积分不等式的证明方法
摘要
在高等数学的学习中,积分不等式的证明一直是一个无论在难度还是技巧性方面都很复杂的内容.对积分不等式的证明方法进行研究不但能够系统的总结其证明方法,还可以更好的将初等数学的知识和高等数学的结合起来.并且可以拓宽我们的视野、发散我们的思维、提高我们的创新能力,因此可以提高我们解决问题的效率.本文主要通过查阅有关的文献和资料的方法,对其中的内容进行对比和分析,并加以推广和补充,提出自己的观点.本文首先介绍了两个重要的积分不等式并给出了证明,然后分类讨论了证明积分不等式的八种方法,即利用函数的凹凸性、辅助函数法、利用重要积分不等式、利用积分中值定理、利用积分的性质、利用泰勒公式、利用重积分、利用微分中值定理,最后对全文进行了总结．
关键词：积分不等式,定积分,中值定理,柯西-施瓦兹不等式,单调性
ABSTRACT
When we study mathematics,the proof of integer inequality has always been seen as a complex content both in difficulty and skill．In this paper the proof methods of integral inequality are organized systematically to combine the knowledge of elementary mathematics and higher mathematics better.Also our horizons can be broadened,thinking can be divergencied and innovation ability can be improved,so as to improve our efficiency of problem solving.The paper is completed by referring to relevant literature,comparing and analysing related content, complementing and promoting related content.In this paper ,two important integral inequalities along with their proof methods are given first,and then eight approaches to proof integral inequalities are introduced,such as concavity and convexity of function,method of auxiliary function,important integral inequality,integral mean value theorem, integral property, Taylor formula,double integral and differential mean value theorem.Finally,the full paper is summarized．
Key words: Integral Inequality, Definite Integral,Mean Value Theorem,
Cauchy-Schwarz Inequality, Monotonicty
1.引言
不等式在数学中有着重要的作用,在数量关系上,尽管不等关系要比相等关系更加普遍的存在于人们的现实世界里,然而人们对于不等式的认识要比方程迟的多.直到17世纪之后,不等式的理论才逐渐的成长起来,成为数学基础理论的一个重要组成部分.众所周知,不等式理论在数学理论中有着重要的地位,它渗透到了数学的各个领域中,因而它是数学领域中的一个重要的内容.其中积分不等式更是高等数学中的一个重要的内容．实际上关于定积分的概念起源于求平面图形的面积和一些其他的实际问题.有关定积分的思想在古代就有了萌芽,比如在公元前240年左右的古希腊时期,阿基米德就曾经用求和的方法计算过抛物线弓形和其他图形的面积.在历史上,积分观念的形成要比微分早.然而直到17世纪后半期,较为完整的定积分理论还没有能够形成,一直到Newton-Leibniz公式建立之后,有关计算的问题得以解决后,定积分才迅速的建立并成长起来．本论文研究的积分不等式结合了定积分以及不等式.关于它的证明向来是高等数学中的一个重点及难点.对积分不等式的证明方法进行研究，并使其系统化，在很大程度上为不同的数学分支之间架起了桥梁.深刻的理解及掌握积分不等式的证明方法可以提升我们对其理论知识的理解,同时可以提高我们的创造思维和逻辑思维．
在论文的第三部分中对积分不等式的证明方法进行了详细的阐述.分别从利用函数的凹凸性、辅助函数法、利用重要积分不等式、利用积分中值定理、利用泰勒公式、利用重积分、利用微分中值定理、利用定积分的性质这八个方面给出了例题及证明方法.这样通过几道常见的积分不等式的证明题,从不同的角度,用不同的方法研究、分析了积分不等式的特点,归纳总结出了其证明方法.同时论文中也对有的题目给出了多种证明方法,这启示我们对于同一道积分不等式而言它的证明方法往往不止一种,我们需要根据实际情况采用合适的方法去证明,从而达到将问题化繁为简的目的．
2.几个重要的积分不等式
在高等数学的学习中我们遇到过许多重要的积分不等式,如Cauchy-Schwarz 不等式,Young 不等式等.它们的形式及证明方法都有很多种,在这一小结中我们将给出这两种积分不等式的证明方法．
2.1 Cauchy-Schwarz 不等式
无论是在代数还是在几何中Cauchy-Schwarz 不等式的应用都很广泛,它是不同于均值不等式的另一个重要不等式．其形式有在实数域中的、微积分中的、概率空间()P F ,,Ω中的以及n 维欧氏空间中的4种形式.接下来在这一部分中我们将对其在微积分中的形式进行研究．
定理2.1[1] 设()f x , ()g x 在[,]a b 上连续,则有
[()()b a
f x
g x dx ?]2≤{2[()]b a
f x dx ?}? {2[()]b
a
g x dx ?}．
证明：要证明原不等式成立,我们只需要证
()()()()2
2
2
0b
b
b
a
a
a f
x dx g x dx f x g x dx ???-≥??????? 成立． 设()()()()()2
22
t
t
t
a
a a F t f x dx g x dx f x g x dx ??=?-????
?
??,则只要证()()F b F a ≥成立,
由()F t 在[,]a b 上连续,在(),a b 内可导,得
()()()()()()()()()22222t
t
t
a
a
a
F t f t g x dx g t f x dx f t g t f x g x dx
'=+-???
()()()()()()()()2222
2t
a f t g x f t g t f x g x g t f x dx ??=-+??? ()()()()2
0t
a f t g x g t f x dx =-≥?????． (2.1) 由(2.1)式可知()F t 在[,]a
b 上递增,由b a >,知()()F b F a >,故原不等式成立． 证毕
实际上关于Cauchy-Schwarz 不等式的证明方法有很多,这里我们采用的证明方法是较为普遍的辅助函数法,它将要证明的原积分不等式通过移项转变为了判断函数在两个端点处函数值大小的问题．通过观察我们可以进一步发现原Cauchy-Schwarz 不等式能够改写成以下行列式的形式
()()()()()()()()0b b
a
a
b
b
a
a
f x f x dx
g x f x dx f x g x dx
g x g x dx
≥???
?,
由此我们可以联想到是否可以将它进行推广？答案是肯定的.下面我们将给出
Cauchy Schwarz -不等式的推广形式．
定理2.2[2] 设()f x ,()g x ,()h x 在[],a b 上可积,则
()()()()()()()()()()()()()()()()()()0b
b
b
a
a
a
b
b
b
a
a
a
b
b
b
a
a
a
f x f x dx
g x f x dx
h x f x dx
f x
g x dx g x g x dx
h x g x dx f x h x dx g x h x dx h x h x dx
≥?????????． 证明：对任意的实数1t ,2t ,3t ,有
()()()()2
123b
a
t f x t g x t h x dx ++?
()()()222222123b
b
b
a
a
a
t f x dx t g x dx t h x dx
=++???
()()()()()()1213232220b
b
b a
a
a
t t f x g x dx t t f x h x dx t t g x h x dx +++≥???．
注意到关于1t ,2t ,3t 的二次型实际上为半正定二次型, 从而其系数矩阵行列式为
()()()(
)()
(
)()()()()
()()()()()
22
2
0b
b
b
a
a
a
b b
b
a a
a
b
b b a
a
a
f x d x
g x f x d x h x f x d x
f
x g x d x
g x d x h x g x d x
f x h
x d x g x h
x d x h x d x
≥?
?
???
?
??
?
． 证毕 以上的推广是将Cauchy-Schwarz 不等式的行列式由二阶推广到了三阶的形式,事实上Cauchy-Schwarz 不等式是一个在很多方面都很重要的不等式,例如在证明不等式,求函数最值等方面.若能灵活的运用它则可以使一些较困难的问题得到解决.下面我们会在第三部分给出Cauchy-Schwarz 不等式及其推广形式在积分不等式证明中的应用．
除了Cauchy-Schwarz 不等式之外还有很多重要的积分不等式,例如Young 不等式,相较于Cauchy-Schwarz 不等式我们对Young 不等式的了解比较少,实际上它也具有不同的形式且在现代分析数学中有着广泛的应用.接着我们将对Young 不等式进行一些研究．
2.2 Young 不等式
Young 不等式,以及和它相关的Minkowski 不等式,H?lder 不等式,这些都是在现代分
析数学中应用十分广泛的不等式,在调和函数、数学分析、泛函分析以及偏微分方程中这三个不等式的身影随处可见,是使用得最为普遍,最为平凡的知识工具.下面我们将给出积分形式的Young 不等式的证明．
定理 2.3[3] 设()f x 在[0,]c （0c >）上连续且严格递增,若(0)0f =,[0,]a c ∈且
[0,()]b f c ∈,则1
00()()a
b
f x dx f x dx ab -+≥??,其中1f -是f 的反函数,当且仅当()b f a =时等
号成立．
证明：引辅助函数0()()a
g a ab f x dx =-?, (2.2)
把0b >看作参变量,由于()()g a b f a '=-,且f 严格递增,于是
当 10()a f b -<<时,()0g a '>；当 1()a f b -=时,()0g a '=；当 1()a f b ->时,()0g a '<． 因此 当1()a f b -=时,()g a 取到g 的最大值,即
()()()()
b f g x g a g 1m ax -=≤ (2.3)
由分部积分得
11()
()
11
(())()()()f b f b g f b bf b f x dx xdf x ----=-=?
?
,
作代换()y f x =,上面积分变为
110
(())()b
g f b f y dy --=?, (2.4)
将(2.2)式和(2.4)式代入(2.3)式得
1
10
()()()a
b
b
ab f x dx f y dy f x dx ---≤=???,
即10
()()a b
f x dx f x dx ab -+≥??． 证毕
3.定积分不等式常见的证明方法
关于积分不等式的证明方法较为繁多,难度及技巧性也较大,因此对其进行系统的归纳总结是很有必要的．在这一部分中我们将归纳出利用辅助函数、微分中值定理、重要积分不等式及积分中值定理等证明积分不等式的方法．
3.1 利用函数的凹凸性
在数学分析以及高等数学中,我们常常会遇到一类特殊的函数—凸函数．凸函数具有重要的理论研究价值和广泛的实际应用,在有些不等式的证明中,若能灵活地利用凸函数的性质往往能够简洁巧妙的解决问题．下面给出一个例子加以说明．
定理3.1 若()t ?定义在间隔(),m M 内,且()0t ?''>,则()t ?必为下凸函数．
定理3.2 设()f x 在[,]a b 上为可积分函数,而()m f x M ≤≤．又设()t ?在间隔m t M ≤≤内为连续的下凸函数,则有不等式
()()()11b b a a
f x dx f x dx b a b a
????
≤
?--????． 例3.1[4] 设()f x 在[],a b 上连续,且()0f x >,求证：()()
()2
1b
b
a a f x dx dx
b a f x ≥-??． 证明: 取()u u 1=
?, 因为()210u u ?'=-<,()32
0u u
?''=>,()0>u 即在0u >时,()y u ?=为凸函数,故有
()()()11b b a a f x dx f x dx b a b a ????
≤ ?--??
??， 即
()()1b
a
b
a
dx
f x b a
b a f x dx
-≤
-?
?，故()()
()2
1b b a a f x dx dx b a f x ≥-??． 证毕 在上述的题目中我们可以发现在证明中常常先利用导数来判断函数的凹凸性,然后再利用凹（凸）函数的性质来证明不等式．然而对于实际给出的题目,我们往往需要先构造一个凹（凸）函数,然后才能利用其性质来证明我们所要证明的问题．
3.2 辅助函数法
辅助函数法是积分不等式证明中的一种非常重要的方法,往往我们会根据不等式的特点,构造与问题相关的辅助函数,考虑在相同的区间上函数所满足的条件,从而得出欲证明
的结论．在第二部分中我们用辅助函数法对Cauchy-Schwarz 不等式进行了证明,下面将对用辅助函数法证明积分不等式进行进一步的探讨．
例3.2.1[5] 设函数()f x 在区间[]0,1上连续且单调递减,证明：对)1,0(∈?a 时, 有： ()1
()a
f x dx a f x dx ≥??．
证明：令()0
1()x
F x f t dt x =? ()01x <≤,由()x f 连续,得()x F 可导 则()()()0
2
x
f x x f t dt
F x x ?-'=
? ()()2
f x x f x x ξ?-?=
()()
f x f x
ξ-=, (0)x ξ<<． 因为()f x 在[0,1]上单调减少,而0x ξ<<,有()()f x f ξ<,
从而()0F t '<,()F x 在(0,1]上单调减少,则对任意(0,1)a ∈,有()(1)F a F ≥． 即
()1001()a
f x dx f x dx a
≥??,两边同乘a ,即得()100()a f x dx a f x dx ≥??． 证毕 本题根据积分不等式两边上下限的特点,在区间)1,0(上构造了一个辅助函数,进一步我们可以思考对于一般的情形,该题的结论是否依然成立呢？答案是肯定的.
例 3.2.2 设函数()f x 在区间[]0,1上连续且单调递减非负,证明：对)1,0(,∈?b a ,且
10<≤
b
a a f x dx f x dx b
≥
??． 证明：令()0
1()x
F x f t dt x =
?,()01x <≤,由()x f 连续,得()x F 可导, 则 ()()()0
2
x f x x f t dt
F x x ?-'=
? ()()2
f x x f x x ξ?-?=
()()
f x f x
ξ-=, (0)x ξ<<． 因为()f x 在[0,1]上单调减少,而0x ξ<<,有()()f x f ξ<,从而()0F t '<,()F x 在
(0,1]上单调减少,则对任意10<≤
()()00
11a b
f t dt f t dt a b ≥??． (3.1)
由f 非负,可得()()dx x f dx x f b
a
b
??≥0
． (3.2)
结合(3.1)式和(3.2)式可得 ()()011a b
a f x dx f x dx a b
≥??． 即()()0
a
b
a
a f x dx f x dx
b ≥?
?． 证毕
例3.2.3[6] 函数()f x 在[,]a b 上连续,且()0>x f 试证：21
()()()
b
b
a
a
f x dx dx b a f x ≥-??
．
在例3.1中我们给出了本题利用函数的凹凸性证明的过程,在这里我们将给出其利用辅助函数法证明的过程．
证明: 构造辅助函数()()()
()2
x
x
a a
dt x f t dt x a f t φ=--??
, 则 ()()()()()
()12x
x a
a dt x f x f t dt x a f t f x φ'=+?--?
?
()
()()()2x
x x a
a a
f x f t dt dt dt f t f x =+-?
??
()()()
()20x a
f x f t dt f t f x ??=+-≥?????, 所以()x φ是单调递增的,即()()0b a φφ≥=,故()()
()2
1b b
a
a
f x dx dx b a f x ≥-??
． 证毕 例3.2.4[7]
设()x f 在[]b a ,上连续且单调增加,证明：()()??
+≥b
a
b
a
dx x f b a dx x xf 2．
证明: 原不等式即为()()02
≥+-
??b
a b
a dx x f
b a dx x xf ,构造辅助函数 ()()()2
t t
a a a t F t xf x dx f x dx +=-?? ,[],t a
b ∈, 则()()()()122t a a t F t tf t f x dx f t +'=--? ()()()12t a t a f t f x dx ?
?
=--?
???? ()()()()1
2
t a f t f ζ=-- , (),a t ζ∈．
因为a t ζ≤≤,()f x 单调增加,所以()0F t '≥．故()F t 在[],a b 上单调递增,且()0F a =, 所以对(,]x a b ?∈,有()()0F x F a ≥=．当x b =时,()0F b ≥．
即
()()02b
b
a
a
a b xf x dx f x dx +-≥?
?,故原不等式成立, 证毕
通过以上几道题目的观察我们可以发现：
1.当已知被积函数连续时,我们可以把积分的上限或者是下限作为变量,从而构造一个变限积分,然后利用辅助函数的单调性加以证明．
2.辅助函数法实际上是一种将复杂的问题转化为容易解决的问题的方法．在解题时通常表现为不对问题本身求解而是对与问题相关的辅助函数进行求解,从而得出原不等式的结论．
3.3 利用重要积分不等式
在第2部分中我们给出了Cauchy-Schwarz 不等式以及它的推广形式的证明过程,实际上Cauchy-Schwarz 不等式的应用也很广泛,利用它可以解决一些复杂不等式的证明.在这一小节中我们将通过具体的例子来加以说明它在证明积分不等式中的应用．
例3.3.1[8] 函数()f x 在[]0,1上一阶可导,()()100f f ==, 试证明：()()112
2
14f x dx f x dx '≤?
?．
证明：由()()()0
0x f x f t dt f '=+?和()()()
1
1x
f x f t dt f '=-+?
可得 ()()()()()2
12
2220
000
1x
x x f
x f t dt
dt f t dt x f x dx '''=
≤≤????, 1(0,)2x ??∈????, ()()(
)
()()2
1
1112
2220
1(1)x x x f
x f t dt
dt f t dt x f x dx '''=≤≤-????, 1(,1)2x ??
∈????
． 因此 ()()1122
20
018
f x dx f x dx '≤
??, (3.3)
()()1
122
10
2
18f x dx f x dx '≤
?
?． (3.4) 将(3.3)式和(3.4)式相加即可以得到()()1122
014
f x dx f x dx '≤
??． 证毕 例3.3.2[2]
设()f x ,()g x 在[],a b 上可积且满足：()0m f x M <≤≤,()0b
a
g x dx =?,
则以下两个积分不等式
()()()
()()()()2
2222b
b b b
a
a
a
a
f x
g x dx
f x dx
g x dx m b a g x dx ≤--?
???及
()()()
()()2
2
22b
b
b
a
a
a
M m f x g x dx
f x dx
g x dx M m -??≤ ?+??
?
?
?成立．
证明：取()1h x =,由()0b a
g x dx =?及定理2.2知
()()()()()()()()2
200
b
b b
a
a
a
b b
a
a
b a
f
x dx
g x f x dx f x dx
f x
g x dx g x dx f x dx
b a
-?
????
?
()()()()(
)
()()()()(
)2
2
2
2
2
0b
b
b
b
b
a
a a a a
b a f
x dx g x dx f x dx g x dx b a f x g x dx
=-?---≥?????．
因此
()()()()()()()()2
2
2
2
21
b
b
b
b
b
a
a
a
a
a
f x
g x dx
f
x dx g x dx f x dx
g x dx b a
≤-
-??
??
?． (3.5)
由()m f x ≤可知
()()
()2
2
2b
a
f x dx
m b a ≥-?
,
因而
()()()()()()()2
2
2
2
2b
b
b
b
a
a
a a f x g x dx
f
x dx g x dx m b a g x dx ≤--?
?
??．
由于()0m f x M <≤≤,因此()2
2
22M m M m f x +-?
???-≤ ? ?????．
化简得()()()2f x Mm M m f x +≤+,
两边同时积分得 ()()()()2b
b
a
a
f x dx Mm b a M m f x dx +-≤+??,
由算数-几何平均值不等式可知 ()()()()222
b
b
a
a
f x dx Mm b a f x dx Mm b a ?-≤+-?
?,
于是
()()()()
()22
2
4b
a
b
a
b a f x dx
M m Mm
f x dx
-+≤
??
．
则
()()()2
2
1
b
b
a
a
f x dx
g x dx b a -?
?()()
()
()
()()2
2
22b
b
b
a
b
a
a a
f x dx
f
x dx g x dx
b a f x dx
=-?
???
()()()222
4b
b
a
a
Mm
f x dx
g x dx M m ≥
+??．
(3.6) 由式(3.5)和式(3.6)可知
()()()
()()2
2
22b
b
b
a
a
a
M m f x g x dx
f x dx
g x dx M m -??≤ ?+??
?
?
?． 证毕
以上两道题分别利用了Cauchy-Schwarz 不等式及其推广形式．我们在证明含有乘积及平方项的积分不等式时应用Cauchy-Schwarz 不等式颇为有用,但要注意选取适当的()x f 与
()x g ,有时还需对积分进行适当的变形．
3.4 利用积分中值定理
积分中值定理展现了将积分转化为函数值,或者是将复杂函数积分转变为简单函数积分的方法.其在应用中最重要的作用就是将积分号去掉或者是将复杂的被积函数转化为相比较而言较为简单的被积函数,从而使得问题能够简化.因此合理的利用积分中值定理能够有效的简化问题.下面将通过两道例题来说明．
定理 3.3（积分第一中值定理） 若()f x 在[,]a b 上可积且()m f x M ≤≤,则存在
[,]u m M ∈使()()b
a f x dx u
b a =-?成立.特别地,当()f x 在[,]a b 上连续,则存在[,]
c a b ∈,使
()()()b
a
f x dx f c b a =-?
成立．
定理 3.4（积分第一中值定理的推广） 若函数()x f ,()x g 在区间[]b a ,上可积,()x f 连续,()x g 在[]b a ,上不变号,则在积分区间[]b a ,上至少存在一个点ε,使得下式成立
()()()()??=b
a
b
a
dx x g f dx x g x f ε．
定理3.5（积分第二中值定理的推广） 若函数()x f ,()x g 在区间[]b a ,上可积,且()x f 为单调函数,则在积分区间[]b a ,上至少存在一个点ε,使得下式成立 ()()()()()()???+=εε
a
b
b
a
dx x g b f dx x g a f dx x g x f ．
例3.4.1 设函数()f x 在区间[]0,1上连续单调递减,证明：对)1,0(,∈?b a ,且10<≤
b
a a f x dx f x dx b
≥
??,其中()0≥x f ． 对于这道题目我们在3.2.2中给出了其利用辅助函数法证明的过程,实际上这道题目还可以用积分第一中值定理来证明,下面我们将给出证明过程．
证明：由积分中值定理知 ()()10
a
f x dx f a ξ=??, []10,a ξ∈； ()()()2b
a
f x dx f b a ξ=?-?,[]2,a b ξ∈；
因为12ξξ≤,且()f x 递减,所以有()()12f f ξξ≥,
即
()()()0111a b b
a a f x dx f x dx f x dx a
b a b ≥≥-???, 故 ()()0a b
a
a f x dx f x dx
b ≥??． 证毕
例3.4.2 设()x f 在[]b a ,上连续且单调增加,证明：()()??+≥
b
a
b
a
dx x f b a dx x xf 2． 同样地，在之前的证明中我们给出了此题利用辅助函数法证明的过程,仔细分析观察这道题目我们还可以发现它可以用积分第一、第二中值定理的推广形式来证明,接着我们将给出此题在这两种方法下的证明过程．
证法一
证明: ()2b
a a
b x f x dx +??- ????()()2222a b
b a b a a b a b x f x dx x f x dx ++++????=-+- ? ????
???．
由定理3.4可知,分别存在1,2a b a ξ+??∈ ???,2,2a b b ξ+??
∈
???
, 使得 ()()22122a b
a b
a
a a
b a b x f x dx f x dx ξ++++????-=- ? ????
??
?,
()()22222b
b a b a b a b a b x f x dx f x dx ξ++++?
???-=- ? ???????, 因此()()()()()2
2
1
28b
a a
b a b x f x dx f f ξξ-+?
?-=- ??
??,由于()x f 在[]1,0单调增加的,且
1201ξξ<<<,所以有 ()()210f f ξξ-≥．
从而()02b
a a
b x f x dx +??-≥ ??
??,故原不等式成立, 证毕 证法二
证明:由定理3.5可知：存在(),a b ξ∈,
使得 ()2b
a a
b x f x dx +?
?- ??
??()()22b a a b a b f a x dx f b x dx ξξ++????=-+- ? ??????? ()()()()f a f b a b ξξ=---????????．
由()x f 单调增加及(),a b ξ∈知()()0f a f b -<,0a ξ->,0b ξ-<．
可得()02b a a b x f x dx +??
-≥ ??
??,故原不等式成立, 证毕 通过上述两道题目我们可以了解到积分中值定理在实际应用中起到的重要作用就是能够使积分号去掉,或者是将复杂的被积函数转化为相对而言较简单的被积函数,从而使问题得到简化.因此,对于证明有关结论中包含有某个函数积分的不等式,或者是要证明的结论中含有定积分的,可以考虑采用积分中值定理,从而去掉积分号,或者化简被积函数．
3.5 利用积分的性质
关于积分的性质在高等数学的学习中我们已经学到了很多,我们可以利用它来证明许多问题.在这里我们主要利用定积分的比较定理和绝对值不等式等性质对问题进行分析处理．
例3.5.1[9] 设()f x 在[]0,1上导数连续,试证：[]0,1x ?∈,
有
()()()1
0f x f x f x dx ??'≤+?
??． 证明：由条件知()f x 在[]0,1上连续,则必有最小值, 即存在[]00,1x ∈,()()0f x f x ≤,
由()()()0
0x
x f t dt f x f x '=-??()()()0
0x
x f x f x f t dt '=+?,
()()()0
0x
x f x f x f t dt '=+?
≤()()0
0x x f x f t dt '+?≤()()1
00
f x f t dt '+?
()()1100
f x dt f t dt '=+??
≤()()1100f t dt f t dt '+??()()1
0f t f t dt ??'=+?
?? ()()10
f x f x dx ??'=
+???.故原不等式成立, 证毕
3.6 利用泰勒公式
在现代数学中泰勒公式有着重要的地位,它在不等式的证明、求极限以及求高阶导数在某些点的数值等方面有着重要的作用.关于泰勒公式的应用已经有很多专家学者对其进行了深入的研究,下面我们将举例说明利用泰勒公式也是证明积分不等式的一种重要方法．
定理 3.6(带有拉格朗日型余项的Taylor 公式) 设函数()f x 在点0x 处的某邻域内具有
1n +阶连续导数,则对该邻域内异于0x 的任意点x ,在0x 与x 之间至少存在一点ξ,使得：
20000000()
()()()()()()()()2!
!
n n n f x f x f x f x f x x x x x x x R x n '''=+-+-+
+-+ (1)
其中(1)10()
()()(1)!
n n n f R x x x n ξ++=
-+（ξ在x 与0x 之间）称为拉格朗日型余项,(1)式称为泰勒公式．
例3.6.1[10] 设()f x 在[],a b 上有二阶连续导数,()()0f a f b ==,[]
(),max x a b M f x ∈''=,
试证明:
()
()3
12
b
a
b a f x dx M -≤
?．
证明：对(),x a b ?∈,由泰勒公式得 ()()()()()()2
1
2f
a f x f
x a x f
a x ξ'''=+-+-
, (),a x ξ∈, ()()()()()()2
1
2
f
b f x f
x b x f
b x η'''=+-+-
, (),x b η∈, 两式相加得 ()()()()()()22124a b f x f x x f a x f b x ξη+????'''''=---+- ????
?,
两边积分得 ()()()()()()22124b b
b a
a
a a
b f x dx f x x dx f a x f b x dx ξη+????'''''=---+- ????
???
?, 其中 ()()()22b b b a a a a b a b f x x dx x df x f x dx ++?
???'-=-=- ? ????
????, 于是有 ()()()()()22
18
b
b a a f x dx f a x f b x dx ξη??''''=-+-????, 故
()()()()22
3812
b
b a
a M M f x dx a x
b x dx b a ??≤-+-=-???
?． 证毕 例3.6.2[6] 设()f x 在[],a b 上有二阶导数,且()0f x ''>,
求证 ()()2b
a a
b f x dx b a f +??
≥- ???
?． 证明：将()f x 在02
a b
x +=
处作泰勒展开得到
()()2
122222a b a b a b a b f x f f x f x ξ++++????????'''=+-+- ? ??? ?????????, ,2a b x ξ+??∈ ???． 因为()0f x ''>,所以可以得到 ()222a b a b a b f x f f x +++??????'≥+- ? ?????????
, 对不等式两边同时积分得到 ()()222b b a a a b a b a b f x dx f b a f x dx +++??????'≥-+- ? ? ?????????． 因为02b
a a
b x dx +?
?-= ???
?, 所以有()()2b a a b f x dx b a f +??
≥- ???
?． 证毕
通过这两道题目我们大致可以了解到当题目中出现被积函数在积分区间上有意义且有二阶及二阶以上连续导数时,是提示我们用泰勒公式证明的最明显的特征．一般情况下我们选定一个点o x ,并写出()x f 在这个点o x 处的展开公式,然后进行适当的放缩或与介值定理相结合来解决问题．
3.7 利用重积分
在一些积分不等式的证明中,由于被积函数的不确定,从而我们不能求出其具体的数值,这时我们可以将定积分转换为二重积分再利用其性质来求解．以下列举了3种利用重积分来证明积分不等式的方法,这种技巧在高等数学中虽然不常见,但却是很重要的,下面我们将通过3道例题来进一步说明．
3.7.1 直接增元法
命题一
[11]
：若在区间[,]a b 上()()f x g x ≥,则()()b b
a a f x dx g x dx ≥??
．
例3.7.1[11] 设()f x ,()g x 在[,]a b 上连续,且满足：
()()x
x a
a
f t dt
g t dt ≥?
?,[,]x a b ∈,()()b b a a f t dt g t dt =??,证明：()()b b
a a
xf x dx xg x dx ≤??．
证明：由题得()()x x
a
a
f t dt
g t dt ≥??,
从而可以得到()()b x b x a
a
a
a
dx f t dt dx g t dt ≥????,即[()()]0b x
a a
dx f t g t dt -≥??．
左式[()()]b x
a
a
dx f t g t dt =-?? [()()]D
f t
g t dxdt =-?? (其中{(,)|,}D x t a x b a t x =≤≤≤≤)
[()()]b b a
t
dt f t g t dx =-?? ()[()()]b
a
b t f t g t dt =--?
[()()][()()]b b b b a
a
a
a
b f t dt g t dt tf t dt tg t dt =---????[()()]0b b
a
a
tf t dt tg t dt =--≥??．
则 ()()0b b a
a
tf t dt tg t dt -≤?? , 即()()b b
a
a
xf x dx xg x dx ≤??． 证毕
在本题中我们将一元积分不等式()()x x
a
a
f x dx
g x dx ≥??的两边同时增加一个积分变量
b
a
dx ?
，使得一元积分不等式化为二元积分不等式，然后巧妙的运用转换积分变量顺序的方
法达到证明一元积分不等式的方法. 3.7.2 转换法
在利用重积分来证明积分不等式的时候，我们不但可以采用直接增元法，还可以采用转换法.关于转换法又分为将累次积分转换为重积分，以及将常数转换为重积分这两种形式.下面我们将依次来介绍这两种方法.
1.将累次积分转为重积分
命题二[11] 若()f x 在[,]a b 上可积,()g y 在[,]c d 上可积,则二元函数()()f x g y 在平面区域{(,)|,}D x y a x b c y d =≤≤≤≤上可积,且
()()()()()()b d b d
a
c
a
c
D
f x
g y dxdy f x dx g y dy f x dx g x dx ==??
????．
其中{(,)|,}D x y a x b c y d =≤≤≤≤
例 3.7.2[11] 设()p x ,()f x ,()g x 是[,]a b 上的连续函数,在[,]a b 上,()0p x >,()f x ,()g x 为单调递增函数,试证：
()()()()()()()()b
b b b
a
a
a
a
p x f x dx p x g x dx p x dx p x f x g x dx ≤?
???．
证明：由()()()()()()()()b b
b
b
a
a
a
a
p x f x dx p x g x dx p x dx p x f x g x dx ≤????可知：
()()()()()()()()0b
b b b
a
a
a
a
p x dx p x f x g x dx p x f x dx p x g x dx -≥?
???,
令()()()()()()()()b b
b
b
a
a
a
a
I p x dx p x f x g x dx p x f x dx p x g x dx =-????,
下证0I ≥；
()()()()()()()()b
b
b
b
a
a
a
a
I p x dx p x f x g x dx p x f x dx p x g x dx =-????
()()()()()()()()b b b b
a
a
a
a
p x dx p y f y g y dy p x f x dx p y g y dy =-????
()()()()()()()()b
b
b
b
a a a
a
p x p y f y g y dxdy p x f x p y g y dxdy =-???
?
()()()[()()]b
b
a a
p x p y g y f y f x dxdy =-?
?
． (3.7)
同理
()()()()()()()b
b
b
b
a
a
a
a
I p x d x
p x f x g x d x
p x f x d x p x g x d x =-????
()()()()()()()b b
b
b
a
a
a
a
p y d y
p x f x g x d x
p y f y d y p x g x d x
=-????
()()()[()()]b
b
a a p y p x g x f x f y dxdy =-??． (3.8)
(3.7)+(3.8) 得 2()()[()()][()()]b b
a
a
I p x p y g y g x f y f x dxdy =--?
?
,
因为()f x ,()g x 同为单调增函数,所以[()()][()()]0g y g x f y f x --≥ 又因为()0p x >,()0p y >,故
2()()[()()][()()]0b
b
a
a
I p x p y g y g x f y f x dxdy =--≥?
?
,即0I ≥． 证毕
2.将常数转换为重积分的形式
在例3.7.2中我们介绍了将累次积分转换为重积分,在下面的例3.7.3中我们将对常数转换为重积分来进行说明．我们可以发现有这样一个命题,若在二重积分中被积函数
(,)f x y k =,则可得到2()D
kd k b a σ=-??,其中{(,)|,}D x y a x b a y b =≤≤≤≤．
例3.7.3
函数()f x 在[,]a b 上连续,且()0>x f 试证：21
()()()
b
b
a
a
f x dx dx b a f x ≥-?
?
． 本题与前面的例3.1以及例3.2.3是同一道题目,在这里我们将利用重积分证明此题． 证明：原题即为 1
()()b
b
a a
D
f x dx dy d f y σ≥??
??,
移项可得()
(
1)0()
D
f x d f y σ-≥??,
()()()
2(
1)(1)(1)0()()()D
D D
f x f x f y d d d f y f y f x σσσ-=-+-≥??????, 所以即为证()()(
2)0()()D
f x f y d f y f x σ+-≥??,因为()0f x ≥,()0f y ≥,所以()()
20()()
f x f y f y f x +-≥． 故 ()()(
2)0()()
D
f x f y d f y f x σ+-≥?? 恒成立,即21()()()b b a a f x dx dx b a f x ≥-??成立, 证毕
通过以上三道例题我们可以大致了解到，在这一类定积分不等式的证明过程中我们一般先将所要证明的不等式转化为二次积分的形式,进一步再转换为二重积分,最后利用二重积分的性质或其计算方法得出结论.这种方法克服了数学解题过程中的高维数转化为低维数的思维定势,丰富了将二重积分与定积分之间互化的数学思想方法．
3.8 利用微分中值定理
微分中值定理是数学分析中的重要的一个基本定理,它是指罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理以及泰勒中值定理这四种定理.关于微分中值定理的应用也是很广泛的,证明不等式是微分中值定理最基本的应用之一.在这里我们将对利用柯西中值定理及拉格朗日中值定理证明积分不等式进行研究.下面将通过两个例子来具体说明这两个定理在证明积分不等式中的应用,以及不同的微分中值定理在证明不等式时的区别．
例3.8.1[12] 设()0f a =,()f x 在区间[],a b 上的导数连续,证明：
()()[]
()2
,1
1
max 2b
a
x a b f x dx f x b a ∈'≤
-?． 证明：应用Lagrange 中值定理,(),a x ξ?∈,其中a x b <<,使得 ()()()()f x f a f x a ξ'-=-, 因为()0f a =, 所以()f x M x a ≤-, []
(),max x a b M f x ∈'=,
从a 到b 积分得 ()b
b
a a
f x dx M x a dx ≤-??
()()222
b
a b
M M x a dx x a =-=-?
()()()22
1max 22M b a f x b a '=
-=-．即()
()[]
()2,11
max 2b
a
x a b f x dx f x b a ∈'≤
-?
. 证毕
例3.8.2[13] 设函数()f x 在[]0,1上可微,且当()0,1x ∈时,()01f x '<<,()00f =
试证：
()()()2
1
1
3
f x dx f
x dx >??．
证明：令()()()
2
x
F x f t dt =
?
,()()30
x
G x f t dt =?,
()(),F x G x 在[]0,1上满足柯西中值定理,则
()()
()()()()()()
()
2
10
1
3
1010f x dx F F F G G G f
x dx
ξξ'-=
='-??
()()()
()()
3
2
22f f t dt
f t dt
f
f
ξ
ξ
ξξξ=
=
??
()01ξ<<
()()()()
22
20f t dt f t dt
f f
ξ
ξ-=
-??()()()22f f f ηηη=
'()
1
1f η=>' , ()01ηξ<<<．
所以
()()
()2
1
1
20
f x dx
f x dx >?
?． 证毕
通过以上两道题目可以发现：
1.在应用Lagrange 中值定理时先要找出符合条件的函数()f x ,并确定()x f 在使用该定理的区间[]b a ,,对()x f 在区间[]b a ,上使用该定理．若遇到不能用该定理直接证明的,则从结论出发,观察并分析其特征,构造符合条件的辅助函数之后再应用Lagrange 中值定理．
2.在研究两个函数的变量关系时可以应用Cauchy 中值定理,在应用该定理证明不等式时关键是要对结果进行分析,找出满足Cauchy 中值定理的两个函数()x f ,()x g ,并确定它们应用柯西中值定理的区间[]b a ,,然后在对()x f ,()x g 在区间[]b a ,上运用Cauchy 中值定理．
无论是Cauchy 中值定理还是Lagrange 中值定理在积分不等式的证明中都各具特色,都为解题提供了有力的工具.总之在证明不等式时需要对结论认真的观察有时还需要进行适当的变形,才能构造能够应用中值定理证明的辅助函数,进而利用微分中值定理证明不等式．
4．总结
我们通过查阅有关积分不等式的文献和资料,并对其中的相关内容进行对比和分析后,将有关的内容加以整理并扩充形成了本文.在论文中给出了两个重要的积分不等式的证明以及总结了八种积分不等式的证明方法.然而由于自己的参考资料面不够广,参考的大多数文献都是仅给出了例题及其证明方法,而并没有给出进一步的分析,同时自己的知识面较窄,能力有限,导致还有很多难度较大的问题尚未解决．例如,在实际的问题中,还有一些证明方法是我们所不知道的,并且还有一些不等式并不能用本文所给出的八种方法来证明,这就需要我们进一步的思考与研究.今后我们应该更多的参考其他资料,充分拓展思路,以便于提出新的观点．
积分不等式的若干证明技巧
题目：积分不等式的若干证明技巧 学院：数学科学学院 专业班级：数学07－4实验班 学生姓名：努尔艾拉.阿西木 指导教师：塔实甫拉提副教授 答辩日期：2011年5月10日 新疆师范大学教务处
目录 1引言 (1) 2 利用有些定义证明积分不等式 (1) 2.1利用定积分的定义证明积分不等式 (1) 2.2利用积分和及凸函数的性质证明积分不等式 (2) 3 利用函数的单调性证明积分不等式 (4) 4利用微分中值定理证明积分不等式 (4) 5利用积分中值定理证明积分不等式 (6) 6利用一些基本不等式证明积分不等式 (7) 7利用泰勒展开式证明积分不等式 (7) 8利用将单积分化为重积分的方法 (8) 9利用分部积分法来证明积分不等式 (9) 10 结论 (10) 参考文献： (11) 致谢 (12)
积分不等式的若干证明技巧 摘要：不等式是高等数学和近代数学分析的重要内容之一，它反映了各变量之间很重要的一种联系。论证不等式的方法很多，本文的目的主要是利用徽积分学原理归纳、总结“高等数学”中证明积分不等式的常用方法.由于积分具有较大的灵活性，故积分不等式的证明往往富有很强的技巧性，是理工科学生学习的一个难点，以下我们仅从讨论过程中的关键步骤出发，大致地分成若干种方法，介绍有关证题的技巧和规律。 关键词：积分不等式，积分中值定理；Rolle中值定理；Cauchy中值定理；Lagrange中值定理 Integral inequality of several proof skills Abstracts：inequality is higher mathematics and the important content of modern mathematics analysis, it reflects the one between the variables a contact is very important. Demonstrates many methods, this paper the inequality in the main purpose of the principle is to use badge integral calculus "advanced mathematics synthesized and summarized in" the commonly used method proved integral inequality. Because integral has greater flexibility, so integral inequality proof often rich strong skilled, an engineering student learning a difficulty, below we only from a critical step in discussion, starting into several ways roughly, introduces relevant papers topic the skills and law. Keywords: integral inequality, integral mean-value theorem; Rolle mid-value theorem; Cauchy mid-value theorem; Lagrange mid-value theorem 。
不等式典型例题之基本不等式的证明
5.3、不等式典型例题之基本不等式的证明——（6例题） 雪慕冰 一、知识导学 1.比较法：比较法是证明不等式的最基本、最重要的方法之一，它是两个实数大小顺序和运算性质的直接应用，比较法可分为差值比较法(简称为求差法)和商值比较法(简称为求商法). (1)差值比较法的理论依据是不等式的基本性质：“ａ-ｂ≥0ａ≥ｂ；ａ-ｂ≤0ａ≤ｂ”.其一般步骤为：①作差：考察不等式左右两边构成的差式，将其看作一个整体；②变形：把不等式两边的差进行变形，或变形为一个常数，或变形为若干个因式的积，或变形为一个或几个平方的和等等，其中变形是求差法的关键，配方和因式分解是经常使用的变形手段；③判断：根据已知条件与上述变形结果，判断不等式两边差的正负号，最后肯定所求证不等式成立的结论.应用范围：当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时一般使用差值比较法. (2)商值比较法的理论依据是：“若ａ，ｂ∈R + ，ａ/ｂ≥1ａ≥ｂ；ａ/ｂ≤1ａ≤ｂ”.其一般步骤为：①作商：将左右两端作商；②变形：化简商式到最简形式；③判断商与1的大小关系，就是判定商大于1或小于1.应用范围：当被证的不等式两端含有幂、指数式时，一般使用商值比较法. 2.综合法：利用已知事实(已知条件、重要不等式或已证明的不等式)作为基础，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后推出所要证明的不等式，其特点和思路是“由因导果”，从“已知”看“需知”，逐步推出“结论”.即从已知Ａ逐步推演不等式成立的必要条件从而得出结论Ｂ. 3.分析法：是指从需证的不等式出发，分析这个不等式成立的充分条件，进而转化为判定那个条件是否具备，其特点和思路是“执果索因”，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”.用分析法证明书写的模式是：为了证明命题Ｂ成立，只需证明命题Ｂ1为真，从而有…，这只需证明Ｂ2为真，从而又有…，……这只需证明Ａ为真，而已知Ａ为真，故Ｂ必为真.这种证题模式告诉我们，分析法证题是步步寻求上一步成立的充分条件. 4.反证法：有些不等式的证明，从正面证不好说清楚，可以从正难则反的角度考虑，即要证明不等式Ａ>Ｂ，先假设Ａ≤Ｂ，由题设及其它性质，推出矛盾，从而肯定Ａ>Ｂ.凡涉及到的证明不等式为否定命题、惟一性命题或含有“至多”、“至少”、“不存在”、“不可能”等词语时，可以考虑用反证法. 5.换元法：换元法是对一些结构比较复杂，变量较多，变量之间的关系不甚明了的不等式可引入一个或多个变量进行代换，以便简化原有的结构或实现某种转化与变通，给证明带来新????
高中不等式的证明方法
不等式的证明方法 不等式的证明是高中数学的一个难点，证明方法多种多样，近几年高考出现较为形式较为活跃，证明中经常需与函数、数列的知识综合应用，灵活的掌握运用各种方法是学好这部分知识的一个前提，下面我们将证明中常见的几种方法作一列举。 注意ab b a 22 2 ≥+的变式应用。常用2 222b a b a +≥ + (其中+ ∈R b a ,)来解决有关根式不等式的问题。 一、比较法 比较法是证明不等式最基本的方法，有做差比较和作商比较两种基本途径。 1、已知a,b,c 均为正数，求证： a c c b b a c b a ++ +++≥++1 11212121 证明：∵a,b 均为正数， ∴ 0) (4)(44)()(14141)(2 ≥+=+-+++=+-+-b a ab b a ab ab b a a b a b b a b a b a 同理 0)(41 4141)(2 ≥+= +-+-c b bc c b c b c b ，0) (414141)(2 ≥+=+-+-c a ac a c a c a c 三式相加，可得 01 11212121≥+-+-+-++a c c b b a c b a ∴a c c b b a c b a ++ +++≥++111212121 二、综合法 综合法是依据题设条件与基本不等式的性质等，运用不等式的变换，从已知条件推出所要证明的结论。 2、a 、b 、),0(∞+∈c ，1=++c b a ，求证： 31222≥ ++c b a 证：2 222)(1)(3c b a c b a ++=≥++?∴ 2222)()(3c b a c b a ++-++0 )()()(222222222222≥-+-+-=---++=a c c b b a ca bc ab c b a 3、设a 、b 、c 是互不相等的正数，求证：)(4 4 4 c b a abc c b a ++>++ 证 ： ∵ 2 2442b a b a >+ 2 2442c b c b >+ 2 2442a c a c >+∴ 222222444a c c b b a c b a ++>++ ∵ c ab c b b a c b b a 2 2222222222=?>+同理：a bc a c c b 222222>+ b ca b a a c 222222>+ ∴ )(222222c b a abc a c c b b a ++>++ 4、 知a,b,c R ∈，求证: )(22 2 2 2 2 2 c b a a c c b b a ++≥++ ++ + 证明：∵ ) (2 2 2 2 2 2 2 2)(22b a b a b a b a ab ab +≥++≥+∴≥+
使用定积分巧妙证明一类和式不等式
使用黎曼和巧妙证明一类和式不等式 摘要：借助黎曼和几何意义得到一类和式不等式的巧妙证明方法：考虑通过图像看出逼近定积分的过程中产生的一系列黎曼和总是大于或小于定积分值，从而建立黎曼和与定积分的不等关系，而和式又常常就是黎曼和，这样便建立了和式和定积分的不等关系，和式不等式便得以简化。 使用黎曼和精确放缩特性做加强命题：通过取出某些项使其不参与定积分的放缩来加强不等式。 关键词：定积分，黎曼和，和式不等式，证明与加强。 对于和式不等式，由于其变幻较为复杂，构造较为精巧，通常不易证明。针对一类有特殊特征的和式不等式，除了使用通常的构造、不等式放缩以外，还可以用黎曼和巧妙证明，从而免去繁杂的构造和放缩，使其证明更加简洁优美。 黎曼和：对一个在闭区间[,]a b 有定义的实值函数f ，f 关于取样分割0,,n x x 、01,,n t t - 的黎曼和 定义为以下和式： 直观地说就是以标记点i t 到x 轴的距离为高，以分割的子区间为长的矩形的面积，它是求积分时在过程的中间形态，当n →+∞，矩形宽0→，则黎曼和就接近于定积分值。 例一（2012天津高考理科数学，20，第（3）问）证明12 2ln(21)21 n i n i =<+-∑（ ）- *()n N ∈ 分析：本题作为第三小题，原解答使用了第二问的结论，进行构造颇为繁琐，若撇开前两问， 单对此不等式分析，发现12 ln(21)221 n i n i =?<++-∑ 原式，左边是分式的累加，右边是对数函数，联想到1ln ||dx x C x =+?,因而一个简洁的证明就是取2 21 i -的不足黎曼和 证明：1 1 1 2 22 2121n n i dx i i ++=>--∑ ?由于 ……① 112222212121 n n i dx i n x +=∴+<-+-∑ ? 222 ln(21)2121 n i n i n =∴+<+-+∑ 222ln(21)22121 n i n i n =∴++2<++-+∑ 122ln(21)22121n i n i n =+<++-+∑即，舍去 221n + 即证得12ln(21)221 n i n i =<++-∑
不等式证明的常用基本方法
证明不等式的基本方法 导学目标：1.了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法.2.会用比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法证明比较简单的不等式． [自主梳理] 1.三个正数的算术—几何平均不等式：如果a ，b ，c>0，那么_________________________，当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立． 2.基本不等式(基本不等式的推广)：对于n 个正数a 1，a 2，…，a n ，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即a 1＋a 2＋…＋a n n ≥n a 1·a 2·…·a n ，当且仅当__________________时等号成立． 3.证明不等式的常用五种方法 (1)比较法：比较法是证明不等式最基本的方法，具体有作差比较和作商比较两种，其基本思想是______与0比较大小或______与1比较大小． (2)综合法：从已知条件出发，利用定义、______、______、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立，这种证明方法叫综合法．也叫顺推证法或由因导果法． (3)分析法：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的________条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义 、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立为止，这种证明方法叫分析法．也叫逆推证法或执果索因法． (4)反证法 ①反证法的定义 先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，我们把它称为反证法． ②反证法的特点 先假设原命题不成立，再在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实等矛盾． (5)放缩法 ①定义：证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值________或________，简化不等式，从而达到证明的目的，我们把这种方法称为放缩法． ②思路：分析观察证明式的特点，适当放大或缩小是证题关键． 题型一 用比差法与比商法证明不等式 1.设t ＝a ＋2b ，s ＝a ＋b 2＋1，则s 与t 的大小关系是( A ) ≥t >t ≤t
几类定积分不等式的证明
万方数据
万方数据
几类定积分不等式的证明 作者：王阳， 崔春红 作者单位：河北农业大学中兽医学院,河北定州,073000 刊名： 和田师范专科学校学报 英文刊名：JOURNAL OF HOTAN TEACHERS COLLEGE 年，卷(期)：2009，28(3) 被引用次数：0次 参考文献(4条) 1.白银凤微积分及其应用 2001 2.刘连福.许文林高等数学 2007 3.詹瑞清高等数学全真课堂 2003 4.沈燮吕.邵品宗数学分析纵横谈 1991 相似文献(10条) 1.期刊论文杜红敏.Du Hong-min浅谈定积分在不等式证明与因式分解中应用-中国科教创新导刊2009,""(3) 定积分是高中新课程体系中一个新增加的重要内容,很多教师在该部分内容的教学时都与高中其他知识点割裂开未,殊不知,定积分在高中阶段解题中具有广泛的应用,本文以定积分在不等式证明和因式分解中应用为例,探讨定积分在高中解题中的应用. 2.期刊论文陈欢定积分的一个不等式及其应用-福州大学学报(自然科学版)2003,31(6) 线性是定积分最重要的性质之一,在此基础上定性地分析了形如gfn的函数的定积分的随着n的变化趋势,得到一个定理,并利用这个定理重新证明了Holder不等式. 3.期刊论文嵇国平.Ji Guoping定积分在不等式上的应用-常州师范专科学校学报2003,21(2) 不等式的证明是中学教学的一个重要内容,同时也是一个数学难点.由于微积分部分内容逐步渗透到中学数学中,用定积分方法解决不等式证明已成为可能. 4.期刊论文张惠玲.ZHANG Hui-ling定积分中不等式性质的研究-西安航空技术高等专科学校学报2009,27(3) 关于不等式的性质结论中等号成立的问题,在定积分中,进行了研究与探讨,并举例说明了它的应用. 5.期刊论文冯其明含∑nk=1f(k/n)的不等式的一种证法-高等数学研究2003,6(4) 利用定积分的定义及其几何意义可证明一些含∑nk=1f(k)/(n)的不等式. 6.期刊论文侯晓星.HOU Xiao-xing含定积分的不等式证明-泰州职业技术学院学报2005,5(4) 定积分不等式的证明是常见的一种题型.通过对典型例题的分析,利用换元法将被积函数转化为非负函数,或将定积分不等式视为数值不等式,再利用函数的单调性等,论述了含定积分的不等式证明的一般规律及求证方法. 7.期刊论文程仁华.李丽定积分的定义与某些重要不等式的推广应用-景德镇高专学报2004,19(4) 本文通n个正数的调和平均值、几何平均值、算术平均值及k次幂平均值的关系,并利用定积分的定义和连续函数极限的性质推导出函数的上述四种平均值之间的类似关系. 8.期刊论文沈凤英.孙存金.SHEN Feng-ying.SUN Cun-jin Schwarz不等式及旋转体侧面积的计算问题-苏州市职业大学学报2006,17(4) 文章应用Schwarz不等式的知识,给出了旋转体侧面积计算公式的一个新颖的证明,并同时指出用定积分计算旋转体侧面积时应该避免发生的错误. 9.期刊论文林银河关于Minkowski不等式的讨论-丽水师范专科学校学报2003,25(5) 在有关定积分不等式中,Minkowski不等式占有重要地位.将<数学分析>中提到的Minkowski不等式推广到更加一般的情形,从而改进已有的结论. 10.期刊论文刘放不等式(1/n+1+1/n+2+…+1/2n)2《1/2的六种不同证法-宜宾学院学报2003,6(6) 给出了不等式((1)/(n+1)+(1)/(n+2)+…+(1)/(2n))2＜(1)/(2)的六种不同证法. 本文链接：https://www.wendangku.net/doc/724083305.html,/Periodical_htsfgdzkxxxb-hwb200903135.aspx 授权使用：中共汕尾市委党校(zgsw)，授权号：05ca550e-ea59-4c55-8af2-9da600b00ff2，下载时间：2010年7月 1日
用微积分理论证明不等式的方法
用微积分理论证明不等式的方法 高等数学中所涉及到的不等式，大致可分为两种:函数不等式(含变量)和数值不等式(不含变量)．对于前者，一般可直接或稍加变形构造一函数，从而可通过研究所构造函数的性质，进而证明不等式；对于后者，我们也可根据数值不等式的特点，巧妙的构造辅助函数，从而将数值不等式问题转化为函数的问题，研究方法正好与前者相似． 微积分是高等数学中的重要内容，以它为工具能较好的研究函数的形态，有些常规方法难于证明的不等式，若能根据不等式的结构特征，巧妙的构造函数，将不等式问题转化为函数的问题，利用微积分理论研究函数的性质，应用函数的性质证明不等式． 一、用导数定义证明不等式法 1．证明方法根据－导数定义 导数定义：设函数)(x f y =在点。0x 的某个邻域内有定义，若极限 x y x x x x x x f x f ??→?→=--lim lim 0) ()(0 存在，则称函数)(x f 在0x 可导，称这极限为函数)(x f y =在点0 x 的导数，记作)(0x f y '=． 2．证明方法： (1)找出0x ，使得)(0x f y '=恰为结论中不等式的一边；(2)利用导数的定义并结合已知条件去研究． 3．例 例1:设函数nx a x a x a x f n sin 2sin sin )(21+++= ，其中n a a a ,,21都为实数， n 为正整数，已知对于一切实数x ，有x x f sin )(≤，试证：1221≤+++n na a a ． 证 明 ： 因 nx na x a x a x f n cos 2cos 2cos )(21+++=' ．则 n na a a f +++=' 212)0(． 得：x x f x x f x f x f f x x x ) ()(lim 0)0()()0(lim lim 00 →→→==--= '．由于x x f sin )(≤． 所以1sin )0(lim =≤ '→x x f x ．即1221≤+++n na a a ． 4.适用范围 用导数定义证明不等式，此方法得适用范围不广，我们应仔细观察问题中的条件与结论之间的关系．有些不等式符合导数的定义，因此可利用导数的定义将其形式转化，以达到化繁为简的目的． 二．用可导函数的单调性证明不等式法
积分不等式的证明及应用论文
广西科技大学毕业论文 题目：积分不等式的证明及应用 英文题目：The integral inequality proof and application.所在学院：理学院 所在专业：信息与计算科学 学号：200900901071 作者姓名：朱伟 指导老师：张明俊 二零一三年五月
摘要 积分不等式是学习高等数学中的一个重要内容，在数学分析中的应用也很广泛,也经常会在考研试卷中出现.有很多积分不等式的证明方法，一些方法综合性和技巧性也很强。利用导数和积分的相关知识去证明不等式，可以降低技巧性，使证明的思路变得简单，在此总结出可用于证明不等式的知识点。文中涉及到的知识有积分不等式、柯西不等式、拉格朗日中值定理、泰勒公式等高等数学中的内容。 【关键词】积分不等式、函数、拉格朗日中值定理、柯西不等式、泰勒公式
Abstract Mathematical analysis is an important information and calculation science specialized basic course,integral inequality is important content of mathematical analysis,using the integral inequality can solve many problems,thus the application of integral inequality is very wide.Proof of integral inequality and applications has always been a difficulty in mathematical analysis,it's proved that erected a bridge for different branches of mathematics,greatly improved our creative thinking.It's proof and application is also very cleverly,can solve some difficult problems.So,a deep understanding, to grasp the method of integral inequality proof, and its different applications in mathematical analysis,can improve our understanding of theoretical knowledge and application,at the same time also is good for our future study,to improve our thinking ability, innovation ability, and skill also has the very big help. 【Key words】Integral inequality, Probability mass function, Lagrange's mean value theorem, Cauchy inequality, Taylors formula.
高等数学中不等式的证明方法
高等数学中不等式的证明方法 摘要：各种不等式就是各种形式的数量和变量之间的相互比较关系或制约关系，因此， 不等式很自然地成为分析数学与离散数学诸分支学科中极为重要的工具，而且早已成为 专门的研究对象。高等数学中存在大量的不等式证明，本文主要介绍不等式证明的几种 方法，运用四种通法，利用导数研究函数的单调性，极值或最值以及积分中值定理来解 决不等式证明的问题。我们可以通过这些方法解决有关的问题，培养我们的创新精神， 创新思维，使一些较难的题目简单化、方便化。 关键词：高等数学；不等式；极值；单调性；积分中值定理 Abstract: A variety of inequality is the various forms of high-volume and variable comparison between the relationship or constraints. Therefore, Inequality is natural to be a very important tool in Analysis of discrete mathematics and various bran（https://www.wendangku.net/doc/724083305.html, 毕业论文参考网原创论文）ches of mathematics .It has been a special study.Today there are a large number of inequalities in higher mathematics .This paper introduces the following methods about Proof of Inequality ,such as the using of several general methods, researching monotone function by derivative, using extreme or the most value and Integral Mean Value Theorem . We can resolve the problems identified through these methods. It can bring up our innovative spirit and thinking and some difficult topics may be more easy and Convenient , Keyword: Higher Mathematics; Inequality; Extreme value Monotonicity; Integral Mean Value Theorem 文章来自：全刊杂志赏析网(https://www.wendangku.net/doc/724083305.html,) 原文地址： https://www.wendangku.net/doc/724083305.html,/article/16be7113-df3a-4524-a9c3-4ba707524e72.htm 【摘要】不等式证明是高等数学学习中的一个重要内容，通过解答考研数学中出现的 不等式试题，对一些常用的不等式证明方法进行总结。 【关键词】不等式；中值定理；泰勒公式；辅助函数；柯西 施瓦茨；凹凸性 在高等数学的学习过程当中，一个重点和难点就是不等式的证明，大多数学生在遇到不 等式证明问题不知到如何下手，实际上在许多不等式问题都存在一题多解，针对不等式的证 明，以考研试题为例，总结了几种证明不等式的方法，即中值定理法、辅助函数法、泰勒公
定积分不等式
第三章 一元积分学 第三节 定积分值的估计及不等式 定积分值的估计及不等式证明是一个较难的问题，方法多样，用到的知识（微分学的知识，积分学的知识等）也很多。总的说来： （1）主要用积分学的知识，除了定积分的性质、积分中值定理、计算方法外，以下几个简单的不等式也是有用的： （i ）若]),[( )()(b a x x g x f ∈≤，则?? ≤b a b a dx x g dx x f )()( . （ii ）? ?≤b a b a dx x f dx x f |)(||)(| . （iii ）若b d c a b a x x f ≤≤≤∈≥]),,[( 0)(,则?? ≤b a d c dx x f dx x f )()(. (iv)(柯西不等式)??? ≤b a b a b a dx x g dx x f dx x g x f )()(])()([ 222 (2)主要用微分学的知识,包括前面己讲过的利用微分学知识证明不等式的一切方法. (3)利用二重积分、级数等．值得注意的是：题目的解法往往有多种，同一题目其解答过程中往往要用到各种知识和方法． 例１．判断积分 ? π 20 2sin dx x 的符号 分析：这个积分值是求不出来的．如果被积函数在积分区间上有确切的符号，那么积分值的符号很容易判断．如果被积函数在积分区间上有正、有负，那么应根据被积函数的正、负情况将积分区间分成部分区间，然后利用积分学等方面的知识比较在这些部分区间上的积分值（实际上是比较积分值的绝对值）．本题中被积函数2 sin x 在积分区间上有正、有负，先作换元：2 x t =，把积分变为 dt t t dx x ?? =ππ 2020 2 sin 21sin 后，问题更清晰，因而想到 dt t t dx x ?? = ππ 2020 2sin 21sin +=?π0sin (21dx t t )sin 2?π π dt t t 至此积分的符号凭直觉已经能判断了．但严格说明还需做一些工作，上式右端两个积分 的积分区间不一样，为了方便比较，应将两个积分放在同一积分区间上进行比较．有了这些分析和思路后，解答就容易了． 解：令2 x t =，则 dt t t dx x ?? = ππ 2020 2sin 21sin ＝ +=?π0sin (21dx t t )sin 2?π π dt t t 对上式右端后一积分换元π+=u t 得 ? ? ?+-=+-=π π π π π π 2sin sin sin dt t t du u u dt t t 从而 =? π 20 2sin dx x -= ?π0sin (21dx t t )sin 0 ? +π π dt t t
积分不等式的证明方法及其应用
积分不等式的证明方法及其应用 【摘要】本文根据定积分的定义、性质、定理等方面简单介绍了几个证明积分 不等式的基本方法，并给出了相应的例题，从而更好地掌握其积分不等式的证明方法。尔后再给出四个重要积分不等式及其证明方法和应用，最后详细举例说明积分不等式在求极限、估计积分、证明积分不等式等上的应用及两个重要积分不等式的应用。 【关键词】积分不等式 Schwarz 不等式 Ho .. lder 不等式 Gronwall 不等式 Young 不等式 1 引言 在学习中，我们常会遇到这样的问题：有些函数可积，但原函数不能用初等函数的有限形式来表达，或者说这种积分“积不出”，无法应用Newton-Leibniz 公式求出（如2 1 0x e dx -?），这时我们只能用其它方法对积分值进行估计，或近似计 算；另一种情况是，被积函数是没有明确给出，只知道它的结构或某些性质（例如设函数f 在[]0,1上连续可微，且(1)(0)1f f -=，求1 '20()f x dx ?），因此我们希 望对积分值给出某种估计.为此我们来研究下积分不等式. 我们把含有定积分的不等式称为积分不等式. ? ? ≤ 2 1 2 1 ln ln xdx x xdx x ， ()() 2 2 ()cos ()sin 1b b a a f x kxdx f x kxdx +≤? ? 都是积分不等 式. 2积分不等式的证明方法 2.1 定义法 我们根据定积分的定义，把积分区间n 等分，得出积分和，再由离散型式子，得出积分和之间的大小关系，再令∞→n ，取极限即可. 例1设函数)(x f 在区间 []0,1上可积 .试证明有不等式1 12 00 ()()f x dx f x dx ≤ ?? . 证 先用Jensen 不等式法证明不等式 : 对 R x x x n ∈?,,,21 , 有不等式
高中数学基本不等式证明
不等式证明基本方法 例1 ：求证：221a b a b ab ++≥+- 分析：比较法证明不等式是不等式证明的最基本的方法，常用作差法和作商法，此题用作差法较为简便。 证明：221()a b a b ab ++-+- 2221[()(1)(1)]02 a b a b =-+-+-≥ 评注：1．比较法之一（作差法）步骤：作差——变形——判断与0的关系——结论 2．作差后的变形常用方法有因式分解、配方、通分、有理化等，应注意结合式子的形式，适当选 用。 例2：设c b a >>，求证：b a a c c b ab ca bc 2 22222++<++ 分析：从不等式两边形式看，作差后可进行因式分解。 证明：)(222222b a a c c b ab ca bc ++-++ =)()()(a b ab c a ca b c bc -+-+- =)()]()[()(a b ab c b b a ca b c bc -+-+-+- =))()((a c c b b a --- c b a >>Θ，则,0,0,0<->->-a c c b b a ∴0))()((<---a c c b b a 故原不等式成立 评注：三元因式分解因式，可以排列成一个元的降幂形式： =++-++)(222222b a a c c b ab ca bc )())(()(2a b ab b a b a c a b c -++-+-，这样容易发现规律。 例3 ：已知,,a b R +∈求证：11()()2()n n n n a b a b a b ++++≤+ 证明：11()()2()n n n n a b a b a b ++++-+ 11n n n n a b ab a b ++=+-- ()()n n a b a b a b =-+- ()()n n a b b a =--
证明不等式的几种常用方法
证明不等式的几种常用方法 证明不等式除了教材中介绍的三种常用方法，即比较法、综合法和分析法外，在不等式证明中，不仅要用比较法、综合法和分析法，根据有些不等式的结构，恰当地运用反证法、换元法或放缩法还可以化难为易．下面几种方法在证明不等式时也经常使用． 一、反证法 如果从正面直接证明，有些问题确实相当困难，容易陷入多个元素的重围之中，而难以自拔，此时可考虑用间接法予以证明，反证法就是间接法的一种．这就是最“没办法”的时候往往又“最有办法”，所谓的“正难则反”就是这个道理． 反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的，在使用反证法时，必须在假设中罗列出各种与原命题相异的结论，缺少任何一种可能，则反证法都是不完全的． 用反证法证题的实质就是从否定结论入手，经过一系列的逻辑推理，导出矛盾，从而说明原结论正确．例如要证明不等式A＞B，先假设A≤B，然后根据题设及不等式的性质，推出矛盾，从而否定假设，即A≤B不成立，而肯定A＞B成立．对于要证明的结论中含有“至多”、“至少”、“均是”、“不都”、“任何”、“唯一”等特征字眼的不等式，若正面难以找到解题的突破口，可转换视角，用反证法往往立见奇效． 例1 设a、b、c、d均为正数，求证：下列三个不等式：①a＋b＜c＋d； ②(a＋b)(c＋d)＜ab＋cd；③(a＋b)cd＜ab(c＋d)中至少有一个不正确． 反证法：假设不等式①、②、③都成立，因为a、b、c、d都是正数，所以
不等式①与不等式②相乘，得：(a ＋b)2＜ab ＋cd ，④ 由不等式③得(a ＋b)cd ＜ab(c ＋d)≤( 2 b a +)2 ·(c ＋d)， ∵a ＋b ＞0，∴4cd ＜(a ＋b)(c ＋d)， 综合不等式②，得4cd ＜ab ＋cd ， ∴3cd ＜ab ，即cd ＜31 ab ． 由不等式④，得(a ＋b)2＜ab ＋cd ＜ 34ab ，即a 2＋b 2＜－3 2 ab ，显然矛盾． ∴不等式①、②、③中至少有一个不正确． 例2 已知a ＋b ＋c ＞0，ab ＋bc ＋ca ＞0，abc ＞0，求证：a ＞0，b ＞0， c ＞0． 证明：反证法 由abc ＞0知a ≠0，假设a ＜0，则bc ＜0， 又∵a ＋b ＋c ＞0，∴b ＋c ＞－a ＞0，即a(b ＋c)＜0， 从而ab ＋bc ＋ca = a(b ＋c)＋bc ＜0，与已知矛盾． ∴假设不成立，从而a ＞0， 同理可证b ＞0，c ＞0． 例3 若p ＞0，q ＞0，p 3＋q 3= 2，求证：p ＋q ≤2． 证明：反证法 假设p ＋q ＞2，则(p ＋q)3＞8，即p 3＋q 3＋3pq (p ＋q)＞8， ∵p 3＋q 3= 2，∴pq (p ＋q)＞2． 故pq (p ＋q)＞2 = p 3＋q 3= (p ＋q)( p 2－pq ＋q 2)， 又p ＞0，q ＞0 ? p ＋q ＞0， ∴pq ＞p 2－pq ＋q 2，即(p －q)2 ＜0，矛盾．
定积分证明题方法总结六
定积分证明题方法总结六篇 定积分是历年数学的考查重点，其中定积分的证明是考查难点，同学们经常会感觉无从下手，小编特意为大家总结了定积分的计算方法，希望对同学们有帮助。 篇一：定积分计算方法总结一、不定积分计算方法 1. 凑微分法 2. 裂项法 3. 变量代换法 1) 三角代换 2) 根幂代换 3) 倒代换 4. 配方后积分 5. 有理化 6. 和差化积法 7. 分部积分法（反、对、幂、指、三） 8. 降幂法 二、定积分的计算方法 1. 利用函数奇偶性 2. 利用函数周期性 3. 参考不定积分计算方法 三、定积分与极限
1. 积和式极限 2. 利用积分中值定理或微分中值定理求极限 3. 洛必达法则 4. 等价无穷小 四、定积分的估值及其不等式的应用 1. 不计算积分，比较积分值的大小 1) 比较定理：若在同一区间[a,b]上，总有 f(x)>=g(x),则 >= ()dx 2) 利用被积函数所满足的不等式比较之 a) b) 当0 2. 估计具体函数定积分的值 积分估值定理：设f(x)在[a,b]上连续，且其最大值为M，最小值为m则 M(b-a) 3. 具体函数的定积分不等式证法 1) 积分估值定理 2) 放缩法 3) 柯西积分不等式 ≤ % 4. 抽象函数的定积分不等式的证法 1) 拉格朗日中值定理和导数的有界性 2) 积分中值定理 3) 常数变易法 4) 利用泰勒公式展开法
五、变限积分的导数方法 篇二：定积分知识点总结 1、经验总结 (1) 定积分的定义：分割—近似代替—求和—取极限 (2)定积分几何意义： ①f(x)dx(f(x)0)表示y=f(x)与x轴，x=a,x=b所围成曲边梯形的面积 ab ②f(x)dx(f(x)0)表示y=f(x)与x轴，x=a,x=b所围成曲边梯形的面积的相a 反数 (3)定积分的基本性质： ①kf(x)dx=kf(x)dx aabb ②[f1(x)f2(x)]dx=f1(x)dxf2(x)dx aaa ③f(x)dx=f(x)dx+f(x)dx aac (4)求定积分的方法：baf(x)dx=limf(i)xi ni=1nbbbbbcb ①定义法：分割—近似代替—求和—取极限②利用定积分几何意义 ’③微积分基本公式f(x)F(b)-F(a),其中F（x）=f(x) ba 篇三：定积分计算方法总结 1、原函数存在定理 ●定理如果函数f(x)在区间I上连续，那么在区间I上
探讨定积分不等式的证明方法
探讨定积分不等式的证明方法 摘要：文章针对被积函数的特性，给出了几种关于定积分不等式的有效证明方法。 关键词：定积分 不等式 证法 不等式的证明在高等数学的学习中很常见，但关于定积分不等式的证明却一直是一个难点。要证明定积分不等式，首先要看被积函数，其性质确定证明方法。本文根据被积函数的连续性、单调性、可导性等分别给出几种证法。 1．运用定积分中值定理证明 定积分中值定理是将定积分转化为连续函数在该区间上某点的函数值与该区间长度的乘积，即将定积分转化为函数来证明不等式。 例1：设)(x f 在[0,1]上连续且单调不增，证明a ?∈[0,1]有 ? a dx x f 0 )(≥ ?1 )(dx x f a ． 证明：由原不等式变形得? a dx x f 0 )(≥??+1 ))()(dx x f dx x f a a （, 即是要证：? -a dx x f a 0 )() 1(≥?10 )(dx x f a , 对左式，)(x f 在[0,1]上连续， 故 由定积分中值定理知： [] a ，01∈?ξ使 )()1()()110 ξf a a dx x f a a -=-?（, 同理对右式：[]12，a ∈ ?ξ使)()1()(2 1 ξ f a a dx x f a -=?,
显然，ξ1＜ξ2又f(x)在[0,1]上单调不增， ∴f (ξ1)≥f (ξ2) 故原不等式 ? a dx x f 0 )(≥?1 )(dx x f a 成立. 定积分中值定理的运用直观易懂，它的条件也极其简单，易于掌握。 2．运用辅助函数证明 构造辅助函数F(x)证明不等式，首先是做函数将要证结论中的积分上限（下限）换成x ，移项使不等式的一边为零，另一边的表达式即是辅助函数。然后再求F ’(x)，并运用单调性及区间端点值特性证明不等式。 例2：设)(x f 在[a ，b]上连续,且)(x f >0. 试证：2b )() (1 )(a b dx x f dx x f a b a -≥?? 证明：构造辅助函数2)() (1 )()(a x dt t f dt t f x F x a x a --=? ? （将b 换成x ）， 则??--+=x a x a a x dt t f x f dt t f x f x F )(2)() (1)(1)()(' = ??? -+x a x a x a dt dt x f t f dt t f x f 2) ()()() ( =dt x f t f t f x f x a )2) ()()()((-+? ∵)(x f ＞0，∴ 02) () ()()(≥-+x f t f t f x f ， 又a 4、基本不等式的证明（1） 目标： (,0)2 a b a b +≥的证明过程，并能应用基本不等式证明其他不等式。 过程： 一、问题情境 把一个物体放在天平的一个盘子上，在另一个盘子上放砝码使天平平衡，称得物体的质量为 a 。如果天平制造得不精确，天平的两臂长略有不同（其他因素不计） ，那么a 并非物体的实际质量。不过，我们可作第二次测量：把物体调换到天平的另一个盘上，此时称得物体的质量为b 。那么如何合理的表示物体的质量呢？ 把两次称得的物体的质量“平均”一下，以2 a b A +=表示物体的质量。这样的做法合理吗？ 设天平的两臂长分别为12,l l ，物体实际质量为M ，据力学原理有1221,l M l a l M l b == ，有2,M ab M == ,0a b >时，2 a b +叫,a b ,a b 的几何平均数 2 a b + 二、建构 一般，判断两数的大小可采用“比较法”： 02a b +-=≥ 2 a b +≤（当且仅当a b =时取等号） 说明：当0a =或0b =时，以上不等式仍成立。 从而有 2 a b +≤(0,0)a b ≥≥（称之“基本不等式” ）当且仅当a b =时取等号。 2 a b +≤的几何解释： 如图,,2 a b OC CD OC CD +≥== 三、运用 例1 设,a b 为正数，证明：1(1)2(2)2b a a a b a +≥+≥ 注意：基本不等式的变形应用 2,2a b a b ab +??≤+≤ ??? 例2 证明： 22(1)2a b ab +≥ 此不等式以后可直接使用 1(2)1(1)1 x x x + ≥>-+ 4(3)4(0)a a a +≤-< 2 2≥ 2 2> 例3 已知,0,1a b a b >+=，求证：123a b +≥+ 四、小结 五、作业 反馈32 书P91 习题1，2，34 基本不等式的证明(1)