向量法求空间距离n

向量法求空间距离

广州市第78中学数学科 黄涛

教学重点难点

重点：掌握由向量数量积推导距离公式

难点：空间向量的投影的理解，灵活运用数形结合的思想，空间直角坐标系的

建立，求法向量，向量的选取。 教学方法、教学手段

采用启发诱导式教学，并结合实践探索，互动教学。

因为要充分体现数形结合思想，有大量的图形对比引导，以多媒体展示作为黑板板书补充。 教学目标：

(1) 知识目标：理解向量数量积与射影的关系，基本掌握用数量积公式的变形求空间距离的方法和步骤

(2) 能力训练目标：培养动手能力，计算表达能力，空间想象能力

(3) 创新素质目标：通过立体几何向量方法解题体会知识之间的内在联系，事物内在的本质联系，懂得通过思维的拓展从事物的广泛联系中寻找解决问题的方法

(4) 情感目标：化繁为简，化难为易，在师生共同探索中建立学生学习数学的信心和热情 教学过程： 一．复习引入

1．如右图中正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则点D 1到平面BB 1C 1C 的距离是_______,直线B 1C 1与B 1C 的距离是_________.

2.点C 1到平面AB 1C 的距离又是______,体对角线BD 1与面对角线B 1C 的距离是__________.

分析：以第一题找具体线段方法求距离很困难，提出能否避开“作图”这一难点，不通过找具体的线段求解，而用“数”来求解？

3.我们已经学习了向量的数量积为0可证垂直，|

|||,cos b a b

a b a ??>=<可求夹角，

221221221)()()(||z z y y x x a a a -+-+-==?

可以求两点间的距离，射影公式>

二．新课讲解：

1．实践探索

题目一：图1①作在直线l 的法向量n

上的射影，

②点P 到直线l 的距离=___________。

题目二：图2①作出,,在平面α的法向量n

上的射影，

②点P 到平面α的距离=___________。

A

B

C

D A 1

B 1

C 1

D 1

（3）

题目三：图3①作出,在异面直线21,l l 的公共法向量n

上的射影，

②这两条异面直线间的距离=_____________。

2. 数形结合，数量积与射影

题目一在直线l 的法向量n

上的射影_____=___________(用数量积写出);

题目二PA 在平面α的法向量n

上的射影_____=__________

PB 在平面α的法向量n

上的射影_____=__________

在平面α的法向量n

上的射影_____=__________;

题目三在异面直线21,l l 的公共法向量n

上的射影_____=__________；

在异面直线21,l l 的公共法向量n

上的射影_____=__________ 并思考判断：

①以上三图所作的射影与所求的点到线，点到面，异面直线间距离有什么关系？

②.图2中的,,有有相同的______,不同的_____,它们在n

上的射影相同.

③.图3中的,在n

上的射影相同. 3.公式推导、形成思路 （1）公式推导

由以上作图，可以观察出：“距离等于射影长度”，即

|

||||,cos |||n n a n a a d

?=>

当n 为单位向量时||n a d ?=

其中，若求“点”面距离，a

的一个端点为“点”，另一端点为面内的任意一点，n 为面的法向量；若求线线距离，a

为联结异面直线上任意两点的向量，即只需要这

个向量的两个端点分别在这两条异面直线上，n

（2）思路形成 观察公式，怎么用？必须什么条件？

答：必须能计算数量积和求模，也就是用坐标求解,则必须

建立坐标系，形成如右图的思路。

4. 运用，例题讲解

例：已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1棱长为1，

求:(1)点D 1到平面AB 1C 的距离；(2)体对角线BD 1与面对角线B 1C 的距离。 解：（2）以D 点为空间坐标系坐标原点如图建立坐标系，

则A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),D(0,0,0),A 1(1,0,1),B 1(1,1,1),C 1(0,1,1),D 1(0,0,1),

建系 求坐标

求数量积，法向量的模 求解

∴()()1,0,1,1,1,111--=--=B BD ，＝（－１，０，０）

设(),0,0,,,,,11111=?=?⊥⊥=C B n BD n C B n BD n y x n 则且

(n

为异面直线C B BD 11,的公共法向量)

即

()1,2,11

200101-=???-==??

?=-+-=+--n y x y y x

即解得，

∴()()()

611211,2,10,0,1222=-++-?-==d

点评：①求法向量（或公共法向量）先设后求；

②利用垂直向量数量积为零一般可以建立两个方程，不能求解法向量三个未知坐标，而令其中一个坐标为常数不影响其公垂性，所以可设其中一座标为1，求解另两个坐标即可；

③利用坐标可简化计算，但必须在建立了一个容易找坐标的空间坐标系的前提下，用这种方法才能体现其优势

5. 概括解题步骤 （1）步骤：

建系—求点及向量坐标—（设并）求法向量—求数量积和法向量的模—代公式求解

a.建系方法

b.斜线段向量的任意性

c.法向量求法

三. 巩固练习

1.在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中AB=a, BC=b, CC 1=c,(a ≠b), 求:AC 与BD 1的距离。

2.如图：⊿ABC 是中∠B 为直角，

SA ⊥平面ABC, SA=BC=2,AB=4, M,N,D 分别是SC,AB,BC 的中点， 求:A 到平面SND 的距离。 四. 小结作业 1. 小结

1.距离等于射影长度|

||

||,cos |||n n a n a a d

?=>

2.公式中a

的非唯一性

3.向量法求距离的一般步骤

4.向量法的优势及适用情形 2. 作业 （1）. .正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的边长为4，M,N,E,F 分别是棱A 1D 1, A 1B 1, D 1C 1, B 1C 1

的中点，

求：平面AMN 与平面EFBD 的距离（请对比等体积法怎么求？） （针对例题

向量法求空间距离教案

A B C D O S x y z 图2 A B C D α n a b 龙文学校——您值得信赖的专业化个性化辅导学校 龙文学校个性化辅导教案提纲 教师：_______ 学生：_______ 年级：______ 授课时间：_____年___月___日_____——_____段 一、授课目的与考点分析：向量法求空间距离 能用向量方法解决空间距离问题，了解向量方法在研究集合问题中的应用. 二、授课内容及过程： 1、点到平面的距离 方法：已知AB 为平面α的一条斜线段，n 为平面α的法向量， 则A 到平面α的距离d =AB n n ? . 2、两条异面直线距离： 方法：a 、b 为异面直线，a 、b 间的距离为：AB n d n ?= . 其中n 与a 、b 均垂直，A 、B 分别为两异面直线上的任意两点 题型1：异面直线间的距离 例1、如图2，正四棱锥S ABCD -的高2SO =，底边长2AB =。求异面直线BD 和SC 之间的距离？ 题型2：点面距离 如图，在长方体1111ABCD A BC D -，中，11,2AD AA AB ===，点E 在棱AD 上移动.（1）证明：11D E A D ⊥； （2）当E 为AB 的中点时，求点E 到面1ACD 的距离； （3）AE 等于何值时，二面角1D EC D --的大小为4 π. 解：以D 为坐标原点，直线1,,DA DC DD 分别为,,x y z 轴， 建立空间直角坐标系，设AE x =，则11(1,0,1),(0,0,1),(1,,0),(1,0,0),(0,2,0)A D E x A C （1）.,0)1,,1(),1,0,1 (,1111E D DA x E D DA ⊥=-=所以因为

向量法求空间点到平面的距离教案

学习必备 欢迎下载 向量法求空间点到面距离（教案） 新课导入： 我们在路上行走时遇到障碍物一般会想到将障碍物挪开，那还有别的方法吗？ 对！绕过去。在生活中我们都知道转弯，那么在学习上我们不妨也让思维转个弯，绕过难点 用另一种方法解决。 我们知道要想求空间一点到一个面的距离，就必须要先找到这个距离，而找这个距离恰恰是 一个比较难解决的问题，我们今天就让思维转个弯，用向量法解决这个难题。 一、复习引入： 1、 空间中如何求点到面距离？ 方法1、直接做或找距离； 方法2、；等体积 方法3、空间向量。 2、向量数量积公式 a · b =a b cos θ（θ为a 与b 的夹角） 二、向量法求点到平面的距离 教材分析 重点: 点面距离的距离公式应用及解决问题的步骤 难点: 找到所需的点坐标跟面的法向量 教学目的 1. 能借助平面的法向量求点到面、线到面、面到面、异面直线间的距离。 2. 能将求线面距离、面面距离问题转化为求点到面的距离问题。 3. 加强坐标运算能力的培养，提高坐标运算的速度和准确性。

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学习必备 欢迎下载 若AB 是平面α的任一条斜线段，则在BOA Rt ? ABO COS ∠? ? 如果令平面的法向量为n ，考虑到法向量的方向，可以得到点B 到平面的距离为 BO 因此要求一个点到平面的距离，可以分为以下三步：（1）找出从该点出发的平面的任一 条斜线段对应的向量（2）求出该平面的一个法向量（3）求出法向量与斜线段对应的向量的 数量积的绝对值再除以法向量的模 思考、已知不共线的三点坐标,如何求经过这三点的平面的一个法向量? 例1、在空间直角坐标系中,已知(3,0,0),(0,4,0)A B ,(0,0,2)C ,试求平面ABC 的一个法向量. 解:设平面ABC 的一个法向量为(,,)n x y z = 则n AB n AC ⊥⊥，.∵(3,4,0)AB =-,(3,0,2)AC =- ∴(,,)(3,4,0)0(,,)(3,0,2)0x y z x y z ?-=???-=?即340320x y x z -+=??-+=? ∴3432y x z x ?=????=?? 取4x =,则(4,3,6)n = ∴(4,3,6)n =是平面ABC 的一个法向量. 例2、如图，已知正方形ABCD 的边长为4，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，GC ⊥平面ABCD ，且GC ＝2，求点B 到平面EFG 的距离. 解：如图，建立空间直角坐标系C －xyz ． 由题设C(0,0,0)，A(4,4,0)，B(0,4,0)， D(4,0,0)，E(2,4,0)， F(4,2,0)，G(0,0,2)． (2,2,0),(2,4,2),B (2,0,0)EF EG E =-=--=设平面EFG 的一个法向量 为(,,)n x y z = 2202420 11(,,1)33 n EF n EG x y x y n ⊥⊥-=?∴?--+=?∴=，

用向量法求空间距离

用向量法求空间距离 湖南省冷水江市七中(417500) 李继龙 在高中立体几何中引入空间向量，为解决立体几何问题提供了一种新的解题方法，有时也能降低解题难度.下面通过例题介绍用向量法求空间距离的方法. 一、 求两点之间的距离 用向量求两点间的距离，可以先求出以这两点为始点和终点的向量，然后求出该向量的模，则模就是两点之间的距离. 例1 已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点P 是AD 1的中点，Q 是BD 上一点， DQ=4 1 DB ，求P 、Q 两点间的距离. 解 如图1，以1DD DC DA 、、所在的直线分别为x 轴、y 轴和z 轴建立空间直角坐标系D-xyz ，则 0)4 141(Q )21021(，，、，，P ， 所以)21 －4141(－，，=. 46= ,即P 、Q 两点的距离为4 6. 二、 求点到直线之间的距离 已知如图2，P 为直线a 外一点，Q 为a 上任意一点，PO ⊥a 于点O ，所以点P 到直线a 的距离为|PO|=d . 则有>= < 故>

例2 在长方体OABC-O 1A 1B 1C 1中，OA=2，AB=3，AA 1=2.求点O 1到直线AC 的距离. 解 建立如图3所示的空间直角坐标系，连结AO 1，则A(2，0，0)，C(0，3，0)，O 1(0，0，2). 所以0)32－(AC 2)02－(AO 1，，，，，==. 故 d = 13 286 213168=- = 所以点O 1到直线AC 的距离为13 286 2. 三、 求点到平面的距离 如图4设A 是平面α外一点，AB 是平面α的一条斜线，交平面α于点B ，而是平面α的法向量，那么向量 在方向上的射影长就是点A 到平面α的距离d ，所以 d ==>

向量法求空间点到平面的距离教案

向量法求空间点到面距离（教案） 新课导入： 我们在路上行走时遇到障碍物一般会想到将障碍物挪开，那还有别的方法吗？ 对！绕过去。在生活中我们都知道转弯，那么在学习上我们不妨也让思维转个弯，绕过难点 用另一种方法解决。 我们知道要想求空间一点到一个面的距离，就必须要先找到这个距离，而找这个距离恰恰是 一个比较难解决的问题，我们今天就让思维转个弯，用向量法解决这个难题。 一、复习引入： 1、 空间中如何求点到面距离？ 方法1、直接做或找距离； 方法2、；等体积 方法3、空间向量。 2、向量数量积公式 a · b =a b cos θ（θ为a 与b 的夹角） 二、向量法求点到平面的距离 剖析：如图， BO 平面 ，垂足为O ，则点B 到平面 的距离是线段BO 的长度。 教材分析 重点: 点面距离的距离公式应用及解决问题的步骤 难点: 找到所需的点坐标跟面的法向量 教学目的 1. 能借助平面的法向量求点到面、线到面、面到面、异面直线间的距离。 2. 能将求线面距离、面面距离问题转化为求点到面的距离问题。 3. 加强坐标运算能力的培养，提高坐标运算的速度和准确性。

若AB 是平面 的任一条斜线段，则在BOA Rt ABO COS ? 如果令平面的法向量为n ，考虑到法向量的方向，可以得到点B 到平面的距离为 BO 因此要求一个点到平面的距离，可以分为以下三步：（1）找出从该点出发的平面的任一 条斜线段对应的向量（2）求出该平面的一个法向量（3）求出法向量与斜线段对应的向量的 数量积的绝对值再除以法向量的模 思考、已知不共线的三点坐标,如何求经过这三点的平面的一个法向量? 例1、在空间直角坐标系中,已知(3,0,0),(0,4,0)A B ,(0,0,2)C ,试求平面ABC 的一个法向量. 解:设平面ABC 的一个法向量为(,,)n x y z r 则n AB n AC r u u u r r u u u r ，.∵(3,4,0)AB u u u r ,(3,0,2)AC u u u r ∴(,,)(3,4,0)0(,,)(3,0,2)0x y z x y z 即340320x y x z ∴3432y x z x 取4x ,则(4,3,6)n r ∴(4,3,6)n r 是平面ABC 的一个法向量. 例2、如图，已知正方形ABCD 的边长为4，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，GC ⊥平面ABCD ，且GC ＝2，求点B 到平面EFG 的距离. 解：如图，建立空间直角坐标系C －xyz ． 由题设C(0,0,0)，A(4,4,0)，B(0,4,0)， D(4,0,0)，E(2,4,0)， F(4,2,0)，G(0,0,2)． (2,2,0),(2,4,2),B (2,0,0)EF EG E u u u r u u u r u u u r 设平面EFG 的一个法向量 为(,,)n x y z r 2202420 11(,,1)33 n EF n EG x y x y n r u u u r r u u u r r ，

用向量法求空间距离

A B C D m n 1 图向量法求空间距离 向量融形、数于一体，具有几何形式和代数形式的“双重身份”，向量成为中学数学知识的一个交汇点，空间向量将空间元素的位置关系转化为数量关系，将过去的形式逻辑证明转化为数值计算，化繁难为简易，化复杂为简单，成为解决立体几何问题的重要工具。 1.异面直线n m 、的距离 分别在直线n m 、上取定向量,,b a 求与向量b a 、都垂直的向量，分别在 n m 、上各取一个定点B A 、，则异面直线n m 、的距离 d 等于在上的射影长，即| |n d = 证明：如图1，设CD 为公垂线段，取b a ==, | |||)(?=?∴?++=?∴++= | |||||n n AB d ?= =∴ 2平面外一点P 到平面α的距离 如图2，先求出平面α的法向量，在平面内任取一定 点A ，则点p 到平面α的距离d 等于在上的射影长，即| |n d = 因为空间中任何向量均可由不共面的三个基向量来线性表示，所以在解题时往往根据问题条件首先选择适当的基向量，把相关线段根据向量的加法、数乘运算法则与基向量联系起来。再通过向量的代数运算，达到计算或证明的目的。一般情况下，选择共点且不共面的三个已知向量作为基向量。 [例 1] 如图3，已知正三棱柱111C B A ABC -的侧棱长为2， 底面边长为1，M 是BC 的中点，当1AB MN ⊥时，求点1A 到平面AMN 的距离。 图2 A B C M N 1 A 1 B 1 C 图3

几何体中容易找到共点不共面且互相垂直的三个向量，于是有如下解法： 解：当1AB MN ⊥时，如图4 ， 、)0,0,0(A )81 ,1,0()0,43,43()2,21,23(1N M B 、、、)2,0,0(1A ，则 )2,0,0(),0,4 3,43( ),8 1 ,41,43(1==- =AA AM MN ， 设向量),,(z y x n =与平面AMN 垂直，则有 )0()1,1,3(8 ),81,83( 8183 0434********>-=-=∴?????? ?-==?=???????=+=++-??????⊥⊥z z z z z n z y z x y x z y x AM n MN n 取)1,1,3(0-=n 向量1AA 在0n 上的射影长即为1A 到平面AMN 的距离，设为d ，于是 5 5 21)1()3(|)1,1,3()2,0,0(||||,cos |||2 2201011011= +-+-?= =>

向量法求空间点到平面的距离教案

向量法求空间点到面距离（教案） 教材分析 重点：点面距离的距离公式应用及解决问题的步骤 难点：找到所需的点坐标跟面的法向量 教学目的 1.能借助平面的法向量求点到面、线到面、面到面、异面直线间的距离。 2.能将求线面距离、面面距离问题转化为求点到面的距离问题。 3.加强坐标运算能力的培养，提高坐标运算的速度和准确性。 新课导入： 我们在路上行走时遇到障碍物一般会想到将障碍物挪开，那还有别的方法吗 对！绕过去。在生活中我们都知道转弯，那么在学习上我们不妨也让思维转个弯，绕过难点用另一种方法解决。 我们知道要想求空间一点到一个面的距离，就必须要先找到这个距离，而找这个距离恰恰是 一个比较难解决的问题，我们今天就让思维转个弯，用向量法解决这个难题。 一、复习引入： 1、空间中如何求点到面距离 方法1、直接做或找距离； 方法2、；等体积 方法3、空间向量。 2、向量数量积公式 a ? b = a b cos 0（0为a与b的夹角） 二、向量法求点到平面的距离

如果令平面的法向量为 n ，考虑到法向量的方向，可以得到点 B 到平面的距离为 _r BA?n BO=—:— n 因此要求一个点到平面的距离， 可以分为以下三步：(1)找出从该点出发的平面的任一 条斜线段对应的向量 (2)求出该平面的一个法向量 (3)求出法向量与斜线段对应的向量的 数量积的绝对值再除以法向量的模 思考、已知不共线的三点坐标，如何求经过这三点的平面的一个法向量 ? 例1、在空间直角坐标系中，已知A(3,0,0), B(0,4,0) , C(0,0,2),试求平面 ABC 的一个 法向量. 解：设平面ABC 的一个法向量为 r n (x, y, z) r uuu r uuur uuu unr 则 n AB , n AC . v AB (3,4,0), AC (3,0, 2) ? (x, y, z)( 3,4,0) 0即 3x 4y 0 3 y x (x, y, z)( 3,0,2) 0 3x 2z 0 . 4 取x 4,则n (4, 3,6) 3 z x 2 ??? n (4, 3,6)是平面 ABC 的一个法向量 例2、如图，已知正方形 ABCD 的边长为4, E 、F 分别是AB 、AD 的 中点，GC 丄平面 ABCD ，且GC = 2,求点B 到平面EFG 的距离. 解：如图，建立空间直角坐标系 C-xyz. 由题设 C(0,0,0)，A(4,4,0)，B(0,4,0)， D(4,0,0)，E(2,4,0)， F(4,2,0)，G(0,0,2). uuir uuur EF (2, 2,0), EG ( 2, 4,2), uuu BE (2,0,0) 设平面EFG 的一个法向量 若AB 是平面 的任一条斜线段，则在 Rt BOA 中，BO = BA?COS ABO BA?BO B A B O BO 剖析：如图，BO 平面 ，垂足为0，则点B 到平面 的距离是线段 BO 的长度。 =网? BA? BO

向量法求空间距离n

向量法求空间距离 广州市第78中学数学科 黄涛 教学重点难点 重点：掌握由向量数量积推导距离公式 难点：空间向量的投影的理解，灵活运用数形结合的思想，空间直角坐标系的 建立，求法向量，向量的选取。 教学方法、教学手段 采用启发诱导式教学，并结合实践探索，互动教学。 因为要充分体现数形结合思想，有大量的图形对比引导，以多媒体展示作为黑板板书补充。 教学目标： (1) 知识目标：理解向量数量积与射影的关系，基本掌握用数量积公式的变形求空间距离的方法和步骤 (2) 能力训练目标：培养动手能力，计算表达能力，空间想象能力 (3) 创新素质目标：通过立体几何向量方法解题体会知识之间的内在联系，事物内在的本质联系，懂得通过思维的拓展从事物的广泛联系中寻找解决问题的方法 (4) 情感目标：化繁为简，化难为易，在师生共同探索中建立学生学习数学的信心和热情 教学过程： 一．复习引入 1．如右图中正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则点D 1到平面BB 1C 1C 的距离是_______,直线B 1C 1与B 1C 的距离是_________. 2.点C 1到平面AB 1C 的距离又是______,体对角线BD 1与面对角线B 1C 的距离是__________. 分析：以第一题找具体线段方法求距离很困难，提出能否避开“作图”这一难点，不通过找具体的线段求解，而用“数”来求解？ 3.我们已经学习了向量的数量积为0可证垂直，| |||,cos b a b a b a ??>=<可求夹角， 221221221)()()(||z z y y x x a a a -+-+-==? 可以求两点间的距离，射影公式>

向量法求空间距离和角

用向量方法求空间角和距离 在高考的立体几何试题中,求角与距离是常考查的问题,其传统的“三步曲”解法:“作图、证明、解三角形”,作辅助线多、技巧性强,是教学和学习的难点．向量进入高中教材,为立体几何增添了活力,新思想、新方法与时俱进,本专题将运用向量方法简捷地解决这些问题． 1 求空间角问题 空间的角主要有：异面直线所成的角；直线和平面所成的角；二面角． （１）求异面直线所成的角 设a 、b 分别为异面直线a 、b 的方向向量, 则两异面直线所成的角α=arccos |||||| a b a b （２）求线面角 设l 是斜线l 的方向向量，n 是平面α的法 向量， 则斜线l 与平 面 α所成的角 α=arcsin | ||||| l n l n （３）求二面角 法一、在α内a l ⊥，在β内b l ⊥，其方向如图，则二面角 l αβ--的平面角α=arccos |||| a b a b 法二、设12,,n n 是二面角l αβ--的两

个半平面的法向量，其方向一个指向内侧，另一个指向外侧，则二面角 l αβ--的平面角α=12 12arccos |||| n n n n 2 求空间距离问题 构成空间的点、线、面之间有七种距离，这里着重介绍点面距离的求法，象异面直线间的距离、线面距离；面面距离都可化为点面距离来求． （１）求点面距离 法一、设n 是平面α的法向量，在α内取一点B, 则 A 到α的距离|| |||cos ||| AB n d AB n θ== 法二、设AO α⊥于O,利用AO α⊥和点O 在α内 的向量表示，可确定点O 的位置，从而求出||AO ． （２）求异面直线的距离 法一、找平面β使b β?且a β，则异面直线a 、b 的距离就转化为直线a 到平面β的距离，又转化为点A 到平面β的距离． 法二、在a 上取一点A, 在b 上取一点B, 设a 、b 分别为异面直线a 、b 的方向向量,求n （n a ⊥，n b ⊥），则异面直线a 、b 的距离|| |||cos ||| AB n d AB n θ==（此方法移植于点面距离的求法）．

向量法求空间角、距离和二面角

向量法求空间角、距离和二面角 1.1.向量的数量积和坐标运算 a,b是两个非零向量，它们的夹角为，则数|a| |b|cos叫做a与b的数量积（或内积），记作a b，即a b | a | | b | cos .其几何意义是a的长度与b在a的方向上的投影的乘积.其坐标运算是： —￥■—* 若a （x1,y1,^）,b （X2,y2,Z2），贝U ① a b X1X2 y〃2 Z1Z2; ②|a| X12y12z/,|b| X22目; Z22; ③ a b X1X2 y1 y2 z1z2 X1X2 y“2 Z1Z2 ④C0S a ， b 丨 2 2 2 厂 2 2 2 X1 y1 Z, . X2 y2 Z2 1.2.异面直线m,n所成的角 分别在直线m,n上取定向量a,b,则异面直线m,n所 成的角等于向量a,b所成的角或其补角（如图1所 示），则cos |a b 1 .（例如2004年高考数学广东 D图1 b B |a| |b| 卷第18题第（2）问） 1.3.异面直线m、n的距离 分别在直线m、n上取定向量a,b,求与向量a、b都垂直的 向量n，分别在m、n上各取一个定点A、B，则异面直线m、n的距离d等于AB在

| AB n | n上的射影长，即d |n| 证明：设CD为公垂线段，取CA a, DB b （如图1所示），则

CD CA AB BD CD n (CA AB BD) |CD n| |AB n| d |CD| 皿 1 |n| 设直线m, n所成的角为，显然cos la b| |a| |b| 14直线L与平面所成的角 在L上取定AB ,求平面的法向量n （如图2所 示）, 再求cos ，则 |AB| | n| 2为所求的角. 1.5 . 二面角 方法一：构造二面 角 量n1、门2 （都取向上的方向，如图3所示）， 则 的两个半平面、的法向 ① 若二面角l 是“钝角型”的如图3甲所示, 那么其大小等于两法向量n1、n2的夹角的补角，即cos ri t n2 g | “2 | .(例如2004年高考数学广东卷第18题第（1）问）. ②若二面角l 是“锐角型”的如图3乙所示, 那么其大小等于两法向量n1、门2的夹角，即 n t n2 cos .（例如2004年高考数学广东卷第 |n 1 | |n2 | 图3 乙 18题第（1）问）. 方法二：在二面角的棱I上确定两个点A、 求出与I垂直的向量n1、门2 （如图4所示），则

向量法求空间中的角和距离

向量法求空间中的角和距离 广东省惠州市惠阳区崇雅中学高中部 彭海廷 在高考的立体几何试题中,求角与距离是常考查的问题,其传统的“三步曲”解法:“作图、证明、解三角形”,作辅助线多、技巧性强,是教学和学习的难点．向量进入高中教材,为立体几何增添了活力,新思想、新方法与时俱进,本专题将运用向量方法简捷地解决这些问题． 1、 空间角问题 (1)求两异面直线的夹角 设异面直线a 、b 的夹角为θ() 090θ<≤，a 、b 分别为a 、b 的一个方向向量，则 cos cos ,a b a b a b θ?== ，可求得θ的大小。 例1 已知四棱锥P-ABCD 的底面为直角梯形，AB ∥DC ，⊥=∠PA DAB ,90 底面ABCD ，且PA=AD=DC= 2 1 AB=1，M 是PB 的中点。 （Ⅰ）证明：面 PAD ⊥面PCD ； （Ⅱ）求AC 与PB 所成的角； 解：因为PA ⊥PD ，PA ⊥AB ，AD ⊥AB ， 以A 为坐标原点AD 长为单位长度， 如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为 A （0，0，0）B （0，2，0），C （1，1，0）， D （1，0，0），P （0，0，1），M （0，1，)2 1. （Ⅰ）证明：因(0,0,1),(0,1,0),0,.AP DC AP DC AP DC ==?=⊥故所以 由题设知AD ⊥DC ，且AP 与AD 是平面PAD 内的两条相交直线，由此得DC ⊥面PAD. 又DC 在面PCD 上，故面PAD ⊥面PCD. （Ⅱ）解：因),1,2,0(),0,1,1(-== . 510 | |||,cos ,2,5||,2||=?>=<=?==PB AC PB AC PB AC 所以故 (2)求二面角 设m 、n 分别是平面α与β的法向量，则二面角所成的平面角θ＝π－φ或θ＝φ，其中当m 与n 同向时取θ＝π－φ；异向时取θ＝φ，φ是m 与n 的夹角，用 cos ,m n m n m n ?= 求出。 例2 如右下图，在长方体1111ABCD A B C D -中，已知14,3,2AB AD AA ===，,E F 分别是线段,AB BC 上的点，且1EB FB ==

空间向量的应用----求空间角与距离

空间向量的应用----求空间角与距离 一、考点梳理 1.自新教材实施以来，近几年高考的立体几何大题，在考查常规解题方法的同时，更多地关注向量法（基向量法、坐标法）在解题中的应用。坐标法（法向量的应用），以其问题（数量关系：空间角、空间距离）处理的简单化，而成为高考热点问题。可以预测到，今后的高考中，还会继续体现法向量的应用价值。 2.利用法向量求空间角和空间距离，其常用技巧与方法总结如下： 1)求直线和直线所成的角 若直线AB、CD所成的角是，cos=| , cos |>

3).利用法向量求二面角 设1n、2n分别为平面α、β的法向量，二面角l αβ --的大小为θ，向量1n、2n的夹角为?，则有θ?π +=或θ?=。 计算公式为： 12 12 cos cos |||| n n n n θ? =-=12 12 cos cos |||| n n n n θ? == 4).利用法向量求点面距离 如图点P为平面外一点，点A为平面的任一点，平面的法向量为n,过点P作平面的垂线PO，记∠OPA=，则点P到平面的距离 θ cos | | | | PA PO d = = || || |||| || || n PA PA n PA n PA n ? =? ? = 5).法向量在距离方面除应用于点到平面的距离外，还能处理异面直线间的距离，线面间的距离，以及平行平面间的距离等。其一，这三类距离都可以转化为点面间的距离；其二，异面直线间的距离可用如下方法操作：在异面直线上各取一点A、B，AB在n上的射影长 n α A P O θ