快速哈达玛变换

快速哈达玛变换基本理论

2.1 沃尔什--哈达玛变换

沃尔什--哈达玛变换因实现简单且性能比较好而得到广泛的应用；在数字水印中就有很好的应用，在数字水印技术中水印的生成基于m序列和快速沃尔什-哈达玛变换矩阵嵌入与检测时使用了一个私钥来产生伪随机序列作为原始水印，使得攻击者在没有密钥的情况下无法取得水印的信息，增强了保密性[6] 。2.1.1 哈达玛变换

哈达玛变换（FHT）是数字信号处理中的基本变换之一，在移动通信、多媒体编解码中得到了广泛的应用。设x(n),n=0,1, ...,N-1，为一实序列，其离散哈达玛变换（DHT）定义为

(2-1)

将XH(k)分解为奇对称分量XHo(k)与偶对称分量XHe(k)之和，其次，可以把奇偶对称分量表示出来：(2-2)

由DHT定义把XH（k）代入（2-2）式,可得到奇偶对称分量表示如下：

(2-3)

仿照快速DFT的分解方法，可通过时域抽取或频域抽取的方式实现快速DHT。

x(n)的N=2M点DHT如下式：

(2-4)

2.1.2 沃尔什--哈达玛变换

沃尔什函数是二值正交函数,它仅有可能的取值是+1和-1(或0和1),适合于数字信号的处理,可作为码分多址通信系统的地址码使用。沃尔什函数记作Ｗａｌ(ｎ,ｔ),其中ｎ称一般序数,ｔ是时间变数。按由小到大排列的前八个沃尔什函数分别是:Ｗａｌ(0,ｔ)、Ｗａｌ(1,ｔ)、Ｗａｌ(2,ｔ)、Ｗａｌ(3,ｔ)、Ｗａｌ(4,ｔ)、Ｗａｌ(5,ｔ)、Ｗａｌ(6,ｔ)、Ｗａｌ(7,ｔ)。可用一个8×8阶矩阵表示如下:

(2-6)

一般沃尔什函数矩阵记为Ｗ,它是一个Ｎ×Ｎ阶实数方阵。

沃尔什函数也可用哈达玛矩阵Ｈ表示,Ｈ是一个正交方阵,它的每一行代表着一个沃尔什函数。二阶哈达玛矩阵为:

或(2-7)

四阶、八阶哈达玛矩阵分别为:

与(2-8)

从而可得

(2-9)

可见哈达玛矩阵Ｈ容易利用递推关系来构造,Ｈ中行的序数称为哈达玛序数,记作。它不同于一般序数ｎ,而与所取矩阵的行数有关系。

1．哈达玛到沃尔什的变换

ｎ与之间的关系哈达玛矩阵的行数Ｎ确定后,一般序数ｎ与哈达玛序数的特定关系,可用格雷码推演出来。若Ｈ的行数为Ｎ,格雷码的位数ｍ随之确定(因Ｎ=2ｍ),则ｎ的格雷码为ｇ(ｎ)=(ｇｍ-1ｇｍ-2…ｇ1ｇ0 ),将ｇ(ｎ)中的二进制位上的数自右向左(或自左向右)翻转过来,得到格雷码的反序,其值就等于的值,即:

(ｇ0ｇ1…ｇｍ-2ｇｍ-1)2= ,Ｗａｌ(ｎ,ｔ)= (ｔ)

例如:Ｎ= 8 、ｍ= 3 、ｎ= 1时,ｇ(ｎ) = ( 001 ),则有=( 100 )2 = 4 ,即Ｗａｌ(1,ｔ) = ｈ4(ｔ)，Ｈ8的第5行对应着沃尔什函数Ｗａｌ(1,ｔ)。而当Ｎ= 64 ｍ= 6 ｎ= 1时,ｇ(ｎ) = ( 000001 ) ,则= ( 100000 )2 = 32 。即Ｗａｌ(1,ｔ) = ｈ32(ｔ),Ｈ64的第33行对应着沃尔什函数Ｗａｌ(1,ｔ)。当Ｈ的行数Ｎ= 4,8,16,32,64时,用此方法推算出的ｎ与的对应关系如表2-1。从表中数据可知当0≤ｎ<Ｎ/2时,ｎ的值对应的偶数;当Ｎ/2≤ｎ<Ｎ时,ｎ的值对应的奇数。

表2-1Ｎ=4,8,16时ｎ与的对应关系

序数对应数值

n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

0 2 3 1

0 4 6 2 3 7 5 1

0 8 12 4 6 14 10 2 3 11 15 7 5 13 9 1

若将表2-1中的先以从小到大的顺序排出,再得出ｎ的对应值如表2-2。

表2-2=4,8,16时与n的对应关系

序数对应数值

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

0 3 1 2

0 7 3 4 1 6 2 5

0 15 7 8 3 12 4 11 1 14 6 9 2 13 5 10

2．沃尔什到哈达玛的变换

Ｗ与Ｈ的相互转化方法沃尔什函数矩阵Ｗ与哈达玛矩阵Ｈ可以利用置换阵相互转化。根据表2-1中的数据可以构造出第一种置换阵,记为Ｃ,Ｃ为方阵,它的任一行,任一列仅有一个元素是1,其余元素都是0。Ｃ的构造方法是:在表2-1中ｎ的值为Ｃ中等于1的元素的行序(所在行数Ｎ=ｎ+1),而对应的值为该元素的列序(所在列数Ｎ= +1)。用Ｃ左乘一个矩阵的结果是仅改变该矩阵各行的位置。当哈达玛矩阵Ｈ为已知时,可以用Ｃ左乘Ｈ得到沃尔什函数矩阵Ｗ,即:Ｗ=ＣＨ。

例如:已知

(2-10)

由表2-1中数据构造出

(2-11)

则(2-12)

根据表2-2中的数据可以构造出第二种置换阵记为Ｄ,Ｄ为方阵。Ｄ的构造方法是:表2-2中的值为Ｄ中等于1的元素所在的行序(行数Ｎ= +1),而对应的ｎ值为该元素所在的列序(列数Ｎ=ｎ+10)。用Ｄ左乘一个矩阵的结果是仅改变该矩阵各行的位置。当Ｗ为已知时,用Ｄ左乘Ｗ,可得到Ｈ。即:Ｈ=ＤＷ。

例如:

(2-13)

由表2-2构造出Ｄ8

(2-14)

则(2-15)

另外,置换阵Ｃ、Ｄ之间存在如下关系:ＣＤ=ＤＣ=Ｅ,Ｅ为单位矩阵。

以上讨论了沃尔什函数一般序数ｎ与哈达玛序数的对应关系;置换矩阵Ｃ和Ｄ的构造方法;Ｗ与Ｈ的相互

转化方法。所述方法便于理解和使用。

2.2 快速哈达玛变换

2.2.1 速哈达玛变换算法的基本特点

CDMA2000中在数据的正交调制、解调，正交扩频，信道分离等多处使用离散沃尔什变换，快速哈达玛变换是第二类离散沃尔什变换的快速算法，它能将运算量由数量级减少为数量级（为变换的点数或数据的个数）。如果使用普通的结构实现快速哈达玛变换，则运算单元数目（加法器数目）需要。

由于在CDMA2000中哈达玛变换单元的时钟频率并不高（例如在接入信道和反向交通信道中64阶正交调制Walsh码片的速率仅为307.2Kcps），因此在基带芯片的设计中可以考虑采用折叠结构来减少变换单元的使用，从而节约芯片的资源，减少芯片的面积。本设计基于上述考虑，设计了快速哈达玛变换的几种折叠结构。

2.2.2 快速哈达玛变换算法分析

如式（2-16）、（2-17）所示，第二类离散沃尔什变换及其反变换可以采用哈达玛矩阵表示：

(2-16)

(2-17)

直接计算离散沃尔什变换需要次加法运算，快速哈达玛算法通过将哈达玛矩阵分解为稀疏矩阵的（）幂次方，从而大大减少了变换所需的运算量，如公式（2-18）式所示：

(2-18)

其中稀疏矩阵为：

(2-19)

对于稀疏矩阵TN可以这样来理解，下面以举例的方式对它进行解释

例如：

(2-20)

则有(2-21)

通过计算可以很容易的得到H4 = ( T4 )2 。

快速哈达玛变换

快速哈达玛变换基本理论 2.1 沃尔什--哈达玛变换 沃尔什--哈达玛变换因实现简单且性能比较好而得到广泛的应用；在数字水印中就有很好的应用，在数字水印技术中水印的生成基于m序列和快速沃尔什-哈达玛变换矩阵嵌入与检测时使用了一个私钥来产生伪随机序列作为原始水印，使得攻击者在没有密钥的情况下无法取得水印的信息，增强了保密性[6] 。2.1.1 哈达玛变换 哈达玛变换（FHT）是数字信号处理中的基本变换之一，在移动通信、多媒体编解码中得到了广泛的应用。设x(n),n=0,1, ...,N-1，为一实序列，其离散哈达玛变换（DHT）定义为 (2-1) 将XH(k)分解为奇对称分量XHo(k)与偶对称分量XHe(k)之和，其次，可以把奇偶对称分量表示出来：(2-2) 由DHT定义把XH（k）代入（2-2）式,可得到奇偶对称分量表示如下： (2-3) 仿照快速DFT的分解方法，可通过时域抽取或频域抽取的方式实现快速DHT。 x(n)的N=2M点DHT如下式： (2-4) 2.1.2 沃尔什--哈达玛变换 沃尔什函数是二值正交函数,它仅有可能的取值是+1和-1(或0和1),适合于数字信号的处理,可作为码分多址通信系统的地址码使用。沃尔什函数记作Ｗａｌ(ｎ,ｔ),其中ｎ称一般序数,ｔ是时间变数。按由小到大排列的前八个沃尔什函数分别是:Ｗａｌ(0,ｔ)、Ｗａｌ(1,ｔ)、Ｗａｌ(2,ｔ)、Ｗａｌ(3,ｔ)、Ｗａｌ(4,ｔ)、Ｗａｌ(5,ｔ)、Ｗａｌ(6,ｔ)、Ｗａｌ(7,ｔ)。可用一个8×8阶矩阵表示如下: (2-6) 一般沃尔什函数矩阵记为Ｗ,它是一个Ｎ×Ｎ阶实数方阵。 沃尔什函数也可用哈达玛矩阵Ｈ表示,Ｈ是一个正交方阵,它的每一行代表着一个沃尔什函数。二阶哈达玛矩阵为: 或(2-7) 四阶、八阶哈达玛矩阵分别为: 与(2-8) 从而可得 (2-9) 可见哈达玛矩阵Ｈ容易利用递推关系来构造,Ｈ中行的序数称为哈达玛序数,记作。它不同于一般序数ｎ,而与所取矩阵的行数有关系。 1．哈达玛到沃尔什的变换 ｎ与之间的关系哈达玛矩阵的行数Ｎ确定后,一般序数ｎ与哈达玛序数的特定关系,可用格雷码推演出来。若Ｈ的行数为Ｎ,格雷码的位数ｍ随之确定(因Ｎ=2ｍ),则ｎ的格雷码为ｇ(ｎ)=(ｇｍ-1ｇｍ-2…ｇ1ｇ0 ),将ｇ(ｎ)中的二进制位上的数自右向左(或自左向右)翻转过来,得到格雷码的反序,其值就等于的值,即: (ｇ0ｇ1…ｇｍ-2ｇｍ-1)2= ,Ｗａｌ(ｎ,ｔ)= (ｔ) 例如:Ｎ= 8 、ｍ= 3 、ｎ= 1时,ｇ(ｎ) = ( 001 ),则有=( 100 )2 = 4 ,即Ｗａｌ(1,ｔ) = ｈ4(ｔ)，Ｈ8的第5行对应着沃尔什函数Ｗａｌ(1,ｔ)。而当Ｎ= 64 ｍ= 6 ｎ= 1时,ｇ(ｎ) = ( 000001 ) ,则= ( 100000 )2 = 32 。即Ｗａｌ(1,ｔ) = ｈ32(ｔ),Ｈ64的第33行对应着沃尔什函数Ｗａｌ(1,ｔ)。当Ｈ的行数Ｎ= 4,8,16,32,64时,用此方法推算出的ｎ与的对应关系如表2-1。从表中数据可知当0≤ｎ<Ｎ/2时,ｎ的值对应的偶数;当Ｎ/2≤ｎ<Ｎ时,ｎ的值对应的奇数。 表2-1Ｎ=4,8,16时ｎ与的对应关系

线性变换练习题

线性变换习题 一、填空题 1. 设σ是3 P 的线性变换，(,,)(2,4,3)a b c b c a b a σ=+-，,,a b c P ?∈，1(1,0,0),ε= 2(0,1,0),ε=3(0,0,1)ε=是3P 的一组基，则σ在基123,,εεε下的矩阵为 _______________，又3123,P αεεε=-+∈则()σα=_________。 2. 设A 为数域P 上秩为r 的n 阶矩阵，定义n 维列向量空间n P 的线性变换σ：()A σξξ=， n P ξ∈，则()1dim (0)σ-＝ ，()dim ()n P σ＝ 。 3. 设P 上三维列向量空间V 的线性变换σ在基123,,ααα下的矩阵是11220 1121-?? ? ? ?-?? ，则σ在基213,,ααα下的矩阵是 。 4. 如果矩阵A 的特征值等于1，则行列式||A E -= 。 5. 设A =???? ? ??? ??21 1 12 1112 ，()X AX σ=是P 3上的线性变换，那么σ的零度= 。 6. 若n n A P ?∈，且2 A E =，则A 的特征值为 。 7. 在[]n P x 中，线性变换D (()f x )'()f x =，则D 在基211,,, ,n x x x -下的矩阵 为 。 8. 在22 P ?中，线性变换10:20A A σ??→ ???在基121001,,0000E E ???? == ? ????? 300,10E ??= ??? 40001E ?? = ???下的矩阵是 。 9. 设321502114A ?? ? = ? ??? 的三个特征值为1λ，2λ，3λ，则1λ+2λ+3λ= ， 1λ2λ3λ= 。 10. 数域P 上n 维线性空间V 的全体线性变换所成的线性空间()L V 为 维线性空间，

拉普拉斯变换习题集

1. 求下列函数的拉式变换。 2. 求下列函数的拉式变换，注意阶跃函数的跳变时间。 3. 求下列函数的拉普拉斯逆变换。 4. 分别求下列函数的逆变换的初值和终值。 5. 如图1所示电路，0=t 以前，开关S 闭合，已进入稳定状态；0=t 时，开关打开，求()t v r 并讨 论R 对波形的影响。 6. 电路如图2所示，0=t 以前开关位于”“1，电路以进入稳定状态，0=t 时开关从” “1倒向”“2，求电流()t i 的表示式。 7. 电路如图3所示，0=t 以前电路原件无储能，0=t 时开关闭合，求电压()t v 2的表示式和波形。 8. 激励信号()t e 波形如图()a 4所示电路如图()b 4所示，起始时刻L 中无储能，求()t v 2得表示式和波形。 9. 电路如图5所示，注意图中()t Kv 2是受控源，试求 （1） 系统函数()() () s V s V s H 13=； （2） 若2=K ，求冲激响应。 10. 将连续信号()t f 以时间间隔T 进行冲激抽样得到()()()()()∑∞ =-= =0 ,n T T s nT t t t t f t f δδδ，求： （1） 抽样信号的拉氏变换()[]t f s L ； （2） 若()()t u e t f t α-=，求()[]t f s L 。 11. 在图6所示网络中，Ω===10,1.0,2R F C H L 。 （1） 写出电压转移函数()() () s E s V s H 2= ； （2） 画出s 平面零、极点分布； （3） 求冲激响应、阶跃响应。 12. 如图7所示电路， （1） 若初始无储能，信号源为()t i ，为求()t i 1（零状态响应），列出转移函数()s H ； （2） 若初始状态以()01i ，()02v 表示（都不等于0），但()0=t i （开路），求()t i 1（零输入 响应）。

21walsh变换.

一、功能：walsh变换 二、实现方法： 256色是8位色的图，可以显示最多8位的颜色，它是彩色的图像，灰度是在黑与白以及它们之间的灰色的程度来显示图像。任何颜色都有红、绿、蓝三原色组成，假如原来某点的颜色为RGB(R，G，B)，那么，我们可以通过下面几种方法，将其转换为灰度： 1.浮点算法：Gray=R*0.3+G*0.59+B*0.11 2.整数方法：Gray=(R*30+G*59+B*11)/100 3.移位方法：Gray =(R*28+G*151+B*77)>>8; 4.平均值法：Gray=（R+G+B）/3; 5.仅取绿色：Gray=G； 通过上述任一种方法求得Gray后，将原来的RGB(R,G,B)中的R,G,B统一用Gray替换，形成新的颜色RGB(Gray,Gray,Gray)，用它替换原来的RGB(R,G,B)就是灰度图了。 三、程序说明： VOID WINAPI WALSH(double *f, double *F, int r) 实现快速沃尔什-哈达玛变换参数：double * f - 指向时域值的指针 double * F - 指向频域值的指针 r －2的幂数 返回值：无 BOOL WINAPI DIBWalsh1(LPSTR lpDIBBits, LONG lWidth, LONG lHeight) 对图像进行沃尔什-哈达玛变换，将二维矩阵转换成一个列向量，然后对该列向量进行一次一维沃尔什-哈达玛变换。 参数: LPSTR lpDIBBits - 指向源DIB图像指针 LONG lWidth - 源图像宽度（象素数） LONG lHeight - 源图像高度（象素数） 返回值:BOOL - 成功返回TRUE，否则返回FALSE。 完整程序见：21walsh变换.zip 四、执行结果：

拉普拉斯变换公式总结

拉普拉斯变换、连续时间系统的S 域分析 基本要求 通过本章的学习，学生应深刻理解拉普拉斯变换的定义、收敛域的概念：熟练掌握拉普拉斯变换的性质、卷积定理的意义及它们的运用。能根据时域电路模型画出S 域等效电路模型，并求其冲激响应、零输入响应、零状态响应和全响应。能根据系统函数的零、极点分布情况分析、判断系统的时域与频域特性。理解全通网络、最小相移网络的概念以及拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系。会判定系统的稳定性。 知识要点 1. 拉普拉斯变换的定义及定义域 （1） 定义 单边拉普拉斯变换： 正变换0[()]()()st f t F s f t dt e ζ∞ -- ==? 逆变换 1 [()]()()2j st j F s f t F s ds j e σσζπ+∞ -∞ == ? 双边拉普拉斯变换： 正变换 ()()st B s f t dt e F ∞ --∞ =? 逆变换1 ()()2j st B j f t s ds j e F σσπ+∞ -∞ = ? （2） 定义域

若0σσ>时，lim ()0t t f t e σ-→∞ =则()t f t e σ-在0σσ>的全部范围内收敛，积分0()st f t dt e +∞ -- ? 存 在，即()f t 的拉普拉斯变换存在。0σσ>就是()f t 的单边拉普拉斯变换的收敛域。0σ与函数()f t 的性质有关。 2. 拉普拉斯变换的性质 （1） 线性性 若11[()]()f t F S ζ=,22[()]()f t F S ζ=,1κ,2κ为常数时，则11221122[()()]()()f t f t F s F s ζκκκκ+=+ （2） 原函数微分 若[()]()f t F s ζ=则() [ ]()(0)df t sF s f dt ζ-=- 1 1()0 ()[]()(0)n n n n r r n r d f t s F s s f dt ζ----==-∑ 式中() (0)r f -是r 阶导数() r r d f t dt 在0-时刻的取值。 （3） 原函数积分 若[()]()f t F s ζ=，则(1)(0)()[()]t f F s f t dt s s ζ---∞ =+? 式中0(1) (0)()f f t dt ---∞=? （4） 延时性 若[()]()f t F s ζ=，则000[()()]()st f t t u t t e F s ζ---= （5） s 域平移

线性变换习题课

七、线性变换习题课 1．复习线性变换的概念 例1 将C看成R上的线性空间，变换是线性的，看成C上的线性空间则不是。 证明：R上：有== 又 故A是R上线性空间C的线性变换。 C上：取及，有，而，故A不是C上线性空间C的线性变换。 由上例，变换A是否为线性变换与所讨论的数域有关。 2．利用运算的意义，运算律推证线性变换的等式，利用线性变换与n阶方阵代数同构解决有关问题。 例2设A,B是线性变换，如果证明： ，（k>0） 证明: 由已知,对k=1结论成立,故考虑用数学归纳法. 对k用归纳法.当k=1时结论成立. K=2时,由已知 =AB=(BA+E)A+A-BA2 =BA2+A+A-BA2=2A 结论成立. 设当k时结论成立,即,也即. 当k+1时, =ABA k+AkA k-1-BA k+1=(BA+E)A k+kA k-BA k+1 =BA k+1+A k+kA k-BA k+1=(k+1)A k 所以结论对k+1也成立,从而对一切k1成立. 例3设V是数域P上n维线性空间,证明:V的与全体线性变换交换的线性变换是数乘变换. 证明: 需要表达出线性变换,联系到某基下的矩阵. 设令A,B在某基下的矩阵分别为A,B. 因为,所以由得AB=BA.由的任意 性,也是任意的,从而存在某个k使得A=kE为数量阵(P.204,,于是为数量变换. 有了变换乘积,进一步可考虑可逆变换. 3. 系统小结可逆线性变换的的等价条件,并举例说明一些基本论证方法. A可逆10存在使=E.

A是双射. A在基下的矩阵A可逆—有限维 例4 设是线性空间V的一组基,A是V上的线性变换,证明:可逆当且仅当线性无关. 证明:证法一: “”,,若=0,有B()=0,即=0,=0,即线性无关. “”线性无关, 因dimV=n,故使得 =A() 令使=() 易见,且,即 又任给设= 有()== 故,从A可逆. 证法二:利用双射 “” A是双射,则0==A() 得0=(0对应0) 故,线性无关. “”由dimV=n,V的任一向量可由唯一表示,即V中任一向量有唯一(要证明)原像(显然).故A是双射. 证法三:利用矩阵 A可逆A在下的矩阵A可逆 ()A也是一组基=n 线性无关 例5设,W1,W2是V的子空间,且,则可逆. 证明:由,有V,可设W1的一组基为, W2的一组

第七章线性变换习题答案

第七章线性变换3．在P[x]中，Af(x)f(x)，Bf(x)xf(x)，证明： ABBA=E． 『解题提示』直接根据变换的定义验证即可． 证明任取f(x)P[x]，则有 =(A BBA)f(x)ABf(x)BAf(x)A(xf(x))B(f(x)) (xf(x))xf(x)f(x)Ef(x)， 于是ABBA=E． 4．设A,B是线性变换，如果ABBA=E，证明： kkk k1,k1ABBAA． 『解题提示』利用数学归纳法进行证明． 证明当k2时，由于ABBA=E，可得 22()()2 ABBAAABBAA B BAAA， 因此结论成立． 假设当ks时结论成立，即ssss1 ABBAA．那么，当ks1时，有 s1s1(s s)()ssss(s1)s ABBAAABBAA B BAAAAA， 即对ks1结论也成立．从而，根据数学归纳法原理，对一切k1结论都成立． 『特别提醒』由 AE可知，结论对k1也成立． 5．证明：可逆映射是双射． 『解题提示』只需要说明可逆映射既是单射又是满射即可． 1证明设A是线性空间V上的一个可逆变换．对于任意的,V，如果AA，那么，用 A 作用左右两边，得到A AAA，因此A是单射；另外，对于任意的V，存在1()1() 1()1() 1V A，使得 1 AA(A)，即A是满射．于是A是双射．

-1-

『特别提醒』由此结论可知线性空间V上的可逆映射A是V到自身的同构． 6．设1,2,,n是线性空间V的一组基，A是V上的线性变换，证明A可逆当且仅当 A1,A2,,A n线性无关． 证法1若A是可逆的线性变换，设k AkAkA0 ，即 1122nn A(kkk nn)0． 1122 而根据上一题结论可知A是单射，故必有k kk0，又由于 1,2,,n是线性无关的， 1122nn 因此k 1k2k n0．从而A1,A2,,A n线性无关． 反之，若A 1,A2,,A n是线性无关的，那么A AA也是V的一组基．于是，根据 1,2,,n 教材中的定理1，存在唯一的线性变换B，使得B(A i)i，i1,2,,n．显然 BA(i)i，A B(A i)A i，i1,2,,n． 再根据教材中的定理1知，ABBAE．所以A是可逆的． 证法2设A在基 1,2,,n下的矩阵为A，即 A(,,,n)(A,A,,A n)(,,,n)A． 121212 由教材中的定理2可知，A可逆的充要条件是矩阵A可逆． 因此，如果A是可逆的，那么矩阵A可逆，从而A 1,A2,,A n也是V的一组基，即是线性无 关的．反之，如果A AA是线性无关，从而是V的一组基，且A是从基 1,2,,n到1,2,,n A1,A2,,A n的过渡矩阵，因此A是可逆的．所以A是可逆的线性变换． 『方法技巧』方法1利用了上一题的结论及教材中的定理1构造A的逆变换；方法2借助教材中的定理2，将线性变换A可逆转化成了矩阵A可逆． 9．设三维线性空间V上的线性变换A在基1,2,3下的矩阵为 aaa 111213 A aaa． 212223 aaa 313233 1）求A在基3,2,1下的矩阵；

拉普拉斯变换题库

六．拉普拉斯变换 ㈠选择 ㈡填空 1.)(2)(t t f δ=的拉普拉斯变换是_______________ 2.)1()(-=t u t f 的拉普拉斯变换是_________________. 3.)2()(-=t u t f 的拉普拉斯变换是_________________. 4.t e t t f 22)(+=的拉普拉斯变换是_______________. 5.)(5)(2t e t f t δ+=的拉普拉斯变换是_______________ 6.)2()(2-=t u e t f t 的拉普拉斯变换是________________. 7.k e t t f kt n ()(=为实数)的拉普拉斯变换是__________________. 8.t e t f t 3sin )(2-=的拉普拉斯变换是__________________. 9.t e t f 2)(-=的拉普拉斯变换是_________________. 10.t e t f 2)(=的拉普拉斯变换是__________________。 11.t t f =)(的拉普拉斯变换是________________ 12.t te t f -=)(的拉普拉斯变换是____________________. 13.t t f 2cos )(=的拉普拉斯变换是_____________. 14.at t f sin )(=的拉普拉斯变换是_________________. 15.t t t f cos sin )(=的拉普拉斯变换是___________________. 16. ()()sin f t u t t =的拉普拉斯变换是________________. 17. ()sin(2)f t t =-的拉普拉斯变换是________________. 18.t t f 2cos )(=的拉普拉斯变换是________________. 19.t t f 2sin )(=的拉普拉斯变换是_______________. 20.t e t f t sin )(-=的拉普拉斯变换是_________________.

拉普拉斯变换公式总结..

拉普拉斯变换公式总结..

拉普拉斯变换、连续时间系统的S 域分析 基本要求 通过本章的学习，学生应深刻理解拉普拉斯变换的定义、收敛域的概念：熟练掌握拉普拉斯变换的性质、卷积定理的意义及它们的运用。能根据时域电路模型画出S 域等效电路模型，并求其冲激响应、零输入响应、零状态响应和全响应。能根据系统函数的零、极点分布情况分析、判断系统的时域与频域特性。理解全通网络、最小相移网络的概念以及拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系。会判定系统的稳定性。 知识要点 1. 拉普拉斯变换的定义及定义域 （1） 定义 单边拉普拉斯变换： 正变换0[()]()()st f t F s f t dt e ζ∞-- ==? 逆变换 1 [()]()()2j st j F s f t F s ds j e σσζπ+∞ -∞ == ? 双边拉普拉斯变换： 正变换 ()()st B s f t dt e F ∞ --∞ =? 逆变换1 ()()2j st B j f t s ds j e F σσπ+∞ -∞ =? （2） 定义域

若0 σσ>时，lim ()0 t t f t e σ-→∞ =则()t f t e σ-在0 σσ>的全部范围内 收敛，积分0()st f t dt e +∞ -- ? 存在，即()f t 的拉普拉斯变换 存在。0 σσ>就是()f t 的单边拉普拉斯变换的收敛域。0 σ与函数()f t 的性质有关。 2. 拉普拉斯变换的性质 （1） 线性性 若 11[()]() f t F S ζ=, 22[()]() f t F S ζ=, 1 κ, 2 κ为常数时，则 11221122[()()]()() f t f t F s F s ζκκκκ+=+ （2） 原函数微分 若[()]()f t F s ζ=则() []()(0)df t sF s f dt ζ- =- 1 1()0 ()[]()(0)n n n n r r n r d f t s F s s f dt ζ----==-∑ 式中() (0) r f -是r 阶导数() r r d f t dt 在0- 时刻的取值。 （3） 原函数积分 若 [()]() f t F s ζ=，则 (1)(0) ()[()]t f F s f t dt s s ζ---∞ =+ ? 式中 (1)(0)()f f t dt ---∞ =? （4） 延时性 若[()]()f t F s ζ=，则0 [()()]() st f t t u t t e F s ζ---= （5） s 域平移 若[()]()f t F s ζ=，则[()]() at f t e F s a ζ-=+ （6） 尺度变换

线性变换例题 (3)

【例9.15】已知系统具有如下形式 u y y y y 66116')2()3(=+++ 试求此系统对角形式的状态方程。 解 令 y x =1，'2y x =，) 2(3y x = 即 21x x =& 32x x =& u x x x x 661163213+---=& 写成矩阵—向量形式 u x x x x x x ?? ?? ??????+????????????????????---=????? ?????6006116100010321321&&& (9.76) []?? ?? ? ?????=321001x x x y 可以看出A 阵为友矩阵，且A 的特征值为 321321-=-=-=λλλ，， 即 321λλλ≠≠ 。 这时我们选转换矩阵P 形式为 ??????? ???? ?????=---11211 2 22 2 121 111 n n n n n n P λλλλλλλλλΛ M ΛM M ΛΛΛ n 为相同的阶数，这里n =3。 本题中 ???? ??????---=921321111 P 令x=Pz 将上式代入(9.42)式，得： Bu APz z P +=& CPz y Bu P APz P z =+=--11& 系统可写为

????????????????????---??????????---??????????---=??????????32132194132111161161000105.05.111435.05.23z z z z z z &&&u ???????????????? ????---+6005.05.111435.05.23 u z z z z z z ???? ??????-+????????????????????---=????? ?????363300020001321321&&& 输出方程为 [][]?? ?? ? ?????=????????????????????---=321321111921321111001z z z z z z y

拉普拉斯变换 习题集

1. 求下列函数的拉式变换。 （1） t t cos 2sin + （2） ()t e t 2sin - （3） ()[]t e t βα--cos 1 （4） ()t e t 732--δ （5） ()t Ω2cos （6） ()()t e t ωαcos +- （7） ()t t αsin 2. 求下列函数的拉式变换，注意阶跃函数的跳变时间。 （1） ()()()t u e t f t 2--= （2） ()()()12sin -?=t u t t f （3） ()()()()[]211----=t u u u t t f 3. 求下列函数的拉普拉斯逆变换。 （1） () 512+s s （2） ()() 243+++s s s （3） 11 12++s （4） ()RCs s RCs +-11 （5） ()()() 2133+++s s s （6） 22K s A + （7） ()( )[]22βα+++s a s s （8） () 142+-s s e s

（9） ?? ? ??+9ln s s 4. 分别求下列函数的逆变换的初值和终值。 （1） ()()() 526+++s s s （2） ()()()2132+++s s s 5. 如图1所示电路，0=t 以前，开关S 闭合，已进入稳定状态；0=t 时，开关打开，求 ()t v r 并讨论R 对波形的影响。 6. 电路如图2所示，0=t 以前开关位于”“1，电路以进入稳定状态，0=t 时开关从” “1倒向” “2，求电流()t i 的表示式。 7. 电路如图3所示，0=t 以前电路原件无储能，0=t 时开关闭合，求电压()t v 2的表示 式和波形。 8. 激励信号()t e 波形如图()a 4所示电路如图()b 4所示，起始时刻L 中无储能，求()t v 2得 表示式和波形。 9. 电路如图5所示，注意图中()t Kv 2是受控源，试求 （1） 系统函数()()() s V s V s H 13=； （2） 若2=K ，求冲激响应。 10. 将连续信号()t f 以时间间隔T 进行冲激抽样得到 ()()()()()∑∞ =-==0 ,n T T s nT t t t t f t f δδδ，求： （1） 抽样信号的拉氏变换()[]t f s L ； （2） 若()()t u e t f t α-=，求()[]t f s L 。 11. 在图6所示网络中，Ω===10,1.0,2R F C H L 。 （1） 写出电压转移函数()()() s E s V s H 2=； （2） 画出s 平面零、极点分布； （3） 求冲激响应、阶跃响应。

第七章 线性变换练习题参考答案

第七章 线性变换练习题参考答案 一、填空题 1．设123,,εεε是线性空间 V 的一组基，V 的一个线性变换σ在这组基下的矩阵是33112233(),,ij A a x x x V αεεε?==++∈则 σ在基321,,εεε下的矩阵B ＝1,T AT -而可逆矩阵T ＝001010100?? ? ? ??? 满足1,B T AT -=σα在基123,,εεε下的坐标为123x A x x ?? ? ? ??? . 2．设A 为数域P 上秩为r 的n 阶矩阵，定义n 维列向量空间n P 的线性变换:(),n A P σσξξξ=∈,则1(0)σ-＝{}|0,n A P ξξξ=∈，()1dim (0)σ-＝n r -，()dim ()n P σ＝r . 3．复矩阵()ij n n A a ?=的全体特征值的和等于1n ii i a =∑ ，而全体特征值的积等于 ||A . 4．设σ是n 维线性空间V 的线性变换，且σ在任一基下的矩阵都相同，则σ为__数乘__变换 . 5．数域P 上n 维线性空间V 的全体线性变换所成的线性空间()L V 为2n 维线性空间，它与n n P ?同构. 6．设n 阶矩阵A 的全体特征值为12,,,n λλλ ，()f x 为任一多项式，则()f A 的全体特征值为12(),(),,()n f f f λλλ . 7．设???? ??=2231A ，则向量??? ? ??11是A 的属于特征值 4 的特征向量． 8．若????? ? ?--=100001011A 与1010101k B k ?? ?=-- ? ???相似，则k = -1/2 ． 9．设三阶方阵A 的特征多项式为322)(23+--=λλλλf ，则=||A 3 ．

医学图像变换解析

第四章 医学图像变换 在医学图像处理与分析中广泛应用着各种图像变换技术，它们是图像处理与分析的重要工具之一，通过各种图像变换来转换图像的表示域以及表示数据，给后续的图像处理工作带来极大的方便。图像变换是一种为了达到某种目的而对图像使用的一种数学操作，经过图像变换后的图像将能够更方便、更容易地被处理和操作，因此图像变换在图像增强、图像复原、图像编码、特征抽取等方面有着广泛的应用。例如，傅立叶变换可使处理分析在频域中进行，使运算更简便；某些图像经过变换后往往能反映出图像的灰度结构特征，从而更便于分析；还有许多变换可使变换后的能量集中在少数数据上，从而便于实现数据压缩、图像传输和存储等等方面。 在实际的图像处理中，图像变换可以看作是一个数学问题，即对原图像函数寻找一个合适的变换核，但本质上来说，图像变换有着深刻的物理背景。常用的图像变换方法主要有：傅立叶变换、余弦变换、小波变换、哈达玛变换、K —L 变换、哈尔变换、斜变换等。由于傅立叶变换和小波变换目前应用的较为普遍，并且在理论上也比较重要，所以本章将重点讨论这两种图像变换形式。 第一节 傅立叶变换 傅立叶变换是一种正交变换，它广泛地应用于很多领域，从某种意义上说，傅立叶变换就是函数的第二种描述语言，掌握了傅立叶变换，人们就可以在空域和频域中同时思考处理问题的方法。由于它不仅能把空间域中复杂的卷积运算转化为频率域中的乘积运算，还能在频率域中简单而有效地实现增强处理和进行特征抽取，因而在图像处理中也得到了广泛的应用。 一、一维傅立叶变换 一维连续信号的傅立叶正变换和反变换的数学表达式如下： dx e x f u F ux j ?∞ ∞--=π2)()( （4.1） du e u F x f ux j ?∞ ∞-=π2)()( （4.2）

第七章 线性变换 习题答案

第七章 线性变换 3．在[]P x 中，()()f x f x '=A ，()()f x xf x =B ，证明： -=A B BA =E ． 『解题提示』直接根据变换的定义验证即可． 证明 任取()[]f x P x ∈，则有 ()()()()(())(())f x f x f x xf x f x '-=-=-=A B BA A B BA A B (())()()()xf x xf x f x f x ''=-==E ， 于是-=A B BA =E ． 4．设,A B 是线性变换，如果-=A B BA =E ，证明： 1 ,1k k k k k --=>A B BA A ． 『解题提示』利用数学归纳法进行证明． 证明 当2k =时，由于-=A B BA =E ，可得 22()()2-=-+-=A B BA A A B BA A B BA A A ， 因此结论成立． 假设当k s =时结论成立，即1 s s s s --=A B BA A ．那么，当1k s =+时，有 1 1 ()()(1)s s s s s s s s s s ++-=-+-=+=+A B BA A A B BA A B BA A A A A ， 即对1k s =+结论也成立．从而，根据数学归纳法原理，对一切1>k 结论都成立． 『特别提醒』由0 =A E 可知，结论对1k =也成立． 5．证明：可逆映射是双射． 『解题提示』只需要说明可逆映射既是单射又是满射即可． 证明 设A 是线性空间V 上的一个可逆变换．对于任意的,V ∈αβ，如果=αβA A ，那么，用1 -A 作用左右两边，得到1 1 ()()--===ααββA A A A ，因此A 是单射；另外，对于任意的V ∈β，存在 1V -=∈αβA ，使得1()-==αββA A A ，即A 是满射．于是A 是双射． 『特别提醒』由此结论可知线性空间V 上的可逆映射A 是V 到自身的同构．

线性变换练习题

线性变换习题 一、填空题 1. 设σ就是3P 的线性变换,(,,)(2,4,3)a b c b c a b a σ=+-,,,a b c P ?∈,1(1,0,0),ε= 2(0,1,0),ε=3(0,0,1)ε=就是3P 的一组基,则σ在基123,,εεε下的矩阵为 _______________,又3 123,P αεεε=-+∈则()σα=_________。 2. 设A 为数域P 上秩为r 的n 阶矩阵,定义n 维列向量空间n P 的线性变换 σ:()A σξξ=,n P ξ∈,则()1dim (0)σ-＝ ,()dim ()n P σ＝ 。 3. 设P 上三维列向量空间V 的线性变换σ在基123,,ααα下的矩阵就是11220 1121-?? ? ? ?-?? ,则σ在基213,,ααα下的矩阵就是 。 4. 如果矩阵A 的特征值等于1,则行列式||A E -= 。 5. 设A =?? ?? ? ??? ??211121112,()X AX σ=就是P 3上的线性变换,那么σ的零度= 。 6. 若n n A P ?∈,且2 A E =,则A 的特征值为 。 7. 在[]n P x 中,线性变换D (()f x )'()f x =,则D 在基21 1,,,,n x x x -L 下的矩阵 为 。 8. 在22 P ?中,线性变换10:20A A σ??→ ???在基121001,,0000E E ???? == ? ????? 300,10E ??= ??? 40001E ?? = ??? 下的矩阵就是 。 9. 设321502114A ?? ?= ? ??? 的三个特征值为 1 λ, 2 λ, 3 λ,则 1λ+2λ+3λ= ,1λ2λ3λ= 。 10. 数域P 上n 维线性空间V 的全体线性变换所成的线性空间()L V 为 维线性空间, 它与 同构。 11. 已知n 阶方阵A 满足2 A A =,则A 的特征值为 。

Laplace变换习题课

《Laplace 变换》习题课 一、 基本要求 1. 理解并记住Laplace 变换及其逆变换的定义；了解Laplace 变换存在定理； 2. 理解Laplace 变换的性质，并会证明积分性质和微分性质； 3. 熟练掌握Laplace 变换及其逆变换的计算方法； 4. 理解卷积的定义与卷积定理，会计算两个函数的卷积； 5. 掌握Laplace 变换在求解线性微分方程（组）的求解方法 二、 内容提要 1. Laplace 变换及其逆变换的定义； 0()()st F s f t e dt +∞ -=?； )]([)(1s F L t f -== 1()2i st i F s e ds i ββπ+∞-∞?（右端成为反演积分） 2. Laplace 变换的性质； 线性性质；微分性质；积分性质；位移性质；延迟性质 3. Laplace 逆变换的计算方法； 重要定理： 若1s 、2s ……n s 是函数)(s F 的所有奇点（包含在β<)Re(s 的范围内），且0)(lim =∞→s F s ，则∑==n k k st s e s F s t f 1 ],)([Re )(,其中)]([)(t f L s F =。 有了以上定理，就可以利用复变函数求留数的方法来求像原函数)(t f ，下面就函数)(s F 是有理函数的情形来给出计算方法，即 ()()/()F s A s B s = 分两种情形考虑： 4. 卷积的定义与卷积定理； )(1t f 与)(2t f 的卷积（t>=0）定义为：?-=*t d t f f t f t f 02121)()()()(τττ 卷积定理： 1212[()*()]()()L f t f t F s F s =? 或 =*)()(21t f t f 112[()()]L F s F s -?

[高等代数(下)课外习题--第七章-线性变换]

第七章 线性变换 一、判断题 1、 在向量空间3R 中, 1231223(,,)(2,,)x x x x x x x σ=-, 则σ是3R 的一个线性变换. ( ). 2、σ是向量空间V 的线性变换, 向量组12,, ,m ααα线性相关, 那么 12(),(), ,() m σασασα也线性相 关 . ( ). 3 在向量空间[]n R x 中, 则微商' (())()f x f x σ=是一个线性变换. ( ). 4、 线性变换在不同基下对应的矩阵是相似的. ( ). 5、 相似矩阵不一定是同一线性变换在不同基下的矩阵. ( ). 6、向量空间V 的线性变换σ的象与核都是σ的不变子空间. ( ). 7、 属于线性变换σ同一特征根0λ的特征向量的线性组合仍是σ的特征向量. ( ). 8、 σ在一个基下可以对角化, 则σ在任何基下可以对角化. ( ). 9、设σ为n 维线性空间V 的一个线性变换，则由σ的秩＋σ的零度＝n ，有 1()(0).V V σσ-=⊕ （ ） 10、n 阶方阵A 至少有一特征值为零的充分必要条件是0||=A ．( ) 11、.最小多项式是特征多项式的因式. （ ） 12、相似的矩阵有相同的特征多项式 （ ） 13、设n n P A ?∈，A 的特征多项式有n 个单根，则存在可逆矩阵n n P T ?∈，使AT T 1 -具 有对角形。（ ） 14、若A 是数域P 上n 维线性空间的线性变换，A 的特征值为r λλλ,,,21 ，则A 可对角化?特征子空间的维数之和等于n 。（ ） 15、 A 是n 维线性空间V 的一个线性变换，则V V =A +A -)0(1 。（F ） 二、填空题 1、在3V 的基123{,,}εεε下σ的矩阵是11 121321 222331 32 33a a a A a a a a a a ?? ?= ? ???

拉普拉斯变换习题集

1.求下列函数的拉式变换。 (1) si nt 2 cost (2) e t sin 2t (3) 1 cos t e (4) 2 t 3e 7t (5) 2 cos t (6) t e cos t (7) sin t t 2. 求下列函数的拉式变换，注意阶跃函数的跳变时间。 (1) ft e 七 2 u t (2) f t sin 2t u t 1 (3) f t t 1 u u 1 u t 2 3. 求下列函数的拉普拉斯逆变换。 (5) (7) s e 4s s 2 1(6) A s 2 K 2 (1) 1 SS 2 5 (2) 3s s 4 s 2 (3) 1 s 2 1 (4) 1 RCs s 1 RCs

（9） ln - s 9 4. 分别求下列函数的逆变换的初值和终值。 s 6 s 2 s 5 s 3 s 1 2 s 2 5. 如图1所示电路，t 0以前，开关S 闭合，已进入稳定状态；t 0时，开关打开，求 v r t 并讨论R 对波形的影响。 6. 电路如图2所示，t 0以前开关位于“1”，电路以进入稳定状态，t 0时开关从“T 倒向“ 2 ，求电流i t 的表示式。 7. 电路如图3所示，t 0以前电路原件无储能，t 0时开关闭合，求电压 V 2 t 的表示 式和波形。 8. 激励信号et 波形如图|4 a 所示电路如图|4 b 所示，起始时刻L 中无储能，求V 2 t 得 表示式和波形。 9. 电路如图5所示，注意图中 KV 2 t 是受控源，试求 （1） 系统函数H S — V 1 s （2） 若K 2，求冲激响应。 10. 将连续信号 ft 以时间间隔T 进行冲激抽样得到 f s t ft T t , T t t nT ，求： n 0 （1） 抽样信号的拉氏变换 L f s t ； （2） 若 ft e t u t ，求 L f s t 。 11. 在图6所示网络中，L 2H,C 0.1F, R 10 。 （1） 写出电压转移函数 H s V2 s ； E s （2） 画出s 平面零、极点分布； （3） 求冲激响应、阶跃响应。 (1) (2)

高等代数与解析几何第七章(1-3习题) 线性变换与相似矩阵答案

第七章线性变换与相似矩阵 习题7.1 习题7.1.1判别下列变换是否线性变换？ （1）设是线性空间中的一个固定向量， （Ⅰ），， 解：当时，显然是的线性变换； 当时，有，，则 ，即此时不是的线性变换。 （Ⅱ），； 解：当时，显然是的线性变换； 当时，有，，则 ，即此时不是的线性变换。 （2）在中， （Ⅰ）， 解：不是的线性变换。因对于，有， ，所以。 （Ⅱ）； 解：是的线性变换。设，其中，， 则有 ，

。 （3）在中， （Ⅰ）， 解：是的线性变换：设，则 ， ，。 （Ⅱ），其中是中的固定数； 解：是的线性变换：设，则 ， ，。 （4）把复数域看作复数域上的线性空间，，其中是的共轭复数； 解：不是线性变换。因为取，时，有， ，即。 （5）在中，设与是其中的两个固定的矩阵，， 。 解：是的线性变换。对，，有 ， 。 习题7.1.2在中，取直角坐标系，以表示空间绕轴由 轴向方向旋转900的变换，以表示空间绕轴由轴向方向

旋转900的变换，以表示空间绕轴由轴向方向旋转900的 变换。证明（表示恒等变换）， ， ； 并说明是否成立。 证明：在中任取一个向量，则根据，及的定义可 知：，，；， ，；，， ，即，故。 因为， ，所以。 因为， ，所以。 因为， ，所以。 习题7.1.3在中，，，证明。证明：在中任取一多项式，有 。所以。 习题7.1.4设，是上的线性变换。若，证明 。 证明：用数学归纳法证明。当时，有

命题成立。假设等式对成立，即。下面证明等式对 也成立。因有 ，即等式对也成立，从而对任意自然数都成立。习题7.1.5证明（1）若是上的可逆线性变换，则的逆变换唯一；（2）若，是上的可逆线性变换，则也是可逆线性变换，且 。 证明：（1）设都是的逆变换，则有，。进而。即的逆变换唯一。 （2）因，都是上的可逆线性变换，则有 ，同理有 由定义知是可逆线性变换，为逆变换，有唯一性得 。 习题7.1.6设是上的线性变换，向量，且，，， 都不是零向量，但。证明，，， 线性无关。 证明：设，依次用可得 ，得，而， 故；同理有：，得， 即得；依次类推可得，即得，进而得 。

[高等代数(下)课外习题 第七章 线性变换]资料

[高等代数(下)课外习题第七章线性 变换]

第七章 线性变换 一、判断题 1、 在向量空间3R 中, 1231223(,,)(2,,)x x x x x x x σ=-, 则σ是3R 的一个线性变换. ( ). 2、σ是向量空间V 的线性变换, 向量组12,, ,m ααα线性相关, 那么 12(),(),,()m σασασα也线性相关. ( ). 3 在向量空间[]n R x 中, 则微商'(())()f x f x σ=是一个线性变换. ( ). 4、 线性变换在不同基下对应的矩阵是相似的. ( ). 5、 相似矩阵不一定是同一线性变换在不同基下的矩阵. ( ). 6、向量空间V 的线性变换σ的象与核都是σ的不变子空间. ( ). 7、 属于线性变换σ同一特征根0λ的特征向量的线性组合仍是σ的特征向量. ( ). 8、 σ在一个基下可以对角化, 则σ在任何基下可以对角化. ( ). 9、设σ为n 维线性空间V 的一个线性变换，则由σ的秩＋σ的零度＝n ，有 1()(0).V V σσ-=⊕ （ ） 10、n 阶方阵A 至少有一特征值为零的充分必要条件是0||=A ．( ) 11、.最小多项式是特征多项式的因式. （ ） 12、相似的矩阵有相同的特征多项式 （ ） 13、设n n P A ?∈，A 的特征多项式有n 个单根，则存在可逆矩阵n n P T ?∈，使 AT T 1-具有对角形。（ ） 14、若A 是数域P 上n 维线性空间的线性变换，A 的特征值为r λλλ,,,21 ，则A 可对角化?特征子空间的维数之和等于n 。（ ） 15、 A 是n 维线性空间V 的一个线性变换，则V V =A +A -)0(1 。（F ） 二、填空题