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全国高考数学复习微专题：等比数列性质(含等差等比数列综合题)

等比数列性质

一、基础知识

1、定义：数列{}n a 从第二项开始，后项与前一项的比值为同一个常数()0q q ≠，则称{}n a 为等比数列，这个常数q 称为数列的公比

注：非零常数列既可视为等差数列，也可视为1q =的等比数列，而常数列0,0,0,L 只是等差数列

2、等比数列通项公式：1

1n n a a q -=?，也可以为：n m n m a a q -=?

3、等比中项：若,,a b c 成等比数列，则b 称为,a c 的等比中项（1）若b 为,a c 的等比中项，则有

2a b

b a

c b c

=?= （2）若{}n a 为等比数列，则n N *

?∈，1n a +均为2,n n a a +的等比中项（3）若{}n a 为等比数列，则有m n p q m n p q a a a a +=+?= 4、等比数列前n 项和公式：设数列{}n a 的前n 项和为n S 当1q =时，则{}n a 为常数列，所以1n S na = 当1q ≠时，则()111n n a q S q

可变形为：()1111111

n n n a q a a

S q q

q q -=

----，设11a k q =-，可得：n n S k q k =?-

5、由等比数列生成的新等比数列

（1）在等比数列{}n a 中，等间距的抽取一些项组成的新数列仍为等比数列（2）已知等比数列{}{},n n a b ，则有 ① 数列{}n ka （k 为常数）为等比数列

② 数列{}n a λ

（λ为常数）为等比数列，特别的，当1λ=-时，即1n a ??

????

为等比数列

③ 数列{}n n a b 为等比数列 ④ 数列{}

n a 为等比数列

6、相邻k 项和的比值与公比q 相关：

设1212,m m m k n n n k S a a a T a a a ++++++=+++=+++L L ，则有：

()()212212k

m n m

m m m k m k n n n k n

n a q q q S a a a a q T a a a a a q q q -++++++++++++====++++++L L L L 特别的：若121222,,k k k k k k k a a a S a a a S S +++++=+++=-L L

2122332,k k k k k a a a S S +++++=-L L ，则232,,,k k k k k S S S S S --L 成等比数列

7、等比数列的判定：（假设{}n a 不是常数列）（1）定义法（递推公式）：

()1

n n

a q n N a *+=∈ （2）通项公式：n

n a k q =?（指数类函数）（3）前n 项和公式：n

n S kq k =-

注：若()n

n S kq m m k =-≠，则{}n a 是从第二项开始成等比关系

（4）等比中项：对于n N *

?∈，均有212n n n a a a ++=

8、非常数等比数列{}n a 的前n 项和n S 与1n a ??

???

前n 项和n T 的关系 ()111n n a q S q

-，因为1n a ???

是首项为11a ，公比为1

q 的等比数列，所以有()1111111

111

111n

n n n

n n q a q q q T q a q q a q

-????--?? ?????-??

---

? ()()1

112111111

n n n n n n a q a q q S a q T q q ----=?=-- 例1：已知等比数列{}n a 的公比为正数，且2

23951,2a a a a ==，则10a =________

思路：因为2396a a a =，代入条件可得：22

652a a =，因为0q >

，所以65a =

，q =

所以8

10216a a q ==

例2：已知{}n a 为等比数列，且374,16a a =-=-，则5a =（） A. 64 B. 64- C. 8 D. 8- 思路一：由37,a a 可求出公比：4

4a q a =

=，可得22q =，所以253428a a q ==-?=- 思路二：可联想到等比中项性质，可得2

53764a a a ==，则58a =±，由等比数列特征可得

奇数项的符号相同，所以58a =- 答案：D

小炼有话说：思路二的解法尽管简单，但是要注意双解时要验证项是否符合等比数列特征。

例3：已知等比数列n a 的前n 项和为1

21n n S t -=?+，则实数t 的值为（）

A. 2-

B. 1-

C. 2

D. 0.5

思路：由等比数列的结论可知：非常数列的等比数列，其前n 项和为n

n S kq k =-的形式，

所以1

21212n n n t S t -=?+=

?+，即122

t =-?=- 答案：A

例4：设等比数列{}n a 的前n 项和记为n S ，若105:1:2S S =，则155:S S =（） A.

34 B. 23 C. 12 D. 1

思路：由()111n n a q S q

-可得：()()1051110511,11a q a q S S q

--=

--，可发现只有分子中q 的

指数幂不同，所以作商消去1a 后即可解出q ，进而可计算出155:S S 的值解：()()1051110511,11a q a q S S q

--=

--Q

105

511112

S q q S q -∴==+=-，解得：512q =- 所以()()3

15151155

55119111132831114112

2a q S q q S q q a q ??-- ?---??=?====--??--- ?

例5：已知数列{}n a 为等比数列，若4610a a +=，则()713392a a a a a ++的值为（） A. 10 B. 20 C. 100 D. 200

思路：与条件4610a a +=联系，可将所求表达式向46,a a 靠拢，从而

()()2

2271339717339446646222a a a a a a a a a a a a a a a a a ++=++=++=+，即所求表达式

的值为100 答案：C

例6：已知等比数列{}n a 中31a =，则其前5项的和5S 的取值范围是（）

A. [)1,+∞

B. 5

??-+∞????

C. [)5,+∞

D. ()[),05,-∞+∞U 思路：条件中仅有3a ，所以考虑其他项向3a 靠拢，所以有

33533322

111111a a S a a q a q q q q q q q q q q q ????=++++=++++=+++- ? ??

???，再求出其值域即可

解：22

33512345533322111a a S a a a a a S a a q a q q q q q q q

=++++==

++++=++++ 2

111q q q q ????

=+++- ? ??

???，设1t q q =+，所以(][),22,t ∈-∞-+∞U

2515

124

S t t t ??∴=+-=-- ??? [)51,S ∴∈+∞

答案：A

例7：已知数列{}n a 是首项不为零的等比数列，且公比大于0，那么“1q >”是“数列{}n a 是递增数列”的（）

A. 充要条件

B. 必要不充分条件

C. 充分不必要条件

D. 既不充分也不必要条件

思路：在等比数列中，数列的增减受到1a 的符号，与q 的影响。所以在考虑反例时可从这两点入手。将条件转为命题：“若1q >，则数列{}n a 是递增数列”，如果10a <，则{}n a 是

递减数列，所以命题不成立；再看“若数列{}n a 是递增数列，则1q >”，同理，如果10a <，则要求()0,1q ∈，所以命题也不成立。综上，“1q >”是“数列{}n a 是递增数列”的既不充分也不必要条件答案：D

例8：在等比数列{}n a 中，若123423159

,88

a a a a a a +++==-，则12341111a a a a +++=

（） A.

53 B. 53- C. 35 D. 3

- 解：条件与结论分别是

{}

n a 的前4项和与倒数和，所以考虑设

41234412341111,S a a a a T a a a a =+++=

+++，则()()232

411123498

S a q a q a q a a T ==?==- 所以445

938

S T =

=-- 答案：B

例9：已知等比数列{}n a 中，各项都是正数，且3122a a a =+，则9101112

78910

a a a a a a a a +++=

+++（）

B. 1-

C. 3+

D. 3-思路：所求分式中的分子和分母为相邻4项和，则两式的比值与q 相关，所以需要求出q 。由条件3122a a a =+，将等式中的项均用1,a q 即可求出q 。从而解得表达式的值解：1321,,22

a a a Q 成等差数列

3121

222

a a a ∴?=+ 将23121,a a q a a q ==代入等式可得：

221112210a q a a q q q =+?--=

212

q ±∴=

=±{}n a

为正项数列，所以1q =-

1q ∴=+

()(

)

(

92910111223

7891071131a q q q a a a a q a a a a a q q q ++++++∴===+=+++++++答案：C 例

10：在正项等比数列

{}

n a 中，5671

,32

a a a =

+=，则满足1212n n a a a a a a +++>???L L 的最大正整数n 的值为____________

思路：从已知条件入手可求得n a 通项公式：6

2n n a -=，从而所满足的不等式可变形为关于

n 的不等式：21152

212

n n

n -+->，由2 的指数幂特点可得：

()22212,,n m n m m n N n m *>?->∈>，所以只需21110

n n n -+>，从而解出n 的最大

值

解：设{}n a 的公比为q ，则有2

675533a a a q a q +=?+=

211

322

q q ∴+=解得：3q =-（舍）或2q = 5652n n n a a q --∴==

()()1122112121

n n

n a a a a -+++=

--L ()()

()115462

122

n n n n a a a --+-++-???==L L

所以所解不等式为：()()

2111152

1212212

32n n n n

n --+->?->

21110

222

111022

131002

n n n

n n n n n -+-+∴>?>?-+<

可解得：1302

n +<<

n N *∈Q n ∴的最大值为12

答案：12

三、历年好题精选（等差等比数列综合）

1、已知正项等比数列{}n a 满足54325a a a a +--=，则67a a +的最小值为（） A. 32 B.

10+ C. 20 D. 28 2、已知等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，其前n 项和为n S ，若直线1y a x =与圆

()

224x y -+=的两个交点关于直线0x y d ++=对称，则5S =（）

A. 25

B. 25-

C. 15-

D. 15 3、（2016，内江四模）若d c b a ,,,成等比数列，则下列三个数：①d c c b b a +++,, ②

cd bc ab ,, ③d c c b b a ---,,，必成等比数列的个数为（）

A.0

B.1

C.2

D.3 4、设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足150S >，160S <，则11S a ，2

2S a ，…，1515

S a 中最大的项为（） A.

66S a B.77S a C.99S a D.88

a 5、（2016，新余一中模拟）已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，且1313,,a a a 成等比数列，若

11a =，n S 为数列{}n a 前n 项和，则

216

n n S a ++的最小值为（）

A. 3

B. 4

2- D. 9

6、（2015，北京）设{}n a 是等差数列，下列结论中正确的是（）

A. 若120a a +>，则230a a +>

B. 若130a a +<，则120a a +<

C. 若120a a <<

，则2a >

D. 若10a <，则()()21230a a a a -->

7、（2015，广东）在等差数列{}n a 中，若3456725a a a a a ++++=，则28a a +=______ 8、（2014，北京）若等差数列{}n a 满足7897100,0a a a a a ++>+<，则当n =______时，

{}n a 的前n 项和最大

9、（2015，福建）若,a b 是函数()()2

0,0f x x px q p q =-+>>的两不同零点，且,,2

a b -这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q +的值等于（）

A. 6

B. 7

C. 8

D. 9

10、已知{}n a 是等差数列，公差0d ≠，其前n 项和为n S ，若348,,a a a 成等比数列，则（） A. 140,0a d dS >> B. 140,0a d dS << C. 140,0a d dS >< D. 140,0a d dS <>

11、（2014，广东）若等比数列{}n a 各项均为正数，且510119122a a a a e +=，则

12、（2014，安徽）数列{}n a 是等差数列，若1351,3,5a a a +++构成公比为q 的等比数列，则q =_______

13、（2014，新课标全国卷I ）已知数列{}n a 的前n 项和为1,1,0n n S a a =≠，

11n n n a a S λ+=-，其中λ为常数

（1）证明：2n n a a λ+-=

（2）是否存在λ，使得{}n a 为等差数列？并说明理由

14、（2016，河南中原第一次联考）已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若3737S S +=，则31119a a +=（）

A. 47

B. 73

C. 37

D. 74 15、设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足15160,0S S ><，则12151215

,,,S S S

a a a L 中最大的项为（） A.

77S a B. 66S a C. 99S a D. 88

a 16、（2014，湖北）已知等差数列{}n a 满足：12a =，且125,,a a a 成等比数列（1）求数列{}n a 的通项公式

（2）记数列{}n a 的前n 项和为n S ，是否存在正整数n ，使得60800?n S n >+若存在，求

n 的最小值；若不存在，说明理由

习题答案：

1、答案：C

解析：设等比数列的公比为q ，由已知可得1q >，则有

()()2543232515a a a a q a a +--=?-+=，所以

()

26732225151105102011q a a q a a q q q ??

+=+==-++≥?=??--?

，等号成立当且仅当(

)

q q q -=?=-2、答案：C

解析：由交点对称可知：① 交点所在直线与0x y d ++=垂直，所以11a =；② 直线

0x y d ++=为圆上弦的中垂线，所以该直线过圆心，由圆方程可得圆心坐标：()2,0，代

入可得：2d =-，所以()1132n a a n d n =+-=-，515S =- 3、答案：B

解析：本题从“等比数列中不含0项”入手，不妨设d c b a ,,,的公比为q ，可得①中若公比

1q =-，则无法构成等比数列，同理③中若1q =，则无法构成等比数列；对于②可知均能

构成公比为2

q 的等比数列 4、答案：D 解析：15881689901500

000

S a a S a a a >?>?>??

<且8S 最大。所以可

知1281280,0S S S a a a <<<<>>>>L L ，从而8

S a 最大 5、答案：A

解析：设公差为d ，因为1313,,a a a 成等比数列

()()2

23111111212a a a a d a a d ∴=?+=+

2144112d d d ∴++=+解得：2d =

()1121n a a n d n ∴=+-=- 2n S n =

22216216216

321322n n S n n a n n +++==

+-++，令1t n =+

21692243n n S t a t +∴

=+-≥=+

6、答案：C

解析：A 选项：反例为公差小于0，且12120,0,a a a a ><>的数列，例如：

1233,1,5a a a ==-=-，所以A 错误

B 选项：同A 中的例子即可判定B 错误

C 选项：由120a a <<可知0d >，且0n a >

，则2

2213a a a a >

?>，再将13,a a 统

一用2,a d 表示，即()()2

132222a a a d a d a d a =-+=-<，所以C 正确

D 选项：由等差数列可得：()()2

21230a a a a d --=-≤，所以D 错误

综上所述：C 选项正确 7、答案：10

解析：345675525a a a a a a ++++==，可得55a =，所以285210a a a +== 8、答案：8

解析：由7890a a a ++>可得：88300a a >?>，由7100a a +<可得890a a +<，从而

90a <，由此可知数列{}n a 前8项为正项，且数列单调递减，从第9项开始为负项，所以

前8项和最大 9、答案：D

解析：由韦达定理可知,a b p ab q +==，且由,0p q >可知,0a b >，因为,,2a b -可构成

等比数列，所以2-必为等比中项，()

24ab ∴=-=，即4

q b a =??

?=??

，所以4,,2a a -构成等差数列，同样由4,

0a a >判断出则等差中项只能是a 或4a ，所以有422a a =-或8

2a a

=-，解得41a b =??

=?或14

a b =??=?，则5p a b =+=，所以9p q +=

10、解析：348,,a a a Q 成等比数列

()()()2

2438111327a a a a d a d a d ∴=?+=++

2222111169914a a d d a a d d ∴++=++

153a d ∴=-

21503a d d ∴=-< 4143202

46233S a d d d d ?=+=-+=-

242

dS d ∴=-<

综上所述：140,0a d dS << 11、答案：50

解析：由5510119121011222a a a a e a a e +=?=可得5

1011a a e =，从而1011ln ln 5a a +=，因

为{}n a 为等比数列，所以{}ln n a 为等差数列，从而有：

1011

1220ln ln ln ln ln 20502

a a a a a ++++=

?=L

12、答案：1

解析：方法一：设{}n a 的公差为d ，由1351,3,5a a a +++成等比数列可得：

()

()()2

3153315153156955a a a a a a a a a +=++?++=+++ ()()()()2

11111126294545a d a d a a d a a d ?++++=+++++

2221111114461294645a a d d a d a a d a d ?+++++=++++

248401d d d ?++=?=- 3111323111

a a q a a +-+∴=

==++ 方法二：由等比数列性质可知：

351335

a a q a a ++==++，由合比性质可得：()()()()533153221

3122

a a d q a a d +-++=

==+-++

13、解析：（1）11n n n a a S λ+=-

111n n n a a S λ--∴=-

()111n n n n n n n a a a a S S a λλ+--∴-=-=

0n a ≠Q

11n n a a λ+-∴-=，即2n n a a λ+-=

（2）由题设可得：1211a a S λ=- 11a =Q

21a λ∴=- 由（1）可得：311a a λλ=+=+

若{}n a 为等差数列，则()()21322111a a a λλ=+?-=++ 解得：4λ=

下面验证4λ=是否能让{}n a 为等差数列

由（1）可得：{}21n a -是首项为1，公差为4的等差数列

()2114143n a a n n -∴=+-=-

{}2n a 是首项为23a =，公差为4的等差数列

()224141n a a n n ∴=+-=-

2212n n a a -∴-=且2122n n a a +-=

{}n a 为公差是2的等差数列

4λ∴=

14、答案：D

解析：3711133721102437S S a d a d a d +=+++=+=

()()3111111191921020482102474a a a d a d a d a d ∴+=+++=+=+=

15、答案：D

解析：()1581689150,80S a S a a =>=+<，所以88899

00a a a a a >>?????+<

S 中，8S 最大，在n a 中，8a 是最小的正数。所以

S a 最大

16、解析：（1）设{}n a 的公差为d

125,,a a a Q 成等比数列

()()2

22215111142a a a a d a a d d a d ∴=?+=+?=

0d ∴=或124d a ==

当0d =时，可得2n a =

当4d =时，()1142n a a n d n =+-=-

2n a ∴=或42n a n =-

（2）当2n a =时，260800n S n n =<+，故不存在符合条件的n 当42n a n =-时，2122

n a a S n n +=

?= 令2

260800304000n n n n >+?--= 解得40n >或10n <-（舍）

40n ∴>，即n 的最小值为41

综上所述：当2n a =时，不存在符合条件的n ；当42n a n =-时，n 的最小值为41

等差等比数列的性质总结

等差等比数列的性质总结-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII

一、等差数列 1.等差数列的定义：d a a n n =--1（d 为常数）（2≥n ）； 2．等差数列通项公式： *11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈ ，首项:1a ，公差:d ，末项:n a 推广： d m n a a m n )(-+=．从而m n a a d m n --=； 3．等差中项（1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2 b a A += 或b a A +=2 （2）等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a 4．等差数列的前n 项和公式： 1()2n n n a a S +=1(1)2n n na d -=+211()22 d n a d n =+-2An Bn =+ （其中A 、B 是常数，所以当d ≠0时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0）特别地，当项数为奇数21n +时，1n a +是项数为2n+1的等差数列的中间项 ()()()12121121212 n n n n a a S n a +++++= = +（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项） 5．等差数列的判定方法（1）定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )? {}n a 是等差数列．（2）等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a ． ⑶数列{}n a 是等差数列?b kn a n +=（其中b k ,是常数）。（4）数列{}n a 是等差数列?2n S An Bn =+,（其中A 、B 是常数）。 6．等差数列的证明方法定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )? {}n a 是等差数列． 7.提醒：（1）等差数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：1a 、d 、n 、n a 及n S ，其中1a 、d 称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。（2）设项技巧： ①一般可设通项1(1)n a a n d =+- ②奇数个数成等差，可设为…，2,,,,2a d a d a a d a d --++…（公差为d ）； ③偶数个数成等差，可设为…，3,,,3a d a d a d a d --++,…（注意；公差为2d ） 8..等差数列的性质：（1）当公差0d ≠时，等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函数，且斜率为公差d ；前n 和211(1)()222 n n n d d S na d n a n -=+=+-是关于n 的二次函数且常数项为0.

等差数列与等比数列练习和解析(高考真题)

1．(2019·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．已知S 4＝0，a 5＝5，则( ) A ．a n ＝2n －5 B ．a n ＝3n －10 C ．S n ＝2n 2 －8n D ．S n ＝12 n 2 －2n 2．(2019·长郡中学联考)已知数列{a n }满足，a n ＋1＋2a n ＝0，且a 2 ＝2，则{a n }前10项的和等于( ) A.1－2103 B ．－1－210 3 C ．210－1 D ．1－210 3．已知等比数列{a n }的首项为1，公比q ≠－1，且a 5＋a 4＝3(a 3 ＋a 2)，则 9 a 1a 2a 3…a 9等于( ) A ．－9 B ．9 C ．－81 D ．81 4．(2018·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若3S 3＝S 2＋S 4，a 1＝2，则a 5＝( ) A ．－12 B ．－10 C ．10 D ．12 5．(2019·山东省实验中学联考)已知等差数列{a n }的公差不为零，S n 为其前n 项和，S 3＝9，且a 2－1，a 3－1，a 5－1构成等比数列，则S 5＝( ) A ．15 B ．－15 C ．30 D ．25 二、填空题 6．(2019·北京卷)设等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 2＝－3，S 5＝－10，则a 5＝________，S n 的最小值为________． 7．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：“有一个人走378里路，

等差等比数列综合习题

等差、等比数列综合习题一、选择题 1、数列16 14,813,412 ,211…前n 项的和为（） A 、2212n n n ++ B 、12122+-+n n n C 、n n n 2122-+ D 、12 12)1(+--n n n 2、三个不同实数c b a ,,成等差数列，b c a ,,又成等比数列，则=b a （） A 、47 B 、4 C 、-4 D 、2 3、在等差数列}{n a 中，已知30201561=+++a a a a ，则数列的前20项和S 20=（） A 、100 B 、120 C 、140 D 、150 4、已知数列}{n a 的601-=a ，31-=-n n a a ，那么++||||21a a …||30a +=（） A 、-495 B 、765 C 、1080 D 、3105 5、某企业的生产总值月平均增长率为p%，则年平均增长率为（） A 、12p% B 、12%)1(p + C 、1%)1(11 -+p D 、1%)1(12-+p 6、设n S 是等差数列}{n a 的前n 项和，已知331S 与441S 的等比中项为3531,51S S 与44 1S 的等差中项为1，求通项n a 。 7、设有数列,,21a a …n a …又若23121,,a a a a a --…1--n n a a 是首项为1，公比为 31的等比数列。（1）求n a （2）求++21a a …n a + 8、在等比数列}{n a 中，已知27 21154321= ++++a a a a a ，482111111154321=++++a a a a a ，求3a 。

等差数列、等比数列知识点梳理

等差数列和等比数列知识点梳理第一节：等差数列的公式和相关性质 1、等差数列的定义：对于一个数列，如果它的后一项减去前一项的差为一个定值，则称这个数列为等差数列，记：d a a n n =--1（d 为公差）（2≥n ，*n N ∈） 2、等差数列通项公式： 1(1)n a a n d =+-，1a 为首项，d 为公差推导过程：叠加法推广公式：()n m a a n m d =+- 变形推广：m n a a d m n --= 3、等差中项（1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2 b a A +=或 b a A +=2 （2）等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a 4、等差数列的前n 项和公式： 1()2n n n a a S += 1(1) 2n n na d -=+ 211 ()22 d n a d n =+-2An Bn =+ 前N 相和的推导:当m n p q +=+时,则有q p n m a a a a +=+，特别地，当2m n p +=时，则有2m n p a a a +=。（注：12132n n n a a a a a a --+=+=+=???，）当然扩充到3项、4项……都是可以的，但要保证等号两边项数相同，下标系数之和相等。

5、等差数列的判定方法（1）定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )? {}n a 是等差数列．（2）等差中项：数列{}n a 是等差数列 )2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a （3）数列{}n a 是等差数列?b kn a n +=（其中b k ,是常数）。（4）数列{}n a 是等差数列?2n S An Bn =+,（其中A 、B 是常数）。 6、等差数列的证明方法定义法或者等差中项发? {}n a 是等差数列． 7、等差数列相关技巧：（1）等差数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：1a 、d 、n 、 n a 及n S ，其中1a 、d 称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。（2）设项技巧： ①一般可设通项1(1)n a a n d =+- ②奇数个数成等差，可设为…，2,,,,2a d a d a a d a d --++…（公差为d ）； ③偶数个数成等差，可设为…，3,,,3a d a d a d a d --++,…（注意；公差为2d ） 8、等差数列的性质：（1）当公差0d ≠时，等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函数，且斜率为公差d ；前n 和211(1)()222 n n n d d S na d n a n -=+=+-是关于n 的二次函数且常数项为0。

高中数学-等比数列练习题(含答案)

等比数列练习（含答案）一、选择题 1.(广东卷文)已知等比数列}{n a 的公比为正数，且3a ·9a =22 5a ，2a =1，则1a = A. 2 1 B. 22 C. 2 D.2 【答案】B 【解析】设公比为q ,由已知得( )2 2 8 41112a q a q a q ?=,即2 2q =,又因为等比数列}{n a 的公比为正数，所以q = 故212a a q = == ,选B 2、如果1,,,,9a b c --成等比数列，那么（） A 、3,9b ac == B 、3,9b ac =-= C 、3,9b ac ==- D 、3,9b ac =-=- 3、若数列}{ n a 的通项公式是=+++-=1021),23()1(a a a n a n n Λ则（A ）15 （B ）12 （C ）-12 D ）-15 答案：A 4.设{n a }为等差数列，公差d = -2，n S 为其前n 项和.若1011S S =，则1a =（） A.18 B.20 C.22 D.24 答案：B 解析： 20 ,100,1111111110=∴+==∴=a d a a a S S Θ 5.（四川）已知等比数列()n a 中21a =，则其前3项的和3S 的取值范围是() A.(],1-∞- B.()(),01,-∞+∞U C.[)3,+∞ D.(][),13,-∞-+∞U 答案 D 6.（福建)设｛a n ｝是公比为正数的等比数列，若n 1=7,a 5=16,则数列｛a n ｝前7项的和为( ) A.63 B.64 C.127 D.128 答案 C 7.（重庆）在等比数列{a n }中，a 2＝8，a 5＝64，，则公比q 为（） A ．2 B ．3 C ．4 D ．8 答案 A 8．若等比数列{a n }满足a n a n +1=16n ，则公比为 A ．2 B ．4 C ．8 D ．16 答案：B 9．数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1=1，a n +1 =3S n （n ≥1），则a 6= （A ）3 × 44 （B ）3 × 44+1 （C ）44 （D ）44+1 答案：A 解析：由a n +1 =3S n ，得a n =3S n －1（n ≥ 2），相减得a n +1－a n =3(S n －S n －1)= 3a n ，则a n +1=4a n （n ≥ 2），a 1=1，a 2=3，则a 6= a 2·44=3×44，选A ． 10.(湖南) 在等比数列{}n a （n ∈N*）中，若11a =，41 8 a =，则该数列的前10项和为（） A ．4122- B ．2122- C ．10122- D ．111 22 - 答案 B 11.（湖北）若互不相等的实数成等差数列，成等比数列，且 310a b c ++=，则a = A ．4 B ．2 C ．－2 D ．－4 答案 D 解析由互不相等的实数,,a b c 成等差数列可设a ＝b －d ，c ＝b ＋d ，由310a b c ++=可得b ＝2，所以a ＝2－d ，c ＝2＋d ，又,,c a b 成等比数列可得d ＝6，所以a ＝－4，选D 12.（浙江）已知{}n a 是等比数列，4 1 252= =a a ，，则13221++++n n a a a a a a Λ=（） A.16（n --41） B.6（n --21） ,,a b c ,,c a b

等差、等比数列以及数列求和专题(汇编)

§6.2 等差数列一．课程目标 1.理解等差数列的概念； 2.掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式； 3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题； 4.了解等差数列与一次函数的关系. 二．知识梳理 1.定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示. 数学语言表达式：a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *，d 为常数)，或a n －a n －1＝d (n ≥2，d 为常数). 2.通项公式若等差数列{a n }的首项是a 1，公差是d ，则其通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d . 3.前n 项和公式等差数列的前n 项和公式：2 2111)() (n n a a n d n n na S +=-+=其中n ∈N *，a 1为首项，d 为公差，a n 为第n 项). 3.等差数列的常用性质已知数列{a n }是等差数列，S n 是{a n }的前n 项和.

(1)通项公式的推广：*),()(N m n d m n a a m n ∈-+= (2)若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则有q p n m a a a a +=+。特别的，当p n m 2=+时，p n m a a a 2=+ (3)等差数列{a n }的单调性：当d ＞0时，{a n }是递增数列；当d ＜0时，{a n }是递减数列；当d ＝0时，{a n }是常数列. (4)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列. (5)若}{},{n n b a 是等差数列，则}{n n qb pa +仍是等差数列. 4.与等差数列各项和相关的性质（1）若}{n a 是等差数列，则}{n S n 也是等差数列，其首项与}{n a 的首项相同，公差为}{n a 的公差的 2 1。（2）数列m m m m m S S S S S 232--,,…也是等差数列. （3）关于非零等差数列奇数项与偶数项的性质。 a .若项数为n 2，则1 +==-n n a a S S nd S S 偶奇奇偶, 。 b .若项数为12-n ，则n a n n S )(1-=偶，n na S =奇，1 += =-n n S S a S S n 偶奇奇偶, 。（4）若两个等差数列}{},{n n b a 的前n 项和分别为n n T S ,，则 1 21 2--=n n n n T S b a 5.等差数列的前n 项和公式与函数的关系：（1）n d a n d S )(2 212-+= ，数列{a n }是等差数列? S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数). （2）在等差数列{a n }中，a 1＞0，d ＜0，则S n 存在最大值；若a 1＜0，d ＞0，则S n 存在最小值.

2019高考数学二轮复习专题三数列与不等式第1讲等差数列与等比数列学案

第1讲等差数列与等比数列 [考情考向分析] 1.等差、等比数列基本量和性质的考查是高考热点，经常以小题形式出现.2.等差、等比数列的判定及综合应用也是高考考查的重点，注意基本量及定义的使用，考查分析问题、解决问题的综合能力．热点一等差数列、等比数列的运算 1.通项公式等差数列：a n ＝a 1＋(n －1)d ；等比数列：a n ＝a 1·q n －1 . 2．求和公式等差数列：S n ＝ n (a 1＋a n ) 2 ＝na 1＋ n (n －1) 2 d ；等比数列：S n ＝????? a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q 1－q (q ≠1)，na 1(q ＝1). 3．性质若m ＋n ＝p ＋q ，在等差数列中a m ＋a n ＝a p ＋a q ；在等比数列中a m ·a n ＝a p ·a q . 例1 (1)(2018·全国Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若3S 3＝S 2＋S 4，a 1＝2，则a 5等于( ) A ．－12 B ．－10 C ．10 D ．12 答案 B 解析设等差数列{a n }的公差为d ，由3S 3＝S 2＋S 4，得3???? ??3a 1＋3×(3－1)2×d ＝2a 1＋2×(2－1)2×d ＋4a 1＋4×(4－1)2×d ，将a 1＝2代入上式，解得d ＝－3，故a 5＝a 1＋(5－1)d ＝2＋4×(－3)＝－10.故选B. (2)(2018·杭州质检)设各项均为正数的等比数列{a n }中，若S 4＝80，S 2＝8，则公比q ＝________，a 5＝________. 答案 3 162

等差等比数列基础练习题

针对练习A1：等差数列一、填空题 1. 等差数列8，5，2，…的第20项为___________. 2. 在等差数列中已知a 1=12, a 6=27,则d=___________ 3. 在等差数列中已知13 d =-，a 7=8，则a 1=_______________ 4. 2()a b +与2()a b -的等差中项是_______________ 5. 等差数列-10，-6，-2，2，…前___项的和是54 6. 正整数前n 个数的和是___________ 7. 数列{}n a 的前n 项和23n S n n -＝，则n a ＝___________ 8. 已知数列{}n a 的通项公式a n =3n －50，则当n=___时，S n 的值最小，S n 的最小值是_______。二、选择题 1. 一架飞机起飞时，第一秒滑跑 2.3米，以后每秒比前一秒多滑跑4.6米，离地的前一秒滑跑66.7米，则滑跑的时间一共是（） A. 15秒 B.16秒 C.17秒 D.18秒 2. 在等差数列{}n a 中31140a a +=，则45678910a a a a a a a -+++-+的值为（ c ） A.84 B.72 C.60 D.48 3. 在等差数列{}n a 中，前15项的和1590S = ，8a 为（A ） A.6 B.3 C.12 D.4 4. 等差数列{}n a 中, 12318192024,78a a a a a a ++=-++=,则此数列前20下昂的和等于（） A.160 B.180 C.200 D.220 5. 在等差数列{}n a 中,若34567450a a a a a ++++=，则28a a +的值等于（） A.45 B.75 C.180 D.300 6. 若lg2,lg(21),lg(23)x x -+成等差数列，则x 的值等于（） A.0 B. 2log 5 C. 32 D.0或32 7. 设n S 是数列{}n a 的前n 项的和，且2n S n =，则{}n a 是（） A.等比数列，但不是等差数列 B.等差数列，但不是等比数列 C.等差数列，且是等比数列 D.既不是等差数列也不是等比数列 8. 数列3，7，13，21，31，…的通项公式是（） A. 41n a n =- B. 322n a n n n =-++ C. 21n a n n =++ D.不存在

等差等比数列的性质总结

一、等差数列 1.等差数列的定义：d a a n n =--1（d 为常数）（2≥n ）； 2．等差数列通项公式： * 11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈ ，首项:1a ，公差:d ，末项:n a 推广： d m n a a m n )(-+=．从而m n a a d m n --=； 3．等差中项（1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2 b a A += 或b a A +=2 （2）等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a 4．等差数列的前n 项和公式： 1()2n n n a a S += 1(1)2n n na d -=+211 ()22 d n a d n =+-2An Bn =+ （其中A 、B 是常数，所以当d ≠0时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0）特别地，当项数为奇数21n +时，1n a +是项数为2n+1的等差数列的中间项 ()()()12121121212 n n n n a a S n a +++++= = +（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项） 5．等差数列的判定方法（1）定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数* ∈N n )? {}n a 是等差数列．（2）等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a ． ⑶数列{}n a 是等差数列?b kn a n +=（其中b k ,是常数）。（4）数列{}n a 是等差数列?2 n S An Bn =+,（其中A 、B 是常数）。 6．等差数列的证明方法定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数* ∈N n )? {}n a 是等差数列． 7.提醒：（1）等差数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：1a 、d 、n 、n a 及n S ，其中1a 、d 称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。（2）设项技巧： ①一般可设通项1(1)n a a n d =+- ②奇数个数成等差，可设为…，2,,,,2a d a d a a d a d --++…（公差为d ）； ③偶数个数成等差，可设为…，3,,,3a d a d a d a d --++,…（注意；公差为2d ） 8..等差数列的性质：（1）当公差0d ≠时，等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函数，且斜率为公差d ；前n 和211(1)()222 n n n d d S na d n a n -=+ =+-是关于n 的二次函数且常数项为0. （2）若公差0d >，则为递增等差数列，若公差0d <，则为递减等差数列，若公差0d =，则为常数列。（3）当m n p q +=+时,则有q p n m a a a a +=+，特别地，当2m n p +=时，则有2m n p a a a +=. 注：12132n n n a a a a a a --+=+=+=???，

高考备考等差等比数列教案

姓名：等差数列 1、已知等差数列{}n a ，219n a n =-，那么这个数列的前n 项和n s （） A.有最小值且是整数 B. 有最小值且是分数 C. 有最大值且是整数 D. 有最大值且是分数 2、已知等差数列{}n a 的公差1 2 d = ，8010042=+++a a a ，那么=100S A ．80 B ．120 C ．135 D ．160． 3、已知等差数列{}n a 中，6012952=+++a a a a ，那么=13S A ．390 B ．195 C ．180 D ．120 4、等差数列{}n a 的前m 项的和为30，前2m 项的和为100，则它的前3m 项的和为( ) A. 130 B. 170 C. 210 D. 260 5、一个等差数列前3项和为34，后3项和为146，所有项和为390，则这个数列的项数为（） A. 13 B. 12 C. 11 D. 10 6、已知某数列前n 项之和3n 为，且前n 个偶数项的和为)34(2 +n n ，则前n 个奇数项的和为（） A ．)1(32 +-n n B ．)34(2 -n n C ．23n - D ． 3 2 1n 7、等差数列{}n a 中，若638a a a =+，则9s = . 8、已知等差数列{}n a 的公差是正整数，且a 4,126473-=+-=?a a a ，则前10项的和 S 10= 9、一个等差数列共有10项，其中奇数项的和为 25 2 ，偶数项的和为15，则这个数列的第6项是 10、两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，若 3 37++=n n T S n n ，则8 8a b = , =+++11 513973b b a b b a 11、设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知312a =，12S >0，13S <0， ①求公差d 的取值范围； ②1212,,,S S S 中哪一个值最大？并说明理由.

等差等比数列综合题

高二数学必修五数列单元综合练习题一、选择题: 1.在等差数列｛a n ｝中，若4612a a +=，n S 是数列｛a n ｝的前n 项和，9S 则的值为（A ）48 (B)54 (C)60 (D)66 2．在等比数列{}n a 中，若0n a >且3764a a =，5a 的值为（A ）2 （B ）4 （C ）6 （D ）8 3．设{}n a 是等差数列，1359a a a ++=，69a =，则这个数列的前6项和等于（）Ａ．12 Ｂ．24 Ｃ．36 Ｄ．48 ４．在等差数列{}n a 中，若34567a +a +a +a +a =450,则28a +a =( ) ５．在等比数列{}n a 中，如果69a =6,a =9,那么3a 为（） (A )4 (B)23 (C)9 16 (D)2 ６.数列{}n a 中，123,6,a a ==且12n n n a a a ++=+，则2004a =（） B.－3 C.－6 ７．数列n {a }中，对任意自然数n ，n 12n a +a ++a =21???-，则22212n a +a ++a ???等于（） A.()2n 2-1 B. ()2n 12-13 C.n 4-1 D. ()n 14-13 ８．在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 5·a 6=9，则log 3a 1+log 3a 2+…+log 3a 10= ( ) A ．12 B ．10 C ．8 D ．2+log 35 ９．已知数列{a n }是等比数列，其前n 项和为S n =5n +k ，则常数k= ( ) A ． 1 B ．1 C ．0 D ．以上都不对１０．数列的前n 项和为 ( ) A ． B ． C ． D ．１１．对于数列{a n }，满足，则该数列前100项中的最大项和最小项分别是 ( ) A ．a 1，a 50 B ．a 1，a 44 C ．a 45，a 44 D ．a 45，a 50 １２．已知一等差数列的前四项的和为124，后四项的和为156，又各项和为210，则此等差数列共有（） A 、8项 B 、7项 C 、6项 D 、5项二、填空题： }232{3--n n 22124---n n 22724--+n n 22236-+-n n 32128-+-n n 20052004--=n n a n

等差数列与等比数列练习和解析(高考真题)

1．(2019·全国卷Ⅰ)记S n为等差数列{a n}的前n项和．已知S4＝0，a5＝5，则( ) A．a n＝2n－5 B．a n＝3n－10 C．S n＝2n2－8n D．S n＝1 2 n2－2n 2．(2019·长郡中学联考)已知数列{a n}满足，a n＋1＋2a n＝0，且a2＝2，则{a n}前10项的和等于( ) A.1－210 3 B．－ 1－210 3 C．210－1 D．1－210 3．已知等比数列{a n}的首项为1，公比q≠－1，且a5＋a4＝3(a3 ＋a2)，则9 a1a2a3…a9等于( ) A．－9 B．9 C．－81 D．81 4．(2018·全国卷Ⅰ)记S n为等差数列{a n}的前n项和，若3S3＝S2＋S4，a1＝2，则a5＝( ) A．－12 B．－10 C．10 D．12 5．(2019·山东省实验中学联考)已知等差数列{a n}的公差不为零，S n为其前n项和，S3＝9，且a2－1，a3－1，a5－1构成等比数列，则S5＝( ) A．15 B．－15 C．30 D．25 二、填空题 6．(2019·北京卷)设等差数列{a n}的前n项和为S n.若a2＝－3，S5＝－10，则a5＝________，S n的最小值为________． 7．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要

见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天才到达目的地．”则此人第4天走的里程是________里． 8．(2019·雅礼中学调研)若数列{a n }的首项a 1＝2，且a n ＋1＝3a n ＋2(n ∈N *)．令b n ＝log 3(a n ＋1)，则b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 100＝________．三、解答题 9．(2019·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．已知S 9 ＝－a 5. (1)若a 3＝4，求{a n }的通项公式； (2)若a 1＞0，求使得S n ≥a n 的n 的取值范围． 10．已知数列{a n }是等比数列，并且a 1，a 2＋1，a 3是公差为－3的等差数列． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝a 2n ，记S n 为数列{b n }的前n 项和，证明：S n ＜ 163 . B 级能力提升 11．(2019·广州调研)已知等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 1，a 3，a 13成等比数列，若a 1＝1，S n 是数列{a n }的前n 项和，则2S n ＋16a n ＋3 (n ∈N * )的最小值为( ) A ．4 B ．3 C ．23－2 D.92 12．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a ＝(a 1，1)，b ＝(1，a 10)，若a ·b ＝24，且S 11＝143，数列{b n }的前n 项和为T n ，且满足2a n －1

等差等比数列练习题(含答案)

一、选择题 1、如果一个数列既是等差数列，又是等比数列，则此数列（）（A ）为常数数列（B ）为非零的常数数列（C ）存在且唯一（D ）不存在 2.、在等差数列 {}n a 中，41=a ,且1a ,5a ,13a 成等比数列，则{}n a 的通项公式为（）（A ）13+=n a n （B ）3+=n a n （C ）13+=n a n 或4=n a （D ）3+=n a n 或4=n a 3、已知c b a ,,成等比数列，且y x ,分别为a 与b 、b 与c 的等差中项，则 y c x a +的值为（）（A ） 2 1 （B ）2- （C ）2 （D ）不确定 4、互不相等的三个正数c b a ,,成等差数列，x 是a ,b 的等比中项， y 是b ,c 的等比中项，那么2x ，2b ，2y 三个数（）（A ）成等差数列不成等比数列（B ）成等比数列不成等差数列（C ）既成等差数列又成等比数列（D ）既不成等差数列，又不成等比数列 5、已知数列 {}n a 的前n 项和为n S ,n n S n 24212+=+,则此数列的通项公式为（）（A ）22-=n a n （B ）28-=n a n （C ）12-=n n a （D ）n n a n -=2 6、已知))((4)(2z y y x x z --=-，则（）（A ）z y x ,,成等差数列（B ）z y x ,,成等比数列（C ） z y x 1,1,1成等差数列（D ）z y x 1 ,1,1成等比数列 7、数列 {}n a 的前n 项和1-=n n a S ，则关于数列{}n a 的下列说法中，正确的个数有（） ①一定是等比数列，但不可能是等差数列 ②一定是等差数列，但不可能是等比数列 ③可能是等比数列，也可能是等差数列 ④可能既不是等差数列，又不是等比数列 ⑤可能既是等差数列，又是等比数列（A ）4 （B ）3 （C ）2 （D ）1 8、数列1 ?,16 1 7,815,413,21,前n 项和为（）（A ）1212+-n n （B ）212112+-+n n （C ）1212+--n n n （D ）212 112 +--+n n n 9、若两个等差数列 {}n a 、{}n b 的前n 项和分别为n A 、n B ，且满足 5 524-+= n n B A n n ，则 13 5135b b a a ++的值为（）（A ） 9 7 （B ） 7 8 （C ） 2019 （D ）8 7 10、已知数列 {}n a 的前n 项和为252+-=n n S n ,则数列{}n a 的前10项和为（）（A ）56 （B ）58 （C ）62 （D ）60 11、已知数列 {}n a 的通项公式5+=n a n 为, 从{}n a 中依次取出第3，9，27，…3n , …项，按原来的顺序排成一个新的数列，则此数列的前n 项和为（）

等差等比数列练习题及答案

等差、等比数列练习一、选择题 1、等差数列{}n a 中，10120S =，那么110a a +=（） A. 12 B. 24 C. 36 D. 48 2、已知等差数列{}n a ，219n a n =-，那么这个数列的前n 项和n s （） A.有最小值且是整数 B. 有最小值且是分数 C. 有最大值且是整数 D. 有最大值且是分数 3、已知等差数列{}n a 的公差1 2 d =，8010042=+++a a a ，那么=100S A ．80 B ．120 C ．135 D ．160． 4、已知等差数列{}n a 中，6012952=+++a a a a ，那么=13S A ．390 B ．195 C ．180 D ．120 5、从前180个正偶数的和中减去前180个正奇数的和，其差为（） A. 0 B. 90 C. 180 D. 360 6、等差数列{}n a 的前m 项的和为30，前2m 项的和为100，则它的前3m 项的和为( ) A. 130 B. 170 C. 210 D. 260 7、在等差数列{}n a 中，62-=a ，68=a ，若数列{}n a 的前n 项和为n S ，则（） A.54S S < B.54S S = C. 56S S < D. 56S S = 8、一个等差数列前3项和为34，后3项和为146，所有项和为390，则这个数列的项数为（） A. 13 B. 12 C. 11 D. 10 9、已知某数列前n 项之和3n 为，且前n 个偶数项的和为)34(2 +n n ，则前n 个奇数项的和为（） A ．)1(32+-n n B ．)34(2-n n C ．2 3n - D ． 3 2 1n 10若一个凸多边形的内角度数成等差数列，最小角为100°，最大角为140°，这个凸多边形的边比为（） A ．6 B ．8 C ．10 D ．12 二．填空题 1、等差数列{}n a 中，若638a a a =+，则9s = . 2、等差数列{}n a 中，若2 32n S n n =+，则公差d = . 3、在小于100的正整数中，被3除余2的数的和是

等比数列性质及其应用知识点总结与典型例题(经典版)

等比数列知识点总结与典型例题 1、等比数列的定义：()()*1 2,n n a q q n n N a -=≠≥∈0且，q 称为公比 2、通项公式： ()11110,0n n n n a a a q q A B a q A B q -== =??≠?≠，首项：1a ；公比：q 推广：n m n m n n n m m a a a q q q a --=?=?=3、等比中项：（1）如果,,a A b 成等比数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项，即：2A ab =或A =注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（（2）数列{}n a 是等比数列211n n n a a a -+?=? 4、等比数列的前n 项和n S 公式：（1）当1q =时，1n S na = （2）当1q ≠时，()11111n n n a q a a q S q q --= = -- 11''11n n n a a q A A B A B A q q = -=-?=---（,,','A B A B 为常数） 5、等比数列的判定方法：（1）用定义：对任意的n ，都有1 1(0){}n n n n n n a a qa q q a a a ++==≠?或为常数，为等比数列（2）等比中项：21111(0){}n n n n n n a a a a a a +-+-=≠?为等比数列（3）通项公式：()0{}n n n a A B A B a =??≠?为等比数列 6、等比数列的证明方法：依据定义：若 ()()*1 2,n n a q q n n N a -=≠≥∈0且或1{}n n n a qa a +=?为等比数列 7、等比数列的性质：（2）对任何*,m n N ∈，在等比数列{}n a 中，有n m n m a a q -=。（3）若* (,,,) m n s t m n s t N +=+∈，则n m s t a a a a ?=?。特别的，当2m n k +=时，得2n m k a a a ?= 注：12132n n n a a a a a a --?=?=??? 等差和等比数列比较：

高考数学必考点等差数列与等比数列计算题专项

等差数列与等比数列测试题 1.在等差数列{a n }中，a 3+a 4+a 5=84，a 9=73. （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）对任意m ∈N ﹡，将数列{a n }中落入区间（9m ，92m ）内的项的个数记为bm ，求数列{b m }的前m 项和S m 。 2.已知等差数列{}n a 的前5项和为105，且2052a a =. (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式； (Ⅱ)对任意*m ∈N ，将数列{}n a 中不大于27 m 的项的个数记为m b .求数列{}m b 的前m 项和 m S . 3、设{}n a 是等差数列，1()2n a n b =，已知123218b b b ++= ，12318 b b b =，求等差数列{}n a 的通项公式。 4、设数列{}n a 为等差数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知7157,75S S ==,n T 为数列{n S n }的前n 项和，求n T 。 5、设n S 为数列{}n a 的前n 项和，2n S kn n =+，*n N ∈，其中k 是常数．（I ）求1a 及n a ；（II ）若对于任意的*m N ∈，m a ，2m a ，4m a 成等比数列，求k 的值．

6、设数列{}n a 的通项公式为(,0)n a pn q n N P *=+∈>. 数列{}n b 定义如下：对于正整数m ， m b 是使得不等式n a m ≥成立的所有n 中的最小值. （Ⅰ）若11 ,23 p q = =-，求3b ；（Ⅱ）若2,1p q ==-，求数列{}m b 的前2m 项和公式；（Ⅲ）是否存在p 和q ，使得32()m b m m N *=+∈？如果存在，求p 和q 的取值范围；如果不存在，请说明理由. 7、等比数列{n a }的前n 项和为n S ，已知对任意的n N +∈ ，点(,)n n S ，均在函数 (0x y b r b =+>且1,,b b r ≠均为常数)的图像上. （1）求r 的值；（11）当b=2时，记 1 ()4n n n b n N a ++=∈ 求数列{}n b 的前n 项和n T 8、已知{}n a 是公差为d 的等差数列，{}n b 是公比为q 的等比数列（1）若 31n a n =+，是否存在* ,m n N ∈，有1m m k a a a ++=？请说明理由；（2）若n n b aq =（a 、q 为常数，且aq ≠0）对任意m 存在k ，有1m m k b b b +?=，试求a 、q 满

等差、等比数列的综合问题

专题2 数列知识网络图解一、数列的概念、性质例①若数到{αn }满足αn+1 = 若α1=67 则α2009的值为（） A. 67 B.57 C. 37 D.1 7 ②αn 则数列{αn }最大项为（） A. α1 B. α45 C. α44 D. α2007 ③通项为αn =n 2 －α n+1的数列{αn }是递增数列，则实数α的取值范围为_________ 二、等差数列、等比数列知识整合 2αn ， 0≤αn ＜1 2 1 2 ≤αn ＜1 2αn －1，

要点热点探究例1（1）已知两个等差数列{αn }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且 n n A B =7453 n n ++，则使得 n n a b 为整数的正整数n 的个数是( ) （2）已知等差数列{αn }的前n 项和为S n ，若OB=α6O A ＋α195OC ，且A 、B 、C 三点共线（该直线不过点O ），则S 200等于（）（3）与差数列{αn }中，S 6=36，S n =324，S n －6=144，则n =___________ （4）等差数列{αn }共有2n ＋1次，其中奇数项之和为319，偶数次之和为290则其中间项的值为（） A. α9=10 B. α10 =16 C. α11 =29 D. α12=39 ()121 2112121*(21) 7(21)45122172131 (21)21,2,3,5,11 n n n n n n n n a a n a A n b b b B n n n a z n N n b ----+?--+ ====+ +-++?- ∈ ∈ ∴=Q 解 ()619512006195200 21 1 200200200100 222 A C a a a a a a s ,B,∴+=++=?=?=?=Q 三点共线

全国高考数学复习微专题：等比数列性质(含等差等比数列综合题)

等差等比数列的性质总结

等差数列与等比数列练习和解析(高考真题)

等差等比数列综合习题

等差数列、等比数列知识点梳理

高中数学-等比数列练习题(含答案)

等差、等比数列以及数列求和专题(汇编)

2019高考数学二轮复习专题三数列与不等式第1讲等差数列与等比数列学案

等差等比数列基础练习题

等差等比数列的性质总结

高考备考等差等比数列教案

等差等比数列综合题

等差数列与等比数列练习和解析(高考真题)

等差等比数列练习题(含答案)

等差等比数列练习题及答案

等比数列性质及其应用知识点总结与典型例题(经典版)

高考数学必考点 等差数列与等比数列 计算题专项

等差、等比数列的综合问题

高考数学必考点等差数列与等比数列计算题专项