140,0a d dS >< D. 140,0a d dS <>

11、（2014，广东）若等比数列{}n a 各项均为正数，且510119122a a a a e +=，则

高中数学-等差等比数列经典例题以及详细答案

等差等比数列综合应用 【典型例题】 [例1] 一个等比数列共有三项，如果把第二项加上4所得三个数成等差数列，如果再把这个等差数列的第3项加上32所得三个数成等比数列，求原来的三个数。 解：等差数列为d a a d a +-,, ∴ ?????=++--=+?-2 2 )32)(()4()()(a d a d a a d a d a ∴ ?????=-+-+-=-) 2()(32)()1(168222222a d a d a a a d a ∴ 2 23232168a d a a =-++- 0432=-+d a 代入（1） 16)24(3 1 82+-?-=-d d 0643232=+-d d 0)8)(83(=--d d ① 8=d 10=a ② 38=d 9 26=a ∴ 此三数为2、16、18或92、910-、9 50 [例2] 等差数列}{n a 中，3931-=a ，76832-=+a a ，}{n b 是等比数列，)1,0(∈q ，21=b ，}{n b 所有项和为20，求： （1）求n n b a , （2）解不等式 2211601 b m a a m m -≤++++Λ 解：（1）∵ 768321-=+d a ∴ 6=d ∴ 3996-=n a n 2011=-q b 10 9 =q ∴ 1 )10 9( 2-?=n n b 不等式10 921601) (21 21??-≤++?+m a a m m m

)1(1816)399123936(2 1 +??-≤-+-? m m m m 0)1(181639692≤+??+-m m m 032122≤+-m m 0)8)(4(≤--m m }8,7,6,5,4{∈m [例3] }{n a 等差，}{n b 等比，011>=b a ，022>=b a ，21a a ≠，求证：)3(≥ ),1(+∞∈q 01>-q 01>-n q ∴ 0*> ∴ N n ∈ 3≥n 时，n n a b > [例4] （1）求n T ；（2）n n T T T S +++=Λ21，求n S 。 解：???=-=????=+++-=+++221 04811598 7654d a a a a a a a a Λ n T 中共12-n 个数，依次成等差数列 11~-n T T 共有数1222112-=+++--n n Λ项 ∴ n T 的第一个为2)12(211 21?-+-=--n n a ∴ 2)12()2(2 1 )232(2 111 ?-?+-?=---n n n n n T 122112222232-----+?-=n n n n 2222323+-?-?=n n

等差等比数列综合习题

等差、等比数列综合习题 一、选择题 1、数列16 14,813,412 ,211…前n 项的和为（ ） A 、2212n n n ++ B 、12122+-+n n n C 、n n n 2122-+ D 、12 12)1(+--n n n 2、三个不同实数c b a ,,成等差数列，b c a ,,又成等比数列，则=b a （ ） A 、47 B 、4 C 、-4 D 、2 3、在等差数列}{n a 中，已知30201561=+++a a a a ，则数列的前20项和S 20=（ ） A 、100 B 、120 C 、140 D 、150 4、已知数列}{n a 的601-=a ，31-=-n n a a ，那么++||||21a a …||30a +=（ ） A 、-495 B 、765 C 、1080 D 、3105 5、某企业的生产总值月平均增长率为p%，则年平均增长率为（ ） A 、12p% B 、12%)1(p + C 、1%)1(11 -+p D 、1%)1(12-+p 6、设n S 是等差数列}{n a 的前n 项和，已知331S 与441S 的等比中项为3531,51S S 与44 1S 的等差中项为1，求通项n a 。 7、设有数列,,21a a …n a …又若23121,,a a a a a --…1--n n a a 是首项为1，公比为 31的等比数列。 （1）求n a （2）求++21a a …n a + 8、在等比数列}{n a 中，已知27 21154321= ++++a a a a a ，482111111154321=++++a a a a a ，求3a 。

高中数学-等比数列练习题(含答案)

等比数列练习（含答案） 一、选择题 1.(广东卷文)已知等比数列}{n a 的公比为正数，且3a ·9a =22 5a ，2a =1，则1a = A. 2 1 B. 22 C. 2 D.2 【答案】B 【解析】设公比为q ,由已知得( )2 2 8 41112a q a q a q ?=,即2 2q =,又因为等比数列}{n a 的公比为 正数，所以q = 故212a a q = == ,选B 2、如果1,,,,9a b c --成等比数列，那么（ ） A 、3,9b ac == B 、3,9b ac =-= C 、3,9b ac ==- D 、3,9b ac =-=- 3、若数列}{ n a 的通项公式是=+++-=1021),23()1(a a a n a n n Λ则 （A ）15 （B ）12 （C ）-12 D ）-15 答案：A 4.设{n a }为等差数列，公差d = -2，n S 为其前n 项和.若1011S S =，则1a =（ ） A.18 B.20 C.22 D.24 答案：B 解析： 20 ,100,1111111110=∴+==∴=a d a a a S S Θ 5.（四川）已知等比数列()n a 中21a =，则其前3项的和3S 的取值范围是() A.(],1-∞- B.()(),01,-∞+∞U C.[)3,+∞ D.(][),13,-∞-+∞U 答案 D 6.（福建)设｛a n ｝是公比为正数的等比数列，若n 1=7,a 5=16,则数列｛a n ｝前7项的和为( ) A.63 B.64 C.127 D.128 答案 C 7.（重庆）在等比数列{a n }中，a 2＝8，a 5＝64，，则公比q 为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．8 答案 A 8．若等比数列{a n }满足a n a n +1=16n ，则公比为 A ．2 B ．4 C ．8 D ．16 答案：B 9．数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1=1，a n +1 =3S n （n ≥1），则a 6= （A ）3 × 44 （B ）3 × 44+1 （C ）44 （D ）44+1 答案：A 解析：由a n +1 =3S n ，得a n =3S n －1（n ≥ 2），相减得a n +1－a n =3(S n －S n －1)= 3a n ，则a n +1=4a n （n ≥ 2），a 1=1，a 2=3，则a 6= a 2·44=3×44，选A ． 10.(湖南) 在等比数列{}n a （n ∈N*）中，若11a =，41 8 a =，则该数列的前10项和为（ ） A ．4122- B ．2122- C ．10122- D ．111 22 - 答案 B 11.（湖北）若互不相等的实数 成等差数列， 成等比数列，且 310a b c ++=，则a = A ．4 B ．2 C ．－2 D ．－4 答案 D 解析 由互不相等的实数,,a b c 成等差数列可设a ＝b －d ，c ＝b ＋d ，由310a b c ++=可得b ＝2，所以a ＝2－d ，c ＝2＋d ，又,,c a b 成等比数列可得d ＝6，所以a ＝－4，选D 12.（浙江）已知{}n a 是等比数列，4 1 252= =a a ，，则13221++++n n a a a a a a Λ=（ ） A.16（n --41） B.6（n --21） ,,a b c ,,c a b

高考数学复习专题 等比数列性质(含等差等比数列综合题)

第50炼 等比数列性质 一、基础知识 1、定义：数列{}n a 从第二项开始，后项与前一项的比值为同一个常数()0q q ≠，则称{}n a 为等比数列，这个常数q 称为数列的公比 注：非零常数列既可视为等差数列，也可视为1q =的等比数列，而常数列0,0,0,L 只是等差数列 2、等比数列通项公式：11n n a a q -=?，也可以为：n m n m a a q -=? 3、等比中项：若,,a b c 成等比数列，则b 称为,a c 的等比中项 （1）若b 为,a c 的等比中项，则有 2a b b a c b c =?= （2）若{}n a 为等比数列，则n N * ?∈，1n a +均为2,n n a a +的等比中项 （3）若{}n a 为等比数列，则有m n p q m n p q a a a a +=+?= 4、等比数列前n 项和公式：设数列{}n a 的前n 项和为n S 当1q =时，则{}n a 为常数列，所以1n S na = 当1q ≠时，则()111n n a q S q -= - 可变形为：()1111111 n n n a q a a S q q q q -= = ----，设11a k q =-，可得：n n S k q k =?- 5、由等比数列生成的新等比数列 （1）在等比数列{}n a 中，等间距的抽取一些项组成的新数列仍为等比数列 （2）已知等比数列{}{},n n a b ，则有 ① 数列{}n ka （k 为常数）为等比数列 ② 数列{}n a λ （λ为常数）为等比数列，特别的，当1λ=-时，即1n a ?? ???? 为等比数列 ③ 数列{}n n a b 为等比数列 ④ 数列{} n a 为等比数列

等差等比数列基础练习题

针对练习A1：等差数列 一、填空题 1. 等差数列8，5，2，…的第20项为___________. 2. 在等差数列中已知a 1=12, a 6=27,则d=___________ 3. 在等差数列中已知13 d =-，a 7=8，则a 1=_______________ 4. 2()a b +与2()a b -的等差中项是_______________ 5. 等差数列-10，-6，-2，2，…前___项的和是54 6. 正整数前n 个数的和是___________ 7. 数列{}n a 的前n 项和23n S n n -＝，则n a ＝___________ 8. 已知数列{}n a 的通项公式a n =3n －50，则当n=___时，S n 的值最小，S n 的最小值是_______。 二、选择题 1. 一架飞机起飞时，第一秒滑跑 2.3米，以后每秒比前一秒多滑跑4.6米，离地的前一秒滑跑66.7米， 则滑跑的时间一共是（ ） A. 15秒 B.16秒 C.17秒 D.18秒 2. 在等差数列{}n a 中31140a a +=，则45678910a a a a a a a -+++-+的值为（ c ） A.84 B.72 C.60 D.48 3. 在等差数列{}n a 中，前15项的和1590S = ，8a 为（A ） A.6 B.3 C.12 D.4 4. 等差数列{}n a 中, 12318192024,78a a a a a a ++=-++=,则此数列前20下昂的和等于（ ） A.160 B.180 C.200 D.220 5. 在等差数列{}n a 中,若34567450a a a a a ++++=，则28a a +的值等于（ ） A.45 B.75 C.180 D.300 6. 若lg2,lg(21),lg(23)x x -+成等差数列，则x 的值等于（ ） A.0 B. 2log 5 C. 32 D.0或32 7. 设n S 是数列{}n a 的前n 项的和，且2n S n =，则{}n a 是（ ） A.等比数列，但不是等差数列 B.等差数列，但不是等比数列 C.等差数列，且是等比数列 D.既不是等差数列也不是等比数列 8. 数列3，7，13，21，31，…的通项公式是（ ） A. 41n a n =- B. 322n a n n n =-++ C. 21n a n n =++ D.不存在

高中数学 等差数列与等比数列 课件

第1讲等差数列与等比数列 高考定位 1.等差、等比数列基本运算和性质的考查是高考热点，经常以选择题、填空题的形式出现；2.数列的通项也是高考热点，常在解答题中的第(1)问出现，难度中档以下. 真题感悟 1.(2019·全国Ⅰ卷)记S n为等差数列{a n}的前n项和.已知S4＝0，a5＝5，则() A.a n＝2n－5 B.a n＝3n－10 C.S n＝2n2－8n D.S n＝1 2n 2－2n

2.(2018·北京卷)“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于 122.若第一个单音的频率为f ，则第八个单音 的频率为( ) A.32f B.3 22f C.1225f D.1227f 3.(2019·全国Ⅰ卷)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，S 3＝34，则S 4＝ ________. 4.(2019·全国Ⅱ卷)已知{a n }是各项均为正数的等比数列，a 1＝2，a 3＝2a 2＋16. (1)求{a n }的通项公式； (2)设b n ＝log 2a n ，求数列{b n }的前n 项和. 考 点 整 合 1.等差数列 (1)通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d ； (2)求和公式：S n ＝ n （a 1＋a n ）2＝na 1＋n （n －1）2 d ； (3)性质： ①若m ，n ，p ，q ∈N *，且m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ； ②a n ＝a m ＋(n －m )d ； ③S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…成等差数列. 2.等比数列 (1)通项公式：a n ＝a 1q n －1(q ≠0)； (2)求和公式：q ＝1，S n ＝na 1；q ≠1，S n ＝a 1（1－q n ）1－q ＝a 1－a n q 1－q ； (3)性质： ①若m ，n ，p ，q ∈N *，且m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q ； ②a n ＝a m ·q n －m ； ③S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…(S m ≠0)成等比数列.

等差等比数列综合题

高二数学必修五数列单元综合练习题 一、选择题: 1.在等差数列｛a n ｝中，若4612a a +=，n S 是数列｛a n ｝的前n 项和，9S 则的值为 （A ）48 (B)54 (C)60 (D)66 2．在等比数列{}n a 中，若0n a >且3764a a =，5a 的值为 （A ）2 （B ）4 （C ）6 （D ）8 3．设{}n a 是等差数列，1359a a a ++=，69a =，则这个数列的前6项和等于（ ） Ａ．12 Ｂ．24 Ｃ．36 Ｄ．48 ４．在等差数列{}n a 中，若34567a +a +a +a +a =450,则28a +a =( ) ５．在等比数列{}n a 中，如果69a =6,a =9,那么3a 为（ ） (A )4 (B)23 (C)9 16 (D)2 ６.数列{}n a 中，123,6,a a ==且12n n n a a a ++=+，则2004a =（ ） B.－3 C.－6 ７．数列n {a }中，对任意自然数n ，n 12n a +a ++a =21???-，则22212n a +a ++a ???等于（ ） A.()2n 2-1 B. ()2n 12-13 C.n 4-1 D. ()n 14-13 ８．在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 5·a 6=9，则log 3a 1+log 3a 2+…+log 3a 10= ( ) A ．12 B ．10 C ．8 D ．2+log 35 ９．已知数列{a n }是等比数列，其前n 项和为S n =5n +k ，则常数k= ( ) A ． 1 B ．1 C ．0 D ．以上都不对 １０．数列 的前n 项和为 ( ) A ． B ． C ． D ． １１．对于数列{a n }，满足 ，则该数列前100项中的最大项和最小项分别是 ( ) A ．a 1，a 50 B ．a 1，a 44 C ．a 45，a 44 D ．a 45，a 50 １２．已知一等差数列的前四项的和为124，后四项的和为156，又各项和为210，则此等差数列共有（ ） A 、8项 B 、7项 C 、6项 D 、5项 二、填空题： }232{3--n n 22124---n n 22724--+n n 22236-+-n n 32128-+-n n 20052004--=n n a n

等差等比数列练习题(含答案)

一、选择题 1、如果一个数列既是等差数列，又是等比数列，则此数列 （ ） （A ）为常数数列 （B ）为非零的常数数列 （C ）存在且唯一 （D ）不存在 2.、在等差数列 {}n a 中，41=a ,且1a ,5a ,13a 成等比数列，则{}n a 的通项公式为 （ ） （A ）13+=n a n （B ）3+=n a n （C ）13+=n a n 或4=n a （D ）3+=n a n 或4=n a 3、已知c b a ,,成等比数列，且y x ,分别为a 与b 、b 与c 的等差中项，则 y c x a +的值为 （ ） （A ） 2 1 （B ）2- （C ）2 （D ） 不确定 4、互不相等的三个正数c b a ,,成等差数列，x 是a ,b 的等比中项， y 是b ,c 的等比中项，那么2x ，2b ，2y 三个数（ ） （A ）成等差数列不成等比数列 （B ）成等比数列不成等差数列 （C ）既成等差数列又成等比数列 （D ）既不成等差数列，又不成等比数列 5、已知数列 {}n a 的前n 项和为n S ,n n S n 24212+=+,则此数列的通项公式为 （ ） （A ）22-=n a n （B ）28-=n a n （C ）12-=n n a （D ）n n a n -=2 6、已知))((4)(2z y y x x z --=-，则 （ ） （A ）z y x ,,成等差数列 （B ）z y x ,,成等比数列 （C ） z y x 1,1,1成等差数列 （D ）z y x 1 ,1,1成等比数列 7、数列 {}n a 的前n 项和1-=n n a S ，则关于数列{}n a 的下列说法中，正确的个数有 （ ） ①一定是等比数列，但不可能是等差数列 ②一定是等差数列，但不可能是等比数列 ③可能是等比数列，也可能是等差数列 ④可能既不是等差数列，又不是等比数列 ⑤可能既是等差数列，又是等比数列 （A ）4 （B ）3 （C ）2 （D ）1 8、数列1 ?,16 1 7,815,413,21,前n 项和为 （ ） （A ）1212+-n n （B ）212112+-+n n （C ）1212+--n n n （D ）212 112 +--+n n n 9、若两个等差数列 {}n a 、{}n b 的前n 项和分别为n A 、n B ，且满足 5 524-+= n n B A n n ，则 13 5135b b a a ++的值为 （ ） （A ） 9 7 （B ） 7 8 （C ） 2019 （D ）8 7 10、已知数列 {}n a 的前n 项和为252+-=n n S n ,则数列{}n a 的前10项和为 （ ） （A ）56 （B ）58 （C ）62 （D ）60 11、已知数列 {}n a 的通项公式5+=n a n 为, 从{}n a 中依次取出第3，9，27，…3n , …项，按原来的顺序排成一个新的数列，则此数列 的前n 项和为 （ ）

高中数学必修5：等差数列与等比数列知识对比表

高中数学必修5：等差数列与等比数列知识比较一览表等差数列等比数列 定义一般地,如果一个数列{} n a从第2项起，每一项与它 的前一项的差等于同一个常数d，那么这个数列就叫 做等差数列．这个常数d叫公差． 等差数列的单调性： 数列{} n a为等差数列,则 当公差0 d>，则为递增等差数列， 当公差0 d<，则为递减等差数列， 当公差0 d=，则为常数列． 一般地，如果一个数列{} n a从第2项起，每一项 与它的前一项的比等于同一个常数q，那么这个数 列就叫等比数列．这个常数q叫公比． 等比数列的单调性： 数列{} n a为等比数列,则 当1 q>时，1 1 0{} 0{} {n n a a a a > < ，则为递增数列 ，则为递减数列； 当1 q< 0<时，1 1 0{} 0{} {n n a a a a > < ，则为递减数列 ，则为递增数列 当q=1时,该数列为常数列，也为等差数列; 当q<0时,该数列为摆动数列. 判定方法等差数列的判定方法 （1）定义法：若d a a n n = - -1 或 d a a n n = - +1 (常数* ∈N n)?{}n a是等差数列． （2）等差中项：数列{}n a是等差数列 )2 ( 2 1 1- ≥ + = ? + n a a a n n n2 1 2 + + + = ? n n n a a a （3）通项公式：b kn a n + =（b k,是常数） ?数列{}n a是等差数列 （4）前n项和公式：数列{}n a是等差数列 ?2 n S An Bn =+,（其中A、B是常数）。 等比数列的判定方法 （1）用定义：对任意n,都有 1 1 (0) n n n n n a a qa q q a a + + ==≠ 或为常数， ?{} n a为等比数列 （2）等比中项：2 11 n n n a a a +- =（ 11 n n a a +- ≠0） ?{} n a为等比数列 （3）通项公式：()0 n n a A B A B =??≠ ?{} n a为等比数列 （4）前n项和公式： () '',,',' n n n n S A A B S A B A A B A B =-?=- 或为常数 ?{} n a为等比数列 证明方法等差数列的证明方法：只能依据定义： 定义法：若d a a n n = - -1 或d a a n n = - +1 (常数* ∈N n)?{}n a是等差数列． 等比数列的证明方法：只能依据定义： 若()()* 1 2, n n a q q n n N a - =≠≥∈ 0且或1 n n a qa + = ?{} n a为等比数列 递推关系① 121 n n a a a a + -=-（* n N ∈） ② 1 n n a a d + -=（* n N ∈） ③ 11 n n n n a a a a +- -=-（* 2, n n N ≥∈） ①12 1 n n a a a a +=（ * n N ∈） ②1n n a q a +=（* 0, q n N ≠∈） ③1 1 n n n n a a a a + - =（* 2, n n N ≥∈） 通项公式① 11 (1) n a a n d dn a d =+-=+-=b kn+ 推广：()d m n a a m n - + =（m、* n N ∈） 特别的,当m=1时,便得到等差数列的通项公式． 此公式比等差数列的通项公式更具有一般性． m n a a d m n - - =， 1 1 - - = n a a d n，()d n a a n 1 1 - - = ② n a pn q =+（* ,, p q n N ∈ 为常数） 是关于n的一次函数，且斜率为公差d ③由 n S的定义， n a= ? ? ? ≥ - = - )2 ( )1 ( 1 1 n S S n S n n （* n N ∈） ①() 11 1 n n n n a a a q q A B A B q - ===??≠ 推广：m n m n q a a- ? =（m、* n N ∈） 特别的,当m=1时,便得到等比数列的通项公式．, 此公式比等比数列的通项公式更具有一般性． n m n m a q a -=， 1 1 a a q n n= -，n n q a a- ? =1 1 ②n n q p a? =（* ,,0,0, p q q p n N ≠≠∈ 是常数） ③由 n S的定义， () () ? ? ? ? ? ≥ = = - 2 1 1 1 n S S n S a n n n （* n N ∈）

等差等比数列练习题及答案

等差 、 等比数列练习 一、选择题 1、等差数列{}n a 中，10120S =，那么110a a +=（ ） A. 12 B. 24 C. 36 D. 48 2、已知等差数列{}n a ，219n a n =-，那么这个数列的前n 项和n s （ ） A.有最小值且是整数 B. 有最小值且是分数 C. 有最大值且是整数 D. 有最大值且是分数 3、已知等差数列{}n a 的公差1 2 d =，8010042=+++a a a ，那么=100S A ．80 B ．120 C ．135 D ．160． 4、已知等差数列{}n a 中，6012952=+++a a a a ，那么=13S A ．390 B ．195 C ．180 D ．120 5、从前180个正偶数的和中减去前180个正奇数的和，其差为（ ） A. 0 B. 90 C. 180 D. 360 6、等差数列{}n a 的前m 项的和为30，前2m 项的和为100，则它的前3m 项的和为( ) A. 130 B. 170 C. 210 D. 260 7、在等差数列{}n a 中，62-=a ，68=a ，若数列{}n a 的前n 项和为n S ，则（ ） A.54S S < B.54S S = C. 56S S < D. 56S S = 8、一个等差数列前3项和为34，后3项和为146，所有项和为390，则这个数列的项数为（ ） A. 13 B. 12 C. 11 D. 10 9、已知某数列前n 项之和3n 为，且前n 个偶数项的和为)34(2 +n n ，则前n 个奇数项的和为（ ） A ．)1(32+-n n B ．)34(2-n n C ．2 3n - D ． 3 2 1n 10若一个凸多边形的内角度数成等差数列，最小角为100°，最大角为140°，这个凸多边形的边比为（ ） A ．6 B ．8 C ．10 D ．12 二．填空题 1、等差数列{}n a 中，若638a a a =+，则9s = . 2、等差数列{}n a 中，若2 32n S n n =+，则公差d = . 3、在小于100的正整数中，被3除余2的数的和是

高中数学经典的解题技巧和方法等差数列、等比数列

高中数学经典的解题技巧和方法（等差数列、等比数列） 跟踪训练题 一、选择题（本大题共6个小题，每小题6分，总分36分） 1.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2=1，a 3=3，则S 4=( ) (A)12 (B)10 (C)8 (D)6 2.设数列{x n }满足log 2x n+1=1+log 2x n ,且x 1+x 2+x 3+…+x 10=10,则x 11+x 12+x 13+…+x 20的值为( ) (A)10×211 (B)10×210 (C)11×211 (D)11×210 3.已知正数组成的等差数列{a n }，前20项和为100，则a 7·a 14的最大值是( ) (A)25 (B)50 (C)100 (D)不存在 4.已知{}n a 为等比数列，S n 是它的前n 项和。若2312a a a ?=， 且4a 与27a 的等差中项为5 4，则5S =( ) A ．35 B.33 C.31 D.29 5. 设{}n a 是任意等比数列，它的前n 项和，前2n 项和与前3n 项和分别为,,X Y Z ，则下列等式中恒成立 的是( ) A 、2X Z Y += B 、()() Y Y X Z Z X -=- C 、2Y XZ = D 、()() Y Y X X Z X -=- 6.（2010·潍坊模拟）已知数列{a n }是公差为d 的等差数列，S n 是其前n 项和，且有S 9

等差、等比数列的综合问题

专 题2 数列 知识网络图解 一、数列的概念、性质 例①若数到{αn }满足αn+1 = 若α1=67 则α2009的值为（ ） A. 67 B.57 C. 37 D.1 7 ②αn 则数列{αn }最大项为（ ） A. α1 B. α45 C. α44 D. α2007 ③通项为αn =n 2 －α n+1的数列{αn }是递增数列，则实数α的取值范围为_________ 二、等差数列、等比数列 知识整合 2αn ， 0≤αn ＜1 2 1 2 ≤αn ＜1 2αn －1，

要点 热点 探究 例1（1）已知两个等差数列{αn }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且 n n A B =7453 n n ++，则使得 n n a b 为整数的正整数n 的个数是( ) （2）已知等差数列{αn }的前n 项和为S n ，若OB=α6O A ＋α195OC ，且A 、B 、C 三点共线（该直线不过点O ），则S 200等于（ ） （3）与差数列{αn }中，S 6=36，S n =324，S n －6=144，则n =___________ （4）等差数列{αn }共有2n ＋1次，其中奇数项之和为319，偶数次之和为290则其中间项的值为 （ ） A. α9=10 B. α10 =16 C. α11 =29 D. α12=39 ()121 2112121*(21) 7(21)45122172131 (21)21,2,3,5,11 n n n n n n n n a a n a A n b b b B n n n a z n N n b ----+?--+ ====+ +-++?- ∈ ∈ ∴=Q 解 ()619512006195200 21 1 200200200100 222 A C a a a a a a s ,B,∴+=++=?=?=?=Q 三点共线

高考数学-等差数列、等比数列与数列求和(教师版)

例如，S n ＝1002－992＋982－972＋…＋22－12 ＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050. 【高考命题】 一般数列求和，应从通项入手，若无通项，先求通项，然后通过对通项变形，转化为与特殊数列有关或具备某种方法适用特点的形式，从而选择合适的方法求和． (1)1n (n ＋1)＝1n －1 n ＋1 ； (2) 1(2n －1)(2n ＋1)＝12? ?? ??1 2n －1－12n ＋1； (3) 1n ＋n ＋1 ＝n ＋1－n （4） {}n a 为等差数列，公差为d ，则 1 1 n n a a += 【小测】 1．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2＋a 5＝0，则S 5 S 2 ＝________. 解析 设等比数列的首项为a 1，公比为q .因为8a 2＋a 5＝0，所以8a 1q ＋a 1q 4＝0. ∴q 3＋8＝0，∴q ＝－2，∴S 5 S 2＝ a 11－q 51－q · 1－q a 1 1－q 2 ＝1－q 51－q 2 ＝1－ －25 1－4 ＝－11. 3．(2012·无锡市第一学期期末考试)设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，S 3，S 9，S 6成等差数列，且a 2＋a 5＝2a m ，则m ＝________. 解析 设等比数列{a n }的公比为q ，显然q ≠1.由2S 9＝S 3＋S 6得2· a 11－q 91－q ＝ a 11－q 31－q ＋a 1 1－q 61－q ，所以2q 9 ＝q 3＋q 6，即1＋q 3＝2q 6.由于a 2＋a 5＝2a m ，所以a 1q ＋a 1q 4＝2a 1q m －1，即1＋q 3＝2q m －2，所以m －2＝6，所以m ＝8. 4．数列{a n }是等差数列，若a 11 a 10 ＜－1，且它的前n 项和S n 有最大值，那么当S n 取得最小正值时，n ＝________. 解析 由题意，可知数列{a n }的前n 项和S n 有最大值，所以公差小于零，故a 11＜a 10，又因为a 11 a 10 ＜－1，所以a 10＞0， a 11＜－a 10，由等差数列的性质有a 11＋a 10＝a 1＋a 20＜0，a 10＋a 10＝a 1＋a 19＞0，所以S n 取得最小正值时n ＝19.

(完整word版)等差等比数列综合练习题

等差数列等比数列综合练习题 一．选择题 1. 已知031=--+n n a a ，则数列{}n a 是 （ ） A. 递增数列 B. 递减数列 C. 常数列 D. 摆动数列 2.等比数列}{n a 中，首项81=a ，公比2 1 =q ，那么它的前5项的和5S 的值是（ ） A ． 231 B ．233 C ．235 D ．2 37 3. 设n S 是等差数列}{n a 的前n 项和，若S 7=35，则a 4=( ) A. 8 B.7 C.6 D.5 4. 等差数列}{n a 中，=-=++10915812,1203a a a a a 则（ ） A ．24 B ．22 C ．20 D ．-8 5. 数列{}n a 的通项公式为n n a n 2832-=，则数列{}n a 各项中最小项是 （ ） A. 第4项 B.第5项 C. 第6项 D. 第7项 6.已知a ，b ，c ，d 是公比为2的等比数列，则 d c b a ++22等于（ ） A ．1 B ．21 C ．4 1 D ．81 7.在等比数列{}n a 中,7114146,5,a a a a ?=+=则 20 10 a a =( ) A.2 3 B.32 C.23或 32 D.23-或 32 - 8.已知等比数列{}n a 中,n a >0,243546225a a a a a a ++=,那么35a a +=( ) A.5 B .10 C.15 D .20 9.各项不为零的等差数列{}n a 中,有23711220a a a -+=,数列{}n b 是等比数列,且

7768,b a b b ==则( ) A.2 B. 4 C.8 D .16 10.已知等差数列{}n a 中, 211210,10,38,n m m m m a m a a a S -+-≠>+-==若且则m 等于 A. 38 B. 20 C.10 D. 9 11.已知n s 是等差数列{}n a *()n N ∈的前n 项和,且675s s s >>,下列结论中不正确的是( ) A. d<0 B. 110s > C.120s < D. 130s < 12.等差数列}{n a 中，1a ，2a ，4a 恰好成等比数列，则 1 4 a a 的值是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 二．填空题 13．已知{a n }为等差数列，a 15＝8，a 60＝20，则a 75＝________ 14. 在等比数列}{n a 中，1682=?a a ，则5a =__________ 15．在等差数列{a n }中，若a 7＝m ，a 14＝n ，则a 21＝__________ 16. 若数列{}n x 满足1lg 1lg n n x x +=+()n N *∈,且12100100x x x +++=L ,则 ()101102200lg x x x +++=L ________ 17.等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 3+a 17=10,则S 19的值_________ 18.已知等比数列{a n }中，a 1＋a 2＋a 3＝40，a 4＋a 5＋a 6＝20，则前9项之和等于_________

高中数学讲义微专题52 证明等差等比数列

微专题52 等差等比数列的证明 在数列的解答题中，有时第一问会要求证明某个数列是等差等比数列，既考察了学生证明数列的能力，同时也为后面的问题做好铺垫。 一、基础知识： 1、如何判断一个数列是等差（或等比）数列 （1）定义法（递推公式）：1n n a a d +-=（等差）， 1 n n a q a +=（等比） （2）通项公式：n a kn m =+（等差），()0n n a k q q =?≠（等比） （3）前n 项和：2n S An Bn =+（等差），n n S kq k =-（等比） （4）等差（等比）中项：数列从第二项开始，每一项均为前后两项的等差（等比）中项 2、如何证明一个数列是等差等比数列： （1）通常利用定义法，寻找到公差（公比） （2）也可利用等差等比中项来进行证明，即n N * ?∈，均有： 122n n n a a a ++=+ （等差） 2 12n n n a a a ++=? （等比） 二、典型例题： 例1：已知数列{}n a 的首项1133,,521 n n n a a a n N a *+= =∈+． 求证：数列11n a ?? -? ??? 为等比数列 思路一：构造法，按照所给的形式对已知递推公式进行构造，观察发现所证的数列存在 1n a 这样的倒数，所以考虑递推公式两边同取倒数：113121 213n n n n n n a a a a a a +++= ?=+ 即 112133n n a a +=+，在考虑构造“1-”：112111 111333n n n a a a +??-=+-=- ??? 即数列11n a ??-? ??? 是公比为1 3的等比数列 思路二：代入法：将所证数列视为一个整体，用n b 表示：1 1n n b a = -，则只需证明{}n b 是等比数列即可，那么需要关于n b 的条件（首项，递推公式），所以用n b 将n a 表示出来，并代换

(完整word版)高考数学数列题型之等差数列与等比数列综合题

等差数列与等比数列综合题 例 已知等差数列{}n a 满足：37a =，5726a a +=，{}n a 的前n 项和为n S ． （Ⅰ）求n a 及n S ； （Ⅱ）令b n = 2 11 n a -(n ∈N * )，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 【解析】（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，因为37a =，5726a a +=，所以有 11 27 21026a d a d +=?? +=?，解得13,2a d ==， 所以321)=2n+1n a n =+-（ ；n S =n(n-1) 3n+22 ?=2n +2n 。 （Ⅱ）由（Ⅰ）知2n+1n a =，所以b n = 211n a -=21=2n+1)1-（114n(n+1)?=111 (-)4n n+1 ?， 所以n T = 111111(1-+++-)4223n n+1?-L =11 (1-)= 4n+1?n 4(n+1) ， 即数列{}n b 的前n 项和n T = n 4(n+1) 。 【命题意图】本题考查等差数列的通项公式与前n 项和公式的应用、裂项法求数列的和，熟练数列的基础知识是解答好本类题目的关键。 例 设n S 为数列{}n a 的前n 项和，2n S kn n =+，* n N ∈，其中k 是常数． （I ） 求1a 及n a ； （II ）若对于任意的* m N ∈，m a ，2m a ，4m a 成等比数列，求k 的值． 解（Ⅰ）当1,111+===k S a n ， 12)]1()1([,2221+-=-+--+=-=≥-k kn n n k n kn S S a n n n n （*） 经验，,1=n （*）式成立， 12+-=∴k kn a n （Ⅱ）m m m a a a 42,,Θ成等比数列，m m m a a a 42 2.=∴， 即)18)(12()14(2 +-+-=+-k km k km k km ，整理得：0)1(=-k mk ， 对任意的*∈N m 成立， 10==∴k k 或

高中数学教案等差数列与等比数列

等差数列与等比数列 一、高考考点 1.等差数列或等比数列定义的应用：主要用于证明或判断有关数列为等差（或等比）数列. 2.等差数列的通项公式，前几项和公式及其应用：求；求；解决关于或的问题. 3.等比数列的通项公式，前n项和及其应用：求；求；解决有关或的问题. 4.等差数列与等比数列的（小）综合问题. 5.等差数列及等比数列的主要性质的辅助作用：解决有关问题时，提高洞察能力，简化解题过程. 6.数列与函数、方程、不等式以及解析几何等知识相互结合的综合题目：以高中档试题出现，重点考察运用有关知识解决综合问题的能力。 二、知识要点 （一）、等差数列 1.定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差. 认知：｛｝为等差数列－ =d(n∈N※且d为常数) － =d (n 2, n∈N※且d为常数) 此为判断或证明数列｛｝为等差数列的主要依据. 2.公式（1）通项公式： = +（n－1）d：引申： = +（n－m）d （注意：n=m+(n－m) ） 认知：｛｝为等差数列为n的一次函数或为常数 =kn+b (n ) （2）前n项和公式： = 或 =n + 认知：｛｝为等差数列为n的二次函数且常数项为0或 =n = +bn(n ) 3.重要性质 (1)｛｝为递增数列 d＞0; ｛｝为递减数列 d＜0; ｛｝为常数列 d=0 (2)设m,n,p,q ,则m+n=p+q + = + ; (3)2m=p+q 2 = +.即等差数列中,如果某三项(或更多的项)的项数成等差数列,则相应的各项依次成等差数列. (4)设 , , 分别表示等差数列｛｝的前n项和,次n项和,再次n项和,…则, , …依次成等差数列. （二）等比数列 1、定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比. 认知：（1）｛｝为等比数列 =q (n∈N※且q为非零常数) =q(n≥2，n∈N※且q为非零常数) (2）｛｝为等比数列(n≥2，且≠0 ) (n ※，且≠0) 2.公式（1）通项公式： = ；引申： = （注意：n=m+(n－m) ） 认知：｛｝为等比数列 =c (c,q均是不为0的常数，且n ) （2）前n项和公式 认知：｛｝为等比数列 =A +B （其中n ，且A+B=0）. 3．主要性质： （1）设m,n,p,q ,则有m+n=p+q ; （2）2m=p+q