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2020年高考数学压轴题不等式专项(解析版)

2020年高考数学压轴必刷题

专题07不等式(文理合卷)

1．【2019年北京理科08】数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C ：x 2+y 2＝1+|x |y 就是其中之一（如图）．给出下列三个结论：

①曲线C 恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； ②曲线C 上任意一点到原点的距离都不超过√2； ③曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3．其中，所有正确结论的序号是（）

A ．①

B ．②

C ．①②

D ．①②③

【解答】解：将x 换成﹣x 方程不变，所以图形关于y 轴对称，当x ＝0时，代入得y 2＝1，∴y ＝±1，即曲线经过（0，1），（0，﹣1）；

当x ＞0时，方程变为y 2﹣xy +x 2﹣1＝0，所以△＝x 2﹣4（x 2﹣1）≥0，解得x ∈（0，

2√33

]，

所以x 只能取整数1，当x ＝1时，y 2﹣y ＝0，解得y ＝0或y ＝1，即曲线经过（1，0），（1，1），根据对称性可得曲线还经过（﹣1，0），（﹣1，1），故曲线一共经过6个整点，故①正确．

当x ＞0时，由x 2

+y 2

＝1+xy 得x 2

+y 2

﹣1＝xy ≤x 2+y 2

2，（当x ＝y 时取等），

∴x 2+y 2≤2，∴√x 2+y 2≤√2，即曲线C 上y 轴右边的点到原点的距离不超过√2，根据对称性可得：曲线C 上任意一点到原点的距离都不超过√2；故②正确．

在x 轴上图形面积大于矩形面积＝1×2＝2，x 轴下方的面积大于等腰直角三角形的面积=1

2×2×1=1，因此曲线C 所围成的“心形”区域的面积大于2+1＝3，故③错误．故选：C ．

2．【2016年浙江理科08】已知实数a ，b ，c ．（） A ．若|a 2+b +c |+|a +b 2+c |≤1，则a 2+b 2+c 2＜100 B ．若|a 2+b +c |+|a 2+b ﹣c |≤1，则a 2+b 2+c 2＜100 C ．若|a +b +c 2|+|a +b ﹣c 2|≤1，则a 2+b 2+c 2＜100 D ．若|a 2+b +c |+|a +b 2﹣c |≤1，则a 2+b 2+c 2＜100

【解答】解：A ．设a ＝b ＝10，c ＝﹣110，则|a 2+b +c |+|a +b 2+c |＝0≤1，a 2+b 2+c 2＞100； B ．设a ＝10，b ＝﹣100，c ＝0，则|a 2+b +c |+|a 2+b ﹣c |＝0≤1，a 2+b 2+c 2＞100； C ．设a ＝100，b ＝﹣100，c ＝0，则|a +b +c 2|+|a +b ﹣c 2|＝0≤1，a 2+b 2+c 2＞100；故选：D ．

3．【2014年浙江理科10】设函数f 1（x ）＝x 2，f 2（x ）＝2（x ﹣x 2），f 3(x)=13|sin2πx|，a i =i

B ．I 2＜I 1＜I 3

C ．I 1＜I 3＜I 2

D ．I 3＜I 2＜I 1

【解答】解：由|(i 99)2?(i?199)2|=199×2i?199，故I 1=199(199+399+599+?+2×99?199)=199×992

=1，

由2|

i 99?i?199?(i 99)2+(i?199)2|=2×199|99?(2i?1)99|，故I 2=2×199×58(98+0)2×99=9899×100

99＜1， I 3=1

3[||sin2π?1

99|?|sin2π?0

99||+||sin2π?2

99|?|sin2π?1

99||+?+||sin2π?99

99|?|sin2π?98

99||] =1

3(2sin2π?25

99?2sin2π?74

99)＞1，故I 2＜I 1＜I 3，故选：B ．

4．【2013年北京理科08】设关于x ，y 的不等式组{2x ?y +1＞0，

x +m ＜0，

y ?m ＞0

表示的平面区域内存在点P （x 0，y 0），

满足x 0﹣2y 0＝2，求得m 的取值范围是（）

A ．(?∞，43

) B ．(?∞，13

)

C ．(?∞，?23

)

D ．(?∞，?53

)

【解答】解：先根据约束条件{2x ?y +1＞0，

x +m ＜0，

y ?m ＞0

画出可行域，

要使可行域存在，必有m ＜﹣2m +1，要求可行域包含直线y =1

2x ﹣1上的点，只要边界点（﹣m ，1﹣2m ）在直线y =12

x ﹣1的上方，且（﹣m ，m ）在直线y =12

x ﹣1的下方，故得不等式组{

m ＜?2m +1

1?2m ＞?1

2m ?1m ＜?12m ?1，

解之得：m ＜?23．故选：C ．

5．【2012年浙江理科09】设a ＞0，b ＞0，下列命题中正确的是（） A ．若2a +2a ＝2b +3b ，则a ＞b B ．若2a +2a ＝2b +3b ，则a ＜b

C ．若2a ﹣2a ＝2b ﹣3b ，则a ＞b

D ．若2a ﹣2a ＝2b ﹣3b ，则a ＜b

【解答】解：∵a ≤b 时，2a +2a ≤2b +2b ＜2b +3b ， ∴若2a +2a ＝2b +3b ，则a ＞b ，故A 正确，B 错误；

对于2a ﹣2a ＝2b ﹣3b ，若a ≥b 成立，则必有2a ≥2b ，故必有2a ≥3b ，即有a ≥3

2b ，而不是a ＞b 排除C ，也不是a ＜b ，排除D ．故选：A ．

6．【2010年北京理科07】设不等式组{x +y ?11≥0

3x ?y +3≥05x ?3y +9≤0表示的平面区域为D ，若指数函数y ＝a x 的图象上

存在区域D 上的点，则a 的取值范围是（） A ．（1，3]

B ．[2，3]

C ．（1，2]

D ．[3，+∞]

【解答】解：作出区域D 的图象，联系指数函数y ＝a x 的图象，由{x +y ?11=03x ?y +3=0

得到点C （2，9），当图象经过区域的边界点C （2，9）时，a 可以取到最大值3，而显然只要a 大于1，图象必然经过区域内的点．故选：A ．

7．【2019年天津理科13】设x ＞0，y ＞0，x +2y ＝5，则√xy

的最小值为．

【解答】解：x ＞0，y ＞0，x +2y ＝5，则

√xy

=2√xy xy

；由基本不等式有：

2√xy +6

xy ≥2√2√xy ?6

xy =4√3；

当且仅当2√xy =6

xy 时，

即：xy ＝3，x +2y ＝5时，即：{x =3

y =1或{

x =2y =

时；等号成立，故

√xy

的最小值为4√3；

故答案为：4√3

8．【2019年北京理科14】李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、

桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x 元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．

①当x ＝10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付元；

②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为．【解答】解：①当x ＝10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，可得60+80＝140（元），即有顾客需要支付140﹣10＝130（元）； ②在促销活动中，设订单总金额为m 元，可得（m ﹣x ）×80%≥m ×70%，即有x ≤m

8，由题意可得m ≥120，可得x ≤

120

8=15，则x 的最大值为15元．故答案为：130，15

9．【2018年江苏13】在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，∠ABC ＝120°，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，且BD ＝1，则4a +c 的最小值为．【解答】解：由题意得1

2ac sin120°=1

a sin60°+12

c sin60°，

即ac ＝a +c ，得1

a +

=1，

得4a +c ＝（4a +c ）（1

a +1

c ）=c

a +4a

c +5≥2√c a ?4a

c +5＝4+5＝9，

当且仅当c

a =

4a c

，即c ＝2a 时，取等号，

故答案为：9．

10．【2018年天津理科13】已知a ，b ∈R ，且a ﹣3b +6＝0，则2a +18

b 的最小值为

．

【解答】解：a ，b ∈R ，且a ﹣3b +6＝0，可得：3b ＝a +6，则2a +

=2a +

a+6

=2a +

126

?2a ≥2√2a

?1262

a =14，

当且仅当2a =

a+6．即

a ＝﹣3时取等号．

函数的最小值为：1

．

故答案为：1

．

11．【2017年上海11】设a 1、a 2∈R ，且

2+sina 1

12+sin(2a 2)

=2，则|10π﹣a 1﹣a 2|的最小值等于．

【解答】解：根据三角函数的性质，可知sin α1，sin2α2的范围在[﹣1，1]，要使

12+sinα1

12+sin2α2

=2，

∴sin α1＝﹣1，sin2α2＝﹣1．则：α1=?π2

+2k 1π，k 1∈Z ．

2α2=?π2

+2k 2π，即α2=?π4

+k 2π，k 2∈Z ．那么：α1+α2＝（2k 1+k 2）π?3π

4，k 1、k 2∈Z ．

∴|10π﹣α1﹣α2|＝|10π+3π

4?（2k 1+k 2）π|的最小值为π

4．

故答案为：π

4．

12．【2016年新课标1理科16】某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5kg ，乙材料1kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5kg ，乙材料0.3kg ，用3个工时，生产一件产品A 的利润为2100元，生产一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲材料150kg ，乙材料90kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为 216000 元．

【解答】解：（1）设A 、B 两种产品分别是x 件和y 件，获利为z 元．由题意，得{ x ∈N ，y ∈N

1.5x +0.5y ≤150x +0.3y ≤905x +3y ≤600

，z ＝2100x +900y ．

不等式组表示的可行域如图：由题意可得{x +0.3y =905x +3y =600

，解得：{x =60

y =100，A （60，100），

目标函数z ＝2100x +900y ．经过A 时，直线的截距最大，目标函数取得最大值：2100×60+900×100＝216000元．

故答案为：216000．

13．【2015年浙江理科14】若实数x ，y 满足x 2+y 2≤1，则|2x +y ﹣2|+|6﹣x ﹣3y |的最小值是．【解答】解：由x 2+y 2≤1，可得6﹣x ﹣3y ＞0，即|6﹣x ﹣3y |＝6﹣x ﹣3y ，如图直线2x +y ﹣2＝0将圆x 2+y 2＝1分成两部分，

在直线的上方（含直线），即有2x +y ﹣2≥0，即|2x +y ﹣2|＝2x +y ﹣2，此时|2x +y ﹣2|+|6﹣x ﹣3y |＝（2x +y ﹣2）+（6﹣x ﹣3y ）＝x ﹣2y +4，利用平移可得在A （3

，4

5）处取得最小值3；

在直线的下方（含直线），即有2x +y ﹣2≤0，即|2x +y ﹣2|＝﹣（2x +y ﹣2），

此时|2x +y ﹣2|+|6﹣x ﹣3y |＝﹣（2x +y ﹣2）+（6﹣x ﹣3y ）＝8﹣3x ﹣4y ，利用平移可得在A （3

，4

5）处取得最小值3．

综上可得，当x =35，y =4

5时，|2x +y ﹣2|+|6﹣x ﹣3y |的最小值为3．故答案为：3．

14．【2013年江苏13】在平面直角坐标系xOy中，设定点A（a，a），P是函数y=1

x（x＞0）图象上一动

点，若点P，A之间的最短距离为2√2，则满足条件的实数a的所有值为．

【解答】解：设点P(x，1

)(x＞0)，则|P A|=√(x?a)2+(1x?a)2=√x2+1

?2a(x+1x)+2a2=

√(x+1

)2?2a(x+1x)+2a2?2，

令t=x+1

x，∵x＞0，∴t≥2，

令g（t）＝t2﹣2at+2a2﹣2＝（t﹣a）2+a2﹣2，

①当a≤2时，t＝2时g（t）取得最小值g（2）＝2﹣4a+2a2=(2√2)2，解得a＝﹣1；

②当a＞2时，g（t）在区间[2，a）上单调递减，在（a，+∞）单调递增，∴t＝a，g（t）取得最小值g

（a）＝

a2﹣2，∴a2﹣2=(2√2)2，解得a=√10．

综上可知：a＝﹣1或√10．

故答案为﹣1或√10．

15．【2013年天津理科14】设a+b＝2，b＞0，则当a＝时，1

2|a|+

|a|

取得最小值．

【解答】解：∵a+b＝2，b＞0，

∴1

2|a|+

|a|

2|a|

|a|

2?a

，（a＜2）

设f（a）=

2|a|

+|a|

2?a，（a＜2），画出此函数的图象，如图所示．

利用导数研究其单调性得，

当a＜0时，f（a）=?1

+a a?2，

f′（a）=

2a2

(a?2)2

=?(3a?2)(a+2)

2a2(a?2)2

，当a＜﹣2时，f′（a）＜0，当﹣2＜a＜0时，f′（a）＞0，

故函数在（﹣∞，﹣2）上是减函数，在（﹣2，0）上是增函数，

∴当a＝﹣2时，1

2|a|+

|a|

取得最小值

．

同样地，当0＜a＜2时，得到当a=2

3时，

2|a|

|a|

取得最小值

．

综合，则当a＝﹣2时，1

2|a|+

|a|

取得最小值．

故答案为：﹣2．

高考数学真题分类汇编专题不等式理科及答案

专题七不等式 1.【2015高考四川，理9】如果函数()()()()21 281002 f x m x n x m n = -+-+≥≥，在区间122?????? ，上单调递减，则mn 的最大值为（）（A ）16 （B ）18 （C ）25 （D ）812 【答案】B 【解析】 2m ≠时，抛物线的对称轴为82n x m -=--.据题意，当2m >时，8 22 n m --≥-即212m n +≤ .26,182 m n mn +≤ ≤∴≤Q .由2m n =且212m n +=得3,6m n ==.当2m <时，抛物线开口向下，据题意得，81 22 n m -- ≤-即218m n +≤ .281 9,22 n m mn +≤ ≤∴≤Q .由2n m =且218m n +=得92m =>，故应舍去.要使得mn 取得最大值，应有218m n +=(2,8)m n <>.所以 (182)(1828)816mn n n =-<-??=，所以最大值为18.选B.. 【考点定位】函数与不等式的综合应用. 【名师点睛】首先弄清抛物线的开口方向和对称轴，结合所给单调区间找到m 、n 满足的条件，然后利用基本不等式求解.本题将函数的单调性与基本不等式结合考查，检测了学生综合运用知识解题的能力.在知识的交汇点命题，这是高考的一个方向，这类题往往以中高档题的形式出现. 2.【2015高考北京，理2】若x ，y 满足010x y x y x -?? +??? ≤， ≤，≥，则2z x y =+的最大值为（） A ．0 B ．1 C ． 3 2 D ．2 【答案】D 【解析】如图，先画出可行域，由于2z x y = +，则11 22 y x z =- +，令0Z =，作直线1 2 y x =- ，在可行域中作平行线，得最优解(0,1)，此时直线的截距最大，Z 取

高考数学中的放缩技巧

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高考数学真题分类汇编专题不等式理科及答案

高考数学真题分类汇编专题不等式理科及答案 Coca-cola standardization office【ZZ5AB-ZZSYT-ZZ2C-ZZ682T-ZZT18】

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高考数学_压轴题_放缩法技巧全总结(最强大)

放缩技巧（高考数学备考资料）证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种：一、裂项放缩例1.(1)求∑ =-n k k 1 2142的值; (2)求证:3 511 2 <∑=n k k . 解析:(1)因为 121121)12)(12(21 422+--=+-= -n n n n n ,所以12212111 4212 +=+-=-∑=n n n k n k (2)因为 ??? ??+--=-=- <1211212144 4 11 1222 n n n n n ,所以35321121121513121112=+-?>-?>?-=?=+ (14) ! )2(1!)1(1)!2()!1(!2+- +=+++++k k k k k k (15) )2(1) 1(1 ≥--<+n n n n n (15) 112 22 2+-+-+j i j i j i

2020高考理科数学不等式问题的题型与方法

专题三：高考数学不等式问题的题型与方法（理科）一、考点回顾 1．高考中对不等式的要求是：理解不等式的性质及其证明；掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用；掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式；掌握简单不等式的解法；理解不等式│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│。 2．不等式这部分内容在高考中通过两面考查，一是单方面考查不等式的性质，解法及证明；二是将不等式知识与集合、逻辑、函数、三角函数、数列、解析几何、立体几何、平面向量、导数等知识交汇起来进行考查，深化数学知识间的融汇贯通，从而提高学生数学素质及创新意识． 3．在不等式的求解中，换元法和图解法是常用的技巧之一，通过换元，可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式，通过构造函数，将不等式的解化归为直观、形象的图象关系，对含有参数的不等式，运用图解法，可以使分类标准更加明晰． 4．证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法仍是证明不等式的最基本方法．要依据题设、题断的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤，技巧和语言特点．比较法的一般步骤是：作差(商)→变形→判断符号(值)．5．在近几年全国各省市的高考试卷中，不等式在各种题型中都有出现。在解答题中，不等式与函数、数列与导数相结合，难度比较大，使用导数解决逐渐成为一般方法6．知识网络

其中：指数不等式、对数不等式、无理不等式只要求了解基本形式，不做过高要求. 二、经典例题剖析 1．有关不等式的性质此类题经常出现在选择题中，一般与函数的值域，最值与比较大小等常结合在一起例1．（xx 年江西卷）若a >0，b >0，则不等式－b <1 x 1b D.x <1b －或x >1a 解析：－b <1x 1 a 答案：D 点评：注意不等式b a b a 1 1>? <和适用条件是0>ab 例2.（xx 年北京卷）如果正数a b c d ，，，满足4a b cd +==，那么（）Ａ．ab c d +≤，且等号成立时a b c d ，，，的取值唯一Ｂ．ab c d +≥，且等号成立时a b c d ，，，的取值唯一Ｃ．ab c d +≤，且等号成立时a b c d ，，，的取值不唯一Ｄ．ab c d +≥，且等号成立时a b c d ，，，的取值不唯一解析：正数a b c d ，，，满足4a b cd +==，∴ 4=a b +≥，即4ab ≤，当且仅当a =b =2时，“=”成立；又4=2 ( )2 c d cd +≤，∴ c+d ≥4，当且仅当c =d =2时，“=”成立；综上得ab c d +≤，且等号成立时a b c d ，，，的取值都为2 答案：A 点评：本题主要考查基本不等式，命题人从定值这一信息给考生提供了思维，重要不等式可以完成和与积的转化，使得基本不等式运用成为现实。例3．(xx 年安徽)若对任意∈x R ,不等式x ≥ax 恒成立，则实数a 的取值范围是 (A)a ＜－1 (B)a ≤1 (C) a ＜1 （D ）a ≥1 解析：若对任意∈x R ,不等式x ≥ax 恒成立，当x ≥0时，x ≥ax ，a ≤1，当x ＜0时，