(完整版)空间向量与立体几何题型归纳

空间向量与立体几何

1, 如图，在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD （1）证明AB⊥平面VAD；

（2）求面VAD与面VDB所成的二面角的大小

2, 如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB=， BC=1，PA=2，E为PD的中点.

（1）求直线AC与PB所成角的余弦值；

（2）在侧面PAB内找一点N，使NE⊥平面PAC，并求出N点到AB和AP的距离.(易错点,建系后,关于N点的坐标的设法,也是自己的弱项)

3. 如图，在长方体ABCD ―A 1B 1C 1D 1中，AD=AA 1=1，AB=2，点E 在棱AB 上移动.

（1）证明：D 1E ⊥A 1D ；

（2）当E 为AB 的中点时，求点A 到面ECD 1的距离；

（3）AE 等于何值时，二面角D 1―EC ―D 的大小为(易错点:在找平面DEC 的法向量的时候,本来法向量就己经存在了,就不必要再去找,但是我认为去找应该没有错吧,但法向量找出来了,和那个己经存在的法向量有很大的差别,而且,计算结果很得杂,到底问题出在哪里?)

4. 如图，直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是等腰梯形，AB ∥CD ，AB ＝2DC ＝2，E 为BD 1的中点，F 为AB 的中点，∠DAB ＝60°．

(1)求证：EF ∥平面ADD 1A 1；

(2)若2

21

BB ，求A 1F 与平面DEF 所成角的正弦值．

N：5题到11题都是运用基底思想解题

5.空间四边形ABCD中，AB=BC=CD，AB⊥BC，BC⊥CD，AB与CD成60度角，求AD与BC所成角的大小。

6.三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是边长为2的正三角形，∠A1AB=45°, ∠A1AC=60°,求二面角B-AA1-C的平面角的余弦值。

7.如图，60°的二面角的棱上有A,B两点，直线AC,BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB,已知AB=4,AC=6,BD=8，求CD的长

8.如图，已知空间四边形OABC中，OB=0C, ∠AOB=∠AOC=Θ，求证OA⊥BC。

9．如图，空间四边形OABC各边以及AC，BO的长都是1，点D，E分别是边OA，BC的中点，连接DE。

（1）计算DE的长；

（2）求点O到平面ABC的距离。

10．如图，线段AB在平面⊥α，线段AC⊥α，线段BD⊥AB，且AB=7，AC=BD=24，CD=25，求线段BD与平面α所成的角。

11．如图，平行六面体ABCD-A′B′C′D′中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱AA′的长为b，且∠A′AB=∠A′AD=120°，求（1）AC′的长；（2）直线BD′与AC夹角的余弦值。

N:12题到14题为建系问题

12.已知△ABC和△DBC所在的平面互相垂直，且AB=BC=BD，∠CBA=∠DBC=120°,求

(1)直线AD与平面BCD所成角的大小;

(2)直线AD与直线BC所成角的大小;

(3)二面角A-BD-C的余弦值.

13.在如图的试验装置中,正方形框架的边长都是1,且平面ABCD与平面ABEF互相垂直.活动弹子M,N分别在正方形对角线AC和BF上移动,且CM和BN的长度保持相等,记CM=BM=a(0＜a＜√2).

(1)求MN的长;(2)a为何值时,MN的长最小;(3)当MN的长最小时,求面MNA与面MNB所成二面角的余弦值.

14.如图,把正方形纸片ABCD沿对角线AC折成直二面角,点E,F分别为AD,BC的中点,点O 是原正方形ABCD的中心,求折纸后的∠EOF大小.

(完整版)空间向量与立体几何题型归纳

空间向量与立体几何 1, 如图，在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD （1）证明AB⊥平面VAD； （2）求面VAD与面VDB所成的二面角的大小 2, 如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB=， BC=1，PA=2，E为PD的中点. （1）求直线AC与PB所成角的余弦值； （2）在侧面PAB内找一点N，使NE⊥平面PAC，并求出N点到AB和AP的距离.(易错点,建系后,关于N点的坐标的设法,也是自己的弱项)

3. 如图，在长方体ABCD ―A 1B 1C 1D 1中，AD=AA 1=1，AB=2，点E 在棱AB 上移动. （1）证明：D 1E ⊥A 1D ； （2）当E 为AB 的中点时，求点A 到面ECD 1的距离； （3）AE 等于何值时，二面角 D 1―EC ―D 的大小为(易错点:在找平面DEC 的法向量的时候,本来法向量就己经存在了,就不必要再去找,但是我认为去找应该没有错吧,但法向量找出来了 ,和那个己经存在的法向量有很大的差别,而且,计算结果很得杂,到底问题出在哪里 ?) 4.如图，直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是等腰梯形，AB ∥CD ，AB ＝2DC ＝2，E 为BD 1的中点，F 为AB 的中点，∠DAB ＝60°． (1)求证：EF ∥平面ADD 1A 1； (2)若2 21BB ，求A 1F 与平面DEF 所成角的正弦值．

N：5题到11题都是运用基底思想解题 5.空间四边形ABCD中，AB=BC=CD，AB⊥BC，BC⊥CD，AB与CD成60度角，求AD与BC所成角的大小。 6.三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是边长为2的正三角形，∠A1AB=45°, ∠A1AC=60°,求二面角B-AA1-C的平面角的余弦值。 7.如图，60°的二面角的棱上有A,B两点，直线AC,BD分别在这个二面角的两个半平面内， 且都垂直于AB,已知AB=4,AC=6,BD=8，求CD的长 8.如图，已知空间四边形OABC中，OB=0C, ∠AOB=∠AOC=Θ，求证OA⊥BC。 9．如图，空间四边形OABC各边以及AC，BO的长都是1，点D，E分别是边OA，BC的中点，连接DE。 （1）计算DE的长； （2）求点O到平面ABC的距离。 10．如图，线段AB在平面⊥α，线段AC⊥α，线段BD⊥AB，且AB=7，AC=BD=24，CD=25，求线段BD与平面α所成的角。

空间向量知识点归纳总结

空间向量知识点归纳总结 知识要点。 1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。 注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。 （2）空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示。 2. 空间向量的运算。 定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。 OB OA AB a b =+=+;BA OA OB a b =-=-;()OP a R λλ=∈ 运算律：⑴加法交换律：a b b a +=+ ⑵加法结合律：)()(c b a c b a ++=++ ⑶数乘分配律：b a b a λλλ+=+)( 3. 共线向量。 （1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线 向量或平行向量，a 平行于b ，记作b a //。 当我们说向量a 、b 共线（或a //b ）时，表示a 、b 的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线。 （2）共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a //b 存在实数λ，使a ＝

λb 。 4. 共面向量 （1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。 说明：空间任意的两向量都是共面的。 （2）共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线，p 与向量,a b 共面的条件是存在实数 ,x y 使p xa yb =+。 5. 空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组,,x y z ，使p xa yb zc =++。 若三向量,,a b c 不共面，我们把{,,}a b c 叫做空间的一个基底，,,a b c 叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。 推论：设,,,O A B C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数 ,,x y z ，使OP xOA yOB zOC =++。 6. 空间向量的直角坐标系： （1）空间直角坐标系中的坐标： 在空间直角坐标系O xyz -中，对空间任一点A ，存在唯一的有序实数组(,,)x y z ，使 ++=，有序实数组(,,)x y z 叫作向量A 在空间直角坐标系O xyz -中的坐标，记作 (,,)A x y z ，x 叫横坐标，y 叫纵坐标，z 叫竖坐标。 （2）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫单位正交基底，

高中数学-空间直角坐标系与空间向量典型例题

高中数学-空间直角坐标系与空间向量 一、建立空间直角坐标系的几种方法 构建原则： 遵循对称性，尽可能多的让点落在坐标轴上。 作法： 充分利用图形中的垂直关系或构造垂直关系来建立空间直角坐标系． 类型举例如下： （一）用共顶点的互相垂直的三条棱构建直角坐标系 例1 已知直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2，底面ABCD 是直角梯形，∠ A 为直角，A B ∥CD ，AB ＝4，AD ＝2，D C ＝1，求异面直线BC 1与DC 所成角的余弦 值． 解析：如图1，以D 为坐标原点，分别以DA 、DC 、DD 1所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，则C 1（０，1，2）、B （2，4，０）， ∴1(232)BC =--u u u u r ，，，(010)CD =-u u u r ，，． 设1BC u u u u r 与CD uuu r 所成的角为θ， 则11317 cos 17BC CD BC CD θ== u u u u r u u u r g u u u u r u u u r ． （二）利用线面垂直关系构建直角坐标系 例2 如图2，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ⊥侧面BB 1C 1C ，E 为棱CC 1上异于 C 、C 1的一点，EA ⊥EB 1．已知2AB = ，BB 1＝2，BC ＝1，∠BCC 1＝ 3 π ．求二面角A －EB 1－A 1的平面角的正切值． 解析：如图2，以B 为原点，分别以BB 1、BA 所在直线为y 轴、z 轴，过B 点垂直于平面AB 1的直线为x 轴建立空间直角坐标系． 由于BC ＝1，BB 1＝2，AB ＝ 2，∠BCC 1＝ 3 π，

高考立体几何大题20题汇总情况

高考立体几何大题20 题汇总情况 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

(2012江西省）（本小题满分12分） 如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，E ，F 是线段AB 上的两点，且DE ⊥AB ，CF ⊥AB ，AB=12，AD=5， BC=42，DE=4.现将△ADE ，△CFB 分别沿DE ，CF 折起，使A ，B 两点重合与点G ，得到多面体CDEFG. （1） 求证：平面DEG ⊥平面CFG ； （2)求多面体C DEFG 的体积。 2012，山东(19) (本小题满分12分) 如图，几何体E ABCD -是四棱锥，△ABD 为正三角形， ,CB CD EC BD =⊥. (Ⅰ)求证：BE DE =； (Ⅱ)若∠120BCD =?，M 为线段AE 的中点，求证：DM ∥平面BEC . 2012浙江20．（本题满分15分）如图，在侧棱锥垂直 底面的四棱锥1111ABCD A B C D -中，,AD BC //AD 11,2,2,4,2,AB AB AD BC AA E DD ⊥====是的中 点，F 是平面11B C E 与直线1AA 的交点。 （Ⅰ）证明：（i） 11;EF A D //ii （）111;BA B C EF ⊥平面 （Ⅱ）求1BC 与平面11B C EF 所成的角的正弦值。 (第20题图) F E C 1 B 1 D 1A 1 A D B C

（2010四川）18、(本小题满分12分)已知正方体''''ABCD A B C D -中，点M 是棱'AA 的中点，点O 是对角线'BD 的中点， （Ⅰ）求证：OM 为异面直线'AA 与'BD 的公垂线； （Ⅱ）求二面角''M BC B --的大小； 2010辽宁文（19）（本小题满分12分） 如图，棱柱111ABC A B C -的侧面11BCC B 是菱形，11B C A B ⊥ （Ⅰ）证明：平面11A B C ⊥平面11A BC ； （Ⅱ）设D 是11A C 上的点，且1//AB 平面1B CD ，求11:A D DC 的值。

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空间向量与立体几何 1,如图，在四棱锥V-ABCD中，底面 ABCD是正方形，侧面 VAD是正三角形，平面 VAD⊥底面 ABCD （1）证明 AB⊥平面 VAD； （2）求面 VAD与面 VDB所成的二面角的大小 2, 如图所示，在四棱锥 P— ABCD中，底面 ABCD为矩形，侧棱 PA⊥底面 ABCD，AB= ， BC=1， PA=2， E 为 PD的中点 . （1）求直线 AC与 PB所成角的余弦值； （2）在侧面 PAB内找一点 N，使 NE⊥平面 PAC，并求出 N点到 AB和 AP的距离 .( 易错点 , 建系后, 关于 N 点的坐标的设法 , 也是自己的弱项 )

3.如图，在长方体ABCD― A1 B1 C1D1中， AD=AA1=1， AB=2，点 E 在棱 AB上移动 . （1）证明： D1E⊥A1D； （2）当 E 为 AB的中点时，求点 A 到面 ECD1的距离； （3）AE 等于何值时，二面角 D1― EC― D的大小为( 易错点 : 在找平面 DEC的法向量的时候 , 本 来法向量就己经存在了, 就不必要再去找, 但是我认为去找应该没有错吧, 但法向量找出来了, 和那个己经存在的法向量有很大的差别, 而且 , 计算结果很得杂, 到底问题出在哪里?) 4.如图，直四棱柱 ABCD － A1 B1C1D1中，底面 ABCD 是等腰梯形， AB ∥ CD ， AB ＝ 2DC ＝ 2， E 为 BD 1的中点， F 为 AB 的中点，∠ DAB ＝ 60°． (1)求证： EF ∥平面 ADD 1A1； 2 1 (2) 若BB12 ，求 A F 与平面 DEF 所成角的正弦值．

立体几何题型的解题技巧适合总结提高用

第六讲 立体几何新题型的解题技巧 考点1 点到平面的距离 例1（2007年福建卷理）如图，正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都为2，D 为1CC 中点． （Ⅰ）求证：1AB ⊥平面1A BD ； （Ⅱ）求二面角1A A D B --的大小； （Ⅲ）求点C 到平面1A BD 的距离． 例2.( 2006年湖南卷)如图,已知两个正四棱锥P -ABCD 与Q -ABCD 的高分别为1和2,AB =4. (Ⅰ)证明PQ ⊥平面ABCD ； (Ⅱ)求异面直线AQ 与PB 所成的角； (Ⅲ)求点P 到平面QAD 的距离. 考点2 异面直线的距离 例3已知三棱锥ABC S -，底面是边长为24的正三角形，棱SC 的长为2，且垂直于底面.D E 、分别为AB BC 、的中点，求CD 与SE 间的距离. 考点3 直线到平面的距离 例4．如图，在棱长为2的正方体1AC 中，G 是1AA 的中点，求BD 到平面11D GB 的距离. 考点4 异面直线所成的角 例5（2007年北京卷文） 如图，在Rt AOB △中，π6OAB ∠=，斜边4AB =．Rt AOC △可以通过Rt AOB △以直线AO 为轴旋转得到，且二面角B AO C --的直二面角．D 是AB 的中点． （I ）求证：平面COD ⊥平面AOB ； （II ）求异面直线AO 与CD 所成角的大小． 例6．（2006年广东卷）如图所示，AF 、DE 分别是⊙O 、⊙O 1的直径.AD 与两圆所在的平面均垂直，AD ＝8,BC 是⊙O 的直径，AB ＝AC ＝6，OE //AD . (Ⅰ)求二面角B —AD —F 的大小； (Ⅱ)求直线BD 与EF 所成的角. 考点5 直线和平面所成的角 例7.（2007年全国卷Ⅰ理） B A C D O G H 1 A 1 C 1D 1 B 1O Q B C P A D O M A B C D 1 A 1 C 1 B O C A D B E

利用空间向量求空间角考点与题型归纳

利用空间向量求空间角考点与题型归纳 一、基础知识 1．异面直线所成角 设异面直线a ，b 所成的角为θ，则cos θ＝|a ·b | |a ||b | ? ， 其中a ，b 分别是直线a ，b 的方向 向量． 2．直线与平面所成角 如图所示，设l 为平面α的斜线，l ∩α＝A ，a 为l 的方向向量，n 为平面α的法向量， φ为l 与α所成的角，则sin φ＝|cos 〈a ，n 〉|＝|a ·n | |a ||n | ? . 3．二面角 (1)若AB ，CD 分别是二面角α-l -β的两个平面内与棱l 垂直的异面直线，则二面角(或其补角)的大小就是向量AB ―→与CD ―→ 的夹角，如图(1)． (2)平面α与β相交于直线l ，平面α的法向量为n 1，平面β的法向量为n 2，〈n 1，n 2〉＝θ，则二面角α -l -β为θ或π－θ.设二面角大小为φ，则|cos φ|＝|cos θ|＝ |n 1·n 2| |n 1||n 2| ? ，如图(2)(3)． 两异面直线所成的角为锐角或直角，而不共线的向量的夹角为(0，π)，所以公式中要加绝对值． 直线与平面所成角的范围为????0，π 2，而向量之间的夹角的范围为[0，π]，所以公式中要加绝对值． 利用公式与二面角的平面角时，要注意〈n 1，n 2〉与二面角大小的关系，是相等还是互

补，需要结合图形进行判断． 二、常用结论 解空间角最值问题时往往会用到最小角定理 cos θ＝cos θ1cos θ2. 如图，若OA 为平面α的一条斜线，O 为斜足，OB 为OA 在平面α内的射影，OC 为平面α内的一条直线，其中θ为OA 与OC 所成的角，θ1为OA 与OB 所成的角，即线面角，θ2为OB 与OC 所成的角，那么cos θ＝cos θ1cos θ2. 考点一 异面直线所成的角 [典例精析] 如图，在三棱锥P -ABC 中，P A ⊥底面ABC ，∠BAC ＝90°.点D ，E ，N 分别为棱P A ，PC ，BC 的中点，M 是线段AD 的中点，P A ＝AC ＝4，AB ＝2. (1)求证：MN ∥平面BDE ； (2)已知点H 在棱P A 上，且直线NH 与直线BE 所成角的余弦值为7 21 ，求线段AH 的长． [解] 由题意知，AB ，AC ，AP 两两垂直，故以A 为原点，分别以AB ―→，AC ―→，AP ―→ 方向为x 轴、y 轴、z 轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系．依题意可得A (0，0,0)，B (2，0,0)，C (0,4,0)，P (0，0,4)，D (0,0,2)，E (0,2,2)，M (0，0,1)，N (1,2,0)． (1)证明：DE ―→＝(0,2,0)，DB ―→ ＝(2,0，－2)． 设n ＝(x ，y ，z )为平面BDE 的法向量， 则????? n ·DE ―→＝0，n ·DB ―→＝0， 即????? 2y ＝0，2x －2z ＝0. 不妨取z ＝1，可得n ＝(1,0,1)．

立体几何解题方法总结

1.判定两个平面平行的方法： （1）根据定义——证明两平面没有公共点； （2）判定定理——证明一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面； （3）证明两平面同垂直于一条直线。 2.两个平面平行的主要性质： ⑴由定义知：“两平行平面没有公共点”。 ⑵由定义推得：“两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。 ⑶两个平面平行的性质定理：“如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行”。 ⑷一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。 ⑸夹在两个平行平面间的平行线段相等。 ⑹经过平面外一点只有一个平面和已知平面平行。 3.空间的角和距离是空间图形中最基本的数量关系，空间的角主要研究射影以及与射影有关的定理、空间两直线所成的角、直线和平面所成的角、以及二面角和二面角的平面角等．解这类问题的基本思路是把空间问题转化为平面问题去解决． 空间的角，是对由点、直线、平面所组成的空间图形中各种元素间的位置关系进行定量 分析的一个重要概念，由它们的定义，可得其取值范围，如两异面直线所成的角θ∈(0，2 π ]， 直线与平面所成的角θ∈0,2π?? ????，二面角的大小，可用它们的平面角来度量，其平面角θ∈[0， π ]． 对于空间角的计算，总是通过一定的手段将其转化为一个平面内的角，并把它置于一个平面图形，而且是一个三角形的内角来解决，而这种转化就是利用直线与平面的平行与垂直来实现的， 如求异面直线所成的角常用平移法（转化为相交直线）与向量法；求直线与平面所成的角常利用射影转化为相交直线所成的角；而求二面角－l －的平面角（记作）通常有以 下几种方法： (1) 根据定义； (2) 过棱l 上任一点O 作棱l 的垂面 ，设 ∩ ＝OA ， ∩ ＝OB ，则∠AOB ＝ ； (3) 利用三垂线定理或逆定理，过一个半平面内一点A ，分别作另一个平面的垂线 AB (垂足为B ),或棱l 的垂线AC (垂足为C )，连结AC ，则∠ACB ＝ 或∠ACB ＝－； (4) 设A 为平面外任一点，AB ⊥ ，垂足为B ，AC ⊥ ，垂足为C ，则∠BAC ＝ 或 ∠BAC ＝－； (5) 利用面积射影定理，设平面 内的平面图形F 的面积为S ，F 在平面 内的射影图形

高中数学典型例题解析平面向量与空间向量

高中数学典型例题分析 第八章 平面向量与空间向量 §8.1平面向量及其运算 一、知识导学1.模（长度）：向量的大小，记作||。长度为０的向量称为零向量，长度等于１个单位长度的向量，叫做单位向量。 2.平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，又叫做共线向量。 3.相等向量：长度相等且方向相同的向量。 4.相反向量：我们把与向量a 长度相等，方向相反的向量叫做a 的相反向量。记作-a 。 5.向量的加法：求两个向量和的运算。 已知a ，b 。在平面内任取一点，作AB =a ，BC =b ，则向量AC 叫做a 与b 的和。 记作a +b 。 6. 向量的减法：求两个向量差的运算。 已知a ，b 。在平面内任取一点O ，作OA =a ，OB =b ，则向量BA 叫做a 与b 的差。 记作a -b 。 7.实数与向量的积： （1）定义： 实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，并规定： ①λa 的长度|λa |=|λ|·|a |； ②当λ＞0时，λa 的方向与a 的方向相同； 当λ＜0时，λa 的方向与a 的方向相反； 当λ＝0时，λa =0 （2）实数与向量的积的运算律：设λ、μ为实数，则 ①λ(μa )=(λμ) a ②(λ+μ) a =λa +μa ③λ(a +)=λa +λ 8.向量共线的充分条件：向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b ＝λa 。 另外，设a =（x 1 ,y 1）, b = (x 2,y 2)，则a //b x 1y 2－x 2y 1=0 9.平面向量基本定理： 如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1、λ 2 使 a ＝λ11e ＋λ22e ，其中不共线向量1e 、2e 叫做表示这一

高中立体几何大题20题汇总

(2012江西省）（本小题满分12分） 如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，E，F是线段AB上的两点，且DE⊥AB，CF⊥AB，AB=12，AD=5，BC=42，DE=4.现将△ADE，△CFB分别沿DE，CF折起，使A，B两点重合与 点G，得到多面体CDEFG. （1）求证：平面DEG⊥平面CFG； （2)求多面体CDEFG的体积。 【解析】（1）由已知可得AE=3，BF=4，则折叠完后EG=3，GF=4，又因为EF=5，所以可得EGGF又因为CF底面EGF,可得CFEG，即EG面CFG所以平面DEG⊥ 平面CFG. （2）过G作GO垂直于EF，GO即为四棱锥G-EFCD的高，所以所求体积为 1112 S正方形GO5520 DECF 335 Word资料

2012，山东(19)(本小题满分12分) 如图，几何体EABCD是四棱锥，△ABD为正三角形， CBCD,ECBD. (Ⅰ)求证：BEDE； (Ⅱ)若∠BCD120，M为线段AE的中点，求证：DM∥平面BEC. 解：设BD中点为O，连接OC，OE，则由BCCD知，COBD， 又已知CEBD，所以BD平面OCE. 所以BDOE，即OE是BD的垂直平分线， 所以BEDE. (II)取AB中点N，连接MN,DN， ∵M是AE的中点，∴MN∥BE，∵△ABD是等边三角形，∴DNAB. 由∠BCD＝120°知，∠CBD＝30°，所以∠ABC＝60°+30°＝90°，即BCAB，所以ND∥BC， 所以平面MND∥平面BEC，故DM∥平面BEC. Word资料

BC2012浙江20．（本题满分15分）如图，在侧棱锥垂直 底面的四棱锥ABCDA1B1C1D1中，AD//BC,AD A D FE AB,AB2,AD2,BC4,AA2,E是DD的中点，F 11 是平面B1C1E与直线AA1的交点。A1 B1 D1 (第20题图) C1 （Ⅰ）证明：（i）E F//A 1D1;（ii）BA1平面B1C1EF; （Ⅱ）求B C与平面 1 B CEF所成的角的正弦值。 11 解析：本题主要考查空间点、线、面位置关系，线面所成角等基础知识，同时考查空间想象能力和推理认证能力。 （Ⅰ）（i）因为C1B1//A1D1,C1D1平面ADD1A1,所以C1B1//平面A1D1DA. 又因为平面B1C1EFI平面A1D1DAEF,所以C1B1//EF, 所以A1D1//EF. （ii）因为BB1平面A1B1C1D1,所以BB1B1C1. 又因为B1C1B1A1,所以B1C1平面ABB1A1,所以B1C1BA1. 2 在矩形ABB1A1中,F是AA1的中点，tanA1B1FtanAA1B, 2 即A1B1FAA1BBA1B1F. 所以BA1平面B1C1EF. A B C D （Ⅱ）设BA1与B1F交点为H，连接C1H, 由（Ⅰ）知BA1平面B1C1EF. F E H B1 A1 D1 C1

空间向量题型归纳总结

空间向量题型归纳总结 类型一：空间向量的概念 1.给岀下列命题： ① 若a//b ，则存在为唯一的实数 ?，使得a =；$.b ② 若a//b,b//c ，则a 与c 所在直线平行 ③ 已知 a _b ，则 a （b ■ c ） ■ c （b _a ）二b c ④ A, B, M ,N 为空间四点，若 BA, BM , BN 不构成空间一个基底，则 A,B,M ,N 共面 已知｛a, b,c ｝是空间的一个基底，则基向量 a, b 可以与向量m=a 亠c 构成空间一个基底 则正确的命题的序号为： — 3 " 1 ' 1 — 2.若A,B,C 不共线，对于空间任意一点 0都有OP OA OB 0C ,贝U P,A, B,C 四点（ ） 4 8 8 ] ] ] 1 I 3.已知A,B,C 三点不共线，对平面 ABC 外一点0，给出下列表达式： OM =xOA - yOB 0C ，其中 3 x, y 是实数，若 点M 与A, B,C 四点共面，贝U x y 二 _____________ 类型二：空间向量的运算（1代数运算，2坐标运算） 4.在四面体OABC 中，G 是底面^ABC 的重心，则OG 等于（） 1 — 1 — 1 — OA OB OC B. 2 2 2 111 ■ —OA+—OB+— OC D. 3 3 3 A.不共面 B.共面 C.共线 D.不共线 A. OA OB OC C. 1 ■ 1 - —OA —OB 2 3

5.已知空间四边形 OABC ，其对角线为 OB,AC,M,N 分别是边OA,CB 的中点，点G 在线段MN 上，且 使 MG =2GN ， 用向量OA,OB,OC 表示OG 是（） 6.设O -ABC 是正三棱锥，G i 是AABC 的重心，G 是OG i 上的一点，且OG =3GG i ，若 OG =xOA yOB zOC ， 则（x, y,z ）为（） 7.空间四边形OABC ，各边及对角线长都相等， E,F 分别为AB,OC 的中点，求OE 与BF 所成的角 8.如图，空间四边形 OABC 中，O A 二a,OB =b,OC =c ，点M 在线段OA 上，且OM =2MA ，点N 为 BC 的中点, 则 MN 二（） 9.在四棱柱ABC^A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若 AB 1 =a ，&D 1二b ，"A 二c ，则下列 向量中与B 1M 相等的向量是（） A. OG J O A —OB !OC 6 3 3 2 — 2 — C. OG =OA OB OC 3 3 — 1 —- 1 — 2 — B. OG OA — OB OC 6 3 3 — 1 —- 2 ■ 2 — D. OG OA OB OC B. D. 1 一 1 ■ 1 - C. — a b c 2 2 2 2 2 1 L D.—a b c 3 3 2 A. B. 3 2 2

空间向量知识点与题型归纳总结

空间向量知识点与题型归纳总结 知识点精讲 一、空间向量及其加减运算 1.空间向量 在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模.空间向量也可 用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模，若向量a r 的起点是A ，终点是B ，则向量a r 也可以记作 AB u u u r ，其模记为a r 或AB u u u r . 2.零向量与单位向量 规定长度为0的向量叫做零向量，记作0r .当有向线段的起点A 与终点B 重合时，0AB =u u u r r . 模为1的向量称为单位向量. 3.相等向量与相反向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量.在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量.空间任意两个向量都可以平移到同一个平面，成为同一平面内的两个向量. 与向量a r 长度相等而方向相反的向量，称为a r 的相反向量，记为a -r . 4.空间向量的加法和减法运算 （1）OC OA OB a b =+=+u u u r u u u r u u u r r r ，BA OA OB a b =-=-u u u r u u u r u u u r r r .如图8-152所示. （2）空间向量的加法运算满足交换律及结合律 a b b a +=+r r r r ，()() a b c a b c ++=++r r r r r r 二、空间向量的数乘运算 1．数乘运算 实数λ与空间向量a r 的乘积a λr 称为向量的数乘运算.当0λ>时，a λr 与向量a r 方向相同；当0λ<时，向量a λr 与向量a r 方向相反. a λr 的长度是a r 的长度的λ倍. 2.空间向量的数乘运算满足分配律及结合律 () a b a b λλλ+=+r r r r ，() ()a a λμλμ=r r . 3.共线向量与平行向量 如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，a r 平行于b r ，记作//a b r r . 4.共线向量定理

立体几何题型归纳

立体几何题型归纳 题型一线面平行的证明 例 1 如图，高为 1 的等腰梯形 ABCD 中，AM ＝CD ＝1 AB ＝1.现将△AMD 沿 MD 折起，使平面 AMD ⊥ 3 平面 MBCD ，连接 AB ，AC . 试判断：在 AB 边上是否存在点 P ，使 AD ∥平面 MPC ?并说明理由 【答案】当 AP ＝1 AB 时，有 AD ∥平面 MPC . 3 理由如下： 连接 BD 交 MC 于点 N ，连接 NP . 在梯形 MBCD 中，DC ∥MB ，DN ＝DC ＝1 ， NB MB 2 在△ADB 中，AP ＝1 ，∴AD ∥PN . PB 2 ∵AD ?平面 MPC ，PN ?平面 MPC ， ∴AD ∥平面 MPC . 【解析】线面平行，可以线线平行或者面面平行推出。此类题的难点就是如何构造辅助线。构造完辅助线， 证明过程只须注意规范的符号语言描述即可。本题用到的是线线平行推出面面平行。 【易错点】不能正确地分析 DN 与 BN 的比例关系，导致结果错误。 【思维点拨】此类题有两大类方法： 1. 构造线线平行，然后推出线面平行。 此类方法的辅助线的构造须要学生理解线面平行的判定定理与线面平行的性质之间的矛盾转化关系。在 此，我们需要借助倒推法进行分析。首先，此类型题目大部分为证明题，结论必定是正确的，我们以此 为前提可以得到线面平行。再次由线面平行的性质可知，过已知直线的平面与已知平面的交线必定平行 于该直线，而交线就是我们要找的线，从而做出辅助线。从这个角度上看我们可以看出线线平行推线面 平行的本质就是过已知直线做一个平面与已知平面相交即可。如本题中即是过 AD 做了一个平面 ADB 与平面 MPC 相交于线 PN 。最后我们只须严格使用正确的符号语言将证明过程反向写一遍即可。即先证AD 平行于 PN ，最后得到结论。构造交线的方法我们可总结为如下三个图形。

高中数学典型例题解析汇报平面向量与空间向量

实用文档 文案大全高中数学典型例题第八章平面向量与空间向量 §8.1平面向量及其运算 一、、疑难知识导析 1．向量的概念的理解，尤其是特殊向量“零向量” 向量是既有大小，又有方向的量．向量的模是正数或0，是可以进行大小比较的，由于方向不能比较大小，所以向量是不能比大小的．两个向量的模相等，方向相同，我们称这两个向量相等，两个零向量是相等的，零向量与任何向量平行，与任何向量都是共线向量； 2．在运用三角形法则和平行四边形法则求向量的加减法时要注意起点和终点； 3．对于坐标形式给出的两个向量，在运用平行与垂直的充要条件时，一定要区分好两个公式，切不可混淆。因此，建议在记忆时对比记忆； 4．定比分点公式中则要记清哪个点是分点；还有就是此公式中横坐标和纵坐标是分开计算的； 5．平移公式中首先要知道这个公式是点的平移公式，故在使用的过程中须将起始点的坐标给出，同时注意顺序。 二知识导学 1.模（长度）：向量AB的大小，记作|AB|。长度为０的向量称为零向量，长度等于１个单位长度的向量，叫做单位向量。 2.平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，又叫做共线向量。 3.相等向量：长度相等且方向相同的向量。 4.相反向量：我们把与向量a?长度相等，方向相反的向量叫做a?的相反向量。记作-a?。 5.向量的加法：求两个向量和的运算。 已知a?，b?。在平面内任取一点，作AB=a?，BC=b，则向量AC 叫做a与b?的和。记作a?+b?。 6. 向量的减法：求两个向量差的运算。 已知a?，b?。在平面内任取一点O，作OA=a?，OB=b?，则向量BA 叫做a?与b?的差。记作a?-b?。 7.实数与向量的积： （1）定义：实数λ与向量a?的积是一个向量，记作λa?，并规定： ①λa?的长度|λa?|=|λ|·|a?|； ②当λ＞0时，λa?的方向与a?的方向相同； 当λ＜0时，λa?的方向与a?的方向相反； 当λ＝0时，λa?=0? （2）实数与向量的积的运算律：设λ、μ为实数，则 ①λ(μa?)=(λμ) a?

立体几何经典题型汇总

1．平面 平面的基本性质：掌握三个公理及推论，会说明共点、共线、共面问题。 （1）.证明点共线的问题，一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点（依据：由点在线上，线在面内 ，推出点在面内）， 这样可根据公理2证明这些点都在这两个平面的公共直线上。 （2）.证明共点问题，一般是先证明两条直线交于一点，再证明这点在第三条直线上，而这一点是两个平面的公共点，这第三条直线是这两个平面的交线。 （3）.证共面问题一般先根据一部分条件确定一个平面，然后再证明其余的也在这个平面内，或者用同一法证明两平面重合 2. 空间直线. （1）. 空间直线位置关系三种：相交、平行、异面. 相交直线：共面有且仅有一个公共点；平行直线：共面没有公共点；异面直线：不同在任一平面内，无公共点 [注]：①两条异面直线在同一平面内射影一定是相交的两条直线.（×）（也可能两条直线平行，也可能是点和直线等） ②直线在平面外，指的位置关系是平行或相交 ③若直线a 、b 异面，a 平行于平面α，b 与α的关系是相交、平行、在平面α内. ④两条平行线在同一平面内的射影图形是一条直线或两条平行线或两点. ⑤在平面内射影是直线的图形一定是直线.（×）（射影不一定只有直线，也可以是其他图形） ⑥在同一平面内的射影长相等，则斜线长相等.（×）（并非是从平面外一点．． 向这个平面所引的垂线段和斜线段） ⑦b a ,是夹在两平行平面间的线段，若b a =，则b a ,的位置关系为相交或平行或异面. ⑧异面直线判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是异面直线.（不在 任何一个平面内的两条直线） （2）. 平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行. 等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等（如右图）. （直线与直线所成角]90,0[??∈θ） （向量与向量所成角])180,0[ ∈θ 推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成锐角（或直角）相等. （3）. 两异面直线的距离：公垂线段的长度. 空间两条直线垂直的情况：相交（共面）垂直和异面垂直. [注]：21,l l 是异面直线，则过21,l l 外一点P ，过点P 且与21,l l 都平行平面有一个或没有，但与21,l l 距离相等的点在同一平面内. （1L 或2L 在这个做出的平面内不能叫1L 与2L 平行的平面）

高中数学空间向量与立体几何经典题型与答案

空间向量与立体几何经典题型与答案 1 已知四棱锥P ABCD -的底面为直角梯形，//AB DC ，⊥=∠PA DAB ,90ο 底面ABCD ，且 1 2 PA AD DC === ，1AB =，M 是PB 的中点 （Ⅰ）证明：面PAD ⊥面PCD ； （Ⅱ）求AC 与PB 所成的角； （Ⅲ）求面AMC 与面BMC 所成二面角的大小 证明：以A 为坐标原点AD 长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为 1 (0,0,0),(0,2,0),(1,1,0),(1,0,0),(0,0,1),(0,1,)2 A B C D P M （Ⅰ）证明：因.,0),0,1,0(),1,0,0(DC AP DC AP DC AP ⊥=?==所以故 由题设知AD DC ⊥，且AP 与AD 是平面PAD 内的两条相交直线，由此得DC ⊥面PAD 又DC 在面 PCD 上，故面PAD ⊥面PCD （Ⅱ）解：因),1,2,0(),0,1,1(-==PB AC . 510 | |||,cos ,2,5||,2||=??>=<=?==PB AC PB AC PB AC PB AC PB AC 所以故 （Ⅲ）解：在MC 上取一点(,,)N x y z ，则存在,R ∈λ使,MC NC λ= ..2 1 ,1,1),21,0,1(),,1,1(λλ==-=∴-=---=z y x MC z y x NC 要使14 ,00,.25 AN MC AN MC x z λ⊥=-==u u u r u u u u r g 只需即解得 ),5 2 ,1,51(),52,1,51(,. 0),5 2 ,1,51(,54=?-===?=MC BN BN AN MC AN N 有此时能使点坐标为时可知当λ ANB MC BN MC AN MC BN MC AN ∠⊥⊥=?=?所以得由.,0,0为 所求二面角的平面角 30304||,||,. 555 2 cos(,).3||||2 arccos(). 3 AN BN AN BN AN BN AN BN AN BN ===-∴==-?-u u u r u u u r u u u r u u u r Q g u u u r u u u r u u u r u u u r g u u u r u u u r 故所求的二面角为

立体几何常见重要题型归纳-高考立体几何题型归纳

立体几何常见重要题型归纳 阳江一中 利进健 题型一 点到面的距离 常见技巧：等体积法 例1：如图，在直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为等腰梯形，AB ∥CD ，AB ＝4，BC ＝CD ＝2，AA 1＝2，E ，E 1分别是棱AD ，AA 1的中点． （1）设F 是棱AB 的中点，证明：直线EE 1∥平面FCC 1； （2）证明：平面D 1AC ⊥平面BB 1C 1C ； （3）求点D 到平面D 1AC 的距离． 解析：（1）11//,,,//,22 CD AB CD AB AF AB CD AF CD AF ==∴= ∴ 四边形AFCD 为平行四边形 ∴//CF AD 又AD ?面11ADD A ,CF ?面11ADD A ∴//CF 面11ADD A 2分 在直四棱柱中，11//CC DD , 又AD ?面11ADD A ,CF ?面11ADD A ∴1//CC 面11ADD A 3分 又11,,CC CF C CC CF ?=?面1CC F ∴面1CC F //面11ADD A 又1EE ?面11ADD A ,1//EE ∴面1CC F 5分 （2）122 BC CD AB === ∴ 平行四边形AFCD 是菱形 DF AC ∴⊥ ,易知//BC DF AC BC ∴⊥ 7分 在直四棱柱中，1CC ⊥面ABCD ,AC ?面ABCD 1AC CC ∴⊥ 又1BC CC C ?= AC ∴⊥面11BCC B 9分 又AC ?面1D AC ∴面1D AC ⊥面11BCC B 10分 （3）易知11D D AC D ADC V V --= 11分 ∴ 设D 到面1D AC 的距离为d ，则

空间向量题型归纳总结

空间向量题型归纳总结-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII

空间向量题型归纳总结 类型一：空间向量的概念 1.给出下列命题： ①若b a //，则存在为唯一的实数λ，使得b a λ= ②若//,//，则与所在直线平行 ③已知b a ⊥，则c b a b c c b a ?=-?++?)()（ ④N M B A ,,,为空间四点，若BN BM BA ,,不构成空间一个基底，则N M B A ,,,共面 已知},,{c b a 是空间的一个基底，则基向量b a ,可以与向量c a m +=构成空间一个基底 则正确的命题的序号为： 2.若C B A ,,不共线，对于空间任意一点O 都有8 18143++=，则C B A P ,,,四点（ ） A. 不共面 B. 共面 C. 共线 D. 不共线 3.已知C B A ,,三点不共线，对平面ABC 外一点O ，给出下列表达式：y x 3 1++=，其中y x ,是实数，若 点M 与C B A ,,四点共面，则=+y x 类型二：空间向量的运算（1代数运算，2坐标运算） 4.在四面体OABC 中，G 是底面ABC ?的重心，则OG 等于（ ） A. ++ B. OC OB OA 212121++ C. 613121++ D. 3 13131++

5.已知空间四边形OABC ，其对角线为N M AC OB ,,,分别是边CB OA ,的中点，点G 在线段MN 上，且使GN MG 2=， 用向量OC OB OA ,,表示OG 是（ ） A. OC OB OA OG 313161++= B. OC OB OA OG 323161++= C. OC OB OA OG 3232++= D. OC OB OA OG 323221++= 6.设ABC O -是正三棱锥，1G 是ABC ?的重心，G 是1OG 上的一点，且13GG OG =，若OC z OB y OA x OG ++=， 则（z y x ,,）为（ ） A. )414141(，， B. )434343(，， C. )31 3131(，， D.)3 23232(，， 7.空间四边形OABC ，各边及对角线长都相等，F E ,分别为OC AB ,的中点，求OE 与BF 所成的角 8.如图，空间四边形OABC 中，c OC b OB a OA ===,,，点M 在线段OA 上，且MA OM 2=，点N 为BC 的中点， 则=MN ( ) A . c b a 213221+- B .c b a 212132++- C.c b a 2 12121-+ D.c b a 213232-+ 9.在四棱柱1111D C B A ABCD -中，M 为AC 与BD 的交点，若a B A =11，b D A =11，c A A =1，则下列向量中与M B 1

立体几何题型总结

立体几何题型总结-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII

立体几何——点线面的位置关系 公理1：如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。 公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么他们有且只有一条过该点的公共直线。 1、公理的理解与应用 例1 已知,αβ为不同的平面，A 、B 、M 、N 为不同的点，a 为直线， 下列推理错误的是 （ ） A. ,,,,A a A B a B a βββ∈∈∈∈?? B. ,,,,M M N N MN αβαβαβ∈∈∈∈?= C. ,,A A A αβα β∈∈?= D. ,,A B M A B M αβ∈∈、、、、且A 、B 、M 不共线αβ?、重合 例2 下列条件中，能得到平面α∥平面β的是（ ） A. 存在一条直线a a ααβ，∥，∥ B. 存在一条直线a a a αβ?，，∥ C. 存在两条平行直线a b a b a b αββα??，，，，∥，∥ D. 存在两条异面直线a b a a b αβα?，，，∥，∥ 例3 对于直线,m n 和平面α，下列命题中的真命题是（） A. 如果,,,m n m n αα??是异面直线，那么//n α B. 如果,,,m n m n αα??是异面直线，那么n 和α相交 C. 如果,//,,m n m n αα?共面，那么//m n D. 如果//,//,,m n m n αα共面，那么//m n 例4 已知正四棱锥S ABCD -的侧棱长与底面边长都相等，E 是SB 的 中点，则AE SD ，所成的角的余弦值为（ ） A ．13 B ．3 C D ．23