数值分析简明教程第二版(王超能)习题答案24页全解word版
数值分析简明教程第二版（王超能）习题答案24页全解
0.1算法
1、（p.11，题1）用二分法求方程013=--x x 在[1,2]内的近似根，要求误差不超
过10-3.
【解】 由二分法的误差估计式3
1
1*102
12||-++=≤=-≤
-εk k k a b x x ，得到100021≥+k .两端取自然对数得96.812
ln 10
ln 3≈-≥
k ，因此取9=k ，即至少需
2、（p.11，题2）证明方程210)(-+=x e x f x
在区间[0,1]内有唯一个实根；使用
二分法求这一实根，要求误差不超过2102
1
-?。
【解】 由于210)(-+=x e x f x ，则)(x f 在区间[0,1]上连续，且012010)0(0<-=-?+=e f ，082110)1(1>+=-?+=e e f ，即0)1()0(
又010)('>+=x e x f ，即)(x f 在区间[0,1]上是单调的，故)(x f 在区间[0,1]内有唯一实根.
由二分法的误差估计式211*1021
2
12||-++?=≤=-≤-εk k k a b x x ，得到1002≥k .
两端取自然对数得6438.63219.322
ln 10
ln 2=?≈≥k ，因此取7=k ，即至少需二分
0.2误差
1．（p.12，题8）已知e=2.71828…，试问其近似值7.21=x ，71.22=x ，x 2=2.71，718.23=x 各有几位有效数字？并给出它们的相对误差限。
【解】有效数字：
因为111021
05.001828.0||-?=
<=- x e ，所以7.21=x 有两位有效数字； 因为121021
05.000828.0||-?=<=- x e ，所以71.22=x 亦有两位有效数字；
因为33102
1
0005.000028.0||-?=<=- x e ，所以718.23=x 有四位有效数字；
%85.17.205
.0||111=<-=
x x e r ε； %85.171.205
.0||222=<-=x x e r ε； %0184.0718
.20005
.0||333=<-=
x x e r ε。 评 （1）经四舍五入得到的近似数，其所有数字均为有效数字；
（2）近似数的所有数字并非都是有效数字.
2．（p.12，题9）设72.21=x ，71828.22=x ，0718.03=x 均为经过四舍五入得出的近似值，试指明它们的绝对误差(限)与相对误差(限)。
【解】 005.01=ε，31
1
11084.172.2005
.0-?≈<
=
x r εε； 000005.02=ε，62
2
21084.171828
.2000005
.0-?≈<
=
x r εε；
00005.03=ε，43
3
31096.60718
.000005
.0-?≈<
=
x r εε；
评 经四舍五入得到的近似数，其绝对误差限为其末位数字所在位的半个单位.
3．（p.12，题10）已知42.11=x ，0184.02-=x ，4310184-?=x 的绝对误差限均为
2105.0-?，问它们各有几位有效数字？
【解】 由绝对误差限均为2105.0-?知有效数字应从小数点后两位算起，故42.11=x ，有
三位；0184.02-=x 有一位；而0184.01018443=?=-x ，也是有一位。
1.1泰勒插值和拉格朗日插值
1、（p.54，习题1）求作x x f sin )(=在节点00=x 的5次泰勒插值多项式)(5x p ，并计算
)3367.0(5p 和估计插值误差，最后将)5.0(5p 有效数值与精确解进行比较。
【解】由x x f sin )(=，求得x x f
cos )()
1(=；x x f sin )()2(-=；x x f cos )()3(-=；
x x f sin )()4(=；x x f cos )()5(=；x x f sin )()6(-=，所以
)(5x p 500)5(2
00)2(00)
1(0)(!
5)()(!2)())(()(x x x f x x x f x x x f x f -++-+-+=
5)5(2)2()
1(!
5)0(!2)0()0()0(x f x f x f f ++++= 53!51
!31x x x +-=
插值误差：)(5x R 66060)6(!
61
)(!6|)sin(|)(!6|)(|x x x x x f ≤-=-=
ξξ，若5.0=x ，则 )3367.0(5p 3303742887.0!
53367.0!33367.03367.05
3≈+-=，而
566
5105.01002.2!
63367.0)3367.0(--?
故取33037.0)3367.0(5=p ，与精确值 330374191.0)3367.0sin()3367.0(==f 相比
较，在插值误差的精度内完全吻合！
2、（p.55，题12）给定节点4,3,1,13210===-=x x x x ，试分别对下列函数导出拉格朗日余项：
（1）234)(3
+-=x x x f ； （2）3
4
2)(x x x f -=
【解】依题意，3=n ，拉格朗日余项公式为 ∏=-=3
)4(3)(!4)()(i i x x f x R ξ
（1）0)()
4(=x f
→0)(3=x R ；
（2）因为!4)()
4(=x f ，所以
)4)(3)(1)(1()4)(3)(1)(1(!
4)
()()4(3---+=---+=x x x x x x x x f x R ξ
3、（p.55，题13）依据下列数据表，试用线性插值和抛物线插值分别计算)3367.0sin(的近
【解】依题意，3=n ，拉格朗日余项公式为 ∏=-=3
)4(3)(!4)()(i i x x f x R ξ （1） 线性插值
因为3367.0=x 在节点0x 和1x 之间，先估计误差
2
))(max ())((2
)
sin())((!2)('')(1010101x x x x x x x x x x x x f x R --≤--=--=
ξξ 42102
1201.0?=≤；须保留到小数点后4为，计算过程多余两位。
01
0)(x-x 1)
x
)(1x P [])sin()()sin()(1
)sin()sin(01100
110100101x x x x x x x x x x x x x x x x x x -+--=
--+--=
)(1x P [])32.0sin()3367.034.0()34.0sin()32.03367.0(02.01
-+-=
[])32.0sin(0033.0)34.0sin(0167.002
.01
?+?=
3304.0≈
（2） 抛物线插值 插值误差：
)(2x R ))()((6
)
cos())()((!3)('''210210x x x x x x x x x x x x f ----=---=
ξξ 63210102
1601.036))()(max(-?=?≈---≤x x x x x x
01y=(x-x 0)(x-x 1)(x-x 2)x
y 2
抛物线插值公式为：
)(2x P
)sin())(())(()sin())(())(()sin())(()
)((202120112101200201021x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ----+----+----=
?
?
?
???-----+--=
)sin(2))(()sin())(()sin(2))((02.012011200212x x x x x x x x x x x x x x x )3367.0(2P
[])36.0sin(7555.2)34.0sin(911.38)32.0sin(8445.302.0102
5
?-?+?=
- [])36.0sin(7555.2)34.0sin(911.38)32.0sin(8445.302
.0102
5
?-?+?=- 33037439.0= 经四舍五入后得：330374.0)3367.0(2=P ，与 330374191.0)3367.0si n(=精确值相比较，在插值误差范围内完全吻合！
1.3分段插值与样条函数
1、（p.56，习题33）设分段多项式 ???≤≤-++≤≤+=2
11
210)(2
3
2
3x cx bx x x x x x S
是以0,1,2为节点的三次样条函数，试确定系数b ，c 的值. 【解】依题意，要求S(x)在x=1节点
函数值连续：
)1(1111211)1(2323+-=-?+?+?=+=S c b S ，
即：)1(1
=+c b
一阶导数连续： )1(12161213)1('
2
2
'
+-=+??+?=?+?=S c b S ，
即：)2(1
2-=+c b
解方程组（1）和（2），得3,
2=-=c b ，即
???≤≤-+-≤≤+=211
32210)(2
323x x x x x x x x S
由于)1(221262123)1('
'''+-=?-??=+??=S S ，所以S(x)在x=1节点的二阶
导数亦连续。
2、已知函数2
11
x y +=
的一组数据，2,1,0210===x x x 和2.0,5.0,1210===y y y ，
（1）求其分段线性插值函数；
（2）计算)5.1(f 的近似值，并根据余项表达式估计误差。
【解】（1）依题意，将x 分为[0,1]和[1,2]两段，对应的插值函数为)()(21x S x S 和，利用拉格朗日线性插值公式，求得
15.05.0010
1101)(101001011+-=?--+?--=--+--=
x x x y x x x x y x x x x x S ；
8.03.02.0121
5.0212)(212112122+-=?--+?--=--+--=
x x x y x x x x y x x x x x S
（2） 93076923076.05.111
)5.1(2
≈+=
f ，而
35.08.05.13.0)5.1(2=+?-=S ，实际误差为：05.00423.0|)5.1()5.1(|2≤=- S f 。
由4
22)
3(3
22)
2(2
2)
1()1()1(24)(,
)1()31(2)(,
)1(2)(x x x x f
x x x f
x x
x f
+-=+--=+-=,可
知5.0)1()
2(2==f
M ，则余项表达式
5.00625.05.05.0!
2|)2)(1(|!2|
)(|)(422)2(≤==?≤--=M x x f x R ξ
1.4 曲线拟合
1、（p.57，习题35）用最小二乘法解下列超定方程组：
????
??
?=+=+=-=+7
26235311
42y x y x y x y x 【解】 构造残差平方和函数如下： 2222)72()62()353()1142(),(-++-++--+-+=y x y x y x y x y x Q ，
分别就Q 对x 和y 求偏导数，并令其为零：
0)
,(=??x y x Q ： )1(176=-y x ，
0)
,(=??y
y x Q ： )2(48463=+-y x ，
解方程组（1）和（2），得
24176.1273
17
3486,
04029.3273
48
1746≈?+?=
≈+?=
y x
2、（p.57，习题37）用最小二乘法求形如2
bx a y +=的多项式，使之与下列数据相拟合。 【解】令2x X =，则bX a y +=为线性拟合，根据公式(p.39,公式43)，取m=2，a1=0，N=5，求得
???????==+=+=+=+∑∑∑∑∑∑∑∑∑=========)
2()1(555
1251514
51251251
5
1
512
51i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i y x y X x b x a X b X a y x b a X b a ；
将所求得的系数代入方程组（1）和（2），得
??
?=+=+)
2(5.36932172776995327)
1(4.2715327500b a b a
97258.08011566
1
.7791878532753277277699553275.36932172776994.271≈=?-??-?=
a ；
05004.08011566
7
.40085953275327727769954.27153275.3693215==?-??-?=
b ；
即：2
05004.097258.0x y +=。
2.1 机械求积和插值求积
1、（p.94，习题3）确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精度尽量高，并指明求积公
式所具有的代数精度： ?-++-≈h
h
h f A f A h f A dx x f )()0()()()1(210；
?++≈10210)43()21()41()()2(f A f A f A dx x f ；
?+≈1000)()0(4
1
)()3(x f A f dx x f 。
【解】 （1）令2
,,1)(x x x f =时等式精确成立，可列出如下方程组：
???
?
???
=+=+-=++)3(32)2(0
)1(220
20210h A A A A h
A A A 解得：h A h A A 34,3120===，即：?-++-≈h h h f f h f h
dx x f )]()0(4)([3
)(，可以
验证，对3)(x x f =公式亦成立，而对4
)(x x f =不成立，故公式（1）具有3次代数精度。
（2）令2
,,1)(x x x f =时等式精确成立，可列出如下方程组：
???
??=++=++=++)
3(16
27123)2(232)1(1210
210210A A A A A A A A A
解得：31,32120-===A A A ，即：])4
3
(2)21()41(2[31)(10?+-≈f f f dx x f ，可以
验证，对3)(x x f =公式亦成立，而对4
)(x x f =不成立，故公式（2）具有3次代数精度。
（3）令x x f ,1)(=时等式精确成立，可解得：??
???=
=324
300x A
即：?+≈10)3
2(43)0(41)(f f dx x f ，可以验证，对2
)(x x f =公式亦成立，而对
3)(x x f =不成立，故公式（3）具有2次代数精度。
2、（p.95，习题6）给定求积节点,4
3
,4110==x x 试构造计算积分?=10)(dx x f I 的插值型
求积公式，并指明该求积公式的代数精度。
【解】依题意，先求插值求积系数：
21)4321(2434143
1
021*******=-?-=?-
-
=?--=??x x dx x dx x x x x A ； 21)4121(24
14341
10210100101=-?=?-
-=?--=??x x dx x dx x x x x A ； 插值求积公式：
?
∑+=
==1
)4
3(21)41(21)()(f f x f A dx x f n
k k k
①当1)(=x f ，左边=
?
=1
01)(dx x f ；右边=112
1
121=?+?；左=右；
②当x x f =)(，左边=
?=
=1
1
02
2121
)(x dx x f ；右边=21
43214121=?+?；左=右； ③当2
)(x x f =，左边=
?
=
=1
1
3
313
1
)(x dx x f ；右边=16
51692116121=?+?；左≠右；
故该插值求积公式具有一次代数精度。
2.2 梯形公式和Simpson 公式
1、（p.95，习题9）设已给出x e
x f x
4sin 1)(-+=的数据表，
分别用复化梯形法与复化辛普生法求积分dx x f I ?
?=1
)(的近似值。
【解】 （1）用复化梯形法：
28358
.1]72159.0)06666.155152.165534.1(200000.1[125.0)}00.1()]75.0()50.0()25.0([2)00.0({2
25.0)]
()(2)([2)]()([225.04
1
,5,1,05551
1
1105=+++?+?=+++?+?=++=+===-====∑∑-=+-=T T f f f f f T b f x f a f h
x f x f h T n a b h n b a n k k k k n k
（2）用复化辛普生法：
30939
.1]72159.010304.3888.1000000.1[121
)}00.1()50.0(2)]75.0()25.0([4)00.0({65
.0)]
()(2)(4)([6)]()(4)([65.02
1
,2,1,0221
1102
11211
02≈+++?=+?++?+?=
+++=++===-=
===∑∑∑-=-=+++-=S f f f f f S b f x f x f a f h
x f x f x f h S n a b h n b a n k k n k k k k k n k
2、（p.95，习题10）设用复化梯形法计算积分?=
1
dx e I x ，为使截断误差不超过5
102
1-?，问应当划分区间【0,1】为多少等分？如果改用复化辛普生法呢？
【解】（1）用复化梯形法，x
e x
f x f x f b a =====)('')(')(,1,0，设需划分n 等分，则其截断误差表达式为：
e n
f n a b T I R n T 3
3
2312)01()(''max 12)(||||-=-=-=ξ；
依题意，要求5102
1
||-?≤
T R ，即 849.212610102
11252
52≈?≥??≤-e n n e ，可取213=n 。
（2）用复化辛普生法，x
e x
f x f x f b a =====)('''')(')(,1,0，截断误差表达式为：
4
454528802880)01()(''''max )2(180)(||||n e
e n
f n a b S I R n S =-=-=-=ξ；
依题意，要求5102
1
||-?≤
S R ，即 70666.31440101021288054
54
≈?≥??≤-e n n
e ，可取4=n ，划分8等分。
2.3 数值微分
1、（p.96，习题24）导出三点公式(51)、(52)和(53)的余项表达式
)
53()]
(3)(4)([21
)(')52()]
()([21
)(')51()]()(4)(3[21
)('21022012100x f x f x f h x f x f x f h x f x f x f x f h x f +-≈+-≈-+-≈
【解】如果只求节点上的导数值，利用插值型求导公式得到的余项表达式为
∏≠=+-?+=-=n
k
j j j k k n k k k x x n f x p x f x R 0
)1()()!1()()(')(')(ξ
由三点公式(51)、(52)和(53)可知，1201,2x x x x h n -=-==，则
2
02010021
00)
12(03)('''))((!3)(''')()!12()()(h f x x x x f x x f
x R j j ξξξ=--=-?+=∏=+
202101121
11)12(16)('''))((!3)
(''')()!12()()(h f x x x x f x x f x R j j j ξξξ-=--=-?+=∏≠=+
2
21202222
22)12(23)('''))((!3)(''')()!12()()(h f x x x x f x x f x R j j j ξξξ-=--=-?+=∏≠=+
2、（p.96，习题25）设已给出2
)
1(1
)(x x f +=
的数据表，
试用三点公式计算)2.1('),1.1('),0.1('f f f 的值，并估计误差。
【解】已知1.0,2.1,1.1,0.11201210=-=-====x x x x h x x x ，用三点公式计算微商：
1870
.0]2066.032268.042500.0[1.021
)]2.1(3)1.1(4)0.1([21)2.1('2170
.0]2066.02500.0[1.021
)]2.1()0.1([21)1.1('2470.0]2066.02268.042500.03[1.021)]2.1()1.1(4)0.1(3[21)0.1('-=?+?-?=+-≈-=+-?=+-≈-=-?+?-?=-+-≈
f f f h f f f h f f f f h f 5
432)1(24
)(''';)1(6)('';)1(2)(';)1(1)(x x f x x f x x f x x f +-=?+=?+-=?+=， 用余项表达式计算误差
0025
.0)0.11(31.0243)(''')0.1(52
20-≈+?-≈=h f R ξ00125
.0)0.11(!31.024!
3)(''')1.1(5
2
21≈+?≈
-
=h f R ξ04967.0)
1.11(31.0243)(''')
2.1(5
2
22-≈+?-≈=h f R ξ 3、（p.96，习题26）设x x f sin )(=，分别取步长001.0,01.0,1.0=h ，用中点公式（52）计算)8.0('f 的值，令中间数据保留小数点后第6位。 【解】中心差商公式：h h a f h a f a f 2)()()('--+≈
，截断误差：2
!
3)(''')(h a f h R =。可
见步长h 越小，截断误差亦越小。
(1)9.08.0,7.08.0,1.020=+==-==h x h x h ,则
695545.0]644218.0783327.0[1
.021)]7.0sin()9.0[sin(21)8.0('≈-?≈-≈
h f ； (2)81.08.0,79.08.0,01.020=+==-==h x h x h ,则
6967.0]710353.0724287.0[01
.021
)]79.0sin()81.0[sin(21)8.0('≈-?≈-≈h f
(3)801.08.0,799.08.0,001.020=+==-==h x h x h ,则
6965
.0]716659.0718052.0[01
.021
)]799.0sin()801.0[sin(21)8.0('≈-?≈-≈h f 而精确值 6967067.0)8.0cos()8.0('==f ，可见当01.0=h 时得到的误差最小。在001.0=h 时反而误差增大的原因是)8.0(h f +与)8.0(h f -很接近，直接相减会造成有效数字的严重损失。因此，从舍入误差的角度看，步长不宜太小。
3.1 Euler 格式
1、（p.124，题1）列出求解下列初值问题的欧拉格式
)4.00(')1(22≤≤-=x y x y ，1)0(=y ，取2.0=h ； )2.11(')2(2
≤≤+
??
?
??=x x y x y y ，1)0(=y ，取2.0=h ；
【解】 （1）)(2.0)('2
2221n n n n n
n n n n y x y y x h y hy y y -?+=-+=+=+； （2）)(2.0)(22
221
n
n n n n n n n n n n x y
x y y x y x y h y y +?+=++=+。
2、（p.124，题2）取2.0=h ，用欧拉方法求解初值问题)6.00('2
≤≤--=x xy y y ，1)0(=y 。
【解】欧拉格式：)(2.0)('2
21n n n n n n n n n n n y x y y y x y h y hy y y --?+=--+=+=+；化简后，2
12.08.0n n n n y x y y -=+，计算结果见下表。
3、（p.124，题3）取1.0=h ，用欧拉方法求解初值问题)40(211'2
2
≤≤-+=
x y x
y ，0)0(=y 。并与精确解2
11
2x x y +=
比较计算结果。
【解】欧拉格式：)211(2.0)211(
'2
2
221n n
n n n n n n n y x y y x h y hy y y -+?+=-++=+=+；
化简后，2
2
112
.04.0n
n n n x y y y ++
-=+，计算结果见下表。 1、（p.124，题7）用改进的欧拉方法求解上述题2，并比较计算结果。
【解】 因为)6.00(),('2
≤≤--==x xy y y x f y ，2.0=h ，且1)0(=y ，则改进的欧拉公式：
???
????
+=
+?-=--+=+=-=--+=+=+2)()(2.0)(),(2.08.0)(),(12
22
2c p n p n p n p n p n p n n c n n n n n n n n n n p y y y y x y y y x y h y y x hf y y y x y y x y h y y x hf y y 。
3.3 龙格-库塔方法
1、（p.124，题11）用四阶经典的龙格-库塔方法求解初值问题y y 38'-=，2)0(=y ，试取步长2.0=h 计算)4.0(y 的近似值，要求小数点后保留4位数字。
【解】 四阶经典的龙格-库塔方法公式：
?????
??
???
???+=+=+==++++=++++)
,()
2,()2,()
,()
22(6314
22
1312121
43211hK y x f K K h y x f K K h y x f K y x f K K K K K h
y y n n n n n
n n
n n n ； 列表求得)4.0(y 如下：
4.1 迭代法及收敛定理
1、（p.153，题1）试取10=x ，用迭代公式),2,1,0(10
220
21 =++=
+k x x x k k k ，求
方程02010223=-++x x x 的根，要求准确到310-。
【解】 迭代计算结果列于下表
因为3891000082.0||-<≈-x x ，所以36906.19=≈*x x 。
2、（p.153，题2）证明方程x x cos 2
1
=有且仅有一实根。试确定这样的区间],[b a ，使迭代过程k k x x cos 2
1
1=
+对],[0b a x ∈均收敛。 【证明】设：x x g cos 21)(=，则当R x ∈时，]2
1
,21[cos 21)(-∈=x x g ，且一阶导数
x x g sin 21)('-=连续，121|sin 21||)('|<≤-=x x g ，所以迭代过程k k x x cos 2
1
1=+对
R x ∈0均收敛。（压缩映像定理），方程x x cos 2
1
=有且仅有一实根。<证毕>
3、（p.153，题4）证明迭代过程k
k k x x x 1
21+=
+对任意初值10>x 均收敛于2。 【证明】设：x
x x g 1
2)(+=
，
对于任意1>x ，因为212212=?≥+x x x x ，所以2)(≥x g 。一阶导数12
1
121)('2<≤-=
x x g ，根据压缩映像定理，迭代公式k k k x x x 121+
=+对任意初值10>x 均收敛。假设*
∞
→=x x k k lim ，对迭代式k
k k x x x 1
21+=
+两边取极限，则有
***
+=x
x x 1
2，则()22=*x ，解得2±=*x ，因2-=*x 不在1>x 范围内，须舍去。
故2=
*
x 。<证毕>
4.2 牛顿迭代法
1、（p.154，题17）试用牛顿迭代法求下列方程的根，要求计算结果有4位有效数字：
（1）0133=--x x ，20=x （2）0232=+--x e x x ，10=x
【解】 （1）设13)(3
--=x x x f ，则33)('2
-=x x f ，牛顿迭代公式：
),2,1,0()
1(31
23313)(')(2
3
231
=-+=----=-=+k x x x x x x x f x f x x k k k k k k k k k k ，迭代计算过
因为231000006.0||<≈-x x ，所以879.13=≈x x 。
（2）设23)(2
+--=x
e x x x
f ，则x
e x x
f --=32)('，牛顿迭代公式：
)
,2,1,0(322
)1(3223)(')(2
21
=-----=
--+---=-=+k e x x e x e x e x x x x f x f x x k
k k k x k k x k x k x k k k k k k
k
因为231000000.0||<≈-x x ，所以2575.04=≈x x 。
2、（p.154，题18）应用牛顿法于方程03=-a x ，导出求立方根)0(3>a a 的迭代公式，并证明该迭代公式具有二阶收敛性。
【证明】（1）设：a x x f -=3
)(，则2
3)('x x f =，对任意0>x ，牛顿迭代公式
2
3
231
323)(')(k
k k k k k k k k x a
x x a x x x f x f x x +=--=-=+ ,2,1,0=k （2）由以上迭代公式，有：3
lim a x x k k ==*
∞→。设)0(32)(23>+=x x
a
x x g **=x x g )(；0)1(32)('33=-=
=*a x x a x g ；3
42
2)(''3
a
x
a
x g a
x =
==*。
21)(!
2)
(''))((')()(*****+-+
-=-=-x x g x x x g x g x g x x k k k k ξ 3211!2)('')(lim a x g x x x x k
k k ==--***+∞→，可见该迭代公式具有二阶收敛性。<证毕>
5.1 线性方程组迭代公式
1、（p.170，题1）用雅可比迭代与高斯-赛德尔迭代求解方程组：???=+=+1
22
32121x x x x ，要求结
果有3位有效数字。
【解】 雅可比迭代公式：??
????-=+-=-=+-=++)1(111)2(3
13231)(1)(1)1(2)
(2)(2)1(1k k k k k k x x x x x x ，迭代计算结果列于下表。
200.0;600.02211≈≈≈≈x x x x ；
由上表可见，所求根皆为小数点后第1位不为零的小数，要取3位有效数，则误差限为
3102
1
-?。 高斯-赛德尔迭代公式：??????+=+-=-=+-=+++)
1(111)2(3
13231)(2)1(1)1(2)
(2)(2)1(1k k k k k k x x x x x x ，迭代计算结果列于下表。
200.0;600.02211≈≈≈≈x x x x ；
2、（p.171，题7）取25.1=ω，用松弛法求解下列方程组，要求精度为
4102
1
-?。 ???
??-=+-=-+=+12
42043163432
32121x x x x x x x 【解】欧先写出高斯-赛德尔迭代：
)1(251616493~41~241169541~43~44
3~)(3)(2)
(2)1()(3)(2)(3
)(1)
1()(2)
1(3
21
???
?
??
???-+=-=++=++-=+-=+++k k k k k k k k k k k x x x x x x x x x x x
引入松弛因子，得
)2(~4541~)1(~4541~)1(~4
541~)1()1()(3)1()(3)1(3)1()(2)1()(2)1(2)1()(1)1()(1)1(1
3
3
22
1
1???
?
??
???+-=+-=+-=+-=+-=+-=+++++++++k k k k k k k k k k k k k k k x x x x x x x x x x x x x x x ωωωωωω
将方程组（1）代入（2），并化简
)3(82564112564525
1656429516
1541)(3)(2)
1(3
)(3)(2)1(2
)(2)(1)
1(1
???
?
??
???--=++=+--=+++k k k k k k k k k x x x x x x x x x
计算结果见下表。
迭代解：.1667.2,3333.3,5001.1)
17(33)
17(22)
17(11≈=≈=≈=***x x x x x x
精确解：.1667.26
13
,3333.33
10
,5.12
3
321≈-
=≈=
==
x x x 5.1 线性方程组迭代公式
1、（p.170，题2）试列出求解下列方程组的雅可比迭代公式与高斯-赛德尔迭代公式，并考察迭代过程的收敛性。
??????
?=++-=+-+=-+-=-+17
7222382311387510432143213
21431x x x x x x x x x x x x x x 【解】（1）雅可比迭代公式：
???????????+
-+-=-++=+
+-=-+-
=++++7177272718238141838
11838110721101)(3)(2)(1)1(4)(4)(2)(1)1(3)(3)(1)1(2)(4)(3)1(1k k k k k k k k k k k k k k x x x x x x x x x x x x x x (1)
=J G ??????
???
???????????----07
27
27
1810418408308
12110100，18
7
<=
∞
J G ，迭代收敛。
（2）高斯-赛德尔迭代公式：
???????????+
-+-=-++=+
+-=-+-
=++++++++++717727271823814183811838110721101)1(3)1(2)1(1)1(4)(4)1(2)1(1)1(3)(3)1(1)1(2)(4)(3)1(1k k k k k k k k k k k k k k x x x x x x x x x x x x x x (2) 将方程组（1）带入（2），经化简后，得：
?????
??????+-=-+=+-=-+-
=++++1120399122439112012132078764193201980
117161803110721101)(4)(3)1(4)(4)(3)1(3)(4)(3)1(2)(4)(3)
1(1k k k k k k k k k k k k x x x x x x x x x x x x (3)
=-S
G G ?????????
??????????
?--
-
224391120890
06419320190
016180310
21101
0，15
3
<=
∞
-S
G G
，迭代收敛。 2、（p.171，题5）分别用雅可比迭代与高斯-赛德尔迭代求解下列方程组：
（1）??
?=+-=+231
221
21x x x x
（2）???
??-=-+=+-=-+11
52425235321
321321x x x x x x x x x
【解】（1）雅可比迭代：
?????+-=--=++2312)
(1)1(2
)
(2)1(1
k k k k x x x x ，13>=∞
G ,不收敛。
高斯-赛德尔迭代：
?????+-=--=+++2312)1(1)1(2)(2)1(1k k k k x x x x 或 ?????+=--=++5612)
(1)1(2
)(2)1(1
k k k k x x x x ，16>=∞
G ,不收敛。
（2）雅可比迭代：
???
?
??
???
++=-+=++-=+++511515222125235)(2)(1)1(3)
(3)(1)(2)
(3)(2)1(1k k k k k k k k k x x x x x x x x x ，18>=∞
G
,不收敛。
高斯-赛德尔迭代：
?????????++=-+=++-=++++++511515222125235)1(2)1(1)1(3)(3
)1(1)(2)(3)(2)1(1k k k k k k k k k x x x x x x x x x 或 ???
?
??
???++-=++-=++-=+++5185142138225235)(3)(2)
1(3)
(3)(2)(2)(3)(2)1(1k k k k k k k k k x x x x x x x x x 18>=∞
G
,不收敛。
3、（p.171，题6）加工上述题5的方程组，比如调换方程组的排列顺序，以保证迭代过程
的收敛性。
【解】加工后结果如下：
（1）??
?-=+=+1
22
32121x x x x
（2）???
??-=-+=-+=+-11
52235425321
321321x x x x x x x x x
方程组（1）的雅可比迭代：
???
???
?-
-=+-=++21213
2313)(1)1(2)(2)
1(1k k k k x x x x ，12
1
<=
∞
J G ，迭代收敛。 方程组（1）的高斯-赛德尔迭代：
???
???
?-=+-=++32613
2313)(1)1(2)(2)
1(1k k k k x x x x ，13
1
<=
∞
-S G G ，迭代收敛。 方程组（2）的雅可比迭代：
数值分析试题及答案汇总
数值分析试题 一、 填空题（2 0×2′） 1. ?? ????-=? ?????-=32,1223X A 设x =是精确值x *=的近似值，则x 有 2 位 有效数字。 2. 若f (x )=x 7－x 3＋1，则f [20,21,22,23,24,25,26,27]= 1 ， f [20,21,22,23,24,25,26,27,28]= 0 。 3. 设，‖A ‖∞＝___5 ____，‖X ‖∞＝__ 3_____， ‖AX ‖∞≤_15_ __。 4. 非线性方程f (x )=0的迭代函数x =?(x )在有解区间满足 |?’(x )| <1 ，则使用该迭代 函数的迭代解法一定是局部收敛的。 5. 区间[a ,b ]上的三次样条插值函数S (x )在[a ,b ]上具有直到 2 阶的连续导数。 6. 当插值节点为等距分布时，若所求节点靠近首节点，应该选用等距节点下牛顿差商 公式的 前插公式 ，若所求节点靠近尾节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式的 后插公式 ；如果要估计结果的舍入误差，应该选用插值公式中的 拉格朗日插值公式 。 7. 拉格朗日插值公式中f (x i )的系数a i (x )的特点是：=∑=n i i x a 0)( 1 ；所以当 系数a i (x )满足 a i (x )>1 ，计算时不会放大f (x i )的误差。 8. 要使 20的近似值的相对误差小于%，至少要取 4 位有效数字。 9. 对任意初始向量X (0)及任意向量g ，线性方程组的迭代公式x (k +1)=Bx (k )+g (k =0,1,…)收 敛于方程组的精确解x *的充分必要条件是 ?(B)<1 。 10. 由下列数据所确定的插值多项式的次数最高是 5 。 11. 牛顿下山法的下山条件为 |f(xn+1)|<|f(xn)| 。 12. 线性方程组的松弛迭代法是通过逐渐减少残差r i (i =0,1,…,n )来实现的，其中的残差 r i ＝ (b i -a i1x 1-a i2x 2-…-a in x n )/a ii ，(i =0,1,…,n )。 13. 在非线性方程f (x )=0使用各种切线法迭代求解时，若在迭代区间存在唯一解，且f (x )
数值分析复习题要答案
第一章 1、ln2＝0.69314718…，精确到 10－3 的近似值是多少？ 解 精确到 10－3＝0.001，即绝对误差限是 e ＝0.05％，故至少要保留小数点后三位才可以。 ln2≈0.693。 2、设115.80,1025.621≈≈x x 均具有5位有效数字，试估计由这些数据计算21x x ， 21x x +的绝对误差限 解：记126.1025, 80.115x x == 则有11232411 10, | 102|||2 x x x x --≤?-≤?- 所以 121212121212211122||||||||||||x x x x x x x x x x x x x x x x x x -=-+-+≤-- 3411 80.11610 6.10102522 0.007057-==??+≤?? 1212112243|()|||11 |10100.0005522 |x x x x x x x x --≤≤?+?=+-+-+- 3、一个园柱体的工件,直径d 为10.250.25mm,高h 为40.00 1.00mm,则它的体 积V 的近似值、误差和相对误差为多少。 解： ()() 22222222 4 314210254000000330064 221025400002510251002436444 3300624362436 0073873833006 , .....; ()()()......, ..().()..% .r d h V d h V mm d h V dh d d h V mm V V V πππππεεεεε= ≈=??===+=???+?==±====第二章： 1、分别利用下面四个点的Lagrange 插值多项式和Newton 插值多项式N 3(x )， 计算L 3(0.5)及N 3(-0.5) x －2 －1 0 1 f (x ) －1 1 2
数值分析习题集及答案
（适合课程《数值方法A 》和《数值方法B 》） 第一章 绪 论 1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差. 2. 设x 的相对误差为2％,求n x 的相对误差. 3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指出它们是几位 有效数字: ***** 123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====? 4. 利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限: * * * * * * * * 12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中* * * * 1234,,,x x x x 均为第3题所给的数. 5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少? 6. 设028,Y =按递推公式 11783 100 n n Y Y -=- ( n=1,2,…) 计算到100Y .若取783≈27.982(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差? 7. 求方程2 5610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字(783≈27.982). 8. 当N 充分大时,怎样求 2 11N dx x +∞+?? 9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝2 ? 10. 设2 12S gt = 假定g 是准确的,而对t 的测量有±0.1秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对误差增加, 而相对误差却减小. 11. 序列{}n y 满足递推关系1101 n n y y -=-(n=1,2,…),若02 1.41y =≈(三位有效数字),计算到10 y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗? 12. 计算6 (21)f =-,取 2 1.4≈,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好? 3 6 3 11,(322), ,9970 2. (21) (322) --++ 13. 2 ()ln(1)f x x x =- -,求f (30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等 价公式 2 2 ln(1)ln(1)x x x x - -=-+ + 计算,求对数时误差有多大? 14. 试用消元法解方程组{ 10 10 12121010; 2. x x x x +=+=假定只用三位数计算,问结果是否可靠? 15. 已知三角形面积 1sin , 2 s ab c = 其中c 为弧度, 02c π << ,且测量a ,b ,c 的误差分别为,,.a b c ???证 明面积的误差s ?满足 . s a b c s a b c ????≤ ++ 第二章 插值法 1. 根据( 2.2)定义的范德蒙行列式,令
【重磅】数值分析习题与答案
第一章绪论 习题一 1.设R>0,RR的相对误差为δ，求f(R)=lnR的误差限。解：求lnR的误差极限就是求f(R)=lnR的误差限，由公式(1. 2.4)有 已知RR的相对误差满足，而 ，故 即 2.下列各数都是经过四舍五入得到的近似值，试指出它们有几位有效数字，并给出其误差限与相对误差限。 解：直接根据定义和式(1.2.2)(1.2.3)则得 有5位有效数字，其误差限，相对误差限 有2位有效数字， 有5位有效数字， 3.下列公式如何才比较准确？ （1） （2） 解：要使计算较准确，主要是避免两相近数相减，故应变换所给公式。 （1） （2） 4.近似数RR=0.0310,是 3 位有数数字。
5.计算取，利用：式计算误差最小。 四个选项： 第二、三章插值与函数逼近 习题二、三 1.给定的数值表 用线性插值与二次插值计算ln0.54的近似值并估计误差限. 解：仍可使用n=1及n=2的Lagrange插值或Newton插值,并应用误差估计（5.8）。线性插值时，用0.5及0.6两点，用Newton插值 误差限，因 ，故 二次插值时，用0.5，0.6，0.7三点，作二次Newton插值 误差限 ，故 2.在-4≤R≤4上给出的等距节点函数表，若用二次插值法求的近似值，要使误差不超过，函数表的步长h应取多少?
解：用误差估计式（5.8）， 令 因 得 3.若，求和. 解：由均差与导数关系 于是 4.若互异，求 的值，这里p≤n+1. 解：，由均差对称性 可知当有 而当P＝n＋1时 于是得 5.求证. 解：解：只要按差分定义直接展开得
6.已知的函数表 求出三次Newton均差插值多项式，计算f(0.23)的近似值并用均差的余项表达式估计误差. 解：根据给定函数表构造均差表 由式(5.14)当n=3时得Newton均差插值多项式 N3(R)=1.0067R+0.08367R(R-0.2)+0.17400R(R-0.2)(R-0.3 ) 由此可得 f(0.23)N3(0.23)=0.23203 由余项表达式(5.15)可得 由于 7.给定f(R)=cosR的函数表 用Newton等距插值公式计算cos0.048及cos0.566的近似值并估计误差 解：先构造差分表
数值分析复习题及答案65177
数值分析复习题 一、选择题 1. 3.142和3.141分别作为π的近似数具有（ ）和（ ）位有效数字. A ．4和3 B ．3和2 C ．3和4 D ．4和4 2. 已知求积公式()()2 11211()(2)636f x dx f Af f ≈++?，则A ＝（ ） A ． 16 B ．13 C ．12 D ．2 3 3. 通过点()()0011,,,x y x y 的拉格朗日插值基函数()()01,l x l x 满足（ ） A ．() 00l x ＝0，()110l x = B ． ()00l x ＝0，()111l x = C ．()00l x ＝1，()111l x = D ． ()00l x ＝1，()111l x = 4. 设求方程()0f x =的根的牛顿法收敛，则它具有（ ）敛速。 A ．超线性 B ．平方 C ．线性 D ．三次 5. 用列主元消元法解线性方程组1231231220223332x x x x x x x x ++=??++=??--=? 作第一次消元后得到的第3个方程（ ）. A ．232x x -+= B ．232 1.5 3.5x x -+= C ．2323x x -+= D ．230.5 1.5x x -=- 二、填空 1. 设 2.3149541...x *=，取5位有效数字，则所得的近似值x= . 2.设一阶差商 ()()()21122114,321f x f x f x x x x --= ==---， ()()()322332615,422f x f x f x x x x --===--
则二阶差商 ()123,,______f x x x = 3. 设(2,3,1)T X =--, 则2||||X = ，=∞||||X 。 4．求方程 2 1.250x x --= 的近似根，用迭代公式 1.25x x =+，取初始值 01x =， 那么 1______x =。 5．解初始值问题 00'(,)()y f x y y x y =??=?近似解的梯形公式是 1______k y +≈。 6、 1151A ??= ?-??，则A 的谱半径 ＝ 。 7、设 2()35, , 0,1,2,... , k f x x x kh k =+== ，则[]12,,n n n f x x x ++= 和[]123,,,n n n n f x x x x +++= 。 8、若线性代数方程组AX=b 的系数矩阵A 为严格对角占优阵，则雅可比迭代和高斯-塞德尔迭代都 。 9、解常微分方程初值问题的欧拉（Euler ）方法的局部截断误差为 。 10、为了使计算 23123101(1)(1)y x x x =+ +----的乘除法运算次数尽量的少,应将表达式改写 成 。 11. 设T X )4,3,2(-=, 则=1||||X ，2||||X = . 12. 一阶均差()01,f x x = 13. 已知3n =时，科茨系数()()()33301213,88C C C ===，那么 ()33C = 14. 因为方程()420x f x x =-+=在区间[]1,2上满足 ，所以()0f x =在区间内有根。 15. 取步长0.1h =，用欧拉法解初值问题()211y y y x y ?'=+???=?的计算公式 . 16.设 * 2.40315x =是真值 2.40194x =的近似值，则*x 有 位有效数字。
数值分析习题集及答案[1].(优选)
数值分析习题集 （适合课程《数值方法A 》和《数值方法B 》） 长沙理工大学 第一章 绪 论 1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差. 2. 设x 的相对误差为2％,求n x 的相对误差. 3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指出 它们是几位有效数字: *****123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====? 4. 利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限: ********12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中**** 1234 ,,,x x x x 均为第3题所给的数. 5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少? 6. 设028,Y =按递推公式 1n n Y Y -=( n=1,2,…) 计算到100Y .27.982(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差? 7. 求方程2 5610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字27.982). 8. 当N 充分大时,怎样求2 1 1N dx x +∞+?? 9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝2 ? 10. 设 212S gt = 假定g 是准确的,而对t 的测量有±0.1秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对 误差增加,而相对误差却减小. 11. 序列 {}n y 满足递推关系1101n n y y -=-(n=1,2,…),若0 1.41y =≈(三位有效数字), 计算到 10y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗? 12. 计算6 1)f =, 1.4≈,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好? 3 -- 13. ()ln(f x x =,求f (30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若
数值分析习题与答案
第一章绪论 习题一?1．设x＞0，x＊的相对误差为δ,求f(ｘ)=ln x的误差限。 解:求lnx的误差极限就是求f(x)=lnx的误差限，由公式(１.2.４）有 已知x*的相对误差满足，而 ,故 即 2.下列各数都是经过四舍五入得到的近似值,试指出它们有几位有效数字，并给出其误差限与相对误差限。 解:直接根据定义和式（１.2.２)(1.２.3）则得?有５位有效数字，其误差限,相对误差限 有２位有效数字， 有5位有效数字， 3．下列公式如何才比较准确？ (１)?(2） 解:要使计算较准确，主要是避免两相近数相减，故应变换所给公式。
（1)?(2） 4.近似数x*=０.０３１0,是 3 位有数数字。 5.计算取,利用 :式计算误差最小。 四个选项: 第二、三章插值与函数逼近 习题二、三 1. 给定的数值表 用线性插值与二次插值计算ln０．5４的近似值并估计误差限. 解：仍可使用n＝1及n＝２的Laｇrange插值或Neｗｔo ｎ插值，并应用误差估计（5.8)。线性插值时,用0．５及0．6两点，用Newton插值??误差限 ，因,
故? 二次插值时，用0.5，0．6,０.7三点,作二次Ｎewton插值 ?误差限，故? 2. 在－4≤x≤4上给出的等距节点函数表，若用二次插值法求的近似值，要使误差不超过,函数表的步长ｈ应取多少? 解：用误差估计式（５．8), ?令 因?得 3. 若,求和.
解：由均差与导数关系 ?于是 4. 若互异,求 的值,这里p≤n+1. 解:,由均差对称性 可知当有?而当P＝n ＋1时 ?于是得 5. 求证. 解:解:只要按差分定义直接展开得 ? 6. 已知的函数表
郑州大学数值分析重点考察内容及各章习题
《数值分析》 重点考察内容及各章作业答案 学院： 学号： 姓名：
重点考察内容 基本概念（收敛阶，收敛条件，收敛区域等）, 简单欧拉法。 第一章基础 掌握：误差的种类，截断误差，舍入误差的来源，有效数字的判断。 了解：误差限，算法及要注意的问题。 第二章插值 掌握：Hermite插值，牛顿插值，差商计算，插值误差估计。 了解：Lagrange插值 第三章数据拟合 掌握：给出几个点求线性拟合曲线。 了解：最小二乘原理 第四章数值积分微分 掌握：梯形公式，Simpson公式，代数精度，Gauss积分，带权Gauss积分公式推导，复化梯形公式推导及算法。 了解：数值微分，积分余项 第五章直接法 掌握：LU分解求线性方程组，运算量 了解：Gauss消去法，LDL，追赶法 第六章迭代法 掌握：Jacobi,Gauss-Seidel迭代格式构造，敛散性分析，向量、矩阵的范数、谱半径 了解：SOR迭代 第七章Nolinear迭代法 掌握：牛顿迭代格式构造，简单迭代法构造、敛散性分析，收敛阶。 了解：二分法，弦截法 第八章ODE解法 掌握：Euler公式构造、收敛阶。 了解：梯形Euler公式、收敛阶，改进Euler公式 题目类型：填空，计算，证明综合题
第一章 误差 1. 科学计算中的误差来源有4个，分别是________，________，________，________。 2. 用Taylor 展开近似计算函数000()()'()()f x f x f x x x ≈+-，这里产生是什么误差？ 3. 0.7499作 3 4 的近似值，是______位有效数字，65.380是舍入得到的近似值，有____几位有效数字，相对误差限为_______. 0.0032581是四舍五入得到的近似值，有_______位有效数字. 4. 改变下列表达式，使计算结果比较精确： （1）11,||1121x x x x --++ （2 ||1x （3） 1cos ,0,|| 1.x x x x -≠ （4）sin sin ,αβαβ-≈ 5. 采用下列各式计算61)时，哪个计算效果最好？并说明理由。 （1） （2 ）99-3 ）6 (3-（4 6. 已知近似数*x 有4位有效数字，求其相对误差限。 上机实验题： 1、利用Taylor 展开公式计算0! k x k x e k ∞ ==∑，编一段小程序，上机用单精度计算x e 的函数 值. 分别取x =1，5，10，20，-1，-5，-10，-15，-20，观察所得结果是否合理，如不合理请分析原因并给出解决方法. 2、已知定积分1 ,0,1,2,,206 n n x I dx n x ==+? ,有如下的递推关系 111 110 0(6)61666 n n n n n x x x x I dx dx I x x n ---+-===++-? ? 可建立两种等价的计算公式 (1) 1016,0.154n n I I I n -= -=取； (2) 12011),0.6n n I nI I n -=-=（取
数值分析第四版习题及答案
第四版 数值分析习题 第一章绪论 1.设x>0,x得相对误差为δ,求得误差、 2.设x得相对误差为2％,求得相对误差、 3.下列各数都就是经过四舍五入得到得近似数,即误差限不超过最后一位得半个单位,试指 出它们就是几位有效数字: 4.利用公式(3、3)求下列各近似值得误差限: 其中均为第3题所给得数、 5.计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R时允许得相对误差限就是多少? 6.设按递推公式 ( n=1,2,…) 计算到、若取≈27、982(五位有效数字),试问计算将有多大误差? 7.求方程得两个根,使它至少具有四位有效数字(≈27、982)、 8.当N充分大时,怎样求? 9.正方形得边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝? 10.设假定g就是准确得,而对t得测量有±0、1秒得误差,证明当t增加时S得绝对误差增 加,而相对误差却减小、 11.序列满足递推关系(n=1,2,…),若(三位有效数字),计算到时误差有多大?这个计算过程 稳定吗? 12.计算,取,利用下列等式计算,哪一个得到得结果最好? 13.,求f(30)得值、若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等价公式 计算,求对数时误差有多大? 14.试用消元法解方程组假定只用三位数计算,问结果就是否可靠? 15.已知三角形面积其中c为弧度,,且测量a ,b ,c得误差分别为证明面积得误差满足 第二章插值法 1.根据(2、2)定义得范德蒙行列式,令 证明就是n次多项式,它得根就是,且 、 2.当x= 1 , -1 , 2 时, f(x)= 0 , -3 , 4 ,求f(x)得二次插值多项式、 3. 4., 研究用线性插值求cos x 近似值时得总误差界、
数值分析第四版习题及答案
数值分析第四版习题及答案
第四版 数值分析习题 第一章 绪 论 1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差. 2. 设x 的相对误差为2％,求n x 的相对误差. 3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指出它们是几位有效数字: *****1 2 3 4 5 1.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====? 4. 利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限: ********12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中****1234 ,,,x x x x 均为第3题所给 的数. 5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少? 6. 设0 28,Y =按递推公式 11 783100 n n Y Y -=( n=1,2,…) 计算到100Y .若取78327.982(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差? 7. 求方程2 5610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字78327.982). 8. 当N 充分大时,怎样求2 11N dx x +∞ +?? 9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能
使其面积误差不超过1㎝2 ? 10. 设212 S gt = 假定g 是准确的,而对t 的测量有±0.1秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对误差增加,而相对误差却减小. 11. 序列{}n y 满足递推关系1 101n n y y -=-(n=1,2,…),若02 1.41y =≈(三位有效数字),计算到10 y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗? 12. 计算6 21)f =,取2 1.4≈,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好? 3 63 22)70 2. (21)(322)--++ 13. 2 ()ln(1)f x x x =-,求f (30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等价公式 2 2 ln(1)ln(1)x x x x -=-+ 计算,求对数时误差有多大? 14. 试用消元法解方程组 {101012121010;2. x x x x +=+=假定只用 三位数计算,问结果是否可靠? 15. 已知三角形面积 1 sin ,2 s ab c = 其中c 为弧 度, 02c π << ,且测量a ,b ,c 的误差分别为,,.a b c ???证明面积的误差s ?满足 .s a b c s a b c ????≤++ 第二章 插值法 1. 根据( 2.2)定义的范德蒙行列式,令
数值分析习题
习题1 1． 填空题 (1) 为便于算法在计算机上实现，必须将一个数学问题分解为 的 运算； (2) 在数值计算中为避免损失有效数字，尽量避免两个 数作减法运算；为避免 误差的扩大，也尽量避免分母的绝对值 分子的绝对值； (3) 误差有四大来源,数值分析主要处理其中的 和 ； (4) 有效数字越多,相对误差越 ； 2. 用例1.4的算法计算10,迭代3次,计算结果保留4位有效数字. 3. 推导开平方运算的误差限公式,并说明什么情况下结果误差不大于自变量误差. 4. 以下各数都是对准确值进行四舍五入得到的近似数,指出它们的有效数位、误差限和相对误差限. 95123450304051104000003346087510., ., , ., .x x x x x -==?===? 5. 证明1.2.3之定理1.1. 6. 若钢珠的的直径d 的相对误差为1.0%,则它的体积V 的相对误差将为多少。（假定钢珠为标准的球形） 7. 若跑道长的测量有0.1%的误差,对400m 成绩为60s 的运动员的成绩将会带来多大的误差和相对误差. 8. 为使20的近似数相对误差小于0.05%,试问该保留几位有效数字. 9. 一个园柱体的工件,直径d 为10.25±0.25mm,高h 为40.00±1.00mm,则它的体积V 的近似值、误差和相对误差为多少． 10 证明对一元函数运算有 r r xf x f x k x k f x εε'≈= () (())(),() 其中 并求出157f x x x ==()tan ,.时的k 值，从而说明f x x =()tan 在2 x π ≈时是病态问题． 11. 定义多元函数运算 1 1 1,,(),n n i i i i i i S c x c x εε====≤∑∑其中 求出S ε()的表达式，并说明i c 全为正数时，计算是稳定的，i c 有正有负时，误差难以控制． 12. 下列各式应如何改进,使计算更准确：
数值分析课后习题答案
习 题 一 解 答 1．取3.14，3.15， 227，355113 作为π的近似值，求各自的绝对误差，相对误差和有效数字的位数。 分析：求绝对误差的方法是按定义直接计算。求相对误差的一般方法是先求出绝对误差再按定义式计算。注意，不应先求相对误差再求绝对误差。有效数字位数可以根据定义来求，即先由绝对误差确定近似数的绝对误差不超过那一位的半个单位，再确定有效数的末位是哪一位，进一步确定有效数字和有效数位。有了定理2后，可以根据定理2更规范地解答。根据定理2，首先要将数值转化为科学记数形式，然后解答。 解：（1）绝对误差: e(x)=π－3.14＝3.14159265…－3.14＝0.00159…≈0.0016。 相对误差： 3()0.0016 ()0.51103.14r e x e x x -==≈? 有效数字： 因为π＝3.14159265…=0.314159265…×10，3.14＝0.314×10，m=1。 而π－3.14＝3.14159265…－3.14＝0.00159… 所以│π－3.14│＝0.00159…≤0.005=0.5×10－2＝21311 101022 --?=? 所以，3.14作为π的近似值有3个有效数字。 （2）绝对误差: e(x)=π－3.15＝3.14159265…－3.14＝－0.008407…≈－0.0085。 相对误差： 2()0.0085 ()0.27103.15r e x e x x --==≈-? 有效数字： 因为π＝3.14159265…=0.314159265…×10，3.15＝0.315×10，m=1。 而π－3.15＝3.14159265…－3.15＝－0.008407… 所以│π－3.15│＝0.008407……≤0.05=0.5×10－1 ＝11211101022 --?=? 所以，3.15作为π的近似值有2个有效数字。 （3）绝对误差: 22 () 3.14159265 3.1428571430.0012644930.00137e x π=-=-=-≈- 相对误差：
数值分析最佳习题(含答案)
第一章 绪论 姓名 学号 班级 习题主要考察点：有效数字的计算、计算方法的比较选择、误差和误差限的计算。 1 若误差限为5105.0-?,那么近似数有几位有效数字（有效数字的计算） 解：2*103400.0-?=x ，325*102 1102 1---?=?≤-x x 故具有3位有效数字。 2 14159.3=π具有4位有效数字的近似值是多少（有效数字的计算） 解：10314159.0?= π，欲使其近似值*π具有4位有效数字，必需 41*102 1 -?≤-ππ，3*3102 1102 1--?+≤≤?-πππ，即14209.314109.3*≤≤π 3 已知2031.1=a ，978.0=b 是经过四舍五入后得到的近似值，问b a +， b a ?有几位有效数字（有效数字的计算） 解：3*1021 -?≤-a a ，2*102 1-?≤-b b ，而1811.2=+b a ，1766.1=?b a 2123****102 1 10211021)()(---?≤?+?≤ -+-≤+-+b b a a b a b a 故b a +至少具有2位有效数字。 2123*****102 1 0065.01022031.1102978.0)()(---?≤=?+?≤ -+-≤-b b a a a b b a ab
故b a ?至少具有2位有效数字。 4 设0>x ，x 的相对误差为δ，求x ln 的误差和相对误差（误差的计算） 解：已知δ=-* *x x x ，则误差为 δ=-= -* **ln ln x x x x x 则相对误差为 * * ** * * ln ln 1ln ln ln x x x x x x x x δ = -= - 5测得某圆柱体高度h 的值为cm h 20*=，底面半径r 的值为cm r 5*=， 已知cm h h 2.0||*≤-，cm r r 1.0||*≤-，求圆柱体体积h r v 2π=的绝对误差 限与相对误差限。（误差限的计算） 解：*2******2),(),(h h r r r h r r h v r h v -+-≤-ππ 绝对误差限为 πππ252.051.02052)5,20(),(2=??+????≤-v r h v 相对误差限为 %420 1 20525) 5,20() 5,20(),(2 ==??≤ -ππv v r h v 6 设x 的相对误差为%a ,求n x y =的相对误差。（函数误差的计算） 解：%* *a x x x =-， )%(* **** *na x x x n x x x y y y n n n =-≤-= - 7计算球的体积，为了使体积的相对误差限为%1，问度量半径r 时允许的相对误差限为多大（函数误差的计算）
数值分析习题集及答案Word版
数值分析习题集 （适合课程《数值方法A 》和《数值方法B 》） 长沙理工大学 第一章 绪 论 1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差. 2. 设x 的相对误差为2％,求n x 的相对误差. 3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指 出它们是几位有效数字: *****123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====? 4. 利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限: ********12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中**** 1234 ,,,x x x x 均为第3题所给的数. 5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少? 6. 设028,Y =按递推公式 1n n Y Y -=…) 计算到100Y .27.982(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差? 7. 求方程2 5610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字27.982). 8. 当N 充分大时,怎样求2 1 1N dx x +∞+?? 9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝2 ? 10. 设 212S gt = 假定g 是准确的,而对t 的测量有±0.1秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对 误差增加,而相对误差却减小. 11. 序列 {}n y 满足递推关系1101n n y y -=-(n=1,2,…),若0 1.41y =≈(三位有效数字), 计算到 10y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗? 12. 计算6 1)f =, 1.4≈,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好? 3 -- 13. ()ln(f x x =,求f (30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?
数值分析整理版试题及答案
数值分析整理版试题及答案
例1、 已知函数表 x -1 1 2 ()f x -3 0 4 求()f x 的Lagrange 二次插值多项式和Newton 二次插值多项式。 解： （1）k x -1 1 2 k y -3 0 4 插值基函数分别为 ()()()()()()()()()() 1200102121()1211126 x x x x x x l x x x x x x x ----= ==-------- ()()()()()()()() ()()021******* ()1211122x x x x x x l x x x x x x x --+-= ==-+---+- ()()()()()()()()()()0122021111 ()1121213 x x x x x x l x x x x x x x --+-= ==-+--+- 故所求二次拉格朗日插值多项式为 () ()()()()()()()()()()2 20 2()11131201241162314 121123537623k k k L x y l x x x x x x x x x x x x x ==?? =-? --+?-+-+?+-????=---++-=+-∑ （2）一阶均差、二阶均差分别为
[]()()[]()()[][][]010********* 011201202303 ,11204 ,412 3 4,,5 2,,126 f x f x f x x x x f x f x f x x x x f x x f x x f x x x x x ---===-----= = =----=== --- k x ()k f x 一阶 二阶 -1 -3 1 0 3/ 2 2 4 4 5/6 故所求Newton 二次插值多项式为 ()()[]()[]()() ()()()20010012012,,,35 311126537623P x f x f x x x x f x x x x x x x x x x x x =+-+--=-+ +++-=+- 例2、 设2 ()32f x x x =++，[0,1]x ∈，试求()f x 在[0, 1]上关于()1x ρ=，{} span 1,x Φ=的最佳平方逼近多项式。 解： 若{}span 1,x Φ=，则0()1x ?=，1()x x ?=，且()1x ρ=，这样，有
数值分析版试题及答案
例1、已知函数表 求() f x的Lagrange二次插值多项式和Newton二次插值多项式。 解： （1）由题可知 插值基函数分别为 故所求二次拉格朗日插值多项式为 （2）一阶均差、二阶均差分别为 均差表为
故所求Newton 二次插值多项式为 例2、 设2()32f x x x =++，[0,1]x ∈，试求()f x 在[0, 1]上关于()1x ρ=，{}span 1,x Φ=的 最佳平方逼近多项式。 解： 若{}span 1,x Φ=，则0()1x ?=，1()x x ?=，且()1x ρ=，这样，有 所以，法方程为 011231261192 34a a ??????????=?????????? ?????????? ，经过消元得012311 62110123a a ??? ???????=???????????????????? 再回代解该方程，得到14a =，011 6 a = 故，所求最佳平方逼近多项式为* 111 ()46 S x x = +
例3、 设()x f x e =，[0,1]x ∈，试求()f x 在[0, 1]上关于()1x ρ=，{}span 1,x Φ=的最佳平 方逼近多项式。 解： 若{}span 1,x Φ=，则0()1x ?=，1()x x ?=，这样，有 所以，法方程为 解法方程，得到00.8732a =，1 1.6902a =， 故，所求最佳平方逼近多项式为 例4、 用4n =的复合梯形和复合辛普森公式计算积分1?。 解： （1）用4n =的复合梯形公式 由于 2h =，()f x =，()121,2,3k x k k =+=，所以，有 （2）用4n =的复合辛普森公式 由于2h =，()f x =，()121,2,3k x k k =+=，()1 2 220,1,2,3k x k k +=+=，所以，有 例5、 用列主元消去法求解下列线性方程组的解。 解：先消元 再回代，得到33x =，22x =，11x =
数值分析试题及答案汇总
数值分析试题及答案汇 总 TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】
数值分析试题 一、填空题（2 0×2′） 1. ?? ????-=? ?????-=32,1223X A 设x =是精确值x *=的近似值，则x 有 2 位有效数字。 2. 若f (x )=x 7－x 3＋1，则f [20,21,22,23,24,25,26,27]= 1 ， f [20,21,22,23,24,25,26,27,28]= 0 。 3. 设，‖A ‖∞＝___5 ____，‖X ‖∞＝__ 3_____， ‖AX ‖∞≤_15_ __。 4. 非线性方程f (x )=0的迭代函数x =(x )在有解区间满足 |’(x )| <1 ，则使用该迭代函数 的迭代解法一定是局部收敛的。 5. 区间[a ,b ]上的三次样条插值函数S (x )在[a ,b ]上具有直到 2 阶的连续导数。 6. 当插值节点为等距分布时，若所求节点靠近首节点，应该选用等距节点下牛顿差 商公式的 前插公式 ，若所求节点靠近尾节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式的 后插公式 ；如果要估计结果的舍入误差，应该选用插值公式中的 拉格朗日插值公式 。 7. 拉格朗日插值公式中f (x i )的系数a i (x )的特点是：=∑=n i i x a 0)( 1 ；所以当系数 a i (x )满足 a i (x )>1 ，计算时不会放大f (x i )的误差。 8. 要使 20的近似值的相对误差小于%，至少要取 4 位有效数字。 9. 对任意初始向量X (0)及任意向量g ，线性方程组的迭代公式x (k +1)=Bx (k )+g (k =0,1,…) 收敛于方程组的精确解x *的充分必要条件是 (B)<1 。 10. 由下列数据所确定的插值多项式的次数最高是 5 。
数值分析习题集及答案
数值分析习题集 （适合课程《数值方法A》和《数值方法B》） 长沙理工大学 第一章绪论 1.设x>0,x的相对误差为δ,求的误差. 2.设x的相对误差为2％,求的相对误差. 3.下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指 出它们是几位有效数字: 4.利用公式求下列各近似值的误差限: 其中均为第3题所给的数. 5.计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R时允许的相对误差限是多少? 6.设按递推公式 ( n=1,2,…) 计算到.若取≈(五位有效数字),试问计算将有多大误差? 7.求方程的两个根,使它至少具有四位有效数字(≈. 8.当N充分大时,怎样求? 9.正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝? 10.设假定g是准确的,而对t的测量有±秒的误差,证明当t增加时S的绝对误差增加,而 相对误差却减小. 11.序列满足递推关系(n=1,2,…),若(三位有效数字),计算到时误差有多大?这个计算过程 稳定吗? 12.计算,取,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好? 13.,求f(30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等价公式 计算,求对数时误差有多大? 14.试用消元法解方程组假定只用三位数计算,问结果是否可靠? 15.已知三角形面积其中c为弧度,,且测量a ,b ,c的误差分别为证明面积的误差满足 第二章插值法 1.根据定义的范德蒙行列式,令 证明是n次多项式,它的根是,且 .
2.当x= 1 , -1 , 2 时, f(x)= 0 , -3 , 4 ,求f(x)的二次插值多项式. 3. 4.给出cos x,0°≤x ≤90°的函数表,步长h =1′=(1/60)°,若函数表具有5位有效数 字,研究用线性插值求cos x 近似值时的总误差界. 5.设,k=0,1,2,3,求. 6.设为互异节点(j=0,1,…,n),求证: i) ii) 7.设且,求证 8.在上给出的等距节点函数表,若用二次插值求的近似值,要使截断误差不超过,问使用函 数表的步长应取多少? 9.若,求及. 10.如果是次多项式,记,证明的阶差分是次多项式,并且为正整数). 11.证明. 12.证明 13.证明 14.若有个不同实根,证明 15.证明阶均差有下列性质: i)若,则; ii)若,则. 16.,求及. 17.证明两点三次埃尔米特插值余项是 并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限. 18.求一个次数不高于4次的多项式,使它满足并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限. 19.试求出一个最高次数不高于4次的函数多项式,以便使它能够满足以下边界条件,,. 20.设,把分为等分,试构造一个台阶形的零次分段插值函数并证明当时,在上一致收敛到. 21.设,在上取,按等距节点求分段线性插值函数,计算各节点间中点处的与的值,并估计误 差. 22.求在上的分段线性插值函数,并估计误差. 23.求在上的分段埃尔米特插值,并估计误差. i) ii) 25.若,是三次样条函数,证明 i); ii)若,式中为插值节点,且,则. 26.编出计算三次样条函数系数及其在插值节点中点的值的程序框图(可用式的表达式). 第三章函数逼近与计算 1.(a)利用区间变换推出区间为的伯恩斯坦多项式. (b)对在上求1次和三次伯恩斯坦多项式并画出图形,并与相应的马克劳林级数部分和误
数值分析试题及答案
数值分析试题及答案 一、单项选择题（每小题3分，共15分） 1. 3.142和3.141分别作为的近似数具有（）和（）位有效数字. A．4和3 B．3和2 C．3和4 D．4和4 2. 已知求积公式，则＝（） A． B．C．D． 3. 通过点的拉格朗日插值基函数满足（） A．＝0，B．＝0， C．＝1，D．＝1， 4. 设求方程的根的牛顿法收敛，则它具有（）敛速。 A．超线性B．平方C．线性D．三次 5. 用列主元消元法解线性方程组作第一次消元后得到的第3个方程（）. A．B． C．D． 单项选择题答案 1.A 2.D 3.D 4.C 5.B 得分评卷 人 二、填空题（每小题3分，共15分） 1. 设, 则， . 2. 一阶均差 3. 已知时，科茨系数，那么 4. 因为方程在区间上满足，所以在区间内有根。 5. 取步长，用欧拉法解初值问题的计算公式.填空题答案
1. 9和 2. 3. 4. 5. 得分评卷 人 三、计算题（每题15分，共60分） 1. 已知函数的一组数据：求分段线性插值函数，并计算的近似值. 计算题1.答案 1. 解， ， 所以分段线性插值函数为 2. 已知线性方程组 （1）写出雅可比迭代公式、高斯－塞德尔迭代公式； （2）对于初始值，应用雅可比迭代公式、高斯－塞德尔迭代公式分别计算（保留小数点后五位数字）. 计算题2.答案 1.解原方程组同解变形为 雅可比迭代公式为 高斯－塞德尔迭代法公式 用雅可比迭代公式得 用高斯－塞德尔迭代公式得 3. 用牛顿法求方程在之间的近似根 （1）请指出为什么初值应取2？ （2）请用牛顿法求出近似根，精确到0.0001. 计算题3.答案