人教版高中数学同步练习
§2.5 等比数列的前n 项和(一)
课时目标
1.掌握等比数列前n 项和公式的推导方法.
2.会用等比数列前n 项和公式解决一些简单问题.
1.等比数列前n 项和公式:
(1)公式:S n =??
??
a 1(1-q n
)1-q =a 1-a n q 1-q (q ≠1)
na 1 (q =1)
.
(2)注意:应用该公式时,一定不要忽略q =1的情况.
2.若{a n }是等比数列,且公比q ≠1,则前n 项和S n =a 1
1-q
(1-q n )=A (q n -1).其中
A =a 1
q -1
.
3.推导等比数列前n 项和的方法叫错位相减法.一般适用于求一个等差数列与一个等比数列对应项积的前n 项和.
一、选择题
1.设S n 为等比数列{a n }的前n 项和,8a 2+a 5=0,则S 5
S 2
等于( )
A .11
B .5
C .-8
D .-11 答案 D
解析 由8a 2+a 5=0得8a 1q +a 1q 4=0,
∴q =-2,则S 5S 2=a 1(1+25
)
a 1(1-22)
=-11.
2.记等比数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 3=2,S 6=18,则S 10
S 5
等于( )
A .-3
B .5
C .-31
D .33 答案 D
解析 由题意知公比q ≠1,S 6
S 3=a 1(1-q 6)1-q a 1(1-q 3)
1-q
=1+q 3=9,
∴q =2,S 10S 5=a 1(1-q 10)1-q a 1(1-q 5)
1-q
=1+q 5
=1+25
=33.
3.设等比数列{a n }的公比q =2,前n 项和为S n ,则S 4
a 2
等于( )
A .2
B .4
C.152
D.172 答案 C
解析 方法一 由等比数列的定义,S 4=a 1+a 2+a 3+a 4=a 2
q
+a 2+a 2q +a 2q 2,
得S 4a 2=1q +1+q +q 2=152
. 方法二 S 4=a 1(1-q 4
)
1-q ,a 2=a 1q ,
∴S 4a 2=1-q 4
(1-q )q =152
. 4.设{a n }是由正数组成的等比数列,S n 为其前n 项和,已知a 2a 4=1,S 3=7,则S 5等于( )
A.152
B.314
C.334
D.172 答案 B
解析 ∵{a n }是由正数组成的等比数列,且a 2a 4=1, ∴设{a n }的公比为q ,则q >0,且a 23=1,即a 3=1.
∵S 3=7,∴a 1+a 2+a 3=1q 2+1
q
+1=7,
即6q 2
-q -1=0.
故q =12或q =-1
3(舍去),
∴a 1=1
q
2=4.
∴S 5=4(1-125)
1-12
=8(1-125)=31
4.
5.在数列{a n }中,a n +1=ca n (c 为非零常数),且前n 项和为S n =3n +k ,则实数k 的值为( )
A .0
B .1
C .-1
D .2 答案 C
解析 当n =1时,a 1=S 1=3+k ,
当n ≥2时,a n =S n -S n -1=(3n +k )-(3n -
1+k )
=3n -3n -1=2·3n -
1.
由题意知{a n }为等比数列,所以a 1=3+k =2, ∴k =-1.
6.在等比数列{a n }中,公比q 是整数,a 1+a 4=18,a 2+a 3=12,则此数列的前8项和为( )
A .514
B .513
C .512
D .510 答案 D
解析 由a 1+a 4=18和a 2+a 3=12,
得方程组????? a 1+a 1q 3=18a 1q +a 1q 2
=12,解得?????
a 1=2
q =2或?????
a 1=16q =12
. ∵q 为整数,∴q =2,a 1=2,S 8=2(28-1)2-1
=29
-2=510.
二、填空题
7.若{a n }是等比数列,且前n 项和为S n =3n -
1+t ,则t =________.
答案 -1
3
解析 显然q ≠1,此时应有S n =A (q n -1),
又S n =13·3n +t ,∴t =-1
3
.
8.设等比数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 1=1,S 6=4S 3,则a 4=________. 答案 3
解析 S 6=4S 3?a 1(1-q 6)1-q =4·a 1(1-q 3)1-q
?q 3
=3(q 3=1不合题意,舍去).
∴a 4=a 1·q 3
=1×3=3. 9.若等比数列{a n }中,a 1=1,a n =-512,前n 项和为S n =-341,则n 的值是________. 答案 10
解析 S n =a 1-a n q 1-q ,∴-341=1+512q
1-q
,
∴q =-2,又∵a n =a 1q n -1,∴-512=(-2)n -
1, ∴n =10.
10.如果数列{a n }的前n 项和S n =2a n -1,则此数列的通项公式a n =________.
答案 2n -
1
解析 当n =1时,S 1=2a 1-1,∴a 1=2a 1-1,∴a 1=1. 当n ≥2时,a n =S n -S n -1=(2a n -1)-(2a n -1-1) ∴a n =2a n -1,∴{a n }是等比数列,
∴a n =2n -
1,n ∈N *. 三、解答题
11.在等比数列{a n }中,a 1+a n =66,a 3a n -2=128,S n =126,求n 和q .
解 ∵a 3a n -2=a 1a n ,∴a 1a n =128,解方程组????
?
a 1a n =128,a 1+a n
=66,
得????? a 1=64,
a n =2,① 或?
????
a 1=2,a n =64.② 将①代入S n =a 1-a n q 1-q
,可得q =1
2,
由a n =a 1q n -
1可解得n =6.
将②代入S n =a 1-a n q
1-q
,可得q =2,
由a n =a 1q n
-1
可解得n =6.故n =6,q =1
2
或2.
12.求和:S n =x +2x 2+3x 3+…+nx n (x ≠0). 解 分x =1和x ≠1两种情况.
(1)当x =1时,S n =1+2+3+…+n =n (n +1)
2
.
(2)当x ≠1时,S n =x +2x 2+3x 3+…+nx n ,
xS n =x 2+2x 3+3x 4+…+(n -1)x n +nx n +
1,
∴(1-x )S n =x +x 2+x 3+…+x n -nx n +1=x (1-x n
)1-x
-nx n +1.
∴S n =x (1-x n )(1-x )2-nx n +
1
1-x
.
综上可得S n =
?????
n (n +1)2 (x =1)x (1-x n
)(1-x )2
-nx n +1
1-x (x ≠1且x ≠0)
.
能力提升
13.已知S n 为等比数列{a n }的前n 项和,S n =54,S 2n =60,求S 3n . 解 方法一 由题意S n ,S 2n -S n ,S 3n -S 2n 成等比数列,
∴62=54(S 3n -60),∴S 3n =182
3
.
方法二 由题意得a ≠1,∴S n =a 1(1-q n )
1-q
=54 ①
S 2n =a 1(1-q 2n )1-q
=60 ②
由②÷①得1+q n =10
9,
∴q n =19,∴a 1
1-q
=9×548,
∴S 3n =a 1(1-q 3n )1-q
=9×548(1-193)=182
3.
14.已知数列{a n }的前n 项和S n =2n +
2-4. (1)求数列{a n }的通项公式; (2)设b n =a n ·log 2a n ,求数列{b n }的前n 项和T n .
解 (1)由题意,S n =2n +
2-4,
n ≥2时,a n =S n -S n -1=2n +2-2n +1=2n +
1, 当n =1时,a 1=S 1=23-4=4,也适合上式,
∴数列{a n }的通项公式为a n =2n +
1,n ∈N *.
(2)∵b n =a n log 2a n =(n +1)·2n +
1,
∴T n =2·22+3·23+4·24+…+n ·2n +(n +1)·2n +
1, ①
2T n =2·23+3·24+4·25+…+n ·2n +1+(n +1)·2n +
2. ② ②-①得,
T n =-23-23-24-25-…-2n +1+(n +1)·2n +
2
=-23-23(1-2n -1
)1-2
+(n +1)·2n +2
=-23-23(2n -1
-1)+(n +1)·2n +2
=(n +1)·2n +2-23·2n -
1
=(n +1)·2n +2-2n +2=n ·2n +
2.
1.在等比数列的通项公式和前n 项和公式中,共涉及五个量:a 1,a n ,n ,q ,S n ,其中首项a 1和公比q 为基本量,且“知三求二”.
2.前n 项和公式的应用中,注意前n 项和公式要分类讨论,即q ≠1和q =1时是不同的公式形式,不可忽略q =1的情况.
3.一般地,如果数列{a n }是等差数列,{b n }是等比数列且公比为q ,求数列{a n ·b n }的前n 项和时,可采用错位相减的方法求和.
§3.2等比数列前n项和教学设计 一、教材分析 1、教学内容:《等比数列的前n项和》是高中数学北师大版《必修5》第一章《数列》第3节的内容,教学大纲安排本节内容授课时间为两课时,本节课作为第一课时,重在研究等比数列的前n项和公式的推导过程并充分揭示公式的结构特征、内在联系及公式的简单应用. 2、教材分析:《等比数列的前n项和》是数列这一章中的一个重要内容,就知识的应用价值上看,它是从大量数学问题和现实问题中抽象出来的一个模型,在现实生活中有着广泛的实际应用,如储蓄、分期付款的有关计算等,另外公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法,都是学生今后学习和工作中必备的数学素养.就内容的人文价值来看,等比数列的前n项和公式的探究与推导需要学生观察、归纳、证明,这有助于培养学生的创新思维和探索精神,同时也是培养学生应用意识和数学能力的良好载体. 二、学情分析 1、知识基础:前几节课学生已学习了等差数列求和,等比数列的定义及通项公式等内容,这为过渡到本节的学习起着铺垫作用. 2、认知水平与能力:高二学生初步具有自主探究的能力,能在教师的引导下独立、合作地解决一些问题,但从学生的思维特点看,很容易把本节内容与等差数列前n项和公式的形成、特点等方面进行类比,这是积极因素,应因势利导.不利因素是:本节公式的推导与等差数列前n项和公式的推导有所不同,这对学生的思维是一个突破,另外,对于q=1这一特殊情况,学生也往往容易忽略,尤其是在后面使用的过程中容易出错. 3、任教班级学生特点:我班学生基础知识还行、思维较活跃,应该能在教师的引导下独立、合作地解决一些问题. 三、目标分析 教学目标 依据教学大纲的教学要求,渗透新课标理念,并结合以上学情分析,我制定了如下教学目标: 1.知识与技能 理解用错位相减法推导等比数列前n项和公式的过程,掌握公式的特点,并在此基础上能简单的应用公式. 2.过程与方法
等比数列及其前n 项和 [考纲传真] 1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系,并能用等比数列的有关知识解决相应的问题.4.了解等比数列与指数函数的关系. 【知识通关】 1.等比数列的有关概念 (1)定义:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数(不为零),那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比,通常用 字母q 表示,定义的数学表达式为a n +1a n =q (n ∈N *,q 为非零常数). (2)等比中项:如果a ,G ,b 成等比数列,那么G 叫做a 与b 的等比中项.即G 是a 与b 的等比中项?a ,G ,b 成等比数列?G 2=ab . 2.等比数列的有关公式 (1)通项公式:a n =a 1q n -1=a m q n -m . (2)前n 项和公式: S n =??? na 1(q = 1),a 1(1-q n )1-q =a 1-a n q 1-q (q ≠1). [常用结论] 1.在等比数列{a n }中,若m +n =p +q =2k (m ,n ,p ,q ,k ∈N *),则a m ·a n =a p ·a q =a 2k . 2.若数列{a n },{b n }(项数相同)是等比数列,则{λa n }(λ≠0),???? ??1a n ,{a 2n },{a n ·b n },???? ??a n b n 仍然是等比数列. 3.等比数列{a n }的前n 项和为S n ,则S n ,S 2n -S n ,S 3n -S 2n 仍成等比数列,其公比为q n ,其中当公比为-1时,n 为偶数时除外. 【基础自测】 1.判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)满足a n +1=qa n (n ∈N *,q 为常数)的数列{a n }为等比数列.( ) (2)G 为a ,b 的等比中项?G 2=ab .( ) (3)若{a n }为等比数列,b n =a 2n -1+a 2n ,则数列{b n }也是等比数列.( )
高二数学学案 序号025 高二年级 14班 教师王鸿斌 学生 课 题:等比数列(3)前n 项和 学习目标:1. 等比数列前n 项和公式及错位相减法. 2. 等比数列前n 项和公应用,熟练解决“1,,,,n n a n q a s 知三求二”问题渗透方程思想。 学习重点:等比数列求和及求和公式应用. 学习难点:错位相减法 教学过程: 一.复习回顾 1.等比数列的定义式、递推式、通项式、中项式及其性质 2.等差数列的前n 项和公式及性质 二.新课导学 1. 等比数列的前n 项和公式 设等比数列123,,,n a a a a 它的前n 项和是n S =123n a a a a +++ ,公比为q ≠0, 则22111111n n n n S a a q a q a q a q qS --?=++++??=?? (1)n q S ∴-= 当1q ≠时,n S = ① 或n S = ② 当q =1时,n S = 等比数列的前n 项和公式:11,1,1(1)1n n na q S q a q q ------------=??=≠-?=?-?(或)1,11,11≠?? ???--==q q q a a q na S n n 2. 等比数列的前n 项和性质:等比数列前n 项,前2n 项,前3n 项的和分别是n S ,2n S ,3n S , n S ,2n n S S -,32n n S S - 也成等比数列.(等比数列间隔相等的等长片段和仍为等比数列) 三.典型例题 例1:求3463124222++++++ 的和 练习1: 等比数列中 ①已知1441,64,.a a q S =-=求及 ②已知33139,.22a S a q ==,求及 ③0,2431 ,2791<==q a a ,求其前8项的和。 ④已知1912,,833 n a a q ===,求n 例2:某商场第一年销售计算机5000台,如果平均每年的售价比上一年增加10%,那么从第一年 起,约几年内可使总销售量达到30000台? 四、学习小结: 1.等比数列前n 项和公式及错位相减法 2.熟练解决“1,,,,n n a n q a s 知三求二”问题
高中数学《等比数列的前n项和(第一课时)》教学设计 一.教材分析。 (1教材的地位与作用:《等比数列的前n项和》选自《普通高中课程标准数学教科书·数学(5,是数列这一章中的一个重要内容,它不仅在现实生活中有着广泛的实际应用,如储蓄、分期付款的有关计算等等,而且公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法,都是学生今后学习和工作中必备的数学素养。 (2从知识的体系来看:“等比数列的前n项和”是“等差数列及其前n项和”与“等比数列”内容的延续、不仅加深对函数思想的理解,也为以后学数列的求和,数学归纳法等做好铺垫。 二.学情分析。 (1学生的已有的知识结构:掌握了等差数列的概念,等差数列的通项公式和求和公式与方法,等比数列的概念与通项公式。 (2教学对象:高二理科班的学生,学习兴趣比较浓,表现欲较强, 逻辑思维能力也初步形成,具有一定的分析问题和解决问题的能力,但由于年龄的原因,思 维尽管活跃、敏捷,却缺乏冷静、深刻,因而片面、不够严谨。 (3从学生的认知角度来看:学生很容易把本节内容与等差数列前n项和从公式的形成、特点等方面进行类比,这是积极因素,应因势利导。不利因素是:本节公式的推导与等差数列前n项和公式的推导有着本质的不同,这对学生的思维是一个突破,另外,对于q = 1这一特殊情况,学生往往容易忽视,尤其是在后面使用的过程中容易出错。 三.教学目标。
根据教学大纲的要求、本节教材的特点和本班学生的认知规律,本节课的教学目标确定为: (1知识技能目标————理解并掌握等比数列前n项和公式的推导过程、公式的特点,在此基础上,并能初步应用公式解决与之有关的问题。 (2过程与方法目标————通过对公式推导方法的探索与发现,向学生渗透特殊到一般、类比与转化、分类讨论等数学思想,培养学生观察、比较、抽象、概括等逻辑思维能力和逆向思维的能力. (3情感,态度与价值观————培养学生勇于探索、敢于创新的精神,从探索中获得成功的体验,感受数学的奇异美、结构的对称美、形式的简洁美。 四.重点,难点分析。 教学重点:公式的推导、公式的特点和公式的运用。 教学难点:公式的推导方法及公式应用中q与1的关系。 五.教法与学法分析. 培养学生学会学习、学会探究是全面发展学生能力的重要前提,是高中新课程改革的主要任务。如何培养学生学会学习、学会探究呢?建构主义认为:“知识不是被动吸收的,而是由认知主体主动建构的。”这个观点从教学的角度来理解就是:知识不是通过教师传授得到的,而是学生在一定的情境中,运用已有的学习经验,并通过与他人(在教师指导和学习伙伴的帮助下协作,主动建构而获得的,建构主义教学模式强调以学生为中心,视学生为认知的主体,教师只对学生的意义建构起帮助和促进作用。因此,本节课采用了启发式和探究式相结合的教学方法,让老师的主导性和学生的主体性有机结合,使学生能够愉快地自觉学习,通过学生自己观察、分析、探索等步骤,自己发现解决问题的方法,比较论证后得到一般性结论,形成完整的数学模型,再运用所得理论和方法去解决问题。一句话:还课堂以生命力,还学生以活力。 六.课堂设计
课时教案
一、复习提问 回顾等比数列定义,通项公式 (1)等比数列定义:(, (2)等比数列通项公式: (3)等差数列前n项和公式的推导方法:倒序相加法。二、问题引入: 阅读:课本“国王赏麦的故事”。 问题:如何计算 引出课题:等比数列的前n项和。 三、问题探讨: 问题:如何求等比数列的前n项和公式 回顾:等差数列的前n项和公式的推导方法。 倒序相加法。 等差数列它的前n项和是 根据等差数列的定义 (1) (2) (1)+(2)得:
探究:等比数列的前n项和公式是否能用倒序相加法推导? 学生讨论分析,得出等比数列的前n项和公式不能用倒序相加法推导。 回顾:等差数列前n项和公式的推导方法本质。 构造相同项,化繁为简。 探究:等比数列前n项和公式是否能用这种思想推导? 根据等比数列的定义: 变形: 具体: …… 学生分组讨论推导等比数列的前n项和公式,学生不难发现:由于等比数列中的每一项乘以公比都等于其后一项。 所以将这一特点应用在前n项和上。 由此构造相同项。数学具有和谐美,错位相减,从而化繁为简。 (1) (2) 由此构造相同项。数学具有和谐美,错位相减,从而化繁为简。
当q=1时, 当时, 学生经过讨论还发现了其他的推导方法,让学生课后整合自己的思路,将各自的推导过程展示在班级学习园地,同学们共享探究。 由等比数列的通项公式推出求和公式的第二种形 式: 当时, 四.知识整合: 1.等比数列的前n项和公式: 当q=1时, 当时, 2.公式特征: ⑴等比数列求和时,应考虑与两种情况。 ⑵当时,等比数列前n项和公式有两种形式,分别都 涉及四个量,四个量中“知三求一”。 ⑶等比数列通项公式结合前n项和公式涉及五个量, , 五个量中“知三求二”(方程思想)。 3.等比数列前n项和公式推导方法:错位相减法。
等比数列前n 项和的性质导学案 知识目标:掌握等比数列前n 项和的性质,灵活的应用等比数列前n 项和公式的性质解决问题。 方法与过程:通过自主探究的方式,培养学生团队精神,勇于探索的精神。 教学过程: 复习: 1、 等比数列前n 项和公式: (1) (2) 2.数学思想: 课前练习: 1.数列()项和的前n a a a a n 13 2............,,,1- a a A n --11. B a a n --+111 C a a n ---111 D.以上答案都不对。 2.求和()() )(.......212n a a a n -++-+- 新课探究: 探究一: 性质1。数列{}n a 的前n 项和A Aq S n n -=()1,0,0≠≠≠q q A 探究{}n a 是否为等比数 列。 例题1:若等比数列{}n a 的前n 项和,4a S n n +=求a 的值。 变式:若等比数列{}n a 的前n 项和13-=n n S +a 2,求a 的值。 探究二: 我们知道,等差数列有这样的性质: 数列{}n a 是等差数列,则K K K K K S S S S S 232,,--................也成等差数列; 则新的等差数列的首项是K S ,公差为d k 2 。 那么,在等比数列中,也有类似的性质吗? 等比数列前n 项和的性质二: 数列{}n a 是等比数列,则K K K K K S S S S S 232,,--...............是否也构成成等比数列; 则新的等比数列的首项是K S ,公比( ) 例题2 :已知等比数列{}n a 中,前10项和10S =10,前20项和20S =30,求30S 变式训练: 1. 等比数列{}n a 10S =20,20S =80,求30S =?.
等比数列及其前n 项和(作业) 例1: 已知等比数列{}n a 中,各项都是正数,且1a ,31 2 a ,22a 成等差数列,则 910 78 a a a a +=+( ) A .1 B .1 C .3+D .3- 【思路分析】 设公比为q ,则0q >,21a a q =,231a a q =, ∵1a ,31 2 a ,22a 成等差数列, ∴3122a a a =+,即21112a q a a q =+, 解得1q =+ 1, ∴22910787878()3a a a a q q a a a a ++===+++. 故选C . 例2: 若等比数列 {} n a 中,25112a a a ++=,58146a a a ++=,那么 2581114a a a a a ++++的值为( ) A .8 B .9 C .242 31 D . 240 41 【思路分析】 设公比为q ,则335814251125112511() a a a q a a a q a a a a a a ++++==++++,即33q =, ∴38553a a q a ==,9145527a a q a ==, 由58146a a a ++=,得5553276a a a ++=,解得56 31 a = , ∴2581114251158145242 ()()31 a a a a a a a a a a a a ++++=+++++-=. 故选C . 例3: 设{}n a 为等比数列,{}n b 为等差数列,且10b =,n n n c a b =+,若数列{} n c
的前三项为1,1,2,则{}n a 的前10项之和是 ( ) A .978 B .557 C .467 D .1 023 【思路分析】 设数列{}n a 的公比为q ,设数列{}n b 的公差为d , ∵10b =,11c =, ∴11a =, 则2a q =,23a q =,2b d =,32b d =, ∵21c =,32c =, ∴2122q d q d +=??+=? ,解得21q d =??=-?, ∴数列{}n a 的前10项之和10110(1) 1 0231a q S q -= =-.故选D . 1. 在等比数列{}n a 中,已知332a = ,前三项和39 2 S =,则公比q =( )
等比数列的前n项和 (第一课时) 一.教材分析。 (1)教材的地位与作用:《等比数列的前n项和》选自《普通高中课程标准数学教科书·数学(5),是数列这一章中的一个重要内容,它不仅在现实生活中有着广泛的实际应用,如储蓄、分期付款的有关计算等等,而且公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法,都是学生今后学习和工作中必备的数学素养。 (2)从知识的体系来看:“等比数列的前n项和”是“等差数列及其前n项和”与“等比数列”内容的延续、不仅加深对函数思想的理解,也为以后学数列的求和,数学归纳法等做好铺垫。 二.学情分析。 (1)学生的已有的知识结构:掌握了等差数列的概念,等差数列的通项公式和求和公式与方法,等比数列的概念与通项公式。 (2)教学对象:高二理科班的学生,学习兴趣比较浓,表现欲较强, 逻辑思维能力也初步形成,具有一定的分析问题和解决问题的能力,但由于年龄的原因,思维尽管活跃、敏捷,却缺乏冷静、深刻,因而片面、不够严谨。 (3)从学生的认知角度来看:学生很容易把本节内容与等差数列前n项和从公式的形成、特点等方面进行类比,这是积极因素,应因势利导。不利因素是:本节公式的推导与等差数列前n项和公式的推导有着本质的不同,这对学生的思维是一个突破,另外,对于q = 1这一特殊情况,学生往往容易忽视,尤其是在后面使用的过程中容易出错。 三.教学目标。 根据教学大纲的要求、本节教材的特点和本班学生的认知规律,本节课的教学目标确定为: (1)知识技能目标————理解并掌握等比数列前n项和公式的推导过程、公式的特点,在此基础上,并能初步应用公式解决与之有关的问题。 (2)过程与方法目标————通过对公式推导方法的探索与发现,向学生渗透特殊到一般、类比与转化、分类讨论等数学思想,培养学生观察、比较、抽象、概括等逻辑思维
等比数列的前n项和例题详细解法?例题解析 【例1】设等比数列的首项为a(a>0),公比为q(q>0),前n项和为80,其中 最大的一项为54,又它的前2n项和为6560,求a和q. 解:由S n=80,S2n=6560,故q≠1 ∵a>0,q>1,等比数列为递增数列,故前n项中最大项为an. ∴a n=aq n-1=54 ④ 将③代入①化简得a=q-1 ⑤ 由⑤,⑥联立方程组解得a=2,q=3 证∵Sn=a1+a1q+a1q2+...+a1q n-1 S2n=S n+(a1q n+a1q n+1+...+a1q2n-1)
=S n+q n(a1+a1q+...+a1q n-1)=S n+q n S n=S n(1+q n) 类似地,可得S3n=S n(1+q n+q2n) 说明本题直接运用前n项和公式去解,也很容易.上边的解法,灵活地处理了S2n、S3n与S n的关系.介绍它的用意在于让读者体会利用结合律、提取公因式等方法将某些解析式变形经常是解决数学问题的关键,并且变得好,则解法巧. 【例2】一个有穷的等比数列的首项为1,项数为偶数,其奇数项的和为85,偶数项的和为170,求这个数列的公比和项数. 分析设等比数列为{a n},公比为q,取其奇数项或偶数项所成的数列仍然是等比数列,公比为q2,首项分别为a1,a1q. 解设项数为2n(n∈N*),因为a1=1,由已知可得q≠1. 即公比为2,项数为8. 说明运用等比数列前n项和公式进行运算、推理时,对公比q要分情况讨论.有关等比数列的问题所列出的方程(组)往往有高次与指数方程,可采用两式相除的方法达到降次的目的.
6.3等比数列及其前n 项和 考情分析 高考中主要在选择题、填空题中考查等比数列的定义、基本运算和性质,在解 答题中多与等差数列、函数、不等式等综合考考查 基础知识 1、等比数列的判定:(1)定义法:*1()n n a q q n N a +=∈为非零常数,(2)等比中项法:2*11(0,2)n n n n a a a a n N n -+=≠∈≥且(3)通项公式法:*(,)n n a cq c q n N =∈均为非零常数,(4)1()1n n a S kq k k q =-=≠≠-是常数且q 0且q 1 (5)若{},{}n n a b 均为等比数列,n S 为{}n a 的前n 项和,则1{}(0),{||}{}{()}{}k n n n n n n ka k a ma b a a ≠;;;公比不为1的等比数列由相邻两项的差213243{,,}a a a a a a ---,相邻k 项和232{,,}k k k k k S S S S S --仍是等比;由原等比数列中相隔k 项的项从新组成的数列仍等比 2、等比数列的性质 (1)通项公式:①11n n a a q -=②n m n m a q a -= (2)前n 项和公式:111(1)(1)(1)11n n n na q S a a q a q q q q =??=--?=≠?--? (3)下脚标性质:若m+n=p+q ,则m n p q a a a a = (4)两个常用技巧:若三个数成等比通常设成,,a a aq q ,若四个数成等比通常设成33,,,a a aq aq q q ,方便计算 注意事项