2.2伽利略变换

§2、2 伽利略变换

2、2、1 伽利略变换

（1） 如图2-2-1所示，有两个惯性 系S 和'S ， 它们对应的坐标轴相互平行，

且

当t ='t =0时，两系的坐标原点'O 与O 重合。

设'S 系相对于S 系沿x 轴正方向以速度u 运动。

同一质点P 在某一时刻在S 系中的时空坐标为(x,y,z,t)，在S`系中的时空坐标为 （x’,y’,z’,t’）

???????===-=t t z

z y y ut x x '''' 即 t u r r -='或 (1)

x=x '

＋ｕｔ ???

??==='''t t z z y y 即 t u r r +='

式（1）称为伽利略时空坐标变换公式。

（２）将式（1）中的空间坐标分别对时间求一次导数得：

图2-2-1

???

???

???====-=-==z z y y x x v dt dz v v dt dy v u v u dt dx

dt dx v ''

'''' 即u v v -= ' 或???

???

???======+=+==z z y y

x x v dt dz dt dz v v dt dy dt dy v u v u dt dx dt dx v '''''1即u v v '+'= （2）

式（2）称为伽利略速度变换公式。

（3）将式（2）再对时间求一次导数得

???

???

???=='='=='='=='='z z z z y y y y

x x x

x

a dt dv dt v d a a dt dv dt v d a a dt dv dt v d a 即a a ='

???

??'

='='=z z y y x x a a a a a a a a

'= （3） 式（3）表明在伽利略变换下加速度保持不变。式（3）称为伽利略加速度变换公式。

2、2、2 经典力学的时空观

（1） t=t '，或Δt=Δt ' （4）

（2） Δr '=2

12212212222)()()()()()(z z y y x x z y x -+-+-=?+?+?，

Δr '=212212212222)()()()()()(z z y y x x z y x -+-+-=?+?+?。

因,,)()(1212121212

y y y y x x ut x ut x x x -='-'-=---='-' r r z z z z ?='?-='-'所以,1212 （5）

式（4）表明：在伽利略变换下，任何事件所经历的时间有绝对不变的量值，而与参照系的选择（或观测者的相对运动）无关。式（5）表明：在伽利略变换下，空间任何两点间的距离也有绝对不变的量值，而与参照系的选择测得的同一事件的时间间隔和空间任意两点间的距离都是绝对的不变量。这就是经典力学的时空观或者称之为绝对时空观。用牛顿本人的话来说：“绝对的真实的数学时间，就其本质而言，是永远均匀地流逝着，与任何外界事物无关。”“绝对空间就其本质而应是与任何外界事物无关的，它从不运动，并且永远不变。”按照这种观点，时间和空间是彼此独立、互不相关，并且独立于物质和运动之外的某种东西。

2、2、

3、力学规律在伽利略变换下的不变性

（1）伽利略变换下的牛顿第二定律

在s 系中，

a

m

F'

=∑

在S'系中，

a

m

F'

='

∑

（6）

（2）伽利略变换下的质点动量定理

在s系中，?∑?

=v

m

dt

F

在s`系中，?∑'?

='

'v

m

t d

F

（7）

（3）伽利略变换下的质点动能定理

在s系中，

v

m

v

m

Ek

W21

2

1

2

2

2

1

-

=

?

=

∑

外

在s`系中，

v

m

v

m

k

E

W'

-

'

=

'

?

=

'

∑21

2

1

2

2

2

1

外

（8）

（4）伽利略变换下的功的公式

在s系中，

??=r d

F

w

在s`系中，

??

??

-

='

?

='

?'

=dt

u

F

w

r d

F

r d

F

w

（9）

若F 为质点所受的合外力，则有

u v n w w

??-=' （10） （5）伽利略变换下的动量守恒定律

在s 系中，若）恒量（，则外c v M F n i i

i

==∑∑=1

对两个而点组成的封闭系统的一维动量传递问题则有

2211202101v m v m v m v m +=+

在s`系中，若，则外外

0=='∑∑F F

）

恒量（c v m n i i i '='∑=1

（11）

∑=-='n

i i

m u c c 1

（6）伽利略变换下的机械能守恒定律

在s 系中，210E E W W ==+，则非保内外

在s`系中，210E E W W '='='+'，则非保内外 （12）

综上所述，力学规律在伽利略变换下具有不变性。即力学规律在不同的惯性参照系中具有相同的形式，是规律的形式相同，而不是每一个物理量的数值在不同惯性系中都相同。

7.5相对论时空观与牛顿力学的局限性 — 人教版(2019)高中物理必修第二册学案

第七章第5节相对论时空观与牛顿力学的局限性 【学习目标】 1．感受牛顿力学在高速世界与事实的矛盾，知道牛顿力学只适用于低速、宏观物体的运动。知道相对论、量子论有助于人类认识高速、微观领域。 2．知道爱因斯坦狭义相对论的基本假设，知道长度相对性和时间间隔相对性的表达式。 3．了解宇宙起源的大爆炸理论，知道科学真理是相对的，未知世界必将在人类不懈的探索中被揭开更多的谜底。 【课前预习】 一、相对论时空观 1．爱因斯坦两个假设： (1)在不同的惯性参考系中，物理规律的形式都是_________的; (2)真空中的光速在不同的惯性参考系中大小都是_________的。 2．时间延缓效应：如果相当于地面以v运动的惯性参考系上的人观察到与其一起运动的物体完成某个动作的时间间隔为Δτ，地面上的人观察到该物体在同一地点完成这个动作的时间间隔为Δt， 则Δt=____________。由于1?(v c )2<1，所以总有Δt>Δτ，此种情况称为时间延缓效应。 3．长度收缩效应：如果与杆相对静止的人测得杆长是l0，沿着杆的方向，以v相对杆运动的人 测得杆长是l，则l=_________。由于1?(v c )2<1，所以总有l

大学物理第十四章相对论习题解答

§14.1 ～14. 3 14.1 狭义相对论的两条基本原理为相对性原理；光速不变原理。 14.2 s ′系相对s 系以速率v=0.8c ( c 为真空中的光速）作匀速直线运动，在S 中观测一事件发生在m x s t 8103,1×==处，在s ′系中测得该事件的时空坐标分别为 t =′x 1×108 m 。 分析：洛伦兹变换公式：)t x (x v ?=′γ，)x c t (t 2v ?=′γ其中γ=，v =β。 14.3 两个电子沿相反方向飞离一个放射性样品，每个电子相对于样品的速度大小为0.67c ， 则两个电子的相对速度大小为：【C 】 （A ）0.67c （B ）1.34c （C ）0.92c （D ）c 分析：设两电子分别为a 、b ，如图所示：令样品为相对静止参考系S ， 则电子a 相对于S 系的速度为v a = -0.67c （注意负号）。令电子b 的参考系为 动系S '（电子b 相对于参考系S '静止），则S '系相对于S 系的速度v =0.67c 。 求两个电子的相对速度即为求S '系中观察电子a 的速度v'a 的大小。 根据洛伦兹速度变换公式可以得到：a a a v c v v 21v v ??=′，代入已知量可求v'a ，取|v'a |得答案C 。 本题主要考察两个惯性系的选取，并注意速度的方向（正负） 。本题还可选择电子a 为相对静止参考系S ，令样品为动系S '（此时，电子b 相对于参考系S '的速度为v'b = 0.67c ）。那么S '系相对于S 系的速度v =0.67c ，求两个电子的相对速度即为求S 系中观察电子b 的速度v b 的大小。 14.4 两个惯性系存在接近光速的相对运动，相对速率为u （其中u 为正值） ，根据狭义相对论，在相对运动方向上的坐标满足洛仑兹变换，下列不可能的是：【D 】 （A ）221c u /)ut x (x ??=′； （B ）22 1c u /)ut x (x ?+=′ （C ）221c u /)t u x (x ?′+′=； （D ）ut x x +=′ 分析：既然坐标满足洛仑兹变换（接近光速的运动），则公式中必然含有22 11c v ?=γ，很明显答案A 、B 、C 均为洛仑兹坐标变换的公式，答案D 为伽利略变换的公式。此题的迷惑性在于（B ），因为S '和S 系的选取是相对的，只是习惯上将动系选为S '，仅仅是字母符号的不同。 14.5 设想从某一惯性系K 系的坐标原点O 沿X 方向发射一光波，在K 系中测得光速u x =c ，则光对另一个惯性系K'系的速度u'x 应为【D 】

2.2伽利略变换

§2、2 伽利略变换 2、2、1 伽利略变换 （1） 如图2-2-1所示,有两个惯性 系S 和'S , 它们对应的坐标轴相互平行, 且 当t ='t =0时,两系的坐标原点'O 与O 重合， 设'S 系相对于S 系沿x 轴正方向以速度u 运动， 同一质点P 在某一时刻在S 系中的时空坐标为(x,y,z,t),在S`系中的时空坐标为 （x’,y’,z’,t’） ???????===-=t t z z y y ut x x '''' 即 t u r r ??ρ-='或 (1) x=x ' ＋ｕｔ ?? ? ??==='''t t z z y y 即 t u r r ? ??+=' 式（1）称为伽利略时空坐标变换公式， （２）将式（1）中的空间坐标分别对时间求一次导数得： 图2-2-1

??? ??? ???====-=-==z z y y x x v dt dz v v dt dy v u v u dt dx dt dx v '' '''' 即u v v -=??' 或??? ??? ???======+=+==z z y y x x v dt dz dt dz v v dt dy dt dy v u v u dt dx dt dx v '''''1即u v v ???'+'= （2） 式（2）称为伽利略速度变换公式， （3）将式（2）再对时间求一次导数得 ??? ?? ? ???=='='=='='=='='z z z z y y y y x x x x a dt dv dt v d a a dt dv dt v d a a dt dv dt v d a 即a a ??=' ??? ??' ='='=z z y y x x a a a a a a a a ? ?'= （3） 式（3）表明在伽利略变换下加速度保持不变，式（3）称为伽利略加速度变换公式， 2、2、2 经典力学的时空观 （1） t=t ',或Δt=Δt ' （4） （2） Δr '=2 12212212222)()()()()()(z z y y x x z y x -+-+-=?+?+?, Δr '=212212212222)()()()()()(z z y y x x z y x -+-+-=?+?+?， 因,,)()(1212121212 y y y y x x ut x ut x x x -='-'-=---='-' r r z z z z ?='?-='-'所以,1212 （5）

电动力学习题解答6

第六章 狭义相对论 1. 证明牛顿定律在伽利略交换下是协变的，麦克斯韦方程在伽利略变换下不是协变的。 证明：根据题意，不妨分别取固着于两参考系的直角坐标系，且令t =0时，两坐标系对应 轴重合，计时开始后，'∑系沿Σ系的x 轴以速度v 作直线运动，根据伽利略变换有： vt x x -='，y y ='，z z ='，t t =' 1）牛顿定律在伽利略变换下是协变的 以牛顿第二定律22dt d m x F =为例，在Σ系下，22dt d m x F = Θvt x x -='，y y ='，z z ='，t t =' ∴'' ']',','[],,[222 22222F x x F ==+===dt d m dt z y vt x d m dt z y x d m dt d m 可见在'∑系中牛顿定律有相同的形式2 2' 'dt d m x F =，所以牛顿定律在伽利略变换下 是协变的。 2）麦克斯韦方程在伽利略变换下不是协变的 以真空中的麦氏方程t ?-?=??/B E 为例，设有一正电荷q 位于O 点并随'∑系运动，在'∑系中q 是静止的，故: r r q e E 2 0' 4'πε= ， （1） 0'=B （2） 于是方程'/'''t ?-?=??B E 成立，将（1）写成直角分量形式： ])'''(')'''(')'''('[4''2 3 222'23222'2 32220z y x z y x z z y x y z y x x q e e e E ++++++++=πε 由伽利略变换关系，在∑中有： y x z y vt x y z y vt x vt x q e e E 2 3 2222 32220])[(])[({4++-+++--= πε }])[(2 3 222z z y vt x z e ++-+ ])()()[(])[(3 42 3 2220z y x y vt x vt x z z y z y vt x q e e e E --++-+-++--=??∴πε 可见E ??不恒为零。又在Σ系中观察，q 以速度x v e 运动，故产生电流x qv e J =，于是 有磁场R qv πμ2/0=B ，（R 是场点到x 轴的距离）此时，有0/=??-t B ，于是 t ?-?≠??/B E 故麦克斯韦方程在伽利略变换下不是协变的。 2. 设有两根互相平行的尺，在各自静止的参考系中的长度均为,它们以相同速率v 相对于某一参考系运动,但运动方向相反,且平行于尺子。求站在一根尺上测量另一根尺的长度。 解：根据相对论速度交换公式可得2'∑系相对于1'∑的速度大小是 )/1/(2'22c v v v += （1）

哲学中的时空观

物理与哲学时空观 摘要：关于时空观念，在很早以前就被前辈所注意，很多的哲学家、思想家都在思考、讨论这个问题。康德、普里戈金、佛家、《周易》等，中外各家都有自己的看法，观点有同也有异。但是，都可以称之为“哲学”的时空观，与现物理学所阐述的“经典时空观”或“相对论时空观”大不同。哲学的博大精深，注定了“哲学中的时空观”会更神秘神奇，更能吸引眼球，从而引发人们对于时间与空间的无限遐想，随着对时空的认识不断深入，人们对物理学的时空也有新的理解和猜测。 关键词：哲学、物理、时空观 当今社会，随着科技的发展，人们对于科学普遍重视，但对哲学，重视程度明显不比对于科学技术。在科学理论上，时间与空间观念大致可分为两种：牛顿的经典时空观、爱因斯坦的相对论时空观。但是在哲学体系中，时空观念就有很多很复杂的学说。 1.物理时空观 1.1 经典时空观与相对论时空观 一个明显的概念是一个数轴，然而一维空间不是数轴。可以是一条在二维平面上的曲线，只要我们在这条线上找个原点，确定一下量度，这也是一个不折不扣的一维空间，身在这个空间上的东西不会察觉到这条曲线其实是处于一个二维空间中。同理，这条曲线可以处于更多维空间，而身在其中的人却一无所知。而我们所处的三维空间可能和那条线遭遇相同，我们对自己所于三维空间深信不疑，但有可能这个三维空间可能扭曲在更多维的空间中，我们能否能理解那个更多维的空间呢？ 经典力学时空观指引下的牛顿力学理论有局限性，它只能适用于宏观物体的低速运动，对于微观世界和高速运动的物体则无能为力。微观粒子遵从量子力学规律，高速运动遵从相对论力学规律，它是以相对论的时空观为指导的。爱因斯坦相对论的思想本质上是同科学已经显现出来的规律和总趋势相一致的（1）。相对论力学具有更广泛的实际意义，它把经典力学作为物体运动速度远小于光速的一种特例包括在内，所以相对论力学与经典力学是相辅相成的，而不是相互矛

伽利略变换的完美证明

爱因斯坦用其光速不变假设证明了洛仑兹变换，并得到了一个错误结论即“光速是最大速度”，这一错误结论深刻地印在了接触和学习相对论的人们的意识里。人们普遍认为在相对论里或在物理学里，讨论大于光速c的速度是没有意义的，一些认识到相对论是一个荒谬理论的人也总是试图寻找一种超光速运动粒子以期得到相对论的反证据，这些错误观念都是对洛仑兹变换及相对论盲目接受而造成的。我在《洛仑兹变换的困难》一文中论证了洛仑兹变换中的速度可以大于光速以至于无穷大，洛仑兹变换与伽利略变换的区别不在于它们所使用的速度的有限与无限，而在于粒子在一个惯性系中的速度趋于无限时，它在另一个惯性系中的速度有限还是无限。如果粒子在一个惯性系中的速度趋于无穷大，而在另一个惯性系中的速度趋于一有限值，就得到洛仑兹变换，显然这一条件违反惯性系平权原理。如果粒子在一个惯性系中的速度趋于无穷大，而在另一个惯性系中的速度也趋于无穷大，就得到伽利略变换，下面我们使用这一极限条件给出伽利略变换的严格证明。 设惯性系K’(x’,y’,z’,t’)沿惯性系K(x,y,z,t)的x轴正向以速度U=(u,0,0)匀速运动，自惯性系K到惯性系K’的正交 线性变换为A=(a ij) (i,j=1,2,3,4)，即 (x’,y’,z’,t’)=(x,y,z,t)A ① 令R=(x,y,z)，R’=(x’,y’,z’)，A11=(a ij) (i,j=1,2,3)，A12=(a i4) (i=1,2,3)，A21=(a4j) (j=1,2,3)，A22=(a44)，则由K到K’ 的线性变换可改写为 R’=RA11+tA21，t’=RA12+ta44② 于是 dR’/dt’=((dR/dt)A11+A21)/((dR/dt)A12+a44) 令dR/dt=V，dR’/dt’=V’，则V、V’分别表示运动粒子在K与K’系中的速度，上式可改写为 V’=(V A11+A21)/(VA12+a44) ③ 满足上述速度变换的初始条件有（1）洛仑兹变换与伽利略变换的公共条件：“V’=0，V=U”与“V=0，V’=–U”；（2）满足伽利略变换的极限条件：|V|→∞时，|V’|→∞。 将条件（2）代入，并令V/|V|=V0得 |V’|=|(V0A11+A21/|V|)/(V0A12+a44/|V|)|=|V0A11/V0A12|=∞(|V|→∞) 上式成立，必有A12’=0=(0,0,0) [注1]，于是③式变为 V’=V A11/a44+A21/a44④ 再将条件（1）代入④式，得 UA11/a44+A21/a44=0，A21/a44=–U 由此得 A21=–UA11，A21 =–Ua44 由于U=(u,0,0)，代入上式便得a12=a13=a42=a43=0，a41=–a11u，a44=a11，再由A12’=(0,0,0)得a14= a24=a34=0，代入④式，并令V=(v x,v y,v z)，V’=(v x’,v y’,v z’)，便得 (v x’,v y’,v z’)=(a11(v x–u)+a21v y +a31v z，a22v y +a32v z，a23v y +a33v z)/a11⑤ 由于对于v x’=0的点，v x =u，代入便得a21=a31=0；对于v y =0的点，v y’ =0，代入便得a32=0；对于v z =0的点，v z’ =0，代入便得a23=0，于是有 a12=a13= a14= a21=a23=a24= a31=a32=a34=a42=a43=0，a41=–a11u，a44=a11 将上述条件代入①式得 (x’,y’,z’,t’)=(x,y,z,t)A=(a11(x–ut)，a22y，a33z，a11t) ⑥ 又当t=0时，K与K’两惯性系重合，故当t=0时，有x’=x，y’=y，z’=z [注2] ，代入⑥式便得a11=a22=a33=1，这样就得到了伽利略变换为 (x’,y’,z’,t’)=( x–ut，y，z，t) 证毕。 [注1] A12’表示A12的转置。 [注2]显然这一条件是相对论所不容许的，但其合理性是不容置疑的。如果在式⑥中直接代入洛仑兹变换证明中的假定a22=a33=1，或根据洛仑兹变换证明中使用的惯性系平权原理：自K’系到K系的线性变换为A(-U)，且A(U)A(-U)=E，亦能得到a11=a22=a33=1，从而得到伽利略变换，恕不赘述。

经典力学与时空观

第五章经典力学与物理学的革命 第一节经典力学的成就与局限性 一．三维目标 知识与技能： 1、了解经典力学的发展历程，知道经典力学发展历程中有哪些物理学家作出了突出贡献． 2、了解经典力学所取得的伟大成就及其对当时自然科学、社会发展的影响． 3、认识经典力学的局限性和适用范围． 过程与方法： 1、通过收集对经典力学建立作出重要贡献的物理学家的故事，把科学成果的发现过程展现为历史的过程，即科学家是如何在前人的基础上进行求索的，并将科学家的成果放在特定的历史背景下去评说，从而让学生认识到历史的发展有承接，科学的发展也一样． 2、通过收集和交流具体实例来分析说明经典力学所取得的伟大成就，培养学生就某一观点或结论收集例证的能力，培养学生获取和评价信息的能力． 情感、态度与价值观： 1、通过查阅、对比、举例、交流等学习活动，培养学生自主学习的习惯和善于合作的意识；培养学生懂得尊重他人的成果、与他人合作交流的能力与习惯，锻炼学生在讨论与交流活动中敢于发表自己的感想和看法，共同探讨交流与合作学习的途径． 2、使学生领悟和感受科学研究方法的正确使用对科学发展的重要意义，体会经典力学在人类认识自然以及物理学发展中的重要影响和作用． 二、教学重难点：1、经典力学的概念，研究范围。 2、经典力学渗透的研究方法。 三、教学过程： 1．经典力学的发展历程 对经典力学发展历程的了解建议以学生自主学习和合作学习为主，可以课前将学生分小组，布置学生收集、查阅相关资料和书籍，有条件的学校可以组织学生上网查找经典力学发展史，在学生自学及小组内相互交流的基础上引导学生理清经典力学理论形成和发展的线索，建议从以下几个角度进行提炼和分析： (1)领会力学体系得以建立的原因． 一是生产需要的推动，由于生产实践为力学研究提出了许多问题，促使许多科学家投身于地上物体运动和天体运动规律的研究． 二是科学自身发展的要求． 三是因为力学研究的对象最简单，它抛开物体的物理、化学性质，只把它作为一个有质量的实体来看待，研究物体间的作用及在这一作用下物体运动状态的变化规律．四是有一系列科学家为牛顿力学的建立打下了重要的科学基础，特别是：(1)伽利略发现了惯性定律和重力作用下的匀加速运动，奠定了牛顿第一定律和第二定律的基本思想．②“天空的立法者”——开普勒所发现的行星运动三定律，是牛顿万有引力定律产生的最重要的前提．

牛顿运动定律与经典力学的时空观

引言： 牛顿运动三定律是整个经典力学的理论基础，本文通过牛顿运动三定律论证了经典力学的时空观，说明了经典力学的时空观的适用范围。爱因斯坦对牛顿经典时空观的否定，仅是在广义相对论中才能得以实现。 1 牛顿第一定律产生的“逻辑循环” 1.1研究背景 牛顿运动定律与经典力学的时空观是力学中一个重要内容。到目前为止，已有许多教材及论文对牛顿运动定律与经典力学的时空观进行了讨论。但他们大多讨论一些狭义的情况，即完全肯定经典力学时空观或全盘否定。本文从运动，发展，联系的角度，针对经典力学的时空观进行较深入的分析与论证。 1.2 研究的意义 爱因斯坦相对论的产生动摇了牛顿理论及其经典力学时空观在力学中的主导地位。本文就上述情况做出了分析并论证牛顿运动定律与经典力学的时空观的合理性及适用范围。 1.3 研究的目的 本文主要探讨以下三个重要问题： （1）牛顿第一定律的“逻辑循环”不影响它的科学性。 （2）牛顿三定律各自的本质意义。 （3）经典力学的时间观与空间观的联系。 1.4 牛顿第一定律存在的逻辑循环的原因 牛顿第一定律作为力学的第一条命题，必定带有“逻辑循环”的性质，但这并不影响它的科学性。 牛顿在《自然哲学的数学原理》一书中，对第一运动定律是这样陈述的： “每个物体继续保持其静止或匀速直线运动的状态，除非有力加于其上迫使它改变这种状态。”

这个陈述揭示了物质的一项基本属性——惯性，明确了力是改变物体运动状态的原因。下面阐述物体运动所选择的“参考系”。对此，牛顿声言他所研究的运动是在“绝对空间”和“绝对时间”中进行的“绝对运动”。他写道“绝对的、真正的数学时间自身地流逝着，而且由于其本性而均匀地与任何其他外界事物无关地流逝着。”“绝对的空间，就其本性而言，是与外界任何事物无关而永远相同的和不动的。”然而，自爱因斯坦创立狭义相对论以来，人们已经彻底否定了“绝对时空”的概念，脱离物质存在的所谓“绝对时间”、“绝对空间”及“绝对运动”只不过是一些形而上学的概念。然而，定律所述的运动是对惯性参照系而言的。现行教材对惯性参考系是这样定义的：“牛顿第一定律成立的参照系叫做惯性参照系或惯性系。”显然这个定义依赖于第一运动定律，即由第一运动定律来确定惯性参照系。 综上所述，牛顿第一运动定律是说一个物体不受外力，它相对于惯性系就做匀速直线运动；但是又只能根据一个物体相对于惯性系做匀速直线运动，才能肯定这个物体不受力；同时又只能根据一个物体不受力时做匀速直线运动，才能断定所用的参照系是惯性系。这样，就完全陷人了逻辑循环。 然而，必须认识到，牛顿第一运动定律的“逻辑循环”性质，并不影响它的科学性。实际上，惯性系是近似地存在着的，如地面以及相对地面静止或匀速直线运动的物体都是近似程度相当好的惯性系。正是在这些近似程度相当好的惯性参照系上的无数次科学实验活动，证实了牛顿力学的相对正确性，从而间接地验证了牛顿力学出发点的第一定律的正确性。 其实，物理学的所有定律都是在一定精确程度上而不可能是绝对精密地接受检验的。既然近似地存在着第一定律所描写的情况，这种近似性就不应当成为检验定律正确与否的障碍。第一定律之所以不能直接受实验检验的原因，除了找不到“绝对不受力”的运动之外，还在于它本身含有“逻辑循环”的性质。 关于牛顿第一定律存在的逻辑循环的原因，阐述如下：一门学科的出发点，即它的第一条（或第一批）命题，当然不能够通过从它（或它们）所导出的其他命题去证明，（否则，它就不再是第一条命题了）。因而，这第一条命题，如果不能借用其他科学内容的话，就往往含有逻辑循环的性质。因为，这样的一条命题只要不是空洞的、抽象的同一，它就必定要同时举出两个或两个以上未曾事先定义的概念（否则，就只能是毫无意义的A=A型的抽象同一）。换句话说，这第一条命题所包含的两个或更多的概念，都是在逻辑上无法严格定义的。因此，这条命题的正确性就不可能由这门学科的一般方法得到证明，而是要通过它的大量推论是否同实践经验相

3、伽利略变换

3、伽利略变换 1、惯性系： 力学的发展经牛顿总结成动力学三定律，牛顿三定律及其导出的各定理在伽利略变换下，对所有惯性系都有相同形式。这一表述通常称为力学相对性原理，伽利略变换不同惯性系的时空变换导出基于两个基本假定：一是相对性原理，另一个是时间和尺长在不同惯性系是相同的。 惯性系族：相对作匀速运动的所有惯性系称为惯性系族 设惯性系S 相对惯性系S 是同族惯性系，惯性系时空的均匀性决定了同一事件点在惯性系S 与S 中对应坐标矢()t z y x ,,,=r 与()t z y x ,,,=r 满足如下线性关系： t a z a y a x a t t a z a y a x a z t a z a y a x a y t a z a y a x a x 44434241343332312423222114131211+++=+++=+++=+++= （1-1） t a z a y a x a t t a z a y a x a z t a z a y a x a y t a z a y a x a x 44434241 34333231 24232221 14131211 '+'+'+'='+'+'+'='+'+'+'='+'+'+'= （1-2） 即 Ar r = ， r A r 1-= 惯性系空间的各向同性要求同一个惯性系在空间转动下不变，也即惯性系的空间是Euclid 空间，为了适当简化推导过程我们选择t 在S 系的空间投影为S 系的x 轴，同样选择t 在S 系的空间投影为S 系的x 轴，各自建立正交性的时空坐标，也即有 z z t y y t x x t x )()()(?+?+?=μ （2-1） z z t y y t x x t x )()()(?+?+?='μ （2-2） 在（2-1）式两边同时点乘y 或z ，由时空标架的正交性易得 0＝y t ?，0＝z t ? 于是 042＝a ，043=a ；042 ＝a '，043='a 同理 0＝y t ?，0＝z t ?

高一物理竞赛相对论：《伽利略变换》

（1） 如图2-2-1所示，有两个惯性 系S 和'S ， 它们对应的坐标轴相互平行， 且 当t ='t =0时，两系的坐标原点'O 与O 重合。 设'S 系相对于S 系沿x 轴正方向以速度u 运 动。 同一质点P 在某一时刻在S 系中的时空坐标为(x,y,z,t)，在S`系中的时空坐标为 （x’,y’,z’,t’） ???????===-=t t z z y y ut x x '''' 即 t u r r ??ρ-='或 (1) x=x ' ＋ｕｔ ?? ? ??===''' t t z z y y 即 t u r r ? ??+=' 式（1）称为伽利略时空坐标变换公式。 （２）将式（1）中的空间坐标分别对时间求一次导数得： ??? ??? ???====-=-==z z y y x x v dt dz v v dt dy v u v u dt dx dt dx v '' '''' 即u v v -=??' z ˊ ut y y ˊ O O ˊ P(x,y,z) (x’,y’,z’)u ? 图2-2-1

或??? ??? ???======+=+==z z y y x x v dt dz dt dz v v dt dy dt dy v u v u dt dx dt dx v '''''1 即u v v ???'+'= （2） 式（2）称为伽利略速度变换公式。 （3）将式（2）再对时间求一次导数得 ??? ??? ???=='='=='='=='='z z z z y y y y x x x x a dt dv dt v d a a dt dv dt v d a a dt dv dt v d a 即a a ??=' ??? ??' ='='=z z y y x x a a a a a a a a ? ?'= （3） 式（3）表明在伽利略变换下加速度保持不变。式（3）称为伽利略加速度变换公式。 2、2、2 经典力学的时空观 （1） t=t '，或Δt=Δt ' （4） （2） Δr '=2 12212212222)()()()()()(z z y y x x z y x -+-+-=?+?+?， Δr '=212212212222)()()()()()(z z y y x x z y x -+-+-=?+?+?。 因,,)()(1212121212 y y y y x x ut x ut x x x -='-'-=---='-' r r z z z z ?='?-='-'所以,1212 （5） 式（4）表明：在伽利略变换下，任何事件所经历的时间有绝对不变的量值，而与参照系的选择（或观测者的相对运动）无关。式（5）表明：在伽利略变换下，空间任何两点间的距离也有绝对不变的量值，而与参照系的选择测得的同一事件的时间间隔和空间任意两点间的距离都是绝对的不变量。这就是经典力学的时空观或者称之为绝对时

《经典时空观与相对论时空观》教案(2)

第一节经典力学的成就与局限性 (一)教学目标 1．知识与技能 (1)了解经典力学的发展历程，知道经典力学发展历程中有哪些物理学家作出了突出贡献。 (2)了解经典力学所取得的伟大成就及其对当时自然科学、社会发展的影响。 (3)认识经典力学的局限性和适用范围。 2．过程与方法 (1)通过收集对经典力学建立作出重要贡献的物理学家的故事，把科学成果的发现过程展现为历史的过程，即科学家是如何在前人的基础上进行求索的，并将科学家的成果放在特定的历史背景下去评说，从而让学生认识到历史的发展有承接，科学的发展也一样。 (2)通过收集和交流具体实例来分析说明经典力学所取得的伟大成就，培养学生就某一观点或结论收集例证的能力，培养学生获取和评价信息的能力。 (3)通过对比亚里士多德、伽利略、牛顿所采用的科学研究方法，了解科学研究方法不断发展的过程，学习科学实验研究方法的思想。 (4)通过查阅文献或网络资料撰写小论文，更多地了解经典力学的成就、局限性与适用范围，培养学生查阅文献的能力，筛选和组织信息的能力、交流和表述信息的能力。 3．情感、态度与价值观 (1)通过查阅、对比、举例、交流等学习活动，培养学生自主学习的习惯和善于合作的意识；培养学生懂得尊重他人的成果、与他人合作交流的能力与习惯，锻炼学生在讨论与交流活动中敢于发表自己的感想和看法，共同探讨交流与合作学习的途径。 (2)使学生领悟和感受科学研究方法的正确使用对科学发展的重要意义，体会经典力学在人类认识自然以及物理学发展中的重要影响和作用。 (3)感受物理学家充满着艰巨性和创造性的科学探究过程，体会科学家们忘我的献身精神和刻意追求的严谨作风，从而让学生更好地把握科学探究的本质，帮助学生建立起像科学家从事科学探究那样来学习科学的意识，领悟科学探究的真谛。 (4)感受物理学所揭示的自然规律中蕴藏着和谐、有序、简单、统一的科学美，培养学生对科学的审美能力，领悟自然界的内在秩序与和谐，唤起人的真、善、美的自然天性，达到认识和情感的完美统一。 (二)本节特点

机械能守恒定律与伽利略变换

机械能守恒定律与伽利略变换 上图中，弹簧右端连接到半径为R的均质圆盘中心，圆盘在地面上纯滚动.在纯滚 ?& 动的约束条件下，这个系统只有一个自由度，圆盘转动的角速度与盘心C的速度(

) v x =&关系为 （1） =//x R v R ?=&&在地面参照系下，系统动能为 (2) 22k 1122 C E mv J ?=+&其中为圆盘绕质心的转动惯量，对均质圆盘有，将这个关系和式(1),代入式 C J 2=/2C J mR (2)得到 2k 1322 m E x =?& 在地面参照系下，势能为 2p 12 E kx = 在地面参照系下，纯滚动为理想约束，墙壁给弹簧施加的力也不做功，所以系统机械能守恒.如果我们将弹簧拉伸了长度A ,然后将圆盘静止释放，那么系统机械能为.在振动过程中，机械能守恒的数学表现为 2/2E kA = (3) 222p k 1311()2222m E t E E x kx kA =+=?+?=& 对式(3)求导，可建立振动微分方程.考虑到初始速度为0，位移为A ，该微分方程的解为 (4) cos x A t ω= 式中. ω=伽利略变换是平动变换，对于上面的模型可以认为转动动能不变，在平动方面按照弹簧振子处理，显然机械能守恒定律满足伽利略变换，只不过机械能增加一个平动动能而已. 例2.地面上有两堵相互平行的刚性墙沿南北方向，其间有一刚性小球沿东西方向因与墙的碰撞来回运动.地面上小球的机械能守恒，但在沿东西方向匀速运动的小车上看，小球机械能不守恒. 错误分析：在小车上看，小球的速度等于地面的速度（-V ）加小球相对于地面的速度（一会儿是W 与墙碰后是-w ）.所以在小车上看，小球的速度是—V+W ，或-V-W.显然小球动能在跳跃式来回变化，机械能不守恒. 正确解答：在这里由于是弹性碰撞，弹力做功没有产生热能，也应该视为保守力.在地面系看来是弹性碰撞，应该理解为小球在压缩过程和还原过程中位移大小相等，平均力的大小不变，因此动能不变.在压缩过程中动能转化为势能，在还原过程中势能转化为动能. 如果在地面系选择起始时刻势能为0的话，在地面系看来除非碰撞过程外，势能始终为0. 在小车系看来，小球在压缩过程和还原过程中位移大小不再相等，平均力的大小不变，因此增加的势能转化为动能，或者减少的动能转化为势能.如果在小车系也选择起始时刻的势能为0的话，在非碰撞过程中势能也可以不等于0.由于动能定理具有伽利略变换的不变性，在小车系根据动能定理可以得到在碰撞过程中，弹力做功不等于0,因此由势能

第七章5相对论时空观与牛顿力学的局限性

第七章 5 相对论时空观与牛顿力学的局限性 问题？ 设想人类可以利用飞船以0.2c的速度进行星际航行。若飞船向正前方的某一星球发射一束激光，该星球上的观察者测量到的激光的速度是多少？ 生活经验让我们体会到，时间像一条看不见的“长河”，均匀地自行流逝着，空间像一个广阔无边的房间，它们都不影响物体及其运动。也就是说，时间与空间都是独立于物体及其运动而存在的。这种绝对时空观，也叫牛顿力学时空观。 我们知道，若河中的水以相对于岸的速度v水岸流动，河中的船以相对于水的速度v船水顺流而下，则船相对于岸的速度为 v船岸＝v船水＋v水岸 因此，前面问题的答案似乎应为1.2c。然而，事实并非如此！ 相对论时空观 19世纪，英国物理学家麦克斯韦根据电磁场理论预言了电磁波的存在，并证明电磁波的传播速度等于光速c。人们自然要问：这个速度是相对哪个参考系而言的？一些物理学家对这个问题进行了研究。在实验研究中，1887年的迈克耳孙—莫雷实验以及其他一些实验表明：在不同的参考系中，光的传播速度都是一样的！这与牛顿力学中不同参考系之间的速度变换关系不符。 在牛顿力学理论与电磁波理论的矛盾与冲突面前，一些物理学家仍坚持原有理论的基础观念，进行一些修补的工作，而爱因斯坦、庞加莱等人则主张彻底放弃某些与实验和观测不符的观念，如绝对时间的概念，提出能够更好地解释实验事实的假设。 爱因斯坦假设：在不同的惯性参考系中，物理规律的形式都是相同的；真空中的光速在不同的惯性参考系中大小都是相同的。 爱因斯坦的假说以及在此假说基础上得出的结论，经受住了实验的检验，对现代物理学和人类的思想发展都有很大的影响。 在经典物理学家的头脑中，如果两个事件在一个参考系中是同时的，在另一个参考系中一定也是同时的。但是，如果接受了爱因斯坦的两个假设，还是这样吗？假设一列火车沿平直轨道飞快地匀速行驶。车厢中央的光源发出了一个闪光，闪光照到了车厢的前壁和后壁。

05_01_伽利略相对论原理 经典力学的时空观

05_01 伽利略相对论原理 经典力学的时空观 1 伽利略相对性原理 力学相对性原理 —— 伽利略指出在相对作均速直线运动的所有惯性系中，物体运动的力学规律完全相同，即具有完全相同的数学表达形式。 绝对时空观 —— 绝对空间就其本质而言，是与任何外界事物无关，而且永远是相同的和不动的—经典力学的时空观，也称为绝对时空观。表现为空间任意两点距离的测量和两个事件发生的时间间隔都是相同的。 伽利略坐标变换式 —— 基于绝对时空观建立起来的经典力学中的伽利略坐标变换。 两个惯性参考系S （OXYZ ）和S’ (O’X’Y’Z’)，S’系沿X 轴以恒定速度u 相对于S 系运动。如图XCH001_064所示。 '0t t ==：S （OXYZ ）和S’ (O’X’Y’Z’)重合，空间一点P 在S’系中，在时刻t 的坐标： x x ut y y z z t t '=-??'=??'=??'=? —— 伽利略坐标变换式 位置变换：r r ut '=- 速度变换：v v u '=- 加速度变换：a a '= 力学规律的数学表达式具有伽利略坐标变换的协变性 —— 称为经典力学的相对性原理。 2 牛顿运动定律具有伽利略变换不变性 在惯性参考系S 中：F ma = 在惯性参考系S’中，根据伽利略变换：a a '= 经典力学中：m m '=，F F '= —— F m a '''= —— 经典力学所有的基本定律均满足伽利略坐标变换的协变性 —— 电磁场理论（麦克斯韦方程组）不具有伽利略坐标变换协变性 例题01 分别以地面S 和匀速运动的车S’为参照系，证明两个球发生对心弹性碰撞所遵守的守恒定律是伽利略的不变式。 设两球和车速度在一条直线上 —— 如图XCH001_152 以地面为参照系S ，两球发生对心弹性碰撞，其构成的 系统的动量和动能守恒，有 1102201122m v m v m v m v +=+

.欧拉方程具有伽利略变换的不变性

3.欧拉方程具有伽利略变换的不变性 在理想流体力学中动力学基本方程是欧拉方程： 或 2v 1(v )v G (1)v 11v v (v)G 2P t P t ρρ?+??=-?????????+?-???=-?? 下面证明欧拉方程在惯性坐标系变换下的协变性： 在方程（1）中G 、ρ、P 、t 是不变量，可直接变换为G /、ρ/、P /、t / ；v 变换为v /+u .其中u 是常矢，故 v u v u v u v v v v u v v '??+'=+'??+'=??' ?'?=?+'?=??)()()()(;)(t t t 再考虑算符▽z y x ??+??+??=k j i 的坐标变换，单位矢i 、j 、k 都是不变量，可用i /、j /、k /代入，y 、z 用y /、z /代入.但 x x t u x ut x x x x x x ' ????-=?-?'??=?'?'??=??)1()(， 当算符▽所作用场量为压强P 时，t 与x 可认为是独立坐标，从而P P x x x t '?'=?' ??=??=??,,0 当算符▽作用于场量v 时，t 与x 是相关的，x v dt dx t x ==??，从而x v u x x '??-=??)1( =?∴?'??'+'-?'='??'-?'='??'+'??'+'??'-x u v u x v u z y x v u x x x i i k j i )1(-----（2） 将（2）式代入 ?'?'=' ??-?'?+?'?'='??+'?+'-?'?+?'?'='??'+'- ?'?+'=??+'=??v u v i u v u v i u v u v v x u x u v u x u v u x x )()()()( 欧拉方程最终变换为： P t '?''-'='?'?'+'?'?ρ1)(G v v v .可见，欧拉方程在x /系中的形式与在x 系中形式完全相同. 欧拉方程在惯性坐标系变换下协变是意料 中的，因为欧拉方程是牛顿运动定律在流体力 学中的表达，而牛顿运动定律对伽利略变换是 协变的，故对欧拉方程自然也协变.

5 相对论时空观与牛顿力学的局限性

相对论时空观与牛顿力学的局限性 核心素养目标 物理观念 知道爱因斯坦的两条假设，了解时间延缓效应、长度收缩效应，认识牛顿力学的成就与局限性。 科学思维 知道牛顿力学的适用范围，认识物理学中理论的相对稳定 性，要有质疑精神。 科学探究 认识迈克耳孙—莫雷实验对光速不变原理的推动作用，体 会实验和理论的相互关系。 知识点一 相对论时空观 1.爱因斯坦假设 (1)在不同的惯性参考系中，物理规律的形式都是相同的。 (2)真空中的光速在不同的惯性参考系中大小都是相同的。 2.时间延缓效应 如果相对于地面以v 运动的惯性参考系上的人观察到与其一起运动的物体完成某个动作的时间间隔为Δτ，地面上的人观察到该物体在同一地点完成这个动作的时间间隔为Δt ，那么两者之间的关系是Δt ＝Δτ 1－? ????v c 2 由于1－? ?? ??v c 2<1，所以总有Δt >Δτ，此种情况称为时间延缓效应。 3.长度收缩效应 如果与杆相对静止的人测得杆长是l 0，沿着杆的方向，以v 相对杆运动的人测得杆长是l ，那么两者之间的关系是l ＝l 01－? ?? ??v c 2 由于1－? ?? ??v c 2<1，所以总有l

凡是牛顿运动定律成立的参考系，称为惯性参考系，简称惯性系。 ①所有相对于惯性系做匀速直线运动的参考系都是惯性系。 ②所有相对于惯性系做变速运动的参考系都是非惯性系。 运动物体的长度(空间距离)和物理过程的快慢(时间进程)都跟物体的运动状态有关。 知识点二牛顿力学的成就与局限性 1.牛顿力学的成就 从地面上物体的运动到天体的运动，从拦河筑坝、修建桥梁到设计各种机械，从自行车到汽车、火车、飞机等现代交通工具的运动，从投出篮球到发射导弹、人造地球卫星、宇宙飞船……所有这些都服从牛顿力学的规律。 2.牛顿力学的局限性 (1)牛顿力学不适用于高速运动。 (2)物理学研究深入到微观世界，发现了电子、质子、中子等微观粒子，而且发现它们不仅具有粒子性，同时还具有波动性，它们的运动规律在很多情况下不能用牛顿力学来说明。 3.牛顿力学的适用范围 只适用于低速运动，不适用于高速运动；只适用于宏观世界，不适用于微观世界。,牛顿力学经历了实验检验，不会被新的科学所否定。它以某种特殊情形被包含在新的理论之中。 核心要点一相对论时空观

经典时空观与相对论时空观

经典时空观与相对论时空观 吴绍轩 海洋资源与环境一班 2220133807 【摘要】比较经典时空观与现代时空观的区别，阐述相对论时空观的主要思想。【关键词】时空观、经典时空观、相对论时空观、爱因斯坦、牛顿 一、经典时空观 经典力学认为时间和空间都是绝对的,同一个事件不同状态的人测量情况一样. 经典力学总结了低速物体的运动规律，它反映了牛顿的绝对时空观。绝对时空观认为时间和空间是两个独立的观念，彼此之间没有联系，分别具有绝对性。绝对时空观认为时间与空间的度量与惯性参照系的运动状态无关，同一物体在不同惯性参照系中观察到的运动学量（如坐标、速度）可通过伽利略变换而互相联系。这就是力学相对性原理：一切力学规律在伽利略变换下是不变的。 经典时空理论承认时间和空间的客观存在，牛顿认为时间和空间与物质及其运动无关。时间的坐标系和空间的坐标系是完全脱离物质而独立存在的，时间间隔与空间间隔在不同的惯性系中保持不变，即时间和空间观念与物质运动状态无关且时间和空间彼此无关，各自独立存在。 自十七世纪以来，牛顿力学不断发展并取得了巨大的成就，以牛顿力学为基础建立了天体力学、应用力学等等，从地面上的各种物体的运动，各种现代化交通工具的、及天体的运动，都服从牛顿力学的规律，这些充分说明了牛顿力学规律的正确性。 在十九世纪末，以牛顿力学为基础的经典物理理论，在解释新实验事实时遇到了困难。电磁理论的发展和十九世纪中叶麦克斯韦方程建立后，绝对时空观面临着严峻的局面。按麦克斯韦方程中存在的常数C[4]，表明电磁波在真空中沿个方向均以不变的速度C传播，这与伽利略相对性原理发生了矛盾。因为根据绝对时空观的经典速度合成定理，在不同惯性系中，光的传播速度不应在各个方向均相等。似乎只有在某一特殊参考系中麦氏方程才取标准形式，光在各个方向上均以C传播。人们曾引入“以太”假设[3]，认为“以太”充满宇宙空间并 绝对静止，光是以“以太”介质中的波动，相应于“以太”的惯性参考系就是那个特殊的参考系。这样，“以太”就充当了“绝对空间”的角色。通过测定物体相对于“以太”的“绝对运动”所引起的“以太风”就可期望找到“以太”。然而，尽管人们赋予“以太”各种各样光怪陆离的性质，仍难自圆其说。且反复实验的结果都是否定的，根本发现不了“以太风”。相反却证明了在任何惯性系中光速都是不变的。1887年的迈克尔孙——莫雷实验可看作否 定“以太”的判决性实验，这使得牛顿绝对时空观遇到了根本性的困难。