2.4.1等比数列教师版 唐兵

2.4 等比数列（1）

一、学习目标

知识和能力目标：掌握等比数列的定义及通项公式;

过程和方法目标：运用等比数列的定义解决相关问题.

情感态度和价值观目标：了解事物之间的相互区别和联系.

二、阅读要求及检测

阅读课本135页至137页的内容并完成下列小题：

(1),,________,,______,_______一般地如果一个数列从第二项起每一项与他的前一项的比等于那么这个数列就叫做等比数列这个常熟叫做等比数列的公比通常用表示.

(2)__________.等比数列的通项公式是

(3)138,;完成课本第页练习第1题第2题

三、要点精讲及典型例题：

1,120,,,?()

例、培育水稻新品种如果第一代得到粒种子并且从第一代起由以后各代的每一粒种子都可以得到下一代的120粒种子到第五代大约可以得到这个新品种的种子多少粒保留两个有效数字 4511015110:,,{},120,120120120 2.5102.510n a a q a a q -==∴==?≈??解由于每代的种子数是他的前一代种子数的120倍逐代的种子数组成等比数列记为其中答：到第五代大约可以得到种子粒.

2,.例、一个等比数列的第3项与第4项分别是12和18求它的第1项与第2项

2

111312116123:,,3

182

88.a a q a q a q q a a q ?=??=?????=???=??∴==解设数列的第1项是公比是那么16答：这个数列的第1项与第2项分别是

和3

47514233{},(1)27,3,.(2)15,6,.n a a q a a a a a a 例、在等比数列中求求==--=-=

336742233333:(1)27(3)3;

151(2)15(1),6(2);(1),2,(2)22

4, 4.

a a q a q a q a q a q q q q a ==?-=--=-=+

=∴==-解得代入得

4{}{},{}.n n n n a b a b 例、已知是项数相同的等比数列求证也是等比数列 11111111111111111111:{},;{},,{}1,()()().,(){}.

n n n n n n n n n n

n n n n n n n n a a p b b q a b n n a p b q a p b q a b pq a b a b pq a b pq pq n a b a b pq a b pq ---++-+==∴ 证明设数列首项为公比为数列首项为公比为那么数列的第项与第项分别为与即为与

它是一个与无关的常数是一个以为公比的等比数列

{},{}()n n a q ca c 变式一：若数列是公比为的等比数列则数列为非零常数公比为多少？ :.q 解该数列的公比为

{}1142254:(1)3,(2){},,...,,{}n n n n n n n n n a a b b c c a a c a a c a a c +??+????

=+=+=+相关延伸例题干条件不变，试问是否为等比数列？

若数列满足条件试问是否为等比数列？ {}1111111111111

1111,,,n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a a a p p b b b q q b q a p a b a p b q p p p q a b a p b q a p b q p q a b ++-++----??÷=????

+++===+++=+ 解:显然是等比数列,是非零常数；若是该比值为常数则必有当且仅当时数列是等比数列

四、自主练习题：1.课本52页练习题；

2,(1),(1),...,______.a a a a a a --已知数列是等比数列则实数满足的条件是

五、总结与点评：对比等差数列，熟练记忆等比数列的各项性质

六、课后作业：1.课本第53页习题2.4第1、2、题; 2.习题本自主练习题答案且

≠≠

01

a a

高中数学-等比数列练习题(含答案)

等比数列练习（含答案） 一、选择题 1.(广东卷文)已知等比数列}{n a 的公比为正数，且3a ·9a =22 5a ，2a =1，则1a = A. 2 1 B. 22 C. 2 D.2 【答案】B 【解析】设公比为q ,由已知得( )2 2 8 41112a q a q a q ?=,即2 2q =,又因为等比数列}{n a 的公比为 正数，所以q = 故212a a q = == ,选B 2、如果1,,,,9a b c --成等比数列，那么（ ） A 、3,9b ac == B 、3,9b ac =-= C 、3,9b ac ==- D 、3,9b ac =-=- 3、若数列}{ n a 的通项公式是=+++-=1021),23()1(a a a n a n n Λ则 （A ）15 （B ）12 （C ）-12 D ）-15 答案：A 4.设{n a }为等差数列，公差d = -2，n S 为其前n 项和.若1011S S =，则1a =（ ） A.18 B.20 C.22 D.24 答案：B 解析： 20 ,100,1111111110=∴+==∴=a d a a a S S Θ 5.（四川）已知等比数列()n a 中21a =，则其前3项的和3S 的取值范围是() A.(],1-∞- B.()(),01,-∞+∞U C.[)3,+∞ D.(][),13,-∞-+∞U 答案 D 6.（福建)设｛a n ｝是公比为正数的等比数列，若n 1=7,a 5=16,则数列｛a n ｝前7项的和为( ) A.63 B.64 C.127 D.128 答案 C 7.（重庆）在等比数列{a n }中，a 2＝8，a 5＝64，，则公比q 为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．8 答案 A 8．若等比数列{a n }满足a n a n +1=16n ，则公比为 A ．2 B ．4 C ．8 D ．16 答案：B 9．数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1=1，a n +1 =3S n （n ≥1），则a 6= （A ）3 × 44 （B ）3 × 44+1 （C ）44 （D ）44+1 答案：A 解析：由a n +1 =3S n ，得a n =3S n －1（n ≥ 2），相减得a n +1－a n =3(S n －S n －1)= 3a n ，则a n +1=4a n （n ≥ 2），a 1=1，a 2=3，则a 6= a 2·44=3×44，选A ． 10.(湖南) 在等比数列{}n a （n ∈N*）中，若11a =，41 8 a =，则该数列的前10项和为（ ） A ．4122- B ．2122- C ．10122- D ．111 22 - 答案 B 11.（湖北）若互不相等的实数 成等差数列， 成等比数列，且 310a b c ++=，则a = A ．4 B ．2 C ．－2 D ．－4 答案 D 解析 由互不相等的实数,,a b c 成等差数列可设a ＝b －d ，c ＝b ＋d ，由310a b c ++=可得b ＝2，所以a ＝2－d ，c ＝2＋d ，又,,c a b 成等比数列可得d ＝6，所以a ＝－4，选D 12.（浙江）已知{}n a 是等比数列，4 1 252= =a a ，，则13221++++n n a a a a a a Λ=（ ） A.16（n --41） B.6（n --21） ,,a b c ,,c a b

高考等比数列专题及答案百度文库

一、等比数列选择题 1．在流行病学中，基本传染数R 0是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数.初始感染者传染R 0个人，为第一轮传染，这R 0个人中每人再传染R 0个人，为第二轮传染，…….R 0一般由疾病的感染周期?感染者与其他人的接触频率?每次接触过程中传染的概率决定.假设新冠肺炎的基本传染数0 3.8R =，平均感染周期为7天，设某一轮新增加的感染人数为M ，则当M >1000时需要的天数至少为（ ）参考数据：lg38≈1.58 A ．34 B ．35 C ．36 D ．37 2．已知各项不为0的等差数列{}n a 满足2 6780a a a -+=，数列{}n b 是等比数列，且 77b a =，则3810b b b =（ ) A ．1 B ．8 C ．4 D ．2 3．中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马.”马主曰：“我马食半牛.”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟.羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半.”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？此问题中1斗为10升，则牛主人应偿还多少升粟？（ ） A ． 503 B ． 507 C ． 100 7 D ． 200 7 4．已知{}n a 是正项等比数列且1a ，312a ，22a 成等差数列，则91078 a a a a +=+（ ） A 1 B 1 C ．3- D ．3+5．在等比数列{}n a 中，132a =，44a =．记12(1,2,)n n T a a a n ==……，则数列{}n T （ ） A ．有最大项，有最小项 B ．有最大项，无最小项 C ．无最大项，有最小项 D ．无最大项，无最小项 6．已知等比数列{}n a 满足12234,12a a a a +=+=，则5S 等于（ ） A ．40 B ．81 C ．121 D ．242 7．设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，并且满足条件 11a >，66771 1, 01 a a a a -><-，则下列结论正确的是（ ） A ．681a a > B ．01q << C ．n S 的最大值为7S D ．n T 的最大值为7T 8．在数列{}n a 中，12a =，对任意的,m n N * ∈，m n m n a a a +=?，若 1262n a a a ++???+=，则n =（ ）

人教版数学高二版必修5课时检测(十) 等 比 数 列

课时达标检测（十） 等 比 数 列 一、选择题 1．设a 1，a 2，a 3，a 4成等比数列，其公比为2，则2a 1＋a 22a 3＋a 4 的值为( ) A.14 B.12 C.18 D ．1 解析：选A 原式＝2a 1＋a 2q 2(2a 1＋a 2)＝1q 2＝14 . 2．已知一等比数列的前三项依次为x,2x ＋2,3x ＋3，那么－1312 是此数列的第( ) A ．2项 B ．4项 C ．6项 D ．8项 解析：选B 由x,2x ＋2,3x ＋3成等比数列， 可知(2x ＋2)2＝x (3x ＋3)， 解得x ＝－1或－4. 又当x ＝－1时，2x ＋2＝0，这与等比数列的定义相矛盾．∴x ＝－4， ∴该数列是首项为－4，公比为32 的等比数列， 其通项a n ＝－4????32n －1， 由－4????32n －1＝－1312 ，得n ＝4. 3．若互不相等的实数a ，b ，c 成等差数列，a 是b ，c 的等比中项，且a ＋3b ＋c ＝10，则a 的值是( ) A ．1 B ．－1 C ．－3 D ．－4 解析：选D 由题意，得????? 2b ＝a ＋c ，a 2＝bc ， a ＋3 b ＋ c ＝10， 解得a ＝－4，b ＝2，c ＝8. 4．若a ，b ，c 成等比数列，则关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0( )

A ．必有两个不等实根 B ．必有两个相等实根 C ．必无实根 D ．以上三种情况均有可能 解析：选C ∵a ，b ，c 成等比数列， ∴b 2＝ac ＞0. 又∵Δ＝b 2－4ac ＝－3ac ＜0， ∴方程无实数根． 5．等比数列{a n }中，|a 1|＝1，a 5＝－8a 2，a 5＞a 2，则a n 等于( ) A ．(－2)n －1 B ．－(－2n － 1) C ．(－2)n D ．－(－2)n 解析：选A 设公比为q ，则a 1q 4＝－8a 1q ， 又a 1≠0，q ≠0，所以q 3＝－8，q ＝－2， 又a 5＞a 2，所以a 2＜0，a 5＞0， 从而a 1＞0，即a 1＝1，故a n ＝(－2)n －1. 二、填空题 6．等比数列{a n }中，a 1＝－2，a 3＝－8，则a n ＝________. 解析：∵a 3a 1＝q 2，∴q 2＝－8－2 ＝4，即q ＝±2. 当q ＝－2时，a n ＝a 1q n －1＝－2×(－2)n －1＝(－2)n ； 当q ＝2时，a n ＝a 1q n －1＝－2×2n －1＝－2n . 答案：(－2)n 或－2n 7．已知等比数列{a n }中，a 3＝3，a 10＝384，则a 4＝________. 解析：设公比为q ，则a 1q 2＝3，a 1q 9＝384， 所以q 7＝128，q ＝2，故a 4＝a 3q ＝3×2＝6. 答案：6 8．若数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＝2S n －3，则{a n }的通项公式是________． 解析：由a n ＝2S n －3得a n －1＝2S n －1－3(n ≥2)，两式相减得a n －a n －1＝2a n (n ≥2)， ∴a n ＝－a n －1(n ≥2)，a n a n －1 ＝－1(n ≥2)．

高三等比数列复习专题

一、等比数列选择题 1．已知单调递增数列{}n a 的前n 项和n S 满足()( )* 21n n n S a a n =+∈N ，且0n S >，记 数列{} 2n n a ?的前n 项和为n T ，则使得2020n T >成立的n 的最小值为（ ） A ．7 B ．8 C ．10 D ．11 2．在等比数列{}n a 中，24a =，532a =，则4a =（ ） A ．8 B ．8- C ．16 D ．16- 3．已知等比数列{a n }中，有a 3a 11＝4a 7，数列{b n }是等差数列，且b 7＝a 7，则b 5＋b 9＝ （ ） A ．4 B ．5 C ．8 D ．15 4．已知数列{}n a 满足112a = ，* 11()2 n n a a n N +=∈.设2n n n b a λ-=，*n N ∈，且数列 {}n b 是单调递增数列，则实数λ的取值范围是（ ） A ．(,1)-∞ B ．3 (1,)2 - C ．3(,)2 -∞ D ．(1,2)- 5．已知数列{}n a 满足：11a =，*1()2 n n n a a n N a +=∈+．则 10a =（ ） A ． 11021 B ． 11022 C ．1 1023 D ．1 1024 6．已知数列{}n a 的前n 项和为n S 且满足111 30(2),3 n n n a S S n a -+=≥=，下列命题中错误的是（ ） A ．1n S ?????? 是等差数列 B ．13n S n = C ．1 3(1) n a n n =- - D ．{} 3n S 是等比数列 7．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3=7，S 6=63，则数列{na n }的前n 项和为（ ） A ．-3+(n +1)×2n B ．3+(n +1)×2n C ．1+(n +1)×2n D ．1+(n -1)×2n 8．设a ，0b ≠，数列{}n a 的前n 项和(21)[(2)22]n n n S a b n =---?+，*n N ∈，则 存在数列{}n b 和{}n c 使得（ ） A ．n n n a b c =+，其中{}n b 和{}n c 都为等比数列 B ．n n n a b c =+，其中{}n b 为等差数列，{}n c 为等比数列 C ．· n n n a b c =，其中{}n b 和{}n c 都为等比数列 D ．· n n n a b c =，其中{}n b 为等差数列，{}n c 为等比数列 9．公比为(0)q q >的等比数列{}n a 中，1349,27a a a ==，则1a q +=（ ）

高中数学人教版必修等比数列教案(系列三)

课题: 2.4等比数列 授课类型：新授课 （第1） ●教学目标 知识与技能：掌握等比数列的定义；理解等比数列的通项公式及推导； 过程与方法：通过实例，理解等比数列的概念；探索并掌握等比数列的通项公式、性质，能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，提高数学建模能力；体会等比数列与指数函数的关系。 情感态度与价值观：充分感受数列是反映现实生活的模型，体会数学是来源于现实生活，并应用于现实生活的，数学是丰富多彩的而不是枯燥无味的，提高学习的兴趣。 ●教学重点 等比数列的定义及通项公式 ●教学难点 灵活应用定义式及通项公式解决相关问题 ●教学过程 Ⅰ.课题导入 复习：等差数列的定义： n a －1-n a =d ，（n ≥2，n ∈N +） 等差数列是一类特殊的数列，在现实生活中，除了等差数列，我们还会遇到下面一类特殊的数列。 课本P41页的4个例子： ①1，2，4，8，16，… ②1，12，14，18，116 ，… ③1，20，220，320，420，… ④10000 1.0198?，210000 1.0198?，310000 1.0198?，410000 1.0198?，510000 1.0198?，…… 观察：请同学们仔细观察一下，看看以上①、②、③、④四个数列有什么共同特征？ 共同特点：从第二项起，第一项与前一项的比都等于同一个常数。 Ⅱ.讲授新课 1．等比数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q 表

示（q ≠0即：1 -n n a a =q （q ≠0） 1?“从第二项起”与“前一项”之比为常数(q ) ｛n a ｝成等比数列?n n a a 1+=q （+∈N n ,q ≠0） 2? 隐含：任一项00≠≠q a n 且 “n a ≠0”是数列｛n a ｝成等比数列的必要非充分条件． 3? q = 1时，{a n }为常数。 2.等比数列的通项公式1: )0(111≠??=-q a q a a n n 由等比数列的定义，有： q a a 12=； 21123)(q a q q a q a a ===； 312134)(q a q q a q a a ===； … … … … … … … )0(1111≠??==--q a q a q a a n n n 3.等比数列的通项公式2: )0(11≠??=-q a q a a m m n 4．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列 探究：课本P56页的探究活动等比数列与指数函数的关系 等比数列与指数函数的关系： 等比数列｛n a ｝的通项公式)0(111≠??=-q a q a a n n ,它的图象是分布在曲线1x a y q q =（q >0）上的一些孤立的点。 当10a >，q >1时，等比数列｛n a ｝是递增数列； 当10a <，01q <<，等比数列｛n a ｝是递增数列； 当10a >，01q <<时，等比数列｛n a ｝是递减数列； 当10a <，q >1时，等比数列｛n a ｝是递减数列； 当0q <时，等比数列｛n a ｝是摆动数列；当1q =时，等比数列｛n a ｝是常数列。 [范例讲解] 课本P57例1、例2、P58例3 解略。 Ⅲ.课堂练习

高中数学必修五《等比数列》教案

3.4.1等比数列教案 临澧一中高一数学组 颜干清 课题 ：3.4.1等比数列(一) 教学目标 （一） 教学知识点 1、 等比数列的定义. 2、 等比数列的通项公式. （二） 能力训练要求 1、 掌握等比数列的定义. 2、 理解等比数列的通项公式及推导. （三） 德育渗透目标 1、 培养学生的发现意识. 2、 提高学生的逻辑推理能力. 3、 增强学生的应用意识. 教学重点 等比数列的定义及通项公式. 教学难点 灵活应用等比数列的定义及通项公式解决一些相关问题. 教学方法 比较式教学法 采用比较式教学法,从而使学生抓住等差数列与等比数列各自的特点，以便理解、掌握与应用. 教学过程 Ⅰ复习回顾 前面几节课，我们共同探讨了等差数列，现在我们再来回顾一下等差数列的主要内容 1、等差数列定义：a n -a n-1=d （n ≥2）(d 为常数) 2、等差数列性质： ①若a 、A 、b 成等差数列，则A= ②若m+n=p +q ，则，a m + a n = a p + a q , ③S k ，S 2k - S 3k ，S 2k …成等差数列. 3、等差数列的前n 项和公式：d n n na a a n s n 2 )1(2)(21-+=+= Ⅱ新课讲授 下面我们来看这样几个数列，有何时共特点？ 1，2，4，8，16，…，263 ；① a +b 2

5，25，125，625，…； ② 1，- ， ，- ，…； ③ 仔细观察数列，寻其共同特点： 数列①：)2(2;21 1≥==--n a a a n n n n ； 数列②: )2(5;51 ≥==-n a a a n n n n 数列③: )2(2 1;21 )1(111≥-=?-=---n a a a n n n n n 共同特点：从第二项起，第一项与前一项的比都等于同一个常数.(也就是说，这些数列从第二项起，每一项与前一项的式都具有“相等”的特点) 1、定义 等比数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列数列的公比；公比通常用字母q 表示（q ≠0）,即：a n ：a n-1= q （q ≠0） 数列①②③都是等比数列，它们的公比依次是2，5，- ，与等差数列比较，仅一字之差。 总之，若一数列从第二项起，每一项与其前一项之“差”这常数，则为等差数列，之“比”这常数，则为等比数列，此常数称为“公差”或“公比”. 注意公差①“d ”可为0，②公比“q ”不可为0. 2、等比数列的通项公式 请同学们想想等差数列通项公式的推导过程，试着推一推等比数列的通项公式. 解法一：由定义式可得 a 2=a 1q a 3=a 2q =( a 1q )q = a 1q 2 a 4=a 3q =( a 2q )q =((a 1q )q )q = a 1q 3 …… a n =a n-1q = a 1q n-1（a 4，q ≠0），n=1时，等式也成立，即对一切n ∈N *成立. 解法二：由定义式可得：（n-1）个等式 1 2 1 8 1 2 1 4 a 2 a 1 = q a 3 a 2 = q ① ②

2019高三第一轮复习：等比数列

2019高三第一轮复习：等比数列 1．已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为15，且53134a a a =+，则3a =（ ） A ．16 B ．8 C ．4 D ．2 2．已知等差数列的公差为，若成等比数列，则的值为（ ） A ． B ． C ． D ． 3．已知数列是公比为的等比数列，且成等差数列，则公比的值为( ) A ． B ．-2 C ．1或 D ．-1或 4．已知等比数列满足，则（ ） A ．243 B ．128 C ．81 D ．64 5．在正项等比数列{}n a 中，若657,3,a a a 依次成等差数列，则{}n a 的公比为（ ） A ．2 B ．1 2 C ． 3 D ．1 3 6．等差数列的公差是2，若成等比数列，则的前项和（ ） A ． B ． C ． D ． 7．若等差数列的公差且成等比数列，则（ ） A ． B ． C ． D ．2 8．已知等比数列{}n a 满足122336a a a a +=+=，，则7a =（ ） A ．64 B ．81 C ．128 D ．243 9．如果数列的前n 项和为，则这个数列的通项公式是（） A ． B ． C ． D ． 10．记为数列的前项和，若，则等于 A ． B ． C ． D ． 11．若公差为的等差数列的前项和为,且成等比数列，则 A ． B ． C ． D ． 12．等比数列中，，则的前4项和为（ ） A ．48 B ．60 C ．81 D ．124

13．已知是等比数列前项的和，若公比，则（ ） A ． B ． C ． D ． 14．数列{}n a 的前n 项和为n S ，且13a =，*12()n n a a n N +=∈，则5S 等于（ ） A ．32 B ．48 C ．62 D ．93 15．等比数列{}n a 的各项均为正数，且544a a =，则212822log log log a a a ++?+=（ ） A ．7 B ．8 C ．9 D ．10 16．等比数列中，．（1）求的通项公式；（2）记为的前项和．若，求． 17．已知数列满足，，设． （1）求 ；（2）判断数列是否为等比数列，并说明理由；（3）求的通项公式． 18．已知等差数列的前项和为，等比数列的前项和为，且，，. （1）若，求的通项公式；（2）若，求.

高中数学人教版必修等比数列的前n项和教案(系列一)

2.5 等比数列的前n 项和 2.5.1 等比数列前n 项和公式的推导与应用 从容说课 师生将共同分析探究等比数列的前n 项和公式.公式的推导以教材中的“错位相减法”为最基本的方法，“错位相减法”也是一种算法，其设计的思路是“消除差别”，从而达到化简的目的. 等比数列前n 项和公式的推导还有许多方法，可启发、引导学生进行探索.例如，根据等比数列的定义可得q a a a a a a a a n n n n =====---1 223211..., 再由分式性质，得q a S a S n n n =--1,整理得)1(11≠--=q q q a a S n n . 教学中应充分利用信息和多媒体技术，还应给予学生充分的探索空间. 教学重点 1.等比数列前n 项和公式的推导 2.等比数列前n 项和公式的应用. 教学难点 等比数列前n 项和公式的推导. 教具准备 多媒体课件、投影胶片、投影仪等 三维目标 一、知识与技能 1.了解现实生活中存在着大量的等比数列求和的计算问题； 2.探索并掌握等比数列前n 项和公式； 3.用方程的思想认识等比数列前n 项和公式，利用公式知三求一； 4.体会公式推导过程中的分类讨论和转化化归的思想. 二、过程与方法 1.采用观察、思考、类比、归纳、探究得出结论的方法进行教学； 2.发挥学生的主体作用，作好探究性活动. 三、情感态度与价值观 1.通过生活中有趣的实例，鼓励学生积极思考，激发学生对知识的探究精神和严肃认真的科学态度，培养学生的类比、归纳的能力； 2.在探究活动中学会思考，学会解决问题的方法；

3.通过对有关实际问题的解决，体现数学与实际生活的密切联系，激发学生学习的兴趣. 教学过程 导入新课 师国际象棋起源于古代印度.相传国王要奖赏国际象棋的发明者.这个故事大家听说过吗？生知道一些，踊跃发言. 师“请在第一个格子里放上1颗麦粒，第二个格子里放上2颗麦粒，第三个格子里放上4颗麦粒，以此类推.每一个格子里放的麦粒都是前一个格子里放的麦粒的2倍.直到第64个格子.请给我足够的麦粒以实现上述要求.”这就是国际象棋发明者向国王提出的要求. 师假定千粒麦子的质量为40g，按目前世界小麦年度产量约60亿吨计.你认为国王能不能满足他的要求？ 生各持己见.动笔，列式，计算. 生能列出式子：麦粒的总数为 12…263=? 师这是一个什么样的问题？你们计算出结果了吗？让我们一起来分析一下. 课件展示： 12…263=? 师我们将各格所放的麦粒数看成是一个数列，那么我们得到的就是一个等比数列.它的首项是1，公比是2，求第1个格子到第64个格子所放的麦粒数总和，就是求这个等比数列的前64项的和. 现在我们来思考一下这个式子的计算方法： 记S=13…263，式中有64项，后项与前项的比为公比2，当每一项都乘以2后，中间有62项是对应相等的，作差可以相互抵消. 课件展示： S=13…263,① 2S=3…263264,② ②①得 2SS=2641. 2641这个数很大，超过了1.84×1019，假定千粒麦子的质量为40g，那么麦粒的总质量超过了7000亿吨.而目前世界年度小麦产量约60亿吨，因此，国王不能实现他的诺言. 师国王不假思索地给国际象棋发明者一个承诺，导致了一个很不幸的后果的发生，这都是

高中数学等比数列教案(完整版).doc

天津职业技术师范大学 人教A版数学必修5第48-52页 2.4等比数列 理学院数学0801 刘瑞平

等比数列教案 一、 课题：等比数列 二、 课型：新授课 三、 教材分析 等比数列的学习在本章中占很大的比重。在日常生活中，人们经常遇到的像存款利息等问题，都需要用有关等比数列的知识来解决。本节内容可以类比等差数列进行教学。 四、 学情分析 学生已经已经有了必要的数学知识储备和一定的数学思维能力，在学完等差数列的基础上，也已经具有了必要的与数列相关的知识。因此，可以通过生活中的例子引入等比数列的概念；然后，再类比等差通项的迭加思想引导学生用迭乘的思想推导等比数列的通项公式。这样，学生既学习了知识又培养了能力。 五、 教学目标： 1) 知识目标：使学生理解等比数列的概念；学会利用等比数列的定义判断一个 数列是否为等比数列；利用通向公式求项。 2) 能力目标：让学生感知数学与生活的普遍联系，培养学生类比的思想方法， 掌握迭乘的思想，调动学生积极观察思考。 3) 情感目标：使学生体验数学活动充满着探索，感受数学思维的严谨性，提高 学生数学思维的情趣。 4) 教学重点与教学难点 教学重点：等比数列的概念 教学难点：等比数列通项的推导，有关等比数列的证明。 六、 教学方法：讲授法，讨论法 七、 教学过程： 1、导入，设问激疑 设问激疑 引出课题 巩固定义 严谨思维 类比等差 推导通项 证明等比 揭示内涵 设问思考 积极探索 反思小结 培养能力

师：上课之前，先问大家一个问题：一张报纸（厚度大约为0.1mm ），将它对折50次会有多厚？如果拿它做云梯能到哪？ （师生互动，一起来分析这道题目）报纸厚度为 初始 0.1mm 折叠1次 0.1?2 = 0.1?21 折叠2次 0.1?2?2 = 0.1?22 折叠3次 0.1?2?2?2 = 0.1?23 折叠4次 0.1?2?2?2?2 = 0.1?24 …… 可以猜想得出 ，折叠50次之后，报纸厚度为 0.1?250 。lg 250 ≈15.05 ，也就是说250 是一个15位整数，2 50 ?0.1mm=1000 10001 .0250??km ，这个数字我们不 知道他确切的值是多少，但可以知道它是一个八位数。而地球到月球的距离仅有 385400km （六位数）。（让学生感受事实与想象之间的差距） 2、新课引入 回过头来，再次分析报纸的折叠问题。将报纸每次折叠后的厚度，看成是一个数列。 初始 0.1mm 折叠1次 0.1?2 = 0.1?21 折叠2次 0.1?2?2 = 0.1?22 折叠3次 0.1?2?2?2 = 0.1?23 折叠4次 0.1?2?2?2?2 = 0.1?24 ……

等比数列概念优秀教案

等比数列的概念教案 教学目标 1．理解等比数列的定义，并能以方程思想作指导，理解和运用它的通项公式． 2．逐步体会类比、归纳的思想，进一步培养学生概括、抽象思维等能力． 3．培养学生严密的思维习惯，促进个性品质的良好发展． 教学重点和难点 重点：等比数列要领的形成及通项公式的应用． 难点：对要领的深刻理解． 教学过程设计 (一)引入新课 师：前面我们已经研究了一类特殊的数列──等差数列，今天我们一起研究第二类新的数列──等比数列． (板书)三等比数列 (二)讲解新课 师：等比数列与等差数列在名字上非常类似，只有一字之差，一个是差，一个是比，你能否仿照等差数列，举列说明你对等比数列的理解． (要求学生能主动的用类比思想，通过具体例子说明对概念的理解) 生：数列1，3，9，27，… 师：你为什么认为它是等比数列呢？ 生：因为这个数列相邻两项的比都是相等的，所以是等比数列． (先引导学生用自己的语言描述等比数列的特征，但暂时不作评论，以防限制其他学生的思维) 师：这是你对等比数列的理解，不过这个例子中的项是一项比一项大，能否再举一个一项比一项小的．

师：你对等比数列的理解呢？ 生：数列中每一项与前一项的比都是同一个常数． 师：他们对等比数列理解基本相同的，能否再换个样子，举一个例子． (若理解没有什么变化，就不必让学生再重复了) 师：下面再举例子又增加点要求，既然要去研究它，说明它一定有实际应用价值，那么能否再举一个生活中的等比数列例子． 生：如生物学中细胞分裂问题：1个细胞经过一次分裂变为2个细胞，这两个细胞再继续分裂成为4个细胞．这样分裂继续下去，细胞个数从1到2到4到8，把每次分裂后所得细胞个数排列好可形成一个数列1，2，4，8，16，…这个数列就是等比数列． 师：这个例子举得很好，不仅能够发现生活中的数学问题，还能把数学知识应用在其它学科，其实等比数列的应用是非常广泛的，说明它确有很高的研究价值． 说了这么多，也发现了等比数列的特征，能否试着给等比数列下个定义呢？ 生：如果一个数列的每一项与前一项的比都等于一个常数，那么这个数列就叫做等比数列． 师：作为定义这种叙述还有一点不足，为保证这样比都作得出来，这每一项应从数列的第二项起，否则第一项没有前一项，也就做不出这个比，调整之后，再找一位同学准确描述一下等比数列． 生：如果一个数列，从第二项起．每一项与前一项的比都等于一个常数，那么这个数列叫做等比数列． 师：好，就把它作为等比数列的定义记录下来． (板书)1．定义如果一个数列，从第二项起，每一项与前一项的比都是同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做公比，记作q．

高中数学《等比数列》教案设计

教案设计 高中数学 《等比数列》 ●教学目标 知识与技能：掌握等比数列的定义；理解等比数列的通项公式及推导； 过程与方法：通过实例，理解等比数列的概念；探索并掌握等比数列的通项公式、性质，能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，提高数学建模能力；体会等比数列与指数函数的关系。 情感态度与价值观：充分感受数列是反映现实生活的模型，体会数学是来源于现实生活，并应用于现实生活的，数学是丰富多彩的而不是枯燥无味的，提高学习的兴趣。 ●教学重点 等比数列的定义及通项公式 ●教学难点 灵活应用定义式及通项公式解决相关问题 ●教学过程 Ⅰ.课题导入 复习：等差数列的定义： n a －1-n a =d ，（n ≥2，n ∈N +） 等差数列是一类特殊的数列，在现实生活中，除了等差数列，我们还会遇到下面一类特殊的数列。 课本P41页的4个例子： ①1，2，4，8，16，… ②1，12，14，18，116 ，… ③1，20，220，320，420，… ④10000 1.0198?，210000 1.0198?，310000 1.0198?，410000 1.0198?，510000 1.0198?，…… 观察：请同学们仔细观察一下，看看以上①、②、③、④四个数列有什么共同特征？ 共同特点：从第二项起，第一项与前一项的比都等于同一个常数。 Ⅱ.讲授新课

1．等比数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q 表示（q ≠0），即：1 -n n a a =q （q ≠0） 1?“从第二项起”与“前一项”之比为常数(q) ｛n a ｝成等比数列?n n a a 1+=q （+∈N n ,q ≠0）2? 隐含：任一项00≠≠q a n 且 “n a ≠0”是数列｛n a ｝成等比数列的必要非充分条件． 3? q= 1时，{a n }为常数。 2.等比数列的通项公式1: ) 0(111≠??=-q a q a a n n 由等比数列的定义，有： q a a 12=； 21123)(q a q q a q a a ===； 312134)(q a q q a q a a ===； … … … … … … … ) 0(1111≠??==--q a q a q a a n n n 3.等比数列的通项公式2: ) 0(11≠??=-q a q a a m m n 4．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列 探究：课本P56页的探究活动——等比数列与指数函数的关系 等比数列与指数函数的关系： 等比数列｛n a ｝的通项公式)0(111≠??=-q a q a a n n ,它的图象是分布在曲线1x a y q q =（q>0）上的一些孤立的点。 当10a >，q >1时，等比数列｛n a ｝是递增数列； 当10a <，01q <<，等比数列｛n a ｝是递增数列；

等比数列前n项和优秀教案

等比数列的前n项和 一、教学目标 1、掌握等比数列的前n项和公式，能用等比数列的前n项和公式解决相关问题。 2、通过等比数列的前n项和公式的推导过程，体会错位相减法以及分类讨论的思想方法。 3、通过对等比数列的学习，发展数学应用意识，逐步认识数学的科学价值、应用价值，发展数学的理性思维。 二、教学重点与难点 重点：掌握等比数列的前n项和公式，能用等比数列的前n项和公式解决相关问题。 难点：错位相减法以及分类讨论的思想方法的掌握。 三、教学设想 本节课采用探究式课堂教学模式，即在教学过程中，在教师的启发引导下，以学生独立自主和合作交流为前提，以“正弦定理的发现”为基本探究内容，以四周世界和生活实际为参照对象，为学生提供充分自由表达、质疑、探究、讨论问题的机会，让学生通过个人、小组、集体等多种解难释疑的尝试活动，将自己所学知识应用于对任意三角形性质的深入探讨。让学生在“活动”中学习，在“主动”中发展，在“合作”中增知，在“探究”中创新。设计思路如下： 四、教学过程 （一）创设问题情景 课前给出复习：等比数列的定义及性质 课首给出引例：“一个穷人到富人那里去借钱,原以为富人不愿意，哪知富人一口答应了下来,但提出了如下条件：在30天中，富人第一天借给穷人1万元,第二天借给穷人2万元,以后每天所借的钱数都比上一天多1万;但借钱第一天,穷人还1分钱,第二天还2分钱,以后每天所还的钱数都是上一天的两倍,30天后互不相欠.穷人听后觉得挺划算,本想定下来,但又想到此富人是吝啬出了名的,怕上当受骗,所以很为难。”请在座的同

学思考讨论一下,穷人能否向富人借钱? [设计一个学生比较感爱好的实际问题，吸引学生注重力，使其马上进入到研究者的角色中来！] （二）启发引导学生数学地观察问题，构建数学模型。 学生直觉认为穷人可以向富人借钱，教师引导学生自主探求，得出： 穷人30天借到的钱：4652 30)301(3021'30=?+=+++= S （万元） 穷人需要还的钱：=++++=292302221 S ? [直觉先行,思辨引路,在矛盾冲突中引发学生积极的思维!] 教师紧接着把如何求=++++=292302221 S ？的问题让学生探 究， 292302221++++= S ①若用公比2乘以上面等式的两边，得到 302923022222++++= S ② 若②式减去①式，可以消去相同的项，得到： 1073741823 123030=-=S (分) ≈1073(万元) ＞ 465（万元） 答案:穷人不能向富人借钱 （三）引导学生用“特例到一般”的研究方法，猜想数学规律。 提出问题:如何推导等比数列前n 项和公式？（学生很自然地模仿 以上方法推导） )1(11212111--+++++=n n n q a q a q a q a a S )2(111211n n n q a q a q a q a qS ++++=- （1）-（2）有n n q a a S q 11)1(-=- 推导等比数列前n 项和n S 的公式，教师引导讲完课本上的推导方法 后， 教师：还有没有其他推导方法？（经过几分钟的思考，有学生举手发 言） ?? ???≠--=--==1,11)1(1,111q q q a a q q a q na S n n n

高中数学等比数列人教版第一册

等比数列 ●教学目标 (一)教学知识点 1.等比中项概念. 2.等比数列定义及通项公式. （二）能力训练要求 1.灵活应用等比数列的定义及通项公式. 2.深刻理解等比中项概念. 3.掌握等比数列的性质. （三）德育渗透目标 1.提高学生的数学素质. 2.增强学生的应用意识. ●教学重点 1.等比中项的理解与应用. 2.等比数列定义及通项公式的应用. ●教学难点 灵活应用等比数列定义、通项公式、性质解决一些相关问题. ●教学方法 启发引导式教学法 启发引导学生自己发现知识，从而使学生掌握. ●教学过程 Ⅰ.复习回顾 ［师］上节课，我们主要学习了…… ［生］等比数列定义：1-n n a a =q(q ≠0，q ≥2) 等比数列通项公式：an=a1·qn －1(a1,q ≠0) Ⅱ.讲授新课 ［师］根据定义、通项公式，再与等差数列对照，看等比数列具有哪些性质? ［生］(1)若a ，A ，b 成等差数列?a=2b a +，A 为等差中项. ［师］那么，如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a,G ，b 成等比数列，…… ［生］则即G b a G =，即G2=ab ［师］反之，若G2=ab,则 G b a G =，即a,G,b 成等比数列 ∴a,G,b 成等比数列?G2=ab (a ·b ≠0) 总之，如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a,G ，b 成等比数列，那么称这个数G 为a 与b 的等比中项. 即G=±ab ,(a,b 同号)

［师］另外，在等差数列中，若m+n=p+q,则am+an=ap+aq ，那么，在等比数列中呢？ 由通项公式可得：am=a1qm －1，an=a1qn －1，ap=a1qp －1，aq=a1·qq －1 不难发现：am ·an=a12qm+n －2，ap ·aq=a12qp+q －2 若m+n=p+q,则am ·an=ap ·aq ［师］下面看应用这些性质可以解决哪些问题? ［例1］在等比数列{an}中，若a3·a5=100,求a4. 分析：由等比数列性质，若m+n=p+q,则am ·an=ap ·aq 可得： 解：∵在等比数列中，∴a3·a5=a42 又∵a3·a5=100,∴a4=±10. ［例2］已知{an}、{bn}是项数相同的等比数列，求证{an ·bn}是等比数列. 分析：由等比数列定义及通项公式求得. 解：设数列{an}的首项是a1,公比为p ；{bn}的首项为b1,公比为q. 则数列{an}的第n 项与第n+1项分别为a1pn －1,a1pn 数列{bn}的第n 项与第n+1项分别为b1qn －1,b1qn. 数列{an ·bn}的第n 项与第n+1项分别为a1·pn －1·b1·qn －1与a1·pn ·b1·qn ，即为 a1b1(pq)n －1与a1b1(pq)n ∵1111111)()(-++=?n n n n n n pq b a pq b a b b a a =pq 它是一个与n 无关的常数， ∴{an ·bn}是一个以pq 为公比的等比数列. 特别地，如果{an}是等比数列，c 是不等于0的常数，那么数列{c ·an}是等比数列. ［例3］三个数成等比数列，它们的和等于14，它们的积等于64，求这三个数. 解：设m,G,n 为此三数 由已知得:m+n+G=14,m ·n ·G=64， 又∵G2=m ·n, ∴G3=64,∴G=4,∴m+n=10 ∴???==? ??==2882n m n m 或 即这三个数为2，4，8或8，4，2. 评述：结合已知条件与定义、通项公式、性质，选择解题捷径. Ⅲ.课堂练习 ［生］(自练)课本P126练习4. 4.由下列等比数列的通项公式，求首项与公比. （1）an=2n ；（2）an=41 ·10n 解：（1）由an=2n 得a1=2,a2=22,∴q=12 a a =2 (2)由an=41·10n ，得a1=25 ,a2=25,∴q=12a a =10.

等比数列基本运算练习

等比数列基本运算练习 一、典型例题讲解 例1．等比数列{}n a 中，1964a a ?=, 3720a a +=,求11a . 变式1：已知等比数列{}n a ，若1237a a a ++=，1238a a a =，求n a 。 例2．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3+S 6=2S 9，求数列的公比q. 变式2: 在等比数列{}n a 中，166n a a +=，21128n a a -?=，126n S =，求n 和q 。 例3. 等比数列{}n a 中，若569a a ?=,求3132310log log ...log a a a +++. 变式3:正项等比数列{}n a 中，若a 1·a 100=100; 则lga 1+lga 2+……+lga 100=_________.

例4．在等比数列{}n a 中，已知48n S =，260n S =，求3n S 。 变式4：等比数列{}n a 的项都是正数，若S n =80, S 2n =6560，前n 项中最大的一项为54，求n. 例5．已知数列{a n }的前n 项和S n 满足：log 5(S n +1)=n(n ∈N +),求出数列{a n }的通项公式，并判断{a n }是何种数列？ 变式5：已知正项数列{a n }，其前n 项和S n 满足2 1056n n n S a a =++，且a 1，a 3，a 15成等比数列， 求数列{a n }的通项a n . 二、巩固练习 考点一：等比数列定义的应用 1、数列{}n a 满足()1123 n n a a n -=-≥，14 3a =，则4a =_________． 2、在数列{}n a 中，若11a =，()1211n n a a n +=+≥，则该数列的通项n a =______________．

高三第一轮复习《等比数列》教学设计

高三第一轮复习《等比数列》教学设计 教学目标：1.使学生理解等比数列的概念，掌握其通项公式，并能运 用定义及其通项公式解决一些简单的实际问题。 2.能在具体的问题情境中,发现数列的等比关系 3.用类比的方法研究等比数列 ,使学生对数列建立起一个 知识体系,培养用不完全归纳法去发现并解决问题的能力和计算能力,多让学生动手,让学生在解题中,体会成功的快乐 教学重点：1.等比数列的通项公式及其推导过程 2.等比数列性质的应用 教学难点：等比数列的实际应用问题或与其他知识交汇题的题目 教学方法：自主探究、合作学习 教学过程： 一、知识点的整理: 1．等比数列的定义: 2．等比数列的通项公式 设等比数列{a n }的首项为a 1， 公比为q ，则它的通项a n ＝11-n q a 3.等比中项：若xy G =2，那么 G 叫做x 与y 的等比中项． 4．等比数列的常用性质 5．等比数列的前n 项和公式 二、典例分析 练习 （口答) 性质的应用 (1)．在等比数列{a n }中，a 1＋a 2＝30，a 3＋a 4＝60，则a 7＋a 8＝________. (2)．若互不相等的实数a 、b 、c 成等差数列，c 、a 、b 成等比数列，且a ＋3b ＋c ＝10，则a ＝________. (3)．在等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，若S 3＝7，S 6＝63，则公比

q 的值是( ) A ．2 B ．－2 C ．3 D ．－3 (4)．在数列{a n }中，a n ＋1＝ca n (c 为非零常数)，且前n 项和S n ＝3n ＋k ，则实数k ＝________. 例1等比数列的基本量的运算 （1）已知等比数列{a n }中，a 1＋a 2＋a 3＝7，a 1a 2a 3＝8，求a n （2）在等比数列中，若.14321=a a a a ，816151413=a a a a ，求44434241a a a a 例2等比数列的判定与证明 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }中，b 1＝a 1，b n ＝a n －a n －1 (n ≥2)，且a n ＋S n ＝n . (1)设c n ＝a n －1，求证：{c n }是等比数列； (2)求数列{b n }的通项公式． 变式:设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1， S n ＋1＝4a n ＋2. (1)设b n ＝a n ＋1－2a n ，证明：数列{b n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式 课堂小结 通过本节课的学习，你对等比函数有什么认识？你有什么收获？ 1.设计意图： 等比数列在高中数学中占有很重要的位置.这一节的难点是对公式的理解及灵活应用,如何突破这一难点,就要让学生理解公式的由来和涉及的数学思想,比如累乘法.然后讲一些典型题,易错易漏题.本节课，力图让学生从不同的角度去研究数列，对等比数列进行一个全方位的研究，并通过类比的方法,把研究等差数列的方法迁移过来. 本课的教学中我努力实践以下两点： （1）.在课堂活动中通过同伴合作、自主探究培养学生积极主动、勇于探索的学习方式. （2）.在教学过程中努力做到生生对话、师生对话，并且在对话之后重视体会、总结、反思，力图在培养和发展学生数学素养的同时让学生掌握一些学习、研究数学的方法. （3）.通过课堂教学活动向学生渗透数学思想方法.