数学归纳法经典例题详解
例1．用数学归纳法证明：
()()12121217
51531311+=+-++?+?+?n n n n ． 请读者分析下面的证法：
证明：①n =1时，左边31311=?=，右边3
1121=+=，左边=右边，等式成立． ②假设n =k 时，等式成立，即：
()()12121217
51531311+=+-++?+?+?k k k k ． 那么当n =k +1时，有：
()()()()32121121217
51531311++++-++?+?+?k k k k ????????? ??+-++??? ??+--++??? ??-+??? ??-+??? ?
?-=3211211211217151513131121k k k k 322221321121++?=??? ??+-=
k k k ()1
121321+++=++=k k k k 这就是说，当n =k +1时，等式亦成立．
由①、②可知，对一切自然数n 等式成立．
评述：上面用数学归纳法进行证明的方法是错误的，这是一种假证，假就假在没有利用归纳假设n =k 这一步，当n =k +1时，而是用拆项法推出来的，这样归纳假设起到作用，不符合数学归纳法的要求．
正确方法是：当n =k +1时．
()()()()32121121217
51531311++++-++?+?+?k k k k ()()
3212112++++=k k k k ()()()()()()
321211232121322++++=++++=k k k k k k k k
()1
121321+++=++=k k k k 这就说明，当n =k +1时，等式亦成立，
例2．是否存在一个等差数列{a n }，使得对任何自然数n ，等式：
a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2)
都成立，并证明你的结论．
分析：采用由特殊到一般的思维方法，先令n =1，2，3时找出来{a n }，然后再证明一般性． 解：将n =1，2，3分别代入等式得方程组．
?????=++=+=603224
26321
211a a a a a a ， 解得a 1=6，a 2=9，a 3=12，则d =3．
故存在一个等差数列a n =3n +3，当n =1，2，3时，已知等式成立．
下面用数学归纳法证明存在一个等差数列a n =3n +3，对大于3的自然数，等式
a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2)都成立．
因为起始值已证，可证第二步骤．
假设n =k 时，等式成立，即
a 1+2a 2+3a 3+…+ka k =k (k +1)(k +2)
那么当n =k +1时，
a 1+2a 2+3a 3+…+ka k +(k +1)a k +1
= k (k +1)(k +2)+ (k +1)[3(k +1)+3]
=(k +1)(k 2+2k +3k +6)
=(k +1)(k +2)(k +3)
=(k +1)[(k +1)+1][(k +1)+2]
这就是说，当n =k +1时，也存在一个等差数列a n =3n +3使a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2)成立． 综合上述，可知存在一个等差数列a n =3n +3，对任何自然数n ，等式a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2)都成立．
例3．证明不等式n n 21
31
21
1<++++ (n ∈N)．
证明：①当n =1时，左边=1，右边=2．
左边<右边，不等式成立．
②假设n =k 时，不等式成立，即k k 21
31
21
1<++++ ．
那么当n =k +1时，
1113
1
21
1++++++k k 11
12112+++=++ 1211211 1+=++=++++ 这就是说，当n =k +1时，不等式成立． 由①、②可知，原不等式对任意自然数n 都成立． 说明：这里要注意，当n =k +1时，要证的目标是 121113 1 21 1+<++++++k k k ，当代入归纳假设后，就是要证明： 12112+<++k k k ． 认识了这个目标，于是就可朝这个目标证下去，并进行有关的变形，达到这个目标． 例4．已知数列{a n }满足a 1=0，a 2=1，当n ∈N 时，a n +2=a n +1+a n ． 求证：数列{a n }的第4m +1项(m ∈N )能被3整除． 分析：本题由a n +1=a n +1+a n 求出通项公式是比较困难的，因此可考虑用数学归纳法． ①当m =1时，a 4m +1=a 5=a 4+a 3=(a 3+a 2)+(a 2+a 1)=a 2+a 1+a 2+a 2+a 1=3，能被3整除． ②当m =k 时，a 4k +1能被3整除，那么当n =k +1时， a 4(k +1)+1=a 4k +5=a 4k +4+a 4k +3 =a 4k +3+a 4k +2+a 4k +2+a 4k +1 =a 4k +2+a 4k +1+a 4k +2+a 4k +2+a 4k +1 =3a 4k +2+2a 4k +1 由假设a 4k +1能被3整除，又3a 4k +2能被3整除，故3a 4k +2+2a 4k +1能被3整除． 因此，当m =k +1时，a 4(k +1)+1也能被3整除． 由①、②可知，对一切自然数m ∈N ，数列{a n }中的第4m +1项都能被3整除． 例5．n个半圆的圆心在同一条直线l上，这n个半圆每两个都相交，且都在直线l的同侧，问这些半圆被所有的交点最多分成多少段圆弧？ 分析：设这些半圆最多互相分成f (n)段圆弧，采用由特殊到一般的方法，进行猜想和论证． 当n=2时，由图(1)．两个半圆交于一点，则分成4段圆弧，故f (2)=4=22． 当n=3时，由图(2)．三个半径交于三点，则分成9段圆弧，故f (3)=9=32． 由n=4时，由图(3)．三个半圆交于6点，则分成16段圆弧，故f (4)=16=42． 由此猜想满足条件的n个半圆互相分成圆弧段有f (n)=n2． 用数学归纳法证明如下： ①当n=2时，上面已证． ②设n=k时，f (k)=k2，那么当n=k+1时，第k+1个半圆与原k个半圆均相交，为获得最多圆弧，任意三个半圆不能交于一点，所以第k+1个半圆把原k个半圆中的每一个半圆中的一段弧分成两段弧，这样就多出k条圆弧；另外原k个半圆把第k+1个半圆分成k+1段，这样又多出了k+1段圆弧．∴ f (k+1)=k2+k+(k+1) =k2+2k+1=(k+1)2 ∴满足条件的k+1个半圆被所有的交点最多分成(k+1)2段圆弧． 由①、②可知，满足条件的n个半圆被所有的交点最多分成n2段圆弧． 说明：这里要注意；增加一个半圆时，圆弧段增加了多少条？可以从f (2)=4，f (3)=f (2)+2+3，f (4)=f (3)+3+4中发现规律：f (k+1)=f (k)+k+(k+1)． 例1．用数学归纳法证明： ()()12121217 51531311+=+-++?+?+?n n n n Λ． 请读者分析下面的证法： 证明：①n =1时，左边31311=?=，右边3 1121=+=，左边=右边，等式成立． ②假设n =k 时，等式成立，即： ()()12121217 51531311+=+-++?+?+?k k k k Λ． 那么当n =k +1时，有： ()()()()32121121217 51531311++++-++?+?+?k k k k Λ ????????? ??+-++??? ??+--++??? ??-+??? ??-+??? ? ?-=3211211211217151513131121k k k k Λ 322221321121++?=??? ??+-= k k k ()1 121321+++=++=k k k k 这就是说，当n =k +1时，等式亦成立． 由①、②可知，对一切自然数n 等式成立． 评述：上面用数学归纳法进行证明的方法是错误的，这是一种假证，假就假在没有利用归纳假设n =k 这一步，当n =k +1时，而是用拆项法推出来的，这样归纳假设起到作用，不符合数学归纳法的要求． 正确方法是：当n =k +1时． ()()()()32121121217 51531311++++-++?+?+?k k k k Λ ()() 3212112++++=k k k k ()()()()()() 321211232121322++++=++++=k k k k k k k k ()1 121321+++=++=k k k k 这就说明，当n =k +1时，等式亦成立， 例2．是否存在一个等差数列{a n }，使得对任何自然数n ，等式： a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2) 都成立，并证明你的结论． 分析：采用由特殊到一般的思维方法，先令n =1，2，3时找出来{a n }，然后再证明一般性． 解：将n =1，2，3分别代入等式得方程组． ?????=++=+=603224 26321 211a a a a a a ， 解得a 1=6，a 2=9，a 3=12，则d =3． 故存在一个等差数列a n =3n +3，当n =1，2，3时，已知等式成立． 下面用数学归纳法证明存在一个等差数列a n =3n +3，对大于3的自然数，等式 a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2)都成立． 因为起始值已证，可证第二步骤． 假设n =k 时，等式成立，即 a 1+2a 2+3a 3+…+ka k =k (k +1)(k +2) 那么当n =k +1时， a 1+2a 2+3a 3+…+ka k +(k +1)a k +1 = k (k +1)(k +2)+ (k +1)[3(k +1)+3] =(k +1)(k 2+2k +3k +6) =(k +1)(k +2)(k +3) =(k +1)[(k +1)+1][(k +1)+2] 这就是说，当n =k +1时，也存在一个等差数列a n =3n +3使a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2)成立． 综合上述，可知存在一个等差数列a n =3n +3，对任何自然数n ，等式a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2)都成立． 例3．证明不等式n n 21 31 21 1<++++Λ (n ∈N)． 证明：①当n =1时，左边=1，右边=2． 数列 数学归纳法测试题 班级 姓名 得分 . 一、选择题： 1、等差数列{n a }中，a 3＋a 7－a 10=8，a 11－a 4=4，则S 13=…………………………………………( ) (A )168 (B ) 156 (C )78 (D ) 152 2、数列{n a }、{n b }都是等差数列，a 1=25，b 1=75，a 100＋b 100=100，则{n a ＋n b }的前100项和为( ) (A )0 (B )100 (C )10000 (D )102400 3、等差数列5，244,3,77 ，第n 项到第n ＋6项的和为T ，则|T|最小时，n=…………………( ) (A )6 (B )5 (C ）4 （D ）3 4、等差数列{n a }满足123101a a a a ++++ =0，则有……………………………………………( ) (A )11010a a +> （B ）21000a a +< （C ）3990a a += （D ）5151a = 5、一个首项为正数的等差数列中，S 3=S 11，则当S n 最大知，n=……………………………………（ ） (A )5 (B ) 6 (C )7 (D ) 8 6、{n a }为等比数列，{n b }是等差数列，b 1=0，n c =n a ＋n b ，如果数列{n c }是1，1，2，…，则{n c }的前10项和为……………………………………………………………………………………（ ） (A ) 978 (B ) 557 (C ) 467 (D )以上都不对 7、若相异三数(),(),()a b c b c a c a b ---组成公比为q 的等比数列，则…………………………（ ） (A )210q q ++= (B ) 210q q -+= (C ) 210q q +-= (D ) 210q q --= 8、{n a }的前n 项和为S n =232n n -，当n ≥2时，有…………………………………………………（ ） (A )n S >n na >1na (B ) n S 欢迎阅读数学归纳法典型例题 一. 教学内容： 高三复习专题：数学归纳法 二. 教学目的 掌握数学归纳法的原理及应用 三. 教学重点、难点 四. ??? ??? （1 ??? （2（）时命题成立，证明当时命题也成立。??? 开始的所有正整数 ??? 即只 称为数学归纳法，这两步各司其职，缺一不可，特别指出的是，第二步不是判断命题的真伪，而是证明命题是否具有传递性，如果没有第一步，而仅有第二步成立，命题也可能是假命题。 【要点解析】 ? 1、用数学归纳法证明有关问题的关键在第二步，即n＝k＋1时为什么成立，n＝k＋1时成立是利用假设n＝k时成立，根据有关的定理、定义、公式、性质等数学结论推证出n＝k＋1时成立，而不是直接代入，否则n＝k＋1时也成假设了，命题并没有得到证明。 ??? 用数学归纳法可证明有关的正整数问题，但并不是所有的正整数问题都是用数学归纳法证明的，学习时要具体问题具体分析。 ? 2、运用数学归纳法时易犯的错误 ??? （1）对项数估算的错误，特别是寻找n＝k与n＝k＋1的关系时，项数发生什么变化被弄错。 ??? （2）没有利用归纳假设：归纳假设是必须要用的，假设是起桥梁作用的，桥梁断了就通不过去了。 ??? （3）关键步骤含糊不清，“假设n＝k时结论成立，利用此假设证明n＝k＋1时结论也成立”，是数学归纳法的关键一步，也是证明问题最重要的环节，对推导的过程要把步骤写完整，注意证明过程的严谨性、规范性。 ? 例1. 时，。 ，右边，左边 时等式成立，即有，则当时， 由①，②可知，对一切等式都成立。 的取值是否有关，由到时 （2 到 本题证明时若利用数列求和中的拆项相消法，即 ，则这不是归纳假设，这是套用数学归纳法的一种伪证。 （3）在步骤②的证明过程中，突出了两个凑字，一“凑”假设，二“凑”结论，关键是明确 时证明的目标，充分考虑由到时，命题形式之间的区别和联系。 数学 法 1 1 1 1．用数学 法 明 1＋2＋3?＋ 2n －1＜ n( n ∈N ，且 n ＞1) ，第一步要 的不 等式是 ________． 1 1 1 1 1 1 1 1 2. 用数学 法 明 1－2＋3－4＋?＋ 2n － 1－2n ＝n ＋1＋n ＋2＋2n ， 当 n ＝k ＋1 ，左端 在 n ＝k 的基 上加上 ________． 3. 已知 S k ＝ 1 ＋ 1 ＋ 1 ＋?＋ 1 (k ＝ 1,2,3，? )， S k ＋ 1 等于 ( ) k ＋ 1 k ＋ 2 k ＋ 3 2k A ． S k ＋ 1 B ． S k ＋ 1 － 1 C ．S k ＋ 1 － 1 D ．S k ＋ 1 ＋ 1 2(k ＋ 1) 2k ＋ 1 k ＋1 2k ＋1 2k ＋ 2 2k ＋ 1 2k ＋ 2 3. 用数学 法 明： 12 22 n 2 n(n ＋1) ＋ ＋?＋ (2n －1)(2n ＋ 1) ＝ ；当推 当 n ＝k ＋ 1 等式也成立 ， 1×3 3×5 2(2n ＋1) 用上 假 后需要 明的等式是 . 4.用数学 法 明： 1 ×4＋2×7＋3×10＋?＋ n(3n ＋1) ＝n(n ＋1) 2 (n ∈N)。 2.n ∈N ， 比 2 n 与(n ＋1) 2 的大小，并用 明你的 。 5.已知数列 a n 的前 n 和 S n 1 na n (n N * ) ． （ 1） 算 a 1 ， a 2 ， a 3 ， a 4 ；（ 2）猜想 a n 的表达式，用数学 法 明你的 ． 6 . 数列 {a n } 的通公式 a n＝ 1 2 (n ∈N)， f(n) ＝ (1 －a 1 )(1 －a 2 ) ?(1 (n 1) －a n ) ，求 f(1) 、f(2) 、f(3) 的，推出 f(n) 的，并用数学法加以明。 7 . 8.用数学法明： 1× 4＋ 2× 7＋3× 10＋?＋ n(3n ＋1) ＝ n(n ＋1)2( 其中 n∈N＋) ． 数学归纳法（2016.4.21） 一、用数学归纳法证明与正整数有关命题的步骤是： （1）证明当n 取第一个值0n （如01n =或2等）时结论正确； （2）假设当0(N ,)n k k k n *=∈≥ 时结论正确，证明1n k =+时结论也正确． 综合（1）、（2），…… 注意：数学归纳法使用要点： 两步骤,一结论。 二、题型归纳： 题型1.证明代数恒等式 例1．用数学归纳法证明： ()()12121217 51531311+=+-++?+?+?n n n n Λ 证明：①n =1时，左边31311=?=，右边3 1121=+=，左边=右边，等式成立． ②假设n =k 时，等式成立，即： ()()12121217 51531311+=+-++?+?+?k k k k Λ． 当n =k +1时． ()()()()32121121217 51531311++++-++?+?+?k k k k Λ ()() 3212112++++=k k k k ()()()()()() 321211232121322++++=++++=k k k k k k k k ()1 121321+++=++=k k k k 这就说明，当n =k +1时，等式亦成立， 由①、②可知，对一切自然数n 等式成立． 题型2.证明不等式 例2．证明不等式n n 21 31 21 1<++++Λ (n ∈N)． 证明：①当n =1时，左边=1，右边=2． 左边<右边，不等式成立． ②假设n =k 时，不等式成立，即k k 2131211<++++ Λ． 那么当n =k +1时， 11 1 31 21 1++++++k k Λ 1 1 1211 2+++=++ 【关键字】认识、问题、要点 数学归纳法（ 一、用数学归纳法证明与正整数有关命题的步骤是： （1）证明当n 取第一个值0n （如01n =或2等）时结论正确； （2）假设当0(N ,)n k k k n *=∈≥ 时结论正确，证明1n k =+时结论也正确． 综合（1）、（2），…… 注意：数学归纳法使用要点： 两步骤,一结论。 二、题型归纳： 题型1.证明代数恒等式 例1．用数学归纳法证明： 证明：①n =1时，左边31311=?=，右边3 1121=+=，左边=右边，等式成立． ②假设n =k 时，等式成立，即： ()()12121217 51531311+=+-++?+?+?k k k k ． 当n =k +1时． 这就说明，当n =k +1时，等式亦成立， 由①、②可知，对一切自然数n 等式成立． 题型2.证明不等式 例2．证明不等式n n 21 31 21 1<++++ (n ∈N)． 证明：①当n =1时，左边=1，右边=2． 左边<右边，不等式成立． ②假设n =k 时，不等式成立，即k k 2131211<++++ ． 那么当n =k +1时， 这就是说，当n =k +1时，不等式成立． 由①、②可知，原不等式对任意自然数n 都成立． 说明：这里要注意，当n =k +1时，要证的目标是 1211 1 31 21 1+<++++++k k k ，当代入归纳假设后，就是要证明： 1211 2+<++k k k ． 认识了这个目标，于是就可朝这个目标证下去，并进行有关的变形，达到这个目标． 题型3.证明数列问题 例3 (x ＋1)n ＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋a 3(x －1)3＋…＋a n (x －1)n (n ≥2，n ∈N *)． (1)当n ＝5时，求a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5的值． (2)设b n ＝ a 22n －3，T n ＝ b 2＋b 3＋b 4＋…＋b n .试用数学归纳法证明：当n ≥2时，T n ＝n (n ＋1)(n －1)3 . 解： (1)当n ＝5时， 原等式变为(x ＋1)5＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋a 3(x －1)3＋a 4(x －1)4＋a 5(x －1)5 令x ＝2得a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝35＝243. (2)因为(x ＋1)n ＝[2＋(x －1)]n ，所以a 2＝C n 2·2n －2 b n ＝a 22 n －3＝2C n 2＝n (n －1)(n ≥2) ①当n ＝2时．左边＝T 2＝b 2＝2， 右边＝2(2＋1)(2－1)3 ＝2，左边＝右边，等式成立． ②假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，等式成立， 即T k ＝k (k ＋1)(k －1)3 成立 那么，当n ＝k ＋1时， 左边＝T k ＋b k ＋1＝k (k ＋1)(k －1)3＋(k ＋1)[(k ＋1)－1]＝k (k ＋1)(k －1)3 ＋k (k ＋1) ＝k (k ＋1)?? ??k －13＋1＝k (k ＋1)(k ＋2)3 ＝(k ＋1)[(k ＋1)＋1][(k ＋1)－1]3 ＝右边． 故当n ＝k ＋1时，等式成立． 综上①②，当n ≥2时，T n ＝n (n ＋1)(n －1)3 . 数学归纳法例题讲解 例1．用数学归纳法证明： ()() 1 212121 7 515 313 11+= +-+ +?+ ?+ ?n n n n ． 请读者分析下面的证法： 证明：①n =1时，左边3 13 11=?= ，右边3 11 21= += ，左边=右边，等式成立． ②假设n =k 时，等式成立，即： ()() 1 212121 7 515 313 11+= +-+ +?+ ?+ ?k k k k ． 那么当n =k +1时，有： ()()()() 32121 12121 7 515 313 11+++ +-+ +?+ ?+ ?k k k k ?? ??????? ??+-++??? ??+--++??? ??-+??? ??-+??? ??-= 321121121121 7151513131121k k k k 3 22 221321121++? =??? ??+-= k k k ()1 1213 21+++= ++= k k k k 这就是说，当n =k +1时，等式亦成立． 由①、②可知，对一切自然数n 等式成立． 评述：上面用数学归纳法进行证明的方法是错误的，这是一种假证，假就假在没有利用归纳假设n =k 这一步，当n =k +1时，而是用拆项法推出来的，这样归纳假设起到作用，不符合数学归纳法的要求． 正确方法是：当n =k +1时． ()()()() 32121 12121 7 515 313 11+++ +-+ +?+ ?+ ?k k k k ()() 321211 2+++ += k k k k ()() ()()()() 321211232121 322 ++++= ++++= k k k k k k k k ()1 1213 21+++= ++= k k k k 这就说明，当n =k +1时，等式亦成立， 例2．是否存在一个等差数列{a n }，使得对任何自然数n ，等式： a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2) 都成立，并证明你的结论． 分析：采用由特殊到一般的思维方法，先令n =1，2，3时找出来{a n }，然后再证明一般性． 解：将n =1，2，3分别代入等式得方程组． ??? ??=++=+=60 3224 26321 211a a a a a a ， 解得a 1=6，a 2=9，a 3=12，则d =3． 故存在一个等差数列a n =3n +3，当n =1，2，3时，已知等式成立． 下面用数学归纳法证明存在一个等差数列a n =3n +3，对大于3的自然数，等式 a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2)都成立． 因为起始值已证，可证第二步骤． 假设n =k 时，等式成立，即 a 1+2a 2+3a 3+…+ka k =k (k +1)(k +2) 那么当n =k +1时， a 1+2a 2+3a 3+…+ka k +(k +1)a k +1 = k (k +1)(k +2)+ (k +1)[3(k +1)+3] =(k +1)(k 2+2k +3k +6) =(k +1)(k +2)(k +3) =(k +1)[(k +1)+1][(k +1)+2] 这就是说，当n =k +1时，也存在一个等差数列a n =3n +3使a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2)成立． 综合上述，可知存在一个等差数列a n =3n +3，对任何自然数n ，等式a 1+2a 2+3a 3+… 导数典型例题 导数作为考试内容的考查力度逐年增大.考点涉及到了导数的所有内容，如导数的定义，导数的几何意义、物理意义，用导数研究函数的单调性，求函数的最（极）值等等，考查的题型有客观题（选择题、填空题）、主观题（解答题）、考查的形式具有综合性和多样性的特点.并且，导数与传统内容如二次函数、二次方程、三角函数、不等式等的综合考查成为新的热点. 一、与导数概念有关的问题 【例1】函数f (x )=x (x -1) (x -2)…(x -100)在x=0处的导数值为 .1002 C ！ 解法一 f ＇(0)=x f x f x ?-?+→?) 0()0(lim = x x x x x ?--?-?-??→?0 )100()2)(1(lim 0 Λ =lim 0 →?x (Δx -1)(Δx -2)…(Δx -100)=（-1）（-2）…（-100）=100！ ∴选D. 解法二 设f (x )=a 101x 101+ a 100x 100+…+ a 1x +a 0，则f ＇(0)= a 1，而a 1=（-1）（-2）…（-100）=100！. ∴选D. 点评 解法一是应用导数的定义直接求解，函数在某点的导数就是函数在这点平均变化率的极限.解法二是根据导数的四则运算求导法则使问题获解. 【例2】 已知函数f (x )=n n n k k n n n n x c n x c k x c x c c 11212210 ++++++ΛΛ，n ∈N *，则 x x f x f x ??--?+→?) 2()22(lim 0 = . 解 ∵ x x f x f x ??--?+→?) 2()22(lim 0 =2x f x f x ?-?+→?2) 2()22(lim + []x f x f x ?--?-+→?-) 2()(2lim 0 =2f ＇(2)+ f ＇(2)=3 f ＇(2)， 又∵f ＇(x )=1 1 2 1 --+++++n n n k k n n n x c x c x c c ΛΛ， ∴f ＇(2)= 21（2n n n k n k n n c c c c 222221+++++ΛΛ）=21[(1+2)n -1]= 2 1(3n -1). 点评 导数定义中的“增量Δx ”有多种形式，可以为正也可以为负，如 x m x f x m x f x ?--?-→?-)()(000 lim ，且其定义形式可以是 x m x f x m x f x ?--?-→?) ()(000 lim ，也可以是 00 ) ()(lim x x x f x f x --→?（令Δx =x -x 0得到），本题是导数的定义与多项式函数求导及二项式定理有关 知识的综合题，连接交汇、自然，背景新颖. 【例3】 如圆的半径以2 cm/s 的等速度增加，则圆半径R =10 cm 时，圆面积增加的速度是 . 数学归纳法 一、选择题（共12小题；共60分） 1. 记凸边形的内角和为，则凸边形的内角和 A. B. C. D. 2. 下列代数式，，能被整除的是 A. B. C. D. 3. 已知，用数学归纳法证明不等式时，比 多的项数为 A. B. C. D. 4. 设，那么等于． A. B. C. D. 5. 如果命题对成立，则它对也成立，现已知对不成立，则下列 结论中正确的是 A. 对成立 B. 对且成立 C. 对且成立 D. 对且不成立 6. 用数学归纳法证明能被整除时，由归纳假设推证时命题成立，需将 时的原式表示为 A. B. C. D. 以上都不对 7. 某个关于自然数的命题，如果当时该命题成立，那么可推得时该命题 也成立．现已知当时该命题不成立，那么可推得 A. 当时，该命题不成立 B. 当时，该命题不成立 C. 当时，该命题成立 D. 当时，该命题成立 8. 用数学归纳法证明不等式“”时的过程中，由到时， 不等式的左边 A. 增加了一项 B. 增加了两项 C. 增加了两项，又减少了一项 D. 增加了一项，又减少了一项 9. 平面内有条直线，最多可将平面分成个区域，则的表达式为 A. B. C. D. 10. 用数学归纳法证明命题" 能被整除"要利用归纳假设证 时的情况，只需展开 A. B. C. D. 11. 已知对一切都成立，那么，的可能值为 A. B. ， C. ， D. 不存在这样的， 12. 证明：，当时，中间式子等于 A. B. C. D. 二、填空题（共5小题；共25分） 13. 用数学归纳法证明：．第一步即证不等式成立． 14. 用数学归纳法证明时，设为，则 为． 15. 使不成立的最小正整数为． 16. 用数学归纳法证明时，设为，则为 ． 17. 用数学归纳法证明能被整除，在时变为证明． 三、解答题（共5小题；共65分） 18. 用数学归纳法证明： ． 19. 用数学归纳法证明：． 20. 已知满足，且，问是否存在实数 ，使对任何都成立，证明你的结论． 21. 是否存在正整数，使得对任意自然数都能被整除?若存在，求 出最大的的值，并证明你的结论；若不存在，请说明理由． 22. 平面内有条直线，其中无任何两条平行，也无任何三条共点，求证：这条直线把平面分割 成块． *实用文库汇编之数学归纳法（2016.4.21）* 一、用数学归纳法证明与正整数有关命题的步骤是： （1）证明当n 取第一个值0n （如01n =或2等）时结论正确； （2）假设当0(N ,)n k k k n *=∈≥ 时结论正确，证明1n k =+时结论也正确． 综合（1）、（2），…… 注意：数学归纳法使用要点： 两步骤,一结论。 二、题型归纳： 题型1.证明代数恒等式 例1．用数学归纳法证明： ()()12121217 51531311+=+-++?+?+?n n n n 证明：①n =1时，左边31311=?=，右边3 1121=+=，左边=右边，等式成立． ②假设n =k 时，等式成立，即： ()()12121217 51531311+=+-++?+?+?k k k k ． 当n =k +1时． ()()()()32121121217 51531311++++-++?+?+?k k k k ()() 3212112++++=k k k k ()()()()()() 321211232121322++++=++++=k k k k k k k k ()1 121321+++=++=k k k k 这就说明，当n =k +1时，等式亦成立， 由①、②可知，对一切自然数n 等式成立． 题型2.证明不等式 例2．证明不等式n n 21 31 21 1<++++ (n ∈N)． 证明：①当n =1时，左边=1，右边=2． 左边<右边，不等式成立． ②假设n =k 时，不等式成立，即k k 2131211<++++ ． 那么当n =k +1时， 11 1 31 21 1++++++k k 1 1 1211 2+++=++ 2 矩阵 矩阵是学好线性代数这门课程的基础，而对于初学者来讲，对于矩阵的理解是尤为的重要；许多学生在最初的学习过程中感觉矩阵很难，这也是因为对矩阵所表示的内涵模糊的缘故。其实当我们把矩阵与我们的实际生产经济活动相联系的时候，我们才会发现，原来用矩阵来表示这些“繁琐”的事物来是多么的奇妙！于是当我们对矩阵产生无比的兴奋时，那么一切问题都会变得那么的简单! 2.1 知识要点解析 2.1.1 矩阵的概念 1．矩阵的定义 由m×n个数a ij（i 1,2, ,m; j 1,2, , n）组成的m行n 列的矩形数表 a11 a12 a1n a2n a m1 a m2 a mn 称为m×n矩阵，记为 A （a ij ）m n 2．特殊矩阵 （1）方阵：行数与列数相等的矩阵； （2）上（下）三角阵：主对角线以下（上）的元素全为零的方阵称为上（下）三角阵； （3）对角阵：主对角线以外的元素全为零的方阵； （4）数量矩阵：主对角线上元素相同的对角阵； （5）单位矩阵：主对角线上元素全是 1 的对角阵，记为E； （6）零矩阵：元素全为零的矩阵。 3．矩阵的相等 设 A (a ij )mn; B (b ij )mn 若a ij b ij(i 1,2, ,m; j 1,2, ,n)，则称 A 与B相等，记为A=B 2.1.2 矩阵的运算 1．加法 (1)定义：设 A (A ij )mn ,B (b ij ) mn ，则 C A B (a ij b ij )mn (2) 运算规律 ① A+B=B+A ； ②( A+B )+C=A+(B+C ) ③ A+O=A ④ A+(-A ) =0， –A 是 A 的负矩阵 2．数与矩阵的乘法 (1)定义：设 A (a ij ) mn , k 为常数，则 kA (ka ij )mn (2)运算规律 ①K (A+B) =KA+KB , ② (K+L )A=KA+LA , ③ (KL) A= K (LA) 3．矩阵的乘法 (1)定义：设 A (a ij )mn ,B (b ij )np .则 n AB C (C ij )mp ,其中 C ij a ik b kj k1 (2) 运算规律 ① (AB)C A (BC) ；② A(B C) AB AC ③ (B C)A BA CA 3)方阵的幂 ①定义：A (a ij ) n ，则 A k A K A ②运算规律： A m A n A m n (A m )n A (4)矩阵乘法与幂运算与数的运算不同之处。 ① AB BA ② AB 0, 不能推出 A 0或B 0; ③ (AB)k A k B k 4．矩阵的转置 (1) 定义：设矩阵 A=(a ij )mn ，将 A 的行与列的元素位置交换，称为矩阵 A 的转置，记为 A T (a ji )nm ， (2) 运算规律 ①(A T )T A; ②(A B)T A T B T ； ③(kA)T KA T ; ④ (AB)T B T A T 。 数学归纳法经典练习及 解答过程 文稿归稿存档编号：[KKUY-KKIO69-OTM243-OLUI129-G00I-FDQS58- 第七节数学归纳法 知识点数学归纳法 证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立． (2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立． 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．易误提醒运用数学归纳法应注意： (1)第一步验证n＝n0时，n0不一定为1，要根据题目要求选择合适的起始值． (2)由n＝k时命题成立，证明n＝k＋1时命题成立的过程中，一定要用到归纳假设，否则就不是数学归纳法． [自测练习] 1．已知f(n)＝1 n ＋ 1 n＋1 ＋ 1 n＋2 ＋…＋ 1 n2 ，则( ) A．f(n)中共有n项，当n＝2时，f(2)＝1 2 ＋ 1 3 B．f(n)中共有n＋1项，当n＝2时，f(2)＝1 2 ＋ 1 3 ＋ 1 4 C．f(n)中共有n2－n项，当n＝2时，f(2)＝1 2 ＋ 1 3 D．f(n)中共有n2－n＋1项，当n＝2时，f(2)＝1 2 ＋ 1 3 ＋ 1 4 解析：从n到n2共有n2－n＋1个数，所以f(n)中共有n2－n＋1项，且f(2)＝1 2 ＋ 1 3 ＋ 1 4 ，故选D. 答案：D 2．(2016·黄山质检)已知n 为正偶数，用数学归纳法证明1－12＋13－14＋…＋1 n ＋1 ＝ 2? ???? 1n ＋2＋1n ＋4 ＋…＋12n 时，若已假设n ＝k (k ≥2为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证n ＝( )时等式成立( ) A ．k ＋1 B ．k ＋2 C ．2k ＋2 D ．2(k ＋2) 解析：根据数学归纳法的步骤可知，则n ＝k (k ≥2为偶数)下一个偶数为k ＋2，故选B. 答案：B 考点一 用数学归纳法证明等式| 求证：(n ＋1)(n ＋2)·…·(n ＋n )＝2n ·1·3·5·…·(2n －1)(n ∈N *)． [证明] (1)当n ＝1时，等式左边＝2，右边＝21·1＝2，∴等式成立． (2)假设当n ＝k (k ∈N *)时，等式成立，即(k ＋1)(k ＋2)·…·(k ＋k )＝2k ·1·3·5·…·(2k －1)． 当n ＝k ＋1时，左边＝(k ＋2)(k ＋3)·…·2k ·(2k ＋1)(2k ＋2) ＝2·(k ＋1)(k ＋2)(k ＋3)·…·(k ＋k )·(2k ＋1) ＝2·2k ·1·3·5·…·(2k －1)·(2k ＋1) ＝2k ＋1·1·3·5·…·(2k －1)(2k ＋1)． 这就是说当n ＝k ＋1时，等式成立． 根据(1)，(2)知，对n ∈N *，原等式成立． 1．用数学归纳法证明下面的等式： 12－22＋32－42＋…＋(－1)n －1·n 2＝(－1)n －1n ?n ＋1? 2 . 证明：(1)当n ＝1时，左边＝12＝1， 右边＝(－1)0 ·1×?1＋1? 2 ＝1， ∴原等式成立． (2)假设n ＝k (k ∈N *，k ≥1)时，等式成立， A. n －1 B. n ＋1－1 C. n ＋1－2 D. n ＋2－2 高中数学高考总复习数学归纳法习题及详解 一、选择题 1 1 . 已知a ＝ ，数列{a }的前n 项和为S ，已计算得S ＝ 2－1， S ＝ 3－1，S ＝1， n n ＋1＋ n n n 1 2 3 由此可猜想 S n ＝( ) [答案] B 1 1 1 1 2．已知 S k ＝ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋…＋ (k ＝1,2,3，…)，则 S k ＋1 等于( ) k 1 k 2 k 3 2k 1 A. S k ＋ ＋ 2(k 1) 1 1 B. S k ＋ ＋ － ＋ 2k 1 k 1 1 1 C. S k ＋ ＋ － ＋ 2k 1 2k 2 1 1 D. S k ＋ ＋ ＋ ＋ 2k 1 2k 2 [答案] C 1 1 1 1 1 1 1 [解析] S k ＋1＝ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋…＋ ＝ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋…＋ ＝ ＋ ＋ ＋ (k 1 1 1 1) 1 1 (k 1) 2 1 2(k 1) 1 1 k 2 k 3 2k 2 k 1 ＋…＋ ＋ ＋ ＋ － ＋ ＋ ＋ ＝S k ＋ ＋ － ＋ . k 2 2k 2k 1 2k 2 k 1 2k 1 2k 2 3. 对于不等式 1°当 n ＝1 时， n 2＋n ≤n ＋1(n ∈N *)，某人的证明过程如下： 12＋1≤1＋1，不等式成立. 2°假设 n ＝k (k ∈N *)时不等式成立，即 k 2＋k 实用文档 文案大全数学归纳法典型例题 一. 教学内容： 高三复习专题：数学归纳法 二. 教学目的 掌握数学归纳法的原理及应用 三. 教学重点、难点 数学归纳法的原理及应用 四. 知识分析 【知识梳理】 数学归纳法是证明关于正整数n的命题的一种方法，在高等数学中有着重要的用途，因而成为高考的热点之一。近几年的高考试题，不但要求能用数学归纳法去证明现代的结论，而且加强了对于不完全归纳法应用的考查，既要求归纳发现结论，又要求能证明结论的正确性，因此，初步形成“观察—－归纳—－猜想—－证明”的思维模式，就显得特别重要。 一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： （1）（归纳奠基）证明当n取第一个值n = n0时命题成立； （2）（归纳递推）假设n= k（）时命题成立， 证明当时命题也成立。 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从开始的所有正整数n 都成立。上述证明方法叫做数学归纳法。 数学归纳法是推理逻辑，它的第一步称为奠基步骤，是论证的基础保证，即通过验证落实传递的起点，这个基础必须真实可靠；它的第二步称为递推步骤，是命题具有后继传递性的保证，即只要命题对某个正整数成立，就能保证该命题对后继正整数都成立，两步合在一起为完全归纳步骤，称为数学归纳法，这两步 实用文档 文案大全各司其职，缺一不可，特别指出的是，第二步不是判断命题的真伪，而是证明命题是否具有传递性，如果没有第一步，而仅有第二步成立，命题也可能是假命题。 【要点解析】 1、用数学归纳法证明有关问题的关键在第二步，即n＝k＋1时为什么成立，n＝k＋1时成立是利用假设n＝k时成立，根据有关的定理、定义、公式、性质等数学结论推证出n＝k＋1时成立，而不是直接代入，否则n ＝k＋1时也成假设了，命题并没有得到证明。 用数学归纳法可证明有关的正整数问题，但并不是所有的正整数问题都是用数学归纳法证明的，学习时要具体问题具体分析。 2、运用数学归纳法时易犯的错误 （1）对项数估算的错误，特别是寻找n＝k与n＝k＋1的关系时，项数发生什么变化被弄错。 2.3数学归纳法 第1课时数学归纳法 1．用数学归纳法证明“2n>n2＋1对于n≥n0的自然数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取 ()．A．2 B．3 C．5 D．6 解析当n取1、2、3、4时2n>n2＋1不成立，当n＝5时，25＝32>52＋1＝26，第一个能使2n>n2＋1的n值为5，故选C. 答案 C 2．用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝(n＋3)(n＋4) 2(n∈N＋)，验证n ＝1时，左边应取的项是 ()．A．1 B．1＋2 C．1＋2＋3 D．1＋2＋3＋4 解析等式左边的数是从1加到n＋3. 当n＝1时，n＋3＝4，故此时左边的数为从1加到4. 答案 D 3．设f(n)＝1＋1 2＋ 1 3＋…＋ 1 3n－1 (n∈N＋)，那么f(n＋1)－f(n)等于 ()． A. 1 3n＋2 B. 1 3n＋ 1 3n＋1 C. 1 3n＋1 ＋ 1 3n＋2 D. 1 3n＋ 1 3n＋1 ＋ 1 3n＋2 解析∵f(n)＝1＋1 2＋ 1 3＋…＋ 1 3n－1 ， ∵f(n＋1)＝1＋1 2＋ 1 3＋…＋ 1 3n－1 ＋ 1 3n＋ 1 3n＋1 ＋ 1 3n＋2 ， ∴f(n＋1)－f(n)＝1 3n＋ 1 3n＋1 ＋ 1 3n＋2 . 答案 D 4．用数学归纳法证明关于n的恒等式，当n＝k时，表达式为1×4＋2×7＋… ＋k(3k＋1)＝k(k＋1)2，则当n＝k＋1时，表达式为________． 答案1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＋(k＋1)(3k＋4)＝(k＋1)(k＋2)2 5．记凸k边形的内角和为f(k)，则凸k＋1边形的内角和f(k＋1)＝f(k)＋________. 解析由凸k边形变为凸k＋1边形时，增加了一个三角形图形，故f(k＋1)＝f(k)＋π. 答案π 6．用数学归纳法证明： 1 1×2＋ 1 3×4 ＋…＋ 1 (2n－1)·2n ＝ 1 n＋1 ＋ 1 n＋2 ＋…＋ 1 n＋n . 证明(1)当n＝1时，左边＝ 1 1×2 ＝ 1 2，右边＝ 1 2，等式成立． (2)假设当n＝k(k∈N*)时，等式成立，即 1 1×2＋ 1 3×4 ＋…＋ 1 (2k－1)·2k ＝ 1 k＋1 ＋ 1 k＋2 ＋…＋ 1 2k. 则当n＝k＋1时， 1 1×2＋ 1 3×4 ＋…＋ 1 (2k－1)·2k ＋ 1 (2k＋1)(2k＋2) ＝ 1 k＋1 ＋ 1 k＋2 ＋…＋ 1 2k＋ 1 (2k＋1)(2k＋2) ＝ 1 k＋2 ＋ 1 k＋3 ＋…＋ 1 2k＋? ? ? ? ? 1 2k＋1 － 1 2k＋2＋ 1 k＋1 ＝ 1 k＋2 ＋ 1 k＋3 ＋…＋ 1 2k＋ 1 2k＋1 ＋ 1 2k＋2 ＝ 1 (k＋1)＋1 ＋ 1 (k＋1)＋2 ＋…＋ 1 (k＋1)＋k ＋ 1 (k＋1)＋(k＋1) .即当n＝k＋1时， 等式成立． 根据(1)(2)可知，对一切n∈N*，等式成立． 7．若命题A(n)(n∈N*)在n＝k(k∈N*)时命题成立，则有n＝k＋1时命题成立．现 数学归纳法（2016.4.21） 令狐采学 一、用数学归纳法证明与正整数有关命题的步骤是： （1）证明当n 取第一个值0n （如01n =或2等）时结论正确； （2）假设当0(N ,)n k k k n *=∈≥ 时结论正确，证明1n k =+时结论也正确． 综合（1）、（2），…… 注意：数学归纳法使用要点：两步骤,一结论。 二、题型归纳： 题型1.证明代数恒等式 例1．用数学归纳法证明： 证明：①n=1时，左边31311=?= ，右边3 1121=+=，左边=右边，等式成立． ②假设n=k 时，等式成立，即： ()()1212121751531311+=+-++?+?+?k k k k ． 当n=k+1时． 这就说明，当n=k+1时，等式亦成立， 由①、②可知，对一切自然数n 等式成立． 题型2.证明不等式 例2．证明不等式n n 21 31 21 1<++++ (n ∈N)． 证明：①当n=1时，左边=1，右边=2． 左边<右边，不等式成立． ②假设n=k 时，不等式成立，即 k k 21 31 21 1<++++ ． 那么当n=k+1时， 这就是说，当n=k+1时，不等式成立． 由①、②可知，原不等式对任意自然数n 都成立． 说明：这里要注意，当n=k+1时，要证的目标是 1211 1 31 21 1+<++++++k k k ，当代入归纳假设后，就是 要证明： 1211 2+<++k k k ． 认识了这个目标，于是就可朝这个目标证下去，并进行有关的变形，达到这个目标． 题型3.证明数列问题 例3 (x ＋1)n ＝a0＋a1(x －1)＋a2(x －1)2＋a3(x －1)3＋…＋an(x －1)n(n ≥2，n ∈N*)． (1)当n ＝5时，求a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5的值． (2)设bn ＝a2 2n －3，Tn ＝b2＋b3＋b4＋…＋bn.试用数学归纳法 证明：当n ≥2时，Tn ＝n(n ＋1)(n －1)3. 解：(1)当n ＝5时， 原等式变为(x ＋1)5＝a0＋a1(x －1)＋a2(x －1)2＋a3(x －1)3＋(完整版)数学归纳法经典例题详解
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