高考数学压轴专题2020-2021备战高考《不等式》全集汇编附答案

新高考数学《不等式》练习题

一、选择题

1．已知实数0x >,0y >，则“224x y +≤”是“1xy ≤”的（ ）

A ．充要条件

B ．必要不充分条件

C ．充分不必要条件

D ．既不充分也不必要条件

【答案】C 【解析】 【分析】

利用基本不等式和充分，必要条件的判断方法判断. 【详解】

22x y +≥Q 且224x y

+≤ ，

422x y ∴≤≤?+≤ ， 等号成立的条件是x y =，

又x y +≥Q ，0,0x y >>

21xy ∴≤?≤ ， 等号成立的条件是x y =,

2241x y xy ∴+≤?≤，

反过来，当1

2,3

x y ==

时，此时1xy ≤，但224x y +> ，不成立， ∴ “224x y +≤”是“1xy ≤”的充分不必要条件. 故选:C 【点睛】

本题考查基本不等式和充分非必要条件的判断，属于基础题型.

2．若,x y 满足约束条件360,60,1,x y x y y -+≥??

+-≤??≥?

则z x y =-的最小值为（ ）

A ．4

B ．0

C ．2-

D ．4-

【答案】D 【解析】 【分析】

画出约束条件所表示的平面区域，结合图象确定目标函数的最优解，代入即可求解． 【详解】

由题意，画出约束条件360601x y x y y -+≥??

+-≤??≥?

所表示的可行域，如图所示，

目标函数z x y =-，可化为直线y x z =-当直线y x z =-经过A 时，z 取得最小值， 又由360

1

x y y -+=??

=?，解得(3,1)A -，

所以目标函数的最小值为min 314z =--=-. 故选：D ．

【点睛】

本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力．

3．关于x 的不等式0ax b ->的解集是(1,)+∞，则关于x 的不等式()(3)0ax b x +->的解集是（ ） A ．(,1)(3,)-∞-+∞U B ．(1,3)- C ．(1,3) D ．(,1)(3,)-∞+∞U

【答案】A 【解析】 【分析】

由0ax b ->的解集，可知0a >及

1b

a

=，进而可求出方程()()30ax b x +-=的解，从而可求出()()30ax b x +->的解集. 【详解】

由0ax b ->的解集为()

1,+?

，可知0a >且

1b

a

=， 令()()30ax b x +-=，解得11x =-，23x =，

因为0a >，所以()()30ax b x +->的解集为()(),13,-∞-+∞U ， 故选：A. 【点睛】

本题考查一元一次不等式、一元二次不等式的解集，考查学生的计算求解能力与推理能力，属于基础题.

4．已知,x y 满足约束条件23023400x y x y y -+≥??

-+≤??≥?

，若目标函数2z mx ny =+-的最大值为1

（其中0,0m n >>），则11

2m n

+的最小值为（ ） A ．3 B ．1

C ．2

D ．

3

2

【答案】D 【解析】 【分析】

画出可行域，根据目标函数z 的最大值求得,m n 的关系式23m n +=，再利用基本不等式

求得

11

2m n +的最小值. 【详解】

画出可行域如下图所示，由于0,0m n >>，所以基准直线0mx ny +=的斜率为负数，故目标函数在点()1,2A 处取得最大值，即221m n +-=，所以23m n +=.

()111111515193222323232322

n m n m m n m n m n m n m n ??????+=?+?+=?++≥?+?=?= ? ? ? ???????，当且仅当,1n m m n m n ===时等号成立，所以

112m n +的最小值为3

2

. 故选：D

【点睛】

本小题主要考查根据目标函数的最值求参数，考查基本不等式求最值，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.

5．已知点P ，Q 分别是抛物线28x y =和圆22(2)1x y +-=上的动点，点(0,4)A ，则

2

||||

PA PQ 的最小值为( ) A ．10 B ．4

C

．2 D

．1

【答案】B 【解析】 【分析】

设出点P 的坐标()00,x y ，用0y 表示出PA ；根据圆上一点到定点距离的范围，求得PQ 的最大值，再利用均值不等式求得目标式的最值. 【详解】

设点()00,P x y ，因为点P 在抛物线上，所以()2

00080x y y =≥，

因为点(0,4)A ，则()()2

2

222

00000||48416PA x y y y y =+-=+-=+.

又知点Q 在圆22

(2)1x y +-=上，圆心为抛物线的焦点(0,2)F ，

要使2||||

PA PQ 的值最小，则||PQ 的值应最大，即0max 13PQ PF y =+=+.

所以()()2

2

2

000

003632516||

||33

y y y PA PQ y y +-+++==

++ ()

0025

36643

y y =++

-≥=+ 当且仅当02y =时等号成立.

所以2

||||

PA PQ 的最小值为4.

故选：B. 【点睛】

本题考查抛物线上一点到定点距离的求解，以及圆上一点到定点距离的最值，利用均值不等式求最值，属综合中档题.

6

．已知函数())

2

log f x x =，若对任意的正数,a b ，满足

()()310f a f b +-=，则31

a b

+的最小值为（ ）

A ．6

B ．8

C ．12

D ．24

【答案】C 【解析】 【分析】

先确定函数奇偶性与单调性，再根据奇偶性与单调性化简方程得31a b +=，最后根据基本不等式求最值.

【详解】

0,x x x x ≥-=所以定义域为R ，

因为(

)2log f x =，所以()f x 为减函数 因为(

)2

log f x =，(

))

2

log f x x -=,所以

()()()f x f x f x =--，为奇函数，

因为()()310f a f b +-=，所以()()1313f a f b a b =-=-，，即31a b +=， 所以

()3131936b a a b a b a b a b

??+=++=++ ???，

因为

96b a a b +≥=， 所以

3112a b +≥（当且仅当12a =，1

6b =时，等号成立），选C. 【点睛】

本题考查函数奇偶性与单调性以及基本不等式求最值，考查基本分析求解能力，属中档题.

7．已知α，β均为锐角，且满足()

sin 2cos sin αβαβ

-=，则αβ-的最大值为（ ）

A ．

12

π

B ．

6

π C ．

4

π D ．

3

π 【答案】B 【解析】 【分析】

利用两角差的正弦公式，将已知等式化简得到tan 3tan αβ=，由α，β均为锐角，则

,22

ππαβ??

-∈- ??

?

，要求出αβ-的最大值，只需求出tan()αβ-的最大值，利用两角差

的正切公式，将tan()αβ-表示为tan β的关系式，结合基本不等式，即可求解. 【详解】 由

()

sin 2cos sin αβαβ

-=整理得()sin 2cos sin αβαβ-=，

即sin cos cos sin 2cos sin αβαβαβ-=，

化简得sin cos 3cos sin αβαβ=，则tan 3tan αβ=， 所以

()2tan tan 2tan 2tan 11tan tan 13tan 3tan tan αββ

αβαββ

ββ

--=

==

+++，

又因为β为锐角，所以tan0

β>，

根据基本不等式

2

13

3tan

tan

β

β

≤=

+

，

当且仅当tan

3

β=时等号成立，

因为,

22

ππ

αβ??

-∈-

?

??

，且函数tan

y x

=在区间,

22

ππ

??

-

?

??

上单调递增，

则αβ

-的最大值为

6

π

.

故选:B.

【点睛】

本题考查两角差最值，转化为求三角函数最值是解题的关键，注意应用三角恒等变换、基本不等式求最值，考查计算求解能力，属于中档题.

8．已知不等式240

x ax

-+≥对于任意的[1,3]

x∈恒成立，则实数a的取值范围是（）A．(,5]

-∞B．[5,)

+∞C．(,4]

-∞D．[4,)

+∞

【答案】C

【解析】

若不等式240

x ax

-+≥对于任意的[1,3]

x∈恒成立，则

4

a x

x

≤+对于任意的[1,3]

x∈恒成立，∵当[1,3]

x∈时，

4

[4,5]

x

x

+∈，∴4

a≤，即实数a的取值范围是(,4]

-∞，故选C．

【方法点晴】本题主要考查利用导数求函数的最值以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数()

a f x

≥恒成立(()

max

a f x

≥即可)或()

a f x

≤

恒成立（()min

a f x

≤即可）；② 数形结合(()

y f x

=图象在()

y g x

=上方即可)；③ 讨论最值()min0

f x≥或()max0

f x≤恒成立；④ 讨论参数. 本题是利用方法① 求得a的取值范围的.

9．若x，y满足约束条件

40,

20,

20,

x y

x

x y

-+≥

?

?

-≤

?

?+-≥

?

且z ax y

=+的最大值为26

a+，则a的取值范

围是（）

A．[1,)

-+∞B．(,1]

-∞-C．(1,)

-+∞D．(,1)

-∞-

【答案】A

【解析】

【分析】

画出约束条件的可行域，利用目标函数的最值，判断a 的范围即可． 【详解】

作出约束条件表示的可行域，如图所示.因为z ax y =+的最大值为26a +，所以

z ax y =+在点(2,6)A 处取得最大值，则1a -≤，即1a ≥-.

故选：A

【点睛】

本题主要考查线性规划的应用，利用z 的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．

10．抛物线的焦点为F ，准线为l ，A ，B 是抛物线上的两个动点，且满

足23

AFB π

∠=

，设线段AB 的中点M 在l 上的投影为N ，则MN AB 的最大值是（ ）

A 3

B 3

C 3

D 3【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】

试题分析：设,A B 在直线l 上的投影分别是11,A B ，则1AF AA =，1BF BB =，又M 是AB 中点，所以111

()2

MN AA BB =

+，则1112MN AA BB AB AB +=?2AF BF AB +=，在ABF ?中

222

AB AF BF =+22cos

3

AF BF π-22

AF BF AF BF =++2()AF BF AF BF =+-2()AF BF ≥+2()2

AF BF +-2

3()4AF BF =+，所以

2

2

()43AF BF AB

+≤

，即233AF BF AB +≤，所以3

3

MN AB ≤，故选B ．

考点：抛物线的性质． 【名师点晴】

在直线与抛物线的位置关系问题中，涉及到抛物线上的点到焦点的距离，焦点弦长，抛物

线上的点到准线（或与准线平行的直线）的距离时，常常考虑用抛物线的定义进行问题的转化．象本题弦AB 的中点M 到准线的距离首先等于,A B 两点到准线距离之和的一半，然后转化为,A B 两点到焦点F 的距离，从而与弦长AB 之间可通过余弦定理建立关系．

11．在三角形ABC 中，给出命题:p “2ab c >”，命题:q “3

C π

<”，则p 是q 的（ ）

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件

【答案】A 【解析】 【分析】

由余弦定理将2c 化为222cos a b ab C +-，整理后利用基本不等式求得12cos 2C +>，求出C 范围，即可判断充分性，取4a =，7b =，6c =，则可判断必要性不成立，两者结合可得正确的选项. 【详解】

充分性：由余弦定理，2222cos c a b ab C =+-， 所以2ab c >，即222cos ab a b ab C >+-，

整理得，22

12cos a b C ab

++>，

由基本不等式，222a b ab ab

+≥=，

当且仅当a b =时等号成立， 此时，12cos 2C +>，即1

cos 2C >，解得3

C π<， 充分性得证；

必要性：取4a =，7b =，6c =，则164936291

cos 247562

C +-==>??，

故3

C π

<

，但228ab c =<，故3

C π

<

推不出2ab c >.

故必要性不成立； 故p 是q 的充分不必要条件. 故选：A 【点睛】

本题主要考查充分必要条件的判断、余弦定理的应用和基本不等式的应用，考查学生分析转化能力，属于中档题.

12．若变量x ，y 满足2,

{239,0,

x y x y x +≤-≤≥则x 2+y 2的最大值是

A ．4

B ．9

C ．10

D ．12

【答案】C 【解析】

试题分析：画出可行域如图所示，点A （3，-1）到原点距离最大，所以

22max ()10x y +=，选C.

【考点】简单线性规划

【名师点睛】本题主要考查简单线性规划的应用，是一道基础题目.从历年高考题目看，简单线性规划问题是不等式中的基本问题，往往围绕目标函数最值的确定，涉及直线的斜率、两点间的距离等，考查考生的绘图、用图能力，以及应用数学知识解决实际问题的能力.

13．已知函数1

()cos 2(2)sin 2

f x m x m x =

+-，其中12m ≤≤，若函数()f x 的最大值记为()g m ，则()g m 的最小值为（ ） A ．14

-

B ．1

C ．3-

D 31

【答案】D 【解析】 【分析】

2()sin (2)sin 2

m

f x m x m x =-+-+

，令sin [1,1]x t =∈-，则2(2)2

m

y mt m t =-+-+，结合12m ≤≤可得()2211

2

2(2)31144t m m m g m y m m m

=-+-===+-，再利用基本不等式即可得到答案.

【详解】

由已知，221()(12sin )(2)sin sin (2)sin 22

m f x m x m x m x m x =

-+-=-+-+， 令sin [1,1]x t =∈-，则2

(2)2

m

y mt m t =-+-+，因为12m ≤≤， 所以对称轴为2111

[0,]222

m t m m -=

=-∈，所以 (

)22112

2(2)3111144t m m m g m y m m m =-+-===+-≥=，当且仅当

3

m =

时，等号成立. 故选：D 【点睛】

本题考查换元法求正弦型函数的最值问题，涉及到二次函数的最值、基本不等式的应用，考查学生的数学运算能力，是一道中档题.

14．若、a b 均为实数，则“()0->ab a b ”是“0a b >>”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件

【答案】B 【解析】 【分析】

通过列举，和推理证明可以推出充要性. 【详解】

若()0ab a b -＞中，取12a b --＝，＝，则推不出0a b ＞＞； 若0a b ＞＞，则0a b -＞，则可得出()0ab a b -＞； 故“()0ab a b -＞”是“0a b ＞＞”的必要不充分条件， 故选：B. 【点睛】

本题考查充分必要不条件的定义以及不等式的性质，可通过代入特殊值解决．

15．若均不为1的实数a 、b 满足0a b >>，且1ab >，则（ ） A ．log 3log 3a b > B ．336a b +>

C ．133ab a b ++>

D ．b a a b >

【答案】B 【解析】 【分析】

举反例说明A,C,D 不成立，根据基本不等式证明B 成立. 【详解】

当9,3a b ==时log 3log 3a b <; 当2,1a b ==时133ab a b ++=; 当4,2a b ==时b a a b =; 因为0a b >>，1ab >

，所以336a b +>=>>，

综上选B. 【点睛】

本题考查比较大小，考查基本分析论证能力，属基本题.

16．已知直线21y kx k =++与直线1

22

y x =-+的交点位于第一象限，则实数k 的取值范围是（ ）

A ．1

2

k >

B ．16k <-

或1

2

k > C ．62k -<< D ．1162

k -

<< 【答案】D 【解析】 【分析】

联立21

1

22y kx k y x =++???=-+??

，可解得交点坐标(,)x y ，由于直线21y kx k =++与直线1

22y x =-

+的交点位于第一象限，可得00x y >??>?

，解得即可． 【详解】

解：联立211

22y kx k y x =++???=-+??，解得2421

6121k x k k y k -?

=??+?+?=?+?， Q 直线21y kx k =++与直线1

22

y x =-

+的交点位于第一象限， ∴24021610

21

k

k k k -?>??+?+?>?+?，解得：11

62k -<<．

故选：D ． 【点睛】

本题考查两直线的交点和分式不等式的解法，以及点所在象限的特征．

17．若实数x ，y 满足不等式组11y x

x y y ≤??

+≤??≥-?

，则2x y +的最小值是( )

A ．3

B ．

32

C ．0

D ．3-

【答案】D 【解析】 【分析】

根据已知的约束条件画出满足约束条件的可行域，再由目标函数2z x y =+可得

2y x z =-+，此时Z 为直线在y 轴上的截距，根据条件可求Z 的最小值．

【详解】

解：作出不等式组所表示的平面区域，如图所示得阴影部分的ABC ?， 由2z x y =+可得2y x z =-+，则z 为直线在y 轴上的截距

把直线:2l y x =-向上平移到A 时，z 最小，此时由1

y x

y =??=-?可得(1,1)A --

此时3z =-， 故选：D ．

【点睛】

本题考查用图解法解决线性规划问题，分析题目的已知条件，找出目标函数中的z 的意义是关键，属于中档题．

18．设集合{}

20,201x M x N x x x x ??

=≤=-

，则M N ?为（ ）

A ．{}

01x x ≤< B ．{}

01x x <<

C ．{}

02x x ≤<

D ．{}

02x x <<

【答案】B 【解析】 【分析】

根据分式不等式和一元二次不等式的解法，求得集合

{01},{|02}M x x N x x =≤<=<<，再结合集合交集的运算，即可求解.

【详解】

由题意，集合{}

20{01},20{|02}1x M x

x x N x x x x x x ??

=≤=≤<=-<=<

，

所以{}

01M N x x ?=<<. 故选：B . 【点睛】

本题主要考查了集合的交集的概念及运算，其中解答中结合分式不等式和一元二次不等式的解法，准确求解集合,A B 是解答的关键，着重考查了计算能力.

19．已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，且1313,,a a a 成等比数列，若11a =，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则26

3

n n S a ++的最小值为（ ）

A ．4

B ．3

C

．2

D ．2

【答案】D 【解析】 【分析】

由题意得2

(12)112d d +=+，求出公差d 的值，得到数列{}n a 的通项公式，前n 项和，

从而可得26

3

n n S a ++，换元，利用基本不等式，即可求出函数的最小值．

【详解】

解：11a =Q ，1a 、3a 、13a 成等比数列，

2(12)112d d ∴+=+． 得2d =或0d =（舍去），

21n a n ∴=-，

2(121)

2

n n n S n +-∴=

=， ∴()()2

221142626332211

2n n n n S n n a n n n ++++++===+-+++． 令1t n =+

，则

2642223n n S t a t +=+-≥=+ 当且仅当2t =，即1n =时，∴26

3

n n S a ++的最小值为2．

故选：D ． 【点睛】

本题主要考查等比数列的定义和性质，等比数列的通项公式，考查基本不等式，属于中档题．

20．已知直线22+=mx ny ()0,0m n >>过圆()()2

2

125x y -+-=的圆心，则

11m n

+的最小值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4

【答案】D 【解析】 【分析】

圆心坐标为(1,2)，代入直线方程，再由乘1法和基本不等式，展开计算即可得到所求最小值． 【详解】

圆2

2

(1)(2)5x y -+-=的圆心为(1,2)，

由题意可得222m n +=，即1m n +=，m ，0n >，

则

1111()()24n m m n m n m n m n +=++=++…，当且仅当n m

m n =且1m n +=即12m n ==时取等号， 故选：D ． 【点睛】

本题考查最值的求法，注意运用乘1法和基本不等式，注意满足的条件：一正二定三等，同时考查直线与圆的关系，考查运算能力，属于基础题．