两种假设检验思想的比较
两种假设检验思想的比较
关键字：检验思想
【提要】目的探讨经典统计学派与贝叶斯学派假设检验思想的异同。
方法总结和概括两种思想，并结合一个实例对两种思想进行比较。结果两
种思想统一于贝叶斯定理，并在特定场合下相互等价；贝叶斯方法在先验信息
的利用、风险的回答、损失的考虑以及多重假设问题的处理等方面较经典方法
具有明显的优势。结论贝叶斯学派的理论应用受到重视。
【Abstract】 Objective
To discuss differences between classical and Bayesian testing thought
s. Methods
First these two thoughts are summari 7,pd> and then they are compared t
hrough an example. Results
It is pointed out that these two thoughts are united on Bayes' s Theo
rem' that they are equal on given occasions’ and that Bayesian testin
g approaches have more advantages than classical approaches in using
prior information" indicating the hazard of testing' considering the
loss' and dealing with the problem of multi-hypotheses. Conclusion
Great attention should be paid to Bayesian theory.
[Key words] hypothesis test Classical school Bayesian school
假设检验问题是统计学的传统问题，对于该问题，经典统计学派与贝叶斯
学派有不同的处理思想。目前，经典统计方法占据着统计学的主导地位，但是，
贝叶斯方法正在国外迅速发展并得到日益广泛的应用’我们有必要给以足够的
重视。本文结合一个例子，对两大学派的假设检验思想进行初步比较，以揭示
两种思想的区别与联系，并着重探讨贝叶斯方法的优势。
两种假设检验思想
一、经典统计学派的假设检验思想
经典统计学派运用反证的思想进行推断，即：在认定一次实验中小概率事
件不会出现的前提下，若观察到的事件是H0为真时不合理的小概率事件，则拒
绝H0。
上述思想可以用如下决策函数表示：
其中x代表样本信息。cD(x)取值为0时即为通常的“拒绝H0” ^
二、贝叶斯学派的假设检验思想
贝叶斯学派直接讨论H0和H1的后验概率，依据后验概率的大小进行推断。
其基本的解决方案是：在先验分布TT下，有决策函数
0 00取值为0时即“拒绝H0”。很明显，它选择了后验概率较大的假设。
三、两种思想的联系与分歧
在经典统计学中，参数被看作未知常数，不存在参数空间，因而不存在H0
和H1的概率，给出的是P(x|H0真)，其中x代表样本信息。在贝叶斯方法中，
参数被看成随机变量，在参数空间内直接讨论样本x下H0和H1的后验概率，
给出的是P(H0真|x)和P(H0不真|x)。
事实上，两个学派的方法在一定程度上统一于贝叶斯公式。
由贝叶斯公式容易得到：
因此，当P(H0)=P(H
1)，即HO与HI居于平等地位时，经典学派与贝叶斯
学派的结果是一致的。
然而，H0与H1地位往往不一致，H0常居于将被否定的位置，因而上述一
致性并不总能成立。贝叶斯学派对此进行了深入的探讨，他们的结果很有意义。
对于正态分布前提下的单侧检验：X?N(0 , 1)，HO： 0在0 HI： 0 >0,
经典方法得到的P值与贝叶斯方法在无信息先验分布下的后验概率相等，此结
论可以推广到正态分布前提下其他类似的单侧检验。
对于形如ho: e=o, hi： e >0,(或hi: e
对于形如ho ： e =0, hi： e关o的双侧检验，经典方法得到的p值与贝
叶斯方法的后验概率大不相同。在Berger和Sellke 1987年对正态分布前提下
二者的比较研究中，当经典方法得到的P在0.01?0.1之间时，贝叶斯方法得
到H0为真的后验概率大于P,因而此时拒绝H0所承担的实际风险大于P，而这
个区间对于经典方法下结论是非常重要的。Hwang和Pematle 1994年提出，对
这类双侧检验，类似结果始终存在，因而P值应该由其他判断标准来替代。但
他们还没有找到这种标准。
两种思想的应用
卜'面我们通过一个例子对两种假设检验思想进行一些比较。
例：以随机变量e代表某人群中个体的智商真值，0i为第i个个体的智
商真值，随机变量Xi代表第i个个体的智商测验得分，若该人群的期望智商为
M,则第i个个体在一次智商测验中的得分可以表示为：
xij=0 i+eij=p +ei+eij,其中ei为第i个个体的自然变异，eij为第i个个
体第j次测量的测量误差。根据以往积累的资料，已知在某年龄儿童的智商真
值0?N(m ’ T 2)，其中p =100’ T =15,个体智商测验得分Xi?
N(0i’ a 2),其中cj=10。现在一名该年龄儿童智商测验得分为115，问：（1)
该儿童智商真值是否高于同龄儿童的平均水平(即0 i>100)?(2)若取0 i在
(a’ b)为正常，问该儿童智商是否属于正常？ 一、用经典统计方法解答
对第一问，设HO: e i^lOO HI： 0 i>100,按照经典统计学方法，若H0
成立，则有：
因此，a水平下的拒绝域为{x:x>100+a ? ul-a }
已知 cri=10，若取 a =0.05，有 uO. 95=1. 645, 100+10X1.645=116.45。
现有x=115，因此，在0.05水平尚不能认为该儿童智商高于平均水平。
对第二问，经典方法需要进行两次分别针对a、b的单侧检验。过程与第一
问相似，这里不再叙述。
二、用贝叶斯方法解答
在贝叶斯学派中，当e i未知时，将其看作随机变量，与e具有相同的分
布，这是贝叶斯学派与经典学派的一个重大区别。
根据贝叶斯理论，若X?N(e , a 2),其中a 2已知，0未知，但己知0
的先验分
布是N(卩，T 2)，其中p和T 2均已知，则给定x后e的后验分布
为_ (x)’ p -1,)其中(证明参见文献[1])。
由此得到，本例中该儿童智商0 i的后验分布为N(110.38，69.23)。
对第一问，同样设H0: 0 i彡100 H1： 0 i>100,查正态分布表可以得到：
P(HO： 9 i^l00|x=115) =0. 106，
P(H1: 0 i>100|x=115) =0. 894
根据风险最小原则拒绝HO,接受HI。
对第二问，设HO: a<0 ib,查正态分布表可以
分别得到 P {HO： a<0 i
似第一问，依据风险最小原则作出推断。
讨论
由上述分析和例子，我们可以看出，用贝叶斯方法处理假设检验问题至少
在下述几方面具有明显优势。
一、先验信息利用的充分性和风险的直观性
从前述问题的处理，我们清楚地看到，经典方法只使用了 Xi的已有信息
(贝叶斯学派称之为先验信息)，而贝叶斯方法则同时利用了 Xi和0的先验信
息。因而在第二问的解决上，贝叶斯方法较经典方法少进行一次假设检验。
在贝叶斯方法中，由于导出了样本x下的后验分布，可以对风险给出正面
的回答，因而较经典方法下的间接判断更直观。
二、可以将后续问题纳入考虑范围
如果推断错误在后续问题的解决过程中会造成一定损失，贝叶斯方法在进
行推断时可将这一损失考虑在内。如：
在假设H0:e e?0, HI ： 0 ?01(00、0 1是参数空间内两个互补子集）
中等于0，1分别代表拒绝、接受HO, a0、al分别代表了第一、第二类
错误造成的损失，这时，贝叶斯方法给出如下决策函数：
由于可以将假设检验结果带来的损失纳入检验考虑的范畴之内，因而对问
题的回答更接近实用。
三、多重假设的处理不存在困难
对多重假设，如将前例第二问改为：若e ie(a’ b)为智力正常，e i
在现有条件下，经典方法很难处理这一问题。而贝叶斯方法对这一问题的
解答并不存在特殊的困难，只需将假设设为：HO ： a^0 iH2 ： 6 i^b,多计算一个后验概率便可。
贝叶斯方法的上述优势对于解决实际问题很有帮助。
尽管在理论方面还存在一些困难，但不容否认的是，贝叶斯方法已经成为
决策论的一个基本工具，在社会学、经济学等领域发挥着重要作用。在临床医
学、预防医学、卫生事业管理等决策领域也一定能发挥重要作用。国内医学统
计学界目前对贝叶斯方法的关注较少，加强这方面的研究工作，无疑将是有益
的。