圆的垂径定理及推论知识点与练习
圆的垂径定理及其推论知识点与练习
（1）垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧。若直径AB ⊥弦CD 于点E ，则CE=DE ，⌒
AC =⌒ AD ；⌒ BC =⌒ BD （2）推论：①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
若CE=DE ，AB
是直径，则⌒ AC =⌒ AD ；⌒ BC =⌒ BD
②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。
若AB ⊥CD ，CE=DE ，则CD 是直径，⌒ AC =⌒ AD ；⌒ BC =⌒ BD
③平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
若⌒ AC =⌒
AD ，AB 是直径，则AB ⊥CD ，CE=DE ，⌒ BC =⌒ BD
④圆的两条平行弦所夹的弧相等。
若CD ∥FG ，CD 、FG 为弦，则⌒ FC =⌒ GD
特别提示：①垂径定理及其推论可概括为：
过圆心
垂直于弦
直径 平分弦 知二推三
平分弦所对的优弧
平分弦所对的劣弧
②垂径定理可改写为：如果一条直线垂直于一条弦，并且过圆心，那么这条直线平分弦并且平分弦所对的两条弧．其中有四个条件：直线垂于于弦，直线平分弦，直线过圆心，直线平分弦所对的弧．它的三个推论可看作“如果四个条件中有两个成立，那么另外两个也成立”．
（3）垂径定理及推论的应用：
它是证明圆内线段相等、角相等、垂直关系及利用勾股定理计算有关线段的长度提供了依据，也为圆中的计算、证明和作图提供了依据、思路和方法。
①垂径定理中的垂径可以是直径、半径或过圆心的直线、线段，其本质是“过圆心”；
②在圆的有关计算中常用圆心到弦垂线段、弦的一半、半径构造出垂径定理的条件和直角三角形，从而应用勾股定理解决问题；
例：如图，在⊙O 中，弦AB 所对的劣弧为圆的31，
圆的半径为2cm ，求AB 的长。
解：如图，连接OB ，过点O 作OD ⊥AB 交AB 于点C ，由
题意得，∵⌒ AB = 3
1×360o=120o ∴∠AOB=120o，∴∠AOC=60o,在Rt △AOC 中，∵∠AOC=60o，OA=2，∴OC =
21OA=1，∴AB=2AC=222OC AO =23 故AB 的长为23
练习
一、选择题
1、如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为M ，下列结论不一定成立的是（ ）
A 、CM=DM
B 、∠ACB=∠ADB
C 、AD=2B
D D 、∠BCD=∠BDC
G
A A
（1题图） （2题图） （3题）
2、圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，AB=8m ，∠CAD=30°，则大棚高度CD 约为（ ）
A 、2.0m
B 、2.3m
C 、4.6m
D 、6.9m
3、如图，在⊙O 中，AB 、AC 是互相垂直的两条弦，OD ⊥AB 于D ，OE ⊥AC 于E ，且AB=8cm ，AC=6cm ，那么⊙O 的半径OA 长为（
） A 、4cm B 、5cm C 、6cm D 、8cm
4、半径为2cm 的圆中，有一条长为2cm 的弦，则圆心到这条弦的距离为（ ）
A 、1cm
B 、 cm
C 、 cm
D 、2cm
5、如图，AB 是⊙O 的直径，CD 为弦，CD ⊥AB 于E ，则下列结论中不一定成立的是（ ）
A 、∠COE=∠DOE
B 、CE=DE
C 、OE=BE
D 、⌒ BC =⌒
BD
（题5）
（题6）
6、如图所示，在⊙O 中，OD ⊥AB 于P ，AP=4cm ，PD=2cm ，则OP 的长等于（ ）
A 、9cm
B 、6cm
C 、3cm
D 、1cm 二、填空题
有 条相等的弧。
（题2） （题3）
1、如图1中有 对全等的直角三角形；有 个等腰三角形；
2、如图所示，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点P ，CD=10cm ，AP ：PB=1：5，则⊙O 的半径为 cm ．
3、如图所示，⊙O 中，弦CD 交直径AB 于点P ，AB=12cm ，PA ：PB=1：5，且∠BPD=30°，则CD= cm ．
4、在⊙O 中，P 为其内一点，过点P 的最长的弦为8cm ，最短的弦长为4cm ，则OP ＝____ _。
5、已知圆的半径5cm ，一弦长为8cm ，则该弦的中点到弦所对的弧的中点的距离为__ _____。
6、已知圆心到圆的两条平行弦的距离分别是2和3，则两条平行弦之间的距离为 ____。 题1 C D
A
O
B E
7、在半径为5cm的圆内有两条互相平行的弦，一条弦长为8cm，另一条弦长为6cm，则这两条弦之间的距离为_____ _。
8、在弓形ABC中，弦AB=24，高CD=6，则弓形所在圆的半径等于。
9、⊙O的直径为20，弦AB=8，P是弦AB上的一个动点，则OP的取值范围是。
10、在弓形ABC中，弦AB=24，高CD=6，则弓形所在圆的半径等于。
三、解答题
1、如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝900，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB、BC分别交于点D、E，求AB和AD的长。
2、如图所示，P为弦AB上一点，CP⊥OP交⊙O于点C，AB＝8，AP:PB＝1:3，求PC的长。
3、如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝900，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB、BC分别交于点D、E，求AB和AD的长。
题3
题1
题2
垂径定理推论证明
一、 ③AE=BE ①⌒AC = ⌒BC ④CD ⊥ AB ②⌒AD = ⌒BD ⑤CD 过圆心（即CD 是直径） 证明：∵⌒AC = ⌒BC ，⌒AD = ⌒BD ∴⌒CAD = ⌒CBD = 圆周 ∴ CD 过圆心（即CD 是直径） 连接OA ，OB ∵⌒AD = ⌒BD ∴∠AOD=∠BOD 在△AOE 和△BOE 中 OA=OB ∠AOE=∠BOE OE=OE ∴△AOE ≌△BOE （SAS ） ∴AE=BE ，∠AEO=∠BEO=90° ∴CD ⊥AB 二、 ②⌒AD = ⌒BD ①⌒AC = ⌒BC ④CD ⊥AB ③AE=BE ⑤CD 过圆心（即CD 是直径） 证明：连接OA ，OB 在△AOE 和△BOE 中 OA=OB AE=BE OE=OE ∴△AOE ≌△BOE （SSS ） ∴∠AOE=∠BOE ，∠AEO=∠BEO=90° ∵∠AOE=∠BOE ∴⌒AD = ⌒BD ∵⌒AC = ⌒BC ，⌒AD = ⌒BD ∴⌒CAD = ⌒CBD = 圆周 ∴ CD 过圆心（即CD 是直径） ∵∠AEO=∠BEO=90° ∴CD ⊥AB 21 21
三、①⌒AC = ⌒BC ②⌒AD = ⌒BD ④CD⊥AB ③AE=BE ⑤CD过圆心（即CD是直径）证明过程同上 四、 ②⌒AD = ⌒BD ①⌒AC = ⌒BC③AE=BE ④CD⊥AB⑤CD过圆心（即CD是直径） 证明：连接OA，OB ∵CD⊥AB ∴∠AEO=∠BEO=90° 在Rt△AOE和Rt△BOE中 OA=OB OE=OE ∴Rt△AOE≌Rt△BOE（HL） ∴∠AOE=∠BOE，AE=∠BE ∵∠AOE=∠BOE ∴⌒AD = ⌒BD ∵⌒AC = ⌒BC，⌒AD = ⌒BD ∴⌒ CAD= ⌒ CBD = 圆周 ∴CD过圆心（即CD是直径） 五、①⌒AC = ⌒BC ②⌒AD = ⌒BD③AE=BE ④CD⊥AB⑤CD过圆心（即CD是直径）证明过程同上 六、②⌒AD = ⌒BD ①⌒AC = ⌒BC③AE=BE ⑤CD过圆心（即CD是直径）④CD⊥AB 2 1
浙教版九年级上册 《圆的基本性质圆、图形旋转、垂径定理》知识点总结
《圆的基本性质:圆、图形旋转、垂径定理》知识点总结 1.圆的定义;在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的封闭曲线叫做圆。固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径，以点O为圆心的圆，记作☉O，读作“圆O” 2、与圆有关的概念 （1）弦和直径（连结圆上任意两点的线段BC叫做弦，经过圆心的弦AB叫做直径） （2）弧和半圆（圆上任意两点间的部分叫做弧，圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆），大于半圆的弧叫优弧（优弧用⌒和三个字母表示）、小于半圆的弧叫劣弧（用⌒和两个字母表示）。 （3）等弧：能够互相重合的两段弧 （4）等圆（半径相等的两个圆叫做等圆） （5）点和圆的位置关系： 如果P是圆所在平面内的一点，d 表示P到圆心的距离，r表示圆的半径，则： （1）d
1、明确旋转三要素（旋转中心、旋转方向、旋转角度）； 2、找出关键点； 3、找出关键点的对应点； 4、作出新图形； 5、写出结论。 4、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 推论：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）平分弧的直径，垂直平分弧所对的弦。 注：用于计算时，一般先连结过弦的一个端点的半径或者作弦心距，构造Rt△，再结合勾股定理求解. 推论：圆中两平行弦所夹的弧相等 选择题 1.如图，已知⊙O的直径AE=10 cm，∠B=∠EAC，则的长为（） 【A】5cm【B】5cm【C】5cm【D】6cm 【答案】B. 【解答】连接EC，由圆周角定理得，∠E=∠B，∠ACE=90o, ∵∠B=∠EAC， ∴∠E=∠EAC， ∴CE=CA， ∴AC=AE=5cm， 故选B
垂径定理及其推论
圆部分知识点总结 垂径定理及其推论 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。 推论1:(1）平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 （２)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。 （3)平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧。 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。垂径定理及其推论可概括为: 过圆心 垂直于弦 直径 平分弦 知二推三 平分弦所对的优弧 平分弦所对的劣弧 弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理 1：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,所对的弦的弦心距相等。 2:在同圆或等圆中,如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们 所对应的其余各组量都分别相等。 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等。 推论2:半圆（或直径）所对的圆周角是直角；9０°的圆周角所对的弦是直径。 推论3:如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形。 点和圆的位置关系 设⊙O 的半径是ｒ，点Ｐ到圆心O 的距离为ｄ,则有： d
垂径定理
2 1 垂径定理 一、 圆的对称性 圆是轴对称图形，对称轴是 二、 如图是一个圆形纸片把该纸片沿直径AB 折叠，其中点A 和点是一组对称点 （1）思考∵OC=OD, ∴Δ OCE ≌ΔODE, ∠OEC= ∠OED= ∴AB 与CD 的位置关系是 （2）又∵点C 和点D 是一组对称点 ∴CE= 即点E 是CD 的中点 （3）根据折叠可得，弧AC=弧AD, 弧BC=弧BD, 结论：垂径定理及其推论 1、垂直于弦的直径 弦，并且 弦所对的两段弧 2、推论：平分弦（不是直径）的直径 并且 弦所对的两条弧 三、规律总结;垂径定理及其推论与“知二得三” 对于一个圆和一条直线，若具备： （1） 过圆心（2）垂直于弦（3）平分弦（4）平分弦所对的优弧（5）平分弦所对的劣弧上述五个 条件中的任何两个条件都可以退出其他三个结论 四、 垂径定理基本图形的四变量、两关系 四变量：弦长a,圆心到弦的距离d,半径r ，弓形高h ，这四个量知道任意两个可求其他两个。 五、垂径定理及其推论的应用 （一）、选择题： 1、已知圆内一条弦与直径相交成300角，且分直径成1CM 和5CM 两部分，则这条弦的弦心距是： A 、 B 、1 C 、2 D 、25 2、AB 、CD 是⊙O 内两条互相垂直的弦，相交于圆内P 点，圆的半径为5，两条弦的长均为8，则OP 的长为： A 、3 B 、3 C 、3 D 、2 3、⊙O 是等边三角形ABC 的外接圆，⊙O 的半径为2，则等边三角形ABC 的边长为（ ） A B C ． D ．4、如图2，⊙O 的弦AB =6，M 是AB 上任意一点，且OM 最小值为4，则⊙O 的半径为（ ）A ．5 B ．4 C ．3 D ．2 5、高速公路的隧道和桥梁最多．如图是一个隧道的横截面，若它的形状是以O 为圆心的圆的一部分，路面AB =10米，净高CD =7米，则此圆的半径OA =（ ） A ．5 B ．7 C ． 375 D ．377 6、如图，圆弧形桥拱的跨度AB ＝12米，拱高CD ＝4米，则拱桥的半径为（ ） A ．6.5米 B ．9米 C ．13米 D ．15米 7、如图，O ⊙是ABC △的外接圆，AB 是直径．若80BOC ∠=°，则A ∠等于（ ） A ．60° B ．50° C ．40° D ．30°
圆的基本性质知识点
圆的基本性质 复习总标 1．知道圆及有关概念，确定圆的条件。三角形的内心和外心。 2．能灵活运用弧、弦、圆心角和圆心角的关系解决问题；掌握圆的轴对称性、中心对称和旋转不变性；探索并理解锤径定理。 3.会用垂径定理进行有关计算。 知识梳理 1.圆的有关概念 （1）圆心、半圆、同心圆、等圆、弦与弧。 （2）直径是经过圆心的弦。是圆中最长的弦。弧是圆的一部分。 2.圆周角与圆心角 （1）一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 90圆周角所对的弦是圆的直径。（2）圆周角与半圆或直径：半圆或直径所对的圆周角是直角； （3）圆周角与半圆或等弧：同弧或等弧所对的圆周角相等；在同源或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。 3.圆的对称性 （1）圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心。 （2）圆的旋转不变性：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其他各组量分别相等。 （3）圆的轴对称性：经过圆心都的任意一条直线都是它的对称轴。垂径定理是研究有关圆的知识的基础。垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。还可以概括为：如果有一条直线,1.垂直于弦；2.经过圆心；3.平分弦（非直径）；4.平分弦所对的优弧；5.平分弦所对的劣弧，同时具备其中任意两个条件，那么就可以得到其他三个结论。 易错知识点
1.弧是圆的一部分，直径是圆中最长的弦，半径不是弦。 2.垂径定理的推论:平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。 3.理解圆心角、弧、弦三者之间的关系时，应注意“同圆或等圆中”或“等弧”这个条件。 4.同一条弦所对的圆周角有两个，它们互补。 中考规律盘点及预测 本讲点内容在中考中，圆的基本性质在淡化与降低，证明难度成了考查知识的重点。旗本性质的应用 主要有两个方面，一是应用弧、弦、弦心距、圆心角、圆周角各对量之间的关系进行证明；二是应用半径、半弦和弦心距构成直角三角形进行相关计算。多数以填空题、选择题或中等难度解答题等基本题型出现，难度一般不大。 1、（2009年安徽）如图，弦CD 垂直于⊙O 的直径AB ，垂足为H ，且 CD=， ，则AB 的长为…【 】 A 、2 B 、3 C 、4 D 、5 【解析】主要考察：垂径定理、勾股定理或相交弦定理.用垂径定理得 ，由勾股定理得HB=1 ，则()2 2 2 1R R =+-由此得2R=3 或由相交弦定理得 ()2 121R =?-，由此得2R=3，所以AB=3.选 B 2、（2008 绍兴）如图，量角器外缘边上有A P Q ，，三点，它们所表 示的读数分别是180，70，30，则PAQ ∠的大小为（ ） A ．10 B ．20 C ．30 D ．40 【解析】主要考察：弧的度数与它所对的圆周角度数之间的关系。一条弧所对的圆周角 等于它所对圆心角的一半。()?=?-?==∠2030702 1 21Q P PAQ 选B 3、（2008年海南） 如图, AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，∠BAC =30°，点P 在线段 OB 上运动.设∠ACP =x ，则x 的取值范围是 . 第9题图
垂径定理及推论(各省市中考题)
E A B C O 1. (2013 浙江省舟山市) 如图，⊙O 的半径OD ⊥弦AB 于点C ，连结AO 并延长交⊙O 于点E ，连 结EC ．若AB ＝8，CD ＝2，则EC 的长为（ ▲ ） （A ）215 （B ）8 （C ）210 （D ）213 答案：D 4.2 垂径定理及推论 选择题 基础知识 2013-09-29 2. (2013 浙江省温州市) 如图，在⊙O 中，OC ⊥弦AB 于点C ，AB =4，OC =1，则OB 的长是 （A ） 3 （B ） 5 （C ）15 （D ） 17 答案：B 4.2 垂径定理及推论 选择题 基础知识 2013-09-24 3. (2013 湖北省宜昌市) 如图，DC 是O ⊙的直径，弦AB CD ⊥于F ，连接BC DB ，．则 下列结论错误．． 的是（ ）． （A ）? ?AD BD = （B ）AF BF = （C ）OF CF = （D ）90DBC ∠=°
答案：C 4.2 垂径定理及推论 选择题 基本技能 2013-09-22 4. (2013 湖北省襄阳市) 如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面直径是1m ，其中水面的宽AB 为0.8m ，则排水管内水的深度为 m. 答案：0.2 4.2 垂径定理及推论 填空题 基本技能 2013-09-22 5. (2013 湖北省黄石市) 如右图，在Rt ABC V 中，90ACB ∠=o ，3AC =，4BC =，以点 C 为圆心，CA 为半径的圆与AB 交于点 D ，则AD 的长为 A. 95 B. 245 C. 185 D. 52 C A D B
垂径定理及推论(2020年各省市中考题)
1. (2013 浙江省舟山市) 如图，⊙O 的半径OD ⊥弦AB 于点C ，连结AO 并延长交⊙O 于点E ，连结EC ．若AB ＝8，CD ＝2，则EC 的长为（ ▲ ） （A ）2 （B ）8 （C ）2 （D ）答案：D 07539 4.2 垂径定理及推论 选择题 基础知识 2013-09-29 2. (2013 浙江省温州市) 如图，在⊙O 中，OC ⊥弦AB 于点C ，AB =4，OC =1，则OB 的长是 （A ） 3 （B ） 5 （C ）15 （D ） 17 答案：B 6232 4.2 垂径定理及推论 选择题 基础知识 2013-09-24 3. (2013 湖北省宜昌市) 如图，DC 是O ⊙的直径，弦AB CD ⊥于F ，连接BC DB ，．则下列结论错误．． 的是（ ）． （A ）??AD BD = （B ）AF BF = （C ）OF CF = （D ）90DBC ∠=° 答案：C 7704 4.2 垂径定理及推论 选择题 基本技能 2013-09-22 4. (2013 湖北省襄阳市) 如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面直径是1m ，其中水面的宽AB 为0.8m ，则排水管内水的深度为 m. 答案：0.2 59477 4.2 垂径定理及推论 填空题 基本技能 2013-09-22 5. (2013 湖北省黄石市) 如右图，在Rt ABC V 中，90ACB ∠=o ，3AC =，4BC =，以点C 为圆心，CA 为半径的圆与AB 交于点D ，则AD 的长为 A. 9 B. 24 C. 185 D. 52 答案：C 84700 4.2 垂径定理及推论 选择题 基础知识 2013-09-22 6. (2013 湖北省黄冈市) 如图，M 是CD 的中点，EM CD ⊥， 若48CD EM ==，，则?CED 所在圆的半径为 ． 答案：174 B
圆的基本性质(拔高)
D B C O A E ． A C O M N B B O A P 【圆及垂径定理】第3份 1、过一点可作 个圆。过两点可作 个圆，以这两点之间的线段的 上任意一点为圆心即可。过 的三点确定一个圆。 2、经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的 ，外接圆的圆心叫做三角形的 ，这个三角形叫做圆的 。三角形的外心是三角形三条边的 3、下列四个命题：① 经过任意三点可以作一个圆；② 三角形的外心在三角形的内部；③ 等腰三角形的外心必在底边的中线上；④ 菱形一定有外接圆，圆心是对角线的交点。其中真命题的个数（ ） A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 4、如图，AB 为⊙O 的直径，CD 为⊙O 的弦，AB 、CD 的延长线交于点E ，已知AB=2DE ，∠E=18°，求∠AOC 的度数 5、如图，平面直角坐标系中一第圆弧经过网格点A 、B 、C ，其中B 点坐标为（4，4），那么该圆弧所在圆的圆心坐标为 6、垂径定理：垂直于弦的直径 ，并且平分 7、垂径定理的逆定理1：平分弦（ ）的直径垂直于弦，并且平分 垂径定理的逆定理2：平分弧的直径 8、如图所示，直径CE 垂直于弦AB ，CD=1，且AB+CD=CE ，求圆的半径。 O C E D B A 9、工程上常用钢珠来测量零件上小孔的直径，假设钢珠的直径是10mm ，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm ，如图所示，则这个小孔的直径AB 是 10、四边形ABCD 是直角梯形，AB ∥CD ，AB ⊥BC ，且BC=CD=2，AB=3，把梯形ABCD 分别绕直线AB ，CD 旋转 一周，所得几何体的表面积分别为S 1，S 2，则| S 1-S 2|=__________（平方单位） 11、点O 是两个同心圆的圆心，大圆的半径QA, OB 分别交小圆于点C, D ．给出下列结论： ①AB CD =、② AB=CD ； ③AB 的度数=CD 的度数； ④AB 的长度=CD 的长度．其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C.3 个 D.4 个 12、如图所示，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆O 1，O 2，O 3，… 组成一条平滑的曲线，点 P 从原点O 出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒 2 π 个单位长度，则第2015秒时，点P 的坐标是（ ） A .（2014,0） B .（2015，-1） C . （2015,1） D . （2016,0） 13、在一个圆中，给出下列命题，其中正确的是（ ） A ．若圆心到两条直线的距离都等于圆的半径，则这两条直线不可能垂直 B ．若圆心到两条直线的距离都小于圆的半径，则这两条直线与圆一定有4个公共点 C ．若两条弦所在直线不平行，则这两条弦可能在圆内有公共点 D ．若两条弦平行，则这两条弦之间的距离一定小于圆的半径 【随堂练习】 1、下列命题：① 垂直于弦的直径平分这条弦；② 平分弦的直径垂直于弦；③垂直且平分弦的直线必定经过圆心。其中正确的有（ ） A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 2、如图，⊙O 的直径为10cm ，弦AB 为8cm ，P 是弦AB 上一点，若OP 的长是整数， 则满足条件的点P 有（ ）个 A.2 B.3 C.4 D.5 3、半径为5cm 的圆内有两条互相平行的弦，长度分别为6cm 和8cm ，则这两弦之间的距离为 cm 4、圆的半径等于23cm ，圆内一条弦长23cm ，则弦的中点与弦所对弧的中点的距离等于 5、如图，矩形ABCD 与⊙O 相交于M 、N 、F 、E ，如果AM=2，DE=1，EF=8，那么MN 的长为 6、如图，半径为5的⊙P 与y 轴交于点M （0，-4）、N （0，-10），函数y= k x （x<0）的图象过点P ，则k= 7、如图，将半径为2cm 的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O ，则折痕AB 的长为 8、如图，已知AB 、AC 为弦，OM ⊥AB 于点M ， ON ⊥AC 于点N ，BC=4，则MN= x y O A B C 第5题 O P M y x N 第6题 第7题 P O 第12题 O 1 x y O 2 O 3
垂径定理及推论教学设计
24.1.2垂径定理及其推论教学设计 【教材分析】 本节是《圆》这一章的重要容，也是本章的基础。它揭示了垂直于弦的直径和这条弦及这条弦所对的弧之间的在关系，是圆的轴对称性的具体化；也是今后证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系的重要依据；同时也为进行圆的有关计算和作图提供了方法和依据；由垂径定理的得出，使学生的认识从感性到理性，从具体到抽象，有助于培养学生思维的严谨性。同时，通过本节课的教学，对学生渗透类比、转化、数形结合、方程、建模等数学思想和方法，培养学生实验、观察、猜想、抽象、概括、推理等逻辑思维能力和识图能力。所以它在教材中处于非常重要的位置。 【教学目标】 根据新课程标准的要求，课改应体现学生身心发展特点；应有利于引导学生主动探索和发现；有利于进行创造性的教学。因此，我把本节课的教学目标确定为以下三个方面： 知识目标： 使学生理解圆的轴对称性；掌握垂径定理；学会运用垂径定理解决有关的证明、计算和作图问题。培养学生观察能力、分析能力及联想能力。 方法与过程目标： 经历探索发现圆的对称性，证明垂径定理及推论的过程，锻炼学生的思维品质，学习证明的方法。 情感态度与价值观目标: 在学生通过观察、操作、变换和研究的过程中进一步培养学生的思维能力，创新意识和良好的运用数学的习惯和意识。 【重点与难点】 重点：垂径定理及其推论的发现、记忆与证明。 难点：对垂径定理及其推论的探索和证明，并能应用垂径定理及推论进行简单计算或证明。 【学生分析】 九年级学生已了解圆的有关概念；但根据皮亚杰的认知发展理论：这个阶段的学生思维正处于具体思维向抽象思维发展、逻辑思维向形式思维发展、部心理上逐步朝着自我反省的思维发展。虽然他们具有一定的数学活动经验、生活经验和操作技能，会进行简单的说理，但他们的逻辑思维能力和抽象思维能力还比较薄弱。对如何从实际问题中抽象出数学问题，建立数学模型的能力较差。 【教学方法】 鉴于教材特点及九年级学生的知识基础，根据教学目标和学生的认知水平，让学生在课堂上多活动、多观察、多合作、多交流，主动参与到整个教学活动中来，组织学生参与“实验---观察---猜想---证明”的活动，最后得出定理，这符合新课程理念下的“要把学生学习知识当作认识事物的过程来进行教学”的观点，也符合教师的主导作用与学生的主体地位相统一的原则。同时，在教学中，我充分利用教具和课件，提高教学效果，在实验、演示、操作、观察、练习等师生的共同活动中启发学生，让每个学生动手、动口、动眼、动脑，培养学生直觉思维能力，这符合新课程理念下的直观性与可接受性原则。
圆的垂径定理及推论知识点与练习(最新整理)
圆的垂径定理及其推论知识点与练习 （1）垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧。若直径AB ⊥弦CD 于点E ，则CE=DE ， ⌒ AC=⌒ AD ；⌒ BC=⌒ BD （2）推论：①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 若CE=DE ，AB 是直径，则⌒ AC=⌒ AD ；⌒ BC=⌒ BD ②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。若AB ⊥CD ，CE=DE ，则CD 是直径，⌒ AC=⌒ AD ；⌒ BC=⌒ BD ③平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。若⌒ AC=⌒ AD ，AB 是直径，则AB ⊥CD ，CE=DE ，⌒ BC=⌒ BD ④圆的两条平行弦所夹的弧相等。若CD ∥FG ，CD 、FG 为弦，则⌒ FC=⌒ GD 特别提示：①垂径定理及其推论可概括为： 过圆心 垂直于弦 直径 平分弦 知二推三 平分弦所对的优弧 平分弦所对的劣弧 ②垂径定理可改写为：如果一条直线垂直于一条弦，并且过圆心，那么这条直线平分弦并且平分弦所对的两条弧．其中有四个条件：直线垂于于弦，直线平分弦，直线过圆心，直线平分弦所对的弧．它的三个推论可看作“如果四个条件中有两个成立，那么另外两个也成立”． （3）垂径定理及推论的应用： 它是证明圆内线段相等、角相等、垂直关系及利用勾股定理计算有关线段的长度提供了依据，也为圆中的计算、证明和作图提供了依据、思路和方法。 ①垂径定理中的垂径可以是直径、半径或过圆心的直线、线段，其本质是“过圆心”； ②在圆的有关计算中常用圆心到弦垂线段、弦的一半、半径构造出垂径定理的条件和直角三角形，从而应用勾股定理解决问题； 例：如图，在⊙O 中，弦AB 所对的劣弧为圆的， 31圆的半径为2cm ，求AB 的长。解：如图，连接OB ，过点O 作OD ⊥AB 交AB 于点C ，由题 意得，∵⌒ AB= ×360o=120o3 1∴∠AOB=120o，∴∠AOC=60o,在Rt △AOC 中，∵∠AOC=60o，OA=2，∴OC = OA=1，∴AB=2AC=2=22 122OC AO 3故AB 的长为23练习 一、选择题 1、如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为M ，下列结论不一定成立的是（ ） A 、CM=DM B 、∠ACB=∠ADB C 、AD=2B D D 、∠BCD=∠BDC G A A
九年级数学上册第三章圆的基本性质3.3垂径定理第1课时垂径定理随堂练习(含解析)(新版)浙教版
3.3__垂径定理__ 第1课时 垂径定理 1．[2016·黄石]如图3－3－1，⊙的半径为13，弦AB 的长度是24，ON ⊥AB 垂足为N ，则ON ＝( A ) 图3－3－1 A ．5 B ．7 C ．9 D ．11 2．如图3－3－2，已知⊙O 的直径AB ⊥CD 于点E ，则下列结论不一定正确的是( B ) 图3－3－2 A ．CE ＝DE B ．AE ＝OE C.B C ︵＝B D ︵ D ．△OC E ≌△ODE 【解析】 ∵AB ⊥CD ， ∴CE ＝DE ，BC ︵＝BD ︵， ∵CO ＝DO ，∠CEO ＝∠DEO ， ∴△OCE ≌△ODE . 由已知条件不能确定AE 和OE 的关系．故选B. 3．[2017·泸州]如图3－3－3，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E .若AB ＝8，AE ＝1，则弦CD 的长是( B ) A.7 B ．27 C ．6 D ．8
图3－3－3 第3题答图 【解析】 如答图，连结OC ， 则OC ＝OB ＝4，OE ＝OB －AE ＝4－1＝3， CE ＝DE ＝OC 2－OE 2＝7， CD ＝2CE ＝27. 4．[2017·长沙]如图3－3－4，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，已知CD ＝6，EB ＝1，则⊙O 的半径为__5__． 图3－3－4 第4题答图 【解析】 如答图，连结OC ， ∵AB 为⊙O 的直径，AB ⊥CD ， ∴CE ＝DE ＝12CD ＝12 ×6＝3， 设⊙O 的半径为x ，则OC ＝x ， OE ＝OB －BE ＝x －1， 在Rt △OCE 中，OC 2＝OE 2＋CE 2 ， ∴x 2＝32＋(x －1)2，解得x ＝5，∴⊙O 的半径为5. 5．[2017·眉山]如图3－3－5，AB 是⊙O 的弦，半径OC ⊥AB 于点D ，且AB ＝8 cm ，DC ＝2 cm ，则OC ＝__5__cm. 图3－3－5 第5题答图 【解析】 如答图，连结OA ，
垂径定理及其推论练习题
B A P O y x 垂径定理及其推论练习题 1．下面四个命题中正确的一个是（ ） A ．平分一条直径的弦必垂直于这条直径 B ．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦 C ．弦的垂线必过这条弦所在圆的圆心 D ．在一个圆内平分一条弧和它所对弦的直线必过这个圆的圆心 2．下列命题中，正确的是（ ）． A ．过弦的中点的直线平分弦所对的弧 B ．过弦的中点的直线必过圆心 C ．弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦，且过圆心 D ．弦的垂线平分弦所对的弧 3、⊙O 的直径为10，弦AB 的长为8，M 是弦AB 上的动点，则OM 的长的取值范围是（ ） （A ）5OM 3≤≤ （B ）5OM 4≤≤ （C ）5OM 3<< （D ）5OM 4<< 4、已知：如图，AB 是⊙O 的弦，半径OC ⊥AB 于点D ，且AB=8m ，OC=5m ，则DC 的长为（ ） A 、3cm B 、2.5cm C 、2cm D 、1cm 5过⊙O 内一点P 的最长弦为10cm ，最短的弦为6cm ，则OP 的长为 . 6、如图，在⊙O 中，直径AB 丄弦CD 于点M ，AM=18，BM=8，则CD 的长为__________ . 7、如图，∠PAC=30°，在射线AC 上顺次截取AD=3cm ，DB=10cm ，以DB 为直径作⊙O 交射线AP 于E 、F 两点，则线段EF 的长是_________ cm ． 8、如图，AB 是⊙O 的弦，AB 长为8，P 是⊙O 上一个动点（不与A 、B 重合），过点O 作OC ⊥AP 于点C ，OD ⊥PB 于点D ，则CD 的长为_____________ ． 9、如图，AB 为⊙O 的直径，CD 为⊙O 的一条弦，CD ⊥AB ，垂足为E ，已知CD=6，AE=1，则⊙0的半径为 ____________． 10、如图所示，若⊙O 的半径为13cm ，点P 是弦AB 上一动点，且到圆心的最短距离5cm ，则弦AB 的长为______________ ． 11、已知圆的半径为5cm ，一弦长为8cm ，则弦的中点到弦所对弧的中点的距离为__ _____。 12、在弓形ABC 中，弦AB=24，弓形高CD=6，则弓形所在圆的半径等于 。 13、在半径为5cm 的⊙O 中，有一点P 满足OP ＝3 cm ，则过P 的整数弦有 条。 14、如图，⊙O 中弦AB ⊥CD 于E ，AE ＝2，EB ＝6，ED ＝3，则⊙O 的半径为 。 15．如图，在直角坐标系中，以点P 为圆心的圆弧与轴交于A 、B 两点，已知P(4，2) 和A(2，0)，则点B 的坐标是 16．如图，AB 是⊙O 的直径，OD ⊥AC 于点D ，BC=6cm ，则OD= cm 17．如图，矩形ABCD 与圆心在AB 上的圆O 交于点G 、B 、F 、E ，GB=10，EF=8，那 ? E O D C B A
垂径定理及其推论
圆部分知识点总结 令狐采学 垂径定理及其推论 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。垂径定理及其推论可概括为： 过圆心 垂直于弦 直径平分弦知二推三 平分弦所对的优弧 平分弦所对的劣弧 弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理 1：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。 2：在同圆或等圆中，如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。 推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。 推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 点和圆的位置关系 设⊙O的半径是r，点P到圆心O的距离为d，则有：d P在⊙O内； d=r?点P在⊙O上； d>r?点P在⊙O外。 过三点的圆 1、不在同一直线上的三个点确定一个圆。 2、经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。 3、三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，它叫做这个三角形的外心。 直线与圆的位置关系 直线和圆有三种位置关系，具体如下： （1）相交：直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线，公共点叫做交点； （2）相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线， （3）相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离。 如果⊙O的半径为r，圆心O到直线L的距离为d,那么：直线L 与⊙O相交?d 圆中的计算垂径定理 教学设计 【内容分析】 垂径定理及其推论是圆的性质部分非常重要的定理。垂径定理为圆的计算和作图提供了方法和依据，所以它在中考考点上属于高频考点。垂径定理的学习无论从知识上，还是从学生能力的培养及学习信心的提升都起着重要的作用。 【学情分析】 学生是我自己所任教班级的学生，整体学习能力薄弱，中下生若多。他们在初三上学期已经完成垂径定理的学习，在运用定理方面仍不够灵活、熟练，又因为圆的知识点长时间运用，遗忘率很高。学生的基础弱，遇到不懂的题目，容易放弃，他们的自信心明显不足，大部分学生口头语言表达能力较弱，自我探索解题思路欠缺，分析问题需要老师引导。目前，有大部分学生，肯在老师的引导下，努力解题，由被动转向主动学习。 【教学目标】 1.进一步熟悉垂径定理及其推论的应用； 2.通过教学，提高学生分析基本图形、添加适当的辅助线探索解题思路的能力；通过 把实际问题转化一个数学问题，了解数学建模的思想，培养学生分析问题、解决问 题的能力； 3.通过练习，总结常用解题方法，渗透方程、构造直角三角形等数学思想； 4. 学会与同学交流合作，培养团队精神，体验学习过程中成功的快乐，增强学习数学 的信心和热情。 【教学重点】 1.垂径定理及其推论的灵活运用； 2.定理应用过程的方法提炼和计算能力的训练提升。 【教学难点】 添加辅助线和把实际问题转化成数学问题，并用定理及其推论解决问题。 【任务分析】 学生中下面较广，知识点掌握不牢固，遗忘率很高。通过感知基础图形，动手画变式图形，达到巩固垂径定理，从而用垂径定理解决圆中有关计算。 【教学策略】 引入采用启发、类比，教学过程采用变式训练、分组训练、数学建模。 垂径定理及其推论 一、 复习旧知 复习前面学习的圆的基本元素，重点复习圆心角、弧、弦之间的关系；强调圆是旋转对称图形、轴对称图形和中心对称图形。 二、 情境导入（出示赵州桥图片） 问题:你知道赵州桥吗? 它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m ，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？现在同学们不会求，但是学了这节课你们就能把主桥拱的半径求出来了。 三、 出示学习目标 1、 利用圆的轴对称性探究垂径定理 2、 理清垂径定理及其推论的题设和结论。 3、 运用垂径定理及其推论进行有关的计算和证明。 4、 学会与垂径定理有关的添加辅助线的方法 四、 自学探究 1、如图,在纸上画⊙O ，AB 是⊙O 的一条弦, 作直径CD ⊥AB, 垂足为E.沿CD 折叠，你能发现图中有那些相等的线段和弧? 你能发现什么结论? 线段: AE=BE 弧: AC=BC, AD=BD 2、得出猜想 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧 D 即如果CD⊥AB，那么AE=BE,弧AC=弧BC,弧AD=弧BD 3、请根据猜想写出命题的已知、求证，并写出证明过程 4、得出结论经过证明，以上命题是真命题。即垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧是成立的，我们把这个真命题叫做垂径定理 四、检测 1、（出示图形）检查下列图形是否具备应用垂径定理的条件？ 五、例题讲解 已知：如图在⊙O中，弦AB的长是8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙半径 技巧总结：从例题看出圆的半径OA，弦心距OE及半弦长AE构成Rt△AOE.把垂径定理和勾股定理结合起来，解决问题。 六、练习 如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为10cm,OE=6cm,则AB= cm。 七、思考 将垂径定理的题设和结论调换，命题还成立吗？ 1、如果圆的一条直径平分弦（不是直径），那么它垂直于弦，并且平分弦所对的 两条弧 写出此命题的已知求证，并进行证明。 2、经验证，命题是正确的，由此得出垂径定理的推论1：平分弦（不是直径）的 直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧。 微专题__垂径定理有关的辅助线 一 连半径构造直角三角形 (教材P78作业题第2题) 如图1，在⊙O 中，半径OC ⊥AB 于点D .已知⊙O 的半径为2，AB ＝3，求DC 的长(精确到0.01)． 图1 教材母题答图 解：如答图，连结OA . ∵OC ⊥AB ，∴AD ＝12AB ＝12×3＝32， ∴OD ＝OA 2 －AD 2 ＝22 －? ?? ??322 ＝72， ∴DC ＝OC －OD ＝2－ 7 2 ≈0.68. 【思想方法】 求圆中的弦长或其他线段长时，通常连半径，由半径、弦的一半以及圆心到弦的距离构成直角三角形进行求解． [xx·呼和浩特]如图2，CD 为⊙O 的直径，弦AB ⊥CD ，垂足为M ，若AB ＝12，OM ∶ MD ＝5∶8，则⊙O 的周长为( B ) A ．26π B ．13π C.96π5 D.3910π5 图2 变形1答图 【解析】 如答图，连结OA ，设OM ＝5x ，MD ＝8x ，∴OA ＝OD ＝13x ，又∵AB ＝12，由垂径定理可得AM ＝6，∴在Rt △AOM 中，(5x )2＋62＝(13x )2 ，解得x ＝12，∴半径OA ＝132，根据周长 公式C ＝2πr ，∴⊙O 的周长为13π. 如图3，已知⊙O 的半径为5，点A 到圆心O 的距离为3，则过点A 的所有弦中，最 短的弦长为( C ) 图3 A ．4 B ．6 C ．8 D ．10 已知⊙O 的直径CD ＝10 cm ，AB 是⊙O 的弦，AB ＝8 cm ，且AB ⊥CD ，垂足为M ，则 AC 的长为( C ) A ．2 5 cm B ．4 5 cm C ．2 5 cm 或4 5 cm D ．2 3 cm 或4 3 cm 【解析】 如答图，连结AC ，AO . ∵⊙O 的直径CD ＝10 cm ，AB ⊥CD ，AB ＝8 cm ， ∴AM ＝12AB ＝1 2×8＝4(cm)，OD ＝OC ＝5 cm. 当点C 位置如答图①所示时， ∵OA ＝5 cm ，AM ＝4 cm ，AB ⊥CD ， ∴OM ＝OA 2 －AM 2 ＝52 －42 ＝3(cm)， ∴CM ＝OC ＋OM ＝5＋3＝8(cm)， ∴AC ＝AM 2 ＋CM 2 ＝42 ＋82 ＝45(cm)； 变形3答图 当点C 位置如答图②所示时，同理可得OM ＝3 cm ， ∵OC ＝5 cm ，∴MC ＝5－3＝2(cm)． 在Rt △AMC 中，AC ＝AM 2 ＋MC 2 ＝42 ＋22 ＝25(cm)．故选C. 如图4，用一块直径为a 的圆桌布平铺在对角线长为a 的正方形桌面上，若四周下垂的最大长度相等，则桌布下垂的最大长度x 为( B ) A. 2－12a B.2－24 a C ．(2－1)a D ．(2－2)a 3.1 圆（1） 在同一平面内，线段0P 绕它固定的一个端点C 旋转一周，所经过的圭寸闭曲线叫做 圆，定点C 叫做，线段OF 叫做。 如果P 是圆所在平面内的一点，d 表示P 到圆心的距离，r 表示圆的半径，那么就有: d v r 0点P 在圆； dr 点；P 在圆上； d > r :-点P 在圆； 如图，在 ABC 中，/ BAC= Rt Z ，AO 是BC 边上的中线, 为一 C 的直径. (1) 点A 是否在圆上？请说明理由. (2) 写出圆中所有的劣弧和优弧. 如图，在A 岛附近，半径约250knm 勺范围内是一暗礁区， 往北300kn 有一灯塔B,往西400km 有一灯塔C.现有一渔船 沿CB 亢行，问：渔船会进入暗礁区吗？ 3.1 圆(2) (1) 经过一个已知点能作个圆； (2) 经过两个已知点A,B 能作个圆；过点A,B 任意作一个圆 圆心应该在怎样的一条直线上？ (3) 不在同一条直线上的三个点一个圆 经过三角形各个顶点的圆叫做，这个外接圆的圆心叫做三角形的，三角形叫做圆 的； 三角形的外心是的交点。 锐角三角形的外心在; 直角三角形的外心在; 钝角三角形的外心在。 BC 作图：已知△ ABC，用直尺和圆规作出△ ABC的外接圆 3.2图形的旋转 图形旋转的性质 图形经过旋转所得的图形和原图形； 对应点到的距离相等，任何一对对应点与连线所成的角度等于。 1、如图，射线0P经过怎样的旋转，得到射线0Q ? 3、如图，以点0为旋转中心，将线段AB按顺时针方向旋转60° ,作出经旋 转所得的线段AB，并求直线AB与直线AB所成的锐角的度数 -B 径定理（1） 圆是图形，它的对称轴是。 2、如图，以点O为旋转中心，将A ABC按顺时针方向旋转60° ,作出经旋 转所得的图形 根据对称性你能发现哪些相等的量？填一填：V CD是直径，CD丄AB y P A O B x D A E B ?O 垂径定理及其推论练习题 1.下面四个命题中正确的一个是（） A．平分一条直径的弦必垂直于这条直径B．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦C．弦的垂线必过这条弦所在圆的圆心 D．在一个圆内平分一条弧和它所对弦的直线必过这个圆的圆心2．下列命题中，正确的是（）． A．过弦的中点的直线平分弦所对的弧B．过弦的中点的直线必过圆心C．弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦，且过圆心D．弦的垂线平分弦所对的弧3、⊙O 的直径为 10，弦 AB 的长为 8，M 是弦 AB 上的动点，则 OM 的长 的取值范围是（）（A）3≤ OM ≤ 5 （C）3< OM < 5 （B）4 ≤ OM ≤ 5 （D）4 < OM < 5 4、已知：如图， AB 是⊙O 的弦，半径OC⊥ AB于点 D，且 AB=8m， OC=5m，则 DC 的长为（） A、3cm B、2.5cm C、2cm D、 1cm 5 过⊙O内一点 P 的最长弦为 10cm，最短的弦为 6cm，则 OP 的长为. 6、如图，在⊙O 中，直径 AB 丄弦 CD 于点 M，AM=18，BM=8，则 CD 的长为 . 7、如图，∠PAC=30°，在射线 AC 上顺次截取 AD=3cm，DB=10cm，以DB 为直径作⊙O 交射线 AP 于 E、F 两点，则线段 EF 的长是cm． 8、如图，AB 是⊙O 的弦，AB 长为 8，P 是⊙O 上一个动点（不与 A、B 重合），过点 O 作OC⊥AP于点 C，OD⊥PB于点 D，则 CD 的长为． 9、如图，A B为⊙O的直径，C D为⊙O的一条弦，CD⊥AB，垂足为 E，已知 CD=6，AE=1，则⊙0的半径为． 10、如图所示，若⊙O的半径为13cm，点 P 是弦 AB 上一动点，且到圆心的最短距离 5cm，则弦 AB 的长为． 11、已知圆的半径为 5cm，一弦长为 8cm，则弦的中点到弦所对弧的中点的距离为 。 12、在弓形 ABC 中，弦 AB=24，弓形高 CD=6，则弓形所在圆的半径等于。 13、在半径为 5cm 的⊙O 中，有一点P 满足OP＝3 cm，则过P 的整数弦有条。 14、如图，⊙O 中弦AB⊥CD 于E，AE＝ 2，EB＝ 6，ED＝ 3，则⊙O 的半径为。 C圆的基本性质和垂径定理
垂径定理及其推论
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